圆锥曲线部分高考试题汇编(椭圆部分)
1、( 2016 全国Ⅰ卷)( 20)(本小题满分12 分)
设圆 x2 y2 2x 15 0 的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.
( I)证明EA EB 为定值,并写出点 E 的轨迹方程;
( II)设点 E 的轨迹为曲线 C1 1
,直线 l 交 C 于 M,N 两点,过 B 且与 l 垂直的直线与圆
A 交于 P,Q 两点,求四边形 MPNQ 面积的取值范围.
x2 y2
x 轴上,则该圆的标准方程2、( 2015 全国Ⅰ卷)( 14)一个圆经过椭圆1的三个顶点,且圆心在
16 4
为
。
3、( 2014 全国Ⅰ卷)
20.(本小题满分 12 分)已知点
A ( 0,-2),椭圆 E
:
x
2
y 2
1(a b 0) 的离心率为
3
,F 是椭圆
a 2
b 2
2
的焦点,直线 AF 的斜率为
2 3
, O 为坐标原点 .
3
(Ⅰ)求 E 的方程;
(Ⅱ)设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点,当
OPQ 的面积最大时,求 l 的方程 .
4、( 2016 山东卷)( 21) (本小题满分 14 分)
平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C :
x
2
y 2
1 a > b >0
的离心率是
3
,抛物线 E : x 2 2 y 的焦点
a 2
b 2
2
F 是 C 的一个顶点 .
(I)求椭圆 C 的方程;
(II)设 P 是 E 上的动点,且位于第一象限, E 在点 P 处的切线l与 C 交与不同的两点 A, B,线段 AB 的中点为D,直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M.
(i)求证:点 M 在定直线上 ;
( ii)直线l与 y 轴交于点G,记PFG 的面积为S1,PDM 的面积为S2,求S
1的最大值及取得最大值S2
时点 P的坐标 .
x 2 y2
5、( 2015 山东卷)( 20) ( 本小题满分13 分 ) 平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆 C : a 2 b2 1(a b 0)
的离心率为3
,左、右焦点分别是F1, F2,以F1为圆心,以 3 为半径的圆与以F2为圆心,以 1 为半径的2
圆相交,交点在椭圆 C 上 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
2 2
(Ⅱ)设椭圆 E : x
2
y 2 1 , P 为椭圆 C 上的任意一点,过点 P 的直线 y kx m 交椭圆 E 于 A,B 两 4a
4b
点,射线 PO 交椭圆 E 于点 Q.
(ⅰ)求
| OQ |
的值;(ⅱ)求
ABQ 面积最大值 .
|OP |
圆锥曲线部分高考试题汇编(双曲线部分)
1、( 2016 全国 Ⅰ卷 )( 5)已知方程
x 2
y 2
4,则 n 的
m 2
–
2 =1 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为
+n 3m –n
取值范围是( )
( A )(–1,3)
( B ) (–1, 3)
(C )(0,3)
( D ) (0, 3)
2、( 2015 全国Ⅰ卷)( 5)已知 M ( x 0, 0
x 2
y 2 1上的一点,
12
是 C 上的两个焦点,
y
)是双曲线 C :
F 、 F
2
若
MF ?MF 2
<0,则 y 0 的取值范围是(
)
1
(A )(- 3 , 3 )
(B )(-
3 , 3 )
3 3
6
6
( C )( 2 2,2 2)
( D )(
2 3,2 3)
3 3
3
3
3、( 2014 全国Ⅰ卷) 4. 已知 F 是双曲线 C : x 2 my 2 3m(m 0) 的一个焦点, 则点 F 到 C 的一条渐近
线的距离为(
)
A . 3
B .3
C . 3m
D . 3m
4、( 2016 山东卷)( 13)已知双曲线 E 1: x 2 y 2
1( a > 0, b > 0),若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上,
a
2
b
2
AB , CD 的中点为 E 的两个焦点,且 2| AB|=3| BC| ,则 E 的离心率是 _______.
5、( 2015 山东卷) (15)平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C 1 :
x 2
y 2
1(a 0, b 0) 的渐近线与抛物线
a 2
b 2
C 2 : x 2 2 py( p 0) 交于点 O, A, B ,若 OAB 的垂心为 C 2 的焦点,则 C 1 的离心率为
.
x 2 y 2
x 2 y 2 1,C 1
6、( 2014 山东卷)( 10)已知 a b ,椭圆 C 1 的方程为
b 2
1,双曲线 C 2 的方程为
b 2
a 2 a 2
与 C 2 的离心率之积为
3
,则 C 2 的渐近线方程为(
)
2
( A ) x
2y 0 ( B ) 2x y 0
(C ) x 2 y 0 ( D ) 2x y 0
圆锥曲线部分高考试题汇编(抛物线部分)
1、( 2016 全国 Ⅰ卷 )(10)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A ,B 两点,交 C 的准线于 D ,E 两点 .已知 | AB|= 4 2 , | DE|= 2 5 ,则 C 的焦点到准线的距离为( )
( A )2
( B )4
(C )6
(D )8
2、(2015 全国Ⅰ卷)( 20)(本小题满分 12 分)
在直角坐标系 xoy 中,曲线 C : y=
x 2
与直线 y kx a ( a >0)交与 M,N 两点,
4
(Ⅰ)当k=0 时,分别求C在点 M 和 N 处的切线方程;
(Ⅱ) y 轴上是否存在点P,使得当k 变动时,总有∠OPM=∠ OPN?说明理由。
3、( 2014 全国Ⅰ卷) 10. 已知抛物线C : y2 8x 的焦点为F,准线为l,P是l上一点, Q 是直线PF与
C 的一个焦点,若 FP 4FQ ,则=()
|QF |
7 5
C .3
D .2
A .
B .
2 2
4、( 2014 山东卷)( 21)(本小题满分 14 分)
已知抛物线 C : y2 2 px( p 0) 的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B ,交 x 轴的正半轴于点D,且有 |FA| | FD | .当点 A 的横坐标为3时, ADF 为正三角形.
(Ⅰ)求 C 的方程;
(Ⅱ)若直线l1 // l ,且 l1和C有且只有一个公共点 E ,
(ⅰ)证明直线AE 过定点,并求出定点坐标;
(ⅱ)ABE 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
1、(2013 山东卷 )( 6)在平面直角坐标系xOy 中, M 为不等式组:2x y 20
x2y 1 0 ,所表示的区域上一动3x y 80
点,则直线OM 斜率的最小值为()
(A)2 (B)1
1
( D)
1 ( C)
2
3
2、(2013 山东卷 )( 7)给定两个命题p、 q,若﹁ p 是 q 的必要而不充分条件,则p 是﹁ q 的()
( A)充分而不必条件(B)必要而不充分条件
( C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
3、(2013 山东卷 )( 11)抛物线 C1:y= 1 x2(p>0)的焦点与双曲线C2:x2 y2 1的右焦点的连线交
2 p 3
C 1 于第一象限的点 M. 若 C 1 在点 M 处的切线平行于 C 2 的一条渐近线,则 p= ( )
A.
