名
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诚信应考,考试作弊将带来严重后果!
华南理工大学期末考试
《信息安全数学基础》试卷B -答案
1.考前请将密封线内填写清楚; 所有答案请直接答在试卷上;
.考试形式：闭卷；
本试卷共 四大题，满分100分， 考试时间120分钟。
题号 -一一 二 二 三 三
四 总分
得分
评卷人
选择题：(每题2分，共20分) 1. (1) 。 2. (4)。 3. (3)。4. (2)。5. (2) 。6. (3) 。7. (2)。 8. (4)
。 9.⑷。10.
(3)
二.填空题：(每题2分，共20分)
1.设m 是正整数，a 是满足a m 的整数，则一次同余式：ax b (mod m) 有解的
充分必要条件是 (a , m)|b 。当同余式ax b (mod m)有解时，其解数 为 d = (a , m) 。 2 .设
m 是正整数，则 m 个数0, 1, 2,…，m — 1中与m 互素的整数的个数 叫做m
的欧拉(Euler)函数，记做 (m)。
3.整数2t + 1和2t — 1的最大公因数(2t + 1，2t — 1)= 1 。 6. __________________________ 设m 是一个正整数，a 是满足 (a , m) =
1 ________________________________ 的整数，则存在 整数 a ， K a v m ，使得 aa = 1 (mod m)。
7. Wils on 定理：设 p 是一个素数，则 ——(p — 1)!三一1 (mod p)——。 8. (中国剩余定理)设m 1,…,m k 是k 个两两互素的正整数，则对任意的整 数b 1,…,b k 同余式组
广x b 1 (mod m”
....... ?… ?…
注意事项: 2. 3 4. )
封
题…
答…
不…
内… 线… 封
… 密…
4 .设a, b 是正整数， 且有素因数分解 a
P 1S22
P s s , i 0,i
1,2, ,s ，
min( 1, 1)
min( 2,
2)
1
min( s , s )
b P 「P 22 P s s , i 0,i 1,2, ,s ，则
(a,b)
P 1
P 2
L P s
-------------------------- ?
[a,b] p
max(1,1)
p 2max( 2, 2)
L p
max( s
, s
)
s
5 .如果a 对模m 的指数是 ________ (m) ，则a 叫做模m 的原根。
x b k (mod m k )
有唯一解。令m = m i ???m k , m = m i M i , i = 1,…,k ,则同余式组的解为： x 三 Mi M 〔b[ +???+ M k Mk bk (mod m) , 其中 Mj Mj 三 1 (mod m ) , i = 1 , 2 ,
…。
9 ?正整数n 有标准因数分解式为 n p i 1 2
p k k ，则n 的欧拉函数
(n) n (1
—) n (1 —)(1 —)L (1 —) ________________ 。
P |n
p
p 1
p 2
p k
10?设G 和G 是两个群，f 是G 到G 的一个映射。如果对任意的a, b € G ,都
有 _________ f(ab)=f(a)f(b) _____________________ ，那么，f 叫做 G 到 G 的一 个同态。
三?证明题 (写出详细证明过程)：(共30分)
2 ?证明：形如4k+3的素数有无穷多个。 (6分)
证明分两步证明。
先证形如4k + 3的正整数必含形如4k + 3的素因数。 由于任一奇素数只能写成4n + 1或4n + 3的形式，而
(4n 〔 + 1)(4 门2 + 1) — 16 n 〔 n?+ 4n 〔 + 4n?+ 1
—4(4 n 〔 n?+ n 〔 + n?) + 1,
所以把形如4n + 1的数相乘的积仍为4n + 1形式的数。 因此，把形如4k + 3的整数分解成素数的乘积时， 这些素因数不可能都是4n + 1的形式的素数，一定含有 4n + 3形式的素数。
其次，设N 是任一正整数，并设
p 1, p 2 , -p s 是不超过N 的形如4k + 3的所有素数。 令q — 4p 〔卩2… p s — 1。显然，每个Pj (i — 1,2, …都) 不是q 的素因数，否则将会导致 p i |1,得到矛盾。 如果q 是素数，由于 q — 4p[ P2 … p s -
1
—
4
(P[ P2 …p s -
1)
+
3,即 q 也是
1 1 1 1
形如4k + 3的素数，并且显然q Pj(i = 1,2, ???,)
从而 q > N 。即 q 是形如 4k ＋3 的大于 N 的素数。
如果 q 不是素数，由第一步证明知 q 含有形如 4k + 3 的素因数p ,同样可证p Pj(i = 1,2,
…”s 从而 p > N 。
即 P 是形如 4k +3 的大于 N 的素数。由于 N 是任意的正整数，因此证明了 形如 4k + 3 的素数有无穷多个。
2..设a, b 是两个整数，其中b>0。则存在唯一一对整数q, r 使得a = bq + r ， 0 r < b 。
(6 分)
证明：存在性 . 考虑整数序列：
唯一性. 假设还有一对整数 q 1, r 1 也满足：
a = bq 1+ r 1
，
0 r
1 < b 。 (2)
(1) 和(2)两式相减得
