第二章：统计易错题
一、选择题
1．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a ,中位数为b ,众数为c ，则有( ) A ． c b a >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．a b c >> 2．下列说法错误的是 ( )
A ．在统计里，把所需考察对象的全体叫作总体
B ．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据
C ．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势
D ．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大
3．某企业有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，一般职员90人， 现抽取30人进行分层抽样，则各职称人数分别为（ ） A ．5,10,15 B ．3,9,18 C ．3,10,17 D ．5,9,16
4. 要了解全市高一学生身高在某一范围的学生所占比例的大小，需知道相应样本的( )
A . 平均数
B . 方差
C . 众数
D . 频率分布 5．要从已编号（160 ）的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是（ ）
A ．5,10,15,20,25,30
B ．3,13,23,33,43,53
C ．1,2,3,4,5,6
D ．2,4,8,16,32,48 6
第三组的频数和频率分别是 ( ) A ．14和0.14 B ．0.14和14 C ．
14
1和0.14 D ．
3
1和
14
1
二、填空题
1．为了了解参加运动会的2000名运动员的年龄情况，从中抽取100名运动员；就这个问题，下列说法中正确的有 ；
① 2000名运动员是总体；②每个运动员是个体；③所抽取的100名运动员是一个样本； ④样本容量为100；⑤这个抽样方法可采用按年龄进行分层抽样；⑥每个运动员被抽到的概率相等。
2．经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影，如果选出的2位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多 人。 3．数据70,71,72,73的标准差是______________。
4．数据123,,,...,n a a a a 的方差为2σ，平均数为μ，则
（1）数据123,,,...,,(0)n ka b ka b ka b ka b kb ++++≠的标准差为 ，
平均数为 ．
（2）数据123(),(),(),...,(),(0)n k a b k a b k a b k a b kb ++++≠的标准差为 ，
平均数为 。
5．观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在(]2700,3000的
三、解答题
2．为了了解初三学生女生身高情况，某中学对初三女生身高进行了一次测量，所得数（1）求出表中,,,m n M N 所表示的数分别是多少？ （2）画出频率分布直方图.
（3）全体女生中身高在哪组范围内的人数最多？
3．某校高中部有三个年级，其中高三有学生1000人，现采用分层抽样法抽取一个容量为185的样本，已知在高一年级抽取了75人，高二年级抽取了60人，则高中部共有多少学生？
4．从两个班中各随机的抽取10名学生，他们的数学成绩如下：
画出茎叶图并分析两个班学生的数学学习情况。
5．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：
9.48.49.49.99.69.49.7
去掉一个最高分和一个最低分后,求所剩数据的平均值和方差。
第二章统计易错题答案
一、选择题
1.D 总和为147,14.7a =；样本数据17分布最广，即频率最大，为众数，17c =； 从小到大排列，中间一位，或中间二位的平均数，即15b =
2.B 平均数不大于最大值，不小于最小值
3. B 抽取的比例为301111,153,459,9018150
55
5
5=?
=?
=?
=
4.D
5.B
60106
=，间隔应为10
6.A 频数为100(1013141513129)14-++++++=；频率为140.14100
=
二、填空题
1.④，⑤，⑥ 2000名运动员的年龄情况是总体；每个运动员的年龄是个体；
2.3 3位执“一般”对应1位“不喜欢”，即“一般”是“不喜欢”的3倍，而他们的
差为12人，即“一般”有18人，“不喜欢”的有6人，且“喜欢”是“不喜欢”
的6倍，即30人，全班有54人，130543
2
-
?=
3.2
70717273
71.5,
4
X ++
+
=
=
2
s =
=
4．（1）k σ，k b μ+（2）k σ，k kb μ+ （1）1212......n n
ka b ka b ka b
a a a X k
b k b n
n
μ+++++++++=
=?
+=+
s k
k σ
=
==
（2）1212()()...()
...n n
k a b k a b k a b a a a X k nb k nb n
n
μ+++++++++=
=?