3 B.
3 C.
2 3 D. 4 3
16
8
3
3
4、 (2013
山东卷 )(12)设正实数 x,y,z 满足 x 2
-3xy+4y 2
-z=0.则当
xy
取得最大值时,
2
1 2 的最大值
z
x y z
为 ( )
(A )0
(B )1
( C )
9
(D )3
4
5、( 2012 山东卷 3) 设 a > 0 a ≠1 ,则“函数 f(x)= a x 在 R 上是减函数 ”,是“函数 g(x)=(2-a) x 3 在 R
上是增函数”的( )
A 充分不必要条件
B 必要不充分条件
C 充分必要条件
D
既不充分也不必要条件
6、( 2012 山东卷)(10)已知椭圆 C :
的离心率为 ,双曲线 x2- y2= 1 的渐近线与
椭圆有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为
16,则椭圆 c 的方程为(
)
7、( 2011 山东卷)( 8)已知双曲线 x 2 y
2
1(a 0, b 0) 的两条渐近线均和圆 C : x 2
y 2 6x 5 0
a 2
b 2
相切,且双曲线的右焦点为圆
C 的圆心,则该双曲线的方程为
x 2 y 2 x 2 y 2 1
x 2 y 2 1
x 2 y 2
A.
1
B.
5 C.
6 D.
1
5
4
4
3
6
3
圆锥曲线部分高考试题汇编(椭圆部分)答案
x 2
y 2
0 )( II ) [12,8 3)
1、【答案】(Ⅰ)
1( y
4
3
试题分析:利用椭圆定义求方程; ( II )把面积表示为关于斜率 k 的函数,再求最值。 试题解析:(Ⅰ)因为 | AD | | AC |, EB // AC ,故 EBD ACD
ADC ,
所以 |EB| |ED |,故 |EA|
|EB| |EA| |ED| |AD|.
又圆 A 的标准方程为 ( x 1) 2 y 2
16,从而 | AD| 4,所以 | EA| |EB| 4.
由题设得 A( 1,0) , B(1,0) , | AB | 2 ,由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为:
x 2
y 2 0 ) .
4
1 ( y
3
考点:圆锥曲线综合问题
2、试题分析:设圆心为( a ,0),则半径为 4 | a | ,则 (4 | a |) 2 | a |2 22
,解得 a
3 ,故圆的方程
2
为 ( x 3 )2
y 2
25 .
2
4
考点:椭圆的几何性质;圆的标准方程。
3、
4、【答案】(Ⅰ)x2 4 y 2 1;(Ⅱ)(i)见解析;(ii)S1 的最大值为9
,此时点 P 的坐标为( 2 , 1 )
S2 4 2 4
所以直线 l 的斜率为m,其直线方程为
m2
m( x m) ,即 y mx
m2 y .
2 2
( 2)由( 1)知直线l的方程为y
m 2 mx ,
2
令 x 0 得 y m 2 ,所以 G(0, m 2 ) ,
2 2
又 P(m, m
2 ),F(
1
,0),D ( 2m3 , m2 ) ,2 2 4m2 1 2(4m2 1)
所以
S1 1
| GF | m
1
m(m 2 1) , S2
1
| PM | | m x0 | m(2m2 1) 2 ,2 4 2 8(4m2 1)
所以 S1 2(4m2 1)( m2 1)
,令 t 2m2 1,则
S
1
(2t 1)(t 1) 1 1 2 ,
S2 (2m2 1)2 S2 t 2 t 2 t
考点:椭圆方程;直线和抛物线的关系;二次函数求最值;运算求解能力.
5、解析:(Ⅰ)由椭圆 C : x2 y2
1(a b 0) 的离心率为
3
可知 e
c 3
,而 a
2
b
2 2
则a 2 b 2 2 a 2 c
a 2b, c 3
b ,左、右焦点分别是 F1( 3b,0), F2 ( 3b,0) ,
圆
F1: (x 3b)2 y 2 9,圆 F2: (x 3b) 2 y2 1, 由两圆相交可得 2 2 3b 4,即 1 3b 2 ,
2 2 4 1 ( 2 3b) 2
交点 ( , 1 ( 2 ) ,在椭圆C上,则3b
1 ,
3b
)
3b2 4b2 b2 3b
整理得 4b4 5b2 1 0 ,解得 b2 1, b2 1 (舍去)
4
故 b2 1, a2 4, 椭圆C的方程为x
2
y2 1. 4
(Ⅱ)(ⅰ)椭圆 E的方程为x
2
y 2 1,16 4
设点 P( x0 , y0 ) ,满足x
2
y0 2 1 ,射线 PO : y
y
0 x(xx0 0) ,4 x0
代入x2 y2
1可得点 Q( 2x0 , 2 y0 ) ,于是
|OQ| ( 2x0 )2 ( 2 y0 )2
2 .
16 4 |OP | x02 y02
(ⅱ)点 Q( 2x0 , 2y0 ) 到直线AB距离等于原点O到直线AB距离的 3 倍:
d | 2kx0 2y0 m |
3
| m |
1 k
2 1 k 2
y kx m
,得 x2 m)2
x2 y2 4( kx 16 ,整理得 (1 4k 2 ) x2 8kmx 4m2 16 0 16 4 1
64k 2m216(4 k 21)(m24) 16(16k 2 4 m2 )0
|AB|
1 k
2 16(16k 2 4 m 2 )
1 4k 2
S
1
| AB | d
1 3 | m | 4 16k 2
4 m 2
6 | m | 16 k 2
4 m 2
2
2 1 4k 2
1 4k 2
6 m 2 16k 2 4 m 2 12 ,当且仅当 | m | 16k 2 4 m 2 , m 2 8k 2 2 等号成立 .
2(4 k 2 1)
2
x
2
而直线 y
kx m 与椭圆 C :
y 1有交点 P ,则
y kx m
4(kx
m)
2
4,(1 4k 2 ) x
2
8kmx 4m
2
4 0有解,
x 2 4 y 2
有解,即 x 2
4
其判别式
1
64k 2m 2 16(1 4k 2 )( m 2 1)
16(1 4k 2 m 2 ) 0
, 即 1 4k 2 m 2 , 则 上 述
m 2 8k 2 2 不成立,等号不成立,
设 t
| m |
(0,1] ,则
| m | 16 k 2
4 m 2
6 (4
t)t 在 (0,1] 为增函数,
1 4k
2
S 6
1 4k
2
于是当 1 4k 2
m 2 时 S max 6
(4 1)1 6 3 ,故 ABQ 面积最大值为 12.
圆锥曲线部分高考试题汇编(双曲线部分)答案
1、【答案】 A
【解析】由题意知:双曲线的焦点在
x 轴上,所以 m 2 n 3m 2 n 4 ,解得: m 2
1 ,因为方程 x
2 y 2 1 n 0
n 1
1,3 ,故选 A .
