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数轴绝对值培优

初一数学培优竞赛数轴与绝对值知识要点：数轴上的点与有理数的关系 2、利用数轴比较有理数的大小1、 3、去绝对值的符号法则0)?(aa??0)?0(a|a|?

??0)?(a?a?|ab|=|a||b| 5、绝对值的几何意义：；4、绝对值的基本性质非负性：|a|≥0 二、例题选讲：，则a 0引例：|a|=-a

的值a+1）+|b-2|=0，求a、例题1：已知：（1）（

2 b

的值，|b|=2，且a

(a?2)(?b?2)2011)(b?2011)?ab(a1)(b?1)(a

例题4 有理数a，b，c 在数轴上的位置如图所示：

cab10 1-c│，│a-c│-?│-m=若│a+b│-│b-1│1000m=

则在数轴上的位置如图所示，练习：如图：a , b , c

oabc a-b|+|-2c|+|c+b|+|3b|

试化简：︳ b）|ab|+|a+b|=1的所有整数对（a，例题6 已知求满足【基础夯实】

一、选择题a,b,c在数轴上的位置如图所示，则a,b, -c由小到大的顺序是 1．数（）

A. a,-c,b

B. b,a,-c

C. a, b,-c

D. b,-c,a

2．四个互不相等的整数的积是9，那么这四个整数的和等于（）

A.27

B.0

C.9

D.以上答案都不对

?a=-a,那么 ( )

3．如果A.-a一定是负数; ;

一定非负数B.-a

;..

aa.

D.- 不能是零C.一定是正数;

( )

成立的是4．下列各式的结论,nmnm A.则若若m>n,> = ,则m=n B.

nmmn.

若m>,则m>n 若 C.D.

（）a+b>0，则a-b的值是，且5．若|a|=8，|b|=5-13 或-3 D.-3或A.3或13 B.13或 -13 C.3 二、解答题 c-b│．│a+c│

+│6．设有理数在数轴上对应点如图所示，化简│b-a│+

|2x-1|+|x-2| ．化简7

【能力拓展】a?3?2a?4,?0?a（）的最大值等于1、已知那么

A. 1

B. 5

C. 8

D. 3

） 2、满足|a-b|=|a|+|b|成立的条件是

（1??0D.abCabA.?0B.ab?1.ab

绝对有理数运算及后续二次根式的基础．绝对值是我们初中代数中的一个基本概念，是学习相反数、、函数中距离等问题、解不等(组))值又是初中代数中的一个重要概念，在解代数式化简求值、解方程（组有着广泛的应用，全面理解、掌握绝对值这一概念，应从以下方面人手：)a?0_____(??

)0?a?_____(a l．绝对值的代数意义：??)0_____(a??a；长度，非负表示

_____________________的距离() 2．绝对值的几何意义从数轴上看，ba?．表示

__________________________ 3．绝对值基本性质;..

aa222baa?0ab??)0?(b?aaa??；③；④①非负性：；②．bb培优讲解（一）、

绝对值的非负性问题??zx?y05?x?3?y?1?z?】若。，则【例1

。总结：若干非负数之和为0，

、绝对值中的整体思想（二）b?a4,ab??5a?b?a?b．2【例，那么，且】已知= m_______1; 1，则|m－1|>m－－1|=m－1，则m_______1; 若若变式1. |m 、绝对值相关化简问题（零点分段法）（三）】阅读下列材料并解决有关问题：【例3??0xx?????0x?x0?，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式我们知道????0x??x?

2,1?2??x?1,x2x?12x??xx?1?0?x?10x?2?的，分别求得与和（称时，可令分别为

1x??2x? 3零点值）。在有理数范围内，零点值和种情况：可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下????1?x?x?1??2x??21??x; ）当时，原式=（1??3?2?x1??x2?1??x；时，原式=（2）当12x?1?x?2??x2x?时，原式（3）当=。??1?1x???2x????2?x3??1综上讨论，原式=????2?x1x?2?通过以上阅读，请你解决以下问题：4?2x??4xx2??x 2）化简代数式（1（）分别求出和的零点值；

;..

12x?3??xx?1；(2) 变式1.化简(1) ；

2x?x3?x?2?3?x?aba?b已知的值。，求的最大值为的最小值是，变式2.

bb?a a表示数轴上表示数、（四）的两点间的距离．、数42??2?6?与，与3与【例4】（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与5，， 3.

