常用的概率分布类型及其特征 3．1 二点分布和均匀分布 1、两点分布 许多随机事件只有两个结果。如抽检产品的结果合格或不合格；产品或者可靠的工作，或者失效。描述这类随机事件变量只有两个取值，一般取0和1。它服从的分布称两点分布。 其概率分布为： 其中 Pk=P（X=Xk），表示X取Xk值的概率： 0≤P≤1。 X的期望 E（X）=P X的方差 D（X）=P（1—P） 2、均匀分布 如果连续随机变量X的概率密度函数f（x）在有限的区间[a，b]上等于一
个常数，则X服从的分布为均匀分布。 其概率分布为： X的期望 E（X）=（a+b）/2 X的方差 D（X）=（b-a）2/12 3．2 抽样检验中应用的分布 3．2．1 超几何分布 假设有一批产品，总数为N，其中不合格数为d，从这批产品中随机地抽出n件作为被检样品，样品中的不合格数X服从的分布称超几何分布。 X的分布概率为： X=0，1，…… X的期望 E（X）=nd/N
X的方差 D（X）=（（nd/N）（（N-d）/N）（（N-n）/N））（1/2）3．2．2 二项分布 超几何分布的概率公式可以写成阶乘的形式，共有9个阶乘，因而计算起来十分繁琐。二项分布就可以看成是超几何分布的一个简化。 假设有一批产品，不合格品率为P，从这批产品中随机地抽出n件作为被检样品，其中不合格品数X服从的分布为二项分布。 X的概率分布为： 0 目录 1. 均匀分布 (1) 2. 正态分布（高斯分布） (2) 3. 指数分布 (2) 4. Beta分布（：分布） (2) 5. Gamm 分布 (3) 6. 倒Gamm分布 (4) 7. 威布尔分布（Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布） (5) 8. Pareto 分布 (6) 9. Cauchy分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） (7) 2 10. 分布（卡方分布） (7) 8 11. t分布................................................ 9 12. F分布 ............................................... 10 13. 二项分布............................................ 10 14. 泊松分布（Poisson 分布）............................. 11 15. 对数正态分布........................................ 1. 均匀分布 均匀分布X ~U（a,b）是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。 2. 正态分布（高斯分布） 当影响一个变量的因素众多，且影响微弱、都不占据主导地位时，这个变量 很可能服从正态分布，记作 X~N （」f 2）。正态分布为方差已知的正态分布 N （*2）的参数」的共轭先验分布。 1 空 f （x ）： —— e 2- J2 兀 o' E(X)， Var(X) _ c 2 3. 指数分布 指数分布X ~Exp （ ）是指要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间。其 中，.0为尺度参数。指数分布的无记忆性： Plx s t|X = P{X t}。 f （X ）二 y o i E(X) 一 4. Beta 分布（一：分布） f （X ）二 E(X) Var(X)= (b-a)2 12 Var(X)二 1 ~2 第5章 概率与概率分布 一、思考题 、频率与概率有什么关系 、独立性与互斥性有什么关系 、根据自己的经验体会举几个服从泊松分布的随机变量的实例。 、根据自己的经验体会举几个服从正态分布的随机变量的实例。 二、练习题 、写出下列随机试验的样本空间： （1）记录某班一次统计学测试的平均分数。 （2）某人在公路上骑自行车，观察该骑车人在遇到第一个红灯停下来以前遇到的绿灯次数。 （3）生产产品，直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。 、某市有50%的住户订阅日报，有65%的住户订阅晚报，有85%的住户至少订两种报纸中的一种，求同时订这两种报纸的住户的百分比。 、设A 与B 是两个随机事件，已知A 与B 至少有个发生的概率是3 1 ，A 发生且B 不发生的概率是 9 1 ，求B 发现的概率。 、设A 与B 是两个随机事件，已知P(A)=P(B)= 31，P(A ｜B)= 6 1 ，求P(A ｜B ) 、有甲、乙两批种子，发芽率分别是和。在两批种子中各随机取一粒，试求： （1）两粒都发芽的概率。 （2）至少有一粒发芽的概率。 （3）恰有一粒发芽的概率。 、某厂产品的合格率为96%，合格品中一级品率为75%，从产品中任取一件为一级品的概率是多少 、某种品牌的电视机用到5000小时未坏的概率为 43，用到10000小时未坏的概率为2 1。