b(q - q 1) = - (r -中。
⑶
当q 时，(3)式左边的绝对值大于等于b ，而右边的绝对值小于b ，得到矛盾 故 q = q
〔，r = r 〔。
3.设p ，q 是两个不同的奇素数，n = pq ，a 是与pq 互素的整数。整数e 和 d
满足(e,
(n)) = 1， ed 1 (mod (n))， 1 < e < (n)，1 d<
(n)。
证明：对任意整数 c ， 1 c< n ，若a e
c (mo
d n)，则有c d a (mod
n)。
(12分)
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证明：
… , -3b,
-2b, -b, 序列的各项把实数轴划分成长度为 因此，存在一个整数 q 使得 即 0 a-bq< b 。 令 r = a-bq ，贝U 有 a = bq + r , 0
0, b, 2b, 3b, …
b 的区间，a 一定落在其中的一个区间中 qb a< (q+1)b ，
r < b 。
因为(e, (n)) = 1根据2.3定理4,存在整数d,
1 < d< (n),使得
ed^ 1(mod (n))
因此，存在一个正整数k使得ed= 1 + k (n)。
由，a与n= pq互素知，(a, p)= 1根据Euler定理,
a (p)= 1 (mod p)
两端作k( (n) / (p))次幕得，a k (n)三 1 (mod p) 两端乘以a得到a1 +
k (n)= a (mod p)
即 a ed= a (mod p)
同理，a ed^ a (mod q)
因为p 和q 是不同的素数，根据 2.1 定理12，
a e L a (mod n)
因此，
c d=(a e)d=a (mo
d n)
4．证明：设p 和q 是两个不相等的素数，证明：p q 1q p 11(mod pq) 。
( 6 分)
证明：因为p和q是两个不相等的素数，由Euler定理，q p 3 1 mod p ，p q 1 1 modq ，所以p q 1 q p 1 1 modp ,p q 1 q p 1 1 modq ，而p,q 1 ，因此p q 1 q p 11 modpq 。
四．计算题(写出详细计算过程) ：(共30 分)
1．用模重复平方法计算12996227 (mod 37909)。(6 分)
设m=37909, b=12996, 令a=1, 将227 写成二进制，
227=1+2+25+26+27
运用模重复平方法，我们依次计算如下:
(1) n o=1,计算
2
a°= a x b= 12996 , 三b2= 11421 (mod 37909)
(2) n1=1 , 计算
ai=a°x bi = 13581 , b?三b〔2三32281 (mod 37909)
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(3) n2=0 ,计算
a?=ai = 13581 , bg 三b?2=20369(mod 37909)
(4) n3=0 , 计算
a3=a?= 13581 , 三bg2三20065(mod 37909)
(5) n4=0 , 计算
a4=a3= 13581 , 三bq2三10645(mod 37909)
(6) n5=1 , 计算
&5=&4乂b5=22728 , 三b§2三6024(mod 37909)
(7) n6=1 , 计算
2
a6= a5^ 三24073 , b?三b62= 9663(mod 37909)
(8) n 7=1,计算
a?= a6X b7= 7775 (mod 37909)
最后，计算出
12996 227三7775 (mod 37909)
2. 设a= —1859, b= 1573，运用广义欧几里得除法
(1)计算(a, b); (2)求整数s, t 使得sa+ tb= (a, b)。(8 分) 737= 1?635+ 102, 102= 737—1?635
635 = 6? 102 + 23, 23= 635 —6?102
102=4?23+10, 10=102—4?23
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23 = 2?10+ 3, 10 = 3?3 + 1,
1 = 10— 3?3
=(102— 4?23)— 3(23— 2?10) =102— 7 ? 23+ 6 ? 10
=102— 7 ? 23+ 6 (102 — 4?23) =7 ? 102— 31? 23
=7 ? 102— 31? (635— 6?103) =193 ? 102 — 31? 635
=193 ?(737— 1?635) — 31? 635 =193 ?737— 224?635
所以 s = 193, t = — 224,使得
193 ? 737+ (— 224) ? 635= 1。
3. 运用中国剩余定理和欧拉定理计算 21000000 (mod 77)。 利用2.4定理1 (Euler 定理)及中国剩余定理计算。 令 x = 21000000 ,因为 77 = 7 -11,所以， 计算x = 21000000 (mod 77)等价于求解同余式组
x = 21000000 三 b 1 (mod 7) x = 21000000 三 b 2 (mod 11)
因为Euler 定理给出2 (7)三26三1 (mod 7), 以及 1000000 = 166666 -6+ 4,所以
