图12 － 3
图12 －4
图12 － 5
图12 －2
图12 －1
1．判断与说理
（1）如图11－1，△ADE 中，AE=AD 且∠AED=∠ADE，∠EAD=90°，EC 、DB 分别平分∠AED、∠ADE，交AD 、AE 于点C 、B ，连接BC ．请你判断AB 、AC 是否相等，并说明理由；
（2）△ADE 的位置保持不变，将△ABC 绕点A 逆时针旋转至图11－2的位置，AD 、BE 相交于O ，请你判断线段BE 与CD 的关系，并说明理由．
2．某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下两个命题：
①如图12-1，在正三角形ABC 中，M 、N 分别是AC 、AB 上的点，BM 与CN 相交于点O ，若∠BON = 60°，则BM = CN.
②如图12-2，在正方形ABCD 中，M 、N 分别是CD 、AD 上的点，BM 与CN 相交于点O ，若∠BON = 90°，则BM = CN.
学习小组成员根据上述两个命题运用类比．．的思想又提出了如下的命题：
③如图12-3，在正五边形ABCDE 中，M 、N 分别是CD 、DE 上的点，BM 与CN 相交于点O ，若∠BON = 108°，则BM = CN. （友情提示：正多边形的各边相等且各内角也相等） （1）请你从①、②、③三个命题中选择一个．．说明理由； （2）请你继续完成下面的探索：
①如图12-4，在正n 边形（n ≥6）中，M 、N 分别是CD 、DE 上的点，BM 与CN 相交于点O ，问当∠BON 等于多少度时，结论BM = CN 成立？（不要求证明）
②如图12-5，在正五边形ABCDE 中，M 、N 分别是DE 、AE 上的点，BM 与CN 相交于点O ，当∠BON = 108°时，请问结论BM = CN 是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.
解：（1）我选 .（仅填写①、②、③中的一个）
理由如下： （2）
3. 如图9所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F 。 请你猜想∠ADC 和∠BDE 关系，并证明你的猜想。 图11－1 图11－2
E
D D
E
A
C
B
B
C
O
A B C D E
F
4. 如下几个图形是五角星和它的变形．
（1）图⑴ 中是一个五角星形状，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ；
（2）图⑴中的点A 向下移到BE 上时（如图⑵）五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E ）有无变化？说明你的结论的正确性；
（3）把图⑵中的点C 向上移动到BD 上时（如图⑶），五个角的和（即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E ）有无变化？说明你的结论的正确性．
（4）如图，在ABC ?中，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的中线，延长CD 到F ，使FD=CD ，延长BE 到G ，使EG=BE ，那么AF 与AG 是否相等？F 、A 、G 三点是否在一条直线上？说说你的理由.
5、 操作实验：
如图，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称． 所以△ABD≌△ACD，所以∠B=∠C．
归纳结论：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等． 根据上述内容，回答下列问题： 思考验证：如图（4），在△ABC 中，AB=AC ．试说明∠B=∠C 的理由．
探究应用：如图（5），CB⊥AB，垂足为A ，DA⊥AB，垂足为B ．E 为AB 的中点，AB=BC ，CE⊥BD． （1）BE 与AD 是否相等？为什么？
（2）小明认为AC 是线段DE 的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由。 （3）∠DBC 与∠DCB 相等吗？试说明理由．
6. 如图13-1，在边长为5的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、DC 边上的点，且AE EF ⊥，
A
B C
D
E
(1)
A B
C
D
E
(2)
B
A
C
D
E
(3)
图（5） C
A B D E A C 图(4)
B A A
C 图（1） 图（2） 图（3） ?
?
2BE .
（1）求EC ∶CF 的值；
（2）延长EF 交正方形外角平分线CP P 于点（如图13-2），试判断AE EP 与的大小关系，并说明理由； （3）在图13-2的AB 边上是否存在一点M ，使得四边形DMEP 是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
7. 团体购买某 “素质拓展训练营”的门票，票价如表（a 为正整数）：
团体购票人数 1～50 51～100 100以上 每人门票价
a 元
（a 3）元
（a
6）元
⑴某中学高一（1）、高一（2）班同学准备参加“素质拓展训练营”活动，其中高一（1）班人数不超过50，高一（2）的人数超过50但不超过80。当a=48时，若两班分别购票，两班总计应付门票费4914元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费4452元。问这两个班级各有多少人？ ⑵某校学生会现有资金4429元用于购票，打算组织本校初三年级团员参加该项活动。为了让更多的人能参加活动，学生会统一组织购票，购票资金恰好全部用完，且参加人数超过了100人，问共有多少人参加了这一活动？并求出此时a 的值。
8. 如下图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，AB+BD=AC ，则∠B∶∠C 的值为 ．
9. 如左下图，AB∥CD，AD∥BC，OE=OF ，则图中全等三角形的组数是 （ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
10. 两个全等的含300, 600
角的三角板ADE 和三角板ABC 如图所示放置，E,A,C 三点在一条直线上，连结
BD ，取BD 的中点M ，连结ME ，MC ．试判断△EMC 的形状，并说明理由．
11、（1）不用量角器，只利用刻度尺就能画出一个角的平分线，下面是小明的画法，你认为他的画法对吗？
图13-1 A D
C B E 图13-2 B C E
D A F P F
A
B
C
D
E F
O
请你按照小明的画法，画出图形，说明理由 。①利用刻度尺在∠AOB 的两边上分别取OC ＝OD ；②连结CD ，利用刻度尺画出CD 的中点E ③画射线OE 射线OE 即为∠AOB 的角平分线。 （2）请你探索只利用你的三角尺（可以量长度、画直角．．．．．．．）画出一个角的平分线的画法。 （要求：①画出图形；②简要说明画法；③说明理由。）
12.（1）如图（1），正方形ABCD 中，E 为边CD 上一点，连结AE ，过点A 作AF ⊥AE 交CB 的延长线于F ，猜想AE 与AF 的数量关系，并说明理由；
（2）如图（2），在（1）的条件下，连结AC ，过点A 作AM
⊥AC 交CB 的延长线于M ，观察并猜想CE 与MF 的数量关系（不必说明理由）； （3）解决问题：
①王师傅有一块如图所示的板材余料，其中∠A =∠
C =90°，AB=A
D ．王师傅想切一刀后把它拼成正方形．请你帮王师傅在图（3）中画出剪拼的示意图；
②王师傅现有两块同样大小的该余料，能否在每块上各切一刀，然后拼成一个大的正方形呢？若能，请你画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．
13.下图是按一定规律排列的方程组集合和它解的集合的对应关系图，若方程组集合中的方程组自左至右依次记作方程组1、方程组2、方程组3、……方程组n ． (1)将方程组1的解填入图中；
(2)请依据方程组和它的解变化的规律，将方程组n 和它的解直接填入集合图中；
(3)若方程组?
