圆锥曲线直线与圆锥曲线的位置关系

圆锥曲线直线与圆锥曲线的位置关系

集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#

直线与圆锥曲线位置关系

一、基础知识：

（一）直线与椭圆位置关系

1、直线与椭圆位置关系：相交（两个公共点），相切（一个公共点），相离（无公共点）

2、直线与椭圆位置关系的判定步骤：通过方程根的个数进行判定，

下面以直线y kx m =+和椭圆：()22

2210x y a b a b

+=>>为例

（1）联立直线与椭圆方程：222222

y kx m

b x a y a b

=+??+=? （2）确定主变量x （或y ）并通过直线方程消去另一变量y （或x ），代入椭圆方程得到关于主变量的一元二次方程：()2

22222b x a kx m a b ++=，整理可得：

（3）通过计算判别式?的符号判断方程根的个数，从而判定直线与椭圆的位置关系 ① 0?>?方程有两个不同实根?直线与椭圆相交 ② 0?=?方程有两个相同实根?直线与椭圆相切 ③ 0?

3、若直线上的某点位于椭圆内部，则该直线一定与椭圆相交 （二）直线与双曲线位置关系

1、直线与双曲线位置关系，相交，相切，相离

2、直线与双曲线位置关系的判定：与椭圆相同，可通过方程根的个数进行判定

以直线y kx m =+和椭圆：()22

2210x y a b a b

-=>>为例：

（1）联立直线与双曲线方程：222222

y kx m

b x a y a b =+??-=?

，消元代入后可得：

（2）与椭圆不同，在椭圆中，因为2220a k b +>，所以消元后的方程一定是二次方程，但双曲线中，消元后的方程二次项系数为222b a k -，有可能为零。所以要分情况进行讨论

当2220b

b a k k a -=?=±且0m ≠时，方程变为一次方程，有一个根。此时直线与双曲

线相交，只有一个公共点 当2220b b

b a k k a a

->?-<<时，常数项为()22220a m a b -+<，所以0?>恒成立，此时直线与双曲线相交 当2220b b a k k a -

或b

k a

<-时，直线与双曲线的公共点个数需要用?判断： ① 0?>?方程有两个不同实根?直线与双曲线相交 ② 0?=?方程有两个相同实根?直线与双曲线相切 ③ 0?

注：对于直线与双曲线的位置关系，不能简单的凭公共点的个数来判定位置。尤其是直线与双曲线有一个公共点时，如果是通过一次方程解出，则为相交；如果是通过二次方程解出相同的根，则为相切

（3）直线与双曲线交点的位置判定：因为双曲线上的点横坐标的范围为

(][),,a a -∞-+∞，所以通过横坐标的符号即可判断交点位于哪一支上：当x a ≥时，点

位于双曲线的右支；当x a ≤时，点位于双曲线的左支。对于方程：

()()2

2222222220b

a k x a kxm a m a

b ---+=，设两个根为12,x x

① 当2

2

2

0b b

b a k k a a

->?-<<时，则2222122

22

0a m a b x x b a k +=-<-，所以12,x x 异号，即交点分别位于双曲线的左，右支

② 当2

2

2

0b b a k k a -或b

k a

<-，且0?>时，2222122

22

0a m a b x x b a k +=->-，所以12,x x 同号，即交点位于同一支上

（4）直线与双曲线位置关系的几何解释：通过（2）可发现直线与双曲线的位置关系与

直线的斜率相关，其分界点b

a ±刚好与双曲线的渐近线斜率相同。所以可通过数形结合

得到位置关系的判定

① b

k a =±且0m ≠时，此时直线与渐近线平行，可视为渐近线进行平移，则在平移过程

中与双曲线的一支相交的同时，也在远离双曲线的另一支，所以只有一个交点 ② b b

k a a

-

<<时，直线的斜率介于两条渐近线斜率之中，通过图像可得无论如何平移直线，直线均与双曲线有两个交点，且两个交点分别位于双曲线的左，右支上。 ③ 2220b b a k k a -

或b

k a

<-时，此时直线比渐近线“更陡”，通过平移观察可得：直线不一定与双曲线有公共点（与?的符号对应），可能相离，相切，相交，如果相交则交点位于双曲线同一支上。

（三）直线与抛物线位置关系：相交，相切，相离

1、位置关系的判定：以直线y kx m =+和抛物线：()220y px p =>为例

联立方程：()2

2

22y kx m kx m px y px

=+??+=?=?，整理后可得： （1）当0k =时，此时方程为关于x 的一次方程，所以有一个实根。此时直线为水平线，与抛物线相交

（2）当0k ≠时，则方程为关于x 的二次方程，可通过判别式进行判定 ① 0?>?方程有两个不同实根?直线与抛物线相交 ② 0?=?方程有两个相同实根?直线与抛物线相切 ③ 0?

2、焦点弦问题：设抛物线方程：22y px =，

过焦点的直线:2p l y k x ?

?=- ??

?（斜率存在且0k ≠），对应倾斜角为θ，与抛物线交于

()()1122,,,A x y B x y

联立方程：22

2

2222y px p k x px p y k x ?=????-=??

? ?=-?? ?

????，整理可得： （1）2

124

p x x ?= 212y y p =-

（2）2212222222121k p p k p p AB x x p p p k k k ++?

?=++=+==+ ???

（3）()2

21112sin sin 2222sin 2sin AOB

O l p p p S

d AB OF AB θθθθ

-=??=???=???= （四）圆锥曲线问题的解决思路与常用公式： 1、直线与圆锥曲线问题的特点：

（1）题目贯穿一至两个核心变量（其余变量均为配角，早晚利用条件消掉）， （2）条件与直线和曲线的交点相关，所以可设()()1122,,,A x y B x y ，至于,A B 坐标是否需要解出，则看题目中的条件，以及坐标的形式是否复杂

（3）通过联立方程消元，可得到关于x （或y ）的二次方程，如果所求的问题与两根的和或乘积有关，则可利用韦达定理进行整体代入，从而不需求出1212,,,x x y y （所谓“设而不求”）

（4）有些题目会涉及到几何条件向解析语言的转换，注重数形几何，注重整体代入。则可简化运算的过程

这几点归纳起来就是“以一个（或两个）核心变量为中心，以交点

()()1122,,,A x y B x y 为两个基本点，坚持韦达定理四个基本公式

（12121212,,,x x x x y y y y ++，坚持数形结合，坚持整体代入。直至解决解析几何问题“ 2、韦达定理：是用二次方程的系数运算来表示两个根的和与乘积，在解析几何中得到广泛使用的原因主要有两个：一是联立方程消元后的二次方程通常含有参数，进而导致直接利用求根公式计算出来的实根形式非常复杂，难以参与后面的运算；二是解析几何的一些问题或是步骤经常与两个根的和与差产生联系。进而在思路上就想利用韦达定理，绕开繁杂的求根结果，通过整体代入的方式得到答案。所以说，解析几何中韦达定理的应用本质上是整体代入的思想，并不是每一道解析题必备的良方。如果二次方程的根易于表示（优先求点，以应对更复杂的运算），或者所求的问题与两根和，乘积无关，则韦达定理毫无用武之地。

