一、知识梳理：
1、有理数的意义：
（1）整数和分数统称为有理数。
（2）有理数的分类：
?????????????????正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数；
???????????????正整数正有理数正分数有理数零负整数负有理数负分数 （3）任何一个有理数都可写成分数
a b （其中a 、b 为整数，0b ≠）的形式。如221=，20.45
=，所以，所有的有理数都是分数。
2、数轴： （1）数轴：规定了原点、正方向和单位长度的一条直线叫做数轴。数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。
（2）任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示；反之不然，数轴上的点不一定都用来表示有理数。
（3）在数轴上，原点左边是负有理数，原点右边是正有理数，原点为0。
3、相反数：
（1）相反数：只有符号不同的两个数，我们称其中的一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。
（2）正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。零的相反数是零。
（3）互为相反数的两数和为0；反之，如果两数和为0，那么这两个数互为相反数。即如果a 、b 互为相反数，那么0a b +=。反之，如果0a b +=，那么a 、b 互为相反数。
（4）互为相反数的两个数的几何意义：
在数轴上，互为相反数的两个点位于原点两侧且到原点的距离相等。
4、绝对值：
（1）绝对值：一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。一般用符号a 表示a 的绝对值。
（2）任何一个数的绝对值都大于或等于零，即0a ≥。
（3）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。
反过来：绝对值是它本身的数是正数和零，即非负数；绝对值是它相反数的数是负数和零，即非正数；即(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??-
（互为相反数的两个数，它们的绝对值相等）
5、有理数的大小比较：
（1）表示一个数的点离开原点距离越远，绝对值越大；离开原点距离越近，绝对值越小。
（2）正数大于零，零大于负数，正数大于一切负数；
（3）两个正数，绝对值较大的那个数较大；两个负数，绝对值较小的那个数反而大。
6、相反数、绝对值几何意义的应用：
（1）x是数x对应的点到原点的距离；（2）x a
-是数x对应的点到数a的距离；
（3）互为相反数的两点到原点的距离相等。
7、零点分段法：
先求出使各个绝对值等于零的字母的值。即先求出各个分界点，然后在数轴上标出分界点，将轴分成几个部分，再根据每个部分中字母的取值范围，进行分类讨论，这就是“零点分段法”。
二、例题精讲：
例1：如果把向东10米记作10米，那么下列各数分别表示什么意义？
（1）53米（2）-90米（3）0米
例2：从下列数中选择适当的数填入相应的圈内。
2，1
3
，-5， 3.25，0，250，-9.31，
1
10
2
-，π，
2
π
-，25%
正数负数非负数
整数分数有理数例3、画一个数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：
2，-3.5 ，5，-0.5，-7，
1 4
2 +
例4、指出数轴上A，B，C，D，E各点分别表示什么数。
例5、数轴上点M表示2，点N表示-3.5，点A表示-1，在点M和点N中，距离A点较远的点是点_________。例6、写出下列各数的相反数，并把它们都表示在数轴上。
（1）
1
2
3
（2）0 （3）-0.5 （4）3
例7、下列说法正确的有（）.
①一个数的相反数一定是负数；②相反数是本身的数是0；③一个数的倒数一定有相反数；④若有理数
a 、
b 满足0a b +=，则a 、b 互为相反数。
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
例8、已知：4
5m -的相反数是-2，求m 的相反数和倒数。
例9、求下列各数的绝对值：4.5， 0， 2
49-， -0.12， a （0a <）；
例10、a 、b 、c 三个数在数轴上所对应的点的位置如图所示，下列各式中错误的是（
）.
A 、b a <
B 、c b <
C 、b a <
D 、c b <
例11、比较下列各组数的大小：
（1）6
5-和 1.21-； （2）23-和12--； （3）1()2--和1
3--
例12、求下列各式中的x 值：
（1）5x -=-， （2）1
362x +=
例13、当 -2﹤x ﹤5时，化简25+--x x 。
例14、已知a 与b 互为倒数，c 与d 互为相反数，且3=x ，求x d c ab 23+--的值。
例15、化简：52x x -++
三、跟踪训练：
1、如果把下午2时记作＋2时，那么上午8时可记为__ _______；
2、数轴上的点A 表示1011
-，点B 表示1，离原点距离较近的点是点 ； 3、绝对值不大于4的整数是 ；
4、绝对值大于6小于13的所有负整数的和是 ；
5、已知x 是整数，且3≤|x |<5，则x =_________；
6、若a =2，则a =_________；若a =2，则a = _________； 若| - a |= 3，则a =_________；
7、已知a ﹥0，b ﹤0，︱a ︱﹤︱b ︱，用“﹤”符号把a ，a -，b ，b -连接起来的式子为 ；
8、在有理数中，相反数是它本身的数是 ；绝对值是它本身的数是 ；
9、已知0x <，0y <，则x y += ；
10、31
4
-的相反数的倒数是 ； 11、当1a a =-时，a 0.(填“>”、“<”或“=”) 12、若| 2a - 6 |= 6-2a ，则a 的取值范围是_________；
13、若0x >，0y <，且x y >，则x 、y 、y 、x -的大小关系是 ；
14、满足a a
=1的数有 __个，是 ___；满足a a =-的数有 个，是___________； 满足a a = 的数有 个。
15、如果零上5℃记作＋5℃，那么零下5℃，记作（ ）.
