直线与圆锥曲线位置关系
一、基础知识:
(一)直线与椭圆位置关系
1、直线与椭圆位置关系:相交(两个公共点),相切(一个公共点),相离(无公共点)
2、直线与椭圆位置关系的判定步骤:通过方程根的个数进行判定,
下面以直线y kx m =+和椭圆:()22
2210x y a b a b
+=>>为例
(1)联立直线与椭圆方程:222222
y kx m
b x a y a b
=+??+=? (2)确定主变量x (或y )并通过直线方程消去另一变量y (或x ),代入椭圆方程得到关于主变量的一元二次方程:()
2
22
2
22b x a
kx m a b ++=,整理可得:
()22
222222220a k
b x a kxm a m a b +++-=
(3)通过计算判别式?的符号判断方程根的个数,从而判定直线与椭圆的位置关系 ① 0?>?方程有两个不同实根?直线与椭圆相交 ② 0?=?方程有两个相同实根?直线与椭圆相切 ③ 0?
3、若直线上的某点位于椭圆内部,则该直线一定与椭圆相交 (二)直线与双曲线位置关系
1、直线与双曲线位置关系,相交,相切,相离
2、直线与双曲线位置关系的判定:与椭圆相同,可通过方程根的个数进行判定
以直线y kx m =+和椭圆:()22
2210x y a b a b
-=>>为例:
(1)联立直线与双曲线方程:22
2
2
22
y kx m b x a y a b
=+??
-=?,消元代入后可得:
()()2
2222222220b
a k x a kxm a m a
b ---+=
(2)与椭圆不同,在椭圆中,因为2
2
2
0a k b +>,所以消元后的方程一定是二次方程,但双曲线中,消元后的方程二次项系数为2
2
2
b a k -,有可能为零。所以要分情况进行讨论
当222
0b
b a k k a
-=?=±且0m ≠时,方程变为一次方程,有一个根。此时直线与双曲线相交,只有一个公共点 当2
2
2
0b b
b a k k a a ->?-
<<时,常数项为()22220a m a b -+<,所以0?>恒成立,此时直线与双曲线相交 当2
2
2
0b b a k k a ->
或b
k a
<-时,直线与双曲线的公共点个数需要用?判断: ① 0?>?方程有两个不同实根?直线与双曲线相交 ② 0?=?方程有两个相同实根?直线与双曲线相切 ③ 0?
注:对于直线与双曲线的位置关系,不能简单的凭公共点的个数来判定位置。尤其是直线与双曲线有一个公共点时,如果是通过一次方程解出,则为相交;如果是通过二次方程解出相同的根,则为相切
(3)直线与双曲线交点的位置判定:因为双曲线上的点横坐标的范围为
(][),,a a -∞-+∞,所以通过横坐标的符号即可判断交点位于哪一支上:当x a ≥时,点
位于双曲线的右支;当x a ≤时,点位于双曲线的左支。对于方程:
()()2
2222222220b
a k x a kxm a m a
b ---+=,设两个根为12,x x
① 当2
2
2
0b b
b a k k a a
->?-<<时,则2222122
22
0a m a b x x b a k +=-<-,所以12,x x 异号,即交点分别位于双曲线的左,右支
② 当2
2
2
0b b a k k a ->或b
k a
<-,且0?>时,2222122
220a m a b x x b a k +=->-,所以12,x x 同号,即交点位于同一支上
(4)直线与双曲线位置关系的几何解释:通过(2)可发现直线与双曲线的位置关系与直线的斜率相关,其分界点b
a
±刚好与双曲线的渐近线斜率相同。所以可通过数形结合得到位置关系的判定 ① b
k a
=±
且0m ≠时,此时直线与渐近线平行,可视为渐近线进行平移,则在平移过程中与双曲线的一支相交的同时,也在远离双曲线的另一支,所以只有一个交点
② b b
k a a
-
<<时,直线的斜率介于两条渐近线斜率之中,通过图像可得无论如何平移直线,直线均与双曲线有两个交点,且两个交点分别位于双曲线的左,右支上。 ③ 2
2
2
0b b a k k a ->
或b
k a
<-时,此时直线比渐近线“更陡”,通过平移观察可得:直线不一定与双曲线有公共点(与?的符号对应),可能相离,相切,相交,如果相交则交点位于双曲线同一支上。
(三)直线与抛物线位置关系:相交,相切,相离
1、位置关系的判定:以直线y kx m =+和抛物线:()220y px p =>为例
联立方程:()2
222y kx m kx m px y px
=+??+=?=?,整理后可得:
()222220k x km p x m +-+=
(1)当0k =时,此时方程为关于x 的一次方程,所以有一个实根。此时直线为水平线,与抛物线相交
(2)当0k ≠时,则方程为关于x 的二次方程,可通过判别式进行判定 ① 0?>?方程有两个不同实根?直线与抛物线相交 ② 0?=?方程有两个相同实根?直线与抛物线相切 ③ 0?