??=-=+161my x ny x 的解是???-==9y 10
x ，求m 、n 的值，并判断该方程组是否符合 (2)中的规律？
图１ E 图２ 图3 A B C D A B C D
图4 A B C
D
14．某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种无盖 的长方体纸盒．(长方形的宽与正方形的边长相等)
(1)现有正方形纸板50张，长方形纸板l 00张，若要做竖式纸盒x 个，横式纸盒y 个． ①根据题意，完成以下表格：
②若纸板全部用完，求x 、y 的值；
(2)若有正方形纸板80张，长方形纸板a 张，做成上述两种纸盒，纸板恰好全部用完．已知 162 15．（1）如图1，图2，图3，在ABC △中，分别以AB AC ，为边，向ABC △外作正三角形，正四边形，正五边形，BE CD ，相交于点O ．（说明：每条边都相等，每个角都相等的多边形叫做正多边形） ①如图1，求证：ABE ADC △≌△； ②探究：如图1，BOC ∠= ；如图2，BOC ∠= ；如图3，BOC ∠= ． （2）如图4，已知：AB AD ，是以AB 为边向ABC △外所作正n 边形的一组邻边；AC AE ，是以AC 为边向ABC △外所作正n 边形的一组邻边．BE CD ，的延长相交于点O ． ①猜想：如图4，BOC ∠= （用含n 的式子表示）；②根据图4证明你的猜想． 16．按照指定要求画图(1)如下图1所示，黑粗线把一个由18个小正方形组成的图形分割成两个全等图形，请在图2中，仿图1沿着虚线用四种不同的画法，把每图形分割成两个全等图形． (2)请将下面由16个小正方形组成的图形，用两种不同的画法沿正方形的网格线用粗线把它分割成两个全等图形 17.用两个全等的等边三角形△ABC 和△ACD 拼成四边形ABCD ，把一个含60°角的三角尺与这个四边形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A 重合，两边分别与AB 、AC 重合，将三角尺绕点A 按逆时针方向旋转。（1）当三角尺的两边分别与四边形的两边BC 、CD 相交于点E 、F 时（如图a ），通过观察或测量BE 、CF 的长度，你能得出什么结论？并说明理由； （2）当三角尺的两边分别与四边形的两边BC 、CD 的延长线相交于点E 、F 时（如图b ），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由。（本题12分） 18. 如图，在下列网格中，⊿ABC 和⊿DEF 全等，且DE 与AB 是对应线段，则符合条件的F 点的个数为（ ）.A.1个 B.2个 C. 3个 D.4个 19、已知：如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =，∠BAC=∠DAE=α，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点． （1）求证：BE CD =； （2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； (3)在旋转的过程中，若直线BE 与CD 相交于点P ，试探究∠APB 与∠MAN 的关系，并说明理由。（结果用含 α的代数式表示） C E N D A B M 图① C A E M B D N 图② 21.如右图所示，方格纸中有A、B、C、D、E五个格点(图中的每一个方格均表示边长为 1个单位的正方形)，以其中的任意3个点为顶点，画出所有的三角形，数一下，共构 成________个三角形，其中有_______对全等三角形，它们分别 ____________________________ _______________________请选取一对非直角全 等三角形，说明全等的理由． 22．已知∠AOB=900，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB(或它们的反向延长线)相交于点D、E． 当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1)，易证：CD=CE 当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明． 23．如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、 N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；② CM＝CN；③ EM＝BN．其中，正确 结论的个数是（） · · · · · A B C D E A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 24．锐角为45o 的直角三角形的两直角边长也相等，这样的三角形称为等腰直角三角形．我们常用的三角 板中有一块就是这样的三角形，也可称它为等腰直角三角板．把两块全等的等腰直角三角板按如图1放置，其中边BC 、FP 均在直线l 上，边EF 与边AC 重合． (1)将△EFP 沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交AC 于点Q ，连结AP ，BQ ．猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； (2)将△EFP 沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长线于点Q ，连结AP ，BQ ．你认为(1)中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由． 25.如图，△ABC 和△ADC 都是每边长相等的等边三角形，点E 、F 同时分 别从点B 、A 出发，各自沿BA 、AD 方向运动到点A 、D 停止，运动的速度相同，连接EC 、FC ． (1)在点E 、F 运动过程中∠ECF 的大小是否随之变化？请说明理由； (2)在点E 、F 运动过程中，以点A 、E 、C 、F 为顶点的四边形的面积变化了吗？请说明理由. (3)连接EF ，在图中找出和∠ACE 相等的所有角，并说明理由． (4)若点E 、F 在射线BA 、射线AD 上继续运动下去，(1)小题中的结论还成立吗?(直接写出结论，不必说明理由) 26．如图，方格纸中△ABC 的3个顶点分别在小正方形的顶点(格点)上，这样的 三角形叫格点三角形，图中与△ABC 全等的格点三角形共有__________个(不含△ABC)． 27、我校“心动数学”社团活动小组，在网格纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点第k x 行k y 列处，其中11=x ，11=y ，当k≥2时， A (E ) l 图1 E A Q C P l 图2 E F P A l C B 图3 A E B C D F ??? ??? ? - --+=----+=--]52[]51[])52[]51([5111k k y y k k x x k k k k ，[a ]表示非负数a 的整数部分，例如[2.6]=2，[0.2]=0．按此方案，第2009棵树种植点所在的行数是4，则所在的列数是（ ） A 、401 B 、402 C 、2009 D 、2010 28．如图，已知△ABC 中，AB=AC=6cm ，BC=4cm ，点D 为AB 的中点． (1)如果点P 在线段BC 上以1 cm ／s 的速度由点B 向点C 运动，同时，点Q 在线段CA 上 由点C 向点A 运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，△BPD 与△CQP 是否全等， 请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使 △BPD 与△CQP 全等? (2)若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都 逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇? 