现在有一台这种品牌的电视机已经用了5000小时未坏，它能用到10000小时的概率是多少 、某厂职工中，小学文化程度的有10%，初中文化程度的有50%，高中及高中以上文化程度的有40%，25岁以下青年在小学、初中、高中及高中以上文化程度各组中的比例分别为20%，50%，70%。从该厂随机抽取一名职工，发现年龄不到25岁，他具有小学、初中、高中及高中以上文化程度的概率各为多少 、某厂有A ，B ，C ，D 四个车间生产同种产品，日产量分别占全厂产量的30%，27%，25%，18%。已知这四个车间产品的次品率分别为，，和，从该厂任意抽取一件产品，发现为次品，且这件产品是由A ，B 车间生产的分布。 、考虑抛出两枚硬币的试验。令X 表示观察到正面的个数，试求X 的概率分布。 、某人花2元钱买彩票，他抽中100元奖的概率是%，抽取10元奖的概率是1%，抽中1元奖的概率是20%，假设各种奖不能同时抽中，试求： （1）此人收益的概率分布。 （2）此人收益的期望值。 、设随机变量X 的概率密度为： F(x)= 3 2 3θ X ，0 几种常见的概率分布 一、 离散型概率分布 1. 二项分布 n 次独立的贝努利实验，其实验结果的分布（一种结果出现x 次的概率是多少的分布）即为二项分布 应用二项分布的重要条件是：每一种实验结果在每次实验中都有恒定的概率，各实验之间是重复独立的 平均数：(Y)np X E μ== 方差与标准差：2(1)X np P σ=- ;X σ=特例：（0-1）分布 若随机变量X 的分布律为 1(x k)p (1p)k k p -==-k=0,1；0 复抽样，抽样成功的次数X 的概率分布服从超几何分布，如福利彩票 二、 连续型概率分布 1. 均匀分布 若随机变量X 具有概率密度函数 (x)f = 则称X 在区间（a ，b ）上服从均匀分布，记为X ~U(a ，b) 在区间（a ，b ）上服从均匀分布的随机变量X 的分布函数为 0F(x),1 x a x a a x b b a b x ?是常数， 则称X 服从以λ为参数的指数分布，记作~()X E λ，X 的分布函数为 1,0(x)0,0 x e x F x λ-?-≥=? 第五章 常用概率分布习题（附答案） 一、选择题 1. 估计正常成年女性红细胞计数的95%医学参考值范围时，应用（ A. ）。 A.)96.1,96.1(s x s x +- B.)96.1,96.1(x x s x s x +- C.)645.1(lg lg x x s x +> D.)645.1(s x +< E.)645.1(lg lg x x s x +< 2. 估计正常成年男性尿汞含量的95%医学参考值范围时，应用（E ）。 A.)96.1,96.1(s x s x +- B.)96.1,96.1(x x s x s x +- C.)645.1(lg lg x x s x +> D.)645.1(s x +< E.)645.1(lg lg x x s x +< 3．若某人群某疾病发生的阳性数X 服从二项分布，则从该人群随机抽出n 个人， 阳性数X 不少于k 人的概率为（ A ）。 A. )()1()(n P k P k P ++++ B. )()2()1(n P k P k P +++++ C. )()1()0(k P P P +++ D. )1()1()0(-+++k P P P E. )()2()1(k P P P +++ 4．Piosson 分布的标准差σ和均数λ的关系是（ C ）。 A. σλ> B. σλ< C. λ=2σ D. λ=σ E. λ与σ无固定关系 5．用计数器测得某放射性物质5分钟内发出的脉冲数为330个，据此可估计该放射性物质平均每分钟脉冲计数的95%可信区间为（ E ）。 A. 33096.1330± B. 33058.2330± C. 3396.133± D. 3358.233± E. 5/)33096.1330(± 6．Piosson 分布的方差和均数分别记为2 σ和λ，当满足条件（ E ）时，Piosson 分布近似正态分布。 A. π接近0或1 B. 2σ较小 C. λ较小 D. π接近0.5 E. 202≥σ 7．二项分布的图形取决于（ C ）的大小。 A. π B. n C.n 与π D. σ E. μ 8．在参数未知的正态总体中随机抽样，≥-μX （ E ）的概率为5％。 A. 1.96σ B. 1.96 C. 2.58 D. S t ν,2/05.0 E. X S t ν,2/05.0 9．某地1992年随机抽取100名健康女性，算得其血清总蛋白含量的均数为74g/L ，标准差 常用的概率分布 一、正态分布 概率密度函数：22 2)(21)(σμπσ--=x e x f 正态分布曲线的特点：在μ=x 处最高，两个参数（σμ,），曲线下面积等于1。 正态分布的应用：确定正常值范围 二、二项分布 概念：服从伯努力试验序列的试验，在n 次实验中发生阳性结果的次数为x 次的概率为二项分布，x n x x n c x P --=) 1()(ππ。 