数学模型概述
2006年12月19日星期二下午 02:23
数学模型概述
数学是一切科学和技术的基础。数学教育改革关系到数学乃至科学的未来，努力使我国的数学教育面向21世纪，适应现代化建设的需要，已成为刻不容缓而又意义深远的任务。目前，数学的应用向着各个领域渗透，各行各业日益依赖于数学，甚至可以说当今的社会正日益数学化。从科学技术的角度来看，不少新的分支（交叉）学科出现了，特别是与数学相结合而产生的学科，例如数学化学、数学生物学、数学地质学、数学心理学、数理语言学、数学社会科学等。我国著名科学家钱学森教授也多次强调数学科学的重要性，并论述了他对“数学技术”的理解。而且象财务、会计专用软件包等都是大量应用了现有的相关的数学知识，开发数学模型以及应用数学技巧、方法的结果。然而多数人只是见到外在表现而没认识到所以能有这种外在表现的内在原因。因而人们对当今这个时代的日益数学化这一特点远没有取得共识。相反我们却看到一种矛盾的现象，一方面很容易“论证”数学的重要性，因为从小学一年级到大学一年级（甚至高年级、研究生阶段）每学期都要学习数学而且都是必修课，而任何其他学科都没有这么长的学习时间，因而“数学最重要”不是很显然了吗？然而认真地看一下对数学科研的资助在削弱，选学数学作为终身职业的学生数目锐减，甚至要求大量削减数学教学学时的“呼声”经常出现。不少有远见的科学家已经注意到这一问题的严重性。例如著名的Dvaid（美国数学界的权威）的报告中就指出“一方面，数学及数学的应用在科学、技术、商业和日常生活中所起的作用愈来愈大；在另一方面，一般公众甚至科学界对数学研究可以说是一无所知。”James G. Glimm在《数学科学，技术，经济竞争力》中指出“作为一种技术的数学科学的作用未被认识到，数学科学作为技术变化以及工业竞争的推动力的极其重要性也未被认识到”，E.E.David Jr.在《Notice of American Mathematical Society 》中肯定地指出“数学的重要性不是不言自明的，何况许多对此看法游移不定的人并没有认真地思考过（数学的重要性问题）。”他告诫数学界要作出更多的主动努力使人们更了解数学。众所周知，21世纪是人才竞争的时代，人才竞争的关键是人才的培养，大学作为人才培养的主要阵地，实施素质教育势在必行。
一、数学素质教育1、对数学地位和作用的再认识数学不仅是一切科学和技术的基础，而且是学习和攀登科学技术高峰的钥匙和先决条件。在信息社会里，由于计算机的广泛应用，加速了现代社会的“数学化”进程，因为越来越多的问题首先需要归结或表示为能用计算手段处理的数学问题，数学科学在社会发展中的地位空前提高，目前，人们把科学计算与理论研究、科学实验并列为科学研究的三种基本方法。在日常的经济与行政管理工作中，严谨的逻辑思维与定量思维是衡量一个人文化素质是否全面发展的一个重要标志。德国著名数学家H.G.Grassmann曾说过：“数学除了锻炼敏锐的理解力、发现真理以外，还有另一个训练全面考虑科学系统的头脑的开发功能”。而James在《数学科学·技术·经济竞争力》中指出：“数学的思考方式具有根本的重要性。简言之，数学为组织和构造知识提供了方法，以至于当用于技术时就能使科学家和工程师们生产出系统的、能复制的，并且是可以传播的知识。分析、设计、建模、模拟（仿真）及其具体实施就可能变成高效加结构良好的活动。”因此，“在经济竞争中数学科学是必不可少的，数学科学是一种关键的、普遍的、能够实行的技术”。
但是，众所周知，计算机并不是法力无边的，它不会自己建立模型，不会设计适当的方法，也不会自行编程序软件。计算机所擅长的只是按照人们编制的软件快速进行数学计算和符号演算。在这个意义是容易理解数学可以帮助人更好地驾驭计算机，计算机越发展越需要数学修养高的人。计算机正是借助于数学才获得了广泛的成功，甚至根本改变了许多技术领域的面貌。
综上所述，数学素质是素质的重要组成部分，实施以大学生数学素质教育为核心的数学教学改革势在必行。
2、高等院校数学教育的任务由于以计算机和通讯为代表的信息技术的迅猛发展，当前的数学教育面临两大问题：其一是信息革命对数学与数学教育提出了哪些新的要求，或者说数学教育应该进行哪些改革才能满足信息社会的需要；其二是现代教育技术对数学教学改革能发挥哪些作用，在新技术的支持下能否创设更理想的数学教育，以克服传统教育难以解决的哪些困难。一个不争的事实是：计算机革命的冲击力
如此迅猛，是因为人脑的延伸，它正以惊人的速度深刻地改变着人们的工作方式、生活方式与思维方式。70年代，美国的未来学家针对计算机的普遍使用，作了一个就业展望，结果令人吃惊：一半以上的职业将不复存在，其余大多数也将从根本上受到影响！这就是说现在正在为未来的就业而学习的面临一种危机，即在他们一开始走向社会时，原来要从事的职业可能已不存在了。
这就是我们所处的时代：一个迅猛变化而充满竞争的时代。面向21世纪培养素质型的人才是世纪之交我国高等教育改革的核心内容。为了主动适应社会主义市场经济和高等教育发展的需要，培养学生的综合素质，提高学生的实际应用能力，首先应使学生系统掌握本专业及与专业相关的基础理论、基础知识和基本技能，受到良好的科学思维和科学方法的基本训练。在知识结构上，达到以本专业知识为主，拓宽相关专业知识；在能力结构上，达到专业技能、职业技能和初等研究能力的复合。
从这个意义上讲，高等院校数学教育的任务应包括三方面的内容，即基本知识的传授、自学能力和创造性思维能力的培养以及应用数学思想和方法解决实际问题能力的培养。基本知识的传授是数学教育的基础，自学能力和创造性思维能力的培养是核心，数学应用是数学教育的目的。3、加强基础，提高大学生数学素质素质是知识和能力的综合体现，数学素质是指人们认识和处理数形规律、理解和运用逻辑关系、领会和研究抽象事物的能力，也是一种思维模式和思维习惯，其外在表现就是人们对事物从量的方面进行观察和研究的能力、思维的逻辑性和严谨性及应用数学方法解决实际问题的能力。高等院校数学素质教育的内涵就是通过教学活动让学生学习、掌握数学的思想、方法和技巧，培养学生论证运算能力、逻辑思维能力，特别是运用数学的立场、观点和方法分析、解决实际问题的能力，初步具备自学所需的更深入的数学新知的能力。因此，高等院校大学生的数学素质应由以下三方面能力组成：1）语言模型能力：初步具备分析问题、简化问题的能力以及用严谨且有逻辑层次的精练、准确的语言描述问题的能力；2）处理问题能力：初步具备查阅应用文献资料的能力，初步具备运用适当的数学思想、方法和技巧解决所遇到的实际问题，初步具备一定的计算机通用软件运用能力等；3）综合创新能力：初步具备一定的创造能力，科学论文的写作能力，与他人分开合作能力等。
二、数学模型及其建立1．一个简单的数学模型航行问题：甲乙两地相距90km，船从甲地到乙地顺水而行需3h，从乙地到甲地逆水而行需5h。问船速、水速各为多少？解：设船速、水速分别为x km/h，y km/h，根据题意，得：解之得：关于此问题求解过程的疑问：众所周知，“距离=时间×速度”是描述匀速直线运动的方程，在此问题中，船在90km的航行中何以保证其运动的匀速、直线运动？倘否，何以可用匀速直线运动规律来求解该问题？问题的回答应建立在对数学模型建立的理解上。2．数学模型概念模型是人们为了一定的目的对原型进行的一个抽象。数学模型并不是什么新东西（尽管过去很长时间这一术语用的很少），可以说，有了数学并要用数学去解决实际问题就一定要用数学的语言、方法去近似地刻划该实际问题，而这种刻划的数学表达就是一个数学模型，其过程就是数学建模。或者也可以进一步说，所谓数学模型是指对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具得到的一个对问题近似刻划的数学结构，以便于人们更深刻地认识所研究的对象。如上述航行问题中的一元二次线性方程组即是该问题的数学模型。
3）模型构造的两种学派在模型构造的指导思想上有两种不同的学派：一派主张尽可能地反映各种可能的影响因素，建立比较复杂的数学模型，以求得对现实情况更为精细的模拟，然后用计算机去求得结果；另一派主张选择其主要因素，建立相对比较简单的数学模型，以便更容易地通过数学推理和分析去揭示其本质的特性，而不被一些次要因素所困惑。