全等三角形压轴题精选（1） 1．（2016?常德）已知四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥AD，连接AC，过点A作AE⊥AC，且使AE=AC，连接BE，过A作AH⊥CD于H交BE于F． （1）如图1，当E在CD的延长线上时，求证：①△ABC≌△ADE；②BF=EF； （2）如图2，当E不在CD的延长线上时，BF=EF还成立吗？请证明你的结论． 2．（2015?菏泽）如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC． （1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明； （2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由． 3．（2015?于洪区一模）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF． （1）如果AB=AC，∠BAC=90°， ①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为______，线段CF、BD的数量关系为______； ②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由； （2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF ⊥BC（点C、F不重合），并说明理由． 4．（2013?庐阳区校级模拟）如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动， （1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB=MC． （2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系． （3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由． 5．（2013春?北京校级期中）探究 问题1 已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．若DE=kDF，则k的值为______． 拓展 全等三角形压轴题组卷 一．选择题（共9小题） 1．（2015?荆门）如图，点A，B，C在一条直线上，△，△均为等边三角形，连接和，分别交，于点M，P，交于点Q，连接，，下面结论： ①△≌△；②∠60°；③△为等边三角形；④平分∠， 其中结论正确的有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 2．（2014?山西）如图，点E在正方形的对角线上，且2，直角三角形的两直角边、分别交、于点M、N．若正方形的边长为a，则重叠部分四边形的面积为（） A．a2B．a2C．a2D．a2 3．（2013?东营）如图，E、F分别是正方形的边、上的点，且，、相交于点O，下列结论：（1）；（2）⊥；（3）；（4）S△四边形中正确的有（） 4．（2012?长春）如图，在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的正半轴上分别截取、，使；再分别以点A、B为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点C．若点C的坐标为（m﹣1，2n），则m与n的关系为（） A．21 B．m﹣21 C．2n﹣1 D．n﹣21 5．（2012?山西模拟）如图，点P、Q是边长为4的等边△边、上的动点，点P 从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1，连接、交于点M，则在P、Q运动的过程中，下列结论错误的是（） A． B．△≌△ C．∠的度数不变，始终等于60° D．当第秒或第秒时，△为直角三角形 6．（2012?镇平县校级一模）如图，在△中，∠90°，平分∠，⊥于D，如果3，那么等于（） A．2B．3C．4D．5 7．（2011?恩施州）如图，是△的角平分线，⊥，垂足为F，，△和△的面积分别为50和39，则△的面积为（） A．11 B．5.5 C．7D．3.5 8．（2010?武汉模拟）如图，△中，∠、∠的角平分线、交于点P，下列结论： ①平分∠； ②∠∠180°； ③若点M、N分别为点P在、上的正投影，则； ④∠2∠． 其中正确的是（） A．只有 ①②③B．只有 ①③④ C．只有 ②③④ D．只有①③ 9．（2004?内江）如图，∠30°，平分∠，∥，⊥，如果6，那么等于（） 初二全等三角形所有知识点总结和常考题 知识点： 1.基本定义： ⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形. ⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. ⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点. ⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边. ⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角. 2.基本性质： ⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性. ⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 3.全等三角形的判定定理： ⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等. ⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. ⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. ⑷角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. ⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形 全等. 4.角平分线： ⑴画法： ⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等. ⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 5.证明的基本方法： ⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶 角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系） ⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证. ⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程. 常考题： 一．选择题（共14小题） 1．使两个直角三角形全等的条件是（） A．一个锐角对应相等B．两个锐角对应相等 C．一条边对应相等 D．两条边对应相等 2．如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（） A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC 《全等三角形》压轴题训练 (1) 1.如图，在ABC ?中，,AD BC CE AB ⊥⊥,垂足分别为,,,D E AD CE 交于点,H EH 、3,4EB AE ===，则CH 的长是( ) A. 4 B. 5 C. 1 D. 2 2.如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边 ,AC AB 于点,M N ，再分别以,M N 为圆心，大于12 MN 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若4,25CD AB ==，则ABD ?