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初一下学期数学经典题型集锦

初一下册数学经典题型集锦

1、某地区的民用电，按白天时段和晚间时段规定了不同的单价。某户8月份白天时段

用电量比晚间时段多50%，9月份白天时段用电量比8月份白天时段用电量少60%，结果9月份的用电量虽比8月份的用电量多20%，但9月份的电费却比8月份的电费少10%，求该地区晚间时段民用电的单价比白天时段的单价低的百分数

（1）解：设白天电价为a，晚上电价为b；8月份白天电量为x，则8月晚上用电量为x×2/3，8月总电量为x+x×2/3；9月份白天用电量为（1-60%）x，9月份总电量为（1+20%）×（x+x×2/3）；9月份晚上用电量为（1+20%）×（x+x×2/3）-（1-60%）x；则有：8月份电费：x×a+x×2/3×b；

9月份电费：（1-60%）x×a+【（1+20%）×（x+x×2/3）-（1-60%）x】×b；根据题意，：（1-60%）x×a+【（1+20%）×（x+x×2/3）-（1-60%）x】×b=（1-10%）×【x×a+x×2/3×b】整理得b=0.5a，晚上的电价比白天低50%。

（2）解设8月用电为1，晚上比白天低x

[3/5+2/5*(1-x)]*(1-10%)=3/5*(1-60)+[120%-3/5(1-60)](1-x)

（3）设8月份晚间用电量为X

则8月份白天用电量为（1+50%）X

9月份白天用电量为（1—60%）（1+50%）X=0.6X

8月份用电总量为（1+1+50%)X=2.5X

9月份用电总量为（1+1+50%）X（1+20%）=3X

9月晚间用电量为3X-0.6X=2.4X

（4）解：设该地区白天时段的用电单价为a，晚间时段单价为b .把8月份晚间看作单位“1”。则：8月份：白天：1 晚间：1*（1+50%）=3/2

9月份：白天：1*（1-60%）=2/5

晚间：9月份用电量{（1+3/2）*（1+20%）=3} - 白天用电量

即：3-2/5=13/5

那么根据“9月份的电费却比8月份少了10%”

有:（a+3b/2）*(1-10%)=2a/5+13b/5

解得a/b=5/2

则b=2/5a=（1-60%）a

即地区晚间时段的用电单价比白天时段低的百分数=60%

2、如图是一个长为400米的环形跑道，其中A，B为跑道对称轴上的两点，且A、B

v 之间有一条50米的直线通道.甲、乙两人同时从A点处出发，甲按逆时针方向以速度

v沿跑道跑步，沿跑道跑步，当跑到B点处时继续沿跑道前进；乙按顺时针方向以速度

当跑到B点处时沿直线通道跑回到A点处.假设两人跑步时间足够长.求：

（1）如果1v :2v = 3:2，那么甲跑了多少路程后，两人首次在A 点处相遇？

（2）如果1v :2v = 5:6，那么乙跑了多少路程后，两人首次在B 点处相遇？

解：（1）设甲跑了n 圈后，两人首次在A 点处相遇.再设甲乙两人的速度分别为13v m =，22v m =.

由题意可得，在A 处相遇时，他们跑步的时间是4003n m

，乙跑的路程是400800233

n m n m ?=?. 因为乙跑BA 通道跑回到A 点处，所以

8003

n 应是250的整数倍，从而知n 的最小值是15.

所以，甲跑了15圈（即6000米）后，两人首次在A 点处相遇.

（2）设乙跑了(250200)p +米，甲跑了(400200)q +米时两人首次在B 点处相遇.

设甲乙两人的速度分别为15v m =，26v m =. 由题意可得

40020025020056q p m m

++= 即 845456q p ++= 所以 48242520q p +=+

即 48425q p +=（,p q 均为正整数）

所以,p q 的最小值为 2,4,p q ==此时乙跑的路程为25042001200?+=（米）. 所以乙跑了1200米时，两人首次在B 点处相遇.

3、老师带着两名学生到离校33千米的博物馆参观，现老师骑一辆摩托车，速度25千米/小时，摩托车可以带一名学生，带人后速度为20千米/小时，学生步行速度为5千米/小时，。请你设计一种方案，是的师生三人人同时出发后都到达博物馆的时间不超过3小时。

老师先带一个学生甲走L 千米，另一个学生同时开始步行；（用时t1)

老师放下学生，该学生继续走（到终点用时t2)

老师空返，去接另一个学生乙(与学生碰面用时t3),

接到学生后，行进到终点(用时t4).

t2=t3+t4, 总时间为T：t1+t2.

老师送第一个学生甲到L处所花时间t1=L/20

随后该学生步行到终点用时t2=(33-L)/5

在t1时间里，学生乙已经步行距离为5t1=5×L/20 =L/4

然后老师和学生乙相向而行，t3时间后碰面

t3=(L-L/4)/(25+5)=L/40

这段时间学生乙所走的路程是：5t3=5×L/40=L/8

此时，离终点的距离为33-L/4-L/8=33-3L/8

然后老师带着学生乙前进，到终点用时t4=(33-3L/8)/20

t2=t3+t4

即：(33-L)/5=(33-3L/8)/20+L/40

(33-L)×32=33×8-3L+4L

33×32-32L=33×8+L

33×24=33L

L=24

因此t1=L/20=24/20=1.2

t2=(33-L)/5=(33-24)/5=1.8

t=t1+t2=3

所以答案是，同时出发，老师先带一个学生乘摩托车到24公里处，用时1.2小时，再放下学生，让其步行9千米，然后回头带领学生乙到终点，用时1.8小时，共计3小时。

4、如图，甲乙两人分别在A、B两地同时相向而行，于E处相遇后，甲继续向B地行走，乙则休息了14分钟，再继续向A地行走，甲和乙到达B和A后立即折返，仍在E处相遇，已知甲每分钟行走60m，乙每分钟走80m，则A和B相距多少米？

解：设AE=X BE=Y

根据开始到第二次相遇甲乙所用时间可得：(X+2y)/60=(2X+Y)/80+14 （1）

根据第一次相遇到第二次相遇甲乙所用时间可得：2Y/60=2X/80 +14 （2）

（1）-（2）得：X/60=Y/80 X=3Y/4 （3）

（3）代入（2）得y=960 X=720 X+Y=1680m

4、方程|X+1|+|X-3|=4的整数解有（5 ）个

方法：分别让|X+1|=0和|X-3|=0 解得:x=-1和x=3 然后分区间讨论.