3、直线方程的形式：直线的方程可设为两种形式：

（1）斜截式：y kx m =+，此直线不能表示竖直线。联立方程如果消去y 则此形式比较好用，且斜率在直线方程中能够体现，在用斜截式解决问题时要注意检验斜率不存在的直线是否符合条件

（2）x my b =+，此直线不能表示水平线，但可以表示斜率不存在的直线。经常在联立方程后消去x 时使用，多用于抛物线22y px =（消元后的二次方程形式简单）。此直线不能直接体现斜率，当0m ≠时，斜率1k m

=

4、弦长公式：（已知直线上的两点距离）设直线:l y kx m =+，l 上两点

()()1122,,,A x y B x y

，所以12AB x =-

或12AB y =-

（1）证明：因为()()1122,,,A x y B x y 在直线l 上，所以1122

y kx m

y kx m =+??=+?

AB ∴=

，代入1122

y kx m

y kx m =+??=+?可得：

同理可证得12AB y y =-

（2）弦长公式的适用范围为直线上的任意两点，但如果,A B 为直线与曲线的交点（即

AB 为曲线上的弦），则12x x -（或12y y -

）可进行变形：

12x x -=

=

5、点差法：这是处理圆锥曲线问题的一种特殊方法，适用于所有圆锥曲线。不妨以椭

圆方程()22

2210x y a b a b

+=>>为例，设直线y kx m =+与椭圆交于()()1122,,,A x y B x y 两

点，则该两点满足椭圆方程，有：

考虑两个方程左右分别作差，并利用平方差公式进行分解，则可得到两个量之间的联系：

()()2222

121222110x x y y a b

-+-= ① ()()()()12121212221

1022

x x y y x x y y a b ++?-+-= ② 由等式可知：其中直线AB 的斜率1212y y k x x -=

-，AB 中点的坐标为1212,2

2x x y y ++??

???，这些要素均在②式中有所体现。所以通过“点差法”可得到关于直线AB 的斜率与AB 中点的联系，从而能够处理涉及到弦与中点问题时。同时由①可得在涉及,A B 坐标的平方差问题中也可使用点差法。 二、典型例题

例1：不论k 为何值，直线1y kx =+与椭圆22

17x y m

+

=有公共点，则实数m 的取值范围是（ ）

A. ()0,1

B. [)1,+∞

C. [)()1,77,+∞

D. ()0,7

思路一：可通过联立方程，消去变量（如消去y ），得到关于x 的二次方程，因为直线与椭圆有公共点，所以0?≥在x R ∈恒成立，从而将问题转化为恒成立问题，解出m 即可

解：()22

22

171777y kx mx kx m mx y m =+??++=?+=?，整理可得： 即2217071m k m k -++≥?≥-+

思路二：从所给含参直线1y kx =+入手可知直线过定点()0,1，所以若过定点的直线均

与椭圆有公共点，则该点位于椭圆的内部或椭圆上，所以代入()0,1后22

17x y m

+

≤，即21

11m m ≤?≥，因为是椭圆，所以7m ≠，故m 的取值范围是[)()1,77,+∞

答案：C

小炼有话说：（1）比较两种思路，第一种思路比较传统，通过根的个数来确定直线与椭圆位置关系，进而将问题转化为不等式恒成立问题求解；第二种思路是抓住点与椭圆位置关系的特点，即若点在封闭曲线内，则过该点的直线必与椭圆相交，从而以定点为突破口巧妙解决问题。在思路二中，从含参直线能发现定点是关键 （2）本题还要注意细节，椭圆方程中22,x y 的系数不同，所以7m ≠

例2：已知双曲线22

1124

x y -

=的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是（ ）

A. 33?- ??

B. (

C. 33?-???

D. ??

思路：由22

1124

x y -

=可得渐近线方程为：3y x =±，若过右焦点的直线与右支只有一个交点，则直线的斜率的绝对值小于或等于渐近线斜率的绝对值，即

k k ≤

?≤≤

小炼有话说：本题是利用“基础知识”的结论直接得到的答案，代数的推理如下：

由22

1124

x y -

=可知()4,0F ，设直线():4l y k x =-，联立方程可得： ()

()22222

31234124x y x k x y k x ?-=??--=?

=-??，整理后可得：

当2130k k -=?=7

82802

x x -=?=，即位于双曲线右支，符合题意 当2130k -≠时，()()()()2

222

22441348124810k k k k ???=--?-+=+>??

∴直线与双曲线必有两个交点，设为()()1122,,,x y x y

因为直线与双曲线的右支有且只有一个交点

120x x ∴< ，即22

4812

013k k +-<-

综上所述：33

k -

≤≤ 例3：已知抛物线C 的方程为21

2

x y =

，过点()0,1A -和点(),3B t 的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是（ ）

A. ()(),11,-∞-+∞

B. 2,,???

-∞+∞ ??

???

C. ((),2

2,-∞-+∞ D. ((

)

,2,-∞+∞

思路：由,A B 两点可确定直线AB 的方程（含t ），再通过与抛物线方程联立，利用

0?<即可得到关于t 的不等式，从而解得t 的范围

解：若0t =，则直线:0AB x =与抛物线有公共点，不符题意 若0t ≠，则4AB k t =

4

:1AB y x t

∴=-，与椭圆联立方程： 2240tx x t ∴-+= 直线与抛物线无公共点

21680t t ∴?=-或t <

例4：过双曲线2

2

12

y x -=的右焦点F 作直线l 交双曲线于,A B 两点，若实数λ使得AB λ=的直线恰有3条，则λ=_______

思路：由双曲线方程可知)

F

，当l 斜率不存在时，可知AB 为通径，计算可得：

4AB =，当l

斜率存在时，设直线(:l y k x =-，与椭圆方程联立，利用弦长公式可得()22

412k AB k +=

-为关于k 的表达式，即

()22

412k k λ+=-。可解得：224

4

k λλ-=

+或2244k λλ+=

-。若2404λλ-=+或24

04λλ+=-，即2λ=±时，可得0k =，仅有一解，不符题意。若2404λλ-≠+且24

04λλ+≠-，则每个方程只能无解或两解。所以可知当4λ=时，方

程有两解，再结合斜率不存在的情况，共有3解。符合题意，所以4λ=

解：由双曲线2

2

12

y x -

=

可得1,a b c ===

)

F ∴，

当AB 斜率不存在时，l

的方程为x =AB ∴为通径，即2

24b AB a

== 若直线l 斜率存在，不妨设为k

则设(:l y k x =-，()()1122,,,A x y B x y

联立直线与椭圆方程：(2222x y y k x ?-=?

