求定积分的原函数

求定积分中被积函数的原函数

利用微积分基本定理以求定积分的关键是求出被积函数的原函数，即寻找满足()()F x f x '=的函数()F x .如何求出一个被积函数的原函数呢？我们知道求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算，所以要求被积函数的原函数，首先要明确它们之间的关系：原函数的导数就是被积函数，并且导函数是唯一确定的，而被积函数的原函数是不唯一的.即若()()F x f x '=，则被积函数()f x 的原函数为()F x c +（c 为常数）.

类型一 被积函数为基本初等函数的导数

求这种类型被积函数的原函数，关键是要记准上述基本初等函数的导数公式，找到对应的被积函数.由基本初等函数的导数公式可知：若()f x 是被积函数，()F x 为原函数，则有：

若()f x k =，则()(,F x kx c k c =+为常数）；

若()m f x x =，则11()(1,1m F x x c m m m +=

+≠-+，c 为常数）； 若1()f x x

=，则()ln (F x x c c =+为常数）； 若()x f x e =，则()(x F x e c c =+为常数）；

若()x

f x a =，则()ln x

a F x c a =+（其中0,1,,a a a c >≠为常数）； 若()sin f x x =，则()cos F x x c =-+（c 为常数）；

若()cos f x x =，则()sin F x x c =+（c 为常数）.

例1 计算以下积分：

（1）2

2

11(2)x dx x -?；（2）30(sin sin 2)x x dx π-?. 分析：解决问题的关键是找出被积函数的一个原函数，根据积分的性质，先求出一些简单被积函数的原函数，然后再进行相应的运算.显然，只由熟练掌握常见函数的导数公式，才会比较熟练地找出相应的原函数.2x 的一个原函数为313x ，1x

的一个原函数为ln x ；sin x 的一个原函数为cos x -，sin 2x 的一个原函数为1cos 22

x -. 解：（1）函数212y x x =-的一个原函数是32ln 3

y x x =-， 所以2122311216214(2)(ln )(ln 2)(ln1)ln 23333

x dx x x x -=-=---=-?. （2）函数sin sin 2y x x =-的一个原函数是1cos cos 22

y x x =-+，

所以3

03

011111(sin sin 2)(cos cos 2)()(1)22424

x x dx x x ππ

-=-+=----+=-?. 评注：在求这种类型的定积分时，要熟记基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则，利用这些公式的逆运算便可求出原函数.在计算定积分时我们一般取0c =时对应的原函数，这样可减少运算量.

类型二 被积函数为分段函数

根据定积分的定义以及微积分基本定理，定积分可以分解为多个区间上的定积分的和，所以求分段函数的原函数，必须根据被积函数的定义在不同区间上进行求解，然后根据定积分的运算法则进行计算.

例2 求下列定积分：

（1）21|32|x dx -?；（2）0()f x dx π?，其中42,[0,]2()cos ,(,]2

x x f x x x ππππ?-∈??=??∈??. 分析：这两个小题实质上都是求分段函数的积分，可以利用定积分的性质，根据函数的定义域将积分区间分成几段，代入相应的解析式，分别求出积分值，相加即可.

解：（1）∵323,2|32|323,2

x x x x x ?-+≤??-=??->??， ∴32213232222231121|32|(32)(32)(3)(3)2

x dx x dx x dx x x x x -=-+-=-+-=

???. （2）2200022

()()()(42)cos f x dx f x dx f x dx x dx xdx πππππ

πππ=+=-+????? 2

02222211(22)sin 0sin sin 1222

x x x πππ

ππππππ=-+=-++-=--. ∴201()12

f x dx ππ=--?. 评注：分段函数在不同的取值范围内对应不同对应法则的一个函数，不是多个函数，所以求解这类函数的原函数时，要根据分段函数的定义，把被积函数分解到不同的区间内，分别求出原函数，然后利用定积分的运算性质，把不同区间内的定积分求和即可.