画一条数轴，|X+1|即为某点到-1的距离，|X-3|即为某点到3的距离，

要求两者之和为4，明显-1到3之间的数都符合[-1，0，1，2，3]

1.当x≤ -1时去绝对值-x-1-x+3=4

解得:x=-1

2.当-1

解得：x 为[0，1，2] 3.当x≥ 3时 x+1+x-3=4

解得：x=3

所以关于X 的整数解有5个，它们分别是[-1，0，1，2，3]

5、解方程|x-|3x+1||=4

(1) x-|3x+1|=4，先设|3x+1|=0，解得X=-1/3

当x>-1/3 x-(3x+1)=4 -2x-1=4 x=-5/2 不符合x>-1/3

当x<-1/3 x+(3x+1)=4 4x+1=4 x=3/4不符合x<-1/3

(2)x-|3x+1|=-4 先设|3x+1|=0，解得X=-1/3

当x>-1/3 x-(3x+1)=-4 -2x-1=-4 x=3/2符合x>-1/3

①根据绝对值的几何意义可知x a x b a b -+-≥-； ②当c a b <-时，此时方程无解；

当c a b =-时，此时方程的解为a x b ≤≤；

当c a b >-时，分两种情况：①当x a <时，原方程的解为2a b c x +-=

； ②当x b >时，原方程的解为2

a b c x ++=．解：先分别让|X-5|=0，X=5；|X-1|=0，X=1。然后分区间讨论.

当X ≤1时，去掉绝对值，原式变为-X+5-X+1=4，解得X=1，

当1

当X ≥5时，去掉绝对值，原式变为：X-5+X-1=4，解得X=5

所以关于X 的解是：1≤X ≤5

7、已知关于x 的方程，│x -2│+│x -3│=a ，研究a 存在的条件，对这个方程的解进行讨论．

用数轴上点来解

│x -2│+│x -3│表示数轴上点X(x)到点A(2),B(3)的距离之和a

当点X(x)在线段AB 上时，距离之和最小a=3-2=1 所以a≥1时才有解。

(1).当a=1时,X(x)在线段AB 上，原方程解为2≤X ≤3

(2)当a>1时,X(x)在线段AB 延长线上或线段BA 延长线上，

原方程解为X=（5±a ）/2

（3）当a<1时，原方程无解。

8、若a ＞0,b ＜0,则使|x-a|+|x-b|=a-b 成立的x 的取值范围是（）

解:因为a>0,b<0,

当x>a 时,x-b>0,x-a>0,原方程|x-a|+|x-b|变为(x-a)+(x-b)=2x-a-b;

当x

当b≦x≦a时,x-b>=0,x-a<=0,|x-a|+|x-b|=-(x-a)+(x-b)=a-b;

综上所述,使|x-a|+|x-b|=a-b成立的x的取值范围是(b≦x≦a).

9、关于X的方程||X-2|-1|=a有三个整数解，则a的值为( )

解：先设X-2=0，则X=2

当x≥2时原方程变为：|x-3|=a 再设X-3=0，则X=3

当2≤x≤3时方程|x-3|=a变为-（X-3）=a，3-x=a，则X=3-a

当x≥3时方程|x-3|=a变为x=a+3

当x≤2时原方程变为|-（x-2)-1|=|-x+1|=a 再设-x+1=0，则X=1

当x≤1 -x+1=a x=1-a

当1≤x≤2x=1+a

X=3-a

x=a+3

x=1-a

x=1+a

因为关于X的整数解只有3个，所以a只能为1

10、若关于x的方程|2x-3|+m=0无解，|3x-4|+n=0只有一个解，|4x-5|+k=0有两个解，则m,n,k的大小关系是

解：先说点基本知识：任意数绝对值大于或等于零

对于任意|x|=y 必定有；

1) y=0时，x有唯一解x=0

2) y>0时，x有两个解：x=y，x=-y

3) y<0时，x无解

由第一个方程可知：因为|2x-3|+m=0无解，且|2x-3|≥0，只有当m>0原方程才能无解. 由第二个方程可知：因为|3x-4|+n=0，只有一个解,且|3x-4|≥0，所以当n=0原方程才能只有一个解.

由第三个方程可知：因为|4x-5|+k=0有两个解，且|4x-5|≥0，所以当k<0原方程才有两个解

所以：m>0,n=0,k<0 m>n>k

11、如果关于x的方程|x+1|+|x-1|=a有实根，那实数a的取值范围是（）

解：先设x+1=0，则X=-1,设x-1=0，则X=1，分区域讨论

当X＞1时，原方程变为X+1+X-1=a，X=a/2,满足条件，a＞2；

当-1≤X≤1时，原方程变为X+1-X+1=a，则a=2

当X＜-1时，原方程变为-X-1-X+1=a,则X=-a/2满足条件, a＞2

所以a≥2

12、小明爸爸骑着摩托车车带着小明在公路上匀速行驶，下图是小明每隔1小时看到的里程情况，你能确定小明在12：00时看到的里程表上的数吗？

（12：00时，是一个两位数，它的两个数字之和为7；13：00时十位与个位数字与12：00时所看到的正好颠倒了；14：00时比12：00时看到的两位数中间多了个0）

解：如果设小明在12:00时看到的数的是十位数字是x，个位数字是y，那么

12:00是小明看到的数是XY，根据两个数字和是7，可列出方程X+Y=7

12:00是小明看到的路程应是10X+Y

13:00是小明看到的数可表示为：YX

12:00～13:00间摩托车行驶的路程是10Y+X

14:00是小明看到的数可表示为：X0Y

13:00～14:00间摩托车行驶的路程是：100X+Y

12:00～13:00与13:00～14:00两段时间内摩托车的行驶路程的关系

解得这个方程组

所以小明在12:00时看到的里程数是16。

13、如图，正方形ABCD 的周长为40米，甲、乙两人分别从A 、B 两地同时出发，沿正方形的边行走，甲按逆时针方向每分钟行55米，乙按顺时针方向每分钟行30米

（1）出发（ 2 ）分钟后，甲乙两人第一次在正方形的顶点处相遇；

（2）如果用记号（a ，b ）表示两人行走了a 分钟，并相遇b 次，那么当两人出发后第一次处在正方形的两个相对顶点的位置时，对应的记号应是[ 6，

13 ]

第一种解法：由于两人不是在同一顶点出发，所以两人第一次在同一顶点相遇，需要通过的距离之和等于正方形周长的整数倍再加一条边的长度，即（55+30）x=40y+10，其中y 是第一次在同一顶点相遇之前通过的正方形周长的圈数．

解：（1）设x 分钟后第一次相遇于正方形顶点，且甲乙共走过y 圈，则：（55+30）x=40y+10 把方程(55+30)x=40y+10化简为17x=8y+2。

显然y 越大x 也越大，所以y 最小时x 也最小。由于y 为正整数，所以y 最小为1，于是x 最小为10/17。如果要求x 为整数，则需要8y+2是17的整倍数，或者反过来，17的整倍数减2能被8整除。于是容易知道17的2倍34，减2正好是8的4倍32。所以x 最小为2，故填2．

（2）设x 分钟后两人第一次分别在正方形的两个相对顶点处，y 是第一次处在相对顶点前通过的周长的圈数．则根据题意列方程：（55+30）x=40y+30

化简方程：17x=8y+6

解得最小x=6，即a=6， 85x=85×6 = 510米，

第一次相遇双方共走了10米，此后每40米相遇一次，

所以b=[（510-10）÷40]+1=12+1=13，故填（6，13）．

第二种解法：

???+-+=+-+=+)

