1 数学建模概述
? ? ? ? ? 数学模型 数学建模过程 数学建模示例 建立数学模型的方法和步骤 数学模型的分类
1 数学模型
模型：是我们对所研究的客观事物有关属性的模拟，它应当具有事物中使我们感兴趣的主要性质，模拟不 一定是对实体的一种仿造，也可以是对某些基本属性的抽象。矚慫润厲钐瘗睞枥。 直观模型： 实物模型，主要追求外观上的逼真。 物理模型：为一定目的根据相似原理构造的模型，不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以进行模 拟试验，间接地研究原型的某些规律。聞創沟燴鐺險爱氇。 思维模型，符号模型，数学模型 数学模型： 1）近藤次郎（日）的定义：数学模型是将现象的特征或本质给以数学表述的数学关系式。它是模型的一种。 2）本德（美）的定义：数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的简化的数学结构。 3）姜启源（中）的定义：是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定的目的，做出一些必要的简化 和假设，运用 适当的数学工具得到一个数学结构。残骛楼諍锩瀨濟溆。 数学结构：是指数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等，这些基于数学思想与方法的数学问题。 总之，数学模型是对实际问题的一种抽象，基于数学理论和方法，用数学符号、数学关系式、数学命题、 图形图表等来刻画客观事物的本质属性与其内在联系。古希腊时期： “数理是宇宙的基本原理” 。文艺复兴 时期：应用数学来阐明现象“进行尝试” 。微积分法的产生，使得数学与世界密切联系起来，用公式、图表、 符号反映客观世界越来越广泛，越来越精确。费马（P.Fermal 1601-1665）用变分法表示“光沿着所需时间 最短的路径前进” 。牛顿（Newton 1642-1727）将力学法则用单纯的数学式表达，如，牛顿第二定律：酽锕
极額閉镇桧猪。
F ? ma
结合开普勒三定律得出万有引力定律
F ?G
m1m2 r2
航行问题： 甲乙两地相距 750 千米，船从甲到乙顺水航行需 30 小时，从乙到甲逆水航行需 50 小时，问船速、水速各 多少？彈贸摄尔霁毙攬砖。 用 x , y 分别代表船速、水速，可以列出方程
解方程组，得
?( x ? y) ? 30 ? 750 ? ?( x ? y) ? 50 ? 750 x ? 20 （千米/小时） y ? （千米 5 /小时）
答：船速、水速分别为 20 千米/小时、5 千米小时。
2 数学建模过程：
现实对象的 信息
归纳
数学模型
验 信息 证 解释
现实对象的 解答
求 解
数学模型 的解答
实现对象和数学模型的关系
3 数学建模示例：
建模示例之一 椅子的稳定性问题 问题：将四条腿一样长的正方形椅子放在不平的地面上，是否总能设法使它的四条腿同时着地，即放稳。 1 假设 1）地面为光滑曲面； 2）相对地面的弯曲程度而言，椅子的腿是足够长的； 3）只要有一点着地就视为已经着地，即将与地面的接 触视为几何上的点接触； 4）椅子的中心不动。 2 建模分析
g ?? ? 表示 A,C 与地面距离之和， f ?? ? 表示 B,D 与地面距离之和，则由三点着地，有
? ? 0, g (0) ? 0, f (0) ? 0 f ?? ?g ?? ? ? 0,0 ? ? ? ? / 2 不失一般性，设初始时：
y B B A C O C D D A x
3 数学命题： ? ， f (? ) ? g (? ) ? 0 假设： f (? ), g (? )是 ? 的连续函数， g (0) ? 0, f (0) ? 0且对任意 , 求证：至少存在 4 模型求解
? ? 0 ? (0, ，使得 )
2
f (? 0 ) ? g (? 0 ) ? 0
f ( ) ? 0, g ( ) ? 0, 2 2
?
?
证明： 将椅子转动
? ，对角线互换，由 g (0) ? 0, f (0) ? 0, 可得 2 ? ? ? 令 h(? ) ? f (? ) ? g (? ), 则h(0) ? f (0) ? g (0) ? 0, 而 h( ) ? f ( ) ? g ( ) ? 0, 2 2 2
由h(? )的连续性，根据介值定理，在 (0,
) 中至少存在一点 ? 0 ，使得 h(?0 ) ? 0 ，即 2 f (? 0 ) ? g (? 0 ) ，又 f (?0 ) ? g (?0 ) ? 0 ，所以， f (? 0 ) ? g (? 0 ) ? 0 。
结论：能放稳。 连续函数的介值定理
?
若f ( x)在闭区间 [a, b]上连续，f (a) f (b) ? 0, 则在开区间 (a, b)内至少存在一点 ? , 使f (? ) ? 0.
思考题 1：长方形的椅子会有同样的性质吗？
4 建立数学模型的方法和步骤：
方法 机理分析法：以经典数学为工具，分析其内部的机理规律。 F ? ma 统计分析法：以随机数学为基础，经过对统计数据进行分析，得到其内在的规律。如：多元统计分析。 系统分析法：对复杂性问题或主观性问题的研究方法。把定性的思维和结论用定量的手段表示出来。如： 层次分析法。謀荞抟箧飆鐸怼类。 建模步骤 模型准备 模型假设 模型建立
模型检验
模型分析
模型求解
模型应用 建模步骤 1）模型准备：了解问题的实际背景，明确建模目的，掌握对象的各种信息如统计数据等，弄清实际对象的 特征。有时需查资料或到有关单位了解情况等。厦礴恳蹒骈時盡继。 2）模型假设：根据实际对象的特征和建模目的，对问题进行必要地合理地简化。不同的假设会得到不同的 模型。如果假设过于简单可能会导致模型的失败或部分失败，于是应该修改或补充假设，如“四足动物的 体重问题”；如果假设过于详细，试图把复杂的实际现象的各个因素都考虑进去，可能会陷入困境，无法
进行下一步工作。分清问题的主要方面和次要方面，抓主要因素，尽量将问题均匀化、线性化。茕桢广鳓鯡
选块网。
3）模型建立： ? 分清变量类型，恰当使用数学工具； ? 抓住问题的本质，简化变量之间的关系； ? 要有严密的数学推理，模型本身要正确； ? 要有足够的精确度。 4）模型求解：可以包括解方程、画图形、证明定理以及逻辑运算等。会用到传统的和近代的数学方法，计 算机技 术（编程或软件包） 。特别地近似计算方法（泰勒级数，三角级数， 二项式展开、代数近似、 有效数字等） 。鹅娅尽損鹌惨歷茏。 5）模型分析：结果分析、数据分析。变量之间的依赖关系或稳定性态；数学预测；最优决策控制。 6）模型检验：把模型分析的结果“翻译”回到实际对象中，用实际现象、数据等检验模型的合理性和适应 性检验结果有三种情况：符合好，不好，阶段性和部分性符合好。籟丛妈羥为贍偾蛏。 7）模型应用：应用中可能发现新问题，需继续完善。
5 模型的分类：
1） 按变量的性质分： 离散模型 连续模型 确定性模型 随机性模型 线性模型 非线性模型 单变量模型 多变量模型
2）按时间变化对模型的影响分： 静态模型 动态模型 参数定常模型 参数时变模型
3）按模型的应用领域（或所属学科）分： 人口模型、交通模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型、生物数 学模型、医学数学模型、地质数学模型、数量经济学模型、数学社会学模型等。預頌圣鉉儐歲龈讶。 4）按建立模型的数学方法（或所属数学分支）分： 初等模型、几何模型、线性代数模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型、运筹学模型等。 5）按建模目的分： 描述性模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等。 6）按对模型结构的了解程度分： 白箱模型：其内在机理相当清楚的学科问题，包括力学、热学、电学等。 灰箱模型：其内在机理尚不十分清楚的现象和问题，包括生态、气象、经济、交通等。 黑箱模型：其内在机理（数量关系）很不清楚的现象，如生命科学、社会科学等。 建模示例之二 四足动物的身长和体重问题 问题：四足动物的躯干（不包括头尾）的长度和它的体重有什么关系？ 假设：四足动物的躯干为圆柱体，质量为 m ，长度为 l ,断面面积为 s ，直径为 d 。
m ? sl? ，重量： f ? m g, 建模： 数，即渗釤呛俨匀谔鱉调。
s m ? l2? l
实际中，根据动物进化，不同种类的动物其截面积与长度之比可视为常
k? 所以，得出： 重量与长度的平方成正比。即 f ? kl 2 l 注意：这个公式要在实际中检验，基本符合实际，就可作为经验公式来应用，否则要重新建立和完善模型。 事实上，与实际吻合不好。铙誅卧泻噦圣骋贶。 假设：四足动物躯干为一根支撑在四肢上的弹性梁。 ? 为下垂度，即梁的最大弯曲度。由弹性理论:
因为
s?