+=+
s k
k σ
=
==
5.0.3 频率/组距0.001=，组距300=，频率0.0013000.3=?=
三、解答题 1.解：108968571664574331
3607.250
50
X ?+?+?+?+?+?+?+?=
==
2.解：（1）150,50(1420158)20.02
M m =
==-++++=
21,0.04
50
N n ==
= （2）…（3）在153.5157.5 范围内最多。 3.解：从高三年级抽取的学生人数为185(7560)50-+= 而抽取的比例为
50
1
100020
=，高中部共有的学生为1185370
020
÷
= 4.解：乙班级总体成绩优于甲班。
重点高中生物易错题(1)
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1．滤液细线画的过粗可能会导致色素带出现重叠。 2．腐乳胚若被细菌污染表面会出现粘性物。 3．脂质分子中氧的含量远远少于糖类，而氧的含量更多。 4．线粒体内膜上的蛋白质和脂质的比值高于外膜。 5．内质网膜为多种酶提供了大量的附着位点。 6．溶酶体可以分解衰老，损伤的细胞器，以保持细胞的功能稳定。 7．母细胞和子细胞中DNA的含量是稳定的，意义：保持亲代细胞和子细胞遗传性状的稳定性。 8．21三体综合征原因 ①21号染色体在M1同源染色体未分离 有2个异常染色体配子 ②在M2非姐妹染色体未分离
有1个异常染色体配子，2个正常配子 9．大肠杆菌无核膜，核仁，且能进行转录和翻译。 10．乳酸菌不含线粒体，但能进行无氧呼吸。 11．硝化细菌不能进行光合作用，但属于自养生物。 12．细胞能正常的完成各项生命活动的前提条件：细胞保持完整性。 13．淀粉酶，蛋白酶：帮助消化 胰蛋白酶：化脓性伤口的净化 纤溶酶，尿激酶：血栓治疗 14．酶与底物结合成促使底物分解都不需要能量。 15．现配现用的试剂：斐林试剂，二苯胺。 16．无籽西瓜无籽的原因：减数分裂时，发生联会紊乱，无法产生生殖细胞。17．高温条件下，酶容易失活，原因：高温使酶的空间结构破坏。 18．破伤风杆菌和大肠杆菌不能进行有氧呼吸二三阶段。 19．细胞癌变过程中基因发生突变，细胞周期缩短。 20．发生质壁分离的外因：外界溶液浓度>细胞液浓度
2017年高考备考：高中数学易错点梳理 一、集合与简易逻辑 易错点1 对集合表示方法理解存在偏差 【问题】1: 已知{|0},{1}A x x B y y =>=>，求A B I 。 错解：A B =ΦI 剖析：概念模糊，未能真正理解集合的本质。 正确结果：A B B =I 【问题】2: 已知22 {|2},{(,)|4}A y y x B x y x y ==+=+=，求A B I 。 错解： {(0,2),(2,0)}A B =-I 正确答案：A B =ΦI 剖析：审题不慎，忽视代表元素，误认为A 为点集。 反思：对集合表示法部分学生只从形式上“掌握”，对其本质的理解存在误区，常见的错误是不理解集合的表示法，忽视集合的代表元素。 易错点2 在解含参数集合问题时忽视空集 【问题】: 已知2 {|2},{|21}A x a x a B x x =<<=-<<，且B A ?，求a 的取值范围。 错解：[-1，0） 剖析：忽视A =?的情况。 正确答案：[-1，2] 反思：由于空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，因此对于集合B A ?就有可能忽视了A =?，导致解题结果错误。尤其是在解含参数的集合问题时，更应注意到当参数在某个范围内取值时，所给的集合可能是空集的情况。考生由于思维定式的原因，往往会在解题中遗忘了这个集合，导致答案错误或答案不全面。 易错点3 在解含参数问题时忽视元素的互异性 【问题】: 已知1∈{2a +,2 (1)a +, 2 33a a ++ }，求实数a 的值。 错解：2,1,0a =-- 剖析：忽视元素的互异性，其实当2a =-时，2 (1)a +=233a a ++=1；当1a =-时， 2a +=2 33a a ++=1；均不符合题意。 正确答案：0a = 反思：集合中的元素具有确定性、互异性、无序性，集合元素的三性中的互异性对解题的影响最大，特别是含参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。解题时可先求出字母参数的值，再代入验证。 易错点4 命题的否定与否命题关系不明 【问题】: 写出“若a M a P ??或，则a M P ?I ”的否命题。 错解一：否命题为“若a M a P ??或，则a M P ∈I ” 剖析：概念模糊，弄错两类命题的关系。 错解二：否命题为“若a M a P ∈∈或，则a M P ∈I ” 剖析：知识不完整，a M a P ??或的否定形式应为a M a P ∈∈且。 正确答案：若a M a P ∈∈且，则a M P ∈I
人教版高中数学必修三第二章统计知识点总结 2．1随机抽样 2.1．１简单随机抽样 教学目标:１．结合实际问题情景，理解随机抽样的必要性和重要性 2．学会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本 教学重点：学会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本 1.总体和样本 在统计学中，把研究对象的全体叫做总体． 把每个研究对象叫做个体． 把总体中个体的总数叫做总体容量． 为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：，，, 研究,我们称它为样本．其中个体的个数称为样本容量. 2．简单随机抽样 一般地，设总体中有N个个体,从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本 (n≤Ｎ）,如果每次抽取时总体中的各个个体被抽到的机会都相等就把这种抽样方法叫做简单随机抽样. 特点:每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等)，样本的每个单位完全独立,彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时,才采用这种方法。 简单随机抽样常用的方法： （１)抽签法； 例:请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。 (2)随机数表法: 例：利用随机数表在所在的班级中抽取10位同学参加某项活动。 例题 例1 为了了解参加运动会的2000名运动员的年龄情况，从中抽取100名运动员;就这个问题,下列说法中正确的有； ①2000名运动员是总体;②每个运动员是个体;③所抽取的100名运动员是一个样本; ④样本容量为100;⑤这个抽样方法可采用按年龄进行分层抽样;⑥每个运动员被抽到的概率相等。