2y px =, 过焦点的直线:2p l y k x ??
=-
???
(斜率存在且0k ≠),对应倾斜角为θ,与抛物线交于()()1122,,,A x y B x y
联立方程:22
22222y px p k x px p y k x ?=????-=??
? ?=-?? ?
????,整理可得: ()22
2
2
2
204
k p k x k p p x -++=
(1)2124
p x x ?= 2
12y y p =-
(2)2212222222121k p p k p p AB x x p p p k k k ++?
?=++=+==+ ???
2222
1cos 22121tan sin sin p p p θθθθ
???
?=+=+= ? ????? (3)()221112sin sin 2222sin 2sin AOB
O l p p p S
d AB OF AB θθθθ
-=??=???=???= (四)圆锥曲线问题的解决思路与常用公式: 1、直线与圆锥曲线问题的特点:
(1)题目贯穿一至两个核心变量(其余变量均为配角,早晚利用条件消掉),
(2)条件与直线和曲线的交点相关,所以可设()()1122,,,A x y B x y ,至于,A B 坐标是否需要解出,则看题目中的条件,以及坐标的形式是否复杂
(3)通过联立方程消元,可得到关于x (或y )的二次方程,如果所求的问题与两根的和或乘积有关,则可利用韦达定理进行整体代入,从而不需求出1212,,,x x y y (所谓“设而不求”)
(4)有些题目会涉及到几何条件向解析语言的转换,注重数形几何,注重整体代入。则可简化运算的过程
这几点归纳起来就是“以一个(或两个)核心变量为中心,以交点
()()1122,,,A x y B x y 为两个基本点,坚持韦达定理四个基本公式
(12121212,,,x x x x y y y y ++,坚持数形结合,坚持整体代入。直至解决解析几何问题“ 2、韦达定理:是用二次方程的系数运算来表示两个根的和与乘积,在解析几何中得到广泛使用的原因主要有两个:一是联立方程消元后的二次方程通常含有参数,进而导致直接利用求根公式计算出来的实根形式非常复杂,难以参与后面的运算;二是解析几何的一些问题或是步骤经常与两个根的和与差产生联系。进而在思路上就想利用韦达定理,绕开繁杂的求根结果,通过整体代入的方式得到答案。所以说,解析几何中韦达定理的应用本质上是整体代入的思想,并不是每一道解析题必备的良方。如果二次方程的根易于表示(优先求点,以应对更复杂的运算),或者所求的问题与两根和,乘积无关,则韦达定理毫无用武之地。
3、直线方程的形式:直线的方程可设为两种形式:
(1)斜截式:y kx m =+,此直线不能表示竖直线。联立方程如果消去y 则此形式比较好用,且斜率在直线方程中能够体现,在用斜截式解决问题时要注意检验斜率不存在的直线是否符合条件
(2)x my b =+,此直线不能表示水平线,但可以表示斜率不存在的直线。经常在联立方程后消去x 时使用,多用于抛物线2
2y px =(消元后的二次方程形式简单)。此直线不能直接体现斜率,当0m ≠时,斜率1k m
=
4、弦长公式:(已知直线上的两点距离)设直线:l y kx m =+,l 上两点
()()1122,,,A x y B x y
,所以12AB x =-
或12AB y y =-
(1)证明:因为()()1122,,,A x y B x y 在直线l 上,所以1122
y kx m
y kx m =+??