类型三 被积函数为积或商的形式

这种形式中的被积函数，很难直接求出原函数，需要对被积函数进行化简，转化为一些基本初等函数的导数的和或差，然后利用定积分的运算性质进行求解.

例3 求22

2

1(1)(3)3x x dx x +-?. 分析：该积分中的被积函数式比较复杂，无法直接求出原函数，所以应先化简，转化为一些被积函数的和或差，然后求定积分. 解析：∵232222(1)(3)3311113333x x x x x x x x x x

+-+--==+--， ∴22

222222

22111111(1)(3)11111111()()()()33333x x dx x dx x dx dx dx dx x x x x x +-=+--=++-+-?????? 2222

11112111()()ln ()63x x x x =+---1111ln1ln 2ln 22323

=++--=-. 所以22

21(1)(3)1ln 233

x x dx x +-=-?. 评注：这种类型的定积分，仅限于被积函数由基本初等函数的导数进行简单的加、减运算得到，可通过化简转化为几个被积函数的和或差的形式，根据定积分的运算性质，原函数就等于化简后的几个被积函数的原函数的和或差.对于较为复杂的被积函数的原函数的求解，要等到我们进入大学深造进一步研究.

不定积分与定积分的区别与联系

不定积分与定积分的区别与联系 不定积分计算的是原函数（得出的结果是一个式子） 定积分计算的是具体的数值（得出的借给是一个具体的数字） 不定积分是微分的逆运算，而定积分是建立在不定积分的基础上把值代进去相减 积分 积分，时一个积累起来的分数，现在网上，有很多的积分活动。象各种电子邮箱，qq等。 在微积分中，积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上，积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的. 一个函数的不定积分（亦称原函数）指另一族函数，这一族函数的导函数恰为前一函数。其中：[F(x) + C]' = f(x) 一个实变函数在区间[a,b]上的定积分，是一个实数。它等于该函数的一个原函数在b的值减去在a的值. 定积分 就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a,b. 不定积分 设F（x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C（C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，记作，即∫f(x)dx=F(x)+C. 其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分. 由定义可知： 求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C，就得到函数f(x)的不定积分. 定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得

换元法在不定积分和定积分中的联系与区别

换元法在不定积分和定积分中的联系与区别 1.第一换元法在不定积分和定积分中的联系与区别 1.1不定积分中第一换元法的定理形式 定理1若，且的原函数容易求出，记 ， 则 . 证明若，令，于是有 因而 得证。 1.2定积分中第一换元法的定理形式 定理2若连续，在上一阶连续可导，且，在构成的区间上连续，其中，则 . 证明令，由于在构成的区间上连续，记，则 得证。 1.3 第一换元法在不定积分和定积分中的联系与区别 区别：第一换元法在定积分中对未知量给出了定义范围，要求换元函数在该定义域内一阶连续可导即可，对积分要求变弱。

联系：不定积分的实质是求一个函数的原函数组成的集合，部分定积分的计算可以利用不定积分的第一换元法求出简单函数的任意一个原函数，再用原函数在定义域的上下限的函数值取差值。 例1求. 解因为 即有一个原函数，所以 例2 计算积分. 解由于 于是 2.第二换元法在不定积分和定积分中的联系与区别 2.1不定积分中第二换元法的定理形式 定理3设连续，及都连续，的反函数存在且连续，并且 ，（1）则 （2）

证明将（2）式右端求导同时注意到（1）式，得 ， 这便证明了（2）式。 2.2定积分中第二换元法的定理形式 定理 4 设在连续，作代换，其中在构成的区间上有连续导数，且，则 证明设是的一个原函数，则是的一个原函数。于是 ， 定理得证。 2.3 第二换元法在不定积分和定积分中的联系与区别 区别：由不定积分中第二换元法的证明过程可知，不定积分中第二换元法要求变换的反函数存在且连续，并且。而在定积分的第二换元法则不这样要求，它通过换元法写出关于新变量的被积函数与新变量的积分上下限后可以直接求职，不像不定积分的计算最终需要对变量进行还原。 例3用第二换元法求解 解令，则

