大学物理（一）练习册 参考解答
第1章 质点运动学
一、选择题
1(D)，2(D)，3(B)，4(D)，5(D)，6(D)，7(D)，8(D )，9(B)，10(B)， 二、填空题
(1). sin 2t A ωω，()π
+122
1n (n = 0,1,… ),
(2). 8 m ，10 m. (3). 23 m/s.
(4). 16Rt 2 ，4 rad /s 2
(5). 4t 3-3t 2 (rad/s)，12t 2-6t (m/s 2). (6).
3
3
1ct ，2ct ，c 2t 4
/R .
(7). 2.24 m/s 2
，104o
(8). )5c o s 5s i n (50j t i t
+-m/s ，0，圆. (9). h 1v /(h 1-h 2) (10). 0321=++v v v
三、计算题
1. 有一质点沿x 轴作直线运动，t 时刻的坐标为x = 4.5 t 2 – 2 t 3 (SI) ．试求：
(1) 第2秒内的平均速度； (2) 第2秒末的瞬时速度；
(3) 第2秒内的路程．
解：(1) 5.0/-==??t x v m/s
(2) v = d x /d t = 9t - 6t 2, v (2) =-6 m/s. (3) S = |x (1.5)-x (1)| + |x (2)-x (1.5)| = 2.25 m.
2. 一质点沿x 轴运动，其加速度为a = 4t (SI)，已知t = 0时，质点位于x 0=10 m 处，初速度v 0 = 0．试求其位置和时间的关系式．
解： =a d v /d t 4=t ， d v 4=t d t
?
?
=
v
v 0
d 4d t
t t v = 2t 2
v d =x /d t 2=t 2
t t x t
x
x d 2d 0
2
?
?
=
x 2= t 3 /3+x 0 (SI)
3. 质点沿x 轴运动，其加速度a 与位置坐标x 的关系为 a ＝2＋6 x 2
(SI)，如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度．
解：设质点在x 处的速度为v ，
62d d d d d d 2
x t
x x
t
a +=?
=
=
v v
()x x x
d 62d 0
2
??+=
v v v
() 2 21
3 x x +=v
4. 一物体悬挂在弹簧上作竖直振动，其加速度为-=a ky ，式中k 为常量，y 是以平衡位置为原点所测得的坐标. 假定振动的物体在坐标y 0处的速度为v 0，试求速度v 与坐标y 的函数关系式．
解： y
t y
y t a d d d d d d d d v
v
v v
===
又 -=a ky ∴ -k =y v d v / d y
??+=
-
=-
C ky
y ky 2
2
21
21
, d d v
v v
已知 =y y 0 ，=v v 0 则 2
0202
121ky C --=v
)(2
20202
y y k -+=v v
5. 一质点沿半径为R 的圆周运动．质点所经过的弧长与时间的关系为2
2
1ct bt S +
= 其中
b 、
c 是大于零的常量，求从0=t 开始到切向加速度与法向加速度大小相等时所经历的时间．
解： ct b t S +==d /d v c t a t ==d /d v ()R ct b a n /2
+=
根据题意： a t = a n 即 ()R ct b c /2
+=
解得 c
b c
R t -
=
6. 如图所示，质点P 在水平面内沿一半径为R =2 m 的圆轨道转动．转动的角速度ω与时间t 的函数关系为2
kt =ω (k 为常量)．已知s t 2=时，质点P 的
速度值为32 m/s ．试求1=t s 时，质点P 的速度与加速度的大小．
解：根据已知条件确定常量k
(
)2
2
2
/rad 4//s
Rt
t
k ===v ω
24t =ω, 2
4Rt R ==ωv
s t 1=时， v = 4Rt 2
= 8 m/s
2s /168/m Rt dt d a t ===v 22s /32/m R a n ==v
()
8.352
/12
2=+=n t a a a m/s 2
7. (1)对于在xy 平面内，以原点O 为圆心作匀速圆周运动的质点，试
用半径r 、角速度ω和单位矢量i
、j 表示其t 时刻的位置矢量．已知在t = 0时，y = 0, x = r , 角速度ω如图所示；
(2)由(1)导出速度 v
与加速度 a
的矢量表示式； (3)试证加速度指向圆心．
解：(1) j t r i t r j y i x r
s i n c o s ωω+=+=
(2) j t r i t r t r
c o s s i n
d d ωωωω+-==v j t r i t r t
a
s i n c o s d d 2
2ωωωω--==v (3) ()r j t r i t r a s i n c o s 22
ωωωω-=+-=
这说明 a 与 r 方向相反，即a
指向圆心
8. 一飞机驾驶员想往正北方向航行，而风以60 km/h 的速度由东向西刮来，如果飞机的航速（在静止空气中的速率）为 180 km/h ，试问驾驶员应取什么航向？飞机相对于地面的速率为多少？试用矢量图说明．
解：设下标A 指飞机，F 指空气，E 指地面，由题可知：
v FE =60 km/h 正西方向 v AF =180 km/h 方向未知
v AE 大小未知， 正北方向
由相对速度关系有： FE AF AE v v v +=
AE v 、 AF v 、EE v 构成直角三角形，可得 ()
()
k m /h 1702
2
v v v =-=
FE
AF
AE
() 4.19/tg
1
==-AE
FE
v v θ
（飞机应取向北偏东19.4?的航向）．
西
北
θ
FE
v v
AF v v
AE
v
v
四 研讨题
1. 在下列各图中质点M 作曲线运动，指出哪些运动是不可能的？
参考解答：
(1)、(3)、(4)是不可能的．
(1) 曲线运动有法向加速度，加速度不可能为零；
(3) 曲线运动法向加速度要指向曲率圆心； (4) 曲线运动法向加速度不可能为零.
2. 设质点的运动方程为)(t x x =，)(t y y =在计算质点的速度和加速度时： 第一种方法是，先求出2
2
y
x r +=
，然后根据 t
d d r =
v 及 2
2
d d t
r a =
而求得结果；
第二种方法是，先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即 2
2
)d d (
)d d (t
y t x +=
v 和 2
2
2
2
2
2
)
d d (
)d d (
t
y t
x a +=
.
你认为两种方法中哪种方法正确？
参考解答：
第二种方法是正确的。因为速度和加速度都是矢量，根据定义，
j t y i t x j y i x t t r
d d d d )(d d d d +=
+==v
j t
y i t x j t
y i t x t t a
2
222d d d d )d d d d (d d d d +=
+==v 所以 2
2
)d d (
)d d (t
y t x +=
v ， 2
2
2
2
)d d (
)d d (
2
2
t
y t
x a +=
.
第一种方法是错误的，问题的关键在于位移、速度、加速度的矢量性
)?(d d d d 0
r r t
t r ?==
v t r r r
t r d ?d ?d d 00+= （0?r 为r 方向的单位矢量）， 2
002d ?d d ?d d d 2?d d d d t
r r t r t r r t r t a 2+?+==2v
. 问题的关键：
?d ?d 0
=t
r
在第二种方法中，
,0d d =t
i
如果在第一种方法的讨论中，
,0d ?d 0=t
r 那么
)?(d d d d 0
r r t t r ?==
v t r r r t r d ?d ?d d 00+==,?d d 0r t r =则t
r d d =v 也成立！
注意：若
,0d ?d 0
=t
r
则0
?r
必须是大小与方向均不随时间改变的常矢量。根据质点的运动方程为)(t x x =，)(t y y =，质点作平面曲线运动，如图所示，0?r
大小不变，但方向改变！
所以
,0d ?d 0
≠t
r
即第一种方法是错误的！
v
v
(3)
(4)
只有在直线运动中，i r =0?（显然i 是大小与方向均不随时间改变的常矢量）,
0d d d ?d 0
==t
i
t r 速度的大小才等于t
r d d .对加速度的大小2
2
d d t
r a ≠
也可以用同样方法加以讨论.
第2章 质点力学的运动定律 守恒定律
一、选择题
1(C)，2(E)，3(D)，4(C)，5(C)，6(B)，7(C)，8(C)，9(B)，10(C)，11(B)，12(A)，13(D) 二、填空题
(1). ω2=12rad/s ，A=0.027J (2). 290J (3). 3J (4). 18 N 2s
(5). j t i t
23
23+ (SI)
(6). 16 N 2s ， 176 J (7). 16 N 2s ，176 J (8). M k l /0
，
M
k nm
M Ml +0
(9). 63.2 N
(10). (2 m ，6 m)； (-4 m ，2 m)和(6 m ，8 m)； 2 m 和6 m. 三、计算题
1. 已知一质量为m 的质点在x 轴上运动，质点只受到指向原点的引力的作用，引力大小与质点离原点的距离x 的平方成反比，即2/x k f -=，k 是比例常数．设质点在 x =A 时的速度为零，求质点在x =A /4处的速度的大小．
解：根据牛顿第二定律 x
m t
x x
m
t
m
x
k f d d d d d d d d 2
v v
v v =?
==-
=
∴ ?
?-
=-=4
/2
2
d d ,
d d A A
x mx
k mx
x k
v
v v v v
k mA
A
A
m
k 3)14
(212
=
-
=v
∴ )/(6mA k =v
2. 质量为m 的子弹以速度v 0水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为Ｋ，忽略子弹的重力，求：
(1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式； (2) 子弹进入沙土的最大深度．
解：(1) 子弹进入沙土后受力为－Ｋv ，由牛顿定律
t
m K d d v v =-
∴ ?
?=
-
=
-
v
v v
v v v 0
d d ,
d d 0
t
t m
K
t m K
∴ m Kt /0e -=v v (2) 求最大深度 解法一： t
x d d =
v
t x m Kt d e d /0-=v
t x m
Kt t
x
d e
d /0
00
-?
?
=
v
∴ )e 1()/(/0m Kt K m x --=v
K m x /0max v =
解法二：
x
m t x x
m t
m K d d )d d )(
d d (d d v v
v v v ===-
∴ v d K
m dx -
=
v v d d 0
m
a x
?
?-=K
m x x
∴ K m x /0max v =
3. 如图，用传送带A 输送煤粉，料斗口在A 上方高h ＝0.5 m 处，煤粉自料斗口自由落在A 上．设料斗口连续卸煤的流量为q m ＝40 kg/s ，A 以v ＝2.0 m/s 的水平速度匀速向右移动．求装煤的过程中，煤粉对A 的作用力的大小和方向．（不计相对
传送带静止的煤粉质重）
解：煤粉自料斗口下落，接触传送带前具有竖直向下的速度
gh 20=
v
设煤粉与A 相互作用的?t 时间内，落于传送带上的煤粉质量为
t q m m ?=?