并回答下列各题：. ）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：（1___ 两点间的距离A与Bx，点B表示的数为―1，则（2）若数轴上的点A表示的数为______________.

可以表示为

3??xx?2___. ，取得最小值时x的取值范围为（3的最小值为）结合数轴求得

x3??x?4x?1. （4）______ 满足的的取值范围为

?3??x2?x?2008?x?1x?的值为常数，试求（5）的取值范围．若x

（五）、绝对值的最值问题xx2?x?5x?3有最取何值时，2有最小值？这个最小值是多

少？（】【例5（1）当取何值时，）当5?4x?x?97x??x?8x?? 4）求大值？这个最大值是多少？（3的最小值。（）求的最小值。;..

;..

初一数学绝对值与一元一次方程培优专项训练(含答案)

绝对值与一元一次方程知识纵横绝对值是初中数学最活跃的概念之一, 能与数学中许多知识关联而生成新的问题,我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程,简称绝对值方程. 解绝对值方程的基本方法有:一是设法去掉绝对值符号,将绝对值方程转化为常见的方程求解;一是数形结合,借助于图形的直观性求解.前者是通法,后者是技巧. 解绝对值方程时,常常要用到绝对值的几何意义,去绝对值的符号法则, 非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法. 例题求解【例1】方程│5x+6│=6x-5 的解是. 思路点拨设法去掉绝对值符号,将原方程化为一般的一元一次方程来求解. 解:x=11 提示:原方程5x+6=±(6x-5)或从5x+6≥0、5x+6<0 讨论. 【例2】适合│2a+7│+│2a-1│=8的整数a 的值的个数有( ). A.5 B.4 C.3 D.2 思路点拨用分类讨论法解过程繁琐,仔细观察数据特征,借助数轴也许能找到简捷的解题途径. 解:选 B 提示:由已知即在数轴上表示 2a 的点到-7 与+1 的距离和等于 8, 所以 2a 表示-7 到1 之间的偶数. 【例 3】解方程: │x-│3x+1││=4; 思路点拨从内向外,根据绝对值定义性质简化方程. 5解:x=- 4 3 或 x= 2 提示:原方程化为 x-│3x+1=4 或x-│3x+1│=-4

【例 4】解下列方程:

(1)│x+3│-│x -1│=x+1; (2)│x -1│+│x -5│=4. 思路点拨解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论,采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论;有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解. 解:(1)提示:当 x<-3 时,原方程化为 x+3+(x-1)=x+1,得 x=-5; 当-3≤x<1 时,原方程化为 x+3+x-1=x+1,得 x=-1; 当 x≥1 时,原方程化为 x+3-(x-1)=x+1,得 x=3. 综上知原方程的解为 x=-5,-1,3. (2)提示:方程的几何意义是,数轴上表示数 x 的点到表示数 1 及 5 的距离和等于 4,画出数轴易得满足条件的数为 1≤x≤5,此即为原方程的解. 【例 5】已知关于 x 的方程│x-2│+│x -3│=a ,研究 a 存在的条件,对这个方程的解进行讨论. 思路点拨方程解的情况取决于 a 的情况,a 与方程中常数 2、3 有依存关系,这种关系决定了方程解的情况,因此,探求这种关系是解本例的关键, 运用分类讨论法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具,读者可从两个思路去解. 解:提示:数轴上表示数x 的点到数轴上表示数2,3 的点的距离和的最小值为1,由此可得方程解的情况是: (1) 当 a>1 时,原方程解为 x= 5 a ; 2 (2) 当 a=1 时,原方程解为 2≤x≤3; (3) 当 a<1 时,原方程无解.

初一绝对值专项培优训练

绝对值专题讲解及训练（培优）【知识梳理】 1、什么叫绝对值？在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．例如+5的绝对值等于5，记作|+5|=5；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3．拓展：︱x －2︱表示的是点x 到点2的距离。例：（1）｜x|＝5，求x 的值. （2）｜x －3|＝5，求x 的值. 2、绝对值的特点有哪些？（1）一个正数的绝对值是它本身；例如，|4|＝4 , |＋7.1| ＝ 7.1 （2）一个负数的绝对值是它的相反数；例如，|－2|＝2,|－5.2|＝5.2 （3）0的绝对值是0．容易看出，两个互为相反数的数的绝对值相等．如|-5|=|+5|=5．绝对值的性质： ① 对任何有理数a ，都有|a|≥0 ②若|a|=0，则|a|=0，反之亦然 ③若|a|=b ，则a=±b ④对任何有理数a,都有|a|=|-a| 何一个有理数的绝对值都是非负数，即|a ≥|0， (0)|0 (0) (0)a a a a a a >??==??-