?=-??

消去y

可得：(22222x k x --=，整理可得：

∴可得：2244k λλ-=+或224

4

k λλ+=- ①

当2404

λλ-=+时，即2λ=，则方程①的解为0k =，只有一解，不符题意 同理，当

24

04

λλ+=-，即2λ=-，则方程①的解为0k =，只有一解，不符题意 当

2404λλ-≠+且24

04

λλ+≠-时，则每个方程的解为0个或两个，总和无法达到3个，不符题意

所以若AB λ=的直线恰有3条，只能4λ

=，方程①解得：2

k =±

∴ 满足条件的直线AB 的方程为：3x =

，2y x =

-

，2

y x =-- 答案：4λ=

例5：已知椭圆22

143

x y +

=，则当在此椭圆上存在不同两点关于直线4y x m =+对称，则m 的取值范围是（ ）

A. 1313m -

≤≤

B. 1313m -≤≤

C. m <<

D. m << 思路：设椭圆上两点()()1122,,,A x y B x y ，中点坐标为()00,x y ，则有012

012

22x x x y y y =+??=+?，由

中点问题想到点差法，则有()()22112222

121222

2234123403412

x y x x y y x y ?+=??-+-=?+=??，变形可得：()()()()12121212340x x x x y y y y -++-+= ①由对称关系和对称轴方程可得，直线AB 的斜率121214y y k x x -=-

=-，所以方程①转化为：0000168034x y y x ??

+?-=?= ???

，由对称性可知AB 中点()00,x y 在对称轴上，所以有004y x m =+，所以解得：00

3x m

y m =-??=-?，依题意

可得：点()00,x y 必在椭圆内，所以有22

03412x y +<，代入可得：()()22

34312m m -+-<

，解得：1313

m -<< 答案：D

例6：过点()2,0M -的直线m 与椭圆2

212

x y +=交于12,P P 两点，线段12PP

的中点为P ，设直线m 的斜率为()110k k ≠，直线OP 的斜率为2k ，则12k k 的值为（ ） A. 2 B. 2- C.

12 D. 12

-

思路一：已知m 与椭圆交于12,P P 两个基本点，从而设()()111222,,,P x y P x y ，可知

1212,2

2x x y y P ++??

?

??，即12212y y k x x +=+，从结构上可联想到韦达定理，设()1:2m y k x =+，联立椭圆方程：()()22

222211111

2188202

2x y k x k x k y k x ?+=??+++-=??=+?

，可得：2

11221821

k x x k +=-+，所以()1121121214421k y y k x x k k +=++=+，则2112k k =-，即

121

2

k k =-

思路二：线段12P P 为椭圆的弦，且问题围绕着弦中点P 展开，在圆锥曲线中处理弦中点

问题可用“点差法”，设()()111222

,,,P x y P x y ，则有22

112222

12

1

2x y x y ?+=????+=??，两式作差，可得：()()()()()()2222

121212121212110022

x x y y x x x x y y y y -+-=?-++-+=，发现等式中出现与中点和12P P 斜率相关的要素，其中1212,22x x y y P ++??

?

??，所以12212y y k x x +=+，且12112y y k x x -=

-，所以等式化为()()()()

12121212102y y y y x x x x -++=-+即12102k k +=，所以1212k k =-

答案：D

小炼有话说：两类问题适用于点差法，都是围绕着点差后式子出现平方差的特点。 （1）涉及弦中点的问题，此时点差之后利用平方差进行因式分解可得到中点坐标与直线斜率的联系

（2）涉及到运用两点对应坐标平方差的条件，也可使用点差法

例7：已知点()1,2A 在抛物线2:4C y x =上，过点A 作两条直线分别交抛物线于点

,D E ，直线,AD AE 的斜率分别为,AD AE k k ，若直线DE 过点()1,2P --，则AD AE k k ?=

（ ）

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

思路：设()()1122,,,D x y E x y ，进而所求()()12121212241

AD AE y y y y k k x x x x -++∴?=

-++，所以可从直线

DE 入手，设直线():21DE y k x +=+，与抛物线方程联立，利用韦达定理即可化简

2AD AE k k ?=

解：设()()1122,,,D x y E x y

()()12121212121224

22111

AD AE y y y y y y k k x x x x x x -++--∴?=

?=

---++ ① 设()1,2P --，则():21DE y k x +=+

联立方程：()2421y x

y k x ?=??+=+??

，消去x 可得：

代入①可得： 答案：C

例8：已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于,M N 两点，且

2MF NF =，则直线l 的斜率为（ ）

A.

B. ±

C. 2±

D. 4

± 思路一：从点的坐标出发，因为,,M F N 三点共线，从而2MF NF =可转化为

2MF NF =-，考虑将向量坐标化，()1,0F ，设()()1122,,,M x y N x y ，有

()()11221,,1,MF x y NF x y =--=--，所以122y y =-，设直线:1l x my =+，联立抛物线方程消元后可得：2

440y my --=，利用韦达定理可得：1212

44y y m

y y +=??=-?，再结合

122y y =-，消去12,y y

即可得4m =±

，直线:14

l x y =±

+

，即可得到斜率为± 思路二：从所给线段关系2MF NF =恰好为焦半径出发，联系抛物线的定义，可考虑

,M N 向准线引垂线，垂足分别为,P Q ，便可得到直角梯形PMNQ ，由抛物线定义可

知：,MP MF NQ NF ==，将所求斜率转化为直线的倾斜角，即为PMF ∠。不妨设

M 在第一象限。考虑将角放入直角三角形，从而可过N 作NT MP ⊥于T ，则tan TN NMT TM

=

，因为2MF NF =而

TM PM PT PM QN MF NF NF =-=-=-=，且3MN MF NF NF =+=，利用勾股定理可得：2

2

22TN MN MT

NF =

-=，从而tan 22TN NMT TM

=

=，即

22k =，当M 在第四象限时，同理，可得22k =-

综上所述：22k =± 答案：B

例9：如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2

212

x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，设

,A B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平

行，2AF 与1BF 交于点P ，1223

3

AF BF =+，则直线1AF 的

斜率是（ ）

A. 3

B. 2

C.

2

2

D. 1 思路：先设出直线12:1,:1AF x my BF x my =-=+，只需一个等量条件即可求出m ，进而求出斜率。考虑与椭圆联立方程，分别解出,A B 的纵坐标，然后利用弦长公式即可用m 表示12,AF BF ：()()2222122

2

211

211

,2

2m m m m m m AF BF m m ++++-+=

=

++，可将已知

等式转化为关于m 的方程，从而解出1m =，所以斜率为1

1m

= 解：由椭圆方程可得：()11,0F -，()21,0F

设12:1,:1AF x my BF x my =-=+，()()1122,,,A x y B x y ，依图可知：120,0y y >> 联立1AF 与椭圆方程可得：

()222

2211211x y my y x my ?+=?-+=?