10()10()10()100(7y x x y x y y x y x ???==6

1y x

甲走过一条边要用10÷55=2/11分，乙走过一条边要用10÷30=1/3分，设从出发到顶点相遇，甲共走了m条边，乙共走了n条边，则相遇时：M×2/11=n×1/3 M/n=11/6

设m=11t ，n=6t甲比乙多走：m-n=5t

从图上可看出，甲乙要走到同一个顶点上，甲除了比乙多走过整数圈（边的4倍数）

外，还必须多走1条边（相当乙在B点不动，甲走一条边从A到B），由于5=4×1+1，

所以t=1是符合条件的最小值，m=11，a=11×2/11=2，需要2分钟。

也就是出发2分钟后，甲走了11条边，乙走了6条边时，它们相遇在正方形的顶点。

第2小题同理，甲、乙要走到相对的两个顶点上，甲除了要比乙多走某一整数圈外，还要多走3条边（相当乙在B点不动，甲走过3条边到达D点），由于15=4×3+3，所以t=3是符合条件的最小值，m=11×3=33，a=33×2/11=6，需要6分钟。

n=6×3=18，m+n=51，在第一条边内甲乙相遇了一次，以后每合走4条边相遇一次，所以相遇次数b=[(51-1)/4]+1=13。

14、某出租汽车站已停有6辆出租汽车，第一辆出租汽车出发后每隔4分钟就有一辆出租汽车开出，在第一辆汽车开出2分钟后，有一辆出租汽车进站，以后每隔6钟就有一辆出租汽车进站，回站的出租汽车在原有的出租汽车依次开出后又依次每隔4分钟开出一辆，问第一辆出租汽车开出后，经过至少多长时间车站内无车？

解：站内原有的6辆车全部开出用时为4×（6-1）＝20分。

此时站内又有出租车（20-2）÷6+1＝4（辆）

设再经过x分钟站内无车。

x/6+4=x/4 x=48

48+20=68(分）

答：经过至少68分站内无车。

七年级下册数学实际问题与二元一次方程组典型例题

七年级下册数学实际问题与二元一次方程组典型例题例1. 养牛场原有30只母牛和15只小牛,一天约需用饲料675 kg;一周后又购进12只母牛和5只小牛,这时一天约需用饲料940 kg.饲养员李大叔估计平均每只母牛1天约需用饲料18~20 kg,每只小牛1天约需用饲料7~8 kg.你能否通过计算检验他的估计? 分析:一、先假设李大叔的估计正确,再根据问题中给定的数量关系来检验. 二、根据问题中给定的数量关系求出平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料量,再来判断李大叔的估计是否正确. 技巧:根据等量关系列方程即可. 例2. 据以往的统计资料,甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1∶1.5,现要在一块长200m ,宽100m 的长方形土地上种植这两种作物,怎样把这块地分为两个长方形,使甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4(结果取整数? 分析:一种种植方案为:甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD 和BCFE.设AE=x m ,BE=y m ,根据问题中涉及长度、产量的数量关系,列方程组 ? ??=?=+431005.1:100200:y x y x 解这个方程组,得

. 过长方形土地的长边上离一端约106m 处,把这块地分为两个长方形.较大一块地种甲作物,较小一块地种乙作物. 规律:(1设未知数.(2找相等关系.(3列方程组.(4检验并作答. 例3:如图,长青化工厂与A ,B 两地有公路、铁路相连.这家工厂从A 地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂,制成每吨8 000元的产品运到B 地.公路运价为1. 5元(吨·千米,铁路运价为1.2元(吨·千米,这两次运输共支出公路运费15000元,铁路运费97200元.这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元?(见教材图8.3-2 分析:列表分析 ((???=+?=+?97200 1201102.11500010205.1y x y x 解这个方程组,得 ???==400 300y x 因为毛利润-销售款-原料费-运输费所以这批产品的销售款比原料费与运输的和多1887800元. 规律:由实际问题,设未知数,找等量关系,列二元一次方程组.

人教版七年级数学知识点及典型例题

人教版七年级数学知识点及典型例题 Modified by JACK on the afternoon of December 26, 2020

第一章有理数知识点一?有理数的分类有理数的另一种分类想一想：零是整数吗自然数一定是整数吗自然数一定是正整数吗整数一定是自然数吗

零是整数；自然数一定是整数；自然数不一定是正整数，因为零也是自然数；整数不一定是自然数，因为负整数不是自然数。知识点二?数轴 1.填空 ① 规定了唯一的原点，正方向和单位长度( 三要素)的直线叫做数轴。 ② 比－3大的负整数是-2、-1。 ③与原点的距离为三个单位的点有2个，他们分别表示的有理数是3、-3。 2.请画一个数轴，并检查它是否具备数轴三要素？ 3.选择题 ① 在数轴上，原点及原点左边所表示的数是（）Ａ整数Ｂ负数Ｃ非负数Ｄ非正数

②下列语句中正确的是（）Ａ数轴上的点只能表示整数Ｂ数轴上的点只能表示分数Ｃ数轴上的点只能表示有理数Ｄ所有有理数都可以用数轴上的点表示出来答案 AD 知识点三?相反数相反数：只有符号不同的两个数互为相反数,0的相反数是0。在数轴上位于原点两侧且离原点距离相等。知识点四?绝对值 1.绝对值的几何意义:一个数所对应的点离原点的距离叫做该数的绝对值。

2.绝对值的代数定义：（1）一个正数的绝对值是它本身；（2）一个负数数的绝对值是它的相反数；（3）0的绝对值是0；（4）|a|大于或者等于0。 3.比较两个数的大小关系数学中规定：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从大到小的顺序，即左边的数小于右边的数。由此可知：（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数；（2）两个负数，绝对值大的反而小。知识点五?有理数加减法 1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。绝对值不相等的异号两数相加, 取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 2.互为相反数的两个数相加得0。 3.一个数同0相加，仍得这个数。

初一下册数学经典题型

1. 如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程. 例如：方程260x =- 的解为3x= ，不等式组205x x ->????-??-+<-? ，的关联方程是；（填序号）（2）若不等式组1144275 x x x ? -?? ?++?＜，＞-的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是；（写出一个即可）（3）若方程21+2x x -=， 1322x x ? ?+=+ ???都是关于x 的不等式组22x x m x m -?? -?＜，≤的关联方程，求m 的取值范围.