=+?
AB ∴=
1122
y kx m
y kx m =+??=+?可得:
AB =
=
12x ==-
同理可证得12AB y y =-
(2)弦长公式的适用范围为直线上的任意两点,但如果,A B 为直线与曲线的交点(即
AB 为曲线上的弦),则12x x -(或12y y -)可进行
变形:
12x x -=
=
5、点差法:这是处理圆锥曲线问题的一种特殊方法,适用于所有圆锥曲线。不妨以椭圆方
程()22
2210x y a b a b
+=>>为例,设直线y kx m =+与椭圆交于()()1122,,,A x y B x y 两点,则该两点满足椭圆方程,有:
22
112
222
2222
11x y a b
x y a b ?+=????+=?? 考虑两个方程左右分别作差,并利用平方差公式进行分解,则可得到两个量之间的联系:
()()2222
121222110x x y y a b -+-= ① ()()()()121212122211
0x x x x y y y y a b
?-++-+= ()()()()121212122211022
x x y y x x y y a b ++?
-+-= ② 由等式可知:其中直线AB 的斜率12
12
y y k x x -=
-,AB 中点的坐标为
1212,22x x y y ++??
???
,这些要素均在②式中有所体现。所以通过“点差法”可得到关于直线AB 的斜率与AB 中点的联系,从而能够处理涉及到弦与中点问题时。同时由①可得在涉
及,A B 坐标的平方差问题中也可使用点差法。 二、典型例题
例1:不论k 为何值,直线1y kx =+与椭圆
22
17x y m
+=有公共点,则实数m 的取值范围是( )
A. ()0,1
B. [)1,+∞
C. [)
()1,77,+∞ D. ()0,7
思路一:可通过联立方程,消去变量(如消去y ),得到关于x 的二次方程,因为直线与椭圆有公共点,所以0?≥在x R ∈恒成立,从而将问题转化为恒成立问题,解出m 即可 解:()2
222
1
71777y kx mx kx m mx y m =+??++=?
+=?,整理可得:
()2
2
714770m k x
kx m +++-=
()()()2
21447770k m k m ∴?=-+-≥
即22
17071m k m k -++≥?≥-+
()
2max
711m k ∴≥-+=
7m ≠ [)()1,77,m ∴∈+∞
思路二:从所给含参直线1y kx =+入手可知直线过定点()0,1,所以若过定点的直线均与
椭圆有公共点,则该点位于椭圆的内部或椭圆上,所以代入()0,1后
22
17x y m
+≤,即21
11m m
≤?≥,因为是椭圆,所以7m ≠,故m 的取值范围是[)()1,77,+∞
答案:C
小炼有话说:(1)比较两种思路,第一种思路比较传统,通过根的个数来确定直线与椭圆位置关系,进而将问题转化为不等式恒成立问题求解;第二种思路是抓住点与椭圆位置关系的特点,即若点在封闭曲线内,则过该点的直线必与椭圆相交,从而以定点为突破口巧妙解决问题。在思路二中,从含参直线能发现定点是关键
(2)本题还要注意细节,椭圆方程中2
2
,x y 的系数不同,所以7m ≠
例2:已知双曲线
22
1124
x y -=的右焦点为F ,若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此直线斜率的取值范围是( )
A. 33??- ? ???
B. (
C. 33?-???
D. ??
思路:由
22
1124
x y -=可得渐近线方程为:3y x =±,若过右焦点的直线与右支只有一个交点,则直线的斜率的绝对值小于或等于渐近线斜率的绝对值,即
k k ≤
?≤≤答案:C
小炼有话说:本题是利用“基础知识”的结论直接得到的答案,代数的推理如下:
由
221124
x y -=可知()4,0F ,设直线():4l y k x =-,联立方程可得: ()
()22222312
34124x y x k x y k x ?-=??--=?