??
f ?m m ? sl
??
fl 3 2 fl 3sd
sd 2
??
l4 d2
即
?
l
?
? l 为相对下垂度，其值太大，四肢无法支撑；其值过小，四肢的材料和尺寸超过了支撑身体的需要，是一 种浪费。因此，从生物角度可以认为，经过长期进化，对于每一种动物，擁締凤袜备訊顎轮。 ? l 已达到其合适的数值，即是一个常数（不同种类的动物此值不尽相同） ，于是 l 3 ? d 2
而 f ? sl , s ? d 2 ，所以， f?l 4 结论： f ? kl 4 ， k 可以由统计数据找出。此公式比较符合于实际，可在实际中推广使用。 讨论与思考 讨论题 1 大小包装问题 在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象吗？比如洁银牙膏 50g 装的每支 1.50 元， 120g 装的每支 3.00 元，二者单位重量的价格比是 1.2:1，试用比例方法构造模型解释这种现象。贓熱俣阃歲匱阊邺。 （1）分析商品价格 C 与商品重量 w 的关系。 （2）给出单位重量价格 c 与 w 的关系，并解释其实际意义。 提示： 决定商品价格的主要因素：生产成本、包装成本、其他成本。
l3 d2
C ? ?w ? ?w3 ? ?
单价随重量增加而减少
2
c ? ? ? ?w 3 ?
?1
?
w 4 ?4 ? 3 c?? ? ?w ? 2 3 9 w
1 ?4 ? c? ? ? ?w 3 ? 2 3 w
单价的减少随重量增加逐渐降低
建模示例之三 安全渡河问题 人狗鸡米过河问题 问题：三名商人各带一名随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。随从们密约，在河的 任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中。商人们怎 样才能安全渡河呢？(见教材)坛摶乡囂忏蒌鍥铃。
二初等模型
1 席位分配问题 2 观众厅地面设计 1 问题的提出 在影视厅或报告厅，经常会为前边观众遮挡住自己的视线而苦恼。显然，场内的观众都在朝台上看，如果 场内地面不做成前低后高的坡度，那么前边观众必然会遮挡后面观众的视线。试建立数学模型设计良好的 报告厅地面坡度曲线。蜡變黲癟報伥铉锚。 2 问题的假设 1) 观众厅地面的纵剖面图一致，只需求中轴线上地面的起伏曲线即可。 2) 同一排的座位在同一等高线上。 3) 每个坐在座位上的观众的眼睛与地面的距离相等。 4) 每个坐在座位上的观众的头与地面的距离也相等。 5) 所求曲线只要使观众的视线从紧邻的前一个座位的人的头顶擦过即可。 建立坐标系 o—处在台上的设计视点 y a—第一排观众与设计视点的水平距离 b—第一排观众到 x 轴的垂 直距离 d—相邻两排的排距 b
? —视线升高标准
x—表示任一排与设计视点的水平距离 o a d d x 買鲷鴯譖昙膚遙闫。 问题 求任一排 x 与设计视点 o 的竖直距离函数 y ? y ( x) ,使此曲线满足视线的无遮挡要求。 3 建模 dy ? F ( x, y ) , 初始条件 y x?a ? b , 设眼睛升起曲线应满足微分方程 dx 1） 从第一排起，观众眼睛与 o 点的连线的 y 斜率随排数的增加而增加，而眼睛升起曲线 显然与这些直线皆相交，故此升起曲线是凹的。 b o a 2）选择某排 M ( x, y ) 和相邻排 M1 ( x ? d , y1 ) d d x
M1 N1 ? MN ? AB ? ?
M 2 ( x ? d , y2 )
KMM1 ? K y ( x) ? KMM 2
K MM1 ?
MA ? AB MA ? ? ? M1B d
y
M2
N
N1
M1
A B x
o
a
C ( x,0) C2 ( x ? d ,0)
y ? , MA ? d , MA ? y d , K MM ? ? ?N1MA相似于 ?oMC 1 x d x y x M D? y d ? x， 再计算 K MM 2 , ?oNC 相似于 ?oM 2C2 , 2 ? y ?? x
M 2D ?
?d ? x ?? y ? ? ? ? y
x
?
yd ?d ? ?? x x
K MM 2 ?
M 2D y ? ? ? ? ? x x d MD
K MM 1 ?
y ? ? x d
，
y ? dy y ? ? ? ? ? ? ? x d dx x x d
4 模型求解 微分不等式（比较定理）设函数 f ( x, y), F ( x, y) 定义在某个区域上，且满足 1）在 D 上满足存在唯一性定 f ，则初值问题 ( x, y) ? F ( x, y ) 理的条件；2）在 D 上由不等式 綾镝鯛駕櫬鹕踪韦。
? dy ? dy ? F ( x, y ) ? ? f ( x, y ) 与? 的解? ( x), ?( x) 在它们共同存在区间上满足 ? dx ? dx ? ? ?? ( x0 ) ? y0 ?? ( x0 ) ? y0
x
? ( x) ? ?( x), 当 x ? x0 ， ? ( x) ? ?( x), 当 x ? x0 。 ? dy1 y1 ? ? dy2 y2 ? ? y ? dy y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
d dx x x d
，
x ? dx x d ， ? dx ? y1 ? ? b ? x?a ? y2 x ? a ? b
x
d
y1 ( x) ?
b ? x x b ? x y2 ( x) ? x ? x ln ? ? ( ? 1) x ? x ln a d a a a d a ，
b ? x b ? x x x ? x ln ? y ( x) ? x ? x ln ? ? ( ? 1) a d a a d a a
所求曲线的近似曲线方程（折衷法） 折衷法
y?
y1 ? y2 y 2
y ( x) ?
