1.4.2 微积分基本定理(一) 学案（含答案）
1.4.2微积分基本定理微积分基本定理一一学习目标
1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.
2.会利用微积分基本定理求函数的积分知识点微积分基本定理已知函数fx2x1，
Fxx2x.思考1fx与Fx有何关系答案Fx2x1fx思考220fxdx与F2F0有何关系答案20fxdx202x1dx122156，F2F06.20fxdxF2F0梳理1微积分基本定理条件Fxfx，且fx在a，b上可积结论bafxdxFbFa 符号表示bafxdxFx|baFbFa2常见函数的定积分公式baCdxCx|baC 为常数；baxndx1n1xn1|ban1；basinxdxcosx|ba；
bacosxdxsinx|ba；ba1xdxlnx|baba0；baexdxex|ba；baaxdxaxlna|baa0，且a11若Fxfx，则Fx唯一2微积分基本定理中，被积函数fx是原函数Fx的导数3应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数类型一求定积分命题角度1求简单函数的定积分例1求下列定积分
1102xexdx；2211x3cosxdx；3220sincosd22xxx；430x3x4dx.解1102xexdxx2ex|101e10e0e.2211x3cosxdxlnx3sinx|21ln23sin2ln 13sin1ln23sin23sin
1.3sinx2cosx2212sinx2cosx21sinx，
22200sincosd1sind22xxxxx20cos|xx2cos20cos0
21.4x3x4x27x12，
30x3x4dx30x27x12dx13x372x212x30133372321230272.反思与感悟
1当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得函数Fx2由微积分基本定理求定积分的步骤第一步求被积函数fx的一个原函数Fx
第二步计算函数的增量FbFa跟踪训练1求下列定积分
121xx21xdx；22220cossind22xxx；394x1xdx.解
121xx21xdx12x213x3lnx2112221323ln21213ln1ln25
6.22220cossind22xxx20cosdxx20sin|x
1.394x1xdx94xxdx3292421|32xx3222199323222144322716.命题角度2求分段函数的定积分例21求函数fxsinx，0x2，1，
2x2，x1，2x4在区间0,4上的定积分；2求定积分20|x21|dx.解140fxdx20sindxx221dx42x1dx20cos|x22|x12x2x42122407
2.2|x21|1x2，x0，1，x21，x1，2，又xx331x2，x33xx21，20|x21|dx10|x21|dx21|x21|dx101x2dx21x21dxxx3310x33x211138 3213
12.反思与感悟分段函数的定积分的求法1利用定积分的性质转化为各区间上定积分的和计算2当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值符号，转化为分段函数的定积分再计算跟踪训练
21fx12x，0x1，x2，1x2，求20fxdx.解
20fxdx1012xdx21x2dxxx2|1013x3|21273133.2求22|x2x|dx的值解|x2x|x2x，2x0，xx2，0x1，x2x，10，fx2x1，若t0fxdx6，则t________.2已知221kx1dx4，则实数k的取值范围为________答案13223，2解析1t0fxdxt02x1dxt2t6，解得t3或2，t0，t
3.221kx1dx12kx2x2132k
1.由232k14，得23k
2.引申探究1若将本例1中的条件改为t0fxdxft2，求t.解由t0fxdxt02x1dxt2t，又ft2t1，t2tt1，得t
1.2若将本例1中的条件改为t0fxdxFt，求Ft的最小值解Ftt0fxdxt2tt12214t0，当t12时，Ftmin1
4.反思与感悟1含有参数的定积分可以与方程.函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提2计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数fx.积分上限与积分下限.积分区间与函数Fx等概念跟踪训练3已知x0,1，fx1012x2tdt，则fx的值域是________答案0,2解析fx1012x2tdtt2xtt2|102x2x0,1fx的值域为0,21若
a12x1xdx3ln2，则a的值是A5B4C3D2答案D解析
a12x1xdxa12xdxa11xdxx2|a1lnx|a1a21lna3ln2，解得a
2.223012sind2等于A32B12
C.12
D.32答案D解析23012sind230cosd30sin|32.3已知
fxax2bxca0，且f12，f00，10fxdx
2.求a，b，c的值解f12，abc2，fx2axb，f0b0，
10fxdx10ax2cdx13ax3cx1013ac2，由可得a6，b0，c
4.4已知fx4x2，0x2，cosx，2x，计算0fxdx.解
0fxdx202ddfxxfxx20242dcosdxxxx取F1x2x22x，则F1x4x2；取
F2xsinx，则F2xcosx.所以
20242dcosd,xxxx22202122|sin||1,2xxx即0fxdx12
21.1求定积分的一些常用技巧1对被积函数，要先化简，再求积分2若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和3对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分2由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数