事实上，建立数学模型的目的是为了了解、掌握系统发展的规律，并对未来的发展作出预测预报，为决策者提供决策依据。因此，后一种方法更为可取。
4）建立数学模型的过程上述框图可形象地描述数学建模的全部思想及建立的全过程。其大致可以分为以下几步：
①模型准备：了解问题的实际背景，明确建模的目的，搜集建模所需的各种信息（如现象、数据等），尽量弄清对象的特征，由此初步确定用哪一类模型；
②模型假设：根据研究对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设。一般地，一个实际问题如果不经过简化假设很难“翻译”成数学问题，即使可能，也很难甚至于不可能求解。值得注意的是，由于考虑问题的视点不同，所作的简化假设不同，因而对同一问题会得到不同的数学模型。通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据、现象的分析，
或者是二者的结合。作假设时要充分利用各方面综合信息，要充分发挥想象力、洞察力和判断力，要分清问题中的主要因素、次要因素。但有一点要特别注意，模型的假设作得不合理或过于简单，会导致模型失败或部分失败；假设作得过于详细，则可能把问题复杂化，很难甚至无法继续进行下去。
由于模型简化假设的重要性及其本身的困难性，这就需要我们经常对一些感兴趣的问题多思多想多练，逐渐体会其中的奥秘。一般地，对问题的简化假设可逐渐由易到难的过程，逐步取得希望得到的结果。
③模型构成：根据所做的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量（常量和变量）之间的等式（或不等式）关系或其他数学结构。
④模型求解：可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值计算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。尤其是各种数学软件的使用，如Maple、Mathematica、Matlab、SPSS等，当然不是要精通每一个数学软件，熟练掌握其中一个软件即可。近年，Maple软件以其功能强大、界面友好、简单易学而深得人们喜爱。
⑤模型分析：对模型求解进行数学上的分析，主要是进行误差分析、稳定性分析及灵敏性分析等。
⑥模型检验：把数学上的分析结果“翻译”回到实际问题，并用实际的现象、数据与之比较，检验模型的合理性和适用性。这是建模成败的关键。模型检验的结果如果不符合或者部分不符合实际，应该对模型简化假设部分再做进一步的修改、补充，重新建立模型。
⑦模型应用：建立模型的主要目的是对实际生产进行预测、预报并提供相应的决策、控制，所以任何没有应用价值的完善的数学模型都是没有任何意义的。
实际上，数学建模是一个多次迭代过程，每一次迭代大体上包括：实际问题的抽象、简化、假设，明确参数和变量；形成明确的数学问题并建立相应的每一简化层次上的数学模型；解析地或数值地求解该数学模型；对结果进行解释、分析、验证；如果符合实际则交付使用，否则，进行下一次迭代，如此循环，直至得到满意结果为止。
三、数学实验
随着计算机科学与技术的迅猛发展，人类已经进入以计算机、网络、数码、光纤、多媒体为主要标志的信息时代。人们越来越意识到，在工业时代，人类要解放的是自己的双手，而在信息时代要解放的则是自己的大脑。
计算机特别是数学软件的迅速发展对数学科学也产生了巨大的冲击，对数学研究的观念及研究方法都产生了深刻的影响，甚而可以说这种影响是一场革命性的影响。引发这场冲击波的最主要的数学事件是“四色定理”的证明。1976年，美国Illinois大学的两名年轻数学家利用计算机成功地解决了困扰数学界长达近两百年之久的著名的四色定理（即：地图是可四面着色的），这一成果震惊了整个数学界。众所周知，数学问题只能是通过严格的数学逻辑推理才能得到证明，但四色定理的结果则是借助计算机技术并运用穷举法而得，因而在当时有一大批数学家不承认这是一个证明。经过长时间的争论，这一结果最终还是被数学界接受了，并由此引发了数学家们的思考，从而产生了“数学实验”这一新的数学研究方法。在此后的数十年，数学科学中的一个新的具有极大生命力的分支——实验数学得到了人们广泛关注并有了长足的发展。
由于上述原因，数学实验在数学教育特别是数学素质教育中的重要地位被愈来愈多的人所认识。我们有理由相信，数学实验这一新的数学学习及研究方法定会被越来越多的学生所接受，并会在大学生数学素质的形成过程中具有不可低估的重要性。
1．计算机数学实验与计算机代数系统
所谓数学实验，简单地说，就是用计算机代替笔和纸以及人的部分脑力劳动进行科学计算、数学推理、猜想的证明以及智能化文字处理等。
科学计算包括两类：一类是纯数值的计算，例如求函数值、方程的数值解等；另一类是符号计算，又称代数运算，这是一种智能化的计算，处理的是符号，符号可以代表整数、有理数、实数和复数，也可以代表多项式、函数，还可以代表数学结构如集合、群等。我们在数学的教学和研究中通常用笔和纸进行的数学运算多为符号运算。
数值计算常常是一项非常繁琐的工作，事实上，人类很早就意识到在解决实际问题时对于数学特别是“计算”（包括数值计算、逻辑运算、符号计算、图形计算等）的极端重要性，并致力于“计算”的机械化及计算机械的发明创造（如算盘、对数计算器、计算尺、加法机、Leibnitz演算机、差分机，等等）。直到计算机的出现和发展才逐步解决了数值计算中的困难。从计算机发明到现在五十多年间，用计算机进行的科学计算主要是数值计算，如天气预报、油藏模拟、航天等。
而用计算机进行符号和代数运算是数学和计算机领域的一个新的发展方向。长期以来，数学家和计算机科学家梦想用计算机代替人脑进行代数符号运算以及数学的各种处理，使数学走向“机械化”的道路，从而也使计算机本身更加智能化。我国著名数学家吴文俊院士首先提出的“吴氏消元法”为数学处理在计算机上的实现奠定了理论基础，并在几何定理机械证明、方程组求解、微分几何、理论物理、机器人学、计算机图形学等数学和高科技领域相继获得了广泛的应用。
20世纪80年代以来，用计算机进行代数运算的研究在国外发展非常迅速，涉及的数学领域不断地扩大，出现了多种符号运算方法、计算程序和系统，如符号运算（symbolic computation）、符号和代数运算（symbolic and algebra computation）、符号处理（symbolic manipulation）、计算机代数（computer algebra）等等。这是一个以构造性数学为核心，以计算机实现为目标，以实用的算法为研究内容，以实用程序或软件为成果的研究领域，这个领域被称为计算机数学。计算机数学的发展逐步产生了一些独立的计算机程序库，称为计算机代数系统。一部分计算机代数系统发展成为完整的专用或通用的计算机数学软件，如美国的Mathematica、Matlab，加拿大的Maple等。
根据计算机代数系统的用途，将其分为两类：专用系统和通用系统。专用系统主要是为解决物理和数学某些分支中的特殊问题而设计的，专用系统在符号和数据结构上都适用于相应的领域而且多数是用低级语言编写的，因此专业人员使用很方便，计算速度也较快，它们在专业问题的研究中起着重要的作用；通用系统具有多种数据结构和丰富的数学函数，应用领域广泛。
总之，计算机数学是数学研究领域的新方向，计算机数学的产品——数学软件在不断地发展、提高和完善。数学软件为数学的教学、研究和应用开辟了新天地，既使数学实验成为可能，又使数学成果直接为实际服务以及使数学的大众化成为可能。
2．数学实验数学实验是计算机技术和数学软件引入教学后出现的新事物，是数学教学体系、教学内容和教学方法改革的一项尝试。几年前，设置数学实验课的构想一出现，立即在数学教育界引起反响。2000年，在教育部高教司主持编纂出版的“高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革报告”的《高等数学改革研究报告》中，把“数学实验”列为高校理科类专业的基础课之一，并明确指出了数学实验在数学教学体系中的作用和地位等。