1 n
1表示双曲线,所以
3 n
,解得
n
,所以 n 的取值范围是
3 n
3
考点:双曲线的性质 2、
考点:向量数量积;双曲线的标准方程
3、A
4、【答案】 2
试题分析:易得 A(c,
b 2
) , B(c, b 2 ),所以 |AB | 2b 2 ,|BC | 2c ,由 2 AB 3 BC , c 2 a 2 b 2
a a a
1 得离心率 e
2 或 e
(舍去),所以离心率为 2.
2
考点:把涉及到的两个线段的长度表示出来是做题的关键
.
5、解析 : C 1 : x 2 y 2
1(a 0,b 0) 的渐近线为 y
b
x ,则 A( 2 pb 2 pb 2 2 pb 2 pb 2
2 2 a , a 2 ),B( , a 2 ) a b
a
a
p
2pb 2 p a
b
2
5 c
2
a 2
b 2
9 c 3
2
0)的焦点 F (0,
a 2 2 C 2 :x 2pyp(
) ,则 k AF
2pb
,即
,
a 2
4
,e
. 2
b
a 2
4 a 2
a 2
a
6、【答案】 A
【解析】
e 1
c
2 a 2 b
2
c 2 a 2
2
,
,e 2
2 b
2
a 2
a 2
a 2 a 2
(e 1e 2 ) 2 a 4
a 4
b 4
3 b 2
4 a
2
圆锥曲线部分高考试题汇编(抛物线部分)答案
1、【答案】 B 【解析】
试题分析:如图,设抛物线方程为 y 2 2 px ,圆的半径为 r, AB, DE 交 x 轴于 C, F 点,则 AC
2 2 ,
即 A 点纵坐标为 2
2 ,则 A 点横坐标为
4
,即OC
4 ,由勾股定理知 DF 2 OF 2 DO 2 r 2 ,
p
p AC
2
OC
2
AO
2
r 2
,即 ( 5) 2
( p ) 2
(2 2)
2
( 4
) 2 ,解得 p 4 ,即 C 的焦点到准线的距离为
2 p
4,故选 B.考点:抛物线的性质
2、【答案】(Ⅰ) ax y a 0 或 ax y a 0 (Ⅱ)存在
试题分析:(Ⅰ)先求出 M ,N 的坐标,再利用导数求出
M,N.(Ⅱ)先作出判定,再利用设而不求思想即将
y kx a 代入曲线C的方程整理成关于x 的一元二次方程,设出M ,N 的坐标和P 点坐标,利用设而不求思想,将直线PM,PN的斜率之和用a 表示出来,利用直线PM,PN的斜率为 0, 即可求出a, b关系,从而找出适合条件的P点坐标 .
试题解析:(Ⅰ)由题设可得M (2 a, a) , N ( 2 2, a) ,或 M ( 2 2, a) , N (2 a, a) .
∵ y 1
x ,故 y x2 在 x =2 2a 处的到数值为 a ,C在 (2 2a, a) 处的切线方程为2 4
y a a( x 2 a ) ,即ax y a 0 .
故 y x2
2a 处的到数值为- a ,C在 ( 2 2a, a) 处的切线方程为在 x =- 2
4
y a a ( x 2 a ) ,即ax y a 0 .
故所求切线方程为ax y a 0 或 ax y a 0.5分
(Ⅱ)存在符合题意的点,证明如下:
设 P( 0, b)为复合题意得点,M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,直线PM,PN的斜率分别为k1 , k2. 将 y kx a 代入C得方程整理得x2 4kx 4a 0 .
∴ x1 x2 4k , x1 x2 4a .
∴ k1 k2 y1 b y
2
b
=
2kx
1
x
2 (a b)( x1
x
2
)
=
k(a b)
.
x1 x2 x1x2 a
当 b a 时,有k1 k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,
故∠ OPM=∠ OPN,所以P(0, a)符合题意 . 12 分
考点:抛物线的切线;直线与抛物线位置关系;探索新问题;运算求解能力。
3、 B
4、解:( I)由题意知F ( p
,0). 2
p2t 设,则 FD 的中点为 (,0).
p
t p
FA FD ,由抛物线的定义知 3 ,
2 2 解得 t
3 p或 t 3 (舍去)
由 p 2t
3, 解得 p 2.
4
所以抛物线 C 的方程为 y 2 4 x .
( II )( i )由( I )知 F (1,0)
设 A( x 0 , y 0 )( x 0 y 0 0), D ( x D ,0)( x D 0),
FA
FD , x D 1 x 0 1,
由 x D
0得 x D x 0 2, D ( x 0 2,0).
所以直线 AB 的斜率 k AB
y
.
2
因为直线 l 1 与直线 AB 平行,
所以设直线 l 1 的方程为 y
y 0 x b ,
2
代入 y 2
4x ,得 y 2
8 y 8b 0,
y 0 y 0
由题意得
64 32b 0, 得 b 2 .
y 02 y 0
y 0
设 E(x E , y E ) ,则 y E
4
4
, x E
2
.
y 0
y 0
4
y 0
y E y 0
y 0
4 y 0
当 y 02
4 时, k
y 02 4 ,
x E
x 0
4 y 02
y 02
4
由 y 02 4x ,整理得 y
4 y 0 ( x 1) ,
y 02 4
直线 AE 恒过点 F (1,0).
当 y 02
4 时,直线 AE 的方程为 x 1 ,过点 F (1,0).
所以 直线 AE 过定点 F (1,0).
( ii )由( i )得直线 AE 过焦点 F (1,0).
AE
AF PF
( x 0
1) (
1
1) x 0
1 2.
x 0
x 0
设直线 AE 的方程为 x my 1,
因为点 A( x 0 , y 0 ) 在直线 AE 上, m
x 0 1
y 0
.
设 B( x 1 , y 1 ) ,直线 AB 的方程为 y
y 0
y
( x x 0 ),
2
y 0
0, x
2 y 2 x 0 ,
y 0
代入抛物线方程,得:
y 2
8 y
8 4x 0
0.
y 0
y 0
y 1
8
, y 1
y 0
8
, x 1
4
x 0
4.
y 0
y 0
x 0
所以点 B 到直线 AE 的距离为
4 x 0 4
m( y 0
8 ) 1
4(x 0
1)
1 d
x 0
y 0
4( x 0
1
m 2
x 0
).
x 0
则 ABC 的面积 S 1 x 0
1
)( x 0
1 2)
16, 4(
x 0
2
x 0
当且仅当 1
x 0 ,即 x 0 1时等号成立 .
x 0
所以
ABC 的面积的最小值为 16.
1、【解析】作出可行域如图,由图象可知当
M 位于点 D 处时, OM 的斜率最
x 2y 1 0 x 3 1) ,此时 OM 的斜率为
1 1 小。由
y 8 0
得
,即 D (3, 3
,
3x
y
1
3
选 C.
2、【解析】因为﹁ p 是
q 的必要而不充分条件,所以﹁
q 是
p 的必要而不充分条件,即
p 是﹁ q
的充分而
不必要条件,选
A.
