1.6微积分基本定理
一:教学目标
知识与技能目标
通过实例,直观了解微积分基本定理的内容,会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法
通过实例探求微分与定积分间的关系,体会微积分基本定理的重要意义
情感态度与价值观
通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培养学生辩证唯物主义观点,提高理性思维能力。
二:教学重难点
重点:通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系,使学生直观了解微积分基本定理的含
义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分。
难点:了解微积分基本定理的含义
三:教学过程:
1、知识链接:
定积分的概念:
用定义计算的步骤:
2、合作探究:
⑴导数与积分的关系;
我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,所以不是求定积分的一般方法。有没有计算定积分的更直接方法,也是比较一般的方法呢?
下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例:
设一物体沿直线作变速运动,在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)(()v t o ≥), 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为2
1()T T v t dt ?。
另一方面,这段路程还可以通过位置函数S (t )在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达,即
2
1()T T v t dt ?=12()()S T S T -
而()()S t v t '=。
说出你的发现 ⑵ 微积分基本定理
对于一般函数()f x ,设()()F x f x '=,是否也有
()()()b
a f x dx F
b F a =-??
若上式成立,我们就找到了用()f x 的原函数(即满足()()F x f x '=)的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。
设()()F x f x '=则在[,]a b 上,⊿y=()()F b F a -
将[,]a b 分成n 等份,在第i 个区间[x i-1,x i ]上,记⊿yi=F(x i )-F(x i-1),则
⊿y =∑⊿y i 如下图,因为⊿h i =f(x i-1) ⊿x 而⊿y i ≈⊿h i 所以
⊿y ≈∑⊿h i =∑f(x i-1) ⊿x 故
⊿y =lim ∑⊿h i =∑f(x i-1) ⊿x=
?b a dx x f )( 即
?b a dx x f )(=()()F b F a - 所以有微积分基本定理: 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一
个原函数,则 (此处并不要求学生理解证明的过程) 为了方便起见,还常用()|b a F x 表示()()F b F a -,即
该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法,把求定积分的问题,转化成求原函数的问题,是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系,同时也提供计算定积分的一种有效方法,为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位,起到了承上启下的作用,不仅如此,它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响,是微积分学中最重要最辉煌的成果。
⑶应用举例
例1.计算下列定积分:
(1)2
11dx x ?; (2)32
11(2)x dx x -?。 解:(1)因为'1(ln )x x
=, 所以22111ln |ln 2ln1ln 2dx x x
==-=?。 (2))因为2''211()2,()x x x x
==-, 所以3332211111(2)2x dx xdx dx x
x -=-??? 233111122||(91)(1)33x x =+=-+-=。 练习:计算
120x dx ? 解:由于313
x 是2x 的一个原函数,所以根据牛顿—莱布尼兹公式有 120x dx ?=3101|3x =33111033?-?=13
例2.计算下列定积分:
2200
sin ,sin ,sin xdx xdx xdx π
πππ???。 由计算结果你能发现什么结论?试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。 解:因为'(cos )sin x x -=,
所以
00sin (cos )|(cos )(cos 0)2xdx x πππ=-=---=?
,
22sin (cos )|(cos 2)(cos )2xdx x ππππππ=-=---=-?,
2200sin (cos )|(cos 2)(cos 0)0xdx x π
ππ=-=---=?.
可以发现,定积分的值可能取正值也可能取负值,还可能是0:
( l )当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时(图1.6一3 ) ,定积分的值取正值,且等于曲边梯形的面积;
图1 . 6 一 3 ( 2 )
(2)当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时(图 1 . 6 一 4 ) ,定积分的值取负值,且等于曲边梯形的面积的相反数;
( 3)当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时,定积分的值为0(图 1 . 6 一 5 ) ,且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积.
例3.汽车以每小时32公里速度行驶,到某处需要减速停车。设汽车以等减速度a =1.8米/秒2刹车,问从开始刹车到停车,汽车走了多少距离?
解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当t=0时,汽车速度0v =32公里/小时=
3210003600
?米/秒≈8.88米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为0(t)=t=8.88-1.8t v v a -当汽车停住时,速度(t)=0v ,故从(t)=8.88-1.8t=0v 解得8.88t= 4.931.8≈秒 于是在这段时间内,汽车所走过的距离是
4.93
4.9300(t)(8.88 1.8t)s v dt dt ==-??= 4.93201(8.88 1.8t )21.902-?≈米,即在刹车后,汽
车需走过21.90米才能停住.
微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系,同时它也提供了计算定积分的一种有效方法.微积分基本定理是微积分学中最重要的定理,它使微积分学蓬勃发展起来,成为一门影响深远的学科,可以毫不夸张地说,微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果.
⑷课堂练习
课本p55练习⑴----⑻
四:课堂小结:
本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿-莱布尼兹公式.成立,进而推广到了一般的函数,得出了微积分基本定理,得到了一种求定积分的简便方法,运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数,这就要求大家前面的求导数的知识比较熟练,希望,不明白的同学,回头来多复习!