2. 对于平面直角坐标系xOy中的点A，给出如下定义：若存在点B（不与点A重合，且直线AB不与坐标轴平行或重合），过点A作直线m∥x轴，过点B作直线n∥y轴，直线m，n相交于点C.当线段AC，BC的长度相等时，称点B为点A的等距点，称三角形ABC的面积为点A的等距面积. 例如：如图，点A（2，1），点B（5，4），因为AC= BC=3，所以B 为点A的等距点，此时点A的等距面积为9 2. （1）点A的坐标是（0，1），在点B1（-1，0），B2（2，3），B3（-1，-1）中，点A的等距点为. （2）点A的坐标是（-3，1），点A的等距点B在第三象限， ①若点B的坐标是 ? ? ? ? ? 2 1 2 9 ，－－，求此时点A的等距面积； ② ②若点A的等距面积不小于9 8，求此时点B的横坐标t的取值范围. 备用图

七年级数学上册有理数经典题型专题训练

七年级数学上册有理数经典题型专题训练一、选择题 1、如果两个有理数的积是正数，和也是正数，那么这两个有理数（）（A）同号，且均为负数（B）异号，且正数的绝对值比负数的绝对值大（C）同号，且均为正数（D）异号，且负数的绝对值比正数的绝对值大 2、在下列说法中，正确的个数是（） ⑴任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示 ⑵数轴上的每一个点都表示一个有理数 ⑶任何有理数的绝对值都不可能是负数 ⑷每个有理数都有相反数 A、1 B、2 C、3 D、4 3、下列说法正确的是（） A、几个有理数相乘，当因数有奇数个时，积为负； B、几个有理数相乘，当正因数有奇数个时，积为负； C、几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负； D、几个有理数相乘，当积为负数时，负因数有奇数个； 4、在有理数中，有（）Ａ．绝对值最大的数Ｂ．绝对值最小的数Ｃ．最大的数Ｄ．最小的数 5、下列结论正确的是（）

Ａ．数轴上表示６的点与表示４的点相距10 Ｂ．数轴上表示+6的点与表示－4的点相距10 Ｃ．数轴上表示－4的点与表示4的点相距10 Ｄ．数轴上表示－6的点与表示－4的点相距10 6、下列说法正确的是（）（A）有理数就是正有理数和负有理数（B）最小的有理数是0 （C）有理数都可以在数轴上找到表示它的一个点（D）整数不能写成分数形式 7、下列说法正确的是( ) A．负数没有倒数B．正数的倒数比自身小 C．任何有理数都有倒数D．﹣1的倒数是﹣1 8、下列说法正确的是( ) ①0是绝对值最小的有理数 ②相反数大于本身的数是负数 ③数轴上原点两侧的数互为相反数 ④两个数比较，绝对值大的反而小 A ①② B ①③ C ①②③ D ①②③④ 9、下面说法中正确的是( ) A．非负数一定是正数。B．有最小的正整数，有最小的正有理数。C．-a一定是负数D．正整数和正分数统称正有理数 a是（） 10、有理数a 等于它的倒数，则2016

七年级数学上册期末复习典型例题讲析(人教版)

七年级数学上册典型例题例1. 已知方程2x m－3+3x=5是一元一次方程，则m= . 解：由一元一次方程的定义可知m－3=1，解得m=4.或m－3=0，解得m=3 所以m=4或m=3 警示：很多同学做到这种题型时就想到指数是1，从而写成m=1，这里一定要注意x的指数是（m－3）. 例2. 已知2 x=-是方程ax2－（2a－3）x+5=0的解，求a的值. 解：∵x=－2是方程ax2－（2a－3）x+5=0的解 ∴将x=－2代入方程，得a·（－2）2－（2a－3）·（－2）+5=0 化简，得4a+4a－6+5=0 ∴ a=8 1 点拨：要想解决这道题目，应该从方程的解的定义入手，方程的解就是使方程左右两边值相等的未知数的值，这样把x=－2代入方程，然后再解关于a的一元一次方程就可以了. 例3. 解方程2（x+1）－3（4x－3）=9（1－x）. 解：去括号，得2x+2－12x+9=9－9x，移项，得2+9－9=12x－2x－9x. 合并同类项，得2=x，即x=2. 点拨：此题的一般解法是去括号后将所有的未知项移到方程的左边，已知项移到方程的右边，其实，我们在去括号后发现所有的未知项移到方程的左边合并同类项后系数不为正，为了减少计算的难度，我们可以根据等式的对称性，把所有的未知项移到右边去，已知项移到方程的左边，最后再写成x=a的形式. 例4. 解方程 1 7 5 3 2 1 4 1 6 1 8 1 = ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? + - x . 解析：方程两边乘以8，再移项合并同类项，得111 351 642 x ?-? ?? ++= ? ?? ?? ?? 同样，方程两边乘以6，再移项合并同类项，得11 31 42 x- ?? += ? ??

七年级经典数学题型

七年级经典数学题型一、填空题１、已知 m —3 ＋（n ＋２）2＝０，则n m 的值为。２、若a ＝— 2006 2005 b ＝— 2005 2004 c ＝— 2004 2003 ，则a ，b ，c 的大小关系是 (用＜号连接。３、已知整数a 、b 、c 、d 满足abcd ＝25,且a ＞b ＞c ＞d ，则 a ＋b ＋ c ＋d 等于。 4、已知0||=--a a ，则a 是__________数；已知 ()01| |<-=b ab ab ，那么a 是_________数。 5、计算： ()()()200021111-+-+-Λ=_________。 6、已知()02|4|2=-+ +b a a ，则b a 2+=_________。 7、由书中知识，+5的相反数是–5，–5的相反数是5，那么数x 的相反数是______，数 –x 的相反数是________；数b a 12+-的相反数是_________；数n m 2 1 +的相反数是____________。 8、因为到点2和点6距离相等的点表示的数是4，有这样的关系()622 1 4+=，那么到点100和到点999距离相等的数是_____________；到点7 6 ,54-距离相等的点表示的数是____________；到点m 和点–n 距离相等的点表示的数是________。 9、已知点4和点9之间的距离为5个单位，有这样的关系495-=，那么点10和点2.3-之间的距离是____________；点m 和点n （数n 比m 大）之间的距离是_____________。 10、数5的绝对值是5，是它的本身；数–5的绝对值是5，是它的相反数；以上由定理非负数的绝对值等于它本身，非正数的绝对值等于它的相反数而来。由这句话，正数–a 的绝对值为__________；负数–b 的绝对值为________；负数1+a 的绝对值为________，正数 –a+1的绝对值___________。 11、如果 362=x ，则x = 12、 ()2007 2008 8125.0-?———— 14、多项式123 12 -+y y x ，它由、、三项之和构成。 15、计算：1－2＋3－4＋5－6＋…＋99－100＝____ _ 。 16、a 2 表示的生活实际意义是：。 17、若代数2x 2 －3x ＋2的值为5，则代数式6x 2 －9x －5的值是。 18、若 3-a 与2)(b a +互为相反数,则代数式b a 22-的值为______ __。 19、已知 234a b c ==,则代数式 23a b c a b c +--+的值为_____ __。 20、若m 、n 、p 、为互不相等的整数，且49=mnpq ，则=+++q p n m 。 21、用科学记数法表示：一天24小时有_______________________秒, 一年365天有________________________秒. 22、（3分），观察规律，填空，再补一个有同样特点的式子： 1 ×（-9）- 1= 12 ×（-9）- 2= 123×（-9）- 3= 。 23.观察下列单项式：x 2，2 5x ，310x ，4 17x ，……。根据你发现的规律，写出第11个式子是____________ 24.若规定a*b 为一种新运算，且a*b ＝ab －（a+b ），则（－3）*2＝______________