绝对值同步练习培优

一、填空题 1、一个正数的绝对值是＿＿＿＿，一个负数的绝对值是＿＿＿＿，0的绝对值是＿＿＿ 2、绝对值小于3的整数有＿＿＿个，它们是＿＿＿＿＿＿＿＿。 3、用“＞”或“＜”号填空。－3＿＿－4，－（－4）＿＿－｜－5｜，－65＿＿－7 6 4、若a +｜a ｜＝0，则a ＿＿0，若a －｜a ｜＝0，则a ＿＿0。 5、已知｜a ｜＝73，｜b ｜＝20 9，且b ＜ a ，则a ＝＿＿＿，b ＝＿＿＿。 6、若｜a －2｜＋｜b ＋1｜＝0，则a ＋b ＝＿＿＿。 7、绝对值最小的有理数是＿＿＿，绝对值等于它本身的数是＿＿＿，绝对值等于它的相反数的数是＿＿＿＿。 8、绝对值小于2的整数有＿＿＿个，绝对值不大于3的非负整数是＿＿＿＿＿＿＿。 9、一个数的倒数的绝对值是2 1，则这个数是＿＿＿＿。 10、－31的相反数是＿＿＿，－31的绝对值是＿＿＿，－3 1的倒数是＿＿＿。 11、有理数m ，n 在数轴上的位置如图，二、选择题 1、－｜－2｜的倒数是（）A 、2 B 、21 C 、－2 1 D 、－ 2 2、若｜a ｜＝－a ，则a 一定是（） A 、正数 B 、负数 C 、非正数 D 、非负数 3、代数式｜x －2｜＋3的最小值是（） A 、0 B 、2 C 、3 D 、5 4、若｜a ｜＝｜b ｜，则a 与b 的关系是（） A 、a ＝b B 、a ＝－b C 、a ＝b 或a ＝－b D 、不能确定

5、下面说法中正确的有（）个 ①互为相反数的两个数的绝对值相等；②一个数的绝对值是一个正数；③一个数的绝对值的相反数一定是负数；④只有负数的绝对值是它的相反数。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 6、下面说法中错误的有（）个。 ①一个数的相反数是它本身，这个数一定是0；②绝对值等于它本身又等于它的相反数的数一定是0；③｜a ｜＞｜b ｜，则a ＞ b ；④两个负数，绝对值大的反而小；⑤任何数的绝对值都不会是负数。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 7、在有理数中，绝对值等于它本身的数有（） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、无数多个 8、如果m>0， n<0， m<|n|，那么m ，n ，-m ， -n 的大小关系（） A.-n>m>-m>n B.m>n>-m>-n C.-n>m>n>-m D.n>m>-n>-m 9、比较21、31、4 1的大小，结果正确的是（） A 、21＜31＜41 B 、21＜41＜3 1 C 、41＜21＜31 D 、31＜21＜41 三、解答题 1、比较下列各组数的大小。（1）－87与－78 （2）－33 1与－3.3 （3）－3.21与2.9 （4）－｜－2.7｜与－23 2 （5）－（－2）与－｜－2 4、如图所示，已知a ,b 在数轴上的位置，请比较 a ，b ，｜a ｜，｜b ｜的大小。 6、如果a,b 互为相反数，c,d 互为倒数，x 的绝对值是1，求代数式x b a +x 2+cd 的值。 b a 0