b 1 三 21000000 三(26)166666 -4 三 2 (mod 7)。
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3 = 23 — 2?10
1 = 10— 3?3
(16 分)
信息安全数学基础期末考试试卷及答案（A 卷） 一、 填空题（本大题共8小题，每空2分，共24分） 1. 两个整数a ，b ，其最大公因数和最小公倍数的关系为 ________________。 2. 给定一个正整数m ，两个整数a ,b 叫做模m 同余，如果______________，记作(mod )a b m ≡；否则，叫做模m 不同余，记作_____________。 3. 设m ，n 是互素的两个正整数，则()mn ?=________________。 4. 设1m >是整数，a 是与m 互素的正整数。则使得1(mod )e a m ≡成立的最小正 整数e 叫做a 对模m 的指数，记做__________。如果a 对模m 的指数是()m ?，则a 叫做模m 的____________。 5. 设n 是一个奇合数，设整数b 与n 互素，如果整数n 和b 满足条件 ________________，则n 叫做对于基b 的拟素数。 6. 设,G G '是两个群，f 是G 到G '的一个映射。如果对任意的,a b G ∈，都有 _______________，那么f 叫做G 到G '的一个同态。 7. 加群Z 的每个子群H 都是________群，并且有0H =<>或 H =______________。 8. 我们称交换环R 为一个域，如果R 对于加法构成一个______群，* \{0}R R =对 于乘法构成一个_______群。 二、计算题（本大题共 3小题，每小题8分，共24分） 1. 令1613,a = 3589b =。用广义欧几里德算法求整数,s t ，使得 (,)sa tb a b +=。
湖南科技大学2016 - 2017 学年信息安全概论考试试题 一、名词解释(15分，每个3分) 信息隐藏：也称数据隐藏，信息伪装。主要研究如何将某一机密信息隐藏于另一公开信息的载体中，然后会通过公开载体的信息传输来传递机密信息。 宏病毒：使用宏语言编写的一种脚本病毒程序，可以在一些数据处理系统中运行，存在于字处理文档、数据表格、数据库和演示文档等数据文件中，利用宏语言的功能将自己复制并繁殖到其他数据文档里。 入侵检测：通过收集和分析网络行为、安全日志、审计数据、其它网络上可以获得的信息以及计算机系统中若干关键点的信息，检查网络或系统中是否存在违反安全策略的行为和被攻击的迹象。作为一种积极主动地安全防护技术，提供了对内部攻击、外部攻击和误操作的实时保护，在网络系统受到危害之前拦截和响应入侵。是防火墙之后的第二道安全闸门，在不影响网络性能的情况下能对网络进行监测。 花指令：是指利用反汇编时单纯根据机器指令字来决定反汇编结果的漏洞，在不影响程序正确性的前提下，添加的一些干扰反汇编和设置陷阱的代码指令，对程序代码做变形处理。缓冲区溢出攻击：指程序运行过程中放入缓冲区的数据过多时，会产生缓冲区溢出。黑客如成功利用缓冲溢出漏洞，可以获得对远程计算机的控制，以本地系统权限执行任意危害性指令。 二、判断题（对的打√，错的打×，每题1分，共10分） 1. 基于账户名／口令认证是最常用的最常用的认证方式（√） 2. 当用户收到了一封可疑的电子邮件,要求用户提供银行账户及密码,这属于钓鱼攻击（√） 3. ＲＳＡ算法的安全性归结于离散对数问题（×） 4. 量子不可克隆定理、不确定性原理,构成了量子密码的安全性理论基础（√） 5. 访问控制的安全策略是指在某个安全区域内用语所有与安全相关活动的一套控制规则（√） 6. 反弹连接是木马规避防火墙的技术，适合动态IP入侵（×） 7. 驱动程序只能在核心态下运行（×） 8. 混沌系统生成的混沌序列具有周期性和伪随机性的特征（×） 9. 最小特权思想是指系统不应给用户超过执行任务所需特权以外的特权（√） 10. 冲击波蠕虫病毒采用UPX压缩技术，利用RPC漏洞进行快速传播（√） 三、选择题（30分，每题2分） (1) 按照密钥类型，加密算法可以分为（D ）。 A. 序列算法和分组算法 B. 序列算法和公钥密码算法 C. 公钥密码算法和分组算法 D. 公钥密码算法和对称密码算法 (2) 以下关于CA认证中心说法正确的是（C ）。 A. CA认证是使用对称密钥机制的认证方法 B. CA认证中心只负责签名，不负责证书的产生 C. CA认证中心负责证书的颁发和管理、并依靠证书证明一个用户的身份 D. CA认证中心不用保持中立，可以随便找一个用户来做为CA认证中心 (3) Web从Web服务器方面和浏览器方面受到的威胁主要来自（ D ）。 A. 浏览器和Web服务器的通信方面存在漏洞 B. Web服务器的安全漏洞 C. 服务器端脚本的安全漏洞 D. 以上全是