3、【解析】经过第一象限的双曲线的渐近线为
y
3
x 。抛物线的焦点为 F (0, p
) , 双曲线的
3
2
右焦点为 F 2 (2,0) . y '
1 x ,所以在 M ( x 0 , x 0
2 ) 处的切线斜率为
3 ,即 1
x 0
3 ,所以
p 2 p 3
p 3
p 0
p p
x 0
3
p ,即三点 F (0, p
) , F 2 (2,0) , M ( 3 p, p
) 共线,所以
2 6 2
,即 p
4 3 , 2
3
2 3 6 0 3 p
3
3
选 D
4 、 【 解 析 】
由 x 2 3xy 4 y 2
z 0 , 得 z
x 2 3xy 4 y 2 。 所 以
xy
xy
1
1
x
4 y ,即 x
2 y 时取等号此时 z x
2
3xy 4 y
2
x 4 y 2
x
4 y
1 ,当且仅当
x
3
y
y
3
x
y x
z 2 y 2
, (
xy
) max 1. 2 1 2
2 1 2 2 (1 1 ) 2
(1 1 ) z
x y z
2y y xy
y
x y 2y
1
1
1 4(
2 y
2y ) 2
1,故选 B.
2
5、解析: p :“函数 f(x)= a x 在 R 上是减函数 ”等价于 0 a 1; q :“函数 g(x)=(2-a) x 3 在 R 上是增函数”
等价于 2 a
0 ,即 0 a 2, 且 a ≠ 1,故 p 是 q 成立的充分不必要条件 . 答案选 A 。
6 、 解 析 : 双 曲 线 x2- y2 = 1
的 渐 近 线 方 程 为 y
x , 代 入
可 得
x
2
a 2
b 2
2 , S
4x 2
2
b 2
4(a 2
b 2
) ,又由 e
3 2b ,则 b 4
5b 2
a 2
b
16 ,则 a
可得 a
,
2
于是 b 2
5, a 2 20 。椭圆方程为 x 2
y 2
1,答案应选 D 。
20 5
7、解析:圆 C : (x
3)2
y 2 4 , c 3, 而 3b 2 ,则 b 2, a 2 5 ,答案应选 A 。
c
数学圆锥曲线高考题选讲 一、选择题: 1. (2006全国II )已知双曲线x 2a 2-y 2b 2 =1的一条渐近线方程为y =4 3x ,则双曲线的离心率为( ) (A )53 (B )43 (C )54 (D )32 2. (2006全国II )已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 2 3+y 2=1上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点 在BC 边上,则△ABC 的周长是( ) (A )2 3 (B )6 (C )4 3 (D )12 3.(2006全国卷I )抛物线2 y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是( ) A . 43 B .7 5 C .85 D .3 4.(2006广东高考卷)已知双曲线2239x y -=,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于( ) A.2 B. 22 3 C. 2 D. 4 5.(2006辽宁卷)方程22520x x -+=的两个根可分别作为( ) A.一椭圆和一双曲线的离心率 B.两抛物线的离心率 C.一椭圆和一抛物线的离心率 D.两椭圆的离心率 6.(2006辽宁卷)曲线 22 1(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m +=<<--的( ) (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7.(2006安徽高考卷)若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合,则p 的值为( ) A .2- B .2 C .4- D .4 8.(2006辽宁卷)直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题: 9. (2006全国卷I )双曲线2 2 1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍,则m = 。 10. (2006上海卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为(3,0)F -,右顶点为(2,0)D ,设点11, 2A ?? ??? ,则求该椭圆的标准方程为 。 11. (20XX 年高考全国新课标卷理科14) 在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心为原点,焦点12,F F 在 x 轴上, 离心率为 2 2 。过l 的直线 交于,A B 两点,且2ABF 的周长为16,那么C 的方程为 。
4.已知双曲线)0(13 2 22>=-a y a x 的离心率为2,则=a A. 2 B. 2 6 C. 25 D. 1 10.已知抛物线C :x y =2的焦点为F ,()y x A 00,是C 上一点,x F A 045=,则=x 0( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 20.已知点)2,2(P ,圆C :082 2=-+y y x ,过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点,线段AB 的中点为M ,O 为坐标原点. (1)求M 的轨迹方程; (2)当OM OP =时,求l 的方程及POM ?的面积 2014(新课标全国卷2) (10)设F 为抛物线2:y =3x C 的焦点,过F 且倾斜角为°30的直线交于C 于,A B 两点,则AB = (A )3 (B )6 (C )12 (D )(12)设点0(x ,1)M ,若在圆22:x y =1O +上存在点N ,使得°45OMN ∠=,则0x 的取值范围是 (A )[]1,1- (B )1122??-????, (C )?? (D ) ???? 20.设F 1 ,F 2分别是椭圆C :122 22=+b y a x (a>b>0)的左,右焦点,M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直,直线MF 1与C 的另一个交点为N 。 (I )若直线MN 的斜率为4 3,求C 的离心率; (II )若直线MN 在y 轴上的截距为2且|MN|=5|F 1N|,求a ,b 。
4.已知双曲线C :22 22=1x y a b -(a >0,b >0) 的离心率为2,则C 的渐近线方程为( ). A .y =14x ± B .y =13x ± C .y =12x ± D .y =±x 8.O 为坐标原点,F 为抛物线C :y 2 =的焦点,P 为C 上一点,若|PF | =,则△POF 的面积为( ). A .2 B . ..4 21.已知圆M :(x +1)2+y 2=1,圆N :(x -1)2+y 2=9,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切, 圆心P 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程; (2)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A ,B 两点,当圆P 的半径最长时,求|AB |. 2013(新课标全国卷2) 5、设椭圆22 22:1x y C a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ,P 是C 上的点,212PF F F ⊥,1230PF F ∠=o ,则C 的离心率为( ) (A )6 (B )13 (C )12 (D )3 10、设抛物线2:4C y x =的焦点为F ,直线l 过F 且与C 交于A ,B 两点。若 ||3||AF BF =,则l 的方程为( ) (A )1y x =-或!y x =-+ (B )1)y x =- 或1)y x =- (C )1)y x =- 或1)y x =- (D )1)y x = - 或1)y x =- (20)在平面直角坐标系xOy 中,已知圆P 在x 轴上截得线段长为y 轴上截得线 段长为 (Ⅰ)求圆心P 的轨迹方程; (Ⅱ)若P 点到直线y x = 的距离为2 ,求圆P 的方程。
数学圆锥曲线测试高考题 一、选择题: 1. (2006全国II )已知双曲线x 2a 2-y 2 b 2 =1的一条渐近线方程为y =43x ,则双曲线的离心率为( ) (A )53 (B )43 (C )54 (D )32 2. (2006全国II )已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆 x 23+y 2=1上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC 边上,则△ABC 的周长是( ) (A )2 3 (B )6 (C )4 3 (D )12 3.(2006全国卷I )抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是( ) A .43 B .75 C .85 D .3 4.(2006高考卷)已知双曲线2239x y -=,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于( ) B. C. 2 D. 4 5.(2006卷)方程22520x x -+=的两个根可分别作为( ) A.一椭圆和一双曲线的离心率 B.两抛物线的离心率 C.一椭圆和一抛物线的离心率 D.两椭圆的离心率 6.(2006卷)曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线22 1(59)59x y m m m +=<<--的( ) (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7.(2006高考卷)若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162x y +=的右焦点重合,则p 的值为( ) A .2- B .2 C .4- D .4 8.(2006卷)直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题: 9. (2006全国卷I )双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍,则m = 。 10. (2006卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D ,设