二项分布的特点：图形的形态取决于n 和?。 阳性率：n x p =， 标准差 ：n p ) 1(ππσ-= 二项分布的应用：计算二项分布中出现阳性次数最多为k 次或者是至少为k 次的概率。 三.Poisson 分布 概念：Poisson 分布看作二项分布的特例，单位空间、单位面积或单位时间内某稀有事件发生次数的概率分布. μμ-=e x x P x !)( Poisson 分布的特点：图形的形态取决于 ? , 总体均数 等于方差， 具有可加性。 注意： 凡个体间有传染性、聚集性，均不能视为二项分布或Poisson 分布。 应用：计算Poisson 分布中某稀有事件出现次数最多为k 次或者是至少为k 次的概率。 ∑ ∑-+----=-+-222)2()2)(1(2)1())2()1((μμμμμμy y x x y x 案例分析： （一）观察某地100名12岁男孩身高，均数为138.00cm ，标准差为 4.12cm ，12 .400.13800.128-=u ，则9925.0)(1=-u φ，结论正确是_____________。 A ．理论上身高低于138.00cm 的12岁男孩占%。 B ．理论上身高高于138.00cm 的12岁男孩占% C ．理论上身高在128.00cm 和138.00cm 之间的12岁男孩占%。 D ．理论上身高高于128.00cm 的12岁男孩占% （二）研究人员为了解该地居民发汞（?mol/kg ）的基础水平，为汞污染的环境监测积累资料，调查了居住该市1年以上，无明显肝、肾疾病，无汞作业接触史的居民230人，数据如下： 第五章概率与概率分布基础 第一节什么是概率 第二节概率分布 第三节常用离散型随机变量分布举例 第四节常用连续型随机变量分布举例 为什么学习概率? 概率是公共和非盈利性事业管理中最有用的数量分析方法之一.利用概率及相关知识,公共和非盈利事业的管理者可以判断和解决各种各样的问题. 比如,维修机构的负责人可以运用概率来决定公共设施发生故障的频率,并依此部署维护力量.公共交通部门可以用概率来分析某一站点某一时段内可能候车人数,从而决定公共交通的车次间隔. 本章内容包括一些基本的概率法则和假定. 最常用的适于作定量研究的方法--抽样调查就是通过概率的理论使我们掌握一种媒介,它可以做我们推断和分析的平台. 第一节什么是概率 一、随机事件与概率 （一）随机试验与随机事件 随机现象的特点是：在条件不变的情况下，一系列的试验或观测会得到不同的结果，并且在试验或观测前不能预见何种结果将出现。对随机现象的试验或观测称为随机试验，它必须满足以下的性质： （1）每次试验的可能结果不是唯一的； （2）每次试验之前不能确定何种结果会出现； （3）试验可在相同条件下重复进行。 比如:标准大气压下,水沸腾的温度是100度. 必然事件 扔100次硬币,正面朝上的次数.随机事件. 历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。 实验者n nH fn(H) De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069 K. Pearson 12000 6019 0.5016 K. Pearson 24000 12012 0.5005 在经济与社会领域,随机命题是常见的,而必然命题是十分少见的. 任何一种社会现象,社会行为其产生的原因都是复杂的,事物单个出现的时候难免有偶然性和非确定性,但是对于大量事物的研究,由于平衡与排除了单个孤立事件所具有的偶然性,从而可以发现其内部的规律性. 在随机试验中(对随机现象的观察)可能出现也可能不出现,而在大量重复试验中却具有某种规律性的事件，称之为随机事件。 试验的结果可能是一个简单事件，也可能是一个复杂事件。简单事件就是不可以再分解的事件，又称为基本事件。复杂事件是由简单事件组合而成的事件。基本事件 还可称为样本点，设试验有n个基本事件，分别记为(i=1,2,…，n)。集合Ω={ω1 ,ω2 , …,ωn}称为样本空间，Ω中的元素就是样本点。 几种常见的概率分布 离散型概率分布 1.二项分布 n次独立的贝努利实验，其实验结果的分布(一种结果出现x次的概率是多少的分布)即为二项分布 应用二项分布的重要条件是：每一种实验结果在每次实验中都有恒定的概率，各实验之间是重复独立的 平均数：\二E(Y)二叩 方差与标准差：▽ X = np(1- P) ; = J np(1- p) 特例：(0-1 )分布 若随机变量x的分布律为 p(x = k) = p k(1 - p)1* k=o,i ；0 复抽样，抽样成功的次数X的概率分布服从超几何分布，如福利彩票 二、连续型概率分布 1?均匀分布 若随机变量X具有概率密度函数 f（X）二 则称X在区间（a，b）上服从均匀分布，记为X?U（a，b）在区间（a，b）上服从均匀分布的随机变量X的分布函数为 x v a F（x）X— ,a 乞x b b — a , X x 2指数分布 若随机变量X具有概率密度函数f（X）= e ' x - 0其中0是常数, 0,x< 0 则称X服从以’为参数的指数分布，记作X?E（' ），X的分布函数为 F(x)=」1 -e ,x 色0 j 0,x<0 3.