设A 对煤粉的平均作用力为f
，由动量定理写分量式： 0-?=?v m t f x )(00v m t f y ?--=?
将 t q m m ?=?代入得 v m x q f =， 0v m y q f = ∴ 1492
2
=+=
y x f f f N
f
与x 轴正向夹角为α = arctg (f x / f y ) = 57.4°
由牛顿第三定律煤粉对A 的作用力f ′= f = 149 N ，方向与图中f
相反．
4. 有一水平运动的皮带将砂子从一处运到另一处，砂子经一竖直的静止漏斗落到皮带上，皮带以恒定的速率v 水平地运动．忽略机件各部位的摩擦及皮带另一端的其它影响，试问：
(1) 若每秒有质量为q m =d M /d t 的砂子落到皮带上，要维持皮带以恒定速率v 运动，需要多大的功率？
(2) 若q m =20 kg/s ，v ＝1.5 m/s ，水平牵引力多大？所需功率多大？
解：(1) 设t 时刻落到皮带上的砂子质量为M ，速率为v ，t+d t 时刻，皮带上的砂子质量为M+d M ，速率也是v ，根据动量定理，皮带作用在砂子上的力F 的冲量为：
v v v ?=?+-+=M M M M M t F d )0d ()d (d ∴ m q t M F ?==v v /d d 由第三定律，此力等于砂子对皮带的作用力F '，即F '=F ．由于皮带匀速 运动，动力源对皮带的牵引力F ″=F ， 因而， F " =F ，F "与v 同向，动力源所供给的功率为： m
q t M F P 2/d v v v v =?=?=d
(2) 当q m ＝d M/d t=20 kg/s ，v ＝1.5 m/s 时，水平牵引力
F "＝v q m =30 N 所需功率 P=v 2q m =45 W
5.一链条总长为l ，质量为m ，放在桌面上，并使其部分下垂，下垂一段的长度为a ．设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为μ．令链条由静止开始运动，则
(1)到链条刚离开桌面的过程中，摩擦力对链条作了多少功？
(2)链条刚离开桌面时的速率是多少？
解：
(1)
建立如图坐标.
某一时刻桌面上全链条长为
y ,则摩擦力大小为 g l
y m f μ=
摩擦力的功 ?
?
--=
=0
d d a
l a
l f y gy l
m y f W μ
=
22a
l y
l
mg
-μ =2
)(2a l l
mg
--
μ
(2)以链条为对象，应用质点的动能定理 ∑W ＝2
02
2
12
1v v m m -
其中 ∑W = W P ＋W f ，v 0 = 0 W P =?l
a x P d =l
a l mg x x l
mg l
a
2)
(d 2
2
-=
?
由上问知 l a l mg W f 2)
(2
--=μ
所以
2
2
2
2
2
1)(22)
(v m a l l
mg l
a l mg =
--
-μ
得 []
2
1
2
2
2
)
()(a l a l
l
g ---=μv
a
l -a
-a
6.小球A ，自地球的北极点以速度0v
在质量为M 、半径为R 的地球表面水平切向向右飞出，如图所示，地心参考系
中轴OO ＇与0v
平行，小球A 的运动轨道与轴OO ＇相交于距O 为3R 的C 点．不考虑空气阻力，求小球A 在C 点
的速度v 与0v
之间的夹角θ．
解：由机械能守恒：
)3/(2
1/212
20R GMm m R GMm m -=-v v ①
根据小球绕O 角动量守恒： θs i n 30v v Rm Rm = ② ①、②式联立可解出． R
GM /129sin 20
-=
v
v θ
7.质量为m A 的粒子A 受到另一重粒子B 的万有引力作用，B 保持
在原点不动．起初，当A 离B 很远( r = ∞)时，A 具有速度0v
，
方向沿图中所示直线Aa ，B 与这直线的垂直距离为D ．粒子A 由
于粒子B 的作用而偏离原来的路线，沿着图中所示的轨道运动．已
知这轨道与B 之间的最短距离为d ，求B 的质量m B ．
解：A 对B 所在点的角动量守恒．设粒子A 到达距B 最短距离为d 时的速度为v ． d m Dm A A v v =0， d D /0v v = A 、B 系统机械能守恒(A 在很远处时， 引力势能为零)
d m Gm m m B A A A /2
1212
20-=v v
解得 d Gm
B
/22
02=-v v
∴ )2/()(2
022Gd d D m B v -=
8. 一个具有单位质量的质点在随时间 t 变化的力j t i t t F )612()43(2
-+-= (SI) 作用下运动．设该质点在t = 0时位于原点，且速度为零．求t = 2秒时，该质点受到对原点的力矩和该质点对原点的角动量．
解： 以下各式均为SI 式 m = 1， a m F
=，
j t i t t F )612()43(2-+-=， j t i t t a )612()43(2
-+-=
∵ t a d /d v
=，t = 0时，00=v
∴ ??=
t
t a 0
d d
v
v ?-+-=
t
t j t i t t 0
2
d ])612()43[(
j t t i t t )66()2(2
23-+-=v
∵ t r /d d =v ， t = 0时， 00=r
∴ ?=t
v 0
d t r j t t i t t )32()3241(2
334-+-=
当t = 2 s 时 j i r
43/4+-=，j 12=v ,
j i F 184+=
A
v
v
力矩 k j i j i F r M
40)184()43
4(0
-=+?+-=?= 角动量 k j j i m r L
1612)43
4(0-=?+-=?=v
四 研讨题
1. 汽车发动机内气体对活塞的推力以及各种传动部件之间的作用力能使汽车前进吗？使汽车前进的力是什么力？
参考解答：
汽车发动机内气体对活塞的推力以及各种传动部件之间的作用力都是汽车系统的内力，内力只会改变内部各质点的运动状态，不会改变系统的总动量，所以不能使汽车前进。使汽车前进的力只能是外力，这个外力就是地面给汽车的摩擦力。粗略分析如下：当汽车发动机内气体对活塞的推力带动传动部件使主动轮（ 一般为汽车的后轮）绕轮轴转动时，使主动轮与地面的接触部分相对地面有向后滑动的趋势，从而使地面对汽车施以向前的摩擦力，使汽车整体向前加速运动。由于汽车前进使从动轮（汽车的前轮）相对地面有向前的运动趋势，因此从动轮受到地面施以的方向向后的摩擦力，该摩擦力对从动轮轴的力矩使从动轮滚动起来。所以汽车的运动最终靠的是地面施加的摩擦力。
2. 冲量的方向是否与冲力的方向相同？
参考解答：
冲量是力对时间的积累，由动量定理：P P P t F I t t
?=-==
?122
1
d 所以，冲量的方向和动量增量P ?的方向相同，不一定与冲力F
的方向相同。
3. 一物体可否只具有机械能而无动量？一物体可否只有动量而无机械能？试举例说明。
参考解答：
机械能是系统作机械运动的动能和势能的总和.动能与物体相对参考系的运动速度有关，势能则属于保守力系统，一物体具有的势能，是相对势能零点而言的。若取保守力系统，物体相对参考系静止，那么物体的动能为零，物体的动量也为零。该系统的机械能就是物体相对系统势能零点所具有的势能.所以，一物体可以有机械能而无动量。例如：一质量为m 的物体（例如一气球）静止在相对于地面为h 的高处，此时对于物体和地球系统，具有的机械能为重力势能，其值为 mgh 。由于此时物体静止，故其动量为零。
在保守力系统中，若一物体运动至某一位置时所具有的动能值，恰等于该位置相对势能零点所具有的负的势能值，则该物体的机械能为零，而因物体具有动能，因而动量不为零。所以，一物体也可以有动量而无机械能。例如：物体自离地面高为h 处自由下落，取物体和地球为系统，并取下落处为重力势能零点.初始时刻系统的机械能 E 0=0，下落至地面时，物体具有速度的大小为v ，动能为m v 2/2，动量的大小为 m v ，系统的机械能为 E =m v 2/2 - mgh = E 0=0.
4. 在经典力学范围内，若某物体系对某一惯性系满足机械能守恒条件，则在相对于上述惯性系作匀速直线运动的其它参照系中，该物体系是否一定也满足机械能守恒条件？请举例说明．
参考解答：
不一定满足守恒条件．
例如在水平面上以速度0v
匀速直线行驶的车厢顶上悬挂一小球．以车厢为参考系，小球摆动过程中绳子张力对小球不作功，则小球＋地系统机械能守
恒．若以地面为参考系，小球相对于车厢的摆动速度为v
，则小球
对地速度v v v +='0，v '
与绳张力T 不垂直，故小球摆动过程中绳
张力对小球要作功，这时小球＋地系统不满足机械能守恒条件．但在上述两个参考系（惯性系）中，动能定理和功能原理仍是成立的．
5. 在车窗都关好的行驶的汽车内，漂浮着一个氢气球，当汽车向左转弯时，氢气球在车内将向左运动还是向右运动？ 参考解答：
在空气中释放一氢气球，它将受浮力的作用上升。这浮力的根源是大气在重力场中的压强上小下大，因而对氢气上下表面的压力不同，上小下大，而使浮力与重力的方向相反。
在题述汽车向左转弯时，它具有指向车厢左侧的法向加速度。因而汽车是一非惯性系。
在汽车内观察，即以汽车为参考系，其中空气将受到指向右侧的惯性离心力。汽车内的空气就好象处在一水平向右的“重力场”中一样。根据F i =m ω2
r ，这“重力场”左弱右强。和在地球表面空气中氢气球受浮力要向上运
动类似，在汽车内空气中的氢气球将受到水平向左（与水平“重力”方向相反）的“浮力”的作用而向左运动。
（忽略由于氢气球质量很小而引起的在车内看到的很小的向右的运动）
第2章 刚体定轴转动
一、选择题
1(B)，2(B)，3(A)，4(D)，5(C)，6(C)，7(C)，8(C)，9(D)，10(C) 二、填空题
(1). v ≈15.2 m /s ，n 2＝500 rev /min (2). 62.5 1.67ｓ (3). g / l g / (2l ) (4). 5.0 N ·m (5). 4.0 rad/s (6). 0.25 kg 2m 2
(7). Ma 21
(8).
mgl μ21参考解：M ＝?M d ＝()mgl r r l gm l
μμ2
1d /0
=
?
(9).