的面积为( ) A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 3.如图，在Rt ABC ?中，90,12,6C AC BC ∠=?==，一条线段,,PQ AB P Q =两点分别在线段AC 和以点A 为端点且垂直于AC 的射线AX 上运动，要使ABC ?和QPA ?全等，则AP 的长为 . 4.如图，//,,,,2,3AD BC AB BC CD DE CD ED AD BC ⊥⊥===，则ADE ?的面积为 . 5. (1)观察推理:如图①，在ABC ?中，90,ACB AC BC ∠=?=,直线l 过点C ，点,A B 在直线l 的同侧，,BD l AE l ⊥⊥，垂足分别为,D E .求证:AEC CDB ???. (2)类比探究:如图②，在Rt ABC ?中，90,4ACB AC ∠=?=，将斜边AB 绕点A 逆时 针旋转90°至AB '，连接B C '，求AB C '?的面积. (3)拓展提升:如图③，在EBC ?中，60,3E ECB EC BC ∠=∠=?==，点O 在BC 上，且2OC =，动点P 从点E 沿射线EC 以每秒1个单位长度的速度运动，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转120°得到线段OF .要使点F 恰好落在射线EB 上，求点P 运动的时间t . 6.【初步探索】 (1)如图①，在四边形ABCD 中，,90AB AD B ADC =∠=∠=?. ,E F 分别是,BC CD 上的点，且EF BE FD =+.探究图中,,BAE FAD EAF ∠∠∠之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法:延长FD 到点G ，使DG BE =.连接AG .先证明ABE ADG ???，再证AEF AGF ???，可得出结论，他的结论应是 . 【灵活运用】 (2)如图②，在四边形ABCD 中，,180AB AD B D =∠+∠=?. ,E F 分别是,BC CD 上的点，且EF BE FD =+，上述结论是否仍然成立?请说明理由. 【延伸拓展】 (3)如图③，在四边形ABCD 中，180,ABC ADC AB AD ∠+∠=?=.若点E 在CB 的延长线上，点F 在CD 的延长线上，仍然满足EF BE FD =+，请写出EAF ∠与DAB ∠的数量关系，并给出证明过程. 全等三角形压轴题精选（1） 1．（2016?常德）已知四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥AD，连接AC，过点A作AE⊥AC，且使AE=AC，连接BE，过A作AH⊥CD于H交BE于F． （1）如图1，当E在CD的延长线上时，求证：①△ABC≌△ADE；②BF=EF； （2）如图2，当E不在CD的延长线上时，BF=EF还成立吗？请证明你的结论． 2．（2015?菏泽）如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC． （1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明； （2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由． 3．（2015?于洪区一模）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF． （1）如果AB=AC，∠BAC=90°， ①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为______，线段CF、BD的数量关系为______； ②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由； （2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC （点C、F不重合），并说明理由． 4．（2013?庐阳区校级模拟）如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动， （1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB=MC． （2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系． （3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC 的数量关系还成立吗？说明理由． 5．（2013春?北京校级期中）探究 问题1 已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．若DE=kDF，则k的值为______． 拓展 B O D C E 图8 七年级下三角形综合题归类 一、 双等边三角形模型 1. （1）如图7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三 角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小； （2）如图8，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小. 2. 已知:点C 为线段AB 上一点，△ACM,△CBN 都是等边三角形，且AN 、BM 相交于O. ① 求证：AN=BM ② 求 ∠AOB 的度数。 ③ 若AN 、MC 相交于点P ，BM 、NC 交于点Q ，求证：PQ ∥AB 。 （湘潭·中考题） 同类变式： 如图a ，△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C ，连接AF 和BE. (1)线段AF 和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论； (2)将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图b ，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由； (3)若将图a 中的△ABC 绕点C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由. 图c 3. 如图9，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，,M N 分别为,EB CD 的中点，易证： CD BE ，△AMN 是等边三角形． C B O D 图7 A E A B C M N O P Q （1）当把△ADE 绕A 点旋转到图10的位置时，CD BE =是否仍然成立？若成立,请证 明；若不成立，请说明理由； （2）当△ADE 绕A 点旋转到图11的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请 给出证明，若不是，请说明理由． 同类变式：已知，如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =， BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点． （1）求证：①BE CD =；②AN AM =； （2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立. 4. 如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 均为正方形，连接BG 与DE 相交于点H ． （1）证明：△ABG ≌△ADE ； （2）试猜想∠BHD 的度数，并说明理由； 图9 图10 图11 图① 图② 全等三角形压轴题组卷 一．选择题(共5小题) 1．