b ? x ? x x ? x ln ? ( ? 1) a d a 2 a
总结与讨论
方法 利用微分不等式建模；有时只需求近似解。
o
a
d
d
x 驅踬髏彦浃绥譎饴。
模型讨论 1）视点移动时升起曲线如何求得？ 2）怎样减少地面的坡度？调整参数、相邻排错位。 3）衡量经济的指标？座位尽量多、升起曲线占据的空间尽量少等。 3 棋子颜色的变化问题 4 跑步问题
三 线性代数模型
线性代数模型
有些复杂问题，往往给人以变幻莫测的感觉，难以掌握其中的奥妙。当我们把思维扩展到线性空间，利用 线性代数的基本知识建立模型，就可以掌握事物的内在规律，预测其发展趋势。猫虿驢绘燈鮒诛髅。
1 Durer 魔方
德国著名的艺术家 Albrecht Durer (1471--1521)于 1514 年曾铸造了一枚名为“Melen cotia I”的铜币。 令 人奇怪的是在这枚铜币的画面上充满了数学符号、数学数字和几何图形。这里我们仅研究铜币右上角的数 字问题。锹籁饗迳琐筆襖鸥。 1） Durer 魔方 特点： 每行之和、每列之和、对角线之和、四个小方块之和、中心方块之和都相等，为确定的数 34。四角之 和、中间对边之和均为 34。所出现的数是 1 至 16 的自然数。最下边一行中心数为 1514，正是制币的时间。
構氽頑黉碩饨荠龈。
问题：是否还存在具有这些（或部分）性质的魔方？ 16 5 9 4 3 10 6 15 2 11 7 14 13 8 12 1 10 140 70 120 80 110 20 130 100 50 160 30 150 40 90 60
0 9 16 1
7 10 0 9
1 7 9 9
18 0 1 7
0 9 15 1
6 10 0 9
1 6 9 9
18 0 1 6
定义：如果 4×4 数字方，它的每一行、每一列、每一对角线及每个小方块上的数字之和都为一确定的数， 则称这个数字方为 Durer 魔方。R=C=D=S 輒峄陽檉簖疖網儂。 你想构造 Durer 魔方吗？如何构成所有的 Durer 魔方？Durer 魔方有多少？ 2 ）Durer 魔方的生成集
所有的 Durer 魔方的集合为 D 0 O= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 E= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
尧侧閆繭絳闕绚勵。
R=C=D=S=0 a11 A= a21 a31 a41 a12 a22 a32 a42 a13 a23 a33 a43 a14 a24 a34 a44
R=C=D=S=4 b11 B= b21 b31 b41 b12 b22 b32 b42 b13 b23 b33 b43 b14 b24 b34 b44
类似于矩阵的加法和数乘，定义魔方的加法和数乘。易验证，D 加法和数乘封闭，且构成一线性空间。 记 M ={所有的 4×4 数字方} ，则其维数为 16。而 D 是 M 的子集，则 D 是有限维的线性空间。根据线性 空间的性质，如果能得到 D 的一组基，则任一个 Durer 方均可由这组基线性表示。由 0,1 数字组合，构造 所有的 R=C=D=S=1 的魔方。共有 8 个，记为 Qi, i=1,2,…,8。识饒鎂錕缢灩筧嚌。 1 Q1= 0 0 0 0 Q3= 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 Q4= Q2= 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 Q6= 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1
0 1 Q5= 0 0
0 0 1 0
1 0 0 0
0 0 0 1
0
0
1
0
0 Q7= 0 1
1 0 0
0 0 0
0 1 0 Q8=
0 0 0 1
1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
易知, Q1 ? Q4 ? Q5 ? Q8 ? Q2 ? Q3 ? Q6 ? Q7 ? 0 ,则 Q1 , Q2 ,?, Q8 线性相关。凍鈹鋨劳臘锴痫婦。 而由 r1Q1 ? r2Q2 ? r3Q3 ? r4Q4 ? r5Q5 ? r6Q6 ? r7Q7 ? 0
r1 ? r2 r6
r5 ? r7 r3 ? r4
r3 ? r5 r4 ? r7 r4 ? r6 r2 ? r5 r7
r1 ? r6 r2
r3
0 = 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
r1 ? r7
r1 ? r3
r2 ? r4 r5 ? r6
r1 ? r2 ? r3 ? r4 ? r5 ? r6 ? r7 ? 0 Q1 ,?, Q7 线性无关。任一 Durer 方可由它们线性表示。
结论：1. Durer 方有无穷多个。2. Durer 方可由线性组合得到。 Albrecht Durer 的数字方的构成：
D ? r1Q1 ? r2Q2 ? r3Q3 ? r4Q4 ? r5Q5 ? r6Q6 ? r7Q7
r1 ? r2 r6
16 5 9 4 3 10 6 15 2 11 7 14 13 8 12 1 =
r5 ? r7 r3 ? r4
r3 ? r5 r4 ? r7 r4 ? r6 r2 ? r5 r7
r1 ? r6 r2
r3
r1 ? r7
r1 ? r3
r2 ? r4 r5 ? r6
r1 ? 8, r2 ? 8, r3 ? 7, r4 ? 6, r5 ? ?3, r6 ? 3, r7 ? 4
D ? 8Q1 ? 82 Q2 ? 7Q3 ? 6Q4 ? 35 Q5 ? 3Q6 ? 4Q7
3 Durer 方的应用推广 （1）要求数字方的所有数字都相等。 G ? ?rE , r ? R?，基为 { E } ，1 维空间。 （2）要求行和、列和、每条主对角线及付对角线数字和都相等。B 5 维空间
?1 ?1 ? 基为 P 1 ? ?0 ? ?0 ?0 ?1 P4 ? ? ?1 ? ?0 1 0 0 1
0 0 1 1 0 1 1 0
1 1 0 0 1? 0? ? 0? ? 1?
0? 0? ? 1? ? 1?
?1 ?0 , P2 ? ? ?1 ? ?1 ?1 ?0 , P5 ? ? ?1 ? ?0 1 0 1 0
0 1 0 0 0 1 0 1
0 1 0 0
1? 0? ? 1? ? 1?
?0 ?1 , P3 ? ? ?0 ? ?1
1 0 1 0
1 0 1 0
0? 1? ? 0? ? 1?
0? ?17 2 11 16? ? ?16 11 22 3 ? 1? ?， 例 P?? R=C=H=N=46 ， H 主对角线， ?12 7 6 21? 0? ? ? ? 1? ? 1 26 7 12?
N 付对角线数字和。 （3）要求行和、列和及两条对角线数字和相等。 Q1 , Q2 ,?, Q7 , N0 ? ，D 是 Q 的 7 维子空间。 8 维空间 Q，基为 ?
?0 1 ? 1 ?0 0 0 N0 ? ? ?0 0 0 ? ?0 ? 1 0 ?6 7 9 ?12 6 5 例 P?? ? 5 10 9 ? ?7 7 7 ?0 ?1 N1 ? ? ?? 1 ? ?0 0 0 0 0
0? 0? ? 0? ? 0? 8? 7? ? ，R=C=H=N=30 6? ? 9?
Q1 , Q2 ,?, Q7 , N1 , N2 , N3 ? （4）要求行和、列和数字相等。10 维空间 W。基为 ?
0 0? ? 0 1 0 ? 1? ?0 1 0 0? ? ? ? ?1 0 0 0? 0 ? 1? 1 0 ?1 0 ? ? ? ， N2 ? ， N3 ? ? ?? 1 0 0 1 ? ?0 0 0 1? 0 1? ? ? ? ? ? 0 0? ? 0 ?1 1 0 ? ?0 0 1 0? （5）对数字没有任何要求的数字方。16 维空间 M。空间 ?0? ? G ? B ? D ? Q ? W ? M
维数 0 1 5 7 8 10 16 思考：能否构造出其他维数的数字方？ 练习：完成下面的 Durer 方 R=C=D=S=30 6 7 5 9 7 6 14 9 8
9 8 7
48 11
R=C=D=S=100 作业： 构造你自己认为有意义的 Durer 方。
2 植物基因的分布
设一农业研究所植物园中某植物的的基因型为 AA、Aa 和 aa 。研究所计划采用 AA 型的植物与每一种 基因型植物相结合的方案培育植物后代。问经过若干年后，这种植物的任意一代的三种基因型分布如何？恥
諤銪灭萦欢煬鞏。
1 建模准备 植物遗传规律？ 动植物都会将本身的特征遗传给后代，这主要是因为后代继承了双亲的基因，形成了自己的基因对，基因 对就确定了后代所表现的特征。鯊腎鑰诎褳鉀沩懼。 常染色体遗传的规律： 后代是从每个亲体的基因对中个继承一个基因，形成自己的基因对，即基因型。 如果考虑的遗传特征是由两个基因 A、a 控制的，那末就有三种基因对，记为 AA、Aa 和 aa 。 如：金鱼草花的颜色是由两个遗传因 子决定的，基因型为 AA 的金鱼草开红花，Aa 型的开粉红花，而 aa 型的开白花。人类眼睛的颜色也是通过常染色体来控制的。基因型为 AA ，或 Aa 型的人眼睛颜色为棕色， 而 aa 型的人眼睛颜色为蓝色。这里 AA ，Aa 表示同一外部特征，我们认为基因 A 支配基因 a，即基因 a 对 A 来说是隐性的。硕癘鄴颃诌攆檸攜。 2 假设 假设 1. a n , bn , cn 分别表示第 n 代植物中基因型为 AA,Aa,aa 的植物占植物总数的百分率。
an ? bn ? cn ? 1 ，第 n 代植物的基因型分布为
表示植物基因型初始分布。
x
(n)
? an ? ? ? ? ? bn ?, ?c ? ? n?
x
(0)
? a0 ? ? ? ? ? b0 ?, ?c ? ? 0?