()2
1
2
mR
J mr J ++ω
(10). l
g /sin 3θω=
三、计算题
1. 有一半径为R 的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为μ，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？（已知圆形平板的转动惯量2
2
1mR J =
，其中m 为圆形平板的质量）
解：在r 处的宽度为d r 的环带面积上摩擦力矩为 r r r R
mg M d 2d 2
?π?π=μ 总摩擦力矩
m g R M M R
μ3
2d 0
==
?
故平板角加速度 β =M /J
设停止前转数为n ，则转角 θ = 2πn
由 J /Mn π==422
0θβω 可得 g R M
J n μωωπ16/342
02
=π=
2. 如图所示，一个质量为m 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动．假设定滑轮质量为M 、半径为R ，其转动惯量为
2
21MR
，滑轮轴光滑．试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速
度与时间的关系．
解：根据牛顿运动定律和转动定律列方程
对物体： mg －T ＝ma ① 对滑轮： TR = J β ② 运动学关系： a ＝R β ③ 将①、②、③式联立得 a ＝mg / (m ＋2
1M )
∵ v 0＝0，
∴ v ＝at ＝mgt / (m ＋
21M )
3. 为求一半径R ＝50 cm 的飞轮对于通过其中心且与盘面垂直的固定转轴的转动惯量，在飞轮上绕以细绳，绳末端悬一质量m 1＝8 kg 的重锤．让重锤从高2 m 处由静止落下，测得下落时间t 1＝16 s ．再用另一质量m 2=4 kg 的重锤做同样测量，测得下落时间t 2＝25 s ．假定摩擦力矩是一个常量，求飞轮的转动惯量．
解：根据牛顿运动定律和转动定律，对飞轮和重物列方程，得 TR －M f ＝Ja / R ① mg －T ＝ma ②
m a
h ＝22
1
at ③
则将m 1、t 1代入上述方程组，得
a 1＝2h /21t ＝0.0156 m / s 2
T 1＝m 1 (g －a 1)＝78.3 N J ＝(T 1R －M f )R / a 1 ④ 将m 2、t 2代入①、②、③方程组，得
a 2＝2h /22t ＝6.4310-3 m / s 2
T 2＝m 2(g －a 2)＝39.2 N
J = (T 2R －M f )R / a 2 ⑤
由④、⑤两式，得
J ＝R 2(T 1－T 2) / (a 1－a 2)＝1.063103 kg 2m 2
4. 一转动惯量为J 的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为ω0．设它所受阻力矩与转动角速度成正比，即M ＝－k ω (k 为正的常数)，求圆盘的角速度从ω0变为021
ω时所需的时间．
解：根据转动定律： J d ω / d t = -k ω
∴ t J k
d d -=ωω 两边积分：
?
?-=t
t J k
02
/d d 1
00
ωω
ωω
得 ln2 = kt / J ∴ t ＝(J ln2) / k
5. 某人站在水平转台的中央，与转台一起以恒定的转速n 1转动，他的两手各拿一个质量为
m 的砝码，砝码彼此相距l 1 (每一砝码离转轴2
1l 1),当此人将砝码拉近到距离为l 2时(每一砝
码离转轴为
2
1l 2)，整个系统转速变为n 2．求在此过程中人所作的功．(假定人在收臂过程中
自身对轴的转动惯量的变化可以忽略)
解：(1) 将转台、砝码、人看作一个系统，过程中人作的功W 等于系统动能之增量：
W ＝?E k ＝
2
122102
22
204)2
1(2
14)2
1(21n ml J n ml J π+
-
π+
2
这里的J 0是没有砝码时系统的转动惯量． (2) 过程中无外力矩作用，系统的动量矩守恒： 2π(J 0＋2
12
1ml ) n 1 = 2π (J 0＋
2
22
1ml ) n 2
∴
(
)
()
122
2
212102n n n l n l m J --=
(3) 将J 0代入W 式，得 ()2
22
1212
l l n mn W -π=
6. 一质量均匀分布的圆盘，质量为M ，半径为R ，放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为μ)，圆盘可绕通过其中心O 的竖直固定光滑轴转动．开始时，圆盘静止，一质量为m 的子弹以水平速度v 0垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求
(1) 子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度．
(2) 经过多少时间后，圆盘停止转动．
(圆盘绕通过O 的竖直轴的转动惯量为
2
21MR
，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩)
解：(1) 以子弹和圆盘为系统，在子弹击中圆盘过程中，对轴O 的角动量守恒． m v 0R ＝(2
1MR 2＋mR 2)ω
R m M m ??
? ??+=
210
v ω
(2) 设σ表示圆盘单位面积的质量，可求出圆盘所受水平面的摩擦力矩的大小 为 ?
π?=
R
f
r r g r M
d 2σμ＝(2 / 3)πμσgR 3
＝(2 / 3)μMgR
设经过?t 时间圆盘停止转动，则按角动量定理有 －M f ?t ＝0－J ω＝－(2
1MR 2＋mR 2)ω＝- m v 0R
∴ ()Mg
m MgR
R
m M
R m t f
μμ2v 33/2v v 000==
=
?
7.一匀质细棒长为2L ，质量为m ，以与棒长方向相垂直的速度v 0在光滑水平面内平动时，与前方一固定的光滑支点O 发生完全非弹性碰撞．碰撞点位于棒中心的一侧
L 2
1处，如图所示．求棒在碰撞后的瞬
时绕O 点转动的角速度ω．(细棒绕通过其端点且与其垂直的轴转动时的转动惯量为
2
3
1ml ，式中的m 和l 分别为棒的质量和长度．)
解：碰撞前瞬时，杆对O 点的角动量为
L m L x x x x L L 02
02/0
02/30
02
1d d v v v v =
=-
?
?
ρρρ
式中ρ为杆的线密度．碰撞后瞬时，杆对O 点的角动量为
ωωω2
2
21272141234331mL L m L m J =
???
???????? ??+??? ??= 因碰撞前后角动量守恒，所以 L m mL 02
2
112/7v =
ω
∴ ω = 6v 0 / (7L)
2
12
1
8. 长为l 的匀质细杆，可绕过杆的一端O 点的水平光滑固定轴转动，开始时静止于竖直位置．紧挨O 点悬一单摆，轻质摆线的长度也是l ，摆球质量为m ．若单摆从水平位置由静止开始自由摆下，且摆球与细杆作完全弹性碰撞，碰撞后摆球正好静止．求： (1) 细杆的质量．
(2) 细杆摆起的最大角度θ．
解：(1) 设摆球与细杆碰撞时速度为v 0，碰后细杆角速度为ω，系统角动量守恒 得： J ω = m v 0l
由于是弹性碰撞，所以单摆的动能变为细杆的转动动能 2
2
02
12
1ωJ m =
v
代入J ＝
2
3
1Ml ，由上述两式可得 M ＝3m
(2) 由机械能守恒式
m g l m =2
02
1v 及
()θω
c o s 12
12
12
-=M g l J
并利用(1) 中所求得的关系可得 3
1
a r c c o s =θ
四 研讨题
1. 计算一个刚体对某转轴的转动惯量时，一般能不能认为它的质量集中于其质心，成为一
质点，然后计算这个质点对该轴的转动惯量？为什么？举例说明你的结论。
参考解答： 不能．
因为刚体的转动惯量∑?i i m r 2
与各质量元和它们对转轴的距离有关．如一匀质圆盘对过其中心且垂直盘面轴的转动惯量为
2
2
1mR ，若按质量全部集中于质心计算，则对同一轴
的转动惯量为零．
2. 刚体定轴转动时，它的动能的增量只决定于外力对它做的功而与内力的作用无关。对于非刚体也是这样吗？为什么？
参考解答：
根据动能定理可知，质点系的动能增量不仅决定于外力做的功，还决定于内力做的功。
由于刚体内任意两质量元间的距离固定，或说在运动过程中两质量元的相对位移为零，所以每一对内力做功之和都为零。故刚体定轴转动时，动能的增量就只决定于外力的功而与内力的作用无关了。
非刚体的各质量元间一般都会有相对位移，所以不能保证每一对内力做功之和都为零，故动能的增量不仅决定于外力做的功还决定于内力做的功。
3. 乒乓球运动员在台面上搓动乒乓球，为什么乒乓球能自动返回？
参考解答：
分析：乒乓球（设乒乓球为均质球壳）的运动可分解为球随质心的平动和绕通过质心的轴的转动．乒乓球在台面上滚动时，受到的水平方向的力只有摩擦力．若乒乓球平动的初始速度v c 的方向如图，则摩擦力 F r 的 方向一定向后．摩擦力的作用有二，对质心的运动来说，它使质心平动的速度v c 逐渐减小；对绕质心的转动来说，
它将使转动的角速度ω逐渐变小．
当质心平动的速度v c = 0而角速度ω ≠0 时，乒乓球将返回．因此，要使乒乓球能自动返回，初始速度v c 和初始角速度ω0的大小应满足一定的关系． 解题：由质心运动定理:t
m F c r d d v =-
因mg
F r
μ=, 得
g
c c μ-=0v v (1)
由对通过质心的轴（垂直于屏面）的转动定律βI M =
t
mR RF r d d )
32(
2
ω=-, 得 gt R
μωω
230-
= (2)
由(1),(2)两式可得 R
c c v v --=.02
3ωω, 令 0 0>=ω；c v
可得 R
c 23.0v >
ω
这说明当v c = 0和ω0的大小满足此关系时，乒乓球可自动返回．
第3章 狭义相对论
一、选择题
1(B)，2(C)，3(C)，4(C)，5(B)，6(D)，7(C)，8(D)，9(D)，10(C) 二、填空题
(1). c
(2). 4.33310-8s (3). ?x /v , 2
)/(1)/(c x v v -? (4). c (5). 0.99c (6). 0.99c
(7). 8.89310-8 s (8).
c 32
1
(9). 2/3c =v ，2/3c =
v
(10). 931016 J, 1.531017 J 三、计算题
1. 在K 惯性系中观测到相距?x = 93108
m 的两地点相隔?t =5 s 发生两事件，而在相对于K 系沿x 方向以匀速度运动的K ＇系中发现此两事件恰好发生在同一地点．试求在K ＇系中此两事件的时间间隔．
解：设两系的相对速度为v , 根据洛仑兹变换， 对于两事件，有
2
)
/(1c t x x v v -'
+'=
???
2
2
)
/(1(c x )/c t t v v -'
+'=
???