1）数学实验课程开设的必要性当前传统的数学教育面临巨大的困难。从教学内容看，几十年不变，内容较为陈旧；从教学方法看，大部分数学课堂没有摆脱以教师传授为主的注入式，数学课难以唤起学生的积极性；从教学对象看，数学教育并没有做到面向全体学生，真正的“因材施教”至今还难以实现；从教学目标看，决大部分精力还放在应付考试的单纯解题训练上，数学知识的形成过程被淹没了，数学与实际的生动联系不见了；从教学模式看，基本上还是教师讲学生听的“一刀切”的班级授课，学生被动学习的局面没有改变，缺少必要的“个别化”教学与学生彼此之间的交流，学生的课堂参与是极其有限的；从教学评估看，大部分是凭经验“摸着石头过河”，难于及时准确地了解教学信息，因而我们的教学策略难以保证有很强的针对性；从教学手段看，没有摆脱“粉笔+黑板”的束缚，计算与画图还是传统的手工方式，教师的工作基本上还属于个体的手工业劳动。数学不仅是学生的沉重负担，也是教师的沉重负担。
因此，传统的数学教育已远远不能满足数学化时代的需求，而把计算机技术引入教育将带来深刻而广泛的影响，它不单会影响到教学内容的变化，而且将引发教学方法、教学模式、教学观念等等一系列的变革。特别是计算机强大的文字、图形、动画和声音功能，能够激发学生的兴趣，增强学习的积极性；能给学生提供更多动手的机会，特别是计算机的人机交互功能，为实现教学的“个别化”创设了理想的环境。
2）数学实验的主要功能①帮助学生认知数学概念数学概念是数学的基础，是数学的灵魂，但因其高度的抽象性使学生往往难以理解，更有甚者，部分学生因此而失去数学学习的兴趣。如极限是数学教学的一个难点，在传统的一支笔、一块黑板、一张嘴的教学模式下，很难把随n的不断变化而趋向某个常数或不趋向于某个常数的动态过程显露出来，更不能有一个学生参与的认知环境。一段时间下来，一些学生对极限的概念还是不理解，“意义建构”并未完成。而运用计算机教学工具，可以把数列的通项随n 变化的过程动态的显示出来，学生可以亲自参与，反复实践，反复体验何谓“无限逼近”。在这样的认知环境下，加上教师的启发来完成概念的形成过程。
②帮助学生做数学实验在传统的教学模式中，教学过程中的一切几乎都是由教师决定的，学生很少有参与实践的机会。而在交互式计算机的学习环境中，学生不仅可以接受教师的安排而且还可以有自己的设想，可以自己做“数学实验”。在这样的认知环境及教学模式下，学生积极主动，观察能力、归纳能力、思维能力都得到了很好的训练、培养，素质也会得到提高。③帮助学生实现“数学的发现”多媒体计算机在教学中的运用，给学生以“数学发现”的机会。学生不仅获取了知识、培养了能力、增长了才干，也使他们的丰富的想象力与创造力得到充分的发挥。传统的教学中，学生的想象力很难发挥出来，甚至可以说被扼杀。而在数学实验室，可很容易地使知识间的联系立即建立，所学的难以理解的概念瞬间可以得到应用。数学学习的兴趣还需要“激发”？！
④用计算机进行数学辅导课堂的局限性很大，学生课后需要复习，希望课堂的再现，需要课外辅导。传统的教学中许多学生一直在“听老师讲”还是“记好课堂笔记”之间举棋不定。利用计算机教学软件可以很方便的解决这个问题。上课时学生不必记笔记，大量的时间用在老师指导下的教学活动中（“协商”、“会话”，也不仅仅是“听讲”）。课后，学生可以根据自己的需要再现课堂教学的任一部分内容，或者再反复地实验、琢磨。在网络状态下，学生在自己家里也可以向老师提出问题，求得解答，课后的辅导变得随时随地。
⑤用计算机做数学练习传统的数学练习只能暴露几个学生的解题结果，代表性不强。在网络教室中，教师可以根据需要调阅任一个学生的学习效果，及时发现他们的进度、难处，以便及时地加以纠正。好的方法、典型的问题、典型的错误可以再展示在大屏幕上或板演到黑板上，或者指示其他同学调阅学习伙伴的学习情况。同学之间也可以利用网络进行讨论。
⑥帮助学生应用计算机解决实际问大学生数学素质教育的核心内容就是应用数学的思想、方法和技巧解决实际问题。问题的解决首先应是数学模型的建立（数学建模课程教学基本可以达到这一目的），而模型的求解则必须依赖于数学软件等软件的使用，这恰是数学实验室的主要任务之一，即数学软件的系统学习与实验。譬如线性规划问题求解，通常应用单纯形法求解一个简单的问题都需要较长的时间，而在数学软件中只需要几分钟就可求出最优解。
由于数学软件的方便、快捷及不易出错的特点，学生不再需要花费大量的时间在计算上，而可把更多的时间用在数学思想、方法和技巧的理解及应用上。如此形成一个良性循环，数学素质教育的目的才能实现，高素质的数学应用人才才能得以培养。
四、数学建模素质培养众所周知，人才的培养是关键。今天，在技术（科学）中最有用的数学研究领域是数值分析和数学建模。从某种意义上讲，数学建模已经发展成一个相对独立的数学分支，而且不断地向应用数学和纯粹数学提供着大量的挑战性问题，从而推进着数学科学的发展（特别是近年来正在迅速发展的工业数学（Industrial Mathematics））。由于计算机及通讯手段的迅速发展，近三十年来数学建模的研究取得了前所未有的蓬勃发展，数学建模已成为数学科学向一切领域渗透的主要媒介。愈来愈多的人认识到，一个有竞争能力的科技人员必须具备一定的数学建模知识和能力，为此，作为人才培养主要阵地的大学开设数学建模课程就显得十分必要。实践证明，数学建模在培养具有创新精神的人才方面起到了积极的作用，是数学教学改革特别是数学素质教育的切入点和生长点。简单地说，下述几方面能力的培养则显得重要而有意义。
1．培养“翻译”的能力：即把经过一定抽象、简化的问题用数学语言表达出来形成数学模型，对应用数学的方法进行推演或计算得到的结果，能用“常人”能懂的语言“翻译”（表达）出来；2．应用已
学到的数学方法和思想进行综合应用和分析，并能学习一些新的数学知识（若需要），并能理解合理的抽象和简化，特别是进行数学分析的重要性；3．发展联想能力：因为对于不少完全不同的实际问题，在一定的简化层次下，它们的数学模型是相同的或相似的，这正是数学的应用广泛性的表现。这就要求培养学生有广泛的兴趣，多思多想多练，通过熟能生巧而逐步达到触类旁通的境界；4．逐渐发展形成一种洞察能力，通俗地讲就是一眼能抓住或部分抓住问题要点的能力；5．熟练使用技术手段，特别是计算机技术，尤其是数学软件，这将帮助你节省时间，在一定阶段能得到直观形象的结果。另外，还应具备与他人分工合作能力及一定的文字表达能力等等。
五、结束语
a）21世纪是人才竞争的时代，人才竞争的关键是人才的培养，大学作为人才培养的主要阵地，实施素质教育势在必行。素质教育立足于人的潜能的开发和综合品质的提高，其目的在于提高受教育者的素质。
数学素质是素质的重要组成部分。b）《数学模型和数学实验》作为数学素质教育的核心课程，其主
要内容是“数学建模、数值计算、数据处理”，通过学习，使学生初步具备下述三方面能力①语言模型
能力：初步具备分析问题、简化问题的能力以及用严谨且有逻辑层次的精练、准确的语言描述问题的能力；
②处理问题能力：初步具备查阅应用文献资料的能力，具备运用适当的数学思想、方法和技巧解决所遇
到的实际问题，具备一定的计算机通用软件运用能力等；③综合创新能力：初步具备一定的创造能力，
科学论文的写作能力以及与他人分开合作能力等。c）尽管《数学模型和数学实验》是数学素质
教育的核心内容，但我们必须清醒地认识到，《数学模型和数学实验》绝不能取代其它数学课程教学，它
是数学教学的一个重要而不可缺少的有机组成部分。
主要参考文献
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https://www.doczj.com/doc/a02265204.html,/mathspace/blog/item/9b87663e81d9bf3d71cf6c05.html
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）
