2017届高三年级第一次高考模拟试卷
理数（试题卷）
注意事项：
1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第一次高考模拟试卷，分两卷。其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。
2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。
3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。
★预祝考生考试顺利★
第I卷选择题（每题5分，共60分）
本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。
1.已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|＜0}，则A∩B=（）
A．{0，1} B．{﹣1，0}
C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}
2.已知1+i=，则在复平面内，复数z所对应的点在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3.已知，若共线，则实数x=（）
A．B．C．1 D．2
4.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=3x上，则sin（2θ+）=（）
A．B．﹣C．D．﹣
5.已知单调递增的等比数列{a n}中，a2?a6=16，a3+a5=10，则数列{a n}的前n项和S n=（）A．B．
C．2n﹣1 D．2n+1﹣2
6.已知实数x，y满足不等式组，若目标函数z=kx+y仅在点（1，1）处取得最小值，则实数k的取值范围是（）
A.（﹣1，+∞）
B.（﹣∞，﹣1）
C.（1，+∞）
D.（﹣∞，1）
7.如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸
的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，
则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是（）
A．1﹣B．C．D．1﹣
8.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此球的表面积是（）
A．2πB．8π C．10πD．12π
9.抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最小值为（）
A．B．C．1 D．
10.执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）
A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣
11.若函数f（x）满足，当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间（﹣1，1]上，g（x）=f（x）﹣mx﹣m有两个零点，则实数m的取值范围是（）
A．B．
C．D．
12.设函数f（x）在R上存在导数f′（x），?x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（6﹣m）﹣f（m）﹣18+6m≥0，则实数m的取值范围为（）
A．[﹣3，3] B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
C．[2，+∞） D．[3，+∞）
第II卷非选择题（共90分）
二.填空题（每题5分，共20分）
13.已知正实数x，y满足xy+2x+y=4，则x+y的最小值为．
14.若双曲线的离心率为3，其渐近线与圆x2+y2﹣6y+m=0相切，则m= ．
15.已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形，E为AA1的中点，OA⊥平面BDE，则球O的表面积为．
16.函数f（x），g（x）的定义域都是D，直线x=x0（x0∈D），与y=f（x），y=g（x）的图象分别交于A，B两点，若|AB|的值是不等于0的常数，则称曲线 y=f（x），y=g（x）为“平行曲线”，设f（x）=e x﹣alnx+c（a＞0，c≠0），且y=f（x），y=g（x）为区间（0，+∞）的“平行曲线”，=e，
三.解答题（共8题，共70分）
17.(本题满分12分)
﹣，且对于任意的
），记，若（
）从该班第一次月考的数学优良成绩中和第二次月考的数学非优良成绩中，按分层抽样随机抽
=，其中
19.（本题满分12分）
《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC 的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE．
（1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；
（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值．
20.（本题满分12分）
设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，过A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于Q点，且F1恰好是线段QF2的中点．
（1）若过A、Q、F2三点的圆恰好与直线3x﹣4y﹣7=0相切，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，B是椭圆C的左顶点，过点R（，0）作与x轴不重合的直线l交椭圆C 于E、F两点，直线BE、BF分别交直线x=于M、N两点，若直线MR、NR的斜率分别为k1，k2，试问：k1k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
21.（本题满分12分）
已知函数f（x）=ax2+bx﹣c﹣lnx（x＞0）在x=1处取极值，其中a，b为常数．
（1）若a＞0，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在x=1处取极值﹣1﹣c，且不等式f（x）≥﹣2c2恒成立，求实数c的取值范围；（3）若a＞0，且函数f（x）有两个不相等的零点x1，x2，证明：x1+x2＞2．
选做题（本题满分10分）
22.
已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）
（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．
23.
已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．
（1）求证：2a+b=2；
（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．
2017届高三年级第一次高考模拟参考答案数学
13.
14.8
15.16π
16.[3e3，+∞）
17.
（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，
∵对于任意的n∈N+有S n，S n+2，S n+1成等差，
∴2．
整理得：．
∵a1≠0，∴，2+2q+2q2=2+q．
∴2q2+q=0，又q≠0，∴q=．
又，
把q=代入后可得．
所以，；（Ⅱ）∵b n=n，，∴，∴．
．
∴=
∴．
若（n﹣1）2≤m（T n﹣n﹣1）对于n≥2恒成立，
则（n﹣1）2≤m[（n﹣1）?2n+1+2﹣n﹣1]对于n≥2恒成立，
也就是（n﹣1）2≤m（n﹣1）?（2n+1﹣1）对于n≥2恒成立，
∴m≥对于n≥2恒成立，
令，
∵=
∴f（n）为减函数，∴f（n）≤f（2）=．
∴m．
所以，（n﹣1）2≤m（T n﹣n﹣1）对于n≥2恒成立的实数m的范围是[）．18.
（1）由2×2列联表，计算K2的观测值为
k==＞7.879，
对照临界值表，得出能在犯错误的概率不超过0.005的前提下，
认为设立自习室对提高学生成绩有效；
（2）根据分层抽样原理，
从第一次月考数学优良成绩中抽取×5=3个，记为A、B、C；
从第二次月考数学优良成绩中抽取×5=2个，记为d、e；
则从这5个成绩中抽取2个，基本事件是
AB、AC、Ad、Ae、BC、Bd、Be、Cd、Ce、de共10个，
其中抽取的2个成绩均来自同一次月考的基本事件有
AB、AC、BC、de共4个，
故所求的概率为P==．
19.