人教版数学七年级下册-《实数》典型例题

《实数》典型例题例1 下列各数哪些是有理数，哪些是无理数？ 6，－5，39，0，.2 2,4,32,3,7,4,7233-+-π 解有理数有：－5，0， 4,4,723-．无理数有：.22,32,3 ,7,9,633+-π 说明：有理数包括整数与分数，只要是分数就是有理数，而无理数是无限不循环小数，被开方数开不尽方的数都是无理数，在本题中 22是无理数，不是分数．例2 比较下列各组数的大小：（1）3和35，（2）32-和3-，（3）326和11，（4）0和7-．解（1）710.15,732.133≈≈Θ，而710.1732.1>，∴.533> （2）732.13,260.123-≈--≈-Θ，而732.1260.1->-，∴.323->- （3）317.311,962.2263≈≈Θ，而317.3962.2<，∴11263<．（4）.70-> 例3 计算：（1）7472+，（2）55156?，（3）5 1125÷?，（4）.)13()32(22-+ 解（1）.767)42(7472=+=+ （2）.655 165551655156=??=??=? （3）.3103253455512551 125=??=???=??=÷ ? （4）.5251312)13()32(22==+=-+ 说明：有关无理数的计算问题要按运算法则及运算律进行计算．

例4 计算（精确到0.1）：（1）652-，（2）322+π ，（3）3234-，（4）.5233? 解（1）.0.245.248.445.224.22652≈-=-?≈- （2）.0.546.357.173.122 14.3322≈+=?+≈+π （3）.7.526.192.626.173.142343≈-=-?≈- （4）.3.2324.2273.135233≈???≈? 例5 下面命题中，正确的是（） A ．不带根号的数一定是有理数 B ．有绝对值最大的数，也有绝对值最小的数 C ．任何实数的绝对值都是正数 D ．无理数一定是无限小数分析圆周率π是不带根号的数，但它是无限不循环小数，所以它是无理数，可见命题A 不正确. 实际上，可以写出很多不带根号的无理数，如0.101001000100001……就是一个无理数；不存在最大的正数（对任何正数a ，都不如1+a 大），导致不存在绝对值最大的数，所以B 是假命题；实数0的绝对值不是正数，可见命题C 也不正确. 解答 D 说明考查实数的意义. 例6 下列说法中正确的是（） A ．无理数是开方开不尽的数 B ．无限小数不能化成分数 C ．无限不循环小数是无理数 D ．一个负数的立方根是无理数分析实数可分为无理数和有理数. 有限小数和无限循环小数统称为有理数，无限不循环小数称为无理数. 开方开不尽的数一定是无理数，但无理数还包含了其他数，如π，任何有理数都能化成分数形成. 所以A 、B 、D 都是错的. C 正确. 解答 C

(完整版)初一年级数学经典例题

数学天地：初一年级数学核心题目赏析有理数及其运算篇【核心提示】有理数部分概念较多，其中核心知识点是数轴、相反数、绝对值、乘方. 通过数轴要尝试使用“数形结合思想”解决问题，把抽象问题简单化.相反数看似简单，但互为相反数的两个数相加等于0这个性质有时总忘记用..绝对值是中学数学中的难点，它贯穿于初中三年，每年都有不同的难点，我们要从七年级把绝对值学好，理解它的几何意义.乘方的法则我们不仅要会正向用，也要会逆向用，难点往往出现在逆用法则方面. 【核心例题】例1计算：2007 20061 ......431321211?+ +?+?+? 分析此题共有2006项，通分是太麻烦.有这么多项，我们要有一种“抵消”思想，如能把一些项抵消了，不就变得简单了吗？由此想到拆项，如第一项可拆成 2 1 11211-=?，可利用通项 ()11111+-=+?n n n n ，把每一项都做如此变形，问题会迎刃而解. 解原式=)20071 20061(......413131212111-++-+-+-）（）（）（ =20071 20061......41313121211- ++-+-+- =20071 1- =2007 2006 例2 已知有理数a 、b 、c 在数轴上的对应点分别为A 、B 、C(如右图).化简b c b a a -+-+. 分析从数轴上可直接得到a 、b 、c 的正负性，但本题关键是去绝对值，所以应判断绝对值符号内表达式的正负性.我们知道“在数轴上，右边的数总比左边的数大”，大数减小数是正数，小数减大数是负数，可得到a-b<0、c-b>0. 解由数轴知，a<0，a-b<0，c-b>0 所以，b c b a a -+-+= -a-(a-b)+(c-b)= -a-a+b+c-b= -2a+c 例3 计算：?? ? ??-??? ??-????? ??-??? ??-??? ??-211311 (9811991110011)

(完整版)中考数学必考经典题型

中考数学必考经典题型题型一先化简再求值命题趋势由河南近几年的中考题型可知，分式的化简求值是每年的考查重点，几乎都以解答题的形式出现，其中以除法和减法形式为主，要求对分式化简的运算法则及分式有意义的条件熟练掌握。例：先化简，再求值：,1 2)1111( 22+--÷-++x x x x x x 其中.12-=x 分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x 的值带入计算即可求值。题型二阴影部分面积的相关计算命题趋势近年来的中考有关阴影面积的题目几乎每年都会考查到，而且不断翻新，精彩纷呈．这类问题往往与变换、函数、相似等知识结合，涉及到转化、整体等数学思想方法，具有很强的综合性。例如图17，记抛物线y ＝－x 2＋1的图象与x 正半轴的交点为A ，将线段OA 分成n 等份．设分点分别为P 1，P 2，…，P n －1，过每个分点作x 轴的垂线，分别与抛物线交于点Q 1，Q 2，…，Q n －1，再记直角三角形OP 1Q 1，P 1P 2Q 2，…的面积分别为 S 1，S 2，…，这样就有S 1＝2312n n -，S 2＝23 4 2n n -…；记Ｗ＝S 1＋S 2＋…＋S n －1，当n 越来越大时，你猜想W 最接近的常数是( ) (A)23 (B)12 (C)13 (D)14 分析如图17，抛物线y ＝－x 2＋1的图象与x 正半轴的交点为 A(1，0)，与y 轴的交点为8(0，1)．设抛物线与y 轴及x 正半轴所围成的面积为S ，M(x ，y )在图示抛物线上，则 222OM x y =+