《信息安全数学基础》参考试卷 一．选择题(在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的括号内，多选不给分)：（每题2分，共20分）1．576的欧拉函数值?(576) ＝()。 (1) 96，(2) 192，(3) 64，(4) 288。 2．整数kn和k(n+2)的最大公因数(kn , k(n+2))=()。 (1) 1或2，(2) | kn|， (3) | n|或| kn|，(4) | k|或2| k|。 3．模10的一个简化剩余系是( )。 (1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10，(2) 11, 17, 19 , 27 (3) 11, 13, 17, 19，(4) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9。 4．29模23的逆元是( )。 (1) 2，(2) 4， (3) 6，(4) 11。 5．设m1，m2是两个正整数，x1遍历模m1的完全剩余系，x2遍历模m2的完全剩余系，若( )遍历m1m2的完全剩余系。 (1) (m1，m2)=1，则m1x1＋m2x2(2) m1和m2是素数，则m1x1＋m2x2 (3) (m1，m2)=1，则m2x1＋m1x2(4)m1和m2是素数，则m2x1＋m1x2 6．下面的集合和运算构成群的是( ) 。 (1)
信息安全数学基础第一阶段知识总结 第一章 整数的可除性 一 整除的概念和欧几里得除法 1 整除的概念 定义1 设a 、b 是两个整数，其中b ≠0如果存在一个整数 q 使得等式 a=bq 成立，就称b 整除a 或者a 被b 整除，记作b|a ，并把b 叫作a 的因数，把a 叫作b 的倍数.这时，q 也是a 的因数，我们常常将q 写成a ／b 或 否则，就称b 不能整除a 或者a 不能被b 整除，记作a b. 2整除的基本性质 (1)当b 遍历整数a 的所有因数时，-b 也遍历整数a 的所有因数. (2)当b 遍历整数a 的所有因数时，a/b 也遍历整数a 的所有因数. (3)设b ，c 都是非零整数， (i)若b|a ，则|b|||a|. (ii)若b|a ，则bc|ac. (iii)若b|a ，则1<|b|?|a|. 3整除的相关定理 (1) 设a ，b ≠0，c ≠0是三个整数.若c|b ，b|a ，则c|a. (2) 设a ，b ，c ≠0是三个整数，若c|a ，c|b ，则c|a ±b (3) 设a ，b ，c 是三个整数.若c|a ，c|b 则对任意整数s ，t ，有c|sa+tb. (4) 若整数a 1 , …,a n 都是整数c ≠0的倍数，则对任意n 个整数s 1，…，s n ，整数 是c 的倍数 a b n n a s a s ++ 11
(5) 设a，b都是非零整数.若a|b，b|a，则a=±b (6) 设a, b , c是三个整数，且b≠0，c ≠0，如果(a , c)=1,则 (ab , c)=(b , c) (7) 设a , b , c是三个整数，且c≠0，如果c｜ab , (a , c) = 1, 则c | b. (8) 设p 是素数，若p |ab , 则p |a或p|b (9) 设a1, …,a n是n个整数，p是素数，若p| a1…a n,则p一定整除某一个a k 二整数的表示 主要掌握二进制、十进制、十六进制等的相互转化. 三最大公因数和最小公倍数 (一)最大公因数 1．最大公因数的概念 定义：设是个整数，若使得，则称为的一个因数．公因数中最大的一个称为的最大公因数．记作. 若 ,则称互素． 若,则称两两互素． 思考：1．由两两互素，能否导出 2．由能否导出两两互素？ 2．最大公因数的存在性 (1)若不全为零，则最大公因数存在并且 (2)若全为零，则任何整数都是它的公因数．这时，它们没有最大公因数．
信息安全导论复习题 湖南科技大学2016 - 2017 学年信息安全概论考试试题 一、名词解释 (15 分，每个 3 分 ) 信息隐藏：也称数据隐藏，信息伪装。主要研究如何将某一机密信息隐藏于另一公开信息的 载体中，然后会通过公开载体的信息传输来传递机密信息。 宏病毒：使用宏语言编写的一种脚本病毒程序，可以在一些数据处理系统中运行，存在于字处理文档、数据表格、数据库和演示文档等数据文件中，利用宏语言的功能将自己复制并繁 殖到其他数据文档里。 入侵检测：通过收集和分析网络行为、安全日志、审计数据、其它网络上可以获得的信息以 及计算机系统中若干关键点的信息，检查网络或系统中是否存在违反安全策略的行为和被攻 击的迹象。作为一种积极主动地安全防护技术，提供了对内部攻击、外部攻击和误操作的实时保护，在网络系统受到危害之前拦截和响应入侵。是防火墙之后的第二道安全闸门，在不影响网络性能的情况下能对网络进行监测。 花指令：是指利用反汇编时单纯根据机器指令字来决定反汇编结果的漏洞，在不影响程序正确性的前提下，添加的一些干扰反汇编和设置陷阱的代码指令，对程序代码做变形处理。 缓冲区溢出攻击：指程序运行过程中放入缓冲区的数据过多时，会产生缓冲区溢出。黑客如成功利用缓冲溢出漏洞，可以获得对远程计算机的控制，以本地系统权限执行任意危害性指令。 二、判断题（对的打√，错的打×，每题 1 分，共 10 分） 1. 基于账户名／口令认证是最常用的最常用的认证方式（√） 2. 当用户收到了一封可疑的电子邮件, 要求用户提供银行账户及密码,这属于钓鱼攻击（√ ） 3. ＲＳＡ算法的安全性归结于离散对数问题（× ） 4. 量子不可克隆定理、不确定性原理,构成了量子密码的安全性理论基础（√ ） 5.访问控制的安全策略是指在某个安全区域内用语所有与安全相关活动的一套控制规则 （√） 6. 反弹连接是木马规避防火墙的技术，适合动态IP 入侵（×） 7. 驱动程序只能在核心态下运行（×） 8. 混沌系统生成的混沌序列具有周期性和伪随机性的特征（× ） 9. 最小特权思想是指系统不应给用户超过执行任务所需特权以外的特权（√ ） 10.