例２下面抽取样本的方式是简单随机抽样吗?为什么？ （1）从无限多个个体中抽取5０个个体作为样本; (２)箱子里共有１00个零件，从中选取10个零件进行检验,从中任取一个零件进行检验后，再把它放回箱子里; (3)从50个个体中,一次性抽取5个个体作为样本； (４)从某班4５名同学中指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动; 1.从60个产品中抽取6个进行检查,则总体个数为__＿___,样本容量为______． 2.要检查一个工厂产品的合格率,从1000件产品中抽出50件进行检查,检查者在其中随意取了50件,这种抽法为＿_＿______＿_＿＿_____＿_. 3．福利彩票的中奖号码是由1~３6个号码中,选出７个号码来按规则确定中奖情况,这种从３6个选７个号的抽样方法是______＿_＿_. 4．对于简单随机抽样，个体被抽到的机会（）Ａ.相等Ｂ.不相等 C.不确定Ｄ.与抽样次数有关 5．抽签中确保样本代表性的关键是 ( ) A.制签 B.搅拌均匀 C.逐一抽取 D.抽取不放回 ６.用随机数法从100名学生(男生25人)中抽取20人进行某项活动，某男生被抽到的几率是 A． 1 100 B. 1 25 C. 1 5 D. 1 4 （） ７.从某批零件中抽取５0个，然后再从50个中抽出40个进行合格检查,发现合格品有36个,则该批产品的合格率为（ ) Ａ.36﹪ B. ７２﹪ C.90﹪ D．25﹪ 8．某校有40个班,每班50人,每班选项派3人参加学代会,在这个问题中样本容量是. A. 40 B.50 Ｃ.120 D. １５0 ( ） ９.在简单随机抽样中,某一个个体被抽中的可能性是（ ) A.与第几次抽样有关，第1次抽中的可能性要大些 B.与第几次抽样无关，每次抽中的可能性都相等
重点高中生物常见易错题集锦——必修二
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2014年高考二轮基本知识回扣（二） 高中生物常见易错题集锦——必修二 1.生物总结大家帮忙,自交杂交侧交正交反交？ 答:自交：同一植物体有性交配（包括自花传粉和同株的异花传粉）。 杂交：不同个体的有性交配 测交：F1或其他生物体与隐形个体交配，可用确定被测个体的基因型或遗传方式。 正交和反交：正交和反交自由定义。若甲为母本，乙为父本间的交配方式称为正交，则以甲为父本，乙为母本的交配方式称为反交。可用正交和反交确定某遗传是细胞质遗传还是细胞核遗传。 2.为什么说确定某性状由细胞核基因决定，还是由细胞质基因决定，可采用的办法为正交和反交？ 答:因为细胞质遗传基因全部来自母本，正反交的基因型不一样，所以正反交的表现型不一样。所以正反交的表现型不一样的是细胞质遗传 细胞核遗传时来自父母的基因各一半，对于纯合亲本而言（教材默认的是纯合体），正反交的基因型相同，所以正反交的表现型相同。所以正反交的表现型相同的是细胞核遗传。 3.纯合子所有基因都含有相同遗传信息,这句话错在哪? 答:纯合子：所考察的一对或多对基因纯合，而生物体内的其他基因不考虑（可能杂合，也可能纯合）例：AABBDDEe考察AABBDD基因控制的性状时候，纯合；考察Ee的时候，杂合 4.准确描述一下等位基因；纯合子中有没有等位基因？ 答:同源染色体上同一位点，控制相对性状的基因称为等位基因。Aa 同源染色体上同一位点，控制相同性状的基因称为相同基因。AA 5 . １.什么实验需要人工去雄？２.是否当单独培养时，就不需要人工去雄了？ 答:1.人工去雄可以避免试验不需要的授粉，排除非试验亲本的花粉授粉引起实验结果偏差。 2.自花授粉，闭花传粉的植物在实验中如果实验不需要自交就要去雄。 6 .检验纯种的方法有几种？ 答:有两种--测交或自交 1.测交后代有性状分离，说明待测个体是杂合。反之，是纯合---此法多用于动物 2.自交后代有性状分离，说明待测个体是杂合。反之，是纯合---此法多用于自花传粉的植物，操作起来很简单。
2018-2019学年必修三第二章训练卷 统计(二) 注意事项： 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知x ,y 是两个变量,下列四个散点图中,x ,y 是负相关趋势的是( ) A. B. C. D. 2.一组数据中的每一个数据都乘以2,再减去80,得到一组新数据,若求得新的数据的平均数是1.2,方差是4.4,则原来数据的平均数和方差分别是( ) A.40.6,1.1 B.48.8,4.4 C.81.2,44.4 D.78.8,75.6 3.某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球,每人练习10组,每组罚球40个.命中个数的茎叶图如右图,则下面结论中错误的一个是( ) A.甲的极差是29 B.乙的众数是21 C.甲罚球命中率比乙高 D .甲的中位数是24 4.某学院A ,B ,C 三个专业共有1200名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况,拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知该学院的A 专业有380名学生,B 专业有420名学生,则在该学院的C 专业应抽取的学生人数为( ) A.30 B.40 C.50 D.60 5.在一次歌手大奖赛上,七位评委为某歌手打出的分数如下：9.4、8.4、9.4、9.9、9.6、9.4、9.7,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为( ) A.9.4,0.484 B.9.4,0.016 C.9.5,0.04 D.9.5,0.016 6.两个变量之间的相关关系是一种( ) A.确定性关系 B.线性关系 C.非确定性关系 D.非线性关系 7.