(word完整版)初一数学经典题型解析

初一数学经典题型解析 1、如图，将一个含30°角的三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=115°，那么∠2的度数是（） A。95°B。85°C。75°D。65° 考点：平行线的性质；三角形的外角性质．专题：计算题．分析：根据题画出图形，由直尺的两对边AB与CD平行，利用两直线平行，同位角相等可得∠1=∠3，由∠1的度数得出∠3的度数，又∠3为三角形 EFG的外角，根据外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和得到 ∠3=∠E+∠2，把∠3和∠E的度数代入即可求出∠2的度数．解答：已知：AB∥CD，∠1=115°，∠E=30°，求：∠2的度数？解：∵AB∥CD（已知），且∠1=115°， ∴∠3=∠1=115°（两直线平行，同位角相等），又∠3为△EFG的外角，且∠E=30°， ∴∠3=∠2+∠E，则∠2=∠3﹣∠E=115°﹣30°=85°．故选B．点评：此题考查了平行线的性质，以及三角形的外角性质，利用了转化的数学思想，其中平行线的性质有：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，熟练掌握性质是解本题的关键． 2、如图，AB∥CD，DE交AB于点F，且CF⊥DE于点F，若∠EFB=125°，则∠C=35°．考点：平行线的性质．专题：计算题分析：根据对顶角相等，得出∠AFD=∠EFB，由∠EFB的度数求出∠AFD的度数，再根据垂直的定义得到∠CFD=90°，利用∠AFD﹣∠CFD得出∠AFC的度数，最后由两直线平行内错角相等，即可得到所求的角的度数．解答：解：∵∠EFB=125°（已知）， ∴∠AFD=∠EFB=125°（对顶角相等），又∵CF⊥DE（已知）， ∴∠CFD=90°（垂直定义）， ∴∠AFC=∠AFD﹣∠CFD=125°﹣90°=35°， ∵AB∥CD（已知）， ∴∠C=∠AFC=35°（两直线平行内错角相等）．故答案为：35

初一上数学各类经典题型总结-

初一上学期数学各类经典题型（重新编排）一、数轴类知识： A.重点知识点强调： 1.数轴四要素：原点、正方向、单位长度、直线； 2.知道一个点的坐标，会表达与之相关的另一个点的坐标； 3.数轴上点与有理数的关系； 4.学会用“数形结合”的思想比较和判断有理数的大小； 5.数轴“动态”问题： ①圆形沿数轴滚动问题； ②数轴动点问题（单点单向、单点双向、多点单向、多点双向） B.典型真题回放： 1.下列所画数轴中正确的是（） 1

2.①设数轴上点A坐标为m,B点坐标为n,且有n≧m,则A与B的中点C的坐标为_____. ②设数轴上点A（x1）,B(x2),且有x2≧x1，则B点关于A点的对称点D点的坐标为____. 3.如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D对应的整数a、b、c、d，且， b-2a=9,那么数轴的原点对应点是( ) A． A点 B．B点 C．C点 D．D点 4.判断：数轴上所有的点与有理数一一对应（）。 5.将-2.5，1,2，-|-2|，-（-（-3））， -22在数轴上表示出来，并用“>”将它们连接起来。 2 6.如图所示，一数轴被折围成长为 3，宽为 2 的长方形，圆的周长为 4 且圆上刻一指针，若在数轴固定的情况下，圆紧贴数轴沿数轴正方向滚动，当圆与7接触的时候，指针的方向是( ) 2

7. ①数轴上有一点，起始位置是3，向左运动到达A点，请问A点的位置是______；②数轴上有两个点，点 A 在-9 表示的位置，点 B 在-4 表示的位置，点A 以每分钟3 个单位的速度向右运动，点B 以每分钟2 个单位的速度向右运动，试问点A 追上点B追上需要的时间为______;③两个点所处的位置是？数轴的原点O 上有一个蜗牛，第1次向正方向爬1个单位长度，紧接着第2 次反向爬2 个单位长度，第3 次向正方向爬3 个单位长度，第4 次反向爬4 个单位长度……，依次规律爬下去，当它爬完第 100 次处在B 点．那么求OB 两点之间的距离为_______;④在数轴上，点A 和点B 都在与-15对应的点上，若点A 以每秒3 个单位长度的速 4 度向右运动，点B 以每秒2 个单位长度的速度向左运动，则7 秒之后，点A 和点B 所处的位置对应的数是什么？这时线段AB 的长度是_______. 二、绝对值类 A.重点知识点强调： 3

人教版数学七年级下册平行线的判定和性质练习题__非常经典的题型_值得给学生测试

（第1页，共3页）一、填空 1．如图１，若∠A=∠3，则 ∥ ；若∠2=∠E ，则 ∥ ；若∠ +∠ = 180°，则 ∥ ． 2．若a⊥c，b⊥c，则a b ． 3．如图２，写出一个能判定直线l 1∥l 2的条件：． 4．在四边形ABCD 中，∠A +∠B = 180°，则 ∥ （）． 5．如图３，若∠1 +∠2 = 180°，则 ∥ 。 6．如图４，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中，同位角有；内错角有；同旁内角有． 7．如图５，填空并在括号中填理由：（1）由∠ABD =∠CDB 得 ∥ （）；（2）由∠CAD =∠ACB 得 ∥ （）；（3）由∠CBA +∠BAD = 180°得 ∥ （） 8．如图６，尽可能多地写出直线l 1∥l 2的条件：． 9．如图７，尽可能地写出能判定AB∥CD 的条件来：． 10．如图８，推理填空：（1）∵∠A =∠ （已知）， ∴AC∥ED（）；（2）∵∠2 =∠ （已知）， ∴AC∥ED（）；（3）∵∠A +∠ = 180°（已知）， ∴AB∥FD（）；（4）∵∠2 +∠ = 180°（已知）， ∴AC∥ED（）二、解答下列各题 11．如图９，∠D =∠A，∠B =∠FCB，求证：ED∥CF． 12．如图10，∠1∶∠2∶∠3 = 2∶3∶4， ∠AFE = 60°，∠BDE =120°，写出图中平行的直线，并说明理由． 13．如图11，直线AB 、CD 被EF 所截，∠1 =∠2，∠CNF =∠BME。求证：AB∥CD，MP∥NQ． [二]、平行线的性质 1．如图1，已知∠1 = 100°，AB∥CD，则∠2 = ，∠3 = ，∠4 = ． 2．如图2，直线AB 、CD 被EF 所截，若∠1 =∠2，则∠AEF +∠CFE = ． 3．如图3所示（1）若EF∥AC，则∠A +∠ = 180°，∠F + ∠ = 180°（）．（2）若∠2 =∠ ，则AE∥BF．（3）若∠A +∠ = 180°，则AE∥BF． 4．如图4，AB∥CD，∠2 = 2∠1，则∠2 = ． 5．如图5，AB∥CD，EG⊥AB 于G ，∠1 = 50°，则∠E = ． 6．如图6，直线l 1∥l 2，AB⊥l 1于O ，BC 与l 2交于E ，∠1 = 43°，则∠2 = ． 7．如图7，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB 互余的角有． 8．如图8，AB∥EF∥CD，EG∥BD，则图中与∠1相等的角（不包括∠1）共有个． A C B 4 1 2 3 5 图４ a b c d 1 2 3 图３ A B C E D 1 2 3 图１图２ 4 3 2 1 5 a b 1 2 3 A F C D B E 图８ E B A F D C 图９ 1 3 2 A E C D B F 图10 F 2 A B C D Q E 1 P M N 图11 A D C B O 图５图６ 5 1 2 4 3 l 1 l 2 图７ 5 4 3 2 1 A D C B 图1 2 4 3 1 A B C D E 1 2 A B D C E F 图2 1 2 3 4 5 A B C D F E 图3 1 2 A B C D E F 图4 图5 1 A B C D E F G H 图7 1 2 D A C B l 1 l 2 图8 1 A F C D E G 图6 C D F E B A