冲击波蠕虫病毒采用 UPX压缩技术，利用 RPC漏洞进行快速传播（√）三、选 择题（ 30 分，每题 2 分） (1) 按照密钥类型，加密算法可以分为（ D ）。 A. 序列算法和分组算法 B. 序列算法和公钥密码算法 C. 公钥密码算法和分组算法 D. 公钥密码算法和对称密码算法 (2)以下关于 CA 认证中心说法正确的是（C ）。 A.CA 认证是使用对称密钥机制的认证方法 B.CA认证中心只负责签名，不负责证书的产生 C.CA认证中心负责证书的颁发和管理、并依靠证书证明一个用户的身份 D.CA认证中心不用保持中立，可以随便找一个用户来做为CA 认证中心 (3) Web 从 Web 服务器方面和浏览器方面受到的威胁主要来自（ D ）。 A. 浏览器和Web 服务器的通信方面存在漏洞 B. Web 服务器的安全漏洞 C. 服务器端脚本的安全漏洞 D. 以上全是
一、单项选择题 1、设a, b 都是非零整数。若a |b ，b |a ，则【 】 A.a ＝b B.a ＝± b C.a ＝－b D. a > b 2、设a, b, c 是三个整数，c ≠0且c |a ，c |b ，如果存在整数s, t, 使得sa ＋tb ＝1，则【 】 A.(a, b)= c B. c ＝1 C.c ＝sa ＋tb D. c ＝± 1 3、Fermat 定理：设p 是一个素数，则对任意整数a 有【 】 A. a p ＝1 (mod p) B. a ? (p)＝1 (mod a) C. a ? (p)＝a (mod p) D. a p ＝a (mod p) 4、已知模41的一个原根是6，则下列也是41的原根的是【 】 A. 26 B. 36 C. 46 D. 56 5、已知，),(88+z 是模8的剩余类加群，下述不正确的是【 】 A. [1] 是生成元 B.有3阶子群 C. [0] 是单位元 D.有真子群 6、设
西南科技大学成教学院德阳教学点 《信息安全概论》练习题及参考资料 一、填空题（每空 1 分，共 40 分） 1、 Internet 上的威胁包括：、违反授权原则、植入、通信监视、通信窜扰、中断、、否认和病毒。 2、通常通过的方式实现访问控制。 3、信息安全可以分为系统安全、和内容安全三个层次。 4、单钥体制下，对明文的加密分为和两种。 5、有限状态自动机由、有限输入输出字符集、三部分组成。 6、 DES 的算法主要包括：、轮迭代的乘积变换，逆初始置换 IP-1 以及 16 个子密钥产生器。 7、同步流密码的关键是产生一个好的。 8、和是设计现代分组密码的基础。 9、椭圆曲线上的密码体制 ElGamal 的安全性是基于。 10、分组密码的模式经常用于传送短数据。 11、 AES 的分组长度为 bit，其安全性至少相当于。 12、如果，则称两整数 a 和 b 模 n 同余。 13、公钥密码体制目前主要用于和。 14、估计在近代应用中，密钥长度介于 bit 和 bit之间的 RSA 算法是安全的。 15、消息认证这个过程被用于验证接收消息的、完整性、和时间性。 16、 SHA 的分组长度是 bit，输出消息长度是 bit。 17、数字签字的方式有两类：和。 18、保证消息的实时性通常采用和的方式。 19、 OSI 参考模型中，把计算机分为七个互相独立的层，它们分别是物理层、数据链路层、、、会话层、表示层、应用层。 20、 X.509 提供了一个认证业务的基础框架，其核心问题是。 二、简答题（每题 5 分，共 30 分） 1、简要说明单钥密码体制和双钥密码体制的区别和优缺点。 2、说明分组密码的各种运行模式并描述一下 CBC 模式。 3、简述在公钥体制下利用 Diffie-Hellman 方法产生共享密钥的方法。 4、简述一下数字签字的产生和验证过程。 5、好的分组密码，在设计时需要满足什么要求？ 6、列举网络加密方式及各自优缺点。 三、对集合{1,2,3,4}，按摸 5 乘法构造乘法表，求 3 的逆元（10 分） 四、用 Fermat 定理求（10 分） 五、设通信双方使用 RSA 加密体制，接收方的公开钥是(e, n) = (5, 35)，接收到的密文是 C = 10，求明文 M。（10 分） 参考答案 一、填空题：
简答题（共20分，每题4分） 1.简述公钥密码学所基于的三个难解数学问题. 2.写出模15的一个简化剩余系，要求每个数都是偶数. 3.一次同余式在什么情况下有解，有多少个解? 4.模m原根存在的充分必要条件是什么? 5.写出3次对称群的所有3阶子群. 判断题（共20分，每题2分，对的打“√”，错的打“×”） 1.质数有无穷多.（） 2.设n是正整数，则.（） 3.有限域的特征一定是质数.（） 4.3是模7的平方剩余.（） 5.根据雅可比符号，可以判断a是模m的平方剩余.（） 6.Klein四元群是最小的非循环群.（） 7.高次同余式解的个数小于或等于它的次数.（） 8.同余式成立.（） 9.的最后两位数字是01.（） 10.整环R中既没有乘法单位元也没有零因子.（） 计算题（50分） 1.计算欧拉函数.（5分） 2.计算勒让德符号.（5分） 3.设,计算.（5分） 4.计算5,10模13的指数.（5分） 5.求解同余式组（10分） 6.构造4元有限域，并给出加法表和乘法表.（10分） 7.设F17上椭圆曲线E:上的点Q=(6,6)，计算2Q，3Q.（10分）证明题（10分，每题5分） 1.设m, n为正整数且m为奇数，证明：2m-1与2n+1互质. 2.证明：是F2[x]中的不可约多项式.