新课标高考《圆锥曲线》大题专题含答案
全国高考理科数学试题分类汇编9:圆锥曲线 一、选择题 1 .(2013年高考江西卷(理)) 过点2,0) 引直线l 与曲线2 1y x = +相交于 A,B 两点,O 为坐标原点,当?AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜 率 等 于 ( ) A .y E B B C CD =++3 B .3 C .3± D .32 .(2013年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯WORD 版)) 双曲线 2 214 x y -=的顶点到其渐近线的距离等于 ( ) A .25 B .4 5 C 25 D 453 .(2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯WORD 版)) 已知中心在原 点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于3 2 ,在双曲线C 的方程 是 ( ) A .22 145 x -= B .22 145 x y -= C . 22 125 x y -= D . 22 125 x -=
4 .(2013年高考新课标1(理)) 已知双曲线C : 22 2 21x y a b -=(0,0a b >>)的离心率为52 ,则C 的渐近 线 方 程为 ( ) A .14y x =± B .13 y x =± C . 12 y x =± D .y x =± 5 .(2013年高考湖北卷(理)) 已知04π θ<<,则双曲线 22 122:1 cos sin x y C θθ -=与22 2222 :1sin sin tan y x C θθθ -=的 ( ) A .实轴长相等 B .虚轴长相等 C .焦 距相等 D .离心率相等 6 .(2013年高考四川卷(理)) 抛物线2 4y x =的焦点到双曲线 2 21 3 y x -=的渐近线的距 离 是 ( ) A .12 B .3 2 C .1 D 3
(2019全国1)10.已知椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ,)0,1(2F ,过2F 的直线与C 交于A ,B 两点.若||2||22B F AF =, ||||1BF AB =,则C 的方程为( ) A.1222=+y x B. 12322=+y x C.13422=+y x D.14 522=+y x 答案: B 解答: 由椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ,)0,1(2F 可知1=c ,又Θ||2||22B F AF =,||||1BF AB =,可设m BF =||2,则 m AF 2||2=,m AB BF 3||||1==,根据椭圆的定义可知a m m BF BF 23||||21=+=+,得a m 2 1 = ,所以a BF 21||2=,a AF =||2,可知),0(b A -,根据相似可得)21,23(b B 代入椭圆的标准方程122 22=+b y a x ,得32=a , 22 22=-=c a b ,∴椭圆C 的方程为12 32 2=+ y x . (2019全国1)16.已知双曲线C:22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ,过1F 的直线与C 的 两条渐近线分别交于,A B 两点.若112,0F A AB F B F B =?=u u u r u u u r u u u r u u u r ,则C 的离心率为 . 答案: 2 解答: 由112,0F A AB F B F B =?=u u u r u u u r u u u r u u u r 知A 是1BF 的中点,12F B F B ⊥uuu r uuu r ,又O 是12,F F 的中点,所以OA 为中位线且1OA BF ⊥,所以1OB OF =,因此1FOA BOA ∠=∠,又根据两渐近线对称,12FOA F OB ∠=∠,所以260F OB ∠=?,221()1tan 602b e a =+=+?=.
第八章 圆锥曲线方程 ●考点阐释 圆锥曲线是解析几何的重点容,这部分容的特点是: (1)曲线与方程的基础知识要求很高,要求熟练掌握并能灵活应用. (2)综合性强.在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角及直线等容,体现了对各种能力的综合要求. (3)计算量大.要求学生有较高的计算水平和较强的计算能力. ●试题类编 一、选择题 1.(2003京春文9,理5)在同一坐标系中,方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +b y 2=0(a >b >0)的曲线大致是( ) 2.(2003京春理,7)椭圆?? ?=+=? ? sin 3cos 54y x (?为参数)的焦点坐标为( ) A.(0,0),(0,-8) B.(0,0),(-8,0) C.(0,0),(0,8) D.(0,0),(8,0) 3.(2002京皖春,3)已知椭圆的焦点是F 1、F 2,P 是椭圆上的一个动点.如果延长F 1P 到Q ,使得|PQ |=|PF 2|,那么动点Q 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 4.(2002全国文,7)椭圆5x 2+ky 2=5的一个焦点是(0,2),那么k 等于( ) A.-1 B.1 C.5 D. - 5 5.(2002全国文,11)设θ∈(0, 4 π ),则二次曲线x 2cot θ-y 2tan θ=1的离心率的取值围为( ) A.(0, 2 1 ) B.( 22 ,21) C.( 2,2 2 ) D.( 2,+∞) 6.(2002文,10)已知椭圆222253n y m x +和双曲线22 2 232n y m x -=1有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方程是( ) A.x =± y 2 15 B.y =± x 2 15
高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22221x y a b -=(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切,则该双曲线的离心率等于 ( C ) (A)3 (B)2 (C)5 (D )6 2.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ,点A l ∈,线段AF 交C 于点B ,若3FA FB =,则||AF = (A). 2 (B). 2 (C).3 (D ). 3 3.过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线,该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C .若1 2 AB BC =,则双曲线的离心率是 ( ) A.2 B.3 C.5 D .10 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴, 直线 AB 交y 轴于点P .若2AP PB =,则椭圆的离心率是( ) A . 3 B .22 C.13 D .12 5.点P 在直线:1l y x =-上,若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点,且 |||PA AB =,则称点P 为“ 点”,那么下列结论中正确的是 ( ) A .直线l 上的所有点都是“点” B .直线l 上仅有有限个点是“点” C .直线l 上的所有点都不是“ 点” D.直线l 上有无穷多个点(点不是所有的点)是“ 点” 6.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为 ( ). A. 4 5 B. 5 C. 2 5 D.5 2
数学圆锥曲线测试高考题选讲 一、选择题: 1. (2006全国II )已知双曲线 x 2a 2- y 2 b 2=1的一条渐近线方程为y =4 3x ,则双曲线的离心率为( ) (A )53 (B )43 (C )54 (D )3 2 2. (2006全国II )已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 2 3 +y 2 =1上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是( ) (A )2 3 (B )6 (C )4 3 (D )12 3.(2006全国卷I )抛物线2 y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是( ) A . 43 B .75 C .8 5 D .3 4.(2006广东高考卷)已知双曲线2239x y -=,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于( ) B. 3 C. 2 D. 4 5.(2006辽宁卷)方程22520x x -+=的两个根可分别作为( ) A.一椭圆和一双曲线的离心率 B.两抛物线的离心率 C.一椭圆和一抛物线的离心率 D.两椭圆的离心率 6.(2006辽宁卷)曲线 221(6)106x y m m m +=<--与曲线22 1(59)59x y m m m +=<<--的( ) (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7.(2006安徽高考卷)若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合,则p 的值为( ) A .2- B .2 C .4- D .4 8.(2006辽宁卷)直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题: 9. (2006全国卷I )双曲线2 2 1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍,则m = 。 10. (2006上海卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D ,