如果在一次实验中,测得(x ,y )的四组数值分别是A (1,3),B (2,3.8),C (3,5.2),D (4,6),则y 与x 之间的回归直线方程是( ) A.y ＝x ＋1.9 B.y ＝1.04x ＋1.9 C.y ＝0.95x ＋1.04 D.y ＝1.05x －0.9 8.现要完成下列3项抽样调查： ①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查. ②科技报告厅有32排,每排有40个座位,有一次报告会恰好坐满了听众,报告会结束后,为了听取意见,需要请32名听众进行座谈. ③东方中学共有160名教职工,其中一般教师120名,行政人员16名,后勤人员24名.为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见,拟抽取一个容量为20的样本. 较为合理的抽样方法是( ) A.①简单随机抽样,②系统抽样,③分层抽样 B.①简单随机抽样,②分层抽样,③系统抽样 C.①系统抽样,②简单随机抽样,③分层抽样 D.①分层抽样,②系统抽样,③简单随机抽样 9.从存放号码分别为1,2,…,10的卡片的盒子中,有放回地取100次,每次取一张卡片并记下号码,统计结果如下： 此卷只装 订 不 密 封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
高中数学易错题集锦 高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对读者的学习有所帮助，加强思维的严密性训练。 忽视等价性变形，导致错误。 ??? x >0 y >0 ? ??? x + y >0 xy >0 ，但 ??? x >1 y >2 与 ??? x + y >3 xy >2 不等价。 【例1】已知f(x) = a x + x b ，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围。 错误解法 由条件得?? ? ??≤+≤≤+≤-62230 3b a b a ②① ②×2－① 156≤≤a ③ ①×2－②得 32 338-≤≤- b ④ ③+④得 .3 43 )3(310,34333310≤≤≤+≤f b a 即 错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数b x ax x f + =)(，其值是同时受b a 和制约的。当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。 正确解法 由题意有?? ? ??+=+=22)2()1(b a f b a f , 解得： )],2()1(2[3 2 )],1()2(2[31f f b f f a -=-= ).1(95)2(91633)3(f f b a f -=+=∴ 把)1(f 和)2(f 的范围代入得 .3 37 )3(316≤≤f 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固 地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ●忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】解下列各题 (1) 设βα、是方程0622 =++-k kx x 的两个实根，则2 2)1()1(-+-βα的最小值是 不存在)D (18)C (8)B (4 49)A (- 思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα
第1课时随机抽样 一、目标与要求： 理解用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本；理解分层抽样和系统抽样的方法 二、要点知识： 1、三种抽样方法、、，其中简单随机抽样分为抽签法、随机数法。 2、三种抽样方法的区别与联系： 1）联系：简单随机抽样、系统抽样与分层抽样都是一种，抽样时每个个体被抽到的可能性是，它们都是不放回抽样。 2）区别：一般的，当总体个数较多时，常采用；当总体由差异明显的几部分组成时，常采用；一般情况下，采用。 三、课前小练： 1、要了解一批产品的质量，从中抽取200个产品进行检测，则这200个产品的质量是（）A总体 B总体的一个样本 C个体 D样本容量 2、为了调查某城市自行车年检情况，在该城市主干道上采取抽取车牌个数为9的自行车检验，这种抽样方法是（） A简单随机抽样 B抽签法 C系统抽样 D分层抽样 3、要从已编号（1-50）的50部新生产赛车中随机抽取5部进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5部赛车的编号可能是（） A. 5,10,15,20,25 B. 3,13,23,33,43 C. 5,8,11,14,17 D. 4,8,12,16,20 4、某校有老师200人，男生1200人，女生1000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本；已知从女生中抽取的人数为80人，则 n＝。 5、采用系统抽样的方法，从个体数为1003的总体中抽取一个容量50的样本，则在抽样过程中，被剔除的个体数为，抽样间隔为。 四、典例分析： 例1、某工厂平均每天生产某种零件大约10000件，要求产品检验员每天抽取50个零件检查其质量情况，假设一天的生产时间（8小时）中，生产机器零件的件数是均匀的，请你设计一个抽样方案。
2014年高考二轮基本知识回扣（二） 高中生物常见易错题集锦——必修二 1.生物总结大家帮忙,自交杂交侧交正交反交？ 答:自交：同一植物体有性交配（包括自花传粉和同株的异花传粉）。 杂交：不同个体的有性交配 测交：F1或其他生物体与隐形个体交配，可用确定被测个体的基因型或遗传方式。 正交和反交：正交和反交自由定义。若甲为母本，乙为父本间的交配方式称为正交，则以甲为父本，乙为母本的交配方式称为反交。可用正交和反交确定某遗传是细胞质遗传还是细胞核遗传。 2.为什么说确定某性状由细胞核基因决定，还是由细胞质基因决定，可采用的办法为正交和反交？ 答:因为细胞质遗传基因全部来自母本，正反交的基因型不一样，所以正反交的表现型不一样。所以正反交的表现型不一样的是细胞质遗传 细胞核遗传时来自父母的基因各一半，对于纯合亲本而言（教材默认的是纯合体），正反交的基因型相同，所以正反交的表现型相同。所以正反交的表现型相同的是细胞核遗传。 3.