西北农林科技大学实验报告 学院名称：理学院 专业年级：2013级信计1班 姓 名： 学 号 课 程：数学模型与数学建模 报告日期：2013年12月1日 拟合模型与回归分析 实验目的 配合《数学建模与数学模型》的第3章“常见的模型及其组建”，介绍如何运用数学软件进行模型组建，并结合数学理论分析求解模型。 拟合模型的组建是通过对有关变量的观测数据（散点图）的观察、分析。结合问题背景，运用数学分析，选择当前恰当的数学表达方式得到的。拟合的目的是寻找一条光滑曲线y=ψ(x),能够很好地表现受随机因素干扰的观测数据 (){}n i i i y x 1,=所反映的规律。原则上尽量选择简单的数学公式表达规律，在简单 的数学表达式中选择拟合效果好的。 一、赛跑成绩与赛跑距离 1 实验题目 赛跑成绩与赛跑距离 2 实验问题陈述 下面的表2.1.1给出了1997年以前6个不同距离的中短距离赛跑成绩的世界纪录： 3 实验内容 解 共分4个步骤，分别叙述如下。 步骤1 在坐标系上画出观测数据的散点图。 >> X=[100 200 400 800 1000 1500]; >> Y=[9.95 19.72 43.86 102.4 133.9 212.1]; >> plot(X,Y,'*')
步骤2 根据散点图，取线性拟合模型y=a+bx. 步骤3 利用数据（x i ,y i ）估计模型参数a,b 。就是在寻找超定方程（方程个数多于未知数的个数）Ad =y ′的近似解d =(a,b)′,其中 ? ? ?? ?? ??=n x x A ...1...11，????? ? ??=n y y ...y ′ 1 称X=（x 1,x 2,....,x n ）′为设计矩阵。采用最小二乘法确定参数的估计值∧a ,∧ b ,也就是求拟合残差平方和 ∑=--=n i i i bx a y Q 12)( 的最小值（a,b)。下面利用MATLAB 指令完成参数估计。 >> A=[ones(size(X))',X']; >> d=A\Y'; >> z=d(1)+d(2).*X; ; 得到线性模型：y=-9.99+0.145x. 步骤4 分析拟合效果，做拟合图。 >> plot(X,Y,'*',X,z,'LineWidth',2) >> Q=sum((Y-z).^2)
2017年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”） B题“拍照赚钱”的任务定价 “拍照赚钱”是移动互联网下的一种自助式服务模式。用户下载APP，注册成为APP的会员，然后从APP上领取需要拍照的任务（比如上超市去检查某种商品的上架情况），赚取APP对任务所标定的酬金。这种基于移动互联网的自助式劳务众包平台，为企业提供各种商业检查和信息搜集，相比传统的市场调查方式可以大大节省调查成本，而且有效地保证了调查数据真实性，缩短了调查的周期。因此APP成为该平台运行的核心，而APP中的任务定价又是其核心要素。如果定价不合理，有的任务就会无人问津，而导致商品检查的失败。 附件一是一个已结束项目的任务数据，包含了每个任务的位置、定价和完成情况（“1”表示完成，“0”表示未完成）；附件二是会员信息数据，包含了会员的位置、信誉值、参考其信誉给出的任务开始预订时间和预订限额，原则上会员信誉越高，越优先开始挑选任务，其配额也就越大（任务分配时实际上是根据预订限额所占比例进行配发）；附件三是一个新的检查项目任务数据，只有任务的位置信息。请完成下面的问题： 1.研究附件一中项目的任务定价规律，分析任务未完成的原因。 2.为附件一中的项目设计新的任务定价方案，并和原方案进行比较。 3.实际情况下，多个任务可能因为位置比较集中，导致用户会争相选择，一种 考虑是将这些任务联合在一起打包发布。在这种考虑下，如何修改前面的定价模型，对最终的任务完成情况又有什么影响？ 4.对附件三中的新项目给出你的任务定价方案，并评价该方案的实施效果。 附件一：已结束项目任务数据 附件二：会员信息数据 附件三：新项目任务数据
数学建模方法模型 一、统计学方法 1 多元回归 1、方法概述: 在研究变量之间的相互影响关系模型时候用到。具体地说:其可以定量地描述某一现象和某些因素之间的函数关系，将各变量的已知值带入回归方程可以求出因变量的估计值，从而可以进行预测等相关研究。 2、分类 分为两类:多元线性回归和非线性线性回归;其中非线性回归可以通过一定的变化转化为线性回归，比如:y=lnx 可以转化为 y=u u=lnx 来解决;所以这里主要说明多元线性回归应该注意的问题。 3、注意事项 在做回归的时候，一定要注意两件事: (1) 回归方程的显著性检验(可以通过 sas 和 spss 来解决) (2) 回归系数的显著性检验(可以通过 sas 和 spss 来解决) 检验是很多学生在建模中不注意的地方，好的检验结果可以体现出你模型的优劣，是完整论文的体现，所以这点大家一定要注意。 4、使用步骤: (1)根据已知条件的数据，通过预处理得出图像的大致趋势或者数据之间的大致关系; (2)选取适当的回归方程; (3)拟合回归参数; (4)回归方程显著性检验及回归系数显著性检验 (5)进行后继研究(如:预测等)
2 聚类分析 1、方法概述 该方法说的通俗一点就是，将 n个样本，通过适当的方法(选取方法很多，大家可以自行查找，可以在数据挖掘类的书籍中查找到，这里不再阐述)选取 m 聚类中心，通过研究各样本和各个聚类中心的距离 Xij，选择适当的聚类标准，通常利用最小距离法(一个样本归于一个类也就意味着，该样本距离该类对应的中心距离最近)来聚类，从而可以得到聚类结果，如果利用sas 软件或者 spss 软件来做聚类分析，就可以得到相应的动态聚类图。这种模型的的特点是直观，容易理解。 2、分类 聚类有两种类型: (1) Q型聚类:即对样本聚类; (2) R型聚类:即对变量聚类; 通常聚类中衡量标准的选取有两种: (1) 相似系数法 (2) 距离法 聚类方法: (1) 最短距离法 (2) 最长距离法 (3) 中间距离法 (4) 重心法 (5) 类平均法 (6) 可变类平均法 (7) 可变法
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名)：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：指导教师组 日期：年月日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
论文标题 摘要 摘要是论文内容不加注释和评论的简短陈述，其作用是使读者不阅读论文全文即能获得必要的信息。 一般说来，摘要应包含以下五个方面的内容： ①研究的主要问题； ②建立的什么模型； ③用的什么求解方法； ④主要结果（简单、主要的）； ⑤自我评价和推广。 摘要中不要有关键字和数学表达式。 数学建模竞赛章程规定，对竞赛论文的评价应以： ①假设的合理性 ②建模的创造性 ③结果的正确性 ④文字表述的清晰性 为主要标准。 所以论文中应努力反映出这些特点。 注意：整个版式要完全按照《全国大学生数学建模竞赛论文格式规范》的要求书写，否则无法送全国评奖。
工程技术中常用的数学建模方法概述 摘要对目前工程和管理研究领域所涉及的数学建模方法作了简要分析，指出不同的问题所需用到的建模方法，并通过举例说明建模的方法和步骤。 关键词数学建模；建模方法；模型；建模；数学应用 在现实社会生产实践中，随着科学研究的进步，多学科交叉运用越来越多。数学建模就是一种解决实际应用问题的有效方法，当然要在充分了解问题的实际背景的基础上，把实际问题抽象成数学问题，建立起数学模型，利用数学知识对数学模型进行分析探求，得到数学结果，得出应用问题的解。即通过对问题的数学化，模型构建和求解检验[1]。 其一般步骤可分成如下几点： （1）模型准备：了解问题的实际背景，搜集建模必需的各种信息，明确建模目的。 （2）建模：对问题进行必要合理的简化和假设，根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量（变量和常量）之间的关系或其他数学结构。 （3）求模：根据数学知识和方法，求解数学模型，得到数学问题的结果。求模时要注意灵活运用各种数学方法，包括matlab等工程软件[2]。 （4）回归：把数学问题的结果回归到实际问题中，通過分析，判断，验证，得到实际问题的结果。 下面谈谈几种常用的数学建模法，限于篇幅，不便举太多例子。 （1）建立函数模型法 有关成本最低，效益最大，用料或费用最省等应用问题，可考虑建立相应函数关系式，并把实际问题转化为求最值的问题。 （2）建立三角形模型法 有关涉及几何、测量、航海等应用问题可考虑转化为三角问题来解决[3]。 （3）建立数列模型法 对于一些产量增长，细菌繁殖，存款利率，物价调节，人口探测等应用问题，往往需要通过观察分析，归纳抽象，建立出数列模型，然后用数列的有关知识加