第八章 圆锥曲线 一.基础题组 二.能力题组 1.(浙江省嘉兴市2015届高三下学期教学测试(二),文7)设1F 、2F 分别为双曲线C :122 22=-b y a x 0(>a , )0>b 的左、右焦点,A 为双曲线的左顶点,以21F F 为直径的圆交双曲线一条渐近线于M 、N 两点,且 满足?=∠120MAN ,则该双曲线的离心率为 A .3 21 B . 3 19 C . 3 5 D .3 2.(浙江省2015届高三第二次考试五校联考,文7)如图,已知椭圆C 1:112x +y 2=1,双曲线C 2:22a x —22 b y =1 (a >0,b >0),若以C 1的长轴为直径的圆与C 2的一条渐近线交于A 、B 两点,且C 1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分,则C 2的离心率为 ( ) A .5 B .5 C .17 D . 7 14 2
3.(绍兴市2015届高三上学期期末统考,文6)曲线2 2 30x y -=与双曲线C :22 221x y a b -=(0a >,0b >) 的四个交点与C 的两个虚轴顶点构成一个正六边形,则双曲线C 的离心率为( ) A B C D .8 3 4.(宁波市鄞州区2015届高考5月模拟,文6)已知,,A B P 是双曲线22 221x y a b -=上不同的三点,且,A B 连线经过坐标原点,若直线,PA PB 的斜率乘积3PA PB k k ?=,则该双曲线的离心率为(▲) A B C .2 D 5.(嵊州市2015年高三第二次教学质量调测,文6)已知双曲线22 22C :1(00)x y a b a b -=>>,的左、右焦 点分别为1F ,2F ,过2F 作平行于C 的渐近线的直线交C 于点P .若12PF PF ⊥,则C 的离心率为( ) A B C .2 D 6.(衢州市2015年高三4月教学质量检测,文13)12,F F 分别是双曲线 22 1169 -=x y 的左右焦点,P 为双曲线右支上的一点, A 是12?PF F 的内切圆, A 与x 轴相切于点(,0)M m ,则m 的值为 . 7.(东阳市2015届高三5月模拟考试,文13)点P 是双曲线 222 2 1(00)x y a b a b =>>- , 上一点, F 是右焦点,且OPF ?是120OFP ∠=?的等腰三角形(O 为坐标原点),则双曲线的离心率是 ▲ . 三.拔高题组 1.(衢州市2015年高三4月教学质量检测,文8)设点(,)P x y 是曲线1(0,0)a x b y a b +=≥≥上任意一 点,其坐标(,)x y ≤b +取值范围为( ) A. (]0,2 B. []1,2 C. [)1,+∞ D. [)2,+∞ 2.(浙江省杭州第二中学2015届高三仿真考,文7)如图,已知双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右顶点 为A ,O 为坐标原点,以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点P ,Q .若∠P AQ = 60°且3OQ OP =,
1.【2018浙江21】如图,已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点,抛物线 2:4C y x =上存在不同的两点,A B 满足,PA PB 的中点均在C 上。 (1) 设AB 中点为M ,证明:PM 垂直于y 轴; (2) 若P 是半椭圆2 2 1(0)4 y x x +=<上的动点,求PAB ?面积的取值范围。 解析:(1)设2200112211(,),(,),(,)44 P x y A y y B y y AP 中点满足:2 2 102014( )4()22 y x y y ++= BP 中点满足:2 2 202024:( )4()22 y x y y BP ++= 所以12,y y 是方程2 2 0204()4()22 y x y y ++=即22000 280y y y x y -+-=的两个根,所以 12 02 y y y +=,故PM 垂直于y 轴。 (2)由(1)可知212012002,8y y y y y x y +=?=- 所以222 1200013||()384 PM y y x y x =+-= - ,12||y y -= 因此,3 2212001||||4)24 PAB S PM y y y x ?=?-=- 因为2 2 0001(0)4 y x x +=<,所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈ 因此,PAB ? 面积的取值范围是
1. 距离型问题 2.【2018全国3 理20】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22 :143 x y C +=交于,A B 两点,线段AB 的中点为(1,)(0)M m m > (1)证明:1 2 k <- ; (2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点且0FP FA FB ++=,证明:,,FP FA FB 为等差数列,并求出该数列的公差。 解析:(1)由中点弦公式22OM b k k a ?=-,解得34k m =- 又因为点M 在椭圆内,故302m << ,故1 2 k <- (2)由题意知2,2FA FB FM FP FM +==-,故(1,2)P m - 因为点P 在椭圆上,代入可得3,14m k = =-,即3||2 FP = 根据第二定义可知,1211||2,||222 FA x FB x =- =- 联立22 212121114371402,4287 4 x y x x x x x x y x ?+=???-+=?+==? ?=-+?? 即121 ||||4()32 FA FB x x +=- += 故满足2||||||FP FA FB =+,所以,,FP FA FB 为等差数列 设其公差为d ,因为,A B 的位置不确定,则有
浙江省高考数学圆锥曲线真题 22 04. 若椭圆 x 2 y 2 ab 1(a > b > 0)的左、右焦点分别为 F 1、F 2, 线段 F 1F 2被抛物线 y 2=2 bx 的焦点 分成 5∶ 3的两 段 , 则此椭圆的离心率为 16 (A) 1167 05.过双曲线 2 x 2 a 4 17 (B) 17 2 b y 2 1(a b 4 (C)45 (D) 255 5 0,b 0) 的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 M 、 N 两点 , 以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点 则双曲线的离心率等于 07. 已知双曲线 2 x 2 a 2 y 2 1(a 0,b b 2 0) 的左、右焦点分别为 F 1,F 2, P 是准线上一点 , PF 1 PF 2,|PF 1| |PF 2| 4ab , 则双曲线的离心率是 B ) 3 (C ) 2 (D ) 3 △ ABP 的面积为定 则动点 P 的轨迹是A . 圆 B . 椭圆 C . 一条直线 D . 两条平行直线 09. 2 x 过双曲线 2 a 2 y b 2 1(a 0,b 0) 的右顶 点 条渐近线的交点分别为 B,C uuur .若 AB 1 uuur BC , 2 A . 2 B .3 C 08.如图 , AB 是平面 的斜.线.段. ) B A P 第 10 题) A 作斜率为 1的直线 , 该直线与双曲线的两 则双曲线的离心率 是 ( ) .5 D . 10 A 为斜足 , 若点 P 在平面 内运动 , 使得 点 A (0,2) 。若线段 FA 的中点 B 在抛物线上 2 10. (13)设抛物线 y 2 2px (p 0) 的焦点为 F, 则 B 到该抛物线准线的距离为 近线与以 C 1 的长轴为直径的圆相交于 A, B 两点 ( ) 13 2 B . a 2= 13 1 D . A .a 2= C .b 2= b 2=2 2 2 2 11. 设 F 1, F 2分别为椭圆 x 2 3 y 2 1的 左、 右焦点 22 x y 2 11. 已知椭圆 C 1: 2 2 =1 (a > b > 0)与双曲线 C 2: x 2 ab 则点 A 的坐标是 _______ 2 y 1有公共的焦点 , C 2 的一条渐 4 若 C 1 恰好将线段 AB 三等分 , 则 uuur uuuur 点 A, B 在椭圆上. 若 F 1A 5F 2B ,
圆锥曲线部分高考试题汇编(椭圆部分) 1、(2016全国Ⅰ卷)(20)(本小题满分12分) 设圆2 2 2150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . (I )证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程; (II )设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.