=-?，整理可得：

同理可得：)222

12

m BF m +-∴=

+

即2223m =+，解得：1m =

∴ 直线1AF 的斜率1

1k m

=

= 答案：D

小炼有话说：（1）在运用弦长公式计算12,AF BF 时，抓住焦点的纵坐标为0的特点，使用纵坐标计算线段长度更为简便，因此在直线的选择上，本题采用x my b =+的形式以便于消去x 得到关于y 的方程

（2）直线方程x my b =+，当0m ≠时，可知斜率k 与m 的关系为：1k m

=

例10：过椭圆22

143

x y +

=的右焦点F 作两条相互垂直的直线分别交椭圆于,,,A B C D 四点，则

11AB CD

+的值为（ ） A. 18 B. 16 C. 1 D. 7

12

思路：首先先考虑特殊情况，即AB 斜率不存在。则AB 为通径，3AB =；CD 为长轴，所以4CD =，从而

117

12

AB CD +=。再考虑一般情况，所求,AB CD 为焦点弦，所以考虑拆成两个焦半径的和，如设()()1122,,,A x y B x y ，则()122AB a e x x =-+，从而想到联立直线与椭圆方程并使用韦达定理整体代入，同理CD 也为焦半径。设AB 的斜

率为k ，则CD 的斜率为1

k

-，所以,AB CD 均可用k 进行表示，再求出11AB CD +的值即可

解：若,AB CD 分别与坐标轴平行，不妨设AB x ⊥轴，

则AB 为椭圆的通径，2

2b AB a ∴=

由22

143

x y +

=

可得：2,1a b c === 因为CD AB ⊥ CD ∴为长轴长，即24CD a ==

当,AB CD 斜率均存在时，设AB 斜率为k ，由CD AB ⊥可得CD 斜率为1k -

由椭圆方程可得：()1,0F ∴ 设():1AB y k x =-，()()1122,,,A x y B x y 联立方程可得：

()2

2

13412

y k x x y =-???+=?? 消去y 可得：()222

34112x k x +-=，整理后为： ()2

2224384120k

x k x k +-+-=

设()()3344,,,C x y D x y ，()1

:1CD y x k

=-

-，与椭圆联立方程： ()22113412

y x k x y ?=--?

?

?+=?

，则同理，求CD 只需用1k -替换AB 中的k 即可 综上所述：11712

AB CD += 答案：D

小炼有话说：（1）本题的亮点在于处理CD ，因为发现CD 与AB 的直线方程结构基本相同（只有斜率不同），并且用的是相同的步骤（联立方程，消元，韦达定理，代入焦半径公式），所以在解决CD 的问题时就可参照AB 的结果，进行对应字母的替换，即可得到答案。所以在处理两条直线与同一曲线的问题时，可观察两直线处理过程的异同，进而简化运算步骤

（2）本题是选择题，通过题意可发现尽管过焦点相互垂直的直线有无数多对，但从选项中暗示结果是个常数，所以就可以利用特殊情况（通径与长轴长）求出结果，从而选择正确的选项

基础_巩固练习_直线与圆锥曲线

【巩固练习】 一、选择题 1．双曲线22 134 x y -=上一点P 到左焦点的距离与到左准线的距离之比为( ) 2．椭圆22214x y m +=与双曲线22 212x y m -=有相同的焦点，则m 的值是( ) A ．±1 B ．1 C ．－1 D ．不存在 3．已知动点P (,)x y 24x =-，则动点P 的轨迹是( ) A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 直线 4．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜 率为|PF |＝( ) A ．．8 C ．D ．16 5. 已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2 D ．x ＝－2 6. 已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是( ) A ．16 B ．18 C ．21 D ．26 二、填空题 7. 双曲线2224mx my -=的一条准线是1y =，则实数m 为________. 8．已知双曲线22 1124 x y -=的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是________． 9．过点P (3,0)的直线l 与双曲线4x 2－9y 2＝36只有一个公共点，则这样的直线l 共有________条． 10．如果直线l 过定点M (1,2)，且与抛物线y ＝2x 2有且仅有一个公共点，那么l 的方程为________． 11．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________. 三、解答题 12.过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线有几条. 13．设双曲线C ：2 221(0)x y a a -=>与直线:1l x y +=相交于两个不同的点A 、B ，求双曲线C 的离心率e 的取值范围： 14．设双曲线22 22x y a b -=1（0

专题直线与圆、圆锥曲线知识点

专题 直线与圆、圆锥曲线 一、直线与方程 1、倾斜角与斜率：1 21 2tan x x y y k --= =α 2、直线方程：⑴点斜式：()00x x k y y -=- ⑵斜截式：b kx y += ⑶两点式： 121121y y y y x x x x --=-- ⑷截距式：1x y a b += ⑸一般式：0=++C By Ax 3、对于直线： 222111:,:b x k y l b x k y l +=+=有：⑴???≠=?21 2 121//b b k k l l ； ⑵1l 和2l 相交12k k ?≠；⑶1l 和2l 重合???==?2 12 1b b k k ；⑷12121-=?⊥k k l l . 4、对于直线： 0:, 0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 有：⑴???≠=?122 11 22121//C B C B B A B A l l ；⑵1l 和2l 相交1221B A B A ≠?； ⑶1l 和2l 重合?? ?==?1 2211 221C B C B B A B A ；⑷0212121=+?⊥B B A A l l . 5、两点间距离公式： ()()21221221y y x x P P -+-= 6、点到直线距离公式： 2 2 00B A C By Ax d +++= 7、两平行线间的距离公式： 1l ：01=++C By Ax 与2l ：02=++C By Ax 平行，则2 2 21B A C C d +-= 二、圆与方程 1、圆的方程：⑴标准方程：()()2 2 2 r b y a x =-+-其中圆心为(,)a b ，半径为r . ⑵一般方程：02 2=++++F Ey Dx y x . 其中圆心为(,)22 D E - - ，半径为r = 2、直线与圆的位置关系 直线0=++C By Ax 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:

圆锥曲线知识点总结版

圆锥 曲线的方程与性质 1．椭圆 （1）椭圆概念 平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=。 椭圆的标准方程为： 22 221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或 122 22=+b x a y （0a b >>）（焦点在y 轴上）。 注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中222b a c =-； ②在22221x y a b +=和22 221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位 置，只要看2 x 和2 y 的分母的大小。例如椭圆22 1x y m n +=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。 （2）椭圆的性质 ①范围：由标准方程22 221x y a b +=知||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里； ②对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称。 所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原