如图所示，是瑞安部分街道示意图，AB=BC=AC，CD=CE=DE，A，B，C，D，E，F，G，H为“公交汽车”停靠点，甲公共汽车从A站出发，按照A，H，G，D，E，C，F的顺序到达F站，乙公共汽车从B站出发，按照B，F，H，E，D，C，G的顺序到达G站，如果甲、乙两车分别从A、B两站同时出发，各 站耽误的时间相同，两辆车速度也一样，则( ) A．甲车先到达指定站 B．乙车先到达指定站 C．同时到达指定站 D．无法确定 2．如图，在△ABC中，∠A=52°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是( ) A．56° B．60° C．68° D．94° 3．如图在△ABD和△ACE都是等边三角形，则△ADC≌△ABE的根据是( ) A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 4．如图1，已知AB=AC，D为∠BAC的角平分线上面一点，连接BD，CD；如图2，已知AB=AC，D、E为∠BAC 的角平分线上面两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB=AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上面三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第n个图形中有全等三角形的对数是( ) A．n B．2n-1 C． D．3(n+1) 5．如图，D为∠BAC的外角平分线上一点并且满足BD=CD，∠DBC=∠DCB，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论： ①△CDE≌△BDF；②CE=AB+AE；③∠BDC=∠B AC；④∠DAF=∠CBD． 其中正确的结论有( ) B A O D C E 图2 三角形全等综合题归类 一、 双等边三角形模型 1. （1）如图1，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小； （2）如图2，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小. 2、如图a ，△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C ，连接AF 和BE. (1)线段AF 和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论； (2)将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图b ，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由； (3)若将图a 中的△ABC 绕点C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由. 3. 如图1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，,M N 分别为,EB CD 的中点 （1）△ADE 绕A 点旋转到图2的位置时，CD BE =是否成立？若成立,请证明；若不成立，请说明理由； （2）△ADE 绕A 点旋转到图3的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请说明理由． 4、已知，如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点． （1）求证：①BE CD =；②AN AM =； （2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接 写出（1）中的两个结论是否仍然成立. 5. 如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 均为正方形，连接BG 与DE 相交于点H ． （1）证明：△ABG ≌△ADE ； （2）试猜想∠BHD 的度数，并说明理由； （3）将图中正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转（0°＜∠BAE ＜180°），设△ABE 的面积 为1S ，△ADG 的面积为2S ，判断1S 与2S 的大小关系，并给予证明． 6.已知：如图，ABC △是等边三角形，过AB 边上的点D 作DG BC ∥，交AC 于点G ，在GD 的延长线上取 点E ，使DE DB =，连接AE CD ，． （1）求证：AGE DAC △≌△； （2）过点E 作EF DC ∥，交BC 于点F ，请你连接AF ，并判断AEF △是怎样的三角形，试证明你的结论． C G A E D B F 二、 垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容） 考点1：利用垂直证明角相等 1、如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D ． 求证：（1）AE ＝CD ； （2）若AC ＝12 cm ，求BD 的长． 2、如图(1), 已知△ABC 中, ∠BAC=900, AB=AC, AE 是过A 的一条直线, 且B 、C 在A 、E 的异侧, BD ⊥AE 于D, CE ⊥AE 于E 。 C F G E D B A H C B O D 图 A E C E N D A B M 图① C A E M B D N 图② ,. 七年级下三角形综合题归类 一、双等边三角形模型 1.（ 1）如图 7，点 O 是线段 AD 的中点，分别以 AO 和 DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三角形 OAB和等边三角形 OCD，连结 AC 和 BD，相交于点 E，连结 BC．求∠ AEB 的大小； （ 2）如图 8，OAB 固定不动，保持OCD 的形状和大小不变，将OCD 绕着点 O 旋转（OAB 和 OCD不能重叠），求∠ AEB 的大小 . B C B C E E D O A O A D 图 7图 8 2. 已知 :点 C 为线段 AB 上一点，△ ACM,△ CBN 都是等边三角形，且AN、 BM 相交于 O. ①求证： AN=BM ②求∠ AOB 的度数。 ③若 AN、 MC 相交于点 P， BM、 NC 交于点 Q，求证： PQ∥AB。 （湘潭·中考题） N M O P Q A C B 同类变式：如图 a，△ ABC和△ CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点 连接 AF 和 BE. C， (1)线段 AF 和 BE有怎样的大小关系 ?请证明你的结论； (2)将图 a 中的△ CEF 绕点 C 旋转一定的角度，得到图 b，(1) 中的结论还成立吗 ?作出判 断并说明理由； (3) 若将图 a 中的△ ABC绕点 C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形 c( 草图即可) ，(1) 中的结论还成立吗 ?作出判断不必说明理由 . 图 c 3.如图 9，若△ABC和△ADE为等边三角形，M , N分别为EB, CD的中点，易证： CD BE ，△ AMN 是等边三角形． ,. （ 1）当把△ADE绕A点旋转到图10 的位置时，CD BE 是否仍然成立？若成立, 请证明；若不成立，请说明理由； （2）当△ADE绕A点旋转到图 11 的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请说明理由． 图 9图10图11 同类变式：已知，如图①所示，在△ ABC 和△ ADE 中， AB AC ，AD AE，BACDAE ，且点 B， A， D 在一条直线上，连接 BE， CD， M ， N 分别为 BE， CD 的中点． （ 1）求证：①BE CD；②AM AN ； （ 2）在图①的基础上，将△ ADE 绕点A按顺时针方向旋转180o，其他条件不变，得到 图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立 . C C N N E D A M B B D M A E 图①图② 4.