绝对值与数轴专项培优

数轴与绝对值专项培优（一）数轴的应用一、利用数轴直观地解释相反数；例1：如果数轴上点A 到原点的距离为3，点B 到原点的距离为5，那么A 、B 两点的距离为。拓广训练： 1、在数轴上表示数a 的点到原点的距离为3，则._________3=-a 2、已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么所有满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于。（北京市“迎春杯”竞赛题）二、利用数轴比较有理数的大小；例2：已知有理数a 在数轴上原点的右方，有理数b 在原点的左方，那么（） A ．b ab < B ．b ab > C ．0>+b a D ．0>-b a 拓广训练： 1、如图b a ,为数轴上的两点表示的有理数，在a b b a a b b a ---+,,2,中，负数的个数有（）（“祖冲之杯”邀请赛试题） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2、把满足52≤b a 且0<+b a ，那么有理数b a b a ,,,-的大小关系是。（用“<”号连接）（北京市“迎春杯”竞赛题）拓广训练： 1、若0,0>，比较m n n m n m n m --+--,,,,的大小，并用“>”号连接。三、利用数轴解决与绝对值相关的问题。例4：有理数c b a ,,在数轴上的位置如图所示，式子c b b a b a -++++化简结果为（） A ．c b a -+32 B ．c b -3 C ．c b + D ．b c - 拓广训练： 1、有理数c b a ,,在数轴上的位置如图所示，则化简c c a b b a ------+11的结果为。 2、已知b b a b a 2=-++，在数轴上给出关于b a ,的四种情况如图所示，则成立的是。

培优专题一绝对值

专题一绝对值题型一、基本定义化简【典型例题】例1、（1）已知数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简a b a b b c +++-- (2)已知有理数a , b, c,在数轴上的位置如图所示，化简：a c c b b a ++--+. 例2、已知00x z xy y z x <<>>>，，，那么x z y z x y +++--= 例3、已知0, >-

题型二、绝对值零点分段化简【典型例题】例4、阅读下列材料并解决相关问题：我们知道()()() 0000x x x x x x >??==??-

初一数轴与绝对值提高训练可(可用)

数轴与绝对值提高训练数轴 1、在数轴上表示数 a 的点到原点的距离为 5,则3 — a = _____________ 2、数轴上有两点 A 、B ，如果点A 对应的数是 -5，且A 、B 两点的距离为4，则点B 对应的数是 ______________ 3、有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简 a b b 1 a c 1 c ? 线上放一个工具箱，使 4个工人到工具箱的距离之和最短，判断工具箱应放的位置？并说明理由 5、如图：数轴上标出若干个点，每相邻两点相距 1个单位，点 A B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ，且d -2a = 10 ，那么数轴的原点应是哪个点？并说明理由 4、如图：在工作流水线上, A B 、C 、D 处各有1名工人，且 AB=BC=CD=2现在工作流水

6、如图：数轴上有6个点，且AB=BC=CD=DE=EF则点E表示的数最接近的整数是多少? A B C D E F —? ------------- ? --------------- ? -------------- ?----------------4---------------- *- -4 第6题13 1 1 7、在数轴上，点A、B分别表示和丄，则线段AB的中点所表示的数是多少? 2 6 8、数轴上有两点A、B，如果点A与原点的距离为3，且A B两点的距离为4，则满足条件的点B与原点的距离的和多少？

初一培优专题：数轴上动点问题(有答案)

培优专题：借助方程求解数轴上的动点问题(压轴题常考题型) 数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离。为了便于初一年级学生对这类问题的分析，不妨先明确以下几个问题： 1．数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值，也即用右边的数减去左边的数的差。即数轴上两点间的距离=右边点表示的数—左边点表示的数。 2．点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向作运动的速度看作负速度。这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。即一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为a—b；向右运动b个单位后所表示的数为a+b。 3．数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。一、相关知识准备 1.数轴上表示4和1的两点之间的距离是_____________。 -，则A与B两点之间的距离用式子2.若数轴上点A表示的数为x,点B表示的数为1 可以表示为_____________，若在数轴上点A在点B的右边，则式子可以化简为_____________。 3.A点在数轴上以2个单位长度/秒的速度向右运动，若运动时间为t，则A点运动的路程可以用式子表示为______________。 -,A点在数轴上以2个单位长度/秒的速度向右运动，4.若数轴上点A表示的数为1 若运动时间为t，则A点运动t秒后到达的位置所表示的数可以用式子表示为______________。答案：1、3； 2、1 x+，x+1； 3、2t； 4、12t -+ 二、已做题再解： 1、半期考卷的第25题：如图所示，在数轴上原点O表示数0，A点在原点的左侧，所表示的数是a，B点在原点的右侧，所表示的数是b，并且a、b满足 - 2 ++8= a16(b)0 （1）点A表示的数为_________，点B表示的数为________。（2）若点P从点A出发沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度，点Q从点B出发沿数轴向左运动，速度为每秒1个单位长度，P、Q两点同时运动，并且在点C处相遇，试求点C所表示的数。