点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心； ③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -，2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点。 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时，线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ， a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在22Rt OB F ?中， 2||OB b =，2||OF c =，22||B F a =，且2222222||||||OF B F OB =-，即222c a b =-； ④离心率：椭圆的焦距与长轴的比c e a =叫椭圆的离心率。∵0a c >>，∴ 01e <<，且e 越接近1，c 就越接近a ，从而b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b 越接近于a ，这时椭圆越接近于圆。当且仅当a b =时，0c =，两焦点重合，图形变为圆，方程为222x y a +=。 2．双曲线 （1）双曲线的概念 平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（12||||||2PF PF a -=）。 注意：①式中是差的绝对值，在1202||a F F <<条件下；12||||2PF PF a -=时为双曲线的一支； 21||||2PF PF a -=时为双曲线的另一支（含1F 的一支）；②当122||a F F =时，12||||||2PF PF a -=表示两条射线； ③当122||a F F >时，12||||||2PF PF a -=不表示任何图形；④两定点12,F F 叫做双曲线的焦点，12||F F 叫做焦距。 （2）双曲线的性质

直线和椭圆(圆锥曲线)常考的题目型

直线和圆锥曲线常考题型 运用的知识： 1、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =-；两条直线垂直，则直线所在的向量120v v = 2、韦达定理：若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b c x x x x a a +=-=。 3、中点坐标公式：1212 ,y 22 x x y y x ++= =，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。 4、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上， 则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一， AB = 或者AB = 例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22 : 14x y C m +=始终有交点，求m 的取值范围 例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2 y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。 设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。 由2(1)y k x y x =+??=?消y 整理，得2222(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得 2 2 4 2 (21)4410k k k ?=--=-+> 即2 1 04 k << ② 由韦达定理，得：2122 21 ,k x x k -+=-121x x =。 则线段AB 的中点为22 211 (,)22k k k --。

圆锥曲线-直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线位置关系 一、基础知识： （一）直线与椭圆位置关系 1、直线与椭圆位置关系：相交（两个公共点），相切（一个公共点），相离（无公共点） 2、直线与椭圆位置关系的判定步骤：通过方程根的个数进行判定， 下面以直线y kx m =+和椭圆：()22 2210x y a b a b +=>>为例 （1）联立直线与椭圆方程：222222 y kx m b x a y a b =+??+=? （2）确定主变量x （或y ）并通过直线方程消去另一变量y （或x ），代入椭圆方程得到关于主变量的一元二次方程：() 2 22 2 22b x a kx m a b ++=，整理可得： ()22 222222220a k b x a kxm a m a b +++-= （3）通过计算判别式?的符号判断方程根的个数，从而判定直线与椭圆的位置关系 ① 0?>?方程有两个不同实根?直线与椭圆相交 ② 0?=?方程有两个相同实根?直线与椭圆相切 ③ 0?>为例： （1）联立直线与双曲线方程：22 2 2 22 y kx m b x a y a b =+?? -=?，消元代入后可得： ()()2 2222222220b a k x a kxm a m a b ---+= （2）与椭圆不同，在椭圆中，因为2 2 2 0a k b +>，所以消元后的方程一定是二次方程，但双曲线中，消元后的方程二次项系数为2 2 2 b a k -，有可能为零。所以要分情况进行讨论

2021新高考数学二轮总复习专题突破练25直线与圆及圆锥曲线含解析

专题突破练25 直线与圆及圆锥曲线 1.(2020全国Ⅱ,理19)已知椭圆C 1: x 2a + y 2b =1(a>b>0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合,C 1的中心 与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ,B 两点,交C 2于C ,D 两点,且|CD|=4 3|AB|. (1)求C 1的离心率; (2)设M 是C 1与C 2的公共点.若|MF|=5,求C 1与C 2的标准方程. 2. 已知圆O :x 2+y 2=4,点A (√3,0),以线段AB 为直径的圆内切于圆O ,记点B 的轨迹为Γ. (1)求曲线Γ的方程; (2)直线AB 交圆O 于C ,D 两点,当B 为CD 的中点时,求直线AB 的方程. 3.(2019全国Ⅰ,理19)已知抛物线C :y 2=3x 的焦点为F ,斜率为3 2的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P. (1)若|AF|+|BF|=4,求l 的方程; (2)若AP ????? =3PB ????? ,求|AB|.

4.(2020山东威海一模,20)已知椭圆x2 a2+y2 b2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P(-1,3 2 )是椭圆上 一点,|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项. (1)求椭圆的标准方程; (2)若A为椭圆的右顶点,直线AP与y轴交于点H,过点H的另一条直线与椭圆交于M,N两点,且S△HMA =6S△PHN,求直线MN的方程. 5.(2020重庆名校联盟高三二诊,19)已知椭圆C:x2 a2+y2 b2 =1(a>b>0),F1,F2为椭圆的左、右焦点,P(1,√2 2 ) 为椭圆上一点,且|PF1|=3√2 2 . (1)求椭圆的标准方程; (2)设直线l:x=-2,过点F2的直线交椭圆于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l、直线AB于M,N两点,当∠MAN最小时,求直线AB的方程.

圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)基础知识及常用结论

圆锥曲线必背口诀(红字为口诀)-椭圆 一、椭圆定义 定点为焦点，定值为长轴.（定值=2a ） 椭圆.定点为焦点，定直线为准线，定值为离心率.（定值=e ） 定点为短轴顶点，定值为负值. （定值2k e 1=-） 二、椭圆的性质定理 长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理① 准线方程准焦距，a 方、b 方除以c ② 通径等于 2 e p ，切线方程用代替③ 焦三角形计面积，半角正切连乘b ④ 注解： 1长轴2a =，短轴2b =，焦距2c =，则：222a b c =+ 2准线方程：2 a x c = （ a 方除以c ） 3椭圆的通径 d ：过焦点垂直于长轴的直线与椭圆的两交点之间的距

离称为椭圆的通径.（通径22 c b 2b 2a c a d 2ep =??==） 过椭圆上00x y (,)点的切线方程，用00x y (,)等效代替椭圆方程得到. 等效代替后的是切线方程是：0022x x y y 1a b += 4、焦三角形计面积，半角正切连乘b 焦三角形：以椭圆的两个焦点12F F ,为顶点，另一个顶点P 在椭圆上的三角形称为焦三角形.半角是指12F PF θ=∠的一半. 则焦三角形的面积为：2 S b 2 tan θ = 证明：设1PF m =，2PF n =，则m n 2a +=由余弦定理： 222m n 2mn 4c cos θ+-?= 22224a 4b m n 4b ()=-=+- 即：2 2mn 2mn 4b cos θ-?=-，即：22b 1mn (cos )θ=+. 即：2 122b mn PF PF 1||||cos θ==+ 故：12 F PF 1S m n 2sin θ=??△2 2 12b b 211sin sin cos cos θθθθ=? ?=?++ 又：22221222 sin cos sin tan cos cos θθ θ θ θθ = =+ 所以：椭圆的焦点三角形的面积为122 F PF S b 2tan θ ?=. 三、椭圆的相关公式 切线平分焦周角，称为弦切角定理① 1F 2F O x y P m n