2012级《信息安全数学基础》考试试题(A)参考答案 简答题（共20分，每题4分） 1．公钥密码学所基于的三个难解数学问题是：大因数分解问题；离散对数问题和椭圆曲线离散对数问题； 2. 16,2,4,22, 8, 26, 20, 14(答案不唯一)； 3. 时有解，有个解； 4. ,p 为奇质数； 5. {e, (123),(132)} 二．判断题（共20分，每题2分，对的打“√”，错的打“×”） 1. √； 2. ×； 3. √； 4. ×； 5. √×； 6. √； 7. √； 8. ×； 9. √；10. ×； 三．计算题（50分） 1. 解： 2. 解： 3.解：. 4.解：根据定义计算得 5.解：先求 得：， 即， 即 所以同余式的解为： 6.解：, 加法表： + 1 x x+1 1 x x+1 1 1
信息安全概论习题及答案 第1章概论 1．谈谈你对信息的理解. 答：信息是事物运动的状态和状态变化的方式。 2．什么是信息技术 答：笼统地说，信息技术是能够延长或扩展人的信息能力的手段和方法。 本书中，信息技术是指在计算机和通信技术支持下，用以获取、加工、存储、变换、显示和传输文字、数值、图像、视频、音频以及语音信息，并且包括提供设备和信息服务两大方面的方法与设备的总称。 也有人认为信息技术简单地说就是3C：Computer＋Communication＋Control。 3．信息安全的基本属性主要表现在哪几个方面 答：（1）完整性（Integrity） （2）保密性（Confidentiality） （3）可用性（Availability） （4）不可否认性（Non-repudiation） （5）可控性（Controllability） 4．信息安全的威胁主要有哪些 答： （1）信息泄露 （2）破坏信息的完整性 （3）拒绝服务 （4）非法使用（非授权访问） （5）窃听 （6）业务流分析 （7）假冒 （8）旁路控制 （9）授权侵犯 （10）特洛伊木 马 （11）陷阱门 （12）抵赖 （13）重放 （14）计算机病 毒 （15）人员不慎 （16）媒体废弃 （17）物理侵入 （18）窃取 （19）业务欺骗 等 5．怎样实现信息安全 答：信息安全主要通过以下三个方面：
A 信息安全技术：信息加密、数字签名、数据完整性、身份鉴别、访问控制、安全数据库、网络控制技术、反病毒技术、安全审计、业务填充、路由控制机制、公证机制等； B 信息安全管理：安全管理是信息安全中具有能动性的组成部分。大多数安全事件和安全隐患的发生，并非完全是技术上的原因，而往往是由于管理不善而造成的。安全管理包括：人事管理、设备管理、场地管理、存储媒体管理、软件管理、网络管理、密码和密钥管理等。 C 信息安全相关的法律。法律可以使人们了解在信息安全的管理和应用中什么是违法行为，自觉遵守法律而不进行违法活动。法律在保护信息安全中具有重要作用对于发生的违法行为，只能依靠法律进行惩处，法律是保护信息安全的最终手段。同时，通过法律的威慑力，还可以使攻击者产生畏惧心理，达到惩一警百、遏制犯罪的效果。 第2章信息保密技术 1．为了实现信息的安全，古典密码体制和现代密码体制所依赖的要素有何不同答：古典密码体制中，数据的保密基于加密算法的保密。 现代密码体制中，数据的安全基于密钥而不是算法的保密。 2．密码学发展分为哪几个阶段各自的特点是什么 答：第一个阶段:从几千年前到1949年。 古典加密 计算机技术出现之前 密码学作为一种技艺而不是一门科学 第二个阶段：从1949年到1975年。 标志：Shannon发表“Communication Theory of Secrecy System” 密码学进入了科学的轨道 主要技术：单密钥的对称密钥加密算法 第三个阶段：1976年以后 标志：Diffie，Hellman发表了“New Directions of Cryptography”
信息安全数学基础----习题集一 一、填空题 1、设a=18、b=12，c=27，求a、b、c的最小公倍数[a,b,c]= . 2、求欧拉函数= . 3、设，则模的最小非负简化剩余系{ }. 4、设，则模的所有平方剩余= . 5、设，则模的所有原根个数= . 6. 设m，n是互素的两个正整数，则φ(mn)=________________。 7. 设m是正整数，a是满足的整数，则一次同余式：ax≡b (mod m)有解的充分必要条件是_________________ 。 8. 设m 是一个正整数，a是满足____________的整数，则存在整数a’，1≤a’＜m ，使得aa’≡1 (mod m)。 9. 设, 如果同余方程__________, 则叫做模的平方剩余. 10. 设, 则使得成立的最小正整数叫做对模 的__________. 二、判断题（在题目后面的括号中，对的画“”，错的画“”） 1、若是任意正整数, 则. （） 2、设是个不全为零的整数，则与, ||, ||,…, ||的公因数相同（） 3、设是正整数, 若, 则或. （） 4、设为正整数, 为整数, , 且, 则. （） 5、{1,-3,8,4,-10}是模5的一个完全剩余系. （） 6、设是素数, 模的最小非负完全剩余系和最小非负简化剩余系中元素个数相等. （） 7、设为奇素数, 模的平方剩余和平方非剩余的数量各为8. （） 8、一次同余方程有解. （） 9、设是素数, 是模的原根, 若, 则是的整数倍. （）