如图，四边形 ABCD和四边形 AEFG均为正方形，连接 BG与 DE相交于点 H． （1）证明：△ABG≌△ADE； （2）试猜想BHD的度数，并说明理由； 第1章《全等三角形》压轴题训练 (1) 1.如图，在ABC ?中，,AD BC CE AB ⊥⊥,垂足分别为,,,D E AD CE 交于点,H EH 、3,4EB AE ===，则CH 的长是( ) A. 4 B. 5 C. 1 D. 2 2.如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边 ,AC AB 于点,M N ，再分别以,M N 为圆心，大于12 MN 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若4,25CD AB ==，则ABD ?的面积为( ) A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 3.如图，在Rt ABC ?中，90,12,6C AC BC ∠=?==，一条线段,,PQ AB P Q =两点分别在线段AC 和以点A 为端点且垂直于AC 的射线AX 上运动，要使ABC ?和QPA ?全等，则AP 的长为 . 4.如图，//,,,,2,3AD BC AB BC CD DE CD ED AD BC ⊥⊥===，则ADE ?的面积为 . 5. (1)观察推理:如图①，在ABC ?中，90,ACB AC BC ∠=?=,直线l 过点C ，点,A B 在直线l 的同侧，,BD l AE l ⊥⊥，垂足分别为,D E .求证:AEC CDB ???. (2)类比探究:如图②，在Rt ABC ?中，90,4ACB AC ∠=?=，将斜边AB 绕点A 逆时 针旋转90°至AB '，连接B C '，求AB C '?的面积. (3)拓展提升:如图③，在EBC ?中，60,3E ECB EC BC ∠=∠=?==，点O 在BC 上，且2OC =，动点P 从点E 沿射线EC 以每秒1个单位长度的速度运动，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转120°得到线段OF .要使点F 恰好落在射线EB 上，求点P 运动的时间t . 6.【初步探索】 (1)如图①，在四边形ABCD 中，,90AB AD B ADC =∠=∠=?. ,E F 分别是,BC CD 上的点，且EF BE FD =+.探究图中,,BAE FAD EAF ∠∠∠之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法:延长FD 到点G ，使DG BE =.连接AG .先证明ABE ADG ???，再证AEF AGF ???，可得出结论，他的结论应是 . 【灵活运用】 (2)如图②，在四边形ABCD 中，,180AB AD B D =∠+∠=?. ,E F 分别是,BC CD 上的点，且EF BE FD =+，上述结论是否仍然成立?请说明理由. 【延伸拓展】 (3)如图③，在四边形ABCD 中，180,ABC ADC AB AD ∠+∠=?=.若点E 在CB 的延长线上，点F 在CD 的延长线上，仍然满足EF BE FD =+，请写出EAF ∠与DAB ∠的数量关系，并给出证明过程. 1．直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为（） A．25 4 B． 25 3 C． 20 3 D． 15 4 2．如图，AB⊥BC,AE平分∠BAD交BC于点E, AE⊥DE,∠1+ ∠2=90°,M、N分别是BA、CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．∠F的度数为___________． A．120° B．135° C．150° D．不能确定 3．如图，∠3=30°，使了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为（） A．30° B．45° C．60° D．75° 4．如图，如果AB ∥EF，EF∥CD，下列各式正确的是（） A．∠1+∠2﹣∠3=90° B.∠1﹣∠2+∠3=90° C．∠1+∠2+∠3=90° D.∠2+∠3﹣∠1=180° 5．下列说法中正确的个数有（） （1）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． （2）画一条直线的垂线段可以画无数条． （3）在同一平面内，经过一个已知点能画一条且只能画一条直线和已知直线垂直．（4）从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离． A.1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO=a°，则下列结论： ①∠BOE=（180﹣a）°；②OF平分∠BOD；③∠POE=∠BOF；④∠POB=2∠DOF． 其中正确的个数有多少个？（） N M 2 1 F E D C B A 全等三角形压轴题精选（3） 16．（2015秋?垫江县期末）如图（1），AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系； （2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 17．（2015秋?临海市期末）在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°（1）如图1，当点A、C、D在同一条直线上时，AC=12，EC=5 ①求证：AF⊥BD ②求AF的长度； （2）如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，求证：AF⊥BD； （3）如图3，在（2）的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，∠AFG是一个固定的值吗？若是，求出∠AFG的度数；若不是，请说明理由 18．（2015秋?番禺区期末）△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，点D在AB边上（不与点A、B重合），以CD为腰作等腰直角△CDE，∠DCE=90°． （1）如图1，作EF⊥BC于F，求证：△DBC≌△CFE； （2）在图1中，连接AE交BC于M，求的值； （3）如图2，过点E作EH⊥CE交CB的延长线于点H，过点D作DG⊥DC，交AC于点G，连接GH．当点D在边AB上运动时，式子的值会发生变化吗？若不变，求出该值；若变化请说明理由． 2014年1月发哥的初中数学组卷.选择题（共30小题） 1. （2013?南通）如图.Rt△ ABC内接于O O BC为直径，AB=4, AC=3 D是忑的中点，CD与AB的交点为E,贝偿等 DE 2. （2013?黑龙江）如图，在直角梯形ABCD中, AD// BC / BCD=90，/ ABC=45 , AD=CD CE平分/ ACB交AB于点E,在BC上截取BF=AE连接AF交CE于点G 连接DG交AC于点H,过点A作AN L BC垂足为N, AN交CE于点 M则下列结论；①CM=AF②CELAF;3A ABF^A DAH④GD 平分/ AGC其中正确的个数是（） J k\ C X F A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. （2013?海南）直线I1//I2//I,且l 1与l 2的距离为1, 12与l 3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图 4. （2013?德阳）如图，在OO 上有定点C和动点P,位于直径AB的异侧，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q, 已知：OO半径为-,tan / ABC』，则CQ的最大值是（） 2 4 B. C. 3 D. AC与直线丨2交于点D,则线段BD的长度为（） C.