由题意： 0='?x
可得 ?x = v ?t 及 2
)
/(1c t t v -'
=
??，
由上两式可得 2)/(1c t t v -='??2/122))/()((c x t ??-== 4 s
2.在K 惯性系中，相距?x = 53106 m 的两个地方发生两事件，时间间隔?t = 10-2 s ；而在相对于K 系沿正x 方向匀速运动的K ＇系中观测到这两事件却是同时发生的．试计算在K ＇系中发生这两事件的地点间的距离?x ＇是多少？
解：设两系的相对速度为v ．根据洛仑兹变换， 对于两事件，有
2
)/(1c t x x v v -'
+'=???
2
2
)
/(1(c x )/c t t v v -'
+'
=
???
由题意： 0='?t
可得 x c t ??=)/(2v 及 2)/(1c x x v -='??
由上两式可得 x '?2/1222])/()[(c t c x ??-=2/1222][t c x ??-== 43106 m
3. 一艘宇宙飞船的船身固有长度为L 0 =90 m ，相对于地面以=v 0.8 c (c 为真空中光速)的匀速度在地面观测站的上空飞过．
(1) 观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔是多少？ (2) 宇航员测得船身通过观测站的时间间隔是多少？
解：(1) 观测站测得飞船船身的长度为 =-=2
0)
/(1c L L v 54 m
则 ?t 1 = L /v =2.25310-7
s
(2) 宇航员测得飞船船身的长度为L 0，则
?t 2 = L 0/v =3.75310-7
s
4. 一飞船和慧星相对于地面分别以0.6c 和0.8c 速度相向运动，在地面上观察，5s 后两者将相撞，问在飞船上观察，二者将经历多长时间间隔后相撞？
解：两者相撞的时间间隔Δt = 5s 是运动着的对象—飞船和慧星—发生碰撞的时间间隔，因此是运动时．在飞船上观察的碰撞时间间隔Δt`是以速度v = 0.6c 运动的系统的本征时，根
据时间膨胀公式t ?=
`t ?=?．
5. 在惯性系中，有两个静止质量都是m 0的粒子A 和B ，它们以相同的速率v 相向运动，碰撞后合成为一个粒子，求这个粒子的静止质量M 0．
解：设粒子Ａ的速度为A v ，粒子Ｂ的速度为B v
，合成粒子的运动速度为V ．由动量守恒得
2
2
02
202
20/1/1/1c
V
V
M c m c m B
B
A
A
-=
-+
- v v v v
因1v v v ==B
A ，且
B A v v
-=，所以 0=V ．
即合成粒子是静止的．由能量守恒得
2
02
2
2
02
22
0/1/1c M c
c
m c c
m =-+
-v v
解出 2
2
/12c
m M
v -=
6. 两个质点A 和B ，静止质量均为m 0．质点A 静止，质点B 的动能为6m 0c 2
．设A 、B 两质点相撞并结合成为一个复合质点．求复合质点的静止质量．
解：设复合质点静止质量为M 0，运动时质量为M ．由能量守恒定律可得 2
202
mc c m Mc +=
其中mc 2为相撞前质点B 的能量．
2
02
02
0276c m c
m c m mc
=+=
故 08m M = 设质点B 的动量为p B ，复合质点的动量为p ．由动量守恒定律 B p p =
利用动量与能量关系，对于质点B 可得
4
2042420224c qm c m c m c p B ==+
对于复合质点可得 4
20424202264c m c M c M c P ==+ 由此可求得 2
0202020
164864m m m M
=-=
004m M =
四 研讨题
1. 相对论的时间和空间概念与牛顿力学的有何不同？有何联系？
参考解答：
牛顿力学时空观的基本观点是，长度和时间的测量与运动（或说与参考系）无关；而相对论时空观的基本观点是，长度和时间的测量不仅与运动有关，还与物质分布有关。
牛顿力学时空概念是相对论时空观在低速（即运动速度远远小于光速）时的近似。 牛顿力学时空观的基本原理是力学相对性原理，由力学基本原理得到的两个惯性系的运动量间的关系是伽利略变换
.,
,
,
t t z z y y t x x ='='='-='v
狭义相对论时空观的基本原理是相对论的相对性原理和光速不变原理，而相应运动量之间的变换是洛仑兹变换
.1,
,
,
12
22
2
2c
x
c
t t z z y y c
t x x v v v v -
-
=
'='='-
-=
'
比较上述两个变换式可知，在低速时，即c << v 时，洛仑兹变换式就会过渡到伽利略变换式。
2. 同时的相对性是什么意思？为什么会有这种相对性？如果光速是无限大，是否还会有同时性的相对性？
参考解答：
同时性的相对性的意思是：在某一惯性系中两地同时发生的两个事件，在相对于此惯性系匀速运动的另一惯性系中观测，并不是同时发生的。
这个结论与光速不变原理紧密相联。
设相对运动的惯性系是)(x0y S 和)(y 0x S ''''，坐标系和相对运动如图所示，坐标原点0和0'重合时设为0='=t t 。 由洛仑兹变换，两事件的时空坐标关系为
2
22
1c
x
c
t t v v -
?-
?='?
如果在S 系中两事件同时发生，即0=?t ，那么在S '系中两事件的时间间隔
2
22
1c
x c
t v v -
?-=
'?
与两事件在S 系中发生的空间间隔x ?有关。当0≠?x 时，0≠'?t 。即两事件在S '系中不同时发生。
如果光速是无限大，也就是研究的对象均属于低速情况，那必然是牛顿力学的情况。即洛仑兹变换中的
.0,
02
2
2==c
c
v v
则 t t ?='?，就不再有同时的相对性。
3. 在某一参考系中同一地点、同一时刻发生的两个事件，在任何其他参考系中观察观测都将是同时发生的，对吗？这里的参考系均指惯性系。
参考解答： 对的。
如果S 系和S '系是相对于运动的两个惯性系。设在S '系中同一地点、同一时刻发生了
两个事件，即0,01212
='-'='?='-'='?t t t x x x . 将上述已知条件代入下面的洛仑兹坐标变换式中
2
2122
121)(c
x x c
t t t t v v -
'-'+
'?=
-=?
则可得 012=-=?t t t ，说明在S 系中也是同时发生的。
这就是说，在同一地点，同一时刻发生的两个事件，在任何其他参考系中观察观测也必然是同时发生。
4. 静长L 0的火车以匀速v 行驶时，甲是地面上的观测者，相对于地面静止；乙是火车上的观测者，相对于火车静止. 甲观测到的长度220/1c L L v -=< L 0 ，即火车的动长小于静长，这就是甲所观测到的长度收缩. 试从另一个角度来看长度收缩问题,即被测量者如何看待别人的测量,并讨论产生不同看法的原因.
参考解答：
当火车以匀速v 行驶时,甲是地面上的观测者,相对于地面静止;乙是火车上的观测者,相对于火车静止. 以地面为S 系,沿火车速度方向取x 轴;以火车为S′系,沿火车速度方向取x′ 轴.甲是这样测量运动中的火车长度的：在S 系的同一时刻（t 2 = t 1）,在地面划下火车前端A 的位置x 2和后端B 的位置x 1 (如图1所示),然后测量x 2和x 1之间的距离L , 这就是甲测出的运动中的火车长度,即
)1(1
2-----=x x L
对乙来说,火车是静止的,火车前端A 的位置x′2和后端B 的位置x′1之间的距离就是火车的静长
L 0 ,即 )2(12
0----'-'=x x L
且 )3(12
20-----
=c
L L v
因v < c ,故由式(3)得出L < L 0 , 即火车的动长小于静长，这就是甲所观测到的长度收缩。
乙是如何看待上述甲的测量呢? 乙观测到, 甲在t′2时刻在地面上划下火车前端A 的位置x 2 , 在t′1时刻在地面上划下火车后端B 的位置x 1,由洛伦兹变换
??
????
--=
'x t c
t 2c v v 2
2
/11 有 ??
????----='-')()(/1112122
2
12
x x t t c
t t 2c v v
)3(0
/102
2
2
2
12
----<-
=--='-'L c
L c
/c
t t v v v
这个结果表明：t′2在先，t′1在后.也就是说,在乙看来,甲并不是同时划下火车前后端的位置
的,而是先( t′2时刻) 划下火车前端A 的位置x 2 ,后( t′1时刻) 划下火车后端B 的位置x 1, 如图2所示.所以,乙认为,甲少测了一段长度,这段长度为
)4()(21
----'-'=?t t L v
将式(3)代入式(4)得
)5(0
2
2----=
?L c
L v
因此,乙认为,甲所测量的不是火车的长度, 而是比 火车短ΔL 的某一长度：
)6(0*
----?-=L
L L
将式(5)代入式(6)得
02
2
*
1L c L ???
?
?
?-=v
乙还观测到,地面上沿火车进行方向的尺缩短了,缩短的因子为22/1c v -, 于是乙推知, 甲所观测到的火车长度应为
02
22
2*
11L c
c
L
v v -
=-
这正是甲测得的结果. 由以上的分析可见,在S 系看来,甲的观测是正确的,火车的长度收缩是真实的. 在S′系看来,火车的长度是L 0 ,并没有收缩, 而是甲的观测方法有问题(先测前端, 后测后端), 甲少测了一段长度ΔL ,加上甲的尺缩短了,两种因素合在一起,使甲得出火车长度收缩的结论.