双亲体结合形成后代的基因型概率矩阵 AA-AA 后 代 基 因 对 AA Aa aa 1 0 0 AA-Aa 1/2 1/2 0 父体-母体的基因对 AA-aa Aa-Aa Aa-aa 0 1 0 1/4 1/2 1/4 0 1/2 1/2 aa-aa 0 0 1
假设 2. 3 建模
植物中基因型第 n-1 代分布与第 n 代分布的关系由上表确定。 父体-母体的基因对 AA-AA AA-Aa AA-aa 后代 基因 对 AA Aa aa 1 0 0 1/2 1/2 0 0 1 0
1 an ? an ?1 ? bn ?1 2 1 bn ? bn ?1 ? cn ?1 2 cn ? 0
an ? bn ? cn ? 1
? an ? ? 1 1 / 2 0 ?? an ?1 ? ? ? ? ?? ? ? bn ? ? ? 0 1 / 2 1 ?? bn ?1 ? ? c ? ? 0 0 0 ?? c ? ? n? ? ?? n ?1 ? ? 1 1/ 2 0? ? ? M ? ? 0 1/ 2 1? ? 0 0 0? ? ?
x ( n) ? Mx ( n?1) ? M 2 x ( n?2) ? M 3 x ( n?3) ? M n x 0
4 求解模型
? 1 1/ 2 0? ? ? x ? M x ，关键计算 M ， M ? ? 0 1 / 2 1 ? 。 ? 0 0 0? ? ?
n n 0
n
特征值为 1，1/2，0，M 可对角化，即可求出可逆对角矩阵 P，使 PMP-1。对应于每个特征值的特征向量为阌
擻輳嬪諫迁择楨。
1 ? ?1? ? 0 ? ? 1 ? ?1 0 ? 1 0 0? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? 0 ?, ? ? 1?, ? ? 2 ? ， P ? ? 0 ? 1 ? 2 ? ， D ? ? 0 1 / 2 0 ? ? 0? ? 0 ? ? 1 ? ?0 0 ? 0 0 0? 1 ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?
x n ? M n x 0 ? PDn P ?1 x 0
1 ?? 1 ?1 1 ? ?? ? ? 0 ? 1 ? 2 ?? 0 ?0 0 ? 1 ? ? ?? 0
?1 / 2?n
0
0
0 ?? 1 1 1 ? ?? ? 0 ?? 0 ? 1 ? 2 ? x 0 ? 0? 1 ? ?? 0 0 ?
?1
? 1 1 ? (1 / 2 n ) 1 ? (1 / 2 n ?1 ) ? ? ? 0 n ?1 ? ?0 1 / 2n 1 / 2 ?x ? a0 ? b0 ? c0 ? (1 / 2 n )b0 ? (1 /?2 n ?1 )c0 ? ? ?0 ? 0 0 ?? (1 / 2 n )b0 ? (1 / 2 n ?1 )c? ? ? 0 ? ? ?1 ? (1 / 2 n )b0 ? (1 / 0 ? ? 2 n ?1 )c0 ? ? ? 1 ? ? (1 / 2 n )nb0 ? (1 / 2 n ?n )c ? ?1 0 1 ? ( 1 / 2 ) b ? ( 1 / 2 )c0 ? ? an ? ? ? ? 0 ? ? ? ? 0 (n) n n ? 1 ? ? x ? ? bn ? ? ? (1 / 2 )b0 ? (1 / 2 )c0 ? ? ?c ? ? 0 ? ?a ? 1, b ? ? 当 n ?? 时， ，即经过足够长的时间后，培育出来的植物基本上 0 , c ? 0 ?n n n n
呈现 AA 型。
三 四 五
matlab 软件 lingo 软件 优化模型
一 优化模型的一般意义 （一）优化模型的数学描述 将一个优化问题用数学式子来描述，即求函数 u ? f ( x ) ，x ? ( x1 , x2 , x3 ,...,xn ) 在约束条件 hi ( x ) ? 0 , i ? 1,2 ,...,m. 和 gi ( x ) ? 0( gi ( x ) ? 0 ),i ? 1,2,..., p . 下的最大值或最小值，其中 x 氬嚕躑竄贸恳彈瀘。 设计变量（决策变量） 目标函数 f( x ) 可行域 x??
s. t .
min( or max) u ? f( x ) x?? s . t . hi ( x ) ? 0,i ? 1,2,...,m. gi ( x ) ? 0( gi ( x ) ? 0 ),i ? 1,2,..., p . subject to “受约束于”之意
（二）优化模型的分类 1.根据是否存在约束条件 有约束问题和无约束问题。 2.根据设计变量的性质 静态问题和动态问题。 3.根据目标函数和约束条件表达式的性质 线性规划，非线性规划，二次规划等。 （1）非线性规划 目标函数和约束条件中，至少有一个非线性函数。
min u ? f ( x ) x ? ? s . t . hi ( x ) ? 0,i ? 1,2,...,m. gi ( x ) ? 0( gi ( x ) ? 0 ),i ? 1,2,..., p .
min u ? ? ci xi
i ?1 n
（2）线性规划（LP） 目标函数和所有的约束条件都是设计变量的线性函数。 n
? ?? aik xk ? bi , i ? 1,2 ,...,n . s .t .? k ?1 ? x ? 0 , i ? 1,2 ,...,n . ? i
（3）二次规划问题 目标函数为二次函数，约束条件为线性约束
min u ? f ( x ) ? ? ci xi ?
i ?1 n
n
1 n ? bij xi x j 2 i , j ?1
? ?? aij x j ? bi , i ? 1,2 ,...,n . s .t .? j ?1 ? x ? 0.i ? 1,2 ,...,n . ? i
（4）根据设计变量的允许值 整数规划（0-1 规划）和实数规划。 （5）根据变量具有确定值还是随机值 确定规划和随机规划。 （三）优化模型建立的一般步骤 1.确定设计变量和目标变量； 2.确定目标函数； 3.寻找约束条件。 （四）简单优化模型举例 1 存贮模型 工厂定期订购原料，存入仓库供生产之用；车间一次加工出一批零件，供装配线每天生产之用；商店 成批购进各种商品，放在货柜里以备零售；水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和发电。存贮量多少合适？ 存贮量过大，存贮费用太高；存贮量太小，会导致一次性订购费用增加，或不能及时满足需求。釷鹆資贏車贖
孙滅。
问题 1 不允许缺货的存贮模型 配件厂为装配线生产若干种部件，轮换生产不同的部件时因更换设备要付生产准备费（与生产数量无 关） ，同一部件的产量大于需求时因积压资金、占用仓库要付存贮费。今已知某一部件的日需求量 100 件， 生产准备费 5000 元，存贮费每日每件 1 元。如果生产能力远大于需求，并且不允许出现缺货，试安排该产 品的生产计划，即多少天生产一次（称为生产周期） ，每次产量多少，可使总费用最小。怂阐譜鯪迳導嘯畫。 问题分析 若每天生产一次，每次 100 件，无存贮费，生产准备费 5000 元，每天费用 5000 元； 若 10 天生产一次，每次 1000 件，存贮费 900+800+…+100=4500 元，生产准备费 5000 元，总计 9500 元， 平均每天费用 950 元；谚辞調担鈧谄动禪。 若 50 天生产一次，每次 5000 件，存贮费 4900+4800+…+100=122500 元，生产准备费 5000 元，总计 127500 元，平均每天费用 2550 元；嘰觐詿缧铴嗫偽純。 寻找生产周期、产量、需求量、生产准备费和存贮费之间的关系，使每天的费用最少。 模型假设 1 连续化，即设生产周期 T 和产量 Q 均为连续量； 2 产品每日的需求量为常数 r ； 3 每次生产准备费 C1，每日每件产品存贮费 C2； 4 生产能力为无限大（相对于需求量） ，当存贮量 降到零时，Q 件产品立即生产出来供给需求，即不允 许缺货。熒绐譏钲鏌觶鷹緇。 模型建立 设 t 时刻的存贮量为 q(t) ，t = 0 时生产 Q 件，存贮量 q(0) = Q , q(t) 以需求速率 r 线性递减，直至 q(T) = 0，如图，q(t) = Q- r t， Q = r T 。鶼渍螻偉阅劍鲰腎。 q Q A o T t
不允许缺货模型的存贮量 q(t) T 一个周期内存贮量 q( t )dt ? QT (A 的面积)
?
0
2
一个周期内存贮费 c2
?
T
0
q( t )dt
一个周期的总费用 C ? c1 ? c2 每天平均费用 C ( T ) ? 模型求解
?
T
0
q( t )dt ? c1 ? c2
QT rT 2 ? c1 ? c2 2 2
C c1 rT ? ? c2 T T 2
c1 rT ? c2 T 2 c r 用微分法 C ?( T ) ? ? 1 ? c2 ? 0 ， T ? T2 2 求T满足 min C ( T ) ?
每天平均最小费用 C ? 2c1c2 r 著名的 经济订货批量公式（EOQ 公式） 。 结果解释
2c1r 2c1 ， Q ? rT ? c2 c2 r
T?
当准备费 c1 增加时，生产周期和产量都变大；当存贮费 c1 增加时，生产周期和产量都变小；当日需求费 r 增加时，生产周期变小而产量变大。这些定性结果符合常识，而定量关系（平方根，系数 2 等）凭常识 是无法得出的，只能由数学建模得到。纣忧蔣氳頑莶驅藥。
2c1 2c1r C ? 2c1c2r Q ? rT ? c2 r ， c2 ，
T?