A题炉温曲线 在集成电路板等电子产品生产中，需要将安装有各种电子元件的印刷电路板放置在回焊炉中，通过加热，将电子元件自动焊接到电路板上。在这个生产过程中，让回焊炉的各部分保持工艺要求的温度，对产品质量至关重要。目前，这方面的许多工作是通过实验测试来进行控制和调整的。本题旨在通过机理模型来进行分析研究。 回焊炉内部设置若干个小温区，它们从功能上可分成4个大温区：预热区、恒温区、回流区、冷却区（如图1所示）。电路板两侧搭在传送带上匀速进入炉内进行加热焊接。 图1 回焊炉截面示意图 某回焊炉内有11个小温区及炉前区域和炉后区域（如图1），每个小温区长度为30.5 cm，相邻小温区之间有5 cm的间隙，炉前区域和炉后区域长度均为25 cm。 回焊炉启动后，炉内空气温度会在短时间内达到稳定，此后，回焊炉方可进行焊接工作。炉前区域、炉后区域以及小温区之间的间隙不做特殊的温度控制，其温度与相邻温区的温度有关，各温区边界附近的温度也可能受到相邻温区温度的影响。另外，生产车间的温度保持在25oC。 在设定各温区的温度和传送带的过炉速度后，可以通过温度传感器测试某些位置上焊接区域中心的温度，称之为炉温曲线（即焊接区域中心温度曲线）。附件是某次实验中炉温曲线的数据，各温区设定的温度分别为175oC（小温区1~5）、195oC（小温区6）、235oC（小温区7）、255oC（小温区8~9）及25oC（小温区10~11）；传送带的过炉速度为70 cm/min；焊接区域的厚度为0.15 mm。温度传感器在焊接区域中心的温度达到30oC时开始工作，电路板进入回焊炉开始计时。 实际生产时可以通过调节各温区的设定温度和传送带的过炉速度来控制产品质量。在上述实验设定温度的基础上，各小温区设定温度可以进行oC范围内的调整。调整时要求小温区1~5中的温度保持一致，小温区8~9中的温度保持一致，小温区10~11中的温度保持25oC。传送带的过炉速度调节范围为65~100 cm/min。 在回焊炉电路板焊接生产中，炉温曲线应满足一定的要求，称为制程界限（见表1）。 表1 制程界限 界限名称 最低值 最高值
《数学建模》课程简介 20053025 数学建模 4.5 Mathematical Modeling 4-1 预修要求：微积分、线性代数 面向对象：竺可桢学院工程高级班 内容简介： 本课程以物理、生态、环境、医学、管理、经济、信息技术等领域的一些典型实例为背景，阐述如何通过建立数学模型的方法来研究、解决实际问题的基本方法和技能。开设本课程的目的是，在传授知识的同时，通过典型建模实例的分析和参加建模实践活动，培养和增强学生自学能力、创新素质。参加数学建模课的学习，应自己动手解决一、二个实际问题，以求在实际参与中获取真知。 本课程包括一定学时的讨论班，学生可利用课外时间自己参与建模实践活动并自愿参加由指导教师组织的讨论班活动。选修本课程的本科生经双向选择还有机会参加全国大学生数学建模竞赛（每年约90人）和美国大学生数学建模竞赛（每年为21人）。 推荐教材或参考书： “数学建模”，杨启帆、谈之奕、何勇编著，浙江大学出版社出版，2006年7月 《数学建模》教学大纲 20053025 数学建模 4.5 Mathematical Modeling 4-1 预修要求：微积分、线性代数 面向对象：竺可桢学院工程高级班 一、教学目的与基本要求： 通过典型数学模型分析和课外建模实践，使学生基本掌握运用数学知识建立数学模型来研究科研问题或实际课题的基本技能与基本技巧，本课程教学除传授知识外还要求学生在实际建模中注意培养和提高自身的能力，以便提高自己的综合素质与实际本领。 二、主要内容及学时分配： 1.数学建模概论，3学时 2.初等模型，8学时：舰艇的汇合，双层玻璃的功效，崖高的估算，经验模型，参数 识别，量纲分析法建模，方桌问题、最短路径与最速方案等 3.微分方程建模，14学时：马尔萨斯模型和罗杰斯蒂克模型，为什么要用三级火箭发 射人造卫星，药物在体内的分布，传染病模型，捕食系统的P-P模型，双种群生态 系统研究等
一、数学模型的定义 现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。不过我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。一般来说数学建模过程可用如下框图来表明： 数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。 二、建立数学模型的方法和步骤 1. 模型准备 要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。 2. 模型假设 根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。 3. 模型构成 根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。 4. 模型求解 可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。 5. 模型分析 对模型解答进行数学上的分析。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，能否对模型结果
《数学模型》教学大纲 课程名称: 数学模型(Mathematical Model) 适用专业：应用数学、信息与计算科学 课程学时: 48学时理论+32学时实验 课程学分: 4 先修课程：微积分、线性代数、概率论 考核方式：期末论文 理论课教学大纲 一、课程的性质与任务 随着其它学科和计算机的迅速发展，数学已经向各个领域广泛渗透，数学已经由原来的高度抽象、严格推理和严密证明的理论课过渡成为解决许多边缘学科和交叉学科的关键技术。而数学一开始就是为了解决实际问题的需要而产生，数学模型或建立数学模型课程的开设就是一个朴素的回归。 设立数学建模课程的主要目的是培养学生应用所学的数学基础知识（微积分、线性代数、概率统计）解决实际问题的能力，培养新型的应用型动手能力强的人才。本课程通过一系列典型案例的分析、学习和应用，使学生掌握解决实际问题的一般步骤和原理；通过一些必要的辅助计算软件（lingo优化软件、matlab科学计算软件等）的培训，培养学生新型的数学观：数学中很多的复杂而重复的计算，应该完全交给计算机去做，人就回到思考、分析、设计、评估等更重要的工作中去。 由于实际问题的复杂性和广泛性，本课程在讲授不同类型的模型时，可以参考不同的教材和选取不同的计算软件，所以在教材的选取上本着灵活性和多样性，因而不同章节有不同的参考书。 二、课程的内容 第1章．数学建模概论 1.1 什么是数学模型
1.2 几个简单的建模案例 1.3 建立数学模型的基本方法和步骤 1.4 数学模型的特点和分类 1.5 数学建模能力的培养 参考教材：《数学模型》.高教出版社.姜启源 《数学建模与数学实验》.高教出版社.赵静 《数学建模方法及其应用》高教出版社.韩中庚 第2章. 初等数学模型 2.1 公平的席位分配问题 2.2 动物的身长和体重 2.3 空间点热源的扩散问题 参考教材：《数学模型》.高教出版社.姜启源 《数学建模与数学实验》.高教出版社.赵静 第3章. 数学规划模型 3.1 线性和非线性规划模型相关概念 3.2 几种线性规划问题 指派为问题运输问题材料切割问题配方问题排序问题 多阶段生产计划问题生产流程问题 参考教材：《数学模型》.高教出版社.姜启源 《运筹学》.清华大学出版社.胡运权 《管理运筹学》.高教出版社.韩伯棠 《lingo优化软件》.清华大学出版社.谢金星 第4章与图有关的优化问题 4.1 最短路径问题 4.2 流量问题 4.3 最优连线问题（最小树问题） 4.4 最优回路问题（哈密尔顿回路） 4.5 最小覆盖与最小配对问题 参考教材：《运筹学》.清华大学出版社.胡运权 《管理运筹学》.高教出版社.韩伯棠