第4章 振动
一、选择题
1(C)，2(B)，3(B)，4(C)，5(C)，6(D)，7(B)，8(D)，9(B)，10(C) 二、填空题
(1). π、- π /2分、π/3． (2). k m /22π、k m 2/2π (3). )2
1cos(04.0π+π=t x
(4). )2
14cos(04.0π-πt
(5). )2
12/5cos(1022π-?=-t x
(6). 0.05 m ，-0.205π（或-36.9°） (7). 3/4，g l /2?π
(8). 291 Hz 或309 Hz
(9). 1310-2
m ，π/6
(10). t πcos 06.0，)2
1cos(03.0π-
πt 或 )2
3cos(03.0ππ+
t
三、计算题
1．在一轻弹簧下端悬挂m 0 = 100 g 砝码时，弹簧伸长8 cm ．现在这根弹簧下端悬挂m = 250 g 的物体，构成弹簧振子．将物体从平衡位置向下拉动4 cm ，并给以向上的21 cm/s 的初速度（令这时t = 0）．选x 轴向下, 求振动方程的数值式．
解： k = m 0g / ?l 25.12N/m 08
.08.91.0=?=
N/m
第11章 稳恒磁场 习 题 一 选择题 11-1 边长为l 的正方形线圈，分别用图11-1中所示的两种方式通以电流I （其中ab 、cd 与正方形共面），在这两种情况下，线圈在其中心产生的磁感应强度的大小分别为：[ ] （A ）10B =，20B = （B ）10B = ，02I B l π= （C ）01I B l π= ，20B = （D ）01I B l π= ，02I B l π= 答案：C 解析：有限长直导线在空间激发的磁感应强度大小为012(cos cos )4I B d μθθπ= -，并结合右手螺旋定则判断磁感应强度方向，按照磁场的叠加原理，可计 算 01I B l π= ，20B =。故正确答案为（C ）。 11-2 两个载有相等电流I 的半径为R 的圆线圈一个处于水平位置，一个处于竖直位置，两个线圈的圆心重合，如图11-2所示，则在圆心O 处的磁感应强度大小为多少? [ ] （A ）0 （B ）R I 2/0μ （C ）R I 2/20μ （D ）R I /0μ 答案：C 解析：圆线圈在圆心处的磁感应强度大小为120/2B B I R μ==，按照右手螺旋定 习题11-1图 习题11-2图
则判断知1B 和2B 的方向相互垂直，依照磁场的矢量叠加原理，计算可得圆心O 处的磁感应强度大小为0/2B I R =。 11-3 如图11-3所示，在均匀磁场B 中，有一个半径为R 的半球面S ，S 边线所在平面的单位法线矢量n 与磁感应强度B 的夹角为α，则通过该半球面的磁通量的大小为[ ] （A ）B R 2π （B ）B R 22π （C ）2cos R B πα （D ）2sin R B πα 答案：C 解析：通过半球面的磁感应线线必通过底面，因此2cos m B S R B παΦ=?= 。故正 确答案为（C ）。 11-4 如图11-4所示，在无限长载流直导线附近作一球形闭合曲面S ，当曲面S 向长直导线靠近时，穿过曲面S 的磁通量Φ B 将如何变化？[ ] （ A ）Φ增大， B 也增大 （B ）Φ不变，B 也不变 （ C ）Φ增大，B 不变 （ D ）Φ不变，B 增大 答案：D 解析：根据磁场的高斯定理0S BdS Φ==? ，通过闭合曲面S 的磁感应强度始终为0，保持不变。无限长载流直导线在空间中激发的磁感应强度大小为02I B d μπ= ，曲面S 靠近长直导线时，距离d 减小，从而B 增大。故正确答案为（D ）。 11-5下列说法正确的是[ ] (A) 闭合回路上各点磁感应强度都为零时，回路内一定没有电流穿过 (B) 闭合回路上各点磁感应强度都为零时，回路内穿过电流的代数和必定为零 (C) 磁感应强度沿闭合回路的积分为零时，回路上各点的磁感应强度必定为零 (D) 磁感应强度沿闭合回路的积分不为零时，回路上任意一点的磁感应强度 I 习题11-4图 习题11-3图
大学物理练习册习题答案
练习一 （第一章 质点运动学） 一、1.（0586）（D ）2.（0587）（C ）3.（0015）（D ）4.（0519）（B ） 5.（0602）（D ） 二、1.（0002）A ｔ= 1.19 s ｔ= 0.67 s 2.（0008）8 m 10 m 3.（0255）() []t t A t ωβωωωβ βsin 2cos e 22 +--，()ωπ/122 1+n ， （n = 0, 1, 2,…） 4.（0588） 30/3 Ct +v 4 00112 x t Ct ++ v 5.（0590） 5m/s 17m/s 三、 1.（0004）解：设质点在x 处的速度为v ， 2 d d d 26 d d d x a x t x t ==?=+v v ()2 d 26d x x x =+??v v v () 2 2 1 3 x x +=v 2.（0265）解：（1） /0.5 m/s x t ??==-v （2） 2 =/96dx dt t t =- v （3） 2= 6 m/s -v |(1.5)(1)||(2)(1.5)| 2.25 m S x x x x =-+-= 3.（0266）解：（1） j t r i t r j y i x r ????? sin cos ωω+=+=
（2） d sin cos d r r t i r t j t ωωωω==-+v v v v v 22 d cos sin d a r t i r t j t ωωωω==--v v v v v （3） ()r j t r i t r a ???? sin cos 22 ωωωω-=+-= 这说明 a ?与 r ? 方向相反，即a ?指向圆心. 4. 解：根据题意t=0，v=0 --------==?+?∴=?+?=====?+?=+?+?? ??? ??由于及初始件v t t r t t r dv adt m s i m s j dt v m s ti m s tj dr v t r m i dt dr vdt m s ti m s tj dt r m m s t m s t j 0 220 220 220 2222[(6)(4)] (6)(4)0,(10)[(6)(4)][10(3)][(2)] 质点运动方程的分量式： --=+?=?x m m s t y m s t 2 2 22 10(3)(2) 消去参数t ，得到运动轨迹方程 =-y x 3220 练习二（第一章 质点运动学） 一、1.（0604）（C ） 2.（5382）（D ） 3.（5627）（B ） 4.（0001）（D ） 5.（5002）（A ） 二、1.（0009） 0 bt +v 2. （0262） －c （b －ct ）2/R
大学物理（下）练习册答案 包括（波动、电磁、光的干涉、光的偏振、光的衍射、振动） 波动 选择： 1B, 2A, 3D, 4D, 5D, 6D, 7C, 8A, 9C, 10D 二，填空： 1， t x y ππ?=-20cos )2 1 cos(10 0.122 (SI) 2分 )12(+=n x m ， 即 x = 1 m ，3 m ，5 m ，7 m ，9 m 2分 n x 2= m ，即 x = 0 m ，2 m ，4 m ，6 m ，8 m ，10 m 1分 2， φλ+π-/2L 1分 λk L ± ( k = 1，2，3，…) 2分 λ)12(1+±k L ( k = 0, 1，2，…) 2分 3， 答案见图 3分 4， 17 m 到1.7×10-2 m 3分 5， λ2 1 3分 一， 计算 1， 解：(1) 原点O 处质元的振动方程为 )21 21cos(10 22 π-π?=-t y ， (SI) 2分 波的表达式为 )2 1)5/(21c o s (1022 π--π?=-x t y ， (SI) 2分 x = 25 m 处质元的振动方程为 )32 1 cos(10 22 π-π?=-t y ， (SI) 振动曲线见图 (a) 2分 (2) t = 3 s 时的波形曲线方程 )10/cos(1022 x y π-π?=-， (SI) 2分
波形曲线见图 2分 2， 解：(1) 与波动的标准表达式 )/(2cos λνx t A y -π= 对比可得： ν = 4 Hz ， λ = 1.50 m ， 各1分 波速 u = λν = 6.00 m/s 1分 (2) 节点位置 )21 (3/4π+π±=πn x )2 1 (3+±=n x m , n = 0，1，2，3, … 3分 (3) 波腹位置 π±=πn x 3/4 4/3n x ±= m , n = 0，1，2，3, … 2分 3， 解：(1) )1024cos(1.0x t y π-π=)20 1(4cos 1.0x t -π= (SI) 3分 (2) t 1 = T /4 = (1 /8) s ，x 1 = λ /4 = (10 /4) m 处质点的位移 )80/4/(4cos 1.01λ-π=T y m 1.0)8 18/1(4cos 1.0=-π= 2分 (3) 振速 )20/(4sin 4.0x t t y -ππ-=??=v ． )4/1(2 1 2== T t s ，在 x 1 = λ /4 = (10 /4) m 处质点的振速 26.1)2 1 sin(4.02-=π-ππ-=v m/s 3分 电磁 §3.1 静止电荷的电场 一， 选择题： t (s) O -2×10-2 1y (m) 234(a) 2×
习题八 8-1 电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解: 如题8-1图示 (1) 以A处点电荷为研究对象，由力平衡知：q'为负电荷 2 2 2 0) 3 3 ( π4 1 30 cos π4 1 2 a q q a q' = ? ε ε 解得q q 3 3 - =' (2)与三角形边长无关． 题8-1图题8-2图 8-7 一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ,求环心处O点的场强． 解: 如8-7图在圆上取? Rd dl= 题8-7图 ? λ λd d d R l q= =，它在O点产生场强大小为
2 0π4d d R R E ε? λ= 方向沿半径向外 则 ??ελ ?d sin π4sin d d 0R E E x = = ??ελ ?πd cos π4)cos(d d 0R E E y -= -= 积分R R E x 000 π2d sin π4ελ ??ελπ == ? 0d cos π400 =-=? ??ελ π R E y ∴ R E E x 0π2ελ = =，方向沿x 轴正向． 8-11 半径为1R 和2R (2R ＞1R )的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量λ和-λ,试求:(1)r ＜1R ；(2) 1R ＜r ＜2R ；(3) r ＞2R 处各点的场强． 解: 高斯定理0 d ε∑? = ?q S E s 取同轴圆柱形高斯面，侧面积rl S π2= 则 rl E S E S π2d =?? 对(1) 1R r < 0,0==∑E q (2) 21R r R << λl q =∑ ∴ r E 0π2ελ = 沿径向向外
练习册答案