10、设, 则, …, 构成模的简化剩余系. （） 11. , 则＝. （） 12. 设是两个互素正整数, 那么, 则. （） 13. 设m是一个正整数, a,b,d都不为0，若ad≡bd(modm)。则a≡b(mod m)。 （） 14. 设为正整数, a是满足的整数，b为整数. 若为模的一个简 化剩余系, 则也为模的一个简化剩余系. （） 15. p为素数,n为整数且与p互素，则n2为模p的平方剩余. （） 16. 设为正整数, 设, 则是模的平方剩余的充要条件是: . （） 17. 3是模7的原根。（） 18. 设为正整数, 若，则. （） 19. 整数集关于整数的乘法构成群。（） 20. 适当定义加法和乘法，集合{0,1}可以构成一个有限域。（） 三、单项选择题（把答案写在题目后面的括号中） 1. 设与是两个整数, 则存在整数, 使得，下面关于与线性组合描述错误的是：（） A. 整数的取值仅有一组唯一的值； B. 整数的线性和所能表示的最小的正整数是最大公因数，即； C. 的倍数也可以用的线性和表示； D. 整数，可以使用辗转相除法(欧几里得算法)反推得到。 2、下面关于整除的描述错误的是：（） A. ±1是任何整数的因子； B.设（整数集合）,, , 则； C. 0是任何整数的倍数； D. 设, 若, ，则, 。
贵州大学2007-2008学年第二学期考试试卷（标准答案） A 信息安全数学基础 注意事项： 1. 请考生按要求在试卷装订线内填写姓名、学号和年级专业。 2. 请仔细阅读各种题目的回答要求，在规定的位置填写答案。 3. 不要在试卷上乱写乱画，不要在装订线内填写无关的内容。 4. 满分100分，考试时间为120分钟。 一、设a,b 是任意两个不全为零的整数，证明：若m 是任一整数，则 [am,bm]=[a,b]m.(共10分) 解： 2 2[,](3(,)(3(,)(2( ,) [,](2abm am bm am bm abm a b m abm a b a b m = == =分） 分） 分） 分） = = 二、设 n=pq,其中p,q 是素数.证明：如果 2 2 =(mod ),,,a b n n a b n a b -+宎宎 则(,)1,(,)1n a b n a b ->+>（共10分） 证明：由2 2 2 2 =(mod ),|-,|()()a b n n a b n a b a b +-得即a a (2分） 又n pq =，则|()(),|()|(),pq a b a b p p a b p a b +-+-因为是素数，于是或a a a (2分） 同理，|()|()q a b q a b +-或a a (2分） 由于,n a b n a b -+宎 ，所以如果|()p a b +a ，则|()q a b -a ，反之亦然. (2分） 由|()p a b +a 得(,)1n a b p +=> (1分） 由|()q a b -a 得(,)1n a b q -=> (1分）
信息安全数学基础第一阶段知识总结 第一章 整数的可除性 一 整除的概念和欧几里得除法 1 整除的概念 定义1 设a 、b 是两个整数，其中b ≠0如果存在一个整数 q 使得等式 a=bq 成立，就称b 整除a 或者a 被b 整除，记作b|a ，并把b 叫作a 的因数，把a 叫作b 的倍数.这时，q 也是a 的因数， 我们常常将q 写成a ／b 或 否则，就称b 不能整除a 或者a 不能被b 整除，记作a b. 2整除的基本性质 (1)当b 遍历整数a 的所有因数时，-b 也遍历整数a 的所有因数. (2)当b 遍历整数a 的所有因数时，a/b 也遍历整数a 的所有因数. (3)设b ，c 都是非零整数， (i)若b|a ，则|b|||a|. (ii)若b|a ，则bc|ac. (iii)若b|a ，则1<|b|≤|a|. 3整除的相关定理 (1) 设a ，b ≠0，c ≠0是三个整数.若c|b ，b|a ，则c|a. (2) 设a ，b ，c ≠0是三个整数，若c|a ，c|b ，则c|a ±b (3) 设a ，b ，c 是三个整数.若c|a ，c|b 则对任意整数s ，t ， a b
有c|sa+tb. (4) 若整数a 1 , …,a n 都是整数c ≠0的倍数，则对任意n 个整数s 1，…，s n ，整数 是c 的倍数 (5) 设a ，b 都是非零整数.若a|b ，b|a ，则a=±b (6) 设a, b , c 是三个整数，且b ≠0，c ≠0，如果(a , c)=1,则 (ab , c)=(b , c) (7) 设a , b , c 是三个整数，且c ≠0，如果c ｜ab , (a , c) = 1, 则c | b. (8) 设p 是素数，若p |ab , 则p |a 或p|b (9) 设a 1 , …,a n 是n 个整数，p 是素数，若p| a 1 …a n ,则p 一定整除某一个a k 二 整数的表示 主要掌握二进制、十进制、十六进制等的相互转化. 三 最大公因数和最小公倍数 (一)最大公因数 1．最大公因数的概念 定义：设是 个整数，若 使得 ， 则称 为 的一个因数．公因数中最大的一个称为 的最大公因数．记作 . 若 ,则称 互素． 若 ,则称 两两互素． n n a s a s ++ 11
第一章： 1、机密性：是指保证信息不被非授权访问；即使非授权用户得到信息也无法知晓信息内容，因而不能使用。通常通过访问控制阻止非授权用户获得机密信息，通过加密交换阻止非授权用户获知信息内容。 2、完整性：完整性是指维护信息的一致性，即信息在生成、传输、存储和使用过程中不应发生认为或非人为的非授权篡改。一般通过访问控制阻止篡改行为，同时通过信息摘要算法来检测信息是否被篡改。 3、抗否认性：抗否认性是指能保障用户无法在事后否认曾今对信息进行的生成、签发、接受等行为，是针对通信各方信息真实同一性的安全要求。一般通过数字签名来提供抗否认服务。 4、可用性：可用性是指保障信息资源随时可提供服务的特性，即授权用户根据需要可以随时访问所需信息。可用性是信息资源服务功能和性能可靠性的度量，设计物理、网络、系统、数据、应用和用户等多方面的因素，是对信息网络总体可靠性的要求。可靠性的要求。 5、身份认证：是指验证用户身份与其所声称的身份是否一致的过程。最常见的身份认证是口令认证。 