2、(2015全国Ⅰ卷)(14)一个圆经过椭圆 22 1164 x y +=的三个顶点,且圆心在x 轴上,则该圆的标准方程为 。 3、(2014全国Ⅰ卷) 20.(本小题满分12分)已知点A (0,-2),椭圆E :22221(0)x y a b a b +=>>F 是椭圆 的焦点,直线AF 的斜率为3 ,O 为坐标原点. (Ⅰ)求E 的方程; (Ⅱ)设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点,当OPQ ?的面积最大时,求l 的方程.
4、(2016山东卷)(21)(本小题满分14分) 平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :()222210x y a b a b +=>> 3,抛物线E :22x y =的焦点 F 是C 的一个顶点. (I )求椭圆C 的方程; (II )设P 是E 上的动点,且位于第一象限,E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ,B ,线段AB 的中点为D ,直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M. (i )求证:点M 在定直线上; (ii )直线l 与y 轴交于点G ,记PFG V 的面积为1S ,PDM V 的面积为2S ,求1 2 S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标.
(1)求M 的方程 (2)C ,D 为M 上的两点,若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ,求四边形ACBD 的面积最大值. 2.设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b a b +=>>的左右焦点,M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直,直线1MF 与C 的另一个交点为N. (1)若直线MN 的斜率为34 ,求C 的离心率; (2)若直线MN 在y 轴上的截距为2,且15MN F N =,求a,b . 3.已知椭圆C :,直线不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M . (1) 证明:直线OM 的斜率与的斜率的乘积为定值; (2)若过点(),延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否平行四边行?若能,求此时的斜率,若不能,说明理由. 4.已知抛物线C :22y x = 的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A ,B 两点,交C 的准线于P ,Q 两点. (1)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明AR ∥FQ ; (2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程. 5.已知抛物线C :y 2 =2x ,过点(2,0)的直线l 交C 与A ,B 两点,圆M 是以线段AB 为直径的圆. (1)证明:坐标原点O 在圆M 上; (2)设圆M 过点P (4,-2),求直线l 与圆M 的方程. 6.已知斜率为k 的直线l 与椭圆22 143 x y C +=:交于A ,B 两点,线段AB 的中点为 ()()10M m m >,. (1)证明:1 2 k <-; (2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r .证明:FA u u u r ,FP u u u r ,FB u u u r 成 等差数列,并求该数列的公差.
第八章 圆锥曲线方程 ●考点阐释 圆锥曲线是解析几何的重点内容,这部分内容的特点是: (1)曲线与方程的基础知识要求很高,要求熟练掌握并能灵活应用. (2)综合性强.在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角及直线等内容,体现了对各种能力的综合要求. (3)计算量大.要求学生有较高的计算水平和较强的计算能力. ●试题类编 一、选择题 1.(2003京春文9,理5)在同一坐标系中,方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +b y 2=0(a >b >0)的曲线大致是( ) 2.(2003京春理,7)椭圆?? ?=+=? ? sin 3cos 54y x (?为参数)的焦点坐标为( ) A.(0,0),(0,-8) B.(0,0),(-8,0) C.(0,0),(0,8) D.(0,0),(8,0) 3.(2002京皖春,3)已知椭圆的焦点是F 1、F 2,P 是椭圆上的一个动点.如果延长F 1P 到Q ,使得|PQ |=|PF 2|,那么动点Q 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 4.(2002全国文,7)椭圆5x 2+ky 2 =5的一个焦点是(0,2),那么k 等于( ) A.-1 B.1 C. 5 D. - 5 5.(2002全国文,11)设θ∈(0,4 π),则二次曲线x 2cot θ-y 2tan θ=1的离心率的取值范围为 ( ) A.(0,2 1) B.( 2 2 ,21) C.( 2,2 2 ) D.( 2,+∞) 6.(2002北京文,10)已知椭圆222253n y m x +和双曲线22 2 232n y m x -=1有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方程是( ) A.x =± y 215 B.y =± x 215 C.x =±y 4 3 D.y =±x 4 3 7.(2002天津理,1)曲线???==θ θ sin cos y x (θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是( ) A.21 B.22 C.1 D.2
数学圆锥曲线测试高考题 、选择题: 2. (2006全国 II )已知△ ABC 的顶点 B 、C 在椭圆 x 3 2+y 2 =1上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点 3 在 BC 边上,则△ ABC 的周长是 ( A )2 3 (B ) 二、填空题: 1 设点 A 1, ,则求该椭圆的标准方程为 1. (2006 全国 II )已知双曲线 a 2 b 2 (C )54 A)5 3 x 2 y 2 4 1的一条渐近线方程为 y = 3x ,则双曲线的离心率为( (D)3 2 C) 4 3 D)12 3. (2006全国卷 I )抛物线 y x 2 上的点到直线 4x 3y 0距离的最小值是( A . 4 3 .3 4.( 2006 广东高考卷) 已知双曲线 3x 2 y 2 9 ,则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距离之比等 于( ) 22 A. 2 B. C. 2 D. 4 5. 2006 辽宁卷)方程 2x 2 5x 0 的两个根可分别作为( A.一椭圆和一双曲线的 离心率 B.两抛物线的离心率 6. 2006 辽宁卷)曲线 10 m 2 y 6m 2 1(m 6) 与曲线 x 5m 2 y 1(5 m 9) 的( ) 9m 7. 8. (A )焦距相等 (B ) 离心率相等 (C )焦点相同 (D )准线相同 2 2 x 2006 安徽高考卷)若抛物线 y 2 2 px 的焦点 与椭圆 6 A . 2 .4 1的右焦点重合,则 p 的值为( 22 2006 辽宁卷)直线 y 2k 与曲线 y 2 18k 2 x (k R,且k 0) 的公共点的个数为( (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 9. (2006 全国卷 I )双曲线 mx 2 1的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m 10. (2006 上海卷 )已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆, 它的中心在原点, 左焦点为 F ( 3,0) , 右顶点为 D (2,0) ,
2018年高考圆锥曲线大题 一.解答题(共13小题) 1.已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).(1)证明:k<﹣; (2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且++=.证明:||,||,||成等差数列,并求该数列的公差. 2.已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).(1)证明:k<﹣; (2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且++=,证明:2||=||+||.