- D.- rr4 于（） A. 4 OD=AD=3寸，这两个二次函数的最大值之和等于（ ) 5. （2012?宁德）如图，在矩形 ABCD 中, AB=2 BC=3 点 E 、F 、G H 分别在矩形 ABCD 的各边上，EF// AC// HQ EH// BD// FQ A . (1) ( 2) (3) B. ( 1) (3) C. (1) (2) D. (2) (3) A （4, 0）, O 为坐标原点，P 是线段OA 上任意一点（不含端点 O, A ）,过P 、O 两点 的二次函数y 1和过P 、A 两点的二次函数 y 的图象开口均向下，它们的顶点分别为 BC,射线OB 与 AC 相交于点D.当B.丄 D. 20 T C. 2 ii D. 2. | ； 6. （2012?泸州）如图，矩形 ABCD 中, E 是BC 的中点，连接 AE ,过点E 作EF 丄AE 交DC 于点F ,连接AF.设一^ =k , F 列结论：（ABE^A ECF （2） AE 平分/ BAF （ 3）当 k=1时，△ ABE^A ADF 其中结论正确的是（ 7. （2012?湖州）如图，已知点 A . 5 A. . I O E C A B F 八上数学 全等三角形的证明 1 1. 如图所示，在△ABC 中，∠C=900，∠CAB、∠CBA 的平分线相交于点D ，BD 的延长 线交AC 于E ，求∠ADE 的度数． 2. 如图，点C 在线段AB 上，AD∥EB，AC =BE ，AD= BC ，CF 平分∠DCE． 求证：（1）△ACD≌△EBC；（2）CF⊥DE． 3. 如图所示，在△ABC 中，D 是BC 边上的点（不与B 、C 重合），F 、E 分别是AD 及其延长线上的点，CF ∥BE ．请你添加一个条件，使△BDE ≌△CDF （不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明． （1）你添加的条件是： ；并证明△BDE ≌△ CDF ； （2）若AD =10，求AF +AE 的长． 4. 雨伞的中截面如图所示，伞骨AB=AC ，支撑杆OE=OF ，，，当O 沿AD 滑动时，雨伞开闭，在雨伞开闭过程中，∠BAD . 5. 如图，点D 、E 分别在等边△ABC 的AB 、AC 上，且CD ＞BD ，AE ＞EC ，AD 和BE 相交 于点F.. （1）若∠BAD=∠CBE，则AD BE ；（填“＞”、“=”、“＜”） D E A D E F B C A E D A F C B A D C B E E B C G F D A （2）若AD=BE ，求证：∠BAD=∠CBE； （3）在（2）的条件下，以AB 为边作如图所示的等边△ABG，连接FG ，若FG=11， BF=3，请直接写出线段AF 的长度为 . 6.．（本题满分12分）如图1，已知A 0），B （0 . （ 1 的度数； （2）如图1，在（1）的条件下，点C 为线段AB 上一点（BC ＞CA ），以点C 为直角 顶点，OC 为腰作等腰Rt△OCD，连接BD ，求证：∠BDO=∠BCO； （3）如图2，△ABO 的两条角平分线AE 、BF 交于点Q ，若△ABQ 的面积为24，求四边形AFEB 的面积. 7. 如图 ，在平面直角坐标系中：A(a ，o)，B(0，b)，且满足（a-4) 2 =0，点C 、B 关于x 轴对称． 三角形综合题归类 考点：利用角相等证明垂直 1. 已知BE ，CF 是△ABC 的高，且BP=AC ，CQ=AB ，试确定AP 与AQ 的数量关系和位置关系 2. 如图，在等腰R t△ABC 中，∠ACB =90°，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作 BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF ．(1)求证：CD=BF ；(2)求证：AD ⊥CF ；(3)连接AF ， 试判断△ACF 的形状. 拓展巩固：如图9所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ． 3. 如图1，已知正方形ABCD 的边CD 在正方形DEFG 的边DE 上，连接AE ，GC . （1）试猜想AE 与GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论； （2）将正方形DEFG 绕点D 按顺时针方向旋转，使E 点落在BC 边上，如图2，连接AE 和GC .你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由 . B A C E F Q P D A B C D E F 图9 A B C D E F 4.如图1，ABC ?的边BC 在直线l 上，,AC BC ⊥且,AC BC =EFP ?的边FP 也 在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP = （1） 在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的 数量关系和位置关系； （2） 将EFP ?沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交AC 于点Q ,连接 ,AP BQ .猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； （3）将EFP ?沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长 线于点Q,连结,AP BQ ,你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由. 等腰三角形（中考重难点之一） 考点1：等腰三角形性质的应用 1. 两个全等的含30，60角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，,,E A C 三点在 一条直线上，连结BD ，取BD 的中点M ，连结,ME MC ．试判断EMC ?的形状，并说 明理由． M E D C B A 压轴题拓展：（三线合一性质的应用）已知Rt ABC ?中，AC BC =，90C ∠=?，D 为AB 边的中点，90EDF ∠=?，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ． l (1) A B (F) (E) C P A B E C F P Q (2) l A B E C F P l (3) Q 全等三角形压轴题 一．选择题（共9小题） 1．（2013?邵阳）如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE交CD于点O，连 第1题第2题第3题 第4题第5题第6题 5．（2009?武汉）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB边上一点，∠BCE=15°，且AE=AD．连接DE交对角线AC于H，连接BH．下列结论： ①△ACD≌△ACE；②△CDE为等边三角形；③=2；④． 上的中线对应相等的两个三角形全等；③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等．其中正确的是 第9题第10题第11题 二．填空题（共7小题） 10．（2013?柳州）如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x=_________． 11．（2011?郴州）如图，已知∠1=∠2=90°，AD=AE，那么图中有_________对全等三角形．12．（2010?钦州）如图，在△ABC和△BAD中，BC=AD，请你再补充一个条件，要使△ABC≌△BAD．你补充的条件是_________（只填一个）． 第12题第14题第15题 13．（2009?遂宁）已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出_________个． 14．（2009?