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 A题储油罐的变位识别与罐容表标定 通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。 许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。 请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。 （2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。 附件1：小椭圆储油罐的实验数据 附件2：实际储油罐的检测数据 地平线油位探针
第十三章线性规划与数学建模简介 【授课对象】理工类专业学生 【授课时数】6学时 【授课方法】课堂讲授与提问相结合 【基本要求】1、了解数学模型的基本概念、方法、步骤； 2、了解线性规划问题及其数学模型； 3、了解线性规划问题解的性质及图解法. 【本章重点】线性规划问题. 【本章难点】线性规划问题、线性规划问题解的性质、图解法. 【授课内容】 本章简要介绍数学建模的基本概念、方法、步骤，并以几个典型线性规划问题为例，介绍构建数学模型的方法及其解的性质。 §1 数学建模概述 一、数学建模 数学建模是构造刻划客观事物原型的数学模型并用以分析、研究和解决实际问题的一种科学方法。运用这种科学方法，必须从实际问题出发，遵循从实践到认识再实践的认识规律，围绕建模的目的，运用观察力、想象力的抽象概括能力，对实际问题进行抽象、简化，反复探索，逐步完善，直到构造出一个能够用于分析、研究和解决实际问题的数学模型。因此，数学建模是一种定量解决实际问题的创新过程。 二、数学模型的概念 模型是人们对所研究的客观事物有关属性的模拟。例如在力学中描述力、 量和加速度之间关系的牛顿第二定律F＝ma就是一个典型的（数学）模型。一般地，可以给数学模型下这样的定义：数学模型是磁于以部分现实世界为一定目的而做的抽象、简化的数学结构。 通俗而言，数学模型是为了一定目的对原型所作的一种抽象模拟，它用数学 式子，数学符号以及程序、图表等描述客观事物的本质特征与内在联系。 三建立数学模型的方法和步骤 建立数学模型没有固定模式。下面介绍一下建立模型的大体过程： 1.建模准备 建模准备是确立建模课题的过程。这类课题是人们在生产和科研中为了使 认识和实践过一步发展必须解决的问题。因此，我们首先要发现这类需要解决的实际问题。其次要弄清所解决问题的目的要求并着手收集数据。进行建模筹划，组织必要的人力、物力等，确立建模课题。 2．模型假设 作为建模课题的实际问题都是错综复杂的、具体的。如果不对这些实际问题进行抽象简化，人们就无法准确把握它的本质属性，而模型假设就是根据建模的目的对原型进行抽象、简化，抓住反映问题本质属性的主要因素，简化掉那些非本质的
2 0 1 3 高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”) B 题碎纸片的拼接复原 破碎文件的拼接在司法物证复原、历史文献修复以及军事情报获取等领域都有着重要的应用。传统上，拼接复原工作需由人工完成，准确率较高，但效率很低。特别是当碎片数量巨大，人工拼接很难在短时间内完成任务。随着计算机技术的发展，人们试图开发碎纸片的自动拼接技术，以提高拼接复原效率。请讨论以下问题： 1. 对于给定的来自同一页印刷文字文件的碎纸机破碎纸片(仅纵切)，建立碎纸片拼接 复原模型和算法，并针对附件1、附件 2 给出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼接复原。如果复原过程需要人工干预，请写出干预方式及干预的时间节点。复原结果以图片形式及表格形式表达(见【结果表达格式说明】)。 2. 对于碎纸机既纵切又横切的情形，请设计碎纸片拼接复原模型和算法，并针对附件3、附件4 给出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼接复原。如果复原过程需要人工干预，请写出干预方式及干预的时间节点。复原结果表达要求同上。 3. 上述所给碎片数据均为单面打印文件，从现实情形出发，还可能有双面打印文件的碎纸片拼接复原问题需要解决。附件 5 给出的是一页英文印刷文字双面打印文件的碎片数据。请尝试设计相应的碎纸片拼接复原模型与算法，并就附件 5 的碎片数据给出拼接复原结果，结果表达要求同上。 【数据文件说明】 (1) 每一附件为同一页纸的碎片数据。 (2) 附件1、附件2为纵切碎片数据，每页纸被切为19 条碎片。 (3) 附件3、附件4为纵横切碎片数据，每页纸被切为11X19个碎片。 (4) 附件5为纵横切碎片数据，每页纸被切为11 X 19个碎片，每个碎片有正反两面。该附件中 每一碎片对应两个文件，共有2X 11X 19个文件，例如，第一个碎片的两面分别对应文件000a、000b。 【结果表达格式说明】 复原图片放入附录中，表格表达格式如下： (1) 附件1、附件2的结果：将碎片序号按复原后顺序填入1X 19的表格； (2) 附件3、附件4的结果：将碎片序号按复原后顺序填入11X 19的表格； (3) 附件5的结果：将碎片序号按复原后顺序填入两个11X 19的表格；
一、多元回归 1、方法概述： 在研究变量之间的相互影响关系模型时候，用到这类方法，具体地说：其可以定量地描述某一现象和某些因素之间的函数关系，将各变量的已知值带入回归方程可以求出因变量的估计值，从而可以进行预测等相关研究。 2、分类 分为两类：多元线性回归和非线性线性回归；其中非线性回归可以通过一定的变化转化为线性回归，比如：y=lnx 可以转化为 y=u u=lnx 来解决；所以这里主要说明多元线性回归应该注意的问题。 3、注意事项 在做回归的时候，一定要注意两件事： （1）回归方程的显著性检验（可以通过sas和spss来解决）（2）回归系数的显著性检验（可以通过sas和spss来解决） 检验是很多学生在建模中不注意的地方，好的检验结果可以体现出你模型的优劣，是完整论文的体现，所以这点大家一定要注意。 4、使用步骤： （1）根据已知条件的数据，通过预处理得出图像的大致趋势或者数据之间的大致关系； （2）选取适当的回归方程； （3）拟合回归参数； （4）回归方程显著性检验及回归系数显著性检验
（5）进行后继研究（如：预测等）这种模型的的特点是直观，容易理解。 这体现在：动态聚类图可以很直观地体现出来！当然，这只是直观的一个方面！ 二、聚类分析 聚类有两种类型： （1） Q型聚类：即对样本聚类；（2） R型聚类：即对变量聚类；聚类方法： （1）最短距离法（2）最长距离法（3）中间距离法（4）重心法（5）类平均法（6）可变类平均法（7）可变法（8）利差平均和法 在具体做题中，适当选取方法； 3、注意事项 在样本量比较大时，要得到聚类结果就显得不是很容易，这时需要根据背景知识和相关的其他方法辅助处理。还需要注意的是：如果总体样本的显著性差异不是特别大的时候，使用的时候也要注意！4、方法步骤 （1）首先把每个样本自成一类； （2）选取适当的衡量标准，得到衡量矩阵，比如说：距离矩阵或相似性矩阵，找到矩阵中最小的元素，将该元素对应的两个类归为一类， （4）重复第2步，直到只剩下一个类； 补充：聚类分析是一种无监督的分类，下面将介绍有监督的“分