不定积分与定积分的区别与联系

不定积分计算的是原函数（得出的结果是一个式子） 定积分计算的是具体的数值（得出的借给是一个具体的数字） 不定积分是微分的逆运算，而定积分是建立在不定积分的基础上把值代进去相减 积分 积分，时一个积累起来的分数，现在网上，有很多的积分活动。象各种电子邮箱，qq等。文档来自于网络搜索 在微积分中，积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上，积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的. 一个函数的不定积分（亦称原函数）指另一族函数，这一族函数的导函数恰为前一函数。其中：[F(x) + C]' = f(x) 一个实变函数在区间[a,b]上的定积分，是一个实数。它等于该函数的一个原函数在b的值减去在a的值.文档来自于网络搜索 定积分 就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a,b.文档来自于网络搜索 不定积分 设F（x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C（C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，记作，即∫f(x)dx=F(x)+C. 其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分. 由定义可知： 求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C，就得到函数f(x)的不定积分.文档来自于网络搜索 定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于

函数可积与存在原函数的关系

函数可积与存在原函数的关系 本文在区间[a,b]上讨论函数存在定积分与存在原函数的关系。得出的结果是两者之间没有必然联系，存在定积分不一定存在原函数，存在原函数也不一定存在定积分。本文主要给出两个反例。 一、 存在定积分但不存在原函数的例子 定义函数如下： ? ??=?∈=2/1,1]1,2/1()2/1,0[,0)(x x x f 该函数显然有界，x =1/2为其唯一的间断点（而且是第一类的），因而可积，0d )(1 0=?x x f 。但因为其有第一类间断点，所以不存在原函数（这个结论是利用 导函数连续性定理得出来的，关于这个定理见本文附录）。 可能有人会想到积分上限函数，它的积分上限函数不是原函数吗？我们看看它的积分上限函数，容易求得 0d )()(0≡=?x t t f x F 显然它的导数并不是f (x )，而是f (x )在x =1/2处作连续开拓后的函数。关于积分上限函数和原函数之间的关系问题，在学了实变函数这门课后将会变得很简单，这里不再深入讨论。 二、 存在原函数但不存在定积分的例子。 定义函数如下： ?????=≤<-=0 ,010,1cos 21sin 2)(22x x x x x x x f 首先证明，这个函数存在原函数，我们指出，下面这个函数就是它的原函数： ?????=≤<=0 ,010,1sin )(22x x x x x F 为此目的，只需证明)()('x f x F =对任何x ∈[0,1]成立，而0

确定定积分中被积函数的原函数

确定定积分中被积函数的原函数 【较难高中内容】 利用微积分基本定理以求定积分的关键是求出被积函数的原函数，即寻找满足 ()()F x f x '=的函数()F x .如何求出一个被积函数的原函数呢？我们知道求一个函数的原函数 与求一个函数的导数是互逆运算，所以要求被积函数的原函数，首先要明确它们之间的关系：原函数的导数就是被积函数，并且导函数是唯一确定的，而被积函数的原函数是不唯一的.即若()()F x f x '=，则被积函数()f x 的原函数为()F x c +（c 为常数）. 类型一 被积函数为基本初等函数的导数 求这种类型被积函数的原函数，关键是要记准上述基本初等函数的导数公式，找到对应的被积函数.由基本初等函数的导数公式可知：若()f x 是被积函数，()F x 为原函数，则有： 若()f x k =，则()(,F x kx c k c =+为常数）； 若()m f x x =，则1 1()(1,1 m F x x c m m m +=+≠-+，c 为常数） ； 若1 ()f x x = ，则()ln (F x x c c =+为常数）； 若()x f x e =，则()(x F x e c c =+为常数）； 若()x f x a =，则()ln x a F x c a =+（其中0,1,,a a a c >≠为常数）； 若()sin f x x =，则()cos F x x c =-+（c 为常数）； 若()cos f x x =，则()sin F x x c =+（c 为常数）. 例1 计算以下积分： （1）2 2 1 1 (2)x dx x -? ；（2）30(sin sin 2)x x dx π -?. 分析：解决问题的关键是找出被积函数的一个原函数，根据积分的性质，先求出一些简单被积函数的原函数，然后再进行相应的运算.显然，只由熟练掌握常见函数的导数公式，才会 比较熟练地找出相应的原函数.2x 的一个原函数为313x ，1 x 的一个原函数为ln x ；sin x 的一个 原函数为cos x -，sin 2x 的一个原函数为1 cos 22 x -.