高考数学-直线和椭圆(圆锥曲线)常考题型

高考数学 直线和圆锥曲线常考题型 运用的知识： 1、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =-；两条直线垂直，则直线所在的向量120v v =r r g 2、韦达定理：若一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b c x x x x a a +=-=。 3、中点坐标公式：1212,y 22 x x y y x ++= =，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。 4、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上， 则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一， AB = 或者AB = 例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22 : 14x y C m +=始终有交点，求m 的取值范围 解： 14m m ≤≠且。 例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2 y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。 设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。 由2 (1)y k x y x =+?? =?消y 整理，得2222 (21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得 2242(21)4410k k k ?=--=-+> 即2 1 04 k << ② 由韦达定理，得：212221 ,k x x k -+=-121x x =。 则线段AB 的中点为22211 (,)22k k k -- 。 线段的垂直平分线方程为：2 21112()22k y x k k k --=--

67基础 知识讲解 直线与圆锥曲线

直线与圆锥曲线 【学习目标】 1．知识与技能： 通过实例了解椭圆、抛物线、双曲线的共同特征；掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法，能够把研究直线与圆锥曲线的位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题． 2．过程与方法： 通过对圆锥曲线共同特征及点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生综合运用直线、圆锥曲线的各方面知识的能力． 3．情感态度与价值观： 通过对圆锥曲线共同特征及点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生解决问题和分析问题的能力． 【要点梳理】 要点一：圆锥曲线的共同特征 椭圆、抛物线、双曲线都是由不同的平面截一个圆锥面得到的，统称为圆锥曲线，从方程的形式看，三种曲线方程都是二次的，它们具有某些共同特征． 圆锥曲线的共同特征： 圆锥曲线上的点到一个定点F与它到一条定直线l的距离之比为定值e．当0<<1 e时，圆锥曲线是椭圆；当1 e时，圆锥曲线是抛物线．e是圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线 e 时，圆锥曲线是双曲线；当=1 的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线．可以把它看作圆锥曲线的第二定义． 要点诠释： （1）注意点F不在直线l上，即点F在直线l外．

（2）椭圆、双曲线的准线方程分别如下表所示： 证明过程： （以焦点在x 轴的椭圆和双曲线为例） 已知点P 到定点F ()0c ，的距离与它到定直线2 a l x c =：的距离之比为常数()=,0c e a c a c a >≠且，求点 P 的轨迹． 解法步骤如下： （1）设点：设动点()P x y ，． （2）列式：由题意可知 PF e d =() 2 2 2 x c y c a a x c += （3）化简：由上式可得 ()()2 2 2 2 2 2 2 2 +=a c x a y a a c ① 当0a c >>即1e <时，令()222=0b a c b > ，方程①可化为222222+=b x a y a b ，等式两边同除以22a b ，可 得22 221x y a b +=，即焦点在x 轴上的椭圆． 当0c a >>即1e >时，令()222=0b c a b > ，方程①可化为222222=b x a y a b ，等式两边同除以22a b ，可得

(完整版)圆锥曲线知识点+例题+练习含答案(整理)

圆锥曲线 一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹。 其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 注意：||221F F a >表示椭圆；||221F F a =表示线段21F F ；||221F F a <没有轨迹； （2）椭圆的标准方程、图象及几何性质： 3．常用结论：（1）椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交椭圆于B A ,两 点，则2ABF ?的周长= （2）设椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线 交椭圆于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是 =||PQ 二、双曲线：

（1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于||21F F ）的点的轨迹。 其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 注意：a PF PF 2||||21=-与a PF PF 2||||12=-（||221F F a <）表示双曲线的一支。 ||221F F a =表示两条射线；||221F F a >没有轨迹； （2）双曲线的标准方程、图象及几何性质： 中心在原点，焦点在x 轴上 中心在原点，焦点在y 轴上 标准 方程 )0,0(122 22>>=-b a b y a x )0,0(122 22>>=-b a b x a y 图 形 顶 点 )0,(),0,(21a A a A - ),0(),,0(21a B a B - 对称轴 x 轴，y 轴；虚轴为b 2，实轴为a 2 焦 点 )0,(),0,(21c F c F - ),0(),,0(21c F c F - 焦 距 )0(2||21>=c c F F 222 b a c += 离心率 )1(>= e a c e （离心率越大，开口越大） 渐近线 x a b y ± = x b a y ± = 通 径 22b a （3）双曲线的渐近线： ①求双曲线122 2 2 =-b y a x 的渐近线，可令其右边的1为0，即得022 2 2 =-b y a x ， 因式分解得到0x y a b ±=。 ②与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222y x ； （4）等轴双曲线为222t y x =-2

直线和圆锥曲线的位置关系

聚焦考点直线和圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系是历年高考命题的热点；试题具有一定的综合性，覆盖面大，不仅考查“三基”掌握的情况，而且重点考查学生的作图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算，以及运用数学知识分析问题和解决问题的能力。在近几年的高考中，每年风格都在变换，考查思维的敏捷性，在探索中求创新。 具体来说，这些问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点，如直线被圆锥曲线截得的弦长、弦中点问题，垂直问题，对称问题。与圆锥曲线性质有关的量的取值范围等是近几年命题的新趋向。 纵观近几年高考和各类型考试，可以发现： 1．研究直线与圆锥曲线位置关系的问题，通常有两种方法：一是转化为研究方程组的解的问题，利用直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个变量后，将交点问题（包括公共点个数、与交点坐标有关的问题）转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题；二是运用数形结合，迅速判断某些直线和圆锥曲线的位置关系。 2．涉及弦长问题，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题，利用差分法较为简便。 3．充分发挥判别式和韦达定理在解题中的作用。灵活应用数形结合的思想、函数思想、等价转化思想、分类讨论思想解题。 热点透析 题型1：直线与圆锥曲线的交点个数问题

例1已知双曲线C:2x2－y2=2与点P(1，2) (1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点. (2)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在. 解:(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得 (2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0 .(*) (ⅰ)当2－k2=0,即k=±时，方程(*)有一个根，l与C有一个交点 (ⅱ)当2－k2≠0,即k≠±时 Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k－6)=16(3－2k) ①当Δ=0,即3－2k=0,k=时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点. ②当Δ＞0,即k＜,又k≠±, 故当k＜－或－＜k＜或＜k＜时，方程(*)有两不等实根，l与C有两个交点. ③当Δ＜0，即k＞时，方程(*)无解，l与C无交点.