纯合子所有基因都含有相同遗传信息,这句话错在哪? 答:纯合子：所考察的一对或多对基因纯合，而生物体内的其他基因不考虑（可能杂合，也可能纯合）例：AABBDDEe考察AABBDD基因控制的性状时候，纯合；考察Ee的时候，杂合 4.准确描述一下等位基因；纯合子中有没有等位基因？ 答:同源染色体上同一位点，控制相对性状的基因称为等位基因。Aa 同源染色体上同一位点，控制相同性状的基因称为相同基因。AA 5 . １.什么实验需要人工去雄？２.是否当单独培养时，就不需要人工去雄了？ 答:1.人工去雄可以避免试验不需要的授粉，排除非试验亲本的花粉授粉引起实验结果偏差。 2.自花授粉，闭花传粉的植物在实验中如果实验不需要自交就要去雄。 6 .检验纯种的方法有几种？ 答:有两种--测交或自交 1.测交后代有性状分离，说明待测个体是杂合。反之，是纯合---此法多用于动物 2.自交后代有性状分离，说明待测个体是杂合。反之，是纯合---此法多用于自花传粉的植物，操作起来很简单。
必修三 第二章统计 考试时间：1２0分钟；满分１５０分 第I 卷（选择题） 一、选择题（每题５分，总分６０分） 为：96, 112, 97, 108, 99, 104, 86, 98，则他们的中位数是( ) A ．100 B ．99 C ．98.5 D ．98 2．用样本频率分布估计总体频率分布的过程中，下列说法准确的是（ ） A ．总体容量越大，估计越精确 B ．总体容量越小，估计越精确 C ．样本容量越大，估计越精确 D ．样本容量越小，估计越精确 3．已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图(如图所示)，则 ( ) A 、甲篮球运动员比赛得分更稳定，中位数为26 B 、甲篮球运动员比赛得分更稳定，中位数为27 C 、乙篮球运动员比赛得分更稳定，中位数为31 D 、乙篮球运动员比赛得分更稳定，中位数为36 4．甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生（ ） A.30人, 30人，30人 B.30人，45人，15人 C.20人，30人，10人 D.30人，50人，10人 5 第三组的频数和频率分别是 ( ) A ．14和0.14 B ．0.14和14 C ． 141和0.14 D ． 31和141 6．完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买水平的某项指标；②从某中学的15名艺术特长 生中选出3名调查学习负担情况，宜采用的抽样方法依次是（ ） A ．①简单随机抽样，②系统抽样 B ．①分层抽样，②简单随机抽样 C ．①系统抽样，②分层抽样 D ．①②都用分层抽样 7．已知随机变量,x y 的值如下表所示，如果x 与y 线性相关且回归直线方程为 7 ?2 y bx =+，则实数b =（ ） 6 7
【易错题】高中必修二数学下期中模拟试卷(及答案) 一、选择题 1．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为 30o ，则该长方体的体积为（ ） A ．8 B ．62 C ．82 D ．83 2．陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗，北方叫做“打老牛”.陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成.如图画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为（ ） A ．1073 π B ． 32 453 π+ C ． 16323π+ D ．32333 π+ 3．已知,,,A B C D 是同一球面上的四个点，其中ABC ?是正三角形，AD ⊥平面ABC ，26AD AB ==，则该球的体积为（ ） A ．48π B ．24π C ．16π D ．323π 4．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( ) A ．202π+ B ．203π+ C ．242π+ D ．243π+ 5．已知两点()A 3,4-，()B 3,2，过点()P 1,0的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是( ) A ．()1,1- B ．()(),11,∞∞--?+
C ．[]1,1- D ．][() ,11,∞∞--?+ 6．下列命题正确的是（ ） A ．经过三点确定一个平面 B ．经过一条直线和一个点确定一个平面 C ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 D ．四边形确定一个平面 7．圆心在x +y =0上，且与x 轴交于点A （-3，0）和B （1，0）的圆的方程为（ ） A ．22(1)(1)5x y ++-= B ．22(1)(1)5x y -++= C ．22(1)(1)5x y -++= D ．22(1)(1)5x y ++-= 8．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 为球O 的直径，且SC OA ⊥，SC OB ⊥，OAB V 为等边三角形，三棱锥S ABC -的体积为 43 3 ，则球O 的半径为( ) A ．3 B ．1 C ．2 D ．4 9．在我国古代数学名著 九章算术 中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中， AB ⊥平面BCD ，且AB BC CD ==，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（ ） A ． 12 B ．12 - C ． 3 D ．3- 10．如图1，ABC ?是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，T 为线段AC 的中点，G 是 BC 的中点，ABE ?与BCF ?分别是以AB 、BC 为底边的等边三角形，现将ABE ?与 BCF ?分别沿AB 与BC 向上折起（如图2），则在翻折的过程中下列结论可能正确的个数为（ ） 图1 图2 （1）直线AE ⊥直线BC ；（2）直线FC ⊥直线AE ； （3）平面//EAB 平面FGT ；（4）直线//BC 直线AE .