定积分,不定积分…微积分的区别

定积分,不定积分…微积分的区别 不定积分 设F(x)为函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C（C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分。 记作∫f(x)dx。 其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。 由定义可知： 求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C，就得到函数f(x)的不定积分。 也可以表述成,积分是微分的逆运算,即知道了导函数,求原函数. 定积分 众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。微分实际上是求一函数的导数，而积分是已知一函数的导数，求这一函数。所以，微分与积分互为逆运算。 实际上，积分还可以分为两部分。第一种，是单纯的积分，也就是已知导数求原函数，而若F(x)的导数是f(x)，那么F(x)+C（C是常数）的导数也是f(x)，也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导数也是f(x)，C是无穷无尽的常数，所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的，我们一律用F(x)+C 代替，这就称为不定积分。 而相对于不定积分，就是定积分。

所谓定积分，其形式为∫f(x) dx (上限a写在∫上面，下限b写在∫下面)。之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。 定积分的正式名称是黎曼积分，详见黎曼积分。用自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线和x轴把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a、b。 我们可以看到，定积分的本质是把图象无限细分，再累加起来，而积分的本质是求一个函数的原函数。它们看起来没有任何的联系，那么为什么定积分写成积分的形式呢？ 定积分与积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是： 若F'(x)=f(x) 那么∫f(x) dx (上限a下限b)=F(a)-F(b) 但是这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。虽然这种写法是可以的，但习惯上常把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就非常清楚了： Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(t)dt 牛顿-莱布尼兹公式用文字表述，就是说一个定积分式的值，就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差。

求定积分的原函数

求定积分中被积函数的原函数 利用微积分基本定理以求定积分的关键是求出被积函数的原函数，即寻找满足()()F x f x '=的函数()F x .如何求出一个被积函数的原函数呢？我们知道求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算，所以要求被积函数的原函数，首先要明确它们之间的关系：原函数的导数就是被积函数，并且导函数是唯一确定的，而被积函数的原函数是不唯一的.即若()()F x f x '=，则被积函数()f x 的原函数为()F x c +（c 为常数）. 类型一 被积函数为基本初等函数的导数 求这种类型被积函数的原函数，关键是要记准上述基本初等函数的导数公式，找到对应的被积函数.由基本初等函数的导数公式可知：若()f x 是被积函数，()F x 为原函数，则有： 若()f x k =，则()(,F x kx c k c =+为常数）； 若()m f x x =，则11()(1,1m F x x c m m m += +≠-+，c 为常数）； 若1()f x x =，则()ln (F x x c c =+为常数）； 若()x f x e =，则()(x F x e c c =+为常数）； 若()x f x a =，则()ln x a F x c a =+（其中0,1,,a a a c >≠为常数）； 若()sin f x x =，则()cos F x x c =-+（c 为常数）； 若()cos f x x =，则()sin F x x c =+（c 为常数）. 例1 计算以下积分： （1）2 2 11(2)x dx x -?；（2）30(sin sin 2)x x dx π-?. 分析：解决问题的关键是找出被积函数的一个原函数，根据积分的性质，先求出一些简单被积函数的原函数，然后再进行相应的运算.显然，只由熟练掌握常见函数的导数公式，才会比较熟练地找出相应的原函数.2x 的一个原函数为313x ，1x 的一个原函数为ln x ；sin x 的一个原函数为cos x -，sin 2x 的一个原函数为1cos 22 x -. 解：（1）函数212y x x =-的一个原函数是32ln 3 y x x =-， 所以2122311216214(2)(ln )(ln 2)(ln1)ln 23333 x dx x x x -=-=---=-?. （2）函数sin sin 2y x x =-的一个原函数是1cos cos 22 y x x =-+，