正态分布 正态随机变量X的概率密度函数的形式如下： 1 f （x） e 2 $ ，—：：：： x ::: 式中，」为随机变量X的均值；、；2为随机变量X的方差通常对具有均值卩，方差为62的正态概率分布，记为N （卩，62）。于是有正态随机变量X~N （ '2）。 第五章常用概率分布习题 一、是非题 1．在确定某个指标的医学参考值范围时，必须选取足够多的健康人来进行计算。2．对于服从正态分布的资料，变量取值位于-1.96到1.96之间的可能性为0.95。3．Poisson分布有两个参数：n和μ。 4．在μ足够大时，Poisson分布就是正态分布。 5．设X服从Poisson分布，则Y＝2X也服从Poisson分布。 6．用X表示某个放射性物体的每分钟脉冲数，其平均每分钟脉冲数为5次(可以认为服从Poisson分布)，用Y表示连续观察20分钟的脉冲数，则可以认为近似服从正态分布，但不能认为X近似服从正态分布。 二、选择题 1．关于二项分布，错误的是( )。 A．服从二项分布随机变量为离散型随机变量 B．当n很大，π接近0.5时，二项分布图形接近正态分布 C．当π接近0.5时，二项分布图形接近对称分布 D．服从二项分布随机变量，取值的概率之和为1 E．当nπ＞5时，二项分布接近正态分布 2．关于泊松分布，错误的是( )。 A．当二项分布的n很大而π很小时，可用泊松分布近似二项分布 B．泊松分布由均数λ唯一确定 C．泊松分布的均数越大，越接近正态分布 D．泊松分布的均数与标准差相等 E．如果X1和X2分别服从均数为λl和λ2的泊松分布，且相互独立。则X1+X2服从均数为λl+λ2泊松分布 3．正态曲线下、横轴上，从μ到μ+2.58σ的面积占曲线下总面积的( ) A．99％B．95％C．47.5％D．49.5％E．90％ 4．标准正态曲线下，中间95％的面积所对应的横轴范围是( )。 A．-∞到+1.96 B．-1.96到+1.96 C．-∞到+2.58 D．-2.58到+2.58 E．-1.64到+1.64 5．服从二项分布的随机变量的总体均数为( )。 A．n(1-π) B．(n-1)π(1-π) C．nπ(1-π) D．nπE． 6．服从二项分布的随机变量的总体标准为( )。 A B．(n-1)π(1-π) C．nπ(1-π) D E 7．以下方法中，确定医学参考值范围的最好方法是( ) A．百分位数法B．正态分布法C．对数正态分布法D．标准化法E．结合原始数据分布类型选择相应的方法 8．下列叙述中．错误的是( )。 A．二项分布中两个可能结果出现的概率之和为1 B．泊松分布只有1个参数λ C．正态曲线下的面积之和为1 D．服从泊松分布的随机变量，其取值为0到n的概率之和为1 E．标准正态分布的标准差为1 三、筒答题 目录 1.均匀分布 (1) 2.正态分布（高斯分布） (2) 3.指数分布 (2) 4.Beta分布（β分布） (2) 5.Gamma分布 (3) 6.倒Gamma分布 (4) 7.威布尔分布(Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布) (5) 8.Pareto分布 (6) 9.Cauchy分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） (7) χ分布（卡方分布） (7) 10.2 11.t分布 (8) 12.F分布 (9) 13.二项分布 (10) 14.泊松分布（Poisson分布） (10) 15.对数正态分布 (11) 1.均匀分布 均匀分布~(,) X U a b是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。 1()f x b a = - ()2 a b E X += 2 ()()12 b a Var X -= 2. 正态分布（高斯分布） 当影响一个变量的因素众多，且影响微弱、都不占据主导地位时，这个变量很可能服从正态分布，记作2~(,)X N μσ。正态分布为方差已知的正态分布 2(,)N μσ的参数μ的共轭先验分布。 22 ()2()x f x μσ-- = ()E X μ= 2()Var X σ= 3. 指数分布 指数分布~()X Exp λ是指要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间。其中0λ>为尺度参数。指数分布的无记忆性：{}|{}P X s t X s P X t >+>=>。 (),0 x f x e x λλ-=> 1 ()E X λ = 2 1 ()Var X λ = 4. Beta 分布（β分布） Beta 分布记为~(,)X Be a b ，其中Beta(1,1)等于均匀分布，其概率密度函数可凸也可凹。