解法1）（1）因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，
由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，
所以BC⊥平面PCD．而DE?平面PDC，所以BC⊥DE．
又因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC．
而PC∩CB=C，所以DE⊥平面PBC．而PB?平面PBC，所以PB⊥DE．
又PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF．
由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，
即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．
（2）如图1，
在面BPC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ACBD的交线．
由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG．
又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG．而PD∩PB=P，所以DG⊥平面PBD．
所以DG⊥DF，DG⊥DB
故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，
设PD=DC=1，BC=λ，有BD=，
在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得∠DPB=∠FDB=，
则 tan=tan∠DPF===，解得．
所以==
故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=．
（解法2）
（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设PD=DC=1，BC=λ，
则D（0，0，0），P（0，0，1），B（λ，1，0），C（0，1，0），=（λ1，﹣1），点E是PC
的中点，所以E（0，，），=（0，，），
于是=0，即PB⊥DE．
又已知EF⊥PB，而ED∩EF=E，所以PB⊥平面DEF．
因=（0，1，﹣1），=0，则DE⊥PC，所以DE⊥平面PBC．
由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，
即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．
（2）由PD⊥底面ABCD，所以=（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；
由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量．
若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，
则运用向量的数量积求解得出cos==，
解得．所以所以==
故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=．
20.
（1）由题意可知A（0，b），F1是线段QF1的中点，
设F1（﹣c，0），F2（c，0），则Q（﹣3c，0），
∵∠QAF1=90°，
∴b2=3c2，
由题意Rt△QAF1外接圆圆心为斜边的QF1中点F1（﹣c，0），半径等于2c，
由A，Q，F2，三点恰好与直线3x﹣4y﹣7=0相切，
∴F1（﹣c，0）到直线的距离等于半径2c，
即=2c，
解得：c=1，b2=3，a2=4，
∴椭圆的标准方程：；
（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），
直线PQ的方程为x=my+，代入椭圆方程，
4（4+3m2）y2+36my﹣21=0，
y1+y2=﹣，y1y2=﹣，
由B，E，M，三点共线，可知：=，即y M=，
同理可得：y N=，
∴k1k2=×==，
由4（x1+2）（x2+2）=（2my1+7）（2my2+7）=4m2y1y2+14m（y1+y2）+49，
∴k1k2==﹣，
∴k1k2是否为定值﹣．
21.
（1）f（x）=ax2+bx﹣c﹣lnx（x＞0），求导f′（x）=2ax+b﹣，（x＞0），
由函数在x=1处取极值，则f′（1）=2a+b﹣1=0，则b=1﹣2a，
f′（x）=2ax+1﹣2a﹣=（x﹣1）（+2a），（x＞0），
当a＞0时，+2a＞0，x∈（0，1），f′（x）＜0，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）的单调递增区间（1，+∞），单调递减区间（0，1]；
（2）由（1）可知：f（x）=ax2+（1﹣2a）﹣c﹣lnx，由函数f（x）在x=1处取极值，﹣1﹣c，∴f（1）=﹣a+1﹣c=﹣1﹣c，可得：a=2，
∵a＞0，由（1）可知函数f（x）区间（1，+∞）上单调递增，在区间（0，1]上单调递减，
∴f（x）min=f（1）=﹣1﹣c，
由f（x）≥﹣2c2恒成立，则﹣1﹣c≥﹣2c2，解得：c≥1或c≤﹣，
∴实数c的取值范围为（﹣∞，﹣]∪[1，+∞），
（3）证明：由（1）可知：f（x）=ax2+（1﹣2a）﹣c﹣lnx，
函数f（x）在（1，+∞）单调递增，在（0，1]递减区间，
且f（x1）=f（x2）=0，
∴不妨设x1＜x2，则x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），
构造函数h（x）=f（x）﹣f（2﹣x），x1∈（0，1），
则h（x）=2x﹣2+ln（2﹣x）﹣lnx，
求导h′（x）=2+﹣=＜0，
∴h（x）在（0，1）单调递减，
∴x∈（0，1），h（x）＞h（1）=0，
∴f（x）＞f（2﹣x），由x1∈（0，1），则f（x1）＞f（2﹣x1），
由f（x1）=f（x2）=0，
∴f（x2）＞f（2﹣x1），而2﹣x1，x2∈（1，+∞），
函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴x1+x2＞2．
22.
（1）由曲线C1的参数方程为（θ为参数），消去参数θ得，曲线C1的普通方程得+=1．
由ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0得，曲线C2的直角坐标方程为x﹣y﹣4=0
（2）设P（2cosθ，2sinθ），则点P到曲线C2的距离为d=
=，
当cos（θ+45°）=1时，d有最小值0，所以|PQ|的最小值为0
23.
（1）法一：f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=|x+a|+|x﹣|+|x﹣|，
∵|x+a|+|x﹣|≥|（x+a）﹣（x﹣）|=a+且|x﹣|≥0，
∴f（x）≥a+，当x=时取等号，即f（x）的最小值为a+，
∴a+=1，2a+b=2；
法二：∵﹣a＜，∴f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=，
显然f（x）在（﹣∞，]上单调递减，f（x）在[，+∞）上单调递增，
∴f（x）的最小值为f（）=a+，
∴a+=1，2a+b=2．
（2）方法一：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，
=+=（+）（2a+b ）?=（1+4++），当a=b=时，取得最小值，
∴≥t，即实数t的最大值为；
方法二：∵a+2b≥tab恒成立，
∴≥t恒成立，
t≤=+恒成立，
+=+≥=，
∴≥t，即实数t的最大值为；
方法三：∵a+2b≥tab恒成立，
∴a+2（2﹣a）≥ta（2﹣a）恒成立，
∴2ta2﹣（3+2t）a+4≥0恒成立，
∴（3+2t）2﹣326≤0，
∴≤t≤，实数t的最大值为．