直线与圆锥曲线

直线与圆锥曲线 考情分析： 本节内容是高中数学的重要内容之一，也是历年高考尝试新题的板块，各种解题方法在这里表现得比较充分，尤其是在近几年高考的新课程卷中.平面向量与解几融合在一起，综合性很强，题目多变，解法灵活多样，能充分体现高考的选拔功能. 1、考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程、直线的位置关系，此类题大都属中、低档题，以选择、填空题的形式出现，每年必考. 2、二次曲线的基础知识，直线与二次曲线的普通方程、参数方程，以及普通方程与参数方程的互化，常以选择题、填空题的形式出现属于中档题. 3、有关直线与圆、直线与圆锥曲线的综合题，多以解答题的形式出现，这类题主要考查学生几何知识与代数知识的综合应用，对学生分析问题、解决问题的能力要求较高. 二、考点整合 1、第一部分内容：直线的倾斜角、斜率，直线的方程，两条直线的位置关系；简单的线性规划及其实际应用；曲线和方程、圆的方程. 2、第二部分内容包括椭圆、双曲线、抛物线的定义、性质，以及它们与直线的位置关系的判定，弦长的有关计算、证明等，本部分内容为高考命题的热点. 3、椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹，由这些条件可以求出它们的标准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质. 4、椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线，它们的统一性如下： （1）从方程的形式看：在直角坐标系中，这几种曲线的方程都是二元二次方程，所以它们属于二次曲线； （2）从点的集合（或轨迹）的观点看：它们都是与定点和定直线距离的比是常数e 的集合（或轨迹），这个点是它们的焦点，定直线是它们的准线.只是由于离心率e 取值范围的不同，而分为椭圆（10<e ）和抛物线（1=e ）三种曲线； （3）这三种曲线都是由平面截圆锥面得到的截线. 5、坐标法是研究曲线的一种重要方法，本节进一步研究求曲线方程的一般方法，利用曲线的方程讨论曲线的几何性质，以及用坐标法证明简单的几何问题等. 6、椭圆、双曲线、抛物线是常见的曲线，利用它们的方程及几何性质，可以解决一些简单的实际问题；利用方程可以研究它们与直线的交点、相交弦等有关问题. 解析几何的综合问题，主要是以圆锥曲线为载体，考查直线与圆锥曲线的有关性质以及函数、方程、不等式、三角、向量等知识.考查的数学思想有数形结合的思想、分类整合的思想、换元的思想、等价转化的思想等.常见题型有求曲线方程，由方程研究性质以及定值、最值、范围、探索性问题等.这类题目一般难度较大，常作高考题中的压轴题. 三、典例精讲： 例 1 （1）由动点P 向圆12 2 =+y x 作两条切线、PB PA ，切点分别为、B A ， ο60=∠APB ，则动点P 的轨迹方程为______________________. （2）设直线022:=++y x l 关于原点对称的直线为/ l ，若/ l 与椭圆14 2 2 =+y x 的交 点为、B A ，点P 为椭圆上的动点，则使得PAB ?的面积为2 1的点P 的个数为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 （3）已知双曲线的中心在原点，离心率为3，它的一条准线与抛物线x y 42 =的准

【淘宝店铺：日出书屋】2021高考数学一轮习题：专题8 第73练 直线与圆锥曲线小题综合练

1．已知对任意k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 25＋y 2m ＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0,5) C ．[1,5)∪(5，＋∞) D ．[1,5) 2．(2020·青岛模拟)直线l ：x －2y －5＝0过双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点且与其中一条渐近线平行，则该双曲线的方程为( ) A.x 220－y 25 ＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y 24 ＝1 3．已知椭圆x 2＋2y 2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为( )

A ．3 2 B ．2 3 C.303 D.32 6 4．(2019·兰州期末)设坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A ，B 两点，则OA →·OB →等于( ) A.34 B. －34 C ．3 D ．－3 5．(2019·石家庄质检)双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作倾斜角为60°的直线与y 轴和双曲线的右支分别交于A ，B 两点，若点A 平分线段F 1B ，则该双曲线的离心率是( ) A. 3 B ．2＋ 3 C ．2 D.2＋1 6．(2020·宜昌调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)上存在A ，B 两点恰好关于直线l ：x －y －1＝0对称，且直线AB 与直线l 的交点的横坐标为2，则椭圆C 的离心率为( ) A.13 B.33 C.22 D.12 7．(多选)我们把离心率为e ＝5＋12的双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)称为黄金双曲线．给出以下几个说法中正确的是( ) A ．双曲线x 2－2y 2 5＋1＝1是黄金双曲线 B ．若b 2＝ac ，则该双曲线是黄金双曲线 C ．若F 1，F 2为左右焦点，A 1，A 2为左右顶点，B 1(0，b )，B 2(0，－b )且∠F 1B 1A 2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线 D ．若MN 经过右焦点F 2且MN ⊥F 1F 2，∠MON ＝90°，则该双曲线是黄金双曲线 8．(多选)已知B 1，B 2是椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)短轴上的两个顶点，点P 是椭圆上不同于短轴端点的任意一点，点Q 与点P 关于y 轴对称，则下列四个命题中正确的是( ) A ．直线P B 1与PB 2的斜率之积为定值－a 2 b 2 B.PB 1→·PB 2→>0 C ．△PB 1B 2的外接圆半径的最大值为a 2＋b 2 2a D ．直线PB 1与QB 2的交点M 的轨迹为双曲线 9．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，若原点O 与线段MN 的中点P 连线的斜率为22，则m n 的值是____________．

圆锥曲线基础知识

圆锥曲线 1.圆锥曲线的两个定义： （1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B ．6 21=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （答：C ）；（2）方程 8表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） （2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点) 0,22(Q 及抛物线4 2 x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2） 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）?{ cos sin x a y b ??==（参数方程，其中?为参数），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。如（1）已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____（答：11(3,)(,2)22 ---U ）；（2）若R y x ∈,，且62322=+y x ， 则y x +的最大值是____，22y x +的最小值是___2） （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。如（1）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2 214 x y -=）；（2）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=） （3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2,y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程 1212 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是__（答：)23,1()1,(Y --∞）