如果二项分布(,)B n p 中的参数p 的先验分布取(,)Beta a b ，实验数据（事件A 发生y 次，非事件A 发生n-y 次），则p 的后验分布(,)Beta a y b n y ++-，即Beta 分布为二项分布(,)B n p 的参数p 的共轭先验分布。 10 ()x t x t e dt ∞--Γ=? 1 1()()(1)()() a b a b f x x x a b --Γ+= -ΓΓ ()a E X a b = + 2 ()()(1) ab Var X a b a b = +++ 5. Gamma 分布 Gamma 分布即为多个独立且相同分布的指数分布变量的和的分布，解决的 考试练习题常用概率 分布 第四章 选择题： 1．二项分布的概率分布图在 条件下为对称图形。 A ．n > 50 B ．π=0.5 C ．n π=1 D ．π=1 E ．n π> 5 2．满足 时，二项分布B （n,π）近似正态分布。 A ．n π和n （1－π）均大于等于5 B ．n π或n （1－π）大于等于5 C ．n π足够大 D ．n > 50 E ．π足够大 3. 的均数等于方差。 A ．正态分布 B ．二项分布 C ．对称分布 D ．Poisson 分布 E ．以上均不对 4．标准正态典线下，中间95%的面积所对应的横轴范围是 。 A ．－∞到+1.96 B ．－1.96到+1.96 C ．－∞到+2.58 D ．－2.58到+2.58 E ．－1.64到+1.64 5．服从二项分布的随机变量的总体均数为 。 A ．n （1－π） B ．（n －1）π C ．n π（1－π） D ．n π 6．服从二项分布的随机变量的总体标准差为 。 A . B . （1-π）（1-π）（ -）π1 C . D . π（1-π）（π 7.设X 1,X 2分别服从以λ1,λ2为均数的Poisson 分布,且X 1与X 2独立,则X 1+X 2服从以 为方差的Poisson 分布。 A . B .λ2λ12+2λ 2λ1+ C . D . 2λ2λ1+（） 2λ2λ1+（） E .λ2λ12+2 8．满足 时，Poisson 分布Ⅱ（λ）近似正态分布。 A．λ无限大 B．λ>20 C．λ=1 D．λ=0 E．λ=0.5 9．满足时，二项分布B（n，π）近似Poisson分布。 A．n很大且π接近0 B．n→∞ C．nπ或n（1－π）大于等于5 D．n很大且π接近0.5 E．π接近0.5 10．关于泊松分布，错误的是。 A．当二项分布的n很大而π很小时，可用泊松分布近似二项分布 B．泊松分布均数λ唯一确定 C．泊松分布的均数越大，越接近正态分布 D．泊松分布的均数与标准差相等 E．如果X1和X2分别服从均数为λ1和λ2的泊松分布，且相互独立。则 X1+X2服从均数为λ1+λ2的泊松分布。 11．以下分布中，均数等于方差的分布是。 A．正态分布 B．标准正态分布 C．二项分布 D．Poisson分布 E．t 分布 12．随机变量X服从正态分布N（μ1，σ12），Y服从正态分布N（μ2，σ 2），X与Y独立，则X－Y服从。 2 A．N（μ1+μ2，σ12－σ22） B．N（μ1－μ2，σ12－σ22） C．N（μ1－μ2，σ12+σ22） D．N（0，σ12+σ22） E．以上均不对 13．下列叙述中，错误的是。 A．二项分布中两个可能结果出现的概率之和为1 B．泊松分布只有1个参数λ C．正态曲线下的面积之和为1 一、引言 Bayes统计起源于英国学者托马斯.贝叶斯（Thomas Bayes,1702～1761）死后发表的一篇论文“论有关机遇问题的求解”。在此论文中他提出了著名的贝叶斯公式和一些归纳推理方法，随后拉普拉斯（Laplace,P.C.1749～1827）不仅重新发现了贝叶斯定理，阐述的远比贝叶斯更为清晰，而且还用它来解决天体力学、医学统计以及法学问题。之后虽有一些研究和应用但由于其理论尚不完整，应用中出现一些问题，致使贝叶斯方法长期未被接受。直到二战后，瓦尔德(Wald,A.1902～1950)提出统计决策函数论后又引起很多人对贝叶斯研究方法的兴趣。因为在这个理论中，贝叶斯解被认为是一种最优决策函数。在Savage,L.J.(1954)、Jeffreys,H.(1961)、Good,I.J(1950)、Lindley,D.V(1961)、Box,G.E.P.&Tiao,G.C.(1973)、Berger,J.O.(1985)等贝叶斯学者的努力下，对贝叶斯方法在观点、方法和理论上不断的完善。另外在这段时期贝叶斯方法在工业、经济、管理等领域内获得一批无可非议的成功应用。贝叶斯统计的研究论文与著作愈来愈多，贝叶斯统计的国际会议经常举行。如今贝叶斯统计已趋成熟，贝叶斯学派已发展成为一个有影响的学派，开始打破了经典统计学一统天下的局面。 贝叶斯统计是在与经典统计的争论中发展起来的,现已成为统计学中不可缺少的一部分.贝叶斯统计与经典统计的主要区别就是是否利用先验信息。贝叶斯统计重视已出现的样本观测值，对尚未发生的样本观测值不予考虑。近几年来对贝叶斯统计的广泛应用，使得贝叶斯统计在可靠性问题中起到越来越重要的作用。尤其是对产品的失效率以及产品寿命的检验中，更是离不开贝叶斯统计。