原函数与不定积分的概念

【导语】 我们知道，已知距离与时间的关系()S S t =，要求速度()v t ，就是求距离关于时间的导数()S t '；反过来，如果已知每时刻的速度()v t ，要求从时刻t a =到时刻t b =的距离，也就是要求一个函数()S S t =，使得()()S t v t '=，则()()S b S a -就是要求的距离。类似的问题还有许多，例如已知曲线()y f x =在每点(,())x f x 处切线的斜率()f x '，要求曲线的方程()y f x =等。 本节将从考虑微分运算的逆运算入手引入原函数的概念，并介绍微分方程的基本概念和一类最基本的一阶微分方程的解法． 本讲将介绍原函数与不定积分的概念、性质。 【正文】 §4.10 原函数与微分方程初步（1） 一、原函数的概念 在初等数学中，已接触过许多互为逆运算的运算，如加法和减法、乘法和除法、乘方和开方、指数和对数等。函数的原函数是通过考虑函数的微分运算的逆运算得到的．求一个未知函数，使其导函数恰好是某个已知函数． 1．原函数的定义 定义8 设()f x 是定义在区间I 上的一个函数．如果存在函数()F x ，对于任意的x I ∈，都有 ()()F x f x '=， 则称()F x 是()f x 在I 上的一个原函数． 例1 求()cos f x x =在(,)-∞+∞上的一个原函数． 解 因为在(,)-∞+∞内，有 (sin )cos x x '=， 所以()sin F x x =是()cos f x x =在),(+∞-∞上的一个原函数． 显然sin 1,sin x x C ++（C 为任意常数）也是()cos f x x =的原函数．

求定积分中被积函数的原函数

求定积分中被积函数的原函数 【含理论基础、例题、解法和练习，较难高中内容】 利用微积分基本定理以求定积分的关键是求出被积函数的原函数，即寻找满足()() F x f x '=的函数()F x .如何求出一个被积函数的原函数呢？我们知道求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算，所以要求被积函数的原函数，首先要明确它们之间的关系：原函数的导数就是被积函数，并且导函数是唯一确定的，而被积函数的原函数是不唯一的.即若()()F x f x '=，则被积函数()f x 的原函数为()F x c +（c 为常数）. 类型一 被积函数为基本初等函数的导数 求这种类型被积函数的原函数，关键是要记准上述基本初等函数的导数公式，找到对应的被积函数.由基本初等函数的导数公式可知：若()f x 是被积函数，()F x 为原函数，则有： 若()f x k =，则()(,F x kx c k c =+为常数）； 若()m f x x =，则1 1()(1,1 m F x x c m m m +=+≠-+，c 为常数）； 若1 ()f x x = ，则()ln (F x x c c =+为常数）； 若()x f x e =，则()(x F x e c c =+为常数）； 若()x f x a =，则()ln x a F x c a =+（其中0,1,,a a a c >≠为常数）； 若()sin f x x =，则()cos F x x c =-+（c 为常数）； 若()cos f x x =，则()sin F x x c =+（c 为常数）. 例1 计算以下积分： （1）2 2 1 1 (2)x dx x -? ；（2）30(sin sin 2)x x dx π -?. 分析：解决问题的关键是找出被积函数的一个原函数，根据积分的性质，先求出一些简单被积函数的原函数，然后再进行相应的运算.显然，只由熟练掌握常见函数的导数公式，才会 比较熟练地找出相应的原函数.2x 的一个原函数为313x ，1 x 的一个原函数为ln x ；sin x 的一个 原函数为cos x -，sin 2x 的一个原函数为1 cos 22 x -.