A.－5
B.－10
C.－10℃
D.－5℃
16、如右图所示，数轴上两点表示数m 、n ，则m n -为（ ）.
A.m n -
B.n m -
C.()m n ±-
D.m n +
17、-0.3、13-、27
-三数的大小顺序是（ ）. A.120.337-<-<- B.120.337-<-<- C.210.373-<-<- D.210.373
-<-<- 18、在数轴上表示-5和3的两点的距离是（ ）.
A.2
B.-5
C.3
D.8 19、以下结论中，正确的是（ ）
A.若1a >，则11a >；
B.若01a <<，则11a
>；C.若10a -<<，则11a >-；D.若1a <-，则11a <-； 20、下列说法中正确的有（ ）.
①如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；②互为相反数的两个数的绝对值相等；
③绝对值等于本身的数是0；
④两个分别在原点的两旁且和原点的距离相等的点所表示的数一定互为相反数.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
21、说出下面数轴上A ，B ，C ，D ，O ，M 各点表示什么数？
22、在数轴上表示下列各数，并用“>”连接.
3， 52-
， 34-， 0， 113
23、若2a =，3b =，a b <，求a b +的值.
24、设a 、b 、c 三个有理数在数轴上对应点A 、B 、C 位置如下图所示，化简a b b c c a ---+-.
25、如果a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的绝对值为2，求
c b a b a ++++ m - c
d 的值.
四、回家作业：
1、如果运出货物19吨记做19-，那么运进货物25吨，记做 ；
2、规定了 ， 和 的 叫数轴；
3、 可用在数轴上原点右边6.4个单位的A 点表示，5-可以用在原点 边 的B 点表示。
4、97-和97
+只有 不同，在数轴上表示这两个数的点分别在 的两旁，离开原点的 都等于 单位长度。
5、 的两个数的和为0；
6、用符号连接：
100- 0.01； 2.23 2.32； ( 3.45)-- 3.45--； 34-- 3()4
--
7、若11a a -=-，那么a 的取值范围是 ；
8、若2a =，5b =，且0ab <，则a b -= ；
9、若4260x y -++=，则x = ，y = ；
10、若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值为2，则
2()a b m cd m ++-的值是 ； 11、若13x -=，则x = ；
12、一个数的相反数是它本身，这个数是 。一个数的绝对值是它本身，这个数是 。一个数的倒数是它本身，这个数是 ；
13、绝对值不大于3的所有整数是 ，其中非正整数是 ；
14、把7-，0，172-，263
， 1.5-，66+按从大到小的顺序排序： 15、若0a a +=，那么a 是 ；
16、若0b a
=，那么一定有（ ） A 、0a b ==； B 、0a =； C 、0,0b a =≠； D 、0a =或0b =；
17、若0,0ab a b >+<，则下面判断中正确的是（ ）
A 、,a b 都是正数；
B 、,a b 都是负数；
C 、,a b 两数为同号；
D 、不能确定；
18、在35
-，23-，58
-三个数中，下列式子中正确的是（ ） A 、325538-<-<-； B 、523835-<-<-； C 、253385-<-<-； D 、235358-<-<- 19、把a b ab a b ab
++化简，可得不同的值的个数有（ ） A 、1个； B 、2个； C 、3个； D 、3个以上；
21、把下列各数分别填入相应的括号内：
137-； 4； 6-； 3.14； 88%； ()32--； ()23-； 5--； 213
； 0.3- 整数：( )； 分数：（ ）
正数：（ ）； 负数：（ ）
有理数：（ ）
22、若a 、b 表示有理数，根据它们所在的点的位置化简下列各式：
(1)a b + (2) a b - (3) a b + （4）a b -
23、计算：
（1）11.56(6 3.34)0.25---+- （2）151
3(0.5)2266??
-++-+????
（3）3
1
10.5 4.2252-+--+?- （4）5849(7)2-+--+-?