人教版七年级数学上册经典总复习练习题【附答案】

人教版七年级数学上册经典练习题七年级有理数一、境空题（每空2分，共38分） 1、31-的倒数是____；3 21的相反数是____. 2、比–3小9的数是____；最小的正整数是____. 3、在数轴上，点A 所表示的数为2，那么到点A 的距离等于3个单位长度的点所表示的数是 4、两个有理数的和为5，其中一个加数是–7，那么另一个加数是____. 、 5、某旅游景点11月5日的最低气温为 2-，最高气温为8℃，那么该景点这天的温差是 6、计算：.______)1()1(101100=-+- 7、平方得4 12的数是____；立方得–64的数是____. 8、+2与2-是一对相反数，请赋予它实际的意义：___________________。 9、绝对值大于1而小于4的整数有____________，其和为_________。 10、若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，则 3 (a + b) 3-cd =__________。 11、若0|2|)1(2=++-b a ，则b a +=_________。 12、数轴上表示数5-和表示14-的两点之间的距离是__________。、 13、在数5-、 1、 3-、 5、 2-中任取三个数相乘，其中最大的积是___________，最小的积是____________。 14、若m ，n 互为相反数，则│m-1+n │=_________．二、选择题（每小题3分，共21分） 15、有理数a 、b 在数轴上的对应的位置如图所示：则（） 0-11a b A ．a + b ＜0 B ．a + b ＞0; C ．a －b = 0 D ．a －b ＞0 16、下列各式中正确的是（） @ A ．22)(a a -= B ．33)(a a -=; C ．|| 22a a -=- D ．|| 33a a = 17、如果0a b +>，且0ab <，那么（）Ａ．0,0a b >> ;Ｂ．0,0a b << ;Ｃ．a 、b 异号;D. a 、b 异号且负数和绝对值较小 18、下列代数式中，值一定是正数的是( ) A ．x 2 B.|－x+1| C.(－x)2+2 D.－x 2+1 19、算式（-34 3）×4可以化为（）（A ）-3×4-43×4 （B ）-3×4+3 （C ）-3×4+4 3×4 （D ）-3×3-3 20、小明近期几次数学测试成绩如下：第一次85分，第二次比第一次高8分，第三次比第二次低12分，第四次又比第三次高10分．那么小明第四次测验的成绩是…………（）

(完整)七年级下册数学经典练习题

E D C B A 例1 如图，直线AB,CD,EF 相交于点O ，∠AOE=54°，∠EOD=90°，求∠EOB ，∠COB 的度数。例2 如图AD 平分∠CAE ，∠B = 350°，∠DAE=600°，那么∠ACB 等于多少？例3 三角形的一个外角等于与它相邻的内角的4倍，等于与它不相邻的一个内角的2倍，则这个三角形各角的度数为( )。 A ．450、450、900 B ．300、600、900 C ．250、250、1300 D ．360、720、720 例4 已知如图，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠ E ＋∠ F 的度数。例5 如图，AB ∥CD ，EF 分别与AB 、CD 交于G 、H ，MN ⊥AB 于G ，∠CHG=1240，则∠EGM 等于多少度？ E D C B A 21F E D C B A N M H G F E D C B A

例1 一个机器人从O 点出发，向正东方向走3米到达A1点，再向正北方向走6米到达A2点，再向正西方向走9米到达A3点，再向正南方向走12 米到达A4点，再向正东方向走15米到达A5?点，如果A1求坐标为（3，0），求点 A5?的坐标。例2 如图是在方格纸上画出的小旗图案，若用(0，0)表示A 点，(0，4)表示B 点，那么C 点的位置可表示为( ) A 、(0，3) B 、(2，3) C 、(3，2) D 、(3，0) 例3 如图2，根据坐标平面内点的位置，写出以下各点的坐标： A( )，B( )，C( )。例4 如图，面积为12cm2的△ABC 向x 轴正方向平移至△DEF 的位置，相应的坐标如图所示（a ，b 为常数），（1）、求点D 、E 的坐标（2）、求四边形ACED 的面积。 A B C 例2

初中数学基础知识及经典题型

综合知识讲解目录第一章绪论 (2) 1.1初中数学的特点 (2) 1.2怎么学习初中数学 (2) 1.3如何去听课 (5) 1.4几点建议 (6) 第二章应知应会知识点 (8) 2.1代数篇 (8) 2.2几何篇 (12) 第三章例题讲解 (19) 第四章兴趣练习 (38) 4.1代数部分 (38) 4.2几何部分 (60) 第五章复习提纲 (65)

第一章绪论 1.1初中数学的特点１．２．３．４．５．６．７．８．９．１０．１１．１２．１３．１４．１５．１６． 1.2怎么学习初中数学 1，培养良好的学习兴趣。两千多年前孔子说过：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”意思说，干一件事，知道它，了解它不如爱好它，爱好它不如乐在其中。“好”和“乐”就是愿意学，喜欢学，这就是兴趣。兴趣是最好的老师，有兴趣才能产生爱好，爱好它就要去实践它，达到乐在其中，有兴趣才会形成学习的主动性和积极性。

在数学学习中，我们把这种从自发的感性的乐趣出发上升为自觉的理性的“认识”过程，这自然会变为立志学好数学，成为数学学习的成功者。那么如何才能建立好的学习数学兴趣呢？（1）课前预习，对所学知识产生疑问，产生好奇心。（2）听课中要配合老师讲课，满足感官的兴奋性。听课中重点解决预习中疑问，把老师课堂的提问、停顿、教具和模型的演示都视为欣赏音乐，及时回答老师课堂提问，培养思考与老师同步性，提高精神，把老师对你的提问的评价，变为鞭策学习的动力。（3）思考问题注意归纳，挖掘你学习的潜力。（4）听课中注意老师讲解时的数学思想，多问为什么要这样思考，这样的方法怎样是产生的？（5）把概念回归自然。所有学科都是从实际问题中产生归纳的，数学概念也回归于现实生活，如角的概念、直角坐标系的产生都是从实际生活中抽象出来的。只有回归现实才能对概念的理解切实可*，在应用概念判断、推理时会准确。2，建立良好的学习数学习惯。习惯是经过重复练习而巩固下来的稳重持久的条件反射和自然需要。建立良好的学习数学习惯，会使自己学习感到有序而轻松。高中数学的良好习惯应是：多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。良好的学习数学习惯还包括课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。学生在学习数学的过程中，要把教师所传授的知识翻译成为自己的特殊语言，并永久记忆在自己的脑海中。另外还要保证每天有一定的自学时间，以便加宽知识面和培养自己再学习能力。 3，有意识培养自己的各方面能力。数学能力包括：逻辑推理能力、抽象思维能力、计算能力、空间想象能力和分析解决问题能力共五大能力。这些能力是在不同的数学学习环境中得到培养的。在平时学习中要注意开发不同的学习场所，参与一切有益的学习实践活动，如数学第二课堂、数学竞赛、智力竞赛等活动。平时注意观察，比如，空间想象能力是通过实例净化思维，把空间中的实体高度抽象在大脑中，并在大脑中进行分析推理。其它能力的培养都必须学习、理解、训练、应用中得到发展。特别