1数学建模概述 ? 数学模型 ? 数学建模过程 ? 数学建模示例 ? 建立数学模型的方法和步骤 ? 数学模型的分类 1数学模型 模型：是我们对所研究的客观事物有关属性的模拟，它应当具有事物中使我们感兴趣的主要性质，模拟不一定是对实体的一种仿造，也可以是对某些基本属性的抽象。 直观模型： 实物模型，主要追求外观上的逼真。 物理模型：为一定目的根据相似原理构造的模型，不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以进行模拟试验，间接地研究原型的某些规律。 思维模型，符号模型，数学模型 数学模型： 1）近藤次郎（日）的定义：数学模型是将现象的特征或本质给以数学表述的数学关系式。它是模型的一种。 2）本德（美）的定义：数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的简化的数学结构。 3）姜启源（中）的定义：是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定的目的，做出一些必要的简化和假设，运用 适当的数学工具得到一个数学结构。 数学结构：是指数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等，这些基于数学思想与方法的数学问题。 总之，数学模型是对实际问题的一种抽象，基于数学理论和方法，用数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等来刻画客观事物的本质属性与其内在联系。古希腊时期：“数理是宇宙的基本原理”。文艺复兴时期：应用数学来阐明现象“进行尝试”。微积分法的产生，使得数学与世界密切联系起来，用公式、图表、符号反映客观世界越来越广泛，越来越精确。费马（P.Fermal 1601-1665）用变分法表示“光沿着所需时间最短的路径前进”。牛顿（Newton 1642-1727）将力学法则用单纯的数学式表达，如，牛顿第二定律： 结合开普勒三定律得出万有引力定律 航行问题： 甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船速、水速各多少？ 用y x ,分别代表船速、水速，可以列出方程 解方程组，得 22 1r m m G F =ma F =?? ?=?-=?+75050)(75030)(y x y x 小时） （千米小时）（千米/5/20==y x
第1章数学建模概述 (2) §1.1从现实现象到数学模型 (2) §1.2数学建模方法、步骤、特点与分类 (4) §1.3怎样学习数学建模及组织数学建模竞赛 (8) 习题1 (10)
第1章数学建模概述 随着科学技术的发展，特别是计算机技术的飞速发展，数学建模作为一门用数学方法解决实际问题的学科越来越受到人们的重视。对于广大科技人员和应用数学工作者来说，建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与他们掌握的数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁.其实，“所谓高科技就是一种数学技术”，几乎所有学科发展到高级阶段都要引入数学，进行量化处理，甚至几乎所有科学理论都可看作数学模型，马克思说过“一门科学只有成功地运用数学时，才算达到了完善的地步”。当今，数学以空前的广度和深度向一切领域渗透，可以从以下几方面来看数学建模在现实世界中的重要意义： （1）在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地，如机械、电机、土木、水利等； （2）在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具，如通信、微电子、航天、自动化等； （3）数学进入一些新领域，诸如经济、人口、生态、地质等。所谓非物理领域也为数学建模开辟了许多处女地，如计量经济学、人口控制论、数学生态学等。 本章为数学建模概述，主要讨论建立数学模型的意义、方法和步骤，使读者全面的、初步的了解数学建模，最后给出几点数学建模竞赛建议供读者参考。 §1.1从现实现象到数学模型 现实世界丰富多彩，变化万千。人们无时无刻都在运用自己的智慧和力量去认识、利用、改造世界，从而创造出更加多彩的物质文明和精神文明。博览会是集中展示这些成果的场所之一。工业展厅上，豪华、舒适的新型汽车令人赞叹不已；农业展厅上，硕大、娇艳的各种水果令人流连忘返；科技展厅上，大型水电站模型雄伟壮观，人造卫星模型高高耸立，讲解员深入浅出的介绍原子结构模型的运行机理，电影演播室里播放着一部现代化炼钢厂自动化生产的影片，其中既有火花四溅的炼钢情形，也有控制的框图、公式和程序。参加博览会，既有汽车、水果那些原封不动的从现实搬到展厅的实物，也有各种实物模型、照片、图表、公式……，这些模型在短短几个小时给大家的作用，恐怕置身现实世界很多天也无法做到。 与形形色色的模型相对应，它们在现实世界的原始参照物统称为原型，它们是人们现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。本书所述的现实对象、研究对象、实际问题等均指原型。模型是为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、抽象、提炼而构成的原型替代物，也是所研究的系统、过程、事
中国大学生数学建模竞赛(CUMCM)历年赛题一览! CUMCM历年赛题一览!! CUMCM从1992年到2007年的16年中共出了45个题目,供大家浏览 1992年Ａ)施肥效果分析问题(北京理工大学：叶其孝） (B)实验数据分解问题（复旦大学：谭永基） 1993年Ａ)非线性交调的频率设计问题（北京大学：谢衷洁） (Ｂ)足球排名次问题（清华大学：蔡大用） 1994年Ａ)逢山开路问题（西安电子科技大学：何大可） (Ｂ)锁具装箱问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） 1995年:(Ａ)飞行管理问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） (Ｂ)天车与冶炼炉的作业调度问题（浙江大学：刘祥官,李吉鸾） 1996年:(A)最优捕鱼策略问题（北京师范大学：刘来福） (B)节水洗衣机问题（重庆大学：付鹂） 1997年:(A)零件参数设计问题（清华大学：姜启源） (B)截断切割问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） 1998年:(A)投资的收益和风险问题（浙江大学：陈淑平） (B)灾情巡视路线问题（上海海运学院：丁颂康） 1999年:(A)自动化车床管理问题（北京大学：孙山泽） (B)钻井布局问题（郑州大学：林诒勋） (C)煤矸石堆积问题（太原理工大学：贾晓峰） (D)钻井布局问题（郑州大学：林诒勋） 2000年:(A)DNA序列分类问题（北京工业大学：孟大志） (B)钢管订购和运输问题（武汉大学：费甫生） (C)飞越北极问题（复旦大学：谭永基） (D)空洞探测问题（东北电力学院：关信） 2001年:(A)血管的三维重建问题（浙江大学：汪国昭） (B)公交车调度问题（清华大学：谭泽光） (C)基金使用计划问题（东南大学：陈恩水） (D)公交车调度问题（清华大学：谭泽光） 2002年:(A)车灯线光源的优化设计问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） (B)彩票中的数学问题（解放军信息工程大学：韩中庚） (C)车灯线光源的优化设计问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此））