（5）2(2)(2)(5)(2)(5)--?+-----÷-（-）+(-5)（-5)
24、已知：6a <-，化简下列各题：
（1）6a + （2）26a + （3）6a +
25、根据图中a 、b 、c 、d 四个数的位置，用“<”表示：
（1）a 、b 、c 、d 的关系： < < < ；
（2）a -、b -、c -、d -的关系： < < < ；
（3）a 、b 、c 、d 的关系： < < < ；
1 a 、
1
b
、
1
c
、
1
d
的关系：< < < ；
（4）
绝对值与一元一次方程 知识纵横 绝对值是初中数学最活跃的概念之一, 能与数学中许多知识关联而生成新的问题,我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程,简称绝对值方程. 解绝对值方程的基本方法有:一是设法去掉绝对值符号,将绝对值方程转化为常见的方程求解;一是数形结合,借助于图形的直观性求解.前者是通法,后者是技巧. 解绝对值方程时,常常要用到绝对值的几何意义,去绝对值的符号法则, 非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法. 例题求解 【例1】方程│5x+6│=6x-5 的解是. 思路点拨设法去掉绝对值符号,将原方程化为一般的一元一次方程来求解. 解:x=11 提示:原方程5x+6=±(6x-5)或从5x+6≥0、5x+6<0 讨论. 【例2】适合│2a+7│+│2a-1│=8的整数a 的值的个数有( ). A.5 B.4 C.3 D.2 思路点拨用分类讨论法解过程繁琐,仔细观察数据特征,借助数轴也许能找到简捷的解题途径. 解:选 B 提示:由已知即在数轴上表示 2a 的点到-7 与+1 的距离和等于 8, 所以 2a 表示-7 到1 之间的偶数. 【例 3】解方程: │x-│3x+1││=4; 思路点拨从内向外,根据绝对值定义性质简化方程. 5解:x=- 4 3 或 x= 2 提示:原方程化为 x-│3x+1=4 或x-│3x+1│=-4
【例 4】解下列方程:
(1)│x+3│-│x -1│=x+1; (2)│x -1│+│x -5│=4. 思路点拨 解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论,采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论;有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解. 解:(1)提示:当 x<-3 时,原方程化为 x+3+(x-1)=x+1,得 x=-5; 当-3≤x<1 时,原方程化为 x+3+x-1=x+1,得 x=-1; 当 x≥1 时,原方程化为 x+3-(x-1)=x+1,得 x=3. 综上知原方程的解为 x=-5,-1,3. (2)提示:方程的几何意义是,数轴上表示数 x 的点到表示数 1 及 5 的距离和等于 4,画出数轴易得满足条件的数为 1≤x≤5,此即为原方程的解. 【例 5】已知关于 x 的方程│x-2│+│x -3│=a ,研究 a 存在的条件,对这个方程的解进行讨论. 思路点拨 方程解的情况取决于 a 的情况,a 与方程中常数 2、3 有依存关系,这种关系决定了方程解的情况,因此,探求这种关系是解本例的关键, 运用分类讨论法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具,读者可从两个思路去解. 解:提示:数轴上表示数x 的点到数轴上表示数2,3 的点的距离和的最小值为1,由此可 得方程解的情况是: (1) 当 a>1 时,原方程解为 x= 5 a ; 2 (2) 当 a=1 时,原方程解为 2≤x≤3; (3) 当 a<1 时,原方程无解.
绝对值专题讲解及训练（培优） 【知识梳理】 1、什么叫绝对值？ 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．例如+5的绝对值等于5，记作|+5|=5；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3． 拓展：︱x －2︱表示的是点x 到点2的距离。 例：（1）｜x|＝5，求x 的值. （2）｜x －3|＝5，求x 的值. 2、绝对值的特点有哪些？ （1）一个正数的绝对值是它本身；例如，|4|＝4 , |＋7.1| ＝ 7.1 （2）一个负数的绝对值是它的相反数；例如，|－2|＝2,|－5.2|＝5.2 （3）0的绝对值是0． 容易看出，两个互为相反数的数的绝对值相等．如|-5|=|+5|=5． 绝对值的性质： ① 对任何有理数a ，都有|a|≥0 ②若|a|=0，则|a|=0，反之亦然 ③若|a|=b ，则a=±b ④对任何有理数a,都有|a|=|-a| 何一个有理数的绝对值都是非负数，即|a ≥|0， (0)|0 (0) (0)a a a a a a >??==??-
一、填空题 1、一个正数的绝对值是＿＿＿＿，一个负数的绝对值是＿＿＿＿，0的绝对值是＿＿＿ 2、绝对值小于3的整数有＿＿＿个，它们是＿＿＿＿＿＿＿＿。 3、用“＞”或“＜”号填空。 －3＿＿－4， －（－4）＿＿－｜－5｜， －65＿＿－7 6 4、若a +｜a ｜＝0，则a ＿＿0，若a －｜a ｜＝0，则a ＿＿0。 5、已知｜a ｜＝73，｜b ｜＝20 9，且b ＜ a ，则a ＝＿＿＿，b ＝＿＿＿。 6、若｜a －2｜＋｜b ＋1｜＝0，则a ＋b ＝＿＿＿。 7、绝对值最小的有理数是＿＿＿，绝对值等于它本身的数是＿＿＿，绝对值等于它的相反数的数是＿＿＿＿。 8、绝对值小于2的整数有＿＿＿个，绝对值不大于3的非负整数是＿＿＿＿＿＿＿。 9、一个数的倒数的绝对值是2 1，则这个数是＿＿＿＿。 10、－31的相反数是＿＿＿，－31的绝对值是＿＿＿，－3 1的倒数是＿＿＿。 11、有理数m ，n 在数轴上的位置如图， 二、选择题 1、－｜－2｜的倒数是（ ）A 、2 B 、21 C 、－2 1 D 、－ 2 2、若｜a ｜＝－a ，则a 一定是（ ） A 、正数 B 、负数 C 、非正数 D 、非负数 3、代数式｜x －2｜＋3的最小值是（ ） A 、0 B 、2 C 、3 D 、5 4、若｜a ｜＝｜b ｜，则a 与b 的关系是（ ） A 、a ＝b B 、a ＝－b C 、a ＝b 或a ＝－b D 、不能确定
5、下面说法中正确的有（ ）个 ①互为相反数的两个数的绝对值相等；②一个数的绝对值是一个正数；③一个数的绝对值的相反数一定是负数；④只有负数的绝对值是它的相反数。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 6、下面说法中错误的有（ ）个。 ①一个数的相反数是它本身，这个数一定是0；②绝对值等于它本身又等于它的相反数的数一定是0；③｜a ｜＞｜b ｜，则a ＞ b ；④两个负数，绝对值大的反而小；⑤任何数的绝对值都不会是负数。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 7、在有理数中，绝对值等于它本身的数有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、无数多个 8、 如果m>0， n<0， m<|n|，那么m ，n ，-m ， -n 的大小关系（ ） A.-n>m>-m>n B.m>n>-m>-n C.-n>m>n>-m D.n>m>-n>-m 9、比较21、31、4 1的大小，结果正确的是（ ） A 、21＜31＜41 B 、21＜41＜3 1 C 、41＜21＜31 D 、31＜21＜41 三、解答题 1、比较下列各组数的大小。 （1）－87与－78 （2）－33 1与－3.3 （3）－3.21与2.9 （4）－｜－2.7｜与－23 2 （5）－（－2）与－｜－2 4、如图所示，已知a ,b 在数轴上的位置，请比较 a ，b ，｜a ｜，｜b ｜的大小。 6、如果a,b 互为相反数，c,d 互为倒数，x 的绝对值是1，求代数式x b a +x 2+cd 的值。 b a 0