211 4. 两株高茎豌豆杂交，后代既有高茎又有矮茎，让子代高茎豌豆全部自交，则自交后代性状分离 1 比为( )[来源:Z。xx。https://www.doczj.com/doc/a68163288.html,] A. 3∶1 B. 1∶1 C. 9∶6 D. 5∶1 211 5. 人类Rh血型有Rh+和Rh-两种，分别由常染色体上显性基因R和隐性基因r控制。Rh+的人 1 有Rh抗原，Rh-的人无Rh抗原。若Rh+胎儿的Rh抗原进入Rh-母体且使母体产生Rh抗体，随 后抗体进入胎儿体则引起胎儿血液凝集和溶血；若这位Rh-母亲又怀一Rh+胎儿，下列对这两胎 儿的相关基因型及血液凝集和溶血程度的分析中，正确的是( ) ①相关基因型与父亲的一定相同②相关基因型与父亲的不一定相同 ③两胎儿血液凝集和溶血程度相同④第二胎儿血液凝集和溶血程度比第一胎儿严重 A．①③B．①④C．②③D．②④ 211 8.水稻的非糯性(W)对糯性(w)是一对相对性状。含W的花粉遇碘变蓝，含w的花粉遇碘不变蓝，把WW和ww杂交得到的F1种子播下去，长大开花后取出一个成熟的花药，取其中的全部花粉， 滴一滴碘液，在显微镜下观察，可见花粉( ) A.全部变蓝B．全不变蓝 C. 1/2变蓝D．3／4变蓝[来源学科网ZXXK] 211 14. 控制蛇皮颜色的基因遵循遗传定律进行传递，现进行下列杂交实验。 甲：P黑斑蛇×黄斑蛇乙：F1黑斑蛇×黑斑蛇[来源学科网ZXXK] ↓↓ F1黑斑蛇、黄斑蛇F2黑斑蛇、黄斑蛇
根据上述杂交实验，下列结论中不正确的是( ) A. 所有黑斑蛇的亲本至少有一方是黑斑蛇 B. 黄斑是隐性性状 C. 甲实验中，F1黑斑蛇基因型与亲本黑斑蛇基因型相同 D. 乙实验中，F2黑斑蛇基因型与亲本黑斑蛇基因型相同 211 19. 豌豆未成熟豆荚绿色对黄色是显性，让杂合子绿色豆荚豌豆的雌蕊接受黄色豆荚豌豆的花粉，所结出数十个豆荚的颜色应是() A. 全部为绿色 B. 绿色与黄色的比例接近3∶1 C. 全部为黄色 D. 绿色与黄色的比例接近1∶1 211 1 、下列各组中属于相对性状的是（） A．棉花纤维的粗与长B．豌豆的紫花和红花 C．狗的白毛和鼠的褐毛D．玉米的圆粒和黄粒 211 4.有一种家鼠，当用黄色鼠和灰色鼠杂交，得到的子一代黄色和灰色两种鼠的比例是1︰1，将子一代中黄色鼠交配，子二代中的黄色和灰色比例是2︰1，对上述现象的解释中不正 确的是 A．家鼠皮毛性状的遗传不遵循孟德尔规律B．该种家鼠中黄色个体一定为杂合体 C．显性纯合子在胚胎时期已死亡D．家鼠的这对性状中黄色对灰色显性 211 8.下列鉴定生物遗传特性的方法中恰当的是
【易错题】高中必修二数学下期末试题附答案 一、选择题 1．设m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则（ ） A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若//m α，//m β，则//αβ C ．若//m n ，n α⊥，则m α⊥ D ．若//m α，αβ⊥，则m β⊥ 2．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 A ．甲地：总体均值为3，中位数为4 B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C ．丙地：中位数为2，众数为3 D ．丁地：总体均值为2，总体方差为3 3．已知集合{} {}2 |320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件 A C B ??的集合 C 的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ，则()y f x =在[0,]π上的图象大致为（ ） A ． B ．
C ． D ． 5．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的1 7 是较小的两份之和，则最小的一份为（ ） A ． 53 B ． 103 C ． 56 D ． 116 6．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图所示，则它的表面积为（ ） A ．2 B ．422+ C ．442+ D ．642+ 7．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱 111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若11AA AB ==，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体 积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -的表面积为 A 21 B 31 C ． 23 2 D 33 +8．当x ∈R 时，不等式210kx kx -+>恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞ B ．[)0,+∞ C ．[)0,4 D ．（0，4）
1水在生物体内是良好的溶剂，是各种化学反应的介质。下列有关水的说法中不正确的是（ B ） A.在有氧呼吸过程中，水既是反应物又是生成物 B.当人体缺水，血浆渗透压升高，从而引起下丘脑产生渴觉 C.温度适当升高会使细胞内自由水与结合水比值上升 D.越冬的植物体内自由水与结合水比值下降 某生物体内发生如下的反应：淀粉→麦芽糖→葡萄糖→糖原，则下列说法不正确的是（ C ）A．此生物一定是动物，因为能合成糖原 B．淀粉和糖原都属于多糖，都是储能物质 C．此生物一定是动物，因为能利用葡萄糖 D．淀粉→麦芽糖→葡萄糖发生在消化道内，葡萄糖→糖原可发生在肝脏内 某蛋白质分子由四条肽链组成，共657个氨基酸，请回答： （1）写出天门冬氨酸和赖氨酸脱水缩合过程（结构式见下面）。 （2）该蛋白质分子中至少含有游离的氨基____________个、游离的羧 基____________个。 （3）该蛋白质分子中，共有____________个肽键；在该蛋白质分子形 成过程中，相对分子质量减少了________________________。 （4）假设该蛋白质分子中的一条肽链为178肽，其分子式为 CxHyNzOwS（z>178,w>179），并且是由右图五种氨基酸组成的。