这里得到的费用 C 与前面计算得 950 元有微小差别，你能解释吗？
2c1 C ? 2c1c2r 当 c1 ? 5000, c2 ? 1, r ? 100, 得 T ? 10 ，C ? 1000 ， c2 r ，
敏感性分析 讨论参数 c1 , c2 , r 有微小变化时对生产周期 T 影响。由相对变化量衡量对参数的敏感程度。 T 对 c1 的敏感程度记为 S ( T , c1 )
2 ?T T 1 1 dT c1 1 c2 r c1 ? 1 S ( T , c1 ) ? S ( T , c2 ) ? ? S( T ,r ) ? ? ? ? ? ?c1 c1 dc1 T 2 ， 2 2 2c1 T 2 ， c2 r
S ( T , c1 ) ? 1 1 1 S ( T , c2 ) ? ? ，S ( T , r ) ? ? ， 2 2 2
意义是当准备费增加 1%时，生产周期增加 0.5% ；而存贮费增加 1%时，生产周期减少 0.5% ；日需求量增 加 1%时，生产周期减少 0.5% 。颖刍莖蛺饽亿顿裊。 当 c1 , c2 , r 有微小变化对生产周期影响不太大。 思考 1 建模中未考虑生产费用（这应是最大一笔费用） ，在什么情况下才可以不考虑它？ 2 建模时作了“生产能力无限大”的简化假设，如果生产能力有限，是大于需求量的一个常数，如何建 模？ 问题 2 允许缺货的存贮模型 模型假设 1 连续化，即设生产周期 T 和产量 Q 均为连续量；
2 产品每日的需求量为常数 r ； 3 每次生产准备费 C1，每日每件产品存贮费 C2； 4 生产能力为无限大（相对于需求量） ，允许缺货，每天每件产品缺货损失费 C3 ，但缺货数量需在下次生 产（订货）时不足。濫驂膽閉驟羥闈詔。 模型建立 因存贮量不足造成缺货， 因此 q(t) 可取负值， q(t) 以需求速率 r 线性递减， 直至 q(T1) = 0， 如图。 q(t) = Q-r t， Q = r T1 。銚銻縵哜鳗鸿锓謎。 q Q r R A o BT t T1 允许缺货模型的存贮量 q(t)
QT1 Q2 ? c2 2 2r T ( rT ? Q )( T ? T1 ) ( rT ? Q )2 ? c ? c c q ( t ) dt 一个周期内缺货损失费 3 ?T 3 3 2 1 2r 2 2 Q ( rT ? Q ) 一个周期的总费用 C ? c1 ? c2 ? c3 2r 2r 2 c1 Q ( rT ? Q )2 每天平均费用 C ( T , Q ) ? ? c2 ? c3 T 2rT 2rT
一个周期内存贮费 c2 ?0 q( t )dt ? c2
T1
模型求解
c1 Q2 ( rT ? Q )2 ? c2 ? c3 T 2rT 2rT ?C ( T , Q ) ?C ( T , Q ) 用微分法 令 ? 0, ?0 ?T ?Q 2c1 c2 ? c3 c 2c1r T? ? ? Q? ? ? 3 c2 r c3 c2 c2 ? c3 , 每天平均最小费用 C ? C ( T ? , Q? ) 每个周期的供货量 R ? rT ? 2c1 c2 ? c3 c ?c R?r ? ?? 2 3 , c3 c2 r c3
求T , Q满足min C ( T , Q ) ?
与不允许缺货模型相比较，有 结果解释
T ? ? ?T , Q? ? Q / ? , R ? ?Q
T ? ? ?T , Q? ? Q / ? , R ? ?Q , ? ?
c2 ? c3 c3
1） ? ? 1, T ? ? T , Q? ? Q , R ? Q 即允许缺货时，周期和供货量增加，周期初的存贮量减少。挤貼綬电麥结
鈺贖。
2）缺货损失费愈大， ? 愈小， T ? 愈接近 T ， Q ? ， R 愈接近 Q 。 3) 当c3 ? ?时，? ? 1 ， T ? ? T , Q? ? Q , R ? Q
不允许缺货模型可视为允许缺货模型的特例。 2 生猪的出售时机问题 3 最优捕食者策略 假设存在一种捕食者，穴居 A 处，在 B 和 C 处有两个食物源 X、Y。捕食者从巢穴 A 到区域 B 和 C 带 回一单位的食物所需的时间估计为 2 分钟和 3 分钟。捕食者在区域 B 平均花 2 分钟捕获一单位食物 X，而 在区域 C 只花 1 分钟就捕获一单位食物 Y。一单位 X 所产生的热量估计为 25 焦耳，一单位 Y 所产生的热 量估计为 30 焦耳。假设捕食者每天不可超过 120 分钟用于从巢穴到食物区来回行走，同时每天不可能花 80 分钟以上搜寻食物。估计捕食者每天能获得的最大热量值是多少 FF1F 赔荊紳谘侖驟辽輩。 一单位实物 X Y 行走时间(分钟) 2 3 捕获时间(分钟) 2 1 热量(焦耳) 25 30
假设捕食者每天能得到 x 单位的食物 X 和 y 单位的食物 Y ，则每天获得的热量值为
max u ? 25x ? 30 y ?2 x ? 3 y ? 120 ? s .t ?2 x ? y ? 80 ? x ? 0 , y ? 0. ?
2x+y=80
y 图解法 80 40
U=25x+30y o
a(30,20) 2x+3y=120 x
40 60 U=25*30+30*20=1350 焦耳
4 运输问题 设 有 某 物 资 从 m 个 发 点 A1,A2,…,Am 输 送 到 n 个 收 点 B1,B2,…,Bn ， 其 中 每 个 发 点 发 出 量 分 别 b1 , b2 ,...,，并且满足 bn 为 a1 , a2 ,...,a ，每个收点输入量分别为 塤礙籟馐决穩賽釙。 m
? ai ? ? b j
从发点 A 到收点 B 的距离（或单位运费）是已知的，设为 cij ( i ? 1,2,...,m, j ? 1,2,...,n )。一个调运方案主 要由一组从发点 Ai 到收点 B j 的输送量
i ?1 j ?i
m
n
xij 来描述。裊樣祕廬廂颤谚鍘。
问题：寻求一个调运方案，使总运输费用达到最小。 点 发点 A 1 A 2 … .. 收 B1 B2 …. Bn
X11 X21
X12 X22 …..
….. ….
X1n X2n
a1 a2 …..
A m
Xm1 b1
Xm2 b2
….. ….
Xmn bn
am
A1 的总费用
A1 ~ B j C11 x11 ? C12 x12 ? ...? C1n x1n ? ? C1 j x1 j
j ?1 n
A2 的总费用
A2 ~ B j C21 x21 ? C22 x22 ? ...? C2 n x2 n ? ? C2 j x2 j
n j ?1
总的费用 约束条件
A ? ?? Cij xij
?n ?? xij ? ai , i ? 1,2 ,...,m . ? j ?1 ? ?m ?? xij ? b j , j ? 1,2 ,...,n . ? i ?1 ? xij ? 0 , i ? 1,2 ,...,m , j ? 1,2 ,...,n ? ? ?
i ?1 j ?1
m
n
求 min f ? 5
?? C x
i ?1 j ?1
m
n
ij ij
时的 { xij }
接力赛的选拔与选修课策略
六 层析分析模型 七概率模型
1 报童策略问题 2 航空公司预订票问题
八回归模型
1 软件公司的薪金
九 微分方程模型
1 人口问题 2 在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微
分方模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。仓嫗盤
紲嘱珑詁鍬。
求解微分方程有三种方法： 1）求精确解；2）求数值解（近似解） ；3）定性理论方法。 建立微分方程模型的方法 （1）根据规律列方程 利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。 （2）微元分析法 利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数
应用规律。绽萬璉轆娛閬蛏鬮。 （3）模拟近似法 在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时 在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程 及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。骁顾燁鶚巯瀆蕪領。 一 古尸年代鉴定问题 在巴基斯坦一个洞穴里，发现了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片，科学家把它带到实验室，作碳 14 年 代测定，分析表明， c 与 c 的比例仅仅是活组织内的 6.24%，能否判断此人生活在多少年前？瑣钋濺暧惲锟
缟馭。
14 12
背景
c14 年代测定：活体中的碳有一小部分是放射性同位素 c14 ，这种放射性碳是由于宇宙射线在高层大气
中的撞击引起的，经过一系列交换过程进入活组织内，直到在生物体内达到平衡浓度，这意味着在活体中，
c14 的数量与稳定的 c14 的数量成定比，生物体死亡后，交换过程就停止了，放射性碳便以每年八千分之一
的速度减少。鎦诗涇艳损楼紲鯗。 14 12 设 t 为死后年数， y( t ) ? xc14 ( t ) x12 , 则t ? 0时 , y ? y 0 ,即活体中 c 与 c 数量的比例 .
dx14 x ? ? 14 dt 8000
? t 8000
,
dy y ?? dt 8000
积分得
y ?ke
? y0 e
?
t 8000
.