6、授权和访问控制的区别：授权侧重于强调用户拥有什么样的访问权限，这种权限是系统预先设定的，并不关心用户是否发出访问请求；而访问控制是对用户访问行为进行控制，它将用户的访问行为控制在授权允许的范围之内，因此，也可以说，访问控制是在用户发起访问请求是才起作用的。 7、物理安全：物理安全是指保障信息网络物理设备不受物理损坏，或是损坏时能及时修复和替换。 8、经典信息安全：通常采用一些简单的替代和置换来保护信息。 9、现代密码理论的标志性成果是DES算法和RSA算法。 第二章： 1、密码学：研究如何实现秘密通信的科学，包括两个分支，即密码编码学和密码分析学。 2、加密和加密算法：对需要保密的信息进行编码的过程称为加密，编码的规则称为加密算法。 3、密码系统从原理上分为两大类，即单密钥系统和双密钥系统。单密钥系统又称为对称密码系统或秘密密钥密码系统，单密钥系统的加密密钥和解密密钥相同，或者实质上等同。 4、双密钥系统又称为非对称密码系统或公开密钥密码系统。双密钥系统有两个密钥，一个是公开的，另一个是私人密钥，从公开的密钥推不出私人密钥。 5、单表代换密码：最典型的代表是凯撒密码，难以抗击字母频度分析。 6、多表代换密码：最典型的是维吉尼亚密码。 7、密码分析的原则：密码分析是研究密钥未知的情况下恢复明文的科学。通常假设攻击者知道正在使用的密码体制，称为Kerckhoff原则。 8、密码分析分类（按强度排列）：已知密文攻击、已知明文攻击、选择明文攻击、选择密文攻击 9、一般说来密码系统应该经得起已知明文攻击。 10、密码系统应该满足的准则（至少满足一个）：（1）破译该密码的成本超过被加密信息的价值；（2）破译该密码的时间超过被加密信息的生命周期 第三章： 1、对称密码体制根据对明文加密的方式不同分为分组密码和流密码。分组密码和流密码区
模q 算术-i 同余： 给定任意整数a 和q ，以q 除a ，余数是r ，则可以表示 为a=sq+r,0≤r 1.常见的密码技术与应用 密码学技术主要有对称密码算法、非对称密码算法、数字签名技术、数字证书、信息隐藏技术等，密码学在现代的意义是非常广的，比如公钥密码技术用于数字签名，认证服务，没有它，大家常用的网上支付系统根本无法存在。还有一些重要的用户登录系统啊，手机通信中的信息加密等等，密码学除了军事用途以外，更多地还是应用在金融，网络，通信等领域。 2.对称加密(DES 算法)与非对称加密（RSA 算法） 2.数字证书 定义：数字证书是由权威公正的第三方机构（即CA 中心）签发的证书，它能提供在因特网上进行身份验证的一种权威性电子文档，人们可以在互联网交往中用它来证明自己的身份和识别对方的身份。 应用：数字证书广泛应用于收发安全电子邮件、网上银行、网上办公、网上交易、访问安全站点等安全电子事务处理和安全电子交易活动。 分类：根据数字证书的应用分类分为：电子邮件数字证书、服务器证书、客户端个人证书。 原理图： 4.认证的组成与功能 一个认证系统由五部分组成：用户或工作组，特征信息，认证机构，认证机制,访问控制单元。 用户或工作组：指那些想要访问系统资源的用户或工作组。 特征信息：指用户向认证机构提供的用于认证身份的信息。 认证机构：指识别用户并指明用户是否被授权访问系统资源的组织或设备。 认证机制：认证机制由三部分组成，分别是输入组件，传输系统和核实器。 访问控制单元：用户身份信息经核实器分析计算的结果通过传输系统传输到访问控制单元。 5.病毒与蠕虫 6.木马与后门 7.常见的攻击类型与防范 后门攻击，暴力攻击，缓冲区溢出攻击，拒绝服务攻击，中间人攻击，社会工程学攻击，对敏感系统的非授权访问攻击。 对于常见的信息安全攻击的防范主要从以下几个层面进行： （1）物理安全层面对策: 物理安全层面对策的主要目的就是保证系统实体有个安全的物理环境条件：防止网络服务器、打印机、计算机系统等硬件设备和通信链路受到人为破坏、搭线攻击以及自然灾害等;证实用户的使用权限与身份,以抑制一些不法用户进行越权操作;保证计算机网络系统有一个适合的电磁兼容工作环境;制定比较完备的安全管理制度,防止非法进入计算机机房的各种偷窃、破坏活动的发生。 （2）技术层面对策：综合应用网络访问控制、数据库的备份与恢复、信息加密技术、反病毒技术、研发并完善高安全的操作系统等多项措施。（3）管理层面对策：计算机网络的安全管理，不仅要看所采用的安全技术和防范措施，而且要看它所采取的管理措施和执行计算机安全保护法律、法规的力度。只有将两者紧密结合，才能使计算机网络安全确实有效。 8.访问控制?访问控制的过程？访问控制中常见的攻击及其原理？ 访问控制：是一系列用于保护系统资源的方法和组件，依据一定的规则来决定不同用户对不同资源的操作权限，可以限制对关键资源的访问，避免非法用户的入侵及合法用户误操作对系统资源的破坏。访问控制提供了系统的完整性和保密性。 访问控制的一般过程：主体创建一个访问系统资源的访问请求，然后将这个请求提交给访问监视器。访问监视器通过检查一定的访问策略，决定是否允许这个访问请求。如果主体的访问请求符合访问策略，主体就被授权按照一定的规则访问客体。 常见访问控制攻击与原理 穷举攻击：尝试所有可能的字母组合来满足认证口令，以获取对客体的访问权限。 字典攻击：字典攻击事实上就是穷举攻击的子集。字典攻击并不尝试所有的口令组合，而是从一个列表或字典中尝试那些常用的口令。很容易找到那些常用的用户ID和口令。 欺骗攻击：攻击者放置一个伪造的登陆程序来迷惑用户，骗取用户ID和口令。这种方式看起来就像是正常的登陆屏幕，所以用户很可能提供需要的信息。程序并不会把用户连接到所请求的系统上，而是返回一个登录失败的提示信息。 9.常见防火墙的类型。 硬件防火墙和软件防火墙，包过滤防火墙，状态检测防火墙。 10.入侵检测系统的检测机制及原理？入侵检测系统的分类及其设计准则？ 入侵检测系统的检测机制一般可以分为三种：基于异常的检测机制，基于特征的检测机制，以及两者混合的检测机制。《信息安全概论》期末考试押题
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