那么 将该178肽彻底水解后将会得到________________个赖氨酸， ________________个天门冬氨酸（结果可含分子式中未知数）。 答案：（2）4 4 （3）653 11 754 （4）z-178 解析：（1） （2）至少含有的游离氨基数和游离羧基数等于肽链数。 （3）肽键数=氨基酸数-肽链数，相对分子质量减少量：水分子数×18。 （4）178肽的总N原子数=肽键中的N+头上氨基中的N+氨基酸R基中的N，则z=177+1+赖氨酸R基中的N，所以赖氨酸=z-178。 同样道理：w=177+2+2天门冬氨酸，所以天门冬氨酸= 2细胞质基质、线粒体基质和叶绿体基质的（ B ） A．功能及所含有机化合物都相同 B.功能及所含有机化合物都不同 C．功能相同，所含有机化合物不同 D.功能不同，所含有机化合物相同 下列有关细胞结构和功能的叙述，正确的是（ A ） A．胃腺细胞与汗腺细胞相比，核糖体数量较多 B．唾液腺细胞与心肌细胞相比，线粒体数量较多 C．生命活动旺盛的细胞与衰老细胞相比，内质网不发达 D．叶肉细胞中高尔基体的数量一般比唾液腺细胞中的多 3下列关于酶和激素的叙述，正确的是（ D ） A．同一个体的不同组织细胞中，激素种类不同，而酶的种类相同 B．解旋酶几乎存在于所有的细胞中，其化学本质是蛋白质或RNA C．产生酶的细胞一定能产生激素 D．酶能降低化学反应的活化能，缩短反应时间，但不能改变反应平衡点 探索温度对酶活性的影响，最合理的实验步骤是（①④②③⑤） ①取三支试管，编号并分别注入2ml淀粉液，另取3支试管，编号各自注入1ml新鲜的淀粉酶溶液②将淀粉酶溶液注入相同温度下的淀粉液试管中，维持各自的温度5min ③向各试管中滴一滴碘液④将6支试管分成三组，每组各有一份淀粉液和一份淀粉酶溶液，分别放在60℃的热水、沸水和冰水中⑤观察实验现象 若胰蛋白酶溶液和其他条件不变，反应液ph值由2逐渐升高到10，则酶催化反应的速度将不变，原因是在ph=2时酶已经失活
高中数学必修三统计综合训练 一、单选题 1.某县教育局为了解本县今年参加一次大联考的学生的成绩，从5000名参加今年大联考的学生中抽取了250名学生的成绩进行统计，在这个问题中，下列表述正确的是（） A. 5000名学生是总体 B. 250名学生是总体的一个样本 C. 样本容量是250 D. 每一名学生是个体 2.某连队身高符合建国60周年国庆阅兵标准的士兵共有45人，其中18岁-19岁的士兵有15人，20岁-22岁的士兵有20人，23岁以上的士兵有10人，若该连队有9个参加阅后的名额，如果按年龄分层选派士兵，那么，该连队年龄在23岁以上的士兵参加阅兵的人数为（） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 3.下列结论正确的是（） ①函数关系是一种确定性关系；②相关关系是一种非确定性关系；③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 4.在频率分布直方图中，小长方形的面积是（） A. 频率/样本容量 B. 组距×频率 C. 频率 D. 样本数据 5.在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别是（） A. 23与26 B. 31与26 C. 24与30 D. 26与30 6.将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…,600. 采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为( ) A. 26, 16, 8, B. 25，17，8 C. 25，16，9 D. 24，17，9 7.某学校为了调查高三年级的200名文科学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行调查；第二种由教务处对该年级的文科学生进行编号，从001到200，抽取学号最后一位为2的同学进行调查，则这两种抽样的方法依次为（） A. 分层抽样，简单随机抽样 B. 简单随机抽样，分层抽样 C. 分层抽样，系统抽样 D. 简单随机抽样，系统抽样 8.一批灯泡400只，其中20 W、40 W、60 W的数目之比为4∶3∶1，现用分层抽样的方法产生一个容量为40的样本，三种灯泡依次抽取的个数为（） A. 20 ,10 , 10 B. 15 , 20 , 5 C. 20, 5, 15 D. 20, 15, 5 9.（2014?湖南）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽
高中数学易错题举例解析 高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。 ● 忽视等价性变形，导致错误。 ??? x >0 y >0 ? ??? x + y >0 xy >0 ，但 ??? x >1 y >2 与 ??? x + y >3 xy >2 不等价。 已知f(x) = a x + x b ，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围。 错误解法 由条件得?? ? ??≤+≤≤+≤-62230 3b a b a ②① ②×2－① 156≤≤a ③ ①×2－②得 32 338-≤≤- b ④ ③+④得 .3 43 )3(310,34333310≤≤≤+≤f b a 即 错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数b x ax x f + =)(，其值是同时受b a 和制约的。当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。 正确解法 由题意有?? ? ??+=+=22)2()1(b a f b a f , 解得：)],2()1(2[32)],1()2(2[31f f b f f a -=-= ).1(95)2(91633)3(f f b a f -=+ =∴ 把)1(f 和)2(f 的范围代入得 .3 37 )3(316≤≤f 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ●忽视隐含条件，导致结果错误。 (1) 设βα、是方程0622 =++-k kx x 的两个实根，则2 2 )1()1(-+-βα的最小值是 不存在)D (18)C (8)B (4 49)A (- 思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα
1 . 2. 3. 第八周生物周测题目 ，单项选择题（每题 2分，共52分） 育种专家在稻田中发现了一株十分罕见的“一秆双穗”植株，经鉴定该变异性状是由基因突变引起的。 下列叙述正确的是（ ） 这种现象是由显性基因突变成隐性基因引起的 该变异株自交可产生这种变异性状的纯合个体 观察细胞有丝分裂中期染色体形态可判断基因突变发生的位置 将该株水稻的花粉离体培养后即可获得稳定遗传的高产品系 UUA UUG CUU CUA CUG 当模板链中编码亮氨酸的碱基 GAC 突变为 ） B .一定是有利的 D.性状不发生改变 （ ） A. B. C. D. 亮氨酸的密码子有如下几种： AAC 时，这种突变对该生物的影响是（ A. —定是有害的 C.有害概率大于有利概率 如图为高等动物的细胞分裂示意图。图中不可能反映的是 可能发生了基因突变 发生了非姐妹染色单体间的片段互换 该细胞为次级卵母细胞 该细胞可能为次级精母细胞 4. 5. 6. 7. 9. A . B. C. D. F 列变异的原理一般认为属于基因重组的是 （ ） 将转基因的四倍体与正常的二倍体杂交，生产出不育的转基因三倍体鱼苗 血红蛋白氨基酸排列顺序发生改变，导致某些血红蛋白病 一对表现型正常的夫妇，生下了一个既白化又色盲的儿子 高产青霉素的菌株、太空椒等的培育 A. B. C. D. 依据基因重组概念的发展判断下列图示过程中没有发生基因重组的是 A.Ragfi I -S2O 氏人的疑血因子基因 苹人 兰的受精卵 匸普通青霉莒 培育 D.初级阴母细胞 形成 》型话营 下列关于基因突变的叙述中，错误的是 （ A. 基因突变是指基因结构中碱基对的增添、缺失或改变 B. 基因突变是由于基因中脱氧核苷酸的种类、数量和排列顺序的部分改变而发生的 C. 基因突变可以在一定的外界环境条件或生物内部因素的作用下引起 D. 基因突变的频率是很低的，并且都是有害的 下列属于染色体变异的是 （ ） ①非同源染色体的自由组合 ②染色体上DNA 碱基对的缺失、增添或改变导致生物性状改变 ④四分体中非姐妹染色单体之间相应 21号染色体有3条 D .③⑤ ③花药离体培养后长成的植株细胞核中染色体数目减半 部位的交叉互换 ⑤21三体综合征患者细胞中的第 A .③④⑤ B .②④ C.①②④ 下面对基因突变、基因重组和染色体变异的比较中，叙述不正确的是 （ ） A .基因突变是在分子水平上的变异 B .染色体结构变异可通过光学显微镜观察到 C.基因重组没有产生新基因 D .基因突变和染色体结构变异最终都会引起生物性状的改变 某些类型的染色体结构和数目的变异，可通过对细胞有丝分裂中期或减数第一次分裂时期的观察来识 另a 、b 、c 、d 为某些生物减数第一次分裂时期染色体变异的模式图，它们依次属于 （ ） C d 染色体片段缺失 染色体片段增加 b A. 三倍体、染色体片段增加、个别染色体数目变异、 B. 三倍体、染色体片段缺失、个别染色体数目变异、 C. 个别染色体数目变异、染色体片段增加、三倍体、染色体片段缺失 D. 染色体片段缺失、个别染色体数目变异、染色体片段增加、三倍体
高一数学必修一易错题集锦答案 1. 已知集合M={y |y =x 2 ＋1,x∈R },N={y|y =x ＋1,x∈R }，则M∩N=（ ） 解：M={y |y =x 2 ＋1,x∈R }={y |y ≥1}， N={y|y=x ＋1,x∈R }={y|y∈R }． ∴M∩N={y |y ≥1}∩{y|(y∈R)}={y |y ≥1}, 注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x |y =x 2＋1}、{y |y =x 2 ＋1,x ∈R }、{(x ,y )|y =x 2 ＋1,x ∈R }，这三个集合是不同的． 2 .已知A={x |x 2－3x ＋2=0},B={x |ax －2=0}且A∪B=A，求实数a 组成的集合C ． 解：∵A∪B=A ∴B A 又A={x |x 2－3x ＋2=0}={1，2}∴B=或{}{}21或∴C={0，1，2} 3 。已知m ∈A,n ∈B, 且集合A={}Z a a x x ∈=,2|，B={}Z a a x x ∈+=,12|，又C={}Z a a x x ∈+=,14|，则有：m +n ∈ (填A,B,C 中的一个) 解：∵m ∈A, ∴设m =2a 1,a 1∈Z , 又∵n B ∈,∴n =2a 2+1,a 2∈ Z , ∴m +n =2(a 1+a 2)+1,而a 1+a 2∈ Z , ∴m +n ∈B 。 4 已知集合A={x|x 2－3x －10≤0}，集合B={x|p ＋1≤x≤2p－1}．若B A ，求实数p 的取值范围． 解：①当B≠时，即p ＋1≤2p－1p≥2.由B A 得：－2≤p＋1且2p －1≤5. 由－3≤p≤3.∴ 2≤p≤3 ②当B=时，即p ＋1>2p －1p ＜2. 由①、②得：p≤3. 点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题． 5 已知集合A={a,a ＋b,a ＋2b}，B={a,ac,ac 2 }．若A=B ，求c 的值． 分析：要解决c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式． 解：分两种情况进行讨论． （1）若a ＋b=ac 且a ＋2b=ac 2，消去b 得：a ＋ac 2 －2ac=0， a=0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0． ∴c 2 －2c ＋1=0，即c=1，但c=1时，B 中的三元素又相同，此时无解． （2）若a ＋b=ac 2且a ＋2b=ac ，消去b 得：2ac 2 －ac －a=0， ∵a≠0，∴2c 2 －c －1=0， 即(c －1)(2c ＋1)=0，又c≠1，故c=－ 21． 点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验. 6 设A 是实数集，满足若a∈A，则 a -11∈A ，1≠a 且1?A. ⑴若2∈A，则A 中至少还有几个元素？求出这几个元素⑵A 能否为单元素集合？请说明理由. ⑶若a∈A，证明：1－ a 1∈A.⑷求证：集合A 中至少含有三个不同的元素.