本文主要是探索串联系统和并联系统的可靠性，以及可靠性增长模型的Bayes估计，这些都表现出了Bayes统计在可靠性中的广泛应用。 二、绪论 （一）统计学及其发展历程 人类的统计活动源远流长，自从有了数的概念，有了计数活动，就有了统计。但作为一门学科的统计学，它的出现却晚得多。英国学者配第（W.Petty）《政治算术》一书的问世，标志着统计学的开端。 概率论是统计学的重要起源之一。14世纪时，在工商业比较繁荣的意大利以及地中海岸其他地区，由于赌博游戏盛行和保险活动的萌起。人们 第五章概率与概率分布 学习要点 第一节概率的基本概念 第二节随机变量及其概率分布 第三节相对差异量表 第四节SPSS实验——标准分数 本章小结 学习要点 1．熟练掌握百分等级与标准分数的意义及分析方法 2．应用百分等级与标准分数解释实际问题 3．了解分数的意义及其他的相对指标在实际工作中的应用 第一节概率的基本概念 在语言实验研究中，我们通常选取研究对象的一部分（即样本）加以研究，在此基础上，通过推断统计对所有的研究对象（即总体）的情况作出推断。在进行这种推断时，我们不仅要指出总休可能是什么情况，而且还要指出我们进行这种推断的把握程度有多大，或者总体出现这种情况的可能性有多大，这个“可能性” 就是概率。因此，要学好推断统计，就要对概率这一概念有所了解。 后验概率（或统计概率）是指通过实际观测，根据在总观测次数中某事件所出现的次数来计算该事件出现的概率，这种概率其实是一个相对频率，是实际概率的估计值。 一般用A代表随机事件（例如“全体学生中的男生” ），用P代表频率（概率估计值），或用n表示观测的次数，用m表示事件出现的次数 原始分数，又称观测分数，它是观测所得的、未经任何加工的分数。在生活中人们时常用这种分数来评价他人，却不知由于原始分数本身的固有的缺陷造成使用和评价上的失误。原始分析的缺陷主要表现在三个方面。 一、原始分数无明确的意义 在考试或测验中，人们习惯用“分”作为分数的单位，然而“1分”究竟表示什么？其价值是多少？这在传统考试中并无科学的界定，就是说在传统的考试中对“分”的概念并无严格的定义。 二、原始分数的单位不等值 由于原始分数缺乏明确的定义，造成其单位的不等值。众所周知，相同的单位在人们的心目中都有相等的价值。譬如1公斤，在每个人心目中的认识都是一样的。不过，在传统的考试中却并非如此，譬如语文考试中的“1分”与数学考试中的“1分”就不见得等值。同是语文测验，不同的阅卷者因评分的宽严不一致，嗜好不同，看问题的角度不同等等，所给出的“1分”也不尽相同。因此，某考生语文得80分，数学也得80分，我们并不能确定该生的语文学习水平和数学学习水平相同。有人在某次全国统一高考的语文试卷中随机抽取了一名考生的作文，连同教育部规定的评分标准，分别请中学语文教师评阅，在67位评阅者中，给分最高的是25分，给分最低的是6分。可见，在这些人的以上中，“分”的价值是不同的。所以说，原始分数的“1分”实际上是不等值的。 三、原始分数不具可比性 由于原始分数缺乏明确的定义，单位不等值，因此也就不具有可比性。绝对数或绝对统计量不能说明其在整个观测中的相对地位，最多只能表示观测值的高低或大小，却不能说明它在团体中的地位情况。而等级顺序只能表示一个分数的高低次序，不也不能表示它在团体中的地位，更不能与其他团体的分数或等级进行比较。这是因为它们的比较尺度不一样。因此，对分数意义的无知，往往会错怪一个人，甚至还会酿成大错。如青海一九岁学生的母亲，见孩子的两门功课都在90分以下，便认为成绩差了，一气之下，竟将孩子打死。事实上，该生的一门功课名列全班第一，另一门名列第二。又如某生名列第15名，是难以评价其成绩是优、良，还是中、差的，因这与他所处团体的人数多少有直接关系。 四、四、原始分数没有可加性 众所周知，80米是不能与80尺直接相加来计算长度，因为两者的单位不等值。同样，观测所得的原始分数因其单位不等值，也是不能直接相加的。然而，在传统成绩评价中，人们不仅把内容、题量、难度等各不相同，而且各科满分值也不尽相同的试卷得分直接相加以来求总成绩，这无异于把不同测量单位的事物相加的做法。由此可见，将各学科分数直接相加计算总分的方法是很不科学的。 此外，当测量单位不同或均数相差悬殊时，绝对数或绝对统计量也是无法直接进行对比。譬如，比较一个人身高和体重，或是田赛与径赛成绩时，因其测量单位不同是无法比较的。若要进行这类比较分析，必须将绝对数或绝对统计量进行转换，使其变换成为一种可比较的相对量数。 相对量数包括相对地位量数和相对差异量数。前者用于说明一个绝对数在某一团体中所处的相对位置的高低，后者则用于比较各列数据分布的差异程度的大小。 第二节随机变量及其概率分布 随机变量是指在实验中受随机（或偶然）因素的影响，其取值无法进行准确预测的变量。譬如，我们要随机选取一些学生，来调查其家庭的人口数，“人口数” 是一个随机变量，因为它可以取这一个值，也可以取那一个值，究竟取哪一个值完全是偶然的，无法碗切地预测，这要等到实验（实际抽取）之后才能得知。我们可以用某种方法对随机变量可取数值的概率分布进行描述，这就是随机变量的概率分布。 