专题突破练25 直线与圆及圆锥曲线

专题突破练25 直线与圆及圆锥曲线 1.(2020全国Ⅱ,理 19)已知椭圆C 1:x 2 a 2 + y 2b 2=1(a>b>0)的右焦点 F 与抛物线C 2的焦点重合,C 1的中心 与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ,B 两点,交C 2于C ,D 两点,且|CD|=43 |AB|. (1)求C 1的离心率; (2)设M 是C 1与C 2的公共点.若|MF|=5,求C 1与C 2的标准方程. 2. 已知圆O :x 2+y 2=4,点A (√3,0),以线段AB 为直径的圆内切于圆O ,记点B 的轨迹为Γ. (1)求曲线Γ的方程; (2)直线AB 交圆O 于C ,D 两点,当B 为CD 的中点时,求直线AB 的方程. 3.(2019全国Ⅰ,理19)已知抛物线C :y 2=3x 的焦点为F ,斜率为3 2的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P. (1)若|AF|+|BF|=4,求l 的方程; (2)若AP ????? =3PB ????? ,求|AB|. 4.(2020山东威海一模,20)已知椭圆x 2 a 2 + y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P (-1,3 2)是椭圆上 一点,|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项. (1)求椭圆的标准方程; (2)若A 为椭圆的右顶点,直线AP 与y 轴交于点H ,过点H 的另一条直线与椭圆交于M ,N 两点,且S △ HMA =6S △PHN ,求直线 MN 的方程. 5.(2020重庆名校联盟高三二诊,19)已知椭圆C :x 2 a 2+y 2b 2=1(a>b>0),F 1,F 2为椭圆的左、右焦点,P (1, √2 2 ) 为椭圆上一点,且|PF 1|=3√2 2 . (1)求椭圆的标准方程; (2)设直线l :x=-2,过点F 2的直线交椭圆于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线分别交直线l 、直线AB 于M ,N 两点,当∠MAN 最小时,求直线AB 的方程.

第1讲 直线与圆、圆锥曲线的方程与性质

第1讲直线与圆、圆锥曲线的方程与性质 [选题明细表] 知识点、方法题号 直线与圆2,3,13 圆锥曲线的定义与标准方程的应用1,7,8,9,14 圆锥曲线的几何性质5,10,11,16 圆锥曲线的离心率4,6,12,15 一、选择题 1.(2019·武汉模拟)已知F1(-3,0),F2(3,0),若点P(x,y)满足|PF1|- |PF2|=6,则P点的轨迹为( D ) (A)椭圆(B)双曲线 (C)双曲线的一支(D)一条射线 解析:F1(-3,0),F2(3,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=6, 因为|F1F2|=6,则点P的轨迹是一条射线.故选D. 2.过点(0,1)的直线l被圆(x-1)2+y2=4所截得的弦长最短时,直线l 的斜率为( A ) (A)1 (B)-1 (C) (D)- 解析:点(0,1)在圆(x-1)2+y2=4内,要使得过点(0,1)的直线l被圆(x-1)2+y2=4所截得的弦长最短,则该弦以(0,1)为中点,与圆心和(0,1)

的连线垂直,而圆心和(0,1)连线的斜率为=-1,所以所求直线斜率为1,故选A. 3.(2019·合肥三模)已知直线l:x-y-a=0与圆C:(x-3)2+(y+)2=4交于点M,N,点P在圆C上,且∠MPN=,则实数a的值等于( B ) (A)2或10 (B)4或8 (C)6±2(D)6±2 解析:由∠MPN=可得∠MCN=2∠MPN=. 在△MCN中,CM=CN=2,∠CMN=∠CNM=, 可得点C(3,-)到直线MN,即直线l:x-y-a=0的距离为2sin=1. 所以=1,解得a=4或8.故选B. 4.(2019·临沂三模)若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆x2+(y-2)2=2所截得的弦长为2,则双曲线C的离心率为( B ) (A) (B)2 (C)(D)2 解析:双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x, 由对称性,不妨取y=x,即bx-ay=0. 圆x2+(y-2)2=2的圆心坐标为(0,2),半径为, 则圆心到渐近线的距离d==1,

直线与圆锥曲线的位置关系专题复习

直线与圆锥曲线的位置关系 一.知识网络结构： 2. 直线与圆锥曲线的位置关系： ⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。 ⑵.从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到ax2 bx c 0。 ① .若a=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合； 当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。 ② .若a 0，设b2 4ac。a . 0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。 b. 0时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。 c. 0时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。 二.常考题型解读：题型一：直线与椭圆的位置关系： 2 2 例1.椭圆—J 1上的点到直线X 2y .2 0的最大距离是（） 16 4 A.3 B. ,11 C. 2 2 D. . 10 2 2 例2.如果椭圆—y 1的弦被点（4,2）平分，则这条弦所在的直线方程是（） 36 9 A. x 2y 0 B. x 2y 4 0 C. 2x 3y 12 0 D. x 2y 8 0 题型二：直线与双曲线的位置关系： 例3.已知直线L:y kx 1与双曲线C:x2 y2=4。 ⑴若直线L与双曲线C无公共点，求k的范围；⑵若直线L与双曲线C有两个公共点，求k 的范围； ⑶若直线L与双曲线C有一个公共点，求k的范围；⑷若直线L与双曲线C的右支有两个公共点，求k的范围；⑸若直线L与双曲线C的两支各有一个公共点，求k的范围。 题型三：直线与抛物线的位置关系： 例4.在抛物线y2 2x上求一点P,使P到焦点F与P到点A（3,2）的距离之和最小。

专题突破练25 直线与圆及圆锥曲线

专题突破练25直线与圆及圆锥曲线 1.(2020全国Ⅱ,理19)已知椭圆C1:x 2 a2+y2 b2 =1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心 与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,且|CD|=4 3 |AB|. (1)求C1的离心率; (2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|=5,求C1与C2的标准方程. 2. 已知圆O:x2+y2=4,点A(√3,0),以线段AB为直径的圆内切于圆O,记点B的轨迹为Γ. (1)求曲线Γ的方程; (2)直线AB交圆O于C,D两点,当B为CD的中点时,求直线AB的方程.

3.(2019全国Ⅰ,理19)已知抛物线C :y 2=3x 的焦点为F ,斜率为3 2 的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P. (1)若|AF|+|BF|=4,求l 的方程; (2)若AP ????? =3PB ????? ,求|AB|. 4.(2020山东威海一模,20)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F 1,F 2,点P (-1,3 2)是椭圆上 一点,|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项. (1)求椭圆的标准方程; (2)若A 为椭圆的右顶点,直线AP 与y 轴交于点H ,过点H 的另一条直线与椭圆交于M ,N 两点,且S △ HMA =6S △PHN ,求直线 MN 的方程. 5.(2020重庆名校联盟高三二诊,19)已知椭圆C :x 2a 2+ y 2b 2=1(a>b>0),F 1,F 2为椭圆的左、右焦点,P (1, √2 2 ) 为椭圆上一点,且|PF 1|=3√2 . (1)求椭圆的标准方程; (2)设直线l :x=-2,过点F 2的直线交椭圆于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线分别交直线l 、直线AB 于M ,N 两点,当∠MAN 最小时,求直线AB 的方程.