湘潭）如图，△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC上的点，已知DF∥BC，EF∥AB，请补充一个条件： _________，使△ADF≌△FEC． 15．如图EB交AC于M，交FC于D，AB交FC于N，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF．给出下列结论：①∠1=∠2； ②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论有_________（填序号）． 16．如图：△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：_________，使△ABD≌△CBE． 三．解答题（共8小题） 17．（2012?河源）如图，已知AB=CD，∠B=∠C，AC和BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE． （1）求证：△AOB≌△DOC； （2）求∠AEO的度数． 中考专题-------三角形 一．选择题（共3小题） 1．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（） A． a2B． a2 C． a2 D． a2 考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质． 专题：几何图形问题；压轴题． 分析：过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，△EPM≌△EQN，利用四边形EMCN的面积等于正方形PCQE 的面积求解． 解答：解：过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q， ∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°， 又∵∠EPM=∠EQN=90°，∴∠PEQ=90°，∴∠PEM+∠MEQ=90°， ∵三角形FEG是直角三角形，∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°，∴∠PEM=∠NEQ， ∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC=∠EQC=90°，∴EP=EQ，四边形PCQE是正方形， 在△EPM和△EQN中，∴△EPM≌△EQN（ASA）∴S△EQN=S△EPM， ∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积 ∵正方形ABCD的边长为a，∴AC=a，∵EC=2AE，∴EC=a， ∴EP=PC=a，∴正方形PCQE的面积=a×a=a2，∴四边形EMCN的面积=a2，故选：D． 点评：本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是作出辅助线，证出△EPM≌△EQN． 2．如图∠A=∠ABC=∠C=45°，E、F分别是AB、BC的中点，则下列结论，①EF⊥BD，②EF=BD， ③∠ADC=∠BEF+∠BFE，④AD=DC，其中正确的是（） A．①②③④B．①②③C．①②④D．②③④ 全等三角形判定基础练习（有答案） 一．选择题（共3小题） 1．如图，已知AD=AE，添加下列条件仍无法证明△ABE≌△ACD的是（） A．AB=AC B．∠ADC=∠AEB C．∠B=∠C D．BE=CD 2．判定两个三角形全等，给出如下四组条件：①两边和一角对应相等；②两角和一边对应相等；③两个直角三角形中斜边和一条直角边对应相等；④三个角对应相等；其中能判定这两个三角形全等的条件是（） A．①和②B．①和④C．②和③D．③和④ 3．如图，下列各组条件中，不能得到△ABC≌△BAD的是（） A．BC=AD，∠ABC=∠BAD B．BC=AD，AC=BD C．AC=BD，∠CAB=∠DBA D．BC=AD，∠CAB=∠DBA 二．解答题（共6小题） 4．如图，AB=CB，BE=BF，∠1=∠2，证明：△ABE≌△CBF． 5．如图所示，有两个直角三角形△ABC和△QPA按如图位置摆放C，P，A在同一条直线上，并且BC=PA．当QP与AB垂直时，△ABC能和△QPA全等吗，请说明理由． 6．如图，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，CF、BE相交于点D，且BD=CD．求证：AD平分∠BAC． 7．如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，点D在BC的延长线上，且BD=AB，过B 作BE⊥AC，与BD的垂线DE交于点E．求证：△ABC≌△BDE． 8．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，且BD=CE． 求证：△ABE≌△ACD． 9．如图，已知点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C．求证：△ABE≌△ACD． 《全等三角形》压轴题训练 ABC 中，ADBC ,CE AB ，垂足分别为 D , E, AD, CE 交于点 H , EH 、 EB 3, AE 4 ,则CH 的长是( A. 4 B. 5 2.如图，在Rt ABC 中，C 90 ,以顶点A 为圆心，适当 长为半径画弧，分别交边AC , AB 1 于点M , N ,再分别以M , N 为圆心，大升 MN 长为半径画弧，两弧交于点P ,作射线 2 AP 交边BC 于点D ,若CD 4, AB 25,贝ij ABD 的面积为（ ） 3.如图，在Rt ABC 屮， C 90 , AC 12, BC 6 , 一条线段PQ AB , P, Q 两点分别 在线段AC 和以点A 为端点且垂直于 AC 的射线AX 上运动，要使 ABC 和 QPA 全 等，贝ij AP 的长为 __________ . 4.如图， AD // BC , AB BC , CD ) C. 1 A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 1.如图，在 5.⑴观察推理：如图①，在 ABC 中, ACB 90 , AC BC ,直线I 过点C ,点A, B 在直 D. 2 B DE , CD ADE 的面积 I ,垂足分别为D , E ?求证：AEC CDB . 线丨的同侧，BD I , AE ⑵类比探究：如图②，在Rt ABC中，ACB 90 , AC 4 ,将斜边AB绕点A逆时针 AB 旋转90°至 ，连接B C ,求AB C 的面积. ⑶拓展提升：如图③，在 EBC 中，EECB 60 , EC 且OC 2 ,动点P 从点E 沿射线EC 以每秒1个单位长度的速度运动，连接 OP ,将线 段OP 绕点 O 逆时针旋转120°得到线段OF ?要使点F 恰好落在射线EB 上，求点P 运动的 时间t. 6.【初步探索】 (1) 如图①，在四边形ABCD 中，AB AD , B ADC 90 . E, F 分别是BC, CD 上 的点，且EF BE FD .探究图中BAE , FAD , EAF 之间的数量关系.小王同学探究 此问题的方法 涎长FD 到点G ,使DG BE .连接AG .先证明 ABE ADG ,再证 AEF AGF ,可得出结论，他的结论应是 _________________ L 【灵活运用】 (2) 如图②，在四边形 ABCD 中，AB AD , B D 180 . E, F 分别是BC ,CD 上 的点，且EF BE FD ,上述结论是否仍然成立 ？请说明理由. 【延伸拓展】 (3) 如图③，在四边形 ABCD 中， ABC ADC 180 , AB AD .若点E 在CB 的延 长线上，点F 在CD 的延长线上，仍然满足EF BE FD ,请写出EAF 与DAB 的数量关 系，并给出证明过程. BC 3 ,点O 在BC 上,全等三角形压轴题精选
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