五:教学后记:
从教以来,一直困惑于一个问题:课堂上如何突出重点并突破难点。当然,理论方面自己早已烂熟于心,关键是缺乏实践方面的体验及感悟。在今天的课堂上,本来一个相当简单的问题,可在课堂上却花费了大量时间,更严重的是学生却听得更为糊涂。一个主要原因在于,对相关知识结构理解不到位,眉毛胡子一把抓,而难点又无法解决。
7、微积分基本定理 一、选择题 1.??0 1(x 2 +2x )d x 等于( ) A.13 B.23 C .1 D.43 2.∫2π π(sin x -cos x )d x 等于( ) A .-3 B .-2 C .-1 D .0 3.自由落体的速率v =gt ,则落体从t =0到t =t 0所走的路程为( ) A.13gt 20 B .gt 2 0 C.12gt 20 D.16gt 20 4.曲线y =cos x ? ????0≤x ≤3π2与坐标轴所围图形的面积是( ) A .4 B .2 C.5 2 D .3 5.如图,阴影部分的面积是( ) A .2 3 B .2- 3 C.323 D.35 3 6.??0 3|x 2-4|d x =( ) A.213 B.223 C.233 D.25 3 7.??241 x d x 等于( ) A .-2ln2 B .2ln2 C .-ln2 D .ln2 8.若??1a ? ?? ??2x +1x d x =3+ln2,则a 等于( ) A .6 B .4 C .3 D .2 9.(2010·山东理,7)由曲线y =x 2 ,y =x 3 围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.7 12 10.设f (x )=??? ?? x 2 0≤x <12-x 1 11.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ,y ),则点M 取自阴影部分的概率为________. 12.一物体沿直线以v =1+t m/s 的速度运动,该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________. 13.求曲线y =sin x 与直线x =-π2,x =5 4π,y =0所围图形的面积为________. 14.若a =??02x 2 d x ,b =??02x 3 d x ,c =??0 2sin x d x ,则a 、b 、c 大小关系是________. 三、解答题 15.求下列定积分: ①??0 2(3x 2+4x 3 )d x ; ② sin 2 x 2 d x . 17.求直线y =2x +3与抛物线y =x 2 所围成的图形的面积. 18.(1)已知f (a )=??0 1(2ax 2 -a 2 x )d x ,求f (a )的最大值; (2)已知f (x )=ax 2 +bx +c (a ≠0),且f (-1)=2,f ′(0)=0,??0 1f (x )d x =-2,求a ,b ,c 的值. DBCDCCDDAC 11. 13 12. 23(1132-1) 13.4-2 2 [解析] 所求面积为 =1+2+? ?? ?? 1-22=4-22. 14.[答案] c 1.6 微积分基本定理( 2) 一、【教学目标】 重点:使学生直观了解微积分基本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分. 难点:利用微积分基本定理求积分;找到被积函数的原函数. 能力点:正确运用基本定理计算简单的定积分. 教育点:通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培养学生辩 证唯物主义观点,提高理性思维能力. 自主探究点:通过实例探求微分与定积分间的关系,体会微积分基本定理的重要意义. 易错点:准确找到被积函数的原函数,积分上限与下限代人求差注意步骤,以免符号出错. 考试点:高考多以填空题出现,以考查定积分的求法和面积的计算为主. 二、【知识梳理】 1. 定积分定义:如果函数() f x在区间[,] a b上连续,用分点 0121- =<<<<<<<= i i n a x x x x x x b,将区间[,] a b等分成n个小区间,在每一个小区间 1 [,] i i x x - 上任取一点(1,2,,) ξ= i i n,作和 1 ()() ξξ = - ?=∑n i i i i b a f x f n ,当n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数() f x在区间[,] a b上的定积分,记作() b a f x dx ?,即 1 ()lim() n b a i n i b a f x dx f n ξ →∞ = - =∑ ?,这里a、b分别叫做积分的下限与上限,区间[,] a b叫做积分区间,函数() f x叫做被积函数,x叫做积分变量,() f x dx叫做被积式. 2.定积分的几何意义 如果在区间[,] a b上函数连续且恒有()0 f x≥,那么定积分() b a f x dx ?表示由直线, x a x b ==(a b ≠),0 y=和曲线() y f x =所围成的曲边梯形的面积. 定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =?? ?0 1(x 2-x )d x B .S =?? ?0 1 (x -x 2)d x C .S =?? ?0 1 (y 2-y )d y D .S =??? 1 (y - y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图 形的面积S =?? ?0 1 (x -x 2)d x . 2.如图,阴影部分面积等于( ) A .2 3 B .2-3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为 S =??? -3 1 (3-x 2 -2x )d x =(3x -1 3x 3-x 2)|1 -3=32 3. 4-x 2d x =( ) A .4π B .2π C .π [答案] C [解析] 令y =4-x 2,则x 2+y 2=4(y ≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积, ∴S =1 4×π×22=π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断中一定正确的是( ) A .在t 1时刻,甲车在乙车前面 B .在t 1时刻,甲车在乙车后面 C .在t 0时刻,两车的位置相同 D .t 0时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在t 0,t 1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积 微积分基本定理导学案 【学习要求】 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义. 2.会利用微积分基本定理求函数的积分. 【学法指导】 微积分基本定理不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系,而且还提供了计算定积分的一种有效方法. 