数学建模是怎么回事 一提起数学竞赛，人们脑海里就会浮想起这样的场面：考场里鸦雀无声，监考老师警惕的目光扫视全场．年轻的数学尖子们坐在各自的书桌前，时而冥思苦想，时而奋笔疾书，希望能找到那一道道数学难题的正确答案．而那正确答案早已经由出题的专家们做出来，正锁在某—个保险柜里． 数学建模竞赛，或称数学模型竞赛，是不是也是这样的场面呢？你最好还是先到它的考场去见识见识吧．且慢！它并没有一个固定的考场．那么，参赛的选手们在哪里做题呢？到哪里去找他们呢？你可以到图书馆去试试，他们也许正在那里查阅资料，在那堆积如山的书堆中翻来翻去，希望从浩瀚的书海中打捞到自己需要的宝贝，你也可以到计算机房去看看，或许他们正在熟练地操纵着键盘，聚精会神地注视着计算机屏幕，屏幕上闪烁着的那些枯燥无味的数字和符号，简直就像侦探片、武打片或世界怀足球赛那样能抓住他们的心，让他们或欣喜若狂，或目瞪口呆，或颓丧万分．旁边居然还有一个选手在打瞌睡，小心别吵醒他，他已经连熬了两个通宵了！那边是谁在吵架？不，那是另外一队的选手在讨论问题，七嘴八舌，各有各的主意，要把这些互相冲突的意见统—在同一份答卷里可真是不容易，交卷的时间快到了，不再有争吵的声音，打印机均匀的嚓嚓声在选手们的耳朵里好像是世界上最美妙的音乐，他们打着哈欠检查着打印机吐出的—页页印刷精美的作品．你要是他们现在最想干的事情是什么，他们一定异口同声地回答：“睡觉！” 这像是考试吗？像数学竞赛吗？又是翻书查资料，又是相互讨论，到处跑来跑去也没人管，哪里还有一点考试的体统呢？不像考试像什么？也许你会想到，这有点像是一个科研课题组在突击完成一项任务．这算说对了．参赛选手们自己也这样说：“这不像是在考试，而像是在干活．”但它确实也是考试，是另一种形式的考试，姑且说是干活的考试吧，就是考一考谁千活干得更好．再来看一看竞赛的题目吧，看它出了些什么样的数学题．以1993年我国大学生数学建模竞赛为例，它出了两个题，让每个参赛队选作其中一个．一个题是要为我国12支甲级足球队排名次，做这个题的选手们面对这些足球劲旅的比赛成绩评头品足，俨然是国家体委的官员或体育界的专家．另一个题目是卫星通讯
数学模型的概念及分类 2.1数学模型的概念 数学模型是指运用数学符号和公式来表达来研究对象系统的结构或过程的模型。系统工程力求采用数学模型是因为数学模型是定量化的基础，是科学实验的补充手段，是预测和决策的重要工具，是推进科技发展的依据。数学的抽象化、公理化的概念和方法，体系十分严谨。数学的丰富的想像力和思辨性，如弯曲的几何和非平直的空间结构，蕴含着普遍真理。数学模型既然是对所研究的实际对象的概括与简化，因此它不能等同于实际对象的本身，它必须舍弃实际对象的质的规定性，而是从量的关系上对实际对象作形式化的描述和刻画，在这一过程中常常略去实际对象的某些次要性质和因素，抓住其主要性质和因素，因此数学模型虽然能从某些数量关系上反映实际对象的原型，但这种反映仅仅是一种近似和模拟。 2.2数学模型的分类 常见的数学模型分类有以下几种： 按数学模型的功能可分为定量的和定性的。 按数学模型的目的可分为理论研究的，预期结果的和优化的。 按数学模型变量之间的关系可分为代数的，几何的和积分的。 按数学模型的结构可分为分析的，非分析的和图论的。 按数学模型所研究对象的特性可分为确定的和随机的，静态的和动态的，连续的和离散的，或线性的和非线性的。 按数学模型所用的数学方法可分为初等模型，微分方程模型，优化模型，控制论模型，逻辑模型，扩散模型，…… 按数学模型研究对象的实际领域可分为人口模型，交通模型，生态模型，生理模型，经济模型，社会模型．，工程系统模型，……
按数学模型研究对象的了解程度可分为白箱模型，灰箱模型和黑箱模型等。 2.3数学模型的特点 第一，它是某事物为一种特殊目的而作的一个抽象化、简单化的数学结构， 这意味着扬弃、筛选，是舍弃次要因素，突出主要因素的主要结果；是事物的一种模拟，虽源于现实，但非实际的原型，而又高于现实。 第二，它是数学上的抽象，在数值上可以作为公式应用，可以推广到与原物 相近的一类问题。 第三，可以作为某事物的数学语言，可以译成算法语言，编写程序进入计算机第三，可以作为某事物的数学语言，可以译成算法语言，编写程序进入计算机。通常所谓的处理事物和过程的模型化方法，往往就是为之建立数学模型来处理。
统计学数学模型 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT
一、多元回归 1、方法概述： 在研究变量之间的相互影响关系模型时候，用到这类方法，具体地说：其可以定量地描述某一现象和某些因素之间的函数关系，将各变量的已知值带入回归方程可以求出因变量的估计值，从而可以进行预测等相关研究。 2、分类 分为两类：多元线性回归和非线性线性回归；其中非线性回归可以通过一定的变化转化为线性回归，比如：y=lnx可以转化为 y=uu=lnx来解决；所以这里主要说明多元线性回归应该注意的问题。 3、注意事项 在做回归的时候，一定要注意两件事： （1）回归方程的显着性检验（可以通过sas和spss来解决）（2）回归系数的显着性检验（可以通过sas和spss来解决） 检验是很多学生在建模中不注意的地方，好的检验结果可以体现出你模型的优劣，是完整论文的体现，所以这点大家一定要注意。4、使用步骤： （1）根据已知条件的数据，通过预处理得出图像的大致趋势或者数据之间的大致关系； （2）选取适当的回归方程；
（3）拟合回归参数； （4）回归方程显着性检验及回归系数显着性检验 （5）进行后继研究（如：预测等）这种模型的的特点是直观，容易理解。 这体现在：动态聚类图可以很直观地体现出来！当然，这只是直观的一个方面！ 二、聚类分析 聚类有两种类型： （1）Q型聚类：即对样本聚类；（2）R型聚类：即对变量聚类；聚类方法： （1）最短距离法（2）最长距离法（3）中间距离法（4）重心法（5）类平均法（6）可变类平均法（7）可变法（8）利差平均和法在具体做题中，适当选取方法； 3、注意事项 在样本量比较大时，要得到聚类结果就显得不是很容易，这时需要根据背景知识和相关的其他方法辅助处理。还需要注意的是：如果总体样本的显着性差异不是特别大的时候，使用的时候也要注意！ 4、方法步骤 （1）首先把每个样本自成一类； （2）选取适当的衡量标准，得到衡量矩阵，比如说：距离矩阵或相似性矩阵，找到矩阵中最小的元素，将该元素对应的两个类归为一类，
数学模型的定义 数学模型：描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程 解析法依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。 实验法人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。 建立数学模型的方法： 第二章线性系统的数学模型 数学模型的形式 时间域：微分方程差分方程状态方程 复数域：传递函数结构图 频率域：频率特性 §2-1 线性系统的输入-输出时间函数描述 线性系统的输入-输出微分方程 描述的建立 p11例2-1 m-K-f系统 机械旋转系统 ?线性：迭加性、比例性 ?定常 微分方程的一般形式： R-L-C 系统 指数函数 三角函数 单位脉冲函数 单位阶跃函数 单位速度函数 单位加速度函数 幂函数
§2-2 线性系统的输入-输出传递函数描述 拉氏变换的计算 拉氏变换及其反变换 幂函数的拉氏变换 阶跃函数的拉氏变换 单位速度函数的拉氏变换 单位脉冲函数拉氏变换 单位加速度函数拉氏变换 几个重要的拉氏变换 拉氏变换的主要运算定理 例1： 例2：求的逆变换。 解： 拉氏反变换 2. 拉式反变换――部分分式展开式的求法 （1）情况一:F(s) 有不同极点,这时,F(s) 总能展开成如下简单的部分分式之和 （3）情况3:F(s)有重极点,假若F(s)有L重极点 ,而其余极点均不相同。那么
（2）情况2:F(s)有共轭极点 例2： §2-2 线性系统的输入-输出传递函数描述 零初始条件下：线性定常系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。 则零初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得到系统传递函数为 则微分方程为： 对上式进行零初始条件下的拉氏变换得 例1：RC电路如图所示 依据：基尔霍夫定律 消去中间变量 §2-4 典型环节的数学模型 比例环节 如：刚性杠杆、理想运放、上述线性化励磁环节 特征：输入输出成比例，不失真，无延迟 惯性环节 如：R-C、R-L、特征：输出不能立即跟随输入的变化,T越大，响应越慢。T--惯性环节时间常数 控制系统数学模型的处理方法：使用简单的典型的 环节模型，通过串、并联组成复杂系统。 积分环节 微分方程 T越大，响应越慢 微分环节 特征：输出与输入的变化成正比 带惯性微分环节 实际：一阶微分环节 振荡环节 1>ζ>0 纯滞后环节