初中数学最值问题典型例题(含答案分析)

中考数学最值问题总结考查知识点：1、“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。（2、代数计算最值问题 3、二次函数中最值问题）问题原型：饮马问题造桥选址问题（完全平方公式配方求多项式取值二次函数顶点）出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基本模型：条件：如下左图，A 、B 是直线l 同旁的两个定点．问题：在直线l 上确定一点P ，使PA PB +的值最小．方法：作点A 关于直线l 的对称点A '，连结A B '交l 于点P ，则PA PB A B '+=的值最小例1、如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM ．（1）求证：△AMB ≌△ENB ；（2）①当M 点在何处时，AM+CM 的值最小； ②当M 点在何处时，AM+BM+CM 的值最小，并说明理由；（3）当AM+BM+CM 的最小值为时，求正方形的边长。例2、如图13，抛物线y=ax 2＋bx ＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x 轴于A 、B ，交y 轴于D ，其中B 点的坐标为（3,0）（1）求抛物线的解析式（2）如图14，过点A 的直线与抛物线交于点E ，交y 轴于点F ，其中E 点的横坐标为2，若直线PQ 为抛物线的对称轴，点G 为PQ 上一动点，则x 轴上是否存在一点H ，使D 、G 、F 、H 四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G 、H 的坐标；若不存在，请说明理由. （3）如图15，抛物线上是否存在一点T ，过点T 作x 的垂线，垂足为M ，过点M 作直线M N ∥BD ，交线段AD 于点N ，连接MD ，使△DNM ∽△BMD ，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，说明理由. A B A ' ′ P l

初一下册数学易错题经典例题

易错数学题初一下册7年级 1.如图，直线AB、CD相交于O，OE平分∠BOD，∠AOC＝70度，∠EOD＝____，∠EOB 的余角等于___，∠EOB的补角的1／3等于_____。 2.在钟表上，当12时30分时，时针与分针的夹角为________。 3.过线段外一点，画线段的垂线，垂足（） A. 在线段上 B. 在端点 C. 在线段的延长线上 D. 以上都有可能 4.如图所示，是一跳远运动员跳落沙坑时的痕迹，则表示该运动员的成绩是（） A. 线段AP的长度 B. 线段BP的长度 C. 线段AQ的长度 D. 线段BQ的长度 5.如图：∠BAC＝90度，AD⊥BC垂足为D，则下列结论中，正确的个数为（）。 ①AB与AC互相垂直；②点C到AB的垂线段是AB；③AD与AC互相垂直；④点A 到BC的距离是线段AD；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；⑥线段AB是点B到AC 的距离。 6.如图：把一张长方形的纸片ABCD沿EF折叠后，ED交BC于G，点D、C分别落在P、Q位置上，若∠EFG＝55度，求∠1、∠2的度数

7.如图：已知∠1和∠D互余，CF⊥DF，试证明AB∥CD 8.如图已知：AB∥CD，∠1＝40度，∠2＝70度，求∠3的度数 9. **如图，已知AB∥CD，∠1＝100°，∠2＝120°，则∠α＝＿＿＿＿ 10﹡如图，有一条河流，两岸是平行的，当小船行驶到E点时与两岸码头B、D成75°角，当小船行驶到点F时，看FB、FD时，恰有∠1＝∠2，∠3＝∠4，那么此时点F与码头B、D所成的角∠BFD是多少度？ . 11.﹡﹡已知如图，M、N分别是位于两条平行线AB、CD上的两点，点E位于两平行线之间，试问：∠AME与∠CNE和∠MEN之间有何关系？并说明理由．

七年级数学下册《轴对称图形典型例题》

轴对称图形典型例题例1 如下图，已知，PB ⊥AB ，PC ⊥AC ，且PB ＝PC ，D 是AP 上一点．求证：∠BDP ＝∠CDP ．证明：∵ PB ⊥AB ，PC ⊥AC ，且PB ＝PC ， ∴ ∠P AB ＝∠P AC （到角两边距离相等的点在这个角平分线上）， ∵ ∠APB ＋∠P AB ＝90°，∠APC ＋∠P AC ＝90°， ∴ ∠APB ＝∠APC ，在△PDB 和△PDC 中， ?????=∠=∠= PD PD APC APB PC PB .，， ∴ △PDB ≌△PDC （SAS ）， ∴ ∠BDP ＝∠CDP ．（图形具有明显的轴对称性，可以通过利用轴对称的性质而不用三角形的全等）注利用角平分线定理的逆定理，可以通过距离相等直接得到角相等，而不用再证明两个三角形全等．例2 已知如下图（1），在四边形ABCD 中，BC ＞BA ，AD ＝CD ，BD 平分∠ABC ．求证：∠A ＋∠C ＝180°．（1）证法一：过D 作DE ⊥AB 交BA 的延长线于E ，DF ⊥BC 于F ， ∵ BD 平分∠ABC ，∴ DE ＝DF ，在Rt △EAD 和Rt △FCD 中， ???==.DF DE DC AD ，（角平分线是常见的对称轴，因此可以用轴对称的性质或全等三角形的性质来证明．） ∴ Rt △EAD ≌Rt △FCD （HL ），

∴ ∠C ＝∠EAD ， ∵ ∠EAD ＋∠BAD ＝180°， ∴ ∠A ＋∠C ＝180°．证法二：如下图（2），在BC 上截取BE ＝AB ，连结DE ，证明△ABD ≌△EBD 可得．（2）证法三：如下图（3），延长BA 到E ，使BE ＝BC ，连结ED ，以下同证法二．（3）注本题考察一个角平分线上的任意一点到角的两边距离相等的定理来证明线段相等，关键是掌握遇到角的平分线的辅助线的不同的添加方法．例3 已知，如下图，AD 为△ABC 的中线，且DE 平分∠BDA 交AB 于E ，DF 平分∠ADC 交AC 于F ．求证：BE ＋CF ＞EF ．证法一：在DA 截取DN ＝DB ，连结NE 、NF ，则DN ＝DC ，在△BDE 和△NDE 中， ?????=∠=∠=.DE DE NDE BDE ND BD ，，（遇到角平分线可以考虑利用轴对称的性质或全等三角形的性质来解题） ∴ △BDE ≌△NDE （SAS ）， ∴ BE ＝NE （全等三角形对应边相等），同理可证： CF ＝NF ，在△EFN 中，EN ＋FN ＞EF （三角形两边之和大于第三边）， ∴ BE ＋CF >EF ．

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