练习一 1．j i 6+，j i 26+，j 24 2．3/2)2/3(k s ，2/121-kt ，2/303 2 kt x x += 3．[2] 4．[3] 5．（1）由???-==2 2192t y t x 得)0(21192 ≥-=x x y ，此乃轨道方程 （2）j i r 1142+=，j i r 1721+=，∴j i v 62-=，s m v /33.6= （3）i t i dt r d v 42-==，j dt v d a 4-== ∴ s t 2=时，j i v 82-=，j a 4-= （4）由v r ⊥，有0=?v r ∴? ??==?=--s t t t t t 300)219(442或 当0=t 时???==190y x 当s t 3=时? ??==16 y x 6．（1）a dt dv = 2/1kv dt dv -=∴ 有 ? ? -=-?-= -v v t kt v v kdt dv v 2 /10 2/12 /122 当0=v 时，有k v t 02= （2）由（1）有2 021??? ? ? -=kt v v k v kt v k vdt x t k v 3221322 /30 00 /2300=? ? ? ??--==?? 练习二 1． 2 220 2t g v t g +， 2 220 0t g v g v + 2．2/8.4s m 2/4.230s m r a d 15.3 3．[2] 4．[3]
5．由约束方程 222h x l += 有：dt dx x dt dl l 22= 即：xv lv 220=-……（1） ∴02 20v x x h v x l v +- =-= 对（1）两边求导，有： dt dv x dt dx v dt dl v +=-0 203222 0v x h x v v dt dv a -=-==∴ 6．（1）s rad R v /25==ω （2）22/8.392s rad ==θωβ （3）s t 628.02==ω θ 练习三 1．k g m 222 2．J 882 3．[1] 4．[4] 5．（1）2 202 08 321221mv mv v m E W k f -=-??? ??=?= （2）r mg W f πμ2?-= rg v πμ163 2 =∴ （3）3 4 ) 2 1 0(2 0= ?-=k E mv N （圈） 6．先用隔离体法画出物体的受力图 建立坐标，根据ma F =的分量式 x x ma f =∑ y y ma f =∑有 x ma f F =-μθcos 0sin =-+Mg F N θ 依题意有0≥x a ，N f μμ= θμθμsin cos +≥ Mg F 令 0)sin (cos =+θμθθ d d ?=∴21.8 θ 4.36≥F
大学物理练习三 一．选择题 1．一力学系统由两个质点组成，它们之间只有引力作用。若两质点所受外力的矢量和为零，则此系统 [ ] (A) 动量、机械能以及对一轴的角动量都守恒。 (B) 动量、机械能守恒，但角动量是否守恒不能断定。 (C) 动量守恒，但机械能和角动量守恒与否不能断定。 (D) 动量和角动量守恒，但机械能是否守恒不能断定。 解：[ C ] 按守恒条件： ∑=0i F 动量守恒， 但∑≠0i M 角动量不守恒， 机械能不能断定是否守恒。 2．如图所示，有一个小物体，置于一个光滑的水平桌面上，有一绳其一端连结此物体，另一端穿过桌面中心的小孔，该物体原以角速度ω在距孔为R 的圆周上转动，今将绳从小孔往下拉。则物体 [ ] (A)动能不变，动量改变。 (B)动量不变，动能改变。 (C)角动量不变，动量不变。 (D)角动量改变，动量改变。 (E)角动量不变，动能、动量都改变。 解：[ E ] 因对 o 点，合外力矩为0，角动量守恒 3．有两个半径相同，质量相等的细圆环A 和B 。A 环的质量分布均匀，B 环的质量分布不均匀。它们对通过环心并与环面垂直的轴的转动惯量分别为J A 和J B ，则 [ ] O R
(A)A J >B J (B) A J < B J (C) A J =B J (D) 不能确定A J 、B J 哪个大。 解：[ C ] 细圆环的转动惯量与质量是否均匀分布无关 ?==220mR dmR J 4．光滑的水平桌面上，有一长为2L 、质量为m 的匀质细杆，可绕过其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴O 自由转动，其 转动惯量为3 1m L 2 ，起初杆静止。桌面上有两个质量均为m 的小球，各自在垂直于杆的方向上，正对着杆的一端，以相同的速率v 相向运动，如图所示。当两小球同时与杆的两个端点发生完全非弹性碰撞后与杆粘在一起转动，则这一系统碰撞后的转动角速度为 [ ] (A) L v 32. (B) L v 54 (C)L v 76 (D) L v 98 解：[ C ] 角动量守恒 二．填空题 1．绕定轴转动的飞轮均匀地减速，t = 0时角速度ω0 =5 rad/s ，t = 20s 时角速 度ω=ω0，则飞轮的角加速度β= ，t=0到t=100s 时间内飞轮 所转过的角度θ= 。 解：因均匀减速，可用t βωω=-0 ， O v 俯视图
大学物理下练习题 一、选择题（每题1分，共41分） 1．关于电场强度定义式E = F /q 0，下列说法中哪个是正确的？（B ） (A) 场强E 的大小与试验电荷q 0的大小成反比； (B) 对场中某点，试验电荷受力F 与q 0的比值不因q 0而变； (C) 试验电荷受力F 的方向就是场强E 的方向； (D) 若场中某点不放试验电荷q 0，则F = 0，从而E = 0. 2．下列几个说法中哪一个是正确的？（C ） （A ）电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向。 （B ）在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相同。 （C ）场强方向可由 E =F /q 定出，其中 q 为试验电荷的电量，q 可正、可负，F 为试验电荷所受的电场力。 ( D )以上说法都不正确。 3．图1.1所示为一沿x 轴放置的“无限长”分段均匀带电直线,电荷线密度分别为+λ ( x < 0)和-λ ( x > 0)，则xOy 平面上(0, a )点处的场强为: （A ） (A ) i a 02πελ . (B) 0. (C) i a 04πελ . (D) )(40j +i a πελ . 4. 边长为a 的正方形的四个顶点上放置如图1.2所示的点电荷,则中心O 处场强（C ） (A) 大小为零. (B) 大小为q/(2πε0a 2), 方向沿x 轴正向. (C) 大小为() 2022a q πε, 方向沿y 轴正向. (D) 大小为()2 022a q πε, 方向沿y 轴负向. 5. 如图1.3所示.有一电场强度E 平行于x 轴正向的均匀电场，则通过图中一半径为R 的半球面的电场强度通量为（D ） (A) πR 2E . (B) πR 2E /2 . (C) 2πR 2E . (D) 0 . 6. 下列关于高斯定理理解的说法中，正确的是：（B ） （Ａ）当高斯面内电荷代数和为零时，高斯面上任意点的电场强度都等于零 +λ -λ ? (0, a ) x y O 图 1.1 图1.2 图1.3
习题及参考答案 第3章 刚体力学 参考答案 思考题 3-1刚体角动量守恒的充分而必要的条件是 （A ）刚体不受外力矩的作用。 （B ）刚体所受合外力矩为零。 (C)刚体所受的合外力和合外力矩均为零。 (D)刚体的转动惯量和角速度均保持不变。 答：（B ）。 3-2如图所示，A 、B 为两个相同的绕着轻 绳的定滑轮。A 滑轮挂一质量为M 的物体， B 滑轮受拉力F ，而且F =Mg 。设A 、B 两 滑轮的角加速度分别为βA 和βB ，不计滑轮 轴的摩擦，则有 （A ）βA = βB （B ）βA > βB （C ）βA < βB （D ）开始时βA = βB ，以后βA < βB 答：（C ）。 3-3关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是 （A ）只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位置无关。 (B)取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关。 （C ）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置。 (D)只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无 答：（C ）。 3-4一水平圆盘可绕通过其中心的固定铅直轴转动，盘上站着一个人，初始时整个系统处于静止状态，当此人在盘上随意走动时，若忽略轴的摩擦，则此系统 (A)动量守恒； (B)机械能守恒； (C)对转轴的角动量守恒； (D)动量、机械能和角动量都守恒； (E)动量、机械能和角动量都不守恒。 答：（C ）。 3-5光滑的水平桌面上，有一长为2L 、质量为m 的匀质细杆，可绕过其中点o 且垂直于 杆的竖直光滑固定轴自由转动，其转动惯量为2 13mL ， 起初杆静止，桌面上有两个质量均为m 的小球，各自在 垂直于杆的方向上，正对着杆的一端，以相同速率v 相向 运动，如图所示，当两小球同时与杆的两个端点发生完全 非弹性碰撞后，就与杆粘在一起转动，则这一系统碰撞后的转动角速度应为 A M F 思考题3-2图 v 思考题3-5图
大学物理学下册 吴柳 第12章 12.1 一个封闭的立方体形的容器,内部空间被一导热的、不漏气的、可移动的隔板分为两部分,开始其内为真空,隔板位于容器的正中间(即隔板两侧的长度都为l 0),如图12-30所示.当两侧各充以p 1,T 1与 p 2,T 2的相同气体后, 长度之比是多少)? 解: 活塞两侧气体的始末状态满足各自的理想气体状态方程 左侧: T pV T V p 111= 得, T pT V p V 1 11= 右侧: T pV T V p 222= 得, T pT V p V 2 22= 122121T p T p V V = 即隔板两侧的长度之比 1 22121T p T p l l = 12.2 已知容器内有某种理想气体,其温度和压强分别为T =273K,p =1.0×10-2 atm ,密度32kg/m 1024.1-?=ρ.求该气体的摩尔质量. 解: nkT p = (1) nm =ρ (2) A mN M = (3) 由以上三式联立得: 1235 2232028.010022.610 013.1100.12731038.11024.1----?=?????????==mol kg N p kT M A ρ 12.3 可用下述方法测定气体的摩尔质量:容积为V 的容器内装满被试验的气体,测出其压力为p 1,温度为T ,并测出容器连同气体的质量为M 1,然后除去一部分气体,使其压力降为p 2,温度不变,容器连同气体的质量为M 2,试求该气体的摩尔质量. 解： () V V -2 2p T )(21M M - V 1p T 1M V 2p T 2M 221V p V p = (1) ( )()RT M M M V V p 21 22-=- (2)