=-??,整理后可得:
()()22
22132448120k x
k x k -+-+=
当2
130k k -=?=7
82802
x x -=?=,即位于双曲线右支,符合题意 当2
130k -≠时,(
)
()()()2
222
22441348124810k
k k k ???=--?-+=+>??
∴直线与双曲线必有两个交点,设为()()1122,,,x y x y
因为直线与双曲线的右支有且只有一个交点
120x x ∴< ,即22
4812
013k k +-<-
2310k k ∴-<<
综上所述:33
k -
≤≤ 例3:已知抛物线C 的方程为2
1
2
x y =
,过点()0,1A -和点(),3B t 的直线与抛物线C 没有公共点,则实数t 的取值范围是( ) A. ()(),11,-∞-+∞
B. 2,,22?
??
-∞-
+∞ ??
???
C. (
(),2
2,-∞-+∞ D. ((
)
,2,-∞+∞
思路:由,A B 两点可确定直线AB 的方程(含t ),再通过与抛物线方程联立,利用
0?<即可得到关于t 的不等式,从而解得t 的范围
解:若0t =,则直线:0AB x =与抛物线有公共点,不符题意 若0t ≠,则4AB k t =
4
:1AB y x t
∴=-,与椭圆联立方程: 22
1
212421x y x x t y x t ?=???
=-?
?=-?
?
2240tx x t ∴-+= 直线与抛物线无公共点
21680t t ∴?=->t <
答案:D
例4:过双曲线2
2
12
y x -=的右焦点F 作直线l 交双曲线于,A B 两点,若实数λ使得AB λ=的直线恰有3条,则λ=_______
思路:由双曲线方程可知)
F
,当l 斜率不存在时,可知AB 为通径,计算可得:
4AB =,当l
斜率存在时,设直线(:l y k x =-,与椭圆方程联立,利用弦长公式
可得()22
412k AB k +=
-为关于k 的表达式,即
()22
412k k λ+=-。可解得:224
4
k λλ-=
+或2244k λλ+=
-。若2404λλ-=+或24
04λλ+=-,即2λ=±时,可得0k =,仅有一解,不符题意。若2404λλ-≠+且24
04λλ+≠-,则每个方程只能无解或两解。所以可知当4λ=时,
方程有两解,再结合斜率不存在的情况,共有3解。符合题意,所以4λ=
解:由双曲线2
2
12
y x -=
可得1,a b c ===
)
F ∴,
当AB 斜率不存在时,l
的方程为x =AB ∴为通径,即2
24b AB a
== 若直线l 斜率存在,不妨设为k
则设(:l y k x =-,()()1122,,,A x y B x y
联立直线与椭圆方程:(2222x y y k x ?-=??=??
消去y
可得:(2
22
22x k x --=,整理可
得:
(
)()2
2
222320k x
x k -+-+=
()
()()2
2
22242321616k k k ∴?=+-+=+
()2
1222
4122k AB x k k λ+∴=-==
=-- ∴可得:2244k λλ-=
+或2
244
k λλ+=- ① 当
24
04
λλ-=+时,即2λ=,则方程①的解为0k =,只有一解,不符题意
同理,当24
04
λλ+=-,即2λ=-,则方程①的解为0k =,只有一解,不符题意
当
2404λλ-≠+且24
04
λλ+≠-时,则每个方程的解为0个或两个,总和无法达到3个,不符
题意
所以若AB λ=的直线恰有3条,只能4λ=
,方程①解得:k = ∴ 满足条件的直线AB 的方程为:3x =
,2y x =
-
,(2
y x =-- 答案:4λ=
例5:已知椭圆22
143
x y +=,则当在此椭圆上存在不同两点关于直线4y x m =+对称,则m 的取值范围是( )
A. m ≤≤
B. m ≤≤
C. m <<
D. m << 思路:设椭圆上两点()()1122,,,A x y B x y ,中点坐标为()00,x y ,则有012
012
22x x x y y y =+??