数轴与绝对值专项培优 （一）数轴的应用 一、利用数轴直观地解释相反数； 例1：如果数轴上点A 到原点的距离为3，点B 到原点的距离为5，那么A 、B 两点的距离为 。 拓广训练： 1、在数轴上表示数a 的点到原点的距离为3，则._________3=-a 2、已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么所有满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于 。（北京市“迎春杯”竞赛题） 二、利用数轴比较有理数的大小； 例2：已知有理数a 在数轴上原点的右方，有理数b 在原点的左方，那么（ ） A ．b ab < B ．b ab > C ．0>+b a D ．0>-b a 拓广训练： 1、如图b a ,为数轴上的两点表示的有理数，在a b b a a b b a ---+,,2,中，负数的个数有（ ）（“祖冲之杯”邀请赛试题） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2、把满足52≤b a 且0<+b a ，那么有理数b a b a ,,,-的大小关系是 。（用“<”号连接）（北京市“迎春杯”竞赛题） 拓广训练： 1、 若0,0>
专题一 绝对值 题型一、基本定义化简 【典型例题】 例1、（1）已知数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简a b a b b c +++-- (2)已知有理数a , b, c,在数轴上的位置如图所示，化简：a c c b b a ++--+. 例2、已知00x z xy y z x <<>>>， ，，那么x z y z x y +++--= 例3、已知0, >-
题型二、绝对值零点分段化简 【典型例题】 例4、阅读下列材料并解决相关问题： 我们知道()()() 0000x x x x x x >??==??-
数轴与绝对值提高训练 数轴 1、 在数轴上表示数 a 的点到原点的距离为 5,则3 — a = _____________ 2、 数轴上有两点 A 、B ，如果点A 对应的数是 -5，且A 、B 两点的距离为4，则点B 对 应的数是 ______________ 3、 有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简 a b b 1 a c 1 c ? 线上放一个工具箱，使 4个工人到工具箱的距离之和最短，判断工具箱应放的位置？并 说明理由 5、如图：数轴上标出若干个点，每相邻两点相距 1个单位，点 A B 、C 、D 对应的数分别 是整数a 、b 、c 、d ，且d -2a = 10 ，那么数轴的原点应是哪个点？并说明理由 4、如图：在工作流水线上, A B 、C 、D 处各有1名工人，且 AB=BC=CD=2现在工作流水
6、如图：数轴上有6个点，且AB=BC=CD=DE=EF则点E表示的数最接近的整数是多少? A B C D E F —? ------------- ? --------------- ? -------------- ?----------------4---------------- *- -4 第6题13 1 1 7、在数轴上，点A、B分别表示和丄，则线段AB的中点所表示的数是多少? 2 6 8、数轴上有两点A、B，如果点A与原点的距离为3，且A B两点的距离为4，则满足条 件的点B与原点的距离的和多少？
绝对值 1、9 a b有最__________ 值，其值为______________________________ 2、a b 3 有最__________________ 值，其值为 ____________________ 3、若x3x3 0，则x的取值范围为 _________________________________ 4、若x x 1 x 0 ，则x的取值范围为______________________________ 5、若a a ，贝H a 1 2 a _____________________________________ 6、若x 2，则1 1 x ___________________________________________ 7、若x 3，则3 2 1 x| ______________________________________________ 8、若a b a b ，贝U ab ___________ 9、若a b a b，则a、b应满足的关系 10、若3a b0，则a .1 b 2 b a b _ c abc b| c | abc 11、若abc ，则 b 12、若abc
培优专题：借助方程求解数轴上的动点问题(压轴题常考题型) 数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离。为了便于初一年级学生对这类问题的分析，不妨先明确以下几个问题： 1．数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值，也即用右边的数减去左边的数的差。即数轴上两点间的距离=右边点表示的数—左边点表示的数。 2．点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向作运动的速度看作负速度。这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。即一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为a—b；向右运动b个单位后所表示的数为a+b。 3．数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。 一、相关知识准备 1.数轴上表示4和1的两点之间的距离是_____________。 -，则A与B两点之间的距离用式子2.若数轴上点A表示的数为x,点B表示的数为1 可以表示为_____________，若在数轴上点A在点B的右边，则式子可以化简为_____________。 3.A点在数轴上以2个单位长度/秒的速度向右运动，若运动时间为t，则A点运动的路程可以用式子表示为______________。 -,A点在数轴上以2个单位长度/秒的速度向右运动，4.若数轴上点A表示的数为1 若运动时间为t，则A点运动t秒后到达的位置所表示的数可以用式子表示为______________。 答案：1、3； 2、1 x+，x+1； 3、2t； 4、12t -+ 二、已做题再解： 1、半期考卷的第25题：如图所示，在数轴上原点O表示数0，A点在原点的左侧，所表示的数是a，B点在原点的右侧，所表示的数是b，并且a、b满足 - 2 ++8= a16(b)0 （1）点A表示的数为_________，点B表示的数为________。 （2）若点P从点A出发沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度，点Q从点B出发沿数轴向左运动，速度为每秒1个单位长度，P、Q两点同时运动，并且在点C处相遇，试求点C所表示的数。
. 初一数学培优竞赛数轴与绝对值知识要点：数轴上的点与有理数的关系 2、利用数轴比较有理数的大小1、 3、去绝对值的符号法则0)?(aa??0)?0(a|a|? ??0)?(a?a?|ab|=|a||b| 5、绝对值的几何意义：；4、绝对值的基本性质非负性：|a|≥0 二、例题选讲：，则a 0引例：|a|=-a 的值a+1）+|b-2|=0，求a、例题1：已知：（1）（ 2 b 的值，|b|=2，且a