相对地位量数是就某一特质来描述个体在团体中所占的地位的量数。这里所指的相对地位是指与某一参照点比较起来，这一个体是占在什么地位，是在此参照点以上多少，或是在此参照点以下多少。常用的相对地位量数的主要是百分等级和标准分数。 一、百分等级（P R） 习题5-1 1. 设随机变量X 的方差为2, 用切比雪夫不等式估计{||2}P X E X -（）≥. 解 由切比雪夫不等式, 对于任意的正数ε, 有 2(){()}D X P X E X εε -≥≤, 所以 1{||2}2 P X E X -（）≥≤. 2. 设随机变量X , Y 的数学期望分别是2和-4, 方差分别是1和4, 而相关系数为0.5. 则根据切比雪夫不等式估计{|2|P X Y +≥12}. 解 {2}2()()22(4)E X Y E X E Y +=+=?+-=, {2}4()()22Cov(,)D X Y D X D Y X Y +=+-? 840.5124=-???=. 所以, {|2|P X Y +≥12}≤2411236 =. 3. 设随机变量X 的数学期望E (X ) = μ, 方差D (X ) = σ2, 由切比雪夫不等式估计P {|X -μ|≥3σ}. 解 令ε = 3σ, 则由切比雪夫不等式P {|X -μ|}≥ε}≤2()D X ε , 有 P {|X -μ|≥3σ}≤221(3)9 σσ=. 4. 独立重复地做一项试验, 假设每次试验成功的概率为0.75. 用切比雪夫不等式求: 至少需要做多少次试验, 才能以不低于0.90的概率使试验成功的频率保持在0.74和0.76之间? 解 假设做n 次试验, 才能以0.90的概率使试验成功的频率保持在0.74和0.76之间. 用X 表示试验成功的次数, 从而~(,0.75)X B n , 由题设, 要使 {0.740.76}{0.750.01}0.90X X P P n n <<=-<≥. 又由切比雪夫不等式得 22()0.750.25{0.740.76}{0.750.01}110.010.01X D X X n P P n n n ?<<=-<-=-?≥. 要满足题意, 只需2 0.750.25 10.900.01n ?-?≥即可. 解之得 20.750.25187500.010.10n ?=?≥. 概率与概率分布 一.思考题 5.1、频率与概率有什么关系？ 5.2、独立性与互斥性有什么关系？ 5.3、根据自己的经验体会举几个服从泊松分布的随机变量的实例。 5.4、根据自己的经验体会举几个服从正态分布的随机变量的实例。 二.练习题 5.1、写出下列随机试验的样本空间： (1)记录某班一次统汁学测试的平均分数。 (2)某人在公路上骑自行车，观察该骑车人在遇到第一个红灯停下来以前遇到的绿灯次数。 (3)生产产品，直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。 5.2、某市有50%的住户订阅日报，有65%的住户订阅晚报，有85%的住户至少订两种报纸中的一种，求同时订这两种报纸的住户的百分比。 5.3、设A与B是两个随机事件，已知A与B至少有个发生的概率是亍，A发生且B不发生 的概率是丁求B发现的概率。 5.4、设A与B是两个随机事件，已知P{A)=P(B)= P (A I B)=求P(A I B] 3 6 5.5、有甲、乙两批种子，发芽率分别是0.8和0.7。在两批种子中％随机取一粒，试求: (1)两粒都发芽的概率。 (2)至少有一粒发芽的概率。 (3)恰有一粒发芽的概率。 5.6、某厂产品的合格率为96%,合格品中一级品率为75%,从产品中任取一件为一级品的槪率是多少？ 3 1 5.7、某种品牌的电视机用到5000小时未坏的槪率为一，用到10000小时未坏的概率为一° 4 2 现在有一台这种品牌的电视机已经用了5000小时未坏，它能用到10000小时的概率是多少？5.8、某厂职工中，小学文化程度的有10%.初中文化程度的有50%,高中及高中以上文化程度的有40%, 25岁以下青年在小学、初中、高中及高中以上文化程度^$组中的比例分別为20%, 50%, 70%.从该厂随机抽取一需职工，发现年龄不到25岁，他具有小学、初中、高中及高中以上文化程度的概率各为多少？ 5.9.某厂有A, B, C, D四个车间生产同种产品，日产量分别占全厂产量的30%. 27%> 25%, 18%.已知这四个车间产品的次品率分别为0.10, 0.05. 0.20和0.15,从该厂任意抽取一件产品，发现为 概率论中几种常用的重要的分布 摘要：本文主要探讨了概率论中的几种常用分布，的来源和他们中间的关系。其在实际中的应用。 关键词 1 一维随机变量分布 随机变量的分布是概率论的主要内容之一，一维随机变量部分要介绍六中常 用分布，即( 0 －1) 分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布． 下面我们将对这六种分布逐一地进行讨论． 随机事件是按试验结果而定出现与否的事件。它是一种“定性”类型的概念。