=+?,
由中点问题想到点差法,则有()()22112222
121222
2234123403412
x y x x y y x y ?+=??-+-=?+=??,变形可得:()()()()12121212340x x x x y y y y -++-+= ①由对称关系和对称轴方程可得,直线
AB
的斜率
12
12
14y y k x x -=-
=
-,所以方程①转化为:
0000168034x y y x ??
+?-=?= ???
,由对称性可知AB 中点()00,x y 在对称轴上,所以有
004y x m =+,所以解得:003x m
y m
=-??=-?,依题意可得:点()00,x y 必在椭圆内,所以有
22003412x y +<,代入可得:()()22
34312m m -+-<
,解得:m <<答案:D
例6:过点()2,0M -的直线m 与椭圆2
212
x y +=交于12,P P 两点,线段12PP 的中点为P ,设直线m 的斜率为()110k k ≠,直线OP 的斜率为2k ,则12k k 的值为( )
A. 2
B. 2-
C.
12 D. 12
- 思路一:已知m 与椭圆交于12,P P 两个基本点,从而设()()111222,,,P x y P x y ,可知
1212,22x x y y P ++??
?
??,即12212
y y k x x +=+,从结构上可联想到韦达定理,设()
1:2m y k x =+,联立椭圆方程:
()()22
2222
111112188202
2x y k x k x k y k x ?+=??+++-=??=+?
,可得:211221821k x x k +=-+,所以()11211212
14421k y y k x x k k +=++=
+,则2112k k =-,即121
2
k k =- 思路二:线段12P P 为椭圆的弦,且问题围绕着弦中点P 展开,在圆锥曲线中处理弦中点问
题可用“点差法”,设()()111222
,,,P x y P x y ,则有2
2112222
12
1
2x y x y ?+=????+=??,两式作差,可得:()()()()()()2222
121212121212110022
x x y y x x x x y y y y -+-=?-++-+=,发现等式中出现与中点和12P P 斜率相关的要素,其中1212,22x x y y P ++??
?
??,所以12212
y y k x x +=+,且12112y y k x x -=
-,所以等式化为()()()()
12121212102y y y y x x x x -++=-+即12102k k +=,所以
1212
k k =-
答案:D
小炼有话说:两类问题适用于点差法,都是围绕着点差后式子出现平方差的特点。 (1)涉及弦中点的问题,此时点差之后利用平方差进行因式分解可得到中点坐标与直线斜率的联系
(2)涉及到运用两点对应坐标平方差的条件,也可使用点差法
例7:已知点()1,2A 在抛物线2
:4C y x =上,过点A 作两条直线分别交抛物线于点
,D E ,直线,AD AE 的斜率分别为,AD AE k k ,若直线DE 过点()1,2P --,则AD AE k k ?=
( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1 思路:设()()1122,,,D x y E x y ,进而所求()()12121212241
AD AE y y y y k k x x x x -++∴?=
-++,所以可从
直线DE 入手,设直线():21DE y k x +=+,与抛物线方程联立,利用韦达定理即可化简2AD AE k k ?=
解:设()()1122,,,D x y E x y
121222
,11
AD AE y y k k x x --∴=
=-- ()()12121212121224
22111
AD AE y y y y y y k k x x x x x x -++--∴?=
?=
---++ ① 设()1,2P --,则():21DE y k x +=+
联立方程:()
2421y x
y k x ?=??+=+??,消去x 可得:
24480ky y k -+-=
1212448
,k y y y y k k
-∴+==
21212242442y y k k k x x k k ++-+-+== ()2
212122
44
16y y k k x x k -+==
代入①可得:
22
22
484
242444421AD AE
k k k k k k k k k
k k --?+∴?==-++--+ 答案:C
例8:已知抛物线2
:4C y x =的焦点为F ,过点F 的直线l 交抛物线于,M N 两点,且
2MF NF =,则直线l 的斜率为( )
A.