绝对值与数轴 姓名____ 一．知识导引： （1）|a|的几何意义：数轴上表示a 的点到原点的距离；|a －b|的几何意义是：数轴上表示数a 、b 的两点的距离．对于某些问题用绝对值的几何意义来解，直观简捷，事半功倍 (2)代数意义： ①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。 也可以写成： ()()() ||0a a a a a a ???=??-??当为正数当为0当为负数 说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。 二．典例精析： 例1．（体现分类讨论思想）三个数a 、b 、c 的积为负数，和为正数， 且bc bc ac ac ab ab c c b b a a x +++++=，则 123+++cx bx ax 的值是_______ 。 变式：（1）若abc ≠0，求c c b b a a ++的所有可能的值 式x 19+99x+2014之值． 例2. (零点分段法)若 631542+-+-+x x x 的值恒为常数，求x 取值范围及此常数的 值。 变式：(1)若2a+|4-5a|+|1-3a|的值是一个定值，求a 的取值范围___________________. （2）|2-x|-3|x+1|=x-9 （3）|x+1|-|x-2|=x-6． 例3。（绝对值的几何意义）方程132=-+-x x 的解的个数是( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 E 、多于3个 变式：（1）若 |x+1|+|2－x|＝3，则x 的取值范围是_________________________．
例4. 方程|x －1|+|x ＋2|＝4的解为________ 变式：（1）X 是有理数，求22195221100++-x x 的最小值。 （2）|x －2|－| x －5| 的最大值是_______，最小值是_______． （3）在数轴上，找出所有整数点P ，?使它们到点1003?和点-?1003?的距离之和等 于2006，并求出这些整数的和． （4）|x+1|+|x+99|+|x ＋2|＝1996共有（ ）个解． A.．4； B ． 3； C ． 2； D ．1 例5.122-+-++x x x 的最小值是………………… （ ） A. 5 B.4 C.3 D. 2 变式：在式子4321+++++++x x x x 中，用不同的x 值代入，得到对应的值，在这些对应值中，最小的值是( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 例6。求|x －1|+|x －2|+|x －3|+…+|x －2008|的最小值． 结论：设数轴上有n 个定点，当n 为偶数时，到这n 个定点的距离之和最小的点在第～+1个点之间（含两个端点）；当n 为奇数时，到这n 个定点的距离之和最小的点在第个点处． 例7．（ 解不等式） 不等式|x ＋2|+|x －3|＞5的解集是__________． 例8 。对于任意数 x ，若不等式|x ＋2|+|x －4|＞a 恒成立，则a 的取值范围是___________． 例9.已知|x ＋2|+|1－x|＝9－|y －5|－|1+y|，求x+ y 最大值与最小值． 例10：(平方法)已知实数a ，b ，c 满足不等式|a|≥|b+c|，|b|≥|c+a|，|c|≥|a+b|， 求证：a+b+c=0． 第二讲 绝对值与数轴配套练习 姓名____ 1.已知a 、b 、c 在数轴上位置如图： 则代数式 | a | + | a+b | + | c －a | － | b －c | 的值等于（ ） A ．－3a B ． 2c －a C ．2a －2b D ． b 2.已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++ 的值（ ）A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号
绝对值 绝对值的意义： (1)几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|． (2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数； ③零的绝对值是零． 也可以写成： ()()() ||0a a a a a a ???=??-??当为正数当为0当为负数 典型例题 例1．已知a 、b 、c 在数轴上位置如图： 则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ） A ．-3a B ． 2c －a C ．2a －2b D ． b 例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ ） A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号 例3．已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？ 例4．方程x x -=-20082008 的解的个数是（ ）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个 例5．已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值： ()()()()()() 1111112220072007ab a b a b a b ++++++++++ 例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3． 并回答下列各题： （1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___ ． （2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离 说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数； （Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。
绝对值培优（一） 教学目的： 1.会利用零点分段法和分类讨论思想去绝对值符号； 2.深入理解绝对值的几何意义。 重点难点： 1、零点分段法和分类讨论思想 2、利用绝对值的几何意义解决距离问题 知识回顾： 绝对值的意义 （1） 代数意义:一个正数的绝对只是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0. （2） 几何意义：一个数的绝对值是表示这个数的点在数轴上离开原点的距离。 1、 绝对值的常用性质： ⑴非负性：任何一个数的绝对值都是非负数，即|a|≥0. ⑵双解性：绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数（0除外），即若|x|＝a ﹙a ＞0﹚则x ＝±a. ⑶|－a|＝|a| ⑷|a|≥a ⑸(|a|)2＝|a 2|﹦a 2 ⑹|ab|﹦|a|?|b| ⑺|b a b a =﹙b ≠0﹚ 解题技巧： 解答绝对值问题，常用的思维方法有： 1、分类讨论思想：去掉含字母的绝对值时，需要对字母取值加以讨论。 2、数形结合思想：绝对值问题通常会和数轴联系在一起。 3、 零点分段法：多个绝对值化简时常用。 ☆教学过程： ★基础知识检测：
★典例解析： ★.求未知数 例1：若5a =，则a = 。若0a =，则a = 思考提示：根据绝对值定义：数轴到原点距离是5和0的点有几个？是多少？ 变式1:若9x =-，则x = ； 若()2.8x =--，则x = ； 若2x -=-，则x = ； 变式2：25x -=若，则x = 若21 3.5x -=，则x = 。 ★.非负数的性质应用 例2：若320a b ++-=，则a b += 。思考提示：两个最小是0的数加在一起等于0说明什么呢？ 变式：1：非负数类型玩花样：若()2120a b -++=，则()2009a b += 。