【知识要点】 1.微积分基本定理:如果f(x)在区间[a,b]上可积,并且_________,那么?b a f(x)d x =. 2.定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在x轴上方的面积为S上,x轴下方的面积为S下,则 (1)当曲边梯形的面积在x轴上方时,如图(1),则?b a f(x)d x=. (2)当曲边梯形的面积在x轴下方时,如图(2),则?b a f(x)d x=_______. (3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时,如图(3),则?b a f(x)d x=,若S上=S下,则?b a f(x)d x=. 【问题探究】 探究点一微积分基本定理 问题1如下图,一个做变速直线运动的物体的运动规律是y=y(t),并且y(t)有连续的导数,由导数的概念可知,它在任意时刻t的速度v(t)=y′(t).设这个物体在时间段[a,b]内的位移为s,你能分别用y(t),v(t)表示s吗? 问题2对一个连续函数f(x)来说,是否存在唯一的F(x),使F′(x)=f(x)? 例1计算下列定积分: (1)?211x d x ; (2)?31(2x -1x 2)d x ; (3)?0-π(cos x -e x )d x . 跟踪训练1 计算下列定积分: (1)?1025x 4d x ; (2)?31(x +1x )26x d x . 探究点二 分段函数的定积分 例2 已知函数f (x )=????? sin x ,0≤x ≤π2,1,π2≤x ≤2,x -1,2≤x ≤4. 先画出函数图象,再求这个函数在[0,4]上的定积分. 跟踪训练2 (1)设f (x )=????? x 2, x ≤0,cos x -1, x >0, 求?1-1f (x )d x ; (2)求?a -a x 2d x (a >0). 探究点三 定积分的应用 例3 计算下列定积分:?π0sin x d x ,?2ππsin x d x ,?2π0 sin x d x .由计算结果你能发现什么结论?试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论. 跟踪训练3 求曲线y =sin x 与直线x =-π2,x =54 π,y =0所围图形的面积(如图所示). 【当堂检测】 1. (1+cos x )d x 等于 ( ) A .π B .2 C .π-2 D .π+2 2.若?a 1(2x +1x )d x =3+ln 2,则a 的值是 ( ) A .5 B .4 C .3 D .2 3.?20(x 2-23x )d x =_______ 4.已知f (x )=??? 4x -2π,0≤x ≤π2, cos x ,π2 专题13定积分与微积分基 本定理知识点 标准化文件发布号:(9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY- 考点13 定积分与微积分基本定理 一、定积分 1.曲边梯形的面积 (1)曲边梯形:由直线x =a 、x =b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形(如图①). (2)求曲边梯形面积的方法与步骤: ①分割:把区间[a ,b ]分成许多小区间,进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②); ②近似代替:对每个小曲边梯形“以值代曲”,即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②); ③求和:把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和; ④取极限:当小曲边梯形的个数趋向无穷时,各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值,即为曲边梯形的面积. 2.求变速直线运动的路程 3.定积分的定义和相关概念 (1)如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续,用分点a =x 0 1.6微积分基本定理 一:教学目标 知识与技能目标 通过实例,直观了解微积分基本定理的内容,会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法 通过实例探求微分与定积分间的关系,体会微积分基本定理的重要意义 情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培养学生辩证唯物主义观点,提高理性思维能力。 二:教学重难点 重点:通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系,使学生直观了解微积分基本定理 的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点:了解微积分基本定理的含义 三:教学过程: 1、知识链接: 定积分的概念: 用定义计算的步骤: 2、合作探究: ⑴导数与积分的关系; 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,所以不是求定积分的一般方法。有没有计算定积分的更直接方法,也是比较一般的方法呢? 下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例: 设一物体沿直线作变速运动,在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)(()v t o ≥), 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为2 1()T T v t dt ?。 另一方面,这段路程还可以通过位置函数S (t )在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达,即 2 1()T T v t dt ?=12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 说出你的发现 ⑵ 微积分基本定理 对于一般函数()f x ,设()()F x f x '=,是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-?? 若上式成立,我们就找到了用()f x 的原函数(即满足()()F x f x '=)的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。 设()()F x f x '=则在[,]a b 上,⊿y=()()F b F a - 将[,]a b 分成n 等份,在第i 个区间[x i-1,x i ]上,记⊿yi=F(x i )-F(x i-1),则 ⊿y=∑⊿y i 如下图,因为⊿h i =f(x i-1) ⊿x 而⊿y i ≈⊿h i 所以 ⊿y ≈∑⊿h i =∑f(x i-1) ⊿x 故微积分基本定理(17)
1-定积分与微积分基本定理(理)含答案版
微积分基本定理导学案
专题13定积分与微积分基本定理知识点
微积分基本定理教案
定积分及微积分基本定理练习题及答案