B. ±
C. 2±
D. 4
± 思路一:从点的坐标出发,因为,,M F N 三点共线,从而2MF NF =可转化为
2MF NF =-,考虑将向量坐标化,()1,0F ,设()()1122,,,M x y N x y ,有
()()11221,,1,MF x y NF x y =--=--,所以122y y =-,设直线:1l x my =+,联立抛物线方程消元后可得:2
440y my --=,利用韦达定理可得:1212
44y y m
y y +=??=-?,再结合
122y y =-,消去12,y y 即可
得4m =±
,直
线:14
l x y =±
+,即可得到斜率
为±思路二:从所给线段关系2MF NF =恰好为焦半径出发,联系抛物线的定义,可考虑
,M N 向准线引垂线,垂足分别为,P Q ,便可得到直角梯形PMNQ ,由抛物线定义可
知:,MP MF NQ NF ==,将所求斜率转化为直线的倾斜角,即为PMF ∠。不妨设
M 在第一象限。考虑将角放入直角三角形,从而可过N 作NT MP ⊥于T ,则tan TN NMT TM
=
,
因
为
2MF NF
=而
TM PM PT PM QN MF NF NF =-=-=-=,
且3MN MF NF NF
=+=,利用勾
股
定
理
可
得
:
TN =
=,
从而tan TN NMT TM
=
=,
即k =,当
M
在第四象限时,同理,可得k =-
综上所述:k =±答案:B
例9:如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2
212
x y +=的左、右焦点分别为12,F F ,设,A B 是椭圆上位于x 轴上方的两点,且直线1AF 与直线2BF 平
行,2AF 与1BF 交于点P ,1223
3
AF BF =+,则直线1AF 的斜率是( )
A. 3
B. 2
C.
2
2
D. 1 思路:先设出直线12:1,:1AF x my BF x my =-=+,只需一个等量条件即可求出m ,进而求出斜率。考虑与椭圆联立方程,分别解出,A B 的纵坐标,然后利用弦长公式即可用m
表示12,AF BF :()()22221222211
211
,2
2m m m m m m AF BF m m ++++-+=
=
++,可
将已知等式转化为关于m 的方程,从而解出1m =,所以斜率为1
1m
= 解:由椭圆方程可得:()11,0F -,()21,0F
设12:1,:1AF x my BF x my =-=+,()()1122,,,A x y B x y ,依图可知:120,0y y >> 联立1AF 与椭圆方程可得:
()222
2211211
x y my y x my ?+=?-+=?
=-?,整理可得: ()2
22210m
y my +--= ()()
()22222121m m m m y ±+±+∴==
()2121m m y ++∴=
()122221112
211
112
F m m m AF m y y m y m +++∴=+-=+=
+
同理可得:()2222211
2
m m m BF m +-+∴=
+
))
22
1222
113223
m m AF BF m m +++-∴-=?-=++
3=,解得:1m =
∴ 直线1AF 的斜率1
1k m
=
= 答案:D
小炼有话说:(1)在运用弦长公式计算12,AF BF 时,抓住焦点的纵坐标为0的特点,使用纵坐标计算线段长度更为简便,因此在直线的选择上,本题采用x my b =+的形式以便于消去x 得到关于y 的方程
(2)直线方程x my b =+,当0m ≠时,可知斜率k 与m 的关系为:1k m
=
例10:过椭圆22
143
x y +=的右焦点F 作两条相互垂直的直线分别交椭圆于,,,A B C D 四点,则
11AB CD
+的值为( ) A.
18 B. 16 C. 1 D. 712
思路:首先先考虑特殊情况,即AB 斜率不存在。则AB 为通径,3AB =;CD 为长轴,所以4CD =,从而
117
12
AB CD +=。再考虑一般情况,所求,AB CD 为焦点弦,所以考虑拆成两个焦半径的和,如设()()1122,,,A x y B x y ,则
()122AB a e x x =-+,从而想到联立直线与椭圆方程并使用韦达定理整体代入,同理CD 也为焦半径。设AB 的斜率为k ,则CD 的斜率为1
k
-,所以,AB CD 均可用k 进
行表示,再求出
11AB CD
+的值即可 解:若,AB CD 分别与坐标轴平行,不妨设AB x ⊥轴,
则AB 为椭圆的通径,2
2b AB a
∴=