七年级数学培优专题讲解 绝对值培优 一、 绝对值的意义： (1)几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|。 (2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数； ③零的绝对值是零。 也可以写成： ()()() ||0a a a a a a ???=??-??当为正数当为0当为负数 二、 典型例题 例1．已知a 、b 、c 在数轴上位置如图： 则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ） A ．-3a B ． 2c －a C ．2a －2b D ． b 例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ ） A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号 例3．已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？ 例4．方程x x -=-20082008 的解的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个 例5．已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值： ()()()() ()()1111112220072007ab a b a b a b ++++++++++ 说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数； （Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。
例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3. 并回答下列各题： （1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___ . （2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离 可以表示为 ________________. （3）结合数轴求得23x x -++的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 ___. （4） 满足341>+++x x 的x 的取值范围为 ______ . （5）若1232008x x x x -+-+-++-的值为常数，试求x 的取值范围． 例7.若24513a a a +-+-的值是一个定值，求a 的取值范围. 例8.已知112x x ++-=，化简421x -+-． 例9.若245134x x x +-+-+的值恒为常数，则x 应满足怎样的条件？此常数的值为多少？
2．1有理数 一、 选择题： 1.下面说法中正确的是 （ ）A ．“向东5米”与“向西10米”不是相反意义的量； B ．如果汽球上升25米记作+25米，那么-15米的意义就是下降-15米； C ．如果气温下降6℃记作-6℃，那么+8℃的意义就是零上8℃； D ．若将高1米设为标准0，高1.20米记作+0.20米，那么-0.05米所表示的高是0.95米．.. 2、0是（ ）A. 正数 B. 负数 C. 整数 D. 正有理数 3、 下列说法中正确的是（ ） A. 整数又叫自然数 B. 0是整数 C. 一个数不是正数就是负数 D. 0不是自然数 4、下面说法中，不正确的是 （ ） A ．在有理数中，零的意义仅表示没有； B ．0不是正数，也不是负数，但是有理数； C ．0是最小的整数； D ．0不是偶数． 二、 填空题：1.用正数或负数表示下列各题中的数量： (1)如果火车向东开出400千米记作+400千米，那么火车向西开出4000千米，记作______； (2)球赛时，如果胜2局记作+2，那么-2表示______； (3)若-4万表示亏损4万元，那么盈余3万元记作______； (4)+150米表示高出海平面150米，低于海平面200米应记作______； 2、最小的自然数是 ，最大的负整数是 ，最小的非负整数是 。 3. 将下列各数分别填入相应的大括号里：5，-65 ，2013，-0.2，6.8，0，-92 ，-10，8 5 ，-2。 正数集合{ } 整数集合{ } 负数集合{ } 分数集合{ } 4. 不用负数，请讲出下列各题的意义。 （1）某公司在2013年上半年营销情况是-20万元。 （2）向西走了-40米。 （3）运走-60吨大米。 三、 解答题： 1、 把下列各数分别填在题后相应的集合中：-15 ，0，-1，0.7，2，-3， 27 8 ，-15.1，+28。 （1）正数集合： （2）负数集合： （3）整数集合： （4）分数集合： （5）正整数集合： （6）负整数集合： （7）正分数集合： 2、某地一天中午12时的气温是6°C ，傍晚5时的气温比中午12时下降了4°C ，凌晨4时的温度比傍晚5时还
初中部 七 年级 数学 (学科)导学案 学案编号： 班级： 姓名： 执笔： 陈懿 审核： 审批： 印数： 42 教师评价： 课题：绝对值化简（与数轴结合） 〖学习目标〗通过实数在数轴上的位置，判断数的大小，去绝对值符号 〖重点难点预见〗读懂数轴判断数的大小 〖学习流程〗 一.知识回顾： 回顾数轴表示数的意义 二.自主学习： 如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，求a b a c b c ++--+的值. 小结：如何通过数轴判断正负，去掉绝对值符号 三．课堂练习 1.已知有理数a 、b 的和a b +及差a b -在数轴上如图所示，化简227a b a b +---． a-b a+b 1 0-1 2.数a b ，在数轴上对应的点如右图所示，试化简a b b a b a a ++-+-- b a 3.实数a b c ，，在数轴上的对应点如图，化简a c b a b a c +--++- c b a 四.课堂检测： 1.实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则代数式 的值等于（ ）． （A ） （B ） （C ） （D ） b -1 c 0 a 1
2已知有理数c b a ,,在数轴上的对应点的位置如图所示：那么求a c c b b a -+---的值 3.有理数c b a ,,在数轴上对应的点（如下图）,图中O 为原点，化简 a c b b a b a --+++-。 4.a 、b 、c 的大小关系如图所示，求 a b b c c a ab ac a b b c c a ab ac -----++ ----的值． c 1 b a 五.小结反思： a c x b a c x 0 b