求得 t ? ?8000ln 0.0624? 22400yr ，此即所求死亡年数。 ， 当y ? 0.0624y0 时
c14 1966 年， 耶鲁实验室的 Minze Stuiver 和加利福尼亚大学圣地亚哥分校的 HansE.Suess 在一份报告中指出：
在 2500 到 10000 年前这段时间中测得的结果有差异，其根本原因在于那个年代，宇宙射线的放射性强度减 弱了，偏差的峰值发生在大约 6000 年以前。他们提出了一个很成功的误差公式，用来校正根据碳测定出的 2300 年到 6000 年前这期间的年代：栉缏歐锄棗鈕种鵑。 真正的年代＝ 年 ? 1.4 ? 900 3 放射性核废料处理问题 1 问题（这是一场笔墨官司）: 以前 ，美国原子能委员会把浓缩的放射性废料装入密封的圆桶里，然后仍到水深为 300 英尺的海里。 一些生态学家和科学家提出：圆桶是否会在运输过程中破裂而造成放射性污染？美国原子能委员会：不会 破裂（用实验证明） 。又有几位工程师提出：圆桶扔到海洋中时是否会因与海底碰撞而破裂？ 美国原子能 委员会：决不会。这几位工程师通过大量的实验证明若圆桶与海底碰撞时的速度超过 40 英尺/秒时，就会因 碰撞而破裂。圆桶与海底的碰撞时的速度会不会超过 40 英尺/秒？通过建立数学模型来解决这一问题。辔烨
c
14
棟剛殓攬瑤丽。
2 建模与求解 受力分析：
x 峴扬斕滾澗辐滠兴。
浮
?F ?G?F
?f
F浮
G ? 527.436磅， g ? 32.2英尺 / 秒 2 , V ? 7.35英尺3 ,
? 海水 ? 63.99磅 / 英尺3 ,
F浮 ? 63.99? 7.35 ? 470.327磅, f ? cv, c ? 0.08
大学生数学建模竞赛的由来和发展 自古以来，各种竞赛方式历来是各行各业培养、锻炼和选拔人才的重要手段。凡竞赛实际上都有准备阶段、临场发挥和赛后总结、提高三个阶段。参赛者通过这三个阶段来接受挑战并锻炼提高自己。当然，也不是参加竞赛的人都能成为人才，获得优胜的选手参赛者如果不善于总结自己的长处和缺点，不断提高的话，也未必能发展成为优秀人才。诚然，如果太强调竞赛的功利性，也可能产生各种各样的弊病，副作用会大过正作用，使竞赛变了味，也就可能失去了培养、锻炼和选拔人才的功能。 就培养选拔科技人才而言，各种学科的竞赛也起到了很大的作用。就数学科学来说，很多国家都有面向中学生或大学生的数学竞赛，甚至还有国际或地区性的数学竞赛。例如，就后者而言，有从1959年开始举办的中学生国际奥林匹克数学竞赛(The International Mathematical Olympiad (IMO), 有兴趣的读者可以访问网址http://www.imo.math.ca/), 有从1994年开始举办的国际大学生数学竞赛(International Mathematics Competition for Universtiy Students, IMC, 有兴趣的读者可以访问网址https://www.doczj.com/doc/b912969336.html,/ ), 北美(美国和加拿大)普特南大学生数学竞赛(The William Lowell Putnam Mathematical Competition, 有兴趣的读者可以访问网址https://www.doczj.com/doc/b912969336.html,/或https://www.doczj.com/doc/b912969336.html,/ )。 因为大学生数学建模竞赛诞生于美国，而且其源起与普特南数学竞赛有关，加之这个竞赛是培养出许多优秀数学家和科学家的竞赛，所以在本章，我们从普特南数学竞赛谈起。 本章包括普特南(Putnam)数学竞赛、大学生数学建模竞赛、为什么要参加大学生数学建模竞赛和怎样参加大学生数学建模竞赛四节。 1 普特南(Putnam)数学竞赛 普特南和他的想法 W. L. 普特南(William Lowell Putnam, 1861 ~ 1924, 美国律师和银行家), 1882年毕业于哈佛大学。他深信在正规大学的学习中组队竞赛的价值. 他在哈佛毕业生杂志1921年12月那期上写了一篇文章中阐述了大学间智力竞赛的价值和优点。在他去世后，他的遗霜Elizabeth Lowell Putnam (1862-1935)于1927年建立了“普特南大学间对抗纪念基金(William Lowell Putnam Intercollegiate Memorial Fund)”。第一个由该基金资助的是校际英语竞赛。由该基金资助的第二次试验性竞赛是于1933年举行的10名哈佛大学的学生和10名西点军校的学生间一次数学竞赛。由于那次竞赛十分成功，于是就产生了举行所有感兴趣的大学和学院都可以参加的类似的年度竞赛的想法。但是直到1935年Elizabeth去世都没有举行过这样的竞赛。到了1938年才决定由美国数学协会来管理这个基金和组织了第一次正式的竞赛。 普特南数学竞赛 现在普特南数学竞赛的时间是每年12 月第一周的星期六，共进行两试，每试3 小时、6道题，每题10分。该竞赛是彻底闭卷的考试, 在限定的时间内主要测试参赛者思维敏捷、推理和计算的能力。竞赛分个人和团体(组队)，一个学校可以组织一个由三名学生组成队，名列前茅者有奖金奖励。竞赛前几年，团体前三名的奖金分别为$500、$300 和$200，个人前五名每人可获奖金$50，并成为Putnam 会员(Putnam fellow)。近年来，奖励团体前五名的大学的数学系的奖金分别为$25000(每个队员可得到$1000奖金)、$20000(每个队员可得到$800奖金)、$15000(每个队员可得到$600奖金)、$10000(每个队员可得到$400奖金) 和$5000(每个队员可得到$200奖金)。个人前五名每人可获奖金$2500，并成为Putnam 会员。5-15名每人可获奖金$1000，16-26名每人可获奖金$250。当然更重要的不是金钱奖励，而是
1.贷款问题 小王夫妇计划贷款20万元购买一套房子，他们打算用20年的时间还清贷款。目前，银行的利率是%/月。他们采用等额还款的方式(即每月的还款额相同)偿还贷款。 (1)在上述条件下，小王夫妇每月的还款额是多少共计付了多少利息 (2)在贷款满5年后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在第6年初，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清 (3)如果在第6年初，银行的贷款利率由%/月调到%/月，他们仍然采用等额还款的方式，在余下的15年内将贷款还清，那么在第6年后，每月的还款额应是多少 (4)某借贷公司的广告称，对于贷款期在20年以上的客户，他们帮你提前三年还清贷款。但条件是： (i)每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的1/2； (ii)因为增加必要的档案、文书等管理工作，因此要预付给借贷公司贷款总额10%的佣金。 试分析，小王夫妇是否要请这家借贷公司帮助还款。 解答： (1)贷款总月数为N=20*12=240，第240个月的欠款额为0，即。 利用式子 (元)，即每个月还款元，共还款(元)，共计付利息元。 (2)贷款5年(即5*12=60个月)后的欠款额为， 利用公式：， 所以，
(元) (3)元，即第六年初，贷款利率，所以余下的15年，每个月还款额为：(元) (4)按照借贷公司的条件(i)每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的，付款的时间缩短，但是前17年的付款总额不变。帮忙提前三年还清需要资金数： 。 对于条件(ii)佣金数： 分析：因为预付佣金20000元，按照银行存款利率/月，17年的存款本息为 即在第17年需要给付借贷公司的钱少于给付银行的钱。所以建议请这家借贷公司帮助还款。 2.冷却定律与破案 按照Newton冷却定律，温度为T的物体在温度为的环境中冷却的速度与温差成正比。用此定律建立相应的微分方程模型。 凌晨某地发生一起凶杀案，警方于晨6时到达案发现场，测得尸温26℃，室温10℃，晨8时又测得尸温18℃。若近似认为室温不变，估计凶杀案的发生时间。 解答： 根据Newton冷却定律，可知温度T的微分方程为：