大学物理练习册答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第十章 练习一 一、选择题 1、下列四种运动（忽略阻力）中哪一种是简谐振动？（ ） (A)小球在地面上作完全弹性的上下跳动 (B)细线悬挂一小球在竖直平面上作大角度的来回摆动 (C)浮在水里的一均匀矩形木块，将它部分按入水中，然后松开，使木块上下浮动 (D)浮在水里的一均匀球形木块，将它部分按入水中，然后松开，使木块上下浮动 2、质点作简谐振动，距平衡位置2.0cm 时，加速度a=4.0cm/s 2,则该质点从一端运动到另一端的时间为（ ） (A)1.2s (B)2.4s (C)2.2s (D)4.4s 3、如图下所示，以向右为正方向，用向左的力压缩一弹簧，然后松手任其振动，若从松手时开始计时，则该弹簧振子的初相位为（ ） (A) 0 (B) 2π (C) 2 π- (D) π 4、一质量为m 的物体与一个劲度系数为k 的轻弹簧组成弹簧振子，当其振幅 为A 时，该弹簧振子的总能量为E 。若将其弹簧分割成两等份，将两根弹簧并联组成新的弹簧振子，则新弹簧振子的振幅为多少时，其总能量与原先弹簧振子的总能量E 相等（ ） (A) 2A (B) 4A (C)2 A (D)A 二、填空题 1、已知简谐振动A x =)cos(0?ω+t 的周期为T ，在2 T t = 时的质点速度为 ，加速度为 。 2、已知月球上的重力加速度是地球的1/6，若一个单摆(只考虑小角度摆动)在地球上的振动周期为T ，将该单摆拿到月球上去，其振动周期应为 。 3、一质点作简谐振动，在同一周期内相继通过相距为11cm 的A,B 两点，历时2秒，速度大小与方向均相同，再经过2秒，从另一方向以相同速率反向通过B 点。 该振动的振幅为 ，周期为 。
狭义相对论基础（二）第十六页 1．电子的静止质量M0=9.1×10–31kg，经电场加速后具有 0.25兆电子伏特的动能，则电子速率V与真空中光速 C之比是：（C ） [ E k=mC2－m0C2, m=m0/(1－V2/C2)1/2 1兆=106, 1电子伏=1.6×10–19焦耳] (A) 0.1 ( B) 0.5 (C) 0.74(D) 0.85 2．静止质量均为m0的两个粒子，在实验室参照系中以相同大小的速度V=0.6C相向运动（C为真空中光速）， 碰撞后粘合为一静止的复合粒子,则复合粒子的静止 质量M0等于：（B ） [ 能量守恒E=M0C2=2mC2 =2m0C2/(1－V2/C2)1/2 ] ( A) 2m0(B) 2.5m0(C) 3.3m0(D) 4m0 3．已知粒子的动能为E K,动量为P，则粒子的静止能量（A ）(由 E = E K+E0和E2=E02 + C2P2 )（A）（P2C2－E K2）/（2E K）（B）（P2C2+E K2）/（2E K）（C）(PC－E K )2/(2E K) (D) (PC+E K )2/(2E K) 4．相对论中的质量与能量的关系是：E=mC2；把一个静止质量为M0的粒子从静止加速到V=0.6C时，需作功 A=(1/4)M0C2 A=MC2－M0C2 = γM0C2－M0C2=(γ－1)M0C2 5．某一观察者测得电子的质量为其静止质量的2倍，求
电子相对于观察者运动的速度V =0.87C [ m=m 0/(1－V 2/C 2)1/2, m=2m 0 , 则1－V 2/C 2=1/4 ] 6． 当粒子的速率由0.6C 增加到0.8C 时，末动量与初动 量之比是P 2：P 1=16:9，末动能与初动能之比是 E K2：E K1=8:3 V 1=0.6C,γ1=1/2211C V -=5/4, m 1=γ1m 0=5m 0/4 P 1=m 1V 1=3m 0C/4, V 2=0.8C 时, γ2=1/222/1C V -=5/3 m 2=γ2m 0=5m 0/3,P 2=m 2V 2=4m 0 C/3,∴P 2：P 1=16:9 E K1=m 1C 2－m 0C 2, E K2=m 2C 2－m 0C 2 ∴E K2：E K1=8:3 7． 在惯性系中测得相对论粒子动量的三个分量为：P x=P y = 2.0×10-21kgm/s, P z =1.0×10-21kgm/s ，总能量 E=9.4×106ev ，则该粒子的速度为V=0.6C [E=mC 2 P=mV P=(P x 2+P y 2 +P z 2 )1/2 ] 8． 试证：一粒子的相对论动量可写成 P=(2E 0E K +E 2K )1/2/C 式中E 0(=m 0C 2)和E K 各为粒子的静能量和动能。 证:E=E 0+E k ?E 2=E 20+P 2C 2 ? (E 0+E k )2= E 20+P 2C 2 ? P=(2E 0E K +E 2K )1/2/C 9．在北京正负电子对撞机中，电子可以被加速到动能为E K =2.8×109ev 这种电子的速率比光速差多少米/秒？这样的一个电子的动量多大？（已知电子的静止质量
习题9 9.1选择题 (1)正方形的两对角线处各放置电荷Q，另两对角线各放置电荷q，若Q所受到合力为零， 则Q与q的关系为：（） （A）Q=-23/2q (B) Q=23/2q (C) Q=-2q (D) Q=2q [答案：A] (2)下面说法正确的是：（） （A）若高斯面上的电场强度处处为零，则该面内必定没有净电荷； （B）若高斯面内没有电荷，则该面上的电场强度必定处处为零； （C）若高斯面上的电场强度处处不为零，则该面内必定有电荷； （D）若高斯面内有电荷，则该面上的电场强度必定处处不为零。 [答案：A] (3)一半径为R的导体球表面的面点荷密度为σ，则在距球面R处的电场强度（） （A）σ/ε0 （B）σ/2ε0 （C）σ/4ε0 （D）σ/8ε0 [答案：C] (4)在电场中的导体内部的（） （A）电场和电势均为零；（B）电场不为零，电势均为零； （C）电势和表面电势相等；（D）电势低于表面电势。 [答案：C] 9.2填空题 (1)在静电场中，电势梯度不变的区域，电场强度必定为。 [答案：零] (2)一个点电荷q放在立方体中心，则穿过某一表面的电通量为，若将点电荷由中 心向外移动至无限远，则总通量将。 [答案：q/6ε0, 将为零] (3)电介质在电容器中作用（a）——（b）——。 [答案：(a)提高电容器的容量;(b) 延长电容器的使用寿命] (4)电量Q均匀分布在半径为R的球体内，则球内球外的静电能之比。 [答案：1：5] 9.3 电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解: 如题9.3图示 (1) 以A处点电荷为研究对象，由力平衡知：q 为负电荷
大学物理C（上、下）练习册 ?质点动力学 ?刚体定轴转动 ?静电场电场强度 ?电势静电场中的导体 ?稳恒磁场 ?电磁感应 ?波动、振动 ?光的干涉 ?光的衍射 注：本习题详细答案，结课后由老师发放
一、质点动力学 一、选择题 1. 以下几种运动形式中，加速度a 保持不变的运动是： （A ）单摆的运动； （B ）匀速率圆周运动； （C ）行星的椭圆轨道运动； （D ）抛体运动 。 ［ ］ 2. 质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动，每T 秒转一圈．在2T 时间间 隔中，其平均速度大小与平均速率大小分别为 (A) 2?R /T , 2?R/T ． (B) 0 , 2?R /T (C) 0 , 0． (D) 2?R /T , 0. ［ ］ 3. 质点作曲线运动，r 表示位置矢量，v 表示速度，a 表示加速度，S 表 示路程，a 表示切向加速度，下列表达式中， (1) a t d /d v ， (2) v t r d /d ， (3) v t S d /d ， (4) t a t d /d v ． (A) 只有(1)、(4)是对的． (B) 只有(2)、(4)是对的． (C) 只有(2)是对的． (D) 只有(3)是对的． ［ ］ 4. 一运动质点在某瞬时位于矢径r 的端点处，其速度大小的表达式为 (A )t d dr ； （B ）dt r d ； （C ）dt r d || ； （D ）222dt dz dt dy dt dx ［ ］ 5. 质点作半径为R 的变速圆周运动时的加速度大小为(v 表示任一时刻质 点的速率) (A) t d d v ． (B)2V R ． (C) R t 2d d v v ． (D) 2/1242d d R t v v ． ［ ］ 6. 质量为m 的质点，以不变速率v 沿图中正三角形ABC 的水平光滑轨道
第9章 静电场 习 题 一 选择题 9-1 两个带有电量为2q 等量异号电荷，形状相同的金属小球A 和B 相互作用力为f ，它们之间的距离R 远大于小球本身的直径，现在用一个带有绝缘柄的原来不带电的相同的金属小球C 去和小球A 接触，再和B 接触，然后移去，则球A 和球B 之间的作用力变为[ ] (A) 4f (B) 8f (C) 38f (D) 16 f 答案：B 解析：经过碰撞后，球A 、B 带电量为2q ，根据库伦定律12204q q F r πε=，可知球A 、B 间的作用力变为 8 f 。 9-2关于电场强度定义式/F E =0q ，下列说法中哪个是正确的？[ ] (A) 电场场强E 的大小与试验电荷0q 的大小成反比 (B) 对场中某点，试验电荷受力F 与0q 的比值不因0q 而变 (C) 试验电荷受力F 的方向就是电场强度E 的方向 (D) 若场中某点不放试验电荷0q ，则0=F ，从而0=E 答案：B 解析：根据电场强度的定义，E 的大小与试验电荷无关，方向为试验电荷为正电荷时的受力方向。因而正确答案（B ） 9-3 如图9-3所示，任一闭合曲面S 内有一点电荷q ，O 为S 面上任一点，若将q 由闭合曲面内的P 点移到T 点，且 OP =OT ，那么[ ] (A) 穿过S 面的电场强度通量改变，O 点的场强大小不变 (B) 穿过S 面的电场强度通量改变，O 点的场强大小改变 习题9-3图
(C) 穿过S 面的电场强度通量不变，O 点的场强大小改变 (D) 穿过S 面的电场强度通量不变，O 点的场强大小不变 答案：D 解析：根据高斯定理，穿过闭合曲面的电场强度通量正比于面内电荷量的代数和，曲面S 内电荷量没变，因而电场强度通量不变。O 点电场强度大小与所有电荷有关，由点电荷电场强度大小的计算公式2 04q E r πε= ，移动电荷后，由于OP =OT ， 即r 没有变化，q 没有变化，因而电场强度大小不变。因而正确答案（D ） 9-4 在边长为a 的正立方体中心有一个电量为q 的点电荷，则通过该立方体任一面的电场强度通量为 [ ] (A) q /ε0 (B) q /2ε0 (C) q /4ε0 (D) q /6ε0 答案：D 解析：根据电场的高斯定理，通过该立方体的电场强度通量为q /ε0，并且电荷位于正立方体中心，因此通过立方体六个面的电场强度通量大小相等。因而通过该立方体任一面的电场强度通量为q /6ε0，答案（D ） 9-5 在静电场中，高斯定理告诉我们[ ] (A) 高斯面内不包围电荷，则面上各点E 的量值处处为零 (B) 高斯面上各点的E 只与面内电荷有关，但与面内电荷分布无关 (C) 穿过高斯面的E 通量，仅与面内电荷有关，而与面内电荷分布无关 (D) 穿过高斯面的E 通量为零，则面上各点的E 必为零 答案：C 解析：高斯定理表明通过闭合曲面的电场强度通量正比于曲面内部电荷量的代数和，与面内电荷分布无关；电场强度E 为矢量，却与空间中所有电荷大小与分布均有关。故答案（C ） 9-6 两个均匀带电的同心球面，半径分别为R 1、R 2(R 1 大学物理学练习册参考答案 单元一 质点运动学 四、学生练习 (一）选择题 1.B 2.C 3.B 4.B 5.B (二）填空题 1. 0 0 2.2 192 x y -=， j i ρρ114+， j i ρρ82- 3.16v i j =-+v v v ;14a i j =-+v v v ;4. 