七年级数学培优专题讲解——绝对值培优 绝对值的意义： (1)几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|． (2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数； ③零的绝对值是零． 也可以写成： ()()() ||0a a a a a a ???=??-??当为正数当为0当为负数 典型例题 例1．已知a 、b 、c 在数轴上位置如图： 则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ） A ．-3a B ． 2c －a C ．2a －2b D ． b 例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ ） A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号 例3．已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？ 例4．方程x x -=-20082008 的解的个数是（ ）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个 例5．已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值： ()()()()()() 1111112220072007ab a b a b a b ++++++++++ 例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3． 并回答下列各题： （1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___ ． （2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离 说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数； （Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。
专题训练（一）数轴与绝对值的应用 类型一数轴与绝对值的综合应用 1．如图，数轴上A，B，C三点表示的数分别为a，b，c，且AB＝BC．如|b|＜|a|＜|c|，那么关于原点O的位置，下列说法正确的是（） A．.在B，C之间更靠近B B．.在B，C之间更靠近C C．.在A，B之间更靠近B D．.在A，B之间更靠近A 2．已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，且|a﹣c|＝|b﹣c|＝|d﹣a|＝1（a ≠b），则线段BD的长度为． 类型二利用绝对值的性质求字母或式子的值 3．若a≠0，b≠0，且，则的值为（） A．1或﹣1B．﹣1C．1D．0 4．已知|a﹣1|+|b﹣2|+|c﹣3|＝0，求式子2a-b-c的值为． 5．若|a|＝19，|b|＝97，且|a+b|＝|a|+|b|，求a+b的值为． 6．已知a，b，c都是有理数，且满足＝1，那么6﹣＝．类型三绝对值在计算中的应用 7．在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉． 例如：|6+7|＝6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7． （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： ①|7﹣21|＝；②|﹣+0.8|＝；③|﹣|＝； （2）用合理的方法计算：|﹣|﹣|﹣|-|﹣|．
类型四绝对值在生活中的应用 8．一只小虫从某点O出发，在一条直线上来回爬行，如果把向右爬行的路程记为正数，把向左爬行的路程记为负数，则小虫爬过的各段路程（单位：cm）依次为：+5，﹣2，+10，﹣8，﹣6，+12，﹣11．在爬行中如果每爬行1cm奖励一粒芝麻，则小虫一共得到了几粒芝麻？
七年级数学培优专题讲解 绝对值培优 一、 绝对值的意义： (1)几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|。 (2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数； ③零的绝对值是零。 也可以写成： ()()() ||0a a a a a a ???=??-??当为正数当为0当为负数 二、 典型例题 例1．已知a 、b 、c 在数轴上位置如图： 则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ） A ．-3a B ． 2c －a C ．2a －2b D ． b 例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ ） A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号 例3．已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？ 例4．方程x x -=-20082008 的解的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个 例5．已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值： ()()()()()( )1111 112220072007ab a b a b a b ++++++++++ 说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数； （Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。
例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3. 并回答下列各题： （1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___ . （2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离 可以表示为 ________________. （3）结合数轴求得23x x -++的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 ___. （4） 满足341>+++x x 的x 的取值范围为 ______ . （5）若1232008x x x x -+-+-++-的值为常数，试求x 的取值范围． 例7.若24513a a a +-+-的值是一个定值，求a 的取值范围. 例8.已知112x x ++-=，化简421x -+-． 例9.若245134x x x +-+-+的值恒为常数，则x 应满足怎样的条件？此常数的值为多少？ 练习题 1.如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，求a b a c b c ++--+的值. b -1 c 0 a 1
精品文档 例4.（整体思想）方程|x 2008 2008 x 的解的个数是（） 绝对值的意义: （1） 几何意义：一般地，数轴上表示数 （2） 代数意义：①正数的绝对值是它的 本身; ③零的绝对值是零。 典型例题： 例1.（数形结合思想）已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ） A . -3a B .2c — a C . 2a — 2b D . b b a 0 c 例 2.已知：x 0 z , xy 0,且 | y| |z| |x|,那么 | x z| |y z| |x y\ 的 值（ ） A.是正数 B.是负数 C.是零 D.不能确定符号 b -1 c 0 a 1 例3.（分类讨论思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的 3倍，且在数轴上表 示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为 8,求这两个数；若数轴上表 示这两数的点位于原点同侧呢？ 绝对值培优训练 a 的点到原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作|a|。 ②负数的绝对值是它的相反数； a 当a 为正数 也可以写成：|a| 0当a 为0 a 当a 为负数 说明：（I ） |a| > 0即|a|是一个非负数； （n ） |a|概念中蕴含分类讨论思想。 1?如果有理数a 、b 、 c 在数轴上的位置如图所示，求 |ab |ac | |bc | 的值 .