3.双曲线﹣=1,F1、F2为其左右焦点,C是以F2为圆心且过原点的圆. (1)求C的轨迹方程; (2)动点P在C上运动,M满足=2,求M的轨迹方程. 4.设椭圆C:+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程; (2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.
5.已知椭圆M:+=1(a>b>0)的离心率为,焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有 两个不同的交点A,B. (Ⅰ)求椭圆M的方程; (Ⅱ)若k=1,求|AB|的最大值; (Ⅲ)设P(﹣2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点Q(﹣,)共线,求k. 6.设常数t>2.在平面直角坐标系xOy中,已知点F(2,0),直线l:x=t,曲线Γ:y2=8x(0≤x≤t,y≥0).l与x轴交于点A、与Γ交于点B.P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点. (1)用t表示点B到点F的距离; (2)设t=3,|FQ|=2,线段OQ的中点在直线FP上,求△AQP的面积; (3)设t=8,是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在Γ上?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.
2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一. 选择题: 1.(福建卷11)又曲线22 221x y a b ==(a >0,b >0)的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点, 且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.(海南卷11)已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上,那么点P 到点Q (2,-1)的距离与点P 到 抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P 的坐标为( A ) A. (4 1 ,-1) B. ( 4 1 ,1) C. (1,2) D. (1,-2) 3.(湖北卷10)如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P 点 1 2c 第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子: ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a <22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.(湖南卷8)若双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)上横坐标为32 a 的点到右焦点的距离大于 它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞)
江苏历年高考理科数学试题及答案汇编十圆锥曲线 (2008-2018)试题 1、9.(5分)(2008江苏)如图,在平面直角坐标系xoy中,设三角形ABC的顶点分别为A (0,a),B(b,0),C(c,0),点P(0,p)在线段AO上的一点(异于端点),这里a,b,c,p均为非零实数,设直线BP,CP分别与边AC,AB交于点E,F,某同学已正确求得直线 OE的方程为,请你完成直线OF的方程:. 2、12.(5分)(2008江苏)在平面直角坐标系xOy中,椭圆的焦距为2c,以O为圆心,a为半径作圆M,若过作圆M的两条切线相互垂直,则椭圆的离心率为. 3、13.(5分)(2009江苏)如图,在平面直角坐标系xoy中,A1,A2,B1,B2为椭圆 的四个顶点,F为其右焦点,直线A1B2与直线B1F相交于点T,线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点,则该椭圆的离心率为.
4、6.(5分)(2010江苏)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线上一点M ,点M 的横坐标是3,则M 到双曲线右焦点的距离是 . 5、8.(5分)(2010江苏)函数y=x 2(x >0)的图象在点(a k ,a k 2 )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1,k 为正整数,a 1=16,则a 1+a 3+a 5= . 6、9.(5分)(2010江苏)在平面直角坐标系xOy 中,已知圆x 2+y 2 =4上有且仅有四个点到直线12x ﹣5y+c=0的距离为1,则实数c 的取值范围是 . 7、14.(5分)(2011江苏)设集合 222{(,)| (2),,},{(,)|221,,} 2 m A x y x y m x y B x y m x y m x y =-+∈=++∈R R 若,A B ≠? 则实数m 的取值范围是______________. 8、8.(5分)(2012江苏)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线 的离心率为 ,则m 的值为 . 9、12.(5分)(2012江苏)在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为x 2+y 2 ﹣8x+15=0,若直线y=kx ﹣2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的最大值是 . 10、3.(5分)(2013江苏)双曲线 的两条渐近线方程为 . 11、12.(5分)(2013江苏)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为(a >b >0),右焦点为F ,右准线为l ,短轴的一个端点为B ,设原点到直线BF 的距离为d 1,F 到l 的距离为d 2,若d 2= ,则椭圆C 的离心率为 . 12、9.(5分)(2014江苏)在平面直角坐标系xOy 中,直线x+2y ﹣3=0被圆(x ﹣2)2 +(y+1)2 =4截得的弦长为 . 13、10.(5分)(2015江苏)在平面直角坐标系xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线mx ﹣y ﹣2m ﹣1=0(m ∈R )相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 . 14、12.(5分)(2015江苏)在平面直角坐标系xOy 中,P 为双曲线x 2﹣y 2 =1右支上的一个动点,若点P 到直线x ﹣y+1=0的距离大于c 恒成立,则实数c 的最大值为 . 15、3.(5分)(2016江苏)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线 ﹣ =1的焦距是 . 16、10.(5分)(2016江苏)如图,在平面直角坐标系xOy 中,F 是椭圆+=1(a >b >0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B ,C 两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是 .
A. 2: B B. 1: 2 C. 1: D. 1: 3 园锥曲线单元检测卷 迭様题(共10小陋) 1. 椭圆ax2+by2=l 与直线y=l-x 交于A 、B 两点,过原点与銭段AB 中点的直线的斜率为车,则?的值为< ) 2 b A.更 B.生 C.距 D.生 2 3 2 27 2. 点F 为椭圆W-J=l (a>b>0)的一个焦点,若棉圆上存在点A 使△AOF 为正三角形,那么棉圆的离心率为( ) A.亭 B.学 C.早 0. JJ-1 1 2 3. 已知P 是以F|, F2为焦点的棉圖(?>b>0)上的一点,若PFilPFj, tanZPF,F 24,则此神圖的码心率为( ) a l 戸 2 A. - B. - C. - D.亞 2 3 3 3 4. 设F2是戏曲线力>°)的左、右两个焦点,若双曲线右支上存在一点P ,使(乔十折)?和=。(0为坐 a 1 标原点),且1戶尸11 = 51”2|,则双曲线的离心率为( ) A.罕 B.「+l C.擊 D.网 5. 如圍所示,A, B, C 是双曲线打土=1 <*>0, b>0>上的三个点,AB 经过原点0, AC 经过右焦点F,若 \ [ / BF 丄AC 目|BF| = |CF|,则该双曲线的高心率是< ) \ m A.罗 B. J10 C. I D. 3 6. 已知点F“ F2分别是双曲线W~4=l(a>0, d>0)的左、右焦点,ilFifi 垂直于x 轴的宜线与双曲线交于A, B 两点,若 a 2 b 2 F2是锐角三角形,则该戏曲线高心率的取值范围是( ) A. (1, JI) 7.设双曲线日-4=1仏>0, 6>0) 的右焦点为F (c, 0),方程?x 2-bx-c=0的两支根分别为x“ x 2,则P (x o x 2 A 2 b 2 A.必在Sx 2-y 2=2内 C.必在Sx 2-y 2=Z± 8.已知点A (2, 0),抛物线C: x 2=4y 的焦点为F,射銭FA 与抛物銭C 相交于点II,与其准线相交于点N,则|FM|: |MN| 9. 已知点A (-1, 0) , B (1, 0)及抛物线円2x,若抛物銭上点P 淆足iPAdlPBl,则m 的最大値为( ) A. 3 B. 2 C. D. J2 B.(卩,2j) D. (1,1+41) B.必在圖x2+y2=2外 D.以上三种情况都有可能