A absolute value 绝对值accept 接受 acceptable region 接受域additivity 可加性 adjusted 调整的alternative hypothesis 对立假设 analysis 分析 analysis of covariance 协方差分析 analysis of variance 方差分析 arithmetic mean 算术平均值association 相关性assumption 假设assumption checking 假设检验 availability 有效度average 均值 B balanced 平衡的 band 带宽 bar chart 条形图 beta-distribution 贝塔分布between groups 组间的bias 偏倚 binomial distribution 二项分布 binomial test 二项检验 C calculate 计算 case 个案 category 类别 center of gravity 重心central tendency 中心趋势chi-square distribution 卡方分布 chi-square test 卡方检验classify 分类 cluster analysis 聚类分析coefficient 系数 coefficient of correlation 相关系数collinearity 共线性 column 列 compare 比较 comparison 对照 components 构成，分量 compound 复合的 confidence interval 置信区 间 consistency 一致性 constant 常数 continuous variable 连续变 量 control charts 控制图 correlation 相关 covariance 协方差 covariance matrix 协方差矩 阵 critical point 临界点 critical value 临界值 crosstab 列联表 cubic 三次的，立方的 cubic term 三次项 cumulative distribution function 累加分布函数 curve estimation 曲线估计 D data 数据 default 默认的 definition 定义 deleted residual 剔除残差 density function 密度函数 dependent variable 因变量 description 描述 design of experiment 试验 设计 deviations 差异 df.(degree of freedom) 自由 度 diagnostic 诊断 dimension 维 discrete variable 离散变量 discriminant function 判别 函数 discriminatory analysis 判 别分析 distance 距离 distribution 分布 D-optimal design D-优化设 计 E eaqual 相等 effects of interaction 交互效 应 efficiency 有效性 eigenvalue 特征值 equal size 等含量 equation 方程 error 误差 estimate 估计 estimation of parameters 参数估计 estimations 估计量 evaluate 衡量 exact value 精确值 expectation 期望 expected value 期望值 exponential 指数的 exponential distributon 指 数分布 extreme value 极值 F factor 因素，因子 factor analysis 因子分析 factor score 因子得分 factorial designs 析因设计 factorial experiment 析因试 验 fit 拟合 fitted line 拟合线 fitted value 拟合值 fixed model 固定模型 fixed variable 固定变量 fractional factorial design 部分析因设计 frequency 频数 F-test F检验 full factorial design 完全析 因设计
数学建模方法模型 一、统计学方法 1 多元回归 1、方法概述: 在研究变量之间的相互影响关系模型时候用到。具体地说:其可以定量地描述某一现象和某些因素之间的函数关系，将各变量的已知值带入回归方程可以求出因变量的估计值，从而可以进行预测等相关研究。 2、分类 分为两类:多元线性回归和非线性线性回归;其中非线性回归可以通过一定的变化转化为线性回归，比如:y=lnx 可以转化为 y=u u=lnx 来解决;所以这里主要说明多元线性回归应该注意的问题。 3、注意事项 在做回归的时候，一定要注意两件事: (1) 回归方程的显著性检验(可以通过 sas 和 spss 来解决) (2) 回归系数的显著性检验(可以通过 sas 和 spss 来解决) 检验是很多学生在建模中不注意的地方，好的检验结果可以体现出你模型的优劣，是完整论文的体现，所以这点大家一定要注意。 4、使用步骤: (1)根据已知条件的数据，通过预处理得出图像的大致趋势或者数据之间的大致关系; (2)选取适当的回归方程; (3)拟合回归参数; (4)回归方程显著性检验及回归系数显著性检验 (5)进行后继研究(如:预测等)
2 聚类分析 1、方法概述 该方法说的通俗一点就是，将 n个样本，通过适当的方法(选取方法很多，大家可以自行查找，可以在数据挖掘类的书籍中查找到，这里不再阐述)选取 m 聚类中心，通过研究各样本和各个聚类中心的距离 Xij，选择适当的聚类标准，通常利用最小距离法(一个样本归于一个类也就意味着，该样本距离该类对应的中心距离最近)来聚类，从而可以得到聚类结果，如果利用sas 软件或者 spss 软件来做聚类分析，就可以得到相应的动态聚类图。这种模型的的特点是直观，容易理解。 2、分类 聚类有两种类型: (1) Q型聚类:即对样本聚类; (2) R型聚类:即对变量聚类; 通常聚类中衡量标准的选取有两种: (1) 相似系数法 (2) 距离法 聚类方法: (1) 最短距离法 (2) 最长距离法 (3) 中间距离法 (4) 重心法 (5) 类平均法 (6) 可变类平均法 (7) 可变法
黑龙江建筑职业技术学院第四届大学生数学建模竞赛 承诺书 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 所属二级学院（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 负责人(打印并签名)： （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 日期：年月日学院评阅编号（由学院组委会评阅前进行编号）：
黑龙江建筑职业技术学院第四届大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由学院组委会评阅前进行编号）：
传奇教练的选择问题探究 摘要 本文是通过建立数学模型来分析传奇教练的选择的问题,使得对于教练的历史和如何挑选出上个世纪中的传奇大学教练。我们通过对某一项运动中大学联赛教练数据的细致分析，选举出在该联赛一个世纪(1913-2013)的历史中的最佳教练，并由此得到一个能在不同比赛项目中通用的评价标准。 本文根据题目要求,逐层分析针对关于教练的传奇性和对执教生涯的系统分析,达到选择出最佳的传奇教练和对于传奇教练的一生的重大影响,最大可能让大家去了解。 解决问题时,由于本题数据教练较多,于是根据不同的体育项目和对于不同年龄的教练的需求赋予不同的权重,利用“层次分析”的思想求得最优，层次最为清晰的分析方法。体育画刊是美国的主要体育活动组织，各个大学积极参与体育画刊举办的各类体育联赛。美国全国上下对体育画刊的热情以及关注程度之高无法想像。体育画刊兴盛是美国大学文化的一种缩影，形成了崇尚体育的精神。体育画刊的存在培养了学生的体格、以及他们的荣誉感、团队能力，不仅如此，体育画刊更是众多美国的职业联赛(例如NBA、NFL、NHL)明星的诞生地！ 首先，将不同的体育项目进行分类，分层次的进行研究的调查。在本文中，我们试图建立一个数学模型来通过在相关杂志，资料，文献中能查找到的数据分析并评选出最杰出的教练。而这种评价方式下，我们力求以客观的方式，将数据所体现出的一个教练的能力全方位的展现，也就是说，我们大体沿用美国“标准本位的教练员评价”中的八项标准，但需要将其中主观的评价方式尽可能的客观化，数据化。 第二个问题，我将分为篮球，橄榄球，曲棍球进行层次式分析争取达到最高效的方法，通过模型的建立执教年龄，总执教场次，胜，负，胜率，等进行多角度的分析，以达到最终的找到传奇的教练。 通过以上问题的解决我们将找出传奇的教练并在模型的建立中，客观的表现出传奇教练的重大意义和历史贡献，由于体育画刊的明星教练与众多职业联赛不同，在职业联赛中球星的地位或许比教练还高，但在体育画刊中一个优秀的教练是胜利的保证。因此我们应当向这些伟大的教练们致敬! 同时在建立模型时我们优先考虑到不同时代的明星教练和不同性别教练的影响，运用群体决策打分体制，层次分析法，一致性检验及单一准则下元素相对权重的计算和因子的分析方法，达到最终的目的。
工程技术中常用的数学建模方法概述 摘要对目前工程和管理研究领域所涉及的数学建模方法作了简要分析，指出不同的问题所需用到的建模方法，并通过举例说明建模的方法和步骤。 关键词数学建模；建模方法；模型；建模；数学应用 在现实社会生产实践中，随着科学研究的进步，多学科交叉运用越来越多。数学建模就是一种解决实际应用问题的有效方法，当然要在充分了解问题的实际背景的基础上，把实际问题抽象成数学问题，建立起数学模型，利用数学知识对数学模型进行分析探求，得到数学结果，得出应用问题的解。即通过对问题的数学化，模型构建和求解检验[1]。 其一般步骤可分成如下几点： （1）模型准备：了解问题的实际背景，搜集建模必需的各种信息，明确建模目的。 （2）建模：对问题进行必要合理的简化和假设，根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量（变量和常量）之间的关系或其他数学结构。 （3）求模：根据数学知识和方法，求解数学模型，得到数学问题的结果。求模时要注意灵活运用各种数学方法，包括matlab等工程软件[2]。 （4）回归：把数学问题的结果回归到实际问题中，通過分析，判断，验证，得到实际问题的结果。 下面谈谈几种常用的数学建模法，限于篇幅，不便举太多例子。 （1）建立函数模型法 有关成本最低，效益最大，用料或费用最省等应用问题，可考虑建立相应函数关系式，并把实际问题转化为求最值的问题。 （2）建立三角形模型法 有关涉及几何、测量、航海等应用问题可考虑转化为三角问题来解决[3]。 （3）建立数列模型法 对于一些产量增长，细菌繁殖，存款利率，物价调节，人口探测等应用问题，往往需要通过观察分析，归纳抽象，建立出数列模型，然后用数列的有关知识加