A. 1个B . 2个C . 3个D .无穷多个 例5.(非负性)已知|ab—2|与|a- 1|互为相互数，试求下式的值. 11 1 L 1 ab a 1 b 1 a 2 b 2 a 2007 b 2007 例6.(距离问题)观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与2 ,3与5, 2与 6 , 4与3. 并回答下列各题： (1) 你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：________ - (2) 若数轴上的点A表示的数为X,点B表示的数为一1,则A与B两点间的距离 可以表示为___________________ (3) ______________________________________ 结合数轴求得|x 2 |x 3的最小值为 ____________________________________________ ，取得最小值时X的取值范围为 (4) 满足|x 1| |x 4 3的x的取值范围为 _________________ . 例1?若2a |45 |1 3a|的值是一个定值，求a的取值范围 例2?已知x 1 x 1 2，化简 4 2 |x 1| 例3?若2x 4 5x| |1 3x 4的值恒为常数，则x应满足怎样的条件？此常数的值为多少?
2020-2021学年浙教版七年级上册数轴与绝对值专题培优姓名班级学号 基础巩固 1.有下列语句:①数轴上的点只能表示整数；②数轴是一条线段；③数轴上的一个点只能表示一个数；④数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点；⑤数轴上的点所表示的数都是有理数.其中正确的有（）. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.在数轴上，原点及原点右边的点表示的数是（）. A.正数 B.整数 C.非负数 D.非正数 3.下列说法中，正确的是（）. A.如果两个有理数不相等，那么这两个数的绝对值也一定不相等 B.任何一个数的相反数与这个数一定不相等 C.如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个有理数不相等 D.如果两个数的绝对值相等，且符号相反，那么这两个数互为相反数 4.若-|a| =-3.2，则a是（）. A.3.2 B. - 3.2 C.±3.2 D.以上都不对 5.如图所示，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位是1 cm），刻度尺上“1 cm”和“9 cm”分别对应数轴上的-3和x，那么x的值为 _________ . 6.在数- 0.34，-（-1 2），0.3，- 35%，0. 33 . 4 . ，|- 1 4|中，最大的数是 _________ ，最小的数是 _________ . 7.填空: （1）-1的绝对值是 _________ . （2）0.6的绝对值是 _________ . （3）-|-2| = _________ . （4） _________ 的相反数的绝对值是61 2. （5）若-|a| =-2，则a = _________ .
8.|-8|的相反数是 _________ ；| + 8|的相反数是 _________ ；|- 2.8|的绝对值 是 _________ ；-（+ 5）的绝对值是 _________ ；-365的绝对值的相反数是_________ . 9.小惠和小红在学校操场的旗杆前玩“石头、剪刀、布”的游戏，规则如下:在每一 个回合中，若某一方赢了对方，便可向右走2 m，而输的一方则向右走- 3 m，平局的话就原地不动，最先向右走18 m的便是胜方.假设游戏开始时，两人均在旗杆处. （1）若小惠在前四个回合中都输了，则她会站在什么位置? （2）若小红在前三个回合中赢了两次输了一次，则她会站在什么位置? （3）假设经过五个回合后，小红仍然站在旗杆处，且没有猜平局（即五个回合中没有出现平局的情况）.问:小惠此时会站在什么位置. 10.已知|a| = 3，|b| = 5，a与b异号，求|a - b|的值. 11.同学们都知道|5-（-2）|表示5与（-2）之差的绝对值，也可理解为5与- 2 两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索: （1）求|5 -（- 2）| = _________ . （2）找出所有符合条件的整数x，使得|x+ 5|+ |x-2|= 7成立的整数是_________ . （3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x-3| + |x- 6|是否有最小值?如果有，请写出最小值；如果没有，请说明理由.