为了进一步研究有关随机试验的问题，还需引进一种“定量”类型的概念，即，根据试验结果而定取什么值（实值或向量值）的变数。称这种变数为随机变数。本章内将讨论取实值的这种变数—— 一维随机变数。 定义1.1 设X 为一个随机变数，令 ()([(,)])([]),()F x P X x P X x x =∈-∞=-∞ +∞. 这样规定的函数()F x 的定义域是整个实轴、函数值在区间[0,1]上。它是一个普通的函数。成这个函数为随机函数X 的分布函数。 有的随机函数X 可能取的值只有有限多个或可数多个。更确切地说：存在着有限多个值或可数多个值12,,...,a a 使得 12([{,,...}])1P X a a ∈= 称这样的随机变数为离散型随机变数。称它的分布为离散型分布。 【例1】下列诸随机变数都是离散型随机变数。 （1）X 可能取的值只有一个，确切地说，存在着一个常数a ,使([])1P X a ==。 称这种随机变数的分布为退化分布。一个退化分布可以用一个常数a 来确定。 （2）X 可能取的值只有两个。确切地说，存在着两个常数a ，b ，使 ([{,}])1P X a b ∈=.称这种随机变数的分布为两点分布。如果([])P X b p ==，那 么，([])1P X a p ===-。因此，一个两点分布可以用两个不同的常数,a b 及一个在区间（0,1）内的值p 来确定。 特殊地，当,a b 依次为0,1时，称这两点分布为零-壹分布。从而，一个零-壹分布可以用一个在区间（0，1）内的值p 来确定。 （3）X 可能取的值只有n 个：12,...,a a （这些值互不相同），且，取每个i a 值 均匀分布 .................................... 1 .... 正态分布（高斯分布） ....................... 2 ... 指数分布 .................................... 2 .... Beta 分布（ 分布） .......................... 2 ... Gamma 分布 .................................. 3 .... 倒 Gamma 分布 威布尔分布 （Weibull 分布、韦伯分布、韦布尔分布 ） .............................................. 5.. Pareto 分布 ................................ 6 .... Cauchy 分布（柯西分布、柯西 .................. - 洛伦 兹分布） 7.. 2 分布（卡方分布） ......................... 7. t 分布 ......................................................................................................... 8.. F 分布 ......................................................................................................... 9.. 二项分布 ....................................................................................................... 1..0. 泊松分布（ Poisson 分布） .............................................................................................. 1..0. 对数正态分布 ..................................................................................................... 1..1.. 均匀分布 均匀分布 X ~U （a,b ） 是无信息的，可作为无信息变量的先验分布 1 f （x ） 目 录 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 1. .4.16种常见概率分布概率密度函数、意义及其应用
第5章概率与概率分布
几种常见的概率分布
常用概率分布(习题与答案)
第5、6章习题常用的概率分布
第五章 概率与概率分布基础
几种常见的概率分布
考研资料_厦门大学卫生综合_卫生统计厦大内部习题集_第五章 常用概率分布
16种常见概率分布概率密度函数、意义及其应用
考试练习题常用概率分布教学提纲
各种概率分布介绍
第五章概率_2
概率第五章答案
第5章概率与概率分布
概率论中几种常用的重要的分布
16种常见概率分布概率密度函数、意义及其应用
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