0 20 2 11V kt V -；5、16Rt 2 4 6 112M h h h =-v v （三）计算题 1 解答（1）质点在第1s 末的位置为：x (1) = 6×1 2 - 2×1 3 = 4(m)． 在第2s 末的位置为：x (2) = 6×22 - 2×23 = 8(m)． 在第2s 内的位移大小为：Δx = x (2) – x (1) = 4(m)， 经过的时间为Δt = 1s ，所以平均速度大小为：v =Δx /Δt = 4(m·s -1)． （2）质点的瞬时速度大小为：v (t ) = d x /d t = 12t - 6t 2， 因此v (1) = 12×1 - 6×12 = 6(m·s -1)， v (2) = 12×2 - 6×22 = 0 质点在第2s 内的路程等于其位移的大小，即Δs = Δx = 4m ． （3）质点的瞬时加速度大小为：a (t ) = d v /d t = 12 - 12t ， 因此1s 末的瞬时加速度为：a (1) = 12 - 12×1 = 0， 第2s 内的平均加速度为：a = [v (2) - v (1)]/Δt = [0 – 6]/1 = -6(m·s -2)． 2.解答 1）由t y t x ππ6sin 86cos 5==消去t 得轨迹方程： 164 252 2=+y x 2）t dt dy v t dt dx v y x ππππ6cos 486sin 30==-== 当t=5得；πππππ4830cos 48030sin 30===-=y x v v t dt dv a t dt dv a y y x x ππππ6sin 2886cos 18022-==-== 当t=5 030sin 28818030cos 180222=-==-=-=πππππdt dv a a y y x 3．解答：1） () t t dt t dt d t t v v 20 4240 +=+==??? 则：t t )2(42++= 2）()t t t dt t t dt d t t r )3 12(2)2(43 2 2 ++=++= =? ?? t t t )31 2()22(3 2 +++= 大学物理练习四 一．选择题： 1．下列几种说法： (1)所有惯性系对物理基本规律都是等价的。 (2)在真空中，光的速度与光的频率、光源的运动状态无关。 (3)在任何惯性系中，光在真空中沿任何方向的传播速率都相同。 其中那些说法是正确的：[] (A)只有 (1)、(2)是正确的 . (B)只有 (1)、 (3)是正确的 . (C)只有 (2)、 (3)是正确的 . (D)三种说法都是正确的 . 解：[D] 2．一火箭的固定长度为L，相对于地面作匀速直线运动，速度为v1，火箭上有一个人从火箭的后端向火箭前端上的一个靶子发射一颗相对于火箭的速度为v2的子弹。在火箭上测得子弹从射出到击中靶的时间间隔是：[] (A)L L L(D)L (B)(C)v2 v1 v1v2v2 v1 1(v1 / c)2 (c 表示真空中光速 ) 解： [ B ]在火箭上测得子弹从射出到击中靶的时间间隔是火箭的固定长度 除以子弹相对于火箭的速度。 3．（1）对某观察者来说，发生在某惯性系中同一地点、同一时刻的两个事件， 对于相对该惯性系作匀速直线运动的其它惯性系中的观察者来说，它们是否同时发生？（ 2）在某惯性系中发生于同一时刻、不同地点的的两个事件，它们在其 它惯性系中是否同时发生？关于这两个问题的正确答案是：[] (A)（1）同时，（2）不同时。(B) （1）不同时，（2）同时。 (C)（1）同时，（ 2）同时。(D) 不（ 1）同时，（ 2）不同时。 解：[A] 发生在某惯性系中同一地点、同一时刻的两个事件，对于相对该惯性系作匀速 直线运动的其它惯性系中的观察者来说，它们是同时发生。 在某惯性系中发生于同一时刻、不同地点的的两个事件，它们在其它惯性系中 不是同时发生。 4．K系与K＇系是坐标轴相互平行的两个惯性系，K ＇系相对于 K 系沿 Ox 轴正 方向匀速运动。一根刚性尺静止在K ＇系中，与’ ’ O x 轴成 30°角。今在 K 系 中观测得该尺与 Ox 轴成45°角，则 K ＇系相对于 K 系的速度是：［］ (A) (2/3)c(B)(1/3)c(C) (2/3)1/2c(D) (1/3)1/2c x O 1 A 2 2 练习 十三 (简谐振动、旋转矢量、简谐振动的合成) 一、选择题 1． 一弹簧振子，水平放置时，它作简谐振动。若把它竖直放置或放在光滑斜面上，试判断下列情况正确的是 （C ） （A ）竖直放置作简谐振动，在光滑斜面上不作简谐振动； （B ）竖直放置不作简谐振动，在光滑斜面上作简谐振动； （C ）两种情况都作简谐振动； （D ）两种情况都不作简谐振动。 解：(C) 竖直弹簧振子:kx mg l x k dt x d m )(22(mg kl ),0222 x dt x d 弹簧置于光滑斜面上:kx mg l x k dt x d m sin )(22 (mg kl ),0222 x dt x d 2． 两个简谐振动的振动曲线如图所示，则有 （A ） （A ）A 超前 2π； （B ）A 落后2π ；（C ）A 超前π； （D ）A 落后π。 解：(A)t A x A cos ,)2/cos( t A x B 3． 一个质点作简谐振动，周期为T ，当质点由平衡位置向x 轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需要的最短时间为： （B ） （A ）4T ； （B ）12T ； （C ）6T ； （D ）8T 。 解：(B)振幅矢量转过的角度6/ ,所需时间12 /26/T T t , 4． 分振动表式分别为)π25.0π50cos(31 t x 和)π75.0π50cos(42 t x （SI 制）则它们的合振动表达式为： （C ） （A ）)π25.0π50cos(2 t x ； （B ）)π50cos(5t x ； （C ）π1 5cos(50πarctan )27 x t ； （D ）7 x 。 解：(C)作旋转矢量图或根据下面公式计算 )cos(21020 2122 2 1 A A A A A 5)25.075.0cos(432432 2 7 1 2)75.0cos(4)25.0cos(3)75.0sin(4)25.0sin(3cos cos sin sin 112021012021011 0 tg tg A A A A tg 5． 两个质量相同的物体分别挂在两个不同的弹簧下端，弹簧的伸长分别为1l 和2l ，且212l l ，则两弹簧振子的周期之比21:T T 为 （B ） （A ）2； （B ）2； （C ）2/1； （D ）2/1。 解：(B) 弹簧振子的周期k m T 2 ,11l mg k , 22l mg k ,22 121 l l T T 6. 一轻弹簧，上端固定，下端挂有质量为m 的重物，其自由振动的周期为T ．今已知振子离开平衡位置为x 时，其振动速度为v ，加速度为a ．则下列计算该振子劲度系数的公式中，错误的是： （B ） (A) 2 max 2max /x m k v ； (B) x mg k / ； (C) 2 2/4T m k ； (D) x ma k / 。 解：B 7. 两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同．第一个质点的振动表式为x 1 = A cos(t + )．当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处．则第二个质 点的振动表式为 （B ） (A) )π21cos(2 t A x ； (B) )π21cos(2 t A x ； (C) )π2 3 cos( 2 t A x ； (D) )cos(2 t A x 。解：(B)作旋转矢量图 x t o A B 1 A 4 / 4 /3 2 A A x O ) 0(A )(t A 3/ 6/ 大学物理练习 八 一、选择题： 1．有两个点电荷电量都是+q ，相距为2 a 。今以左边的点电荷所在处为球心，以a 为半径作一球形高斯面。在球面上取两块相等 的小面积S 1和S 2，其位置如图所示。设通过S 1和S 2的电场强度通量分别为1Φ和2Φ，通过整个 球面的电场强度通量为s Φ，则 [ D ] (A)s ΦΦ>Φ,21=0/εq (B)021/2,εq s =ΦΦ<Φ (C)021/,εq s =ΦΦ=Φ (D)021/,εq s =ΦΦ<Φ 解∶ 通过S 1的电场强度通量分别为1Φ,有穿进又有穿出; 但通过S 2的电场强度通量分别为2Φ,只有穿出. 故,21Φ<Φ据高斯定理通过整个球面的电场强度通量为s Φ只与面内电荷有关。 2．图示为一具有球对称性分布的静电场的E ~ r 关系曲线。请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的？ [ ] (A) 半径为R 的均匀带电球面。 (B) 半径为R 的均匀带电球体。 (C) 半径为R 、电荷体密度Ar =ρ(A 为常数)的非均匀带电球体。 (D) 半径为R 、电荷体密度r A /=ρ (A 为常数)的非均匀带电球体。 解∶（D ） 2 04r q E i πε∑= 3. 关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是：[ D ] (A) 如果高斯面上E 处处为零，则该面内必无电荷． (B) 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E 处处为 E 0=∑i q 零． ( 面外有电荷) (C) 如果高斯面上E 处处不为零，则高斯面内必有电荷． (D) 如果高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电场强度通量必不为零． 4．在磁感应强度为B 的均匀磁场中作一半径为r 的半球面S ，S 边线所在平面的法线方向单位矢量n 与B 的夹角为α，则通过半 球面S 的磁通量为 [ D ] (A) .2B r π (B) 2.2B r π (C) απsin 2B r -. (D) απcos 2B r -. 5．如图示，直线MN 长为2 L ，弧OCD 是以点N 为中心，L 为半径的半圆弧， N 点有正电荷+q ，M 点有负电荷-q 。今将一试验电荷+q 0从O 点出发沿路径OCDP 移到无穷远处，设无穷远处电势为零，则电场力做功 [ D ] (A) A<0 且为有限常量 (B) (B) A>0 且为有限常量 (C) A=∞ (D) A=0 6．关于电场强度与电势之间的关系，下列说法中，哪一种是正确的？ （A ）电场中，场强为零的点，电势必为零； （B ）电场中，电势为零的点，电场强度必为零； （C ）在场强不变的空间，电势处处相等； （D ）在电势不变的空间，电场处处为零。 [ D ] 7. 点电荷-q 位于圆心O 处，A 、B 、C 、D 为同一圆周上的四点，如图所示．现将一试验电荷从A 点分别移动到B 、C 、D 各点，则 [ D ] (A) 从A 到B ，电场力作功最大． (B) 从A 到C ，电场力作功最大． (C) 从A 到D ，电场力作功最大． (D) 从 A 到各点，电场力作功相等． 二、填空题： 1．一“无限长”均匀带电的空心圆柱体，内半径为a ，外半径为b ，电荷体密度为ρ。若作一半径为r(a大学物理学练习册参考答案全
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