论文题目： 关于商店三类产品的进货策略问题 姓名：黄文学号：01512505 专业：12输配电1班 姓名：杨震宇学号：01512515 专业：12输配电1班 姓名：袁国平学号：01512533 专业：12输配电1班 2013年5月21日
目录 摘要 (1) 一、问题重述 (2) 二、问题分析 (2) 三、模型假设 (2) 四、定义与符号说明 (2) 五、模型的建立与求解 (3) 第一部分、准备工作 (3) 第二部分、问题的解答............................................................(3-5) （一）问题一的解答 (3) （二）问题二的解答 (4) （三）问题三的解答 (4) （四）问题四的解答 (5) 六、对模型的评价与推广 (5) 七、附录…………………………………………………………………………(6-8)
关于商店三类产品的进货策略问题 摘要 本文解决的是商店三类产品的进货策略问题，商店的目的是盈利，但是在经营过程中，由于得不到科学的指导，往往无法使盈利最大化，甚至会导致亏损。为使盈利最大化，减少不必要的亏损，我们针对进货策略这一方面建立了以下几个模型。 对于问题一：我们结合图表及附表数据进行概率统计分析。简要地得出结论。 对于问题二：计算各商品在销售总量中占有的份额，结合问题一中的相关数据，通过比较，分析各商品的市场需求。 对于问题三：假设其符合泊松分布，并进行检验通过计算各商品的期望，预测计算在缺货时间内的损失。 对于问题四：根据6SQ统计软件，分别计算A,B,C三类产品的每天销售量，进而根据商家进货策略，分析A,B,C三类商品未来的进货规律。 关键字：日销售量进货策略泊松分布概率统计卡方拟合检验
全国大学生数学建模竞赛简介 全国大学生数学建模竞赛（China Undergraduate Mathematical Contest in Modeling，简称CUMCM）是由国家教育部高等教育司和中国工业与应用数学学会联合举办的，在全国高校中规模最大的课外科技活动之一. 其竞赛宗旨是：创新意识、团队精神、重在参与、公平竞争. 本竞赛每年9月(一般在中旬某个周末的星期五至下周星期一共3天，72小时）举行，竞赛面向全国大专院校的学生，不分专业（但竞赛分本科、专科两组，本科组竞赛所有大学生均可参加，专科组竞赛只有专科生（包括高职、高专生）可以参加）.同学们可以向本校教务部门咨询，如有必要也可直接与全国竞赛组委会或各省（市、自治区）赛区组委会联系. 全国大学生数学建模竞赛章程（2008年）第一条总则 全国大学生数学建模竞赛（以下简称竞赛）是教育部高等教育司和中国工业与应用数学学会共同主办的面向全国大学生的群众性科技活动，目的在于激励学生学习数学的积极性，提高学生建立数学模型和运用计算机技术解决实际问题的综合能力，鼓励广大学生踊跃参加课外科技活动，开拓知识面，培养创造精神及合作意识，推动大学数学教学体系、教学内容和方法的改革. 第二条竞赛内容 竞赛题目一般来源于工程技术和管理科学等方面经过适当简化加工的实际问题，不要求参赛者预先掌握深入的专门知识，只需要学过高等学校的数学课程.题目有较大的灵活性供参赛者发挥其创造能力.参赛者应根据题目要求，完成一篇包括模型的假设、建立和求解、计算方法的设计和计算机实现、结果的分析和检验、模型的改进等方面的论文（即答卷）.竞赛评奖以假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性和文字表述的清晰程度为主要标准. 第三条竞赛形式、规则和纪律 1．全国统一竞赛题目，采取通讯竞赛方式，以相对集中的形式进行. 2．竞赛每年举办一次，一般在某个周末前后的三天内举行. 3．大学生以队为单位参赛，每队3人（须属于同一所学校），专业不限.竞赛分本科、专科两组进行，本科生参加本科组竞赛，专科生参加专科组竞赛（也可参加本科组竞赛），研究生不得参加.每队可设一名指导教师（或教师组），从事赛前辅导和参赛的组织工作，但在竞赛期间必须回避参赛队员，不得进行指导或参与讨论，否则按违反纪律处理. 4．竞赛期间参赛队员可以使用各种图书资料、计算机和软件，在国际互联网上浏览，
一、数学模型的定义 现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。不过我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。一般来说数学建模过程可用如下框图来表明： 数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。 二、建立数学模型的方法和步骤 1. 模型准备 要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。 2. 模型假设 根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。 3. 模型构成 根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。 4. 模型求解 可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。 5. 模型分析 对模型解答进行数学上的分析。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，能否对模型结果作出细致精当的分析，决定了你的模型能否达到更高的档次。还要记住，不论那种情况都需进行误差分析，数据稳定性分析。
第十三章线性规划与数学建模简介 【授课对象】理工类专业学生 【授课时数】6学时 【授课方法】课堂讲授与提问相结合 【基本要求】1、了解数学模型的基本概念、方法、步骤； 2、了解线性规划问题及其数学模型； 3、了解线性规划问题解的性质及图解法. 【本章重点】线性规划问题. 【本章难点】线性规划问题、线性规划问题解的性质、图解法. 【授课内容】 本章简要介绍数学建模的基本概念、方法、步骤，并以几个典型线性规划问题为例，介绍构建数学模型的方法及其解的性质。 §1 数学建模概述 一、数学建模 数学建模是构造刻划客观事物原型的数学模型并用以分析、研究和解决实际问题的一种科学方法。运用这种科学方法，必须从实际问题出发，遵循从实践到认识再实践的认识规律，围绕建模的目的，运用观察力、想象力的抽象概括能力，对实际问题进行抽象、简化，反复探索，逐步完善，直到构造出一个能够用于分析、研究和解决实际问题的数学模型。因此，数学建模是一种定量解决实际问题的创新过程。 二、数学模型的概念 模型是人们对所研究的客观事物有关属性的模拟。例如在力学中描述力、 量和加速度之间关系的牛顿第二定律F＝ma就是一个典型的（数学）模型。一般地，可以给数学模型下这样的定义：数学模型是磁于以部分现实世界为一定目的而做的抽象、简化的数学结构。 通俗而言，数学模型是为了一定目的对原型所作的一种抽象模拟，它用数学 式子，数学符号以及程序、图表等描述客观事物的本质特征与内在联系。 三建立数学模型的方法和步骤 建立数学模型没有固定模式。下面介绍一下建立模型的大体过程： 1.建模准备 建模准备是确立建模课题的过程。这类课题是人们在生产和科研中为了使 认识和实践过一步发展必须解决的问题。因此，我们首先要发现这类需要解决的实际问题。其次要弄清所解决问题的目的要求并着手收集数据。进行建模筹划，组织必要的人力、物力等，确立建模课题。 2．模型假设 作为建模课题的实际问题都是错综复杂的、具体的。如果不对这些实际问题进行抽象简化，人们就无法准确把握它的本质属性，而模型假设就是根据建模的目的对原型进行抽象、简化，抓住反映问题本质属性的主要因素，简化掉那些非本质的
第1章数学建模概述 (2) §1.1从现实现象到数学模型 (2) §1.2数学建模方法、步骤、特点与分类 (4) §1.3怎样学习数学建模及组织数学建模竞赛 (8) 习题1 (10)
第1章数学建模概述 随着科学技术的发展，特别是计算机技术的飞速发展，数学建模作为一门用数学方法解决实际问题的学科越来越受到人们的重视。对于广大科技人员和应用数学工作者来说，建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与他们掌握的数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁.其实，“所谓高科技就是一种数学技术”，几乎所有学科发展到高级阶段都要引入数学，进行量化处理，甚至几乎所有科学理论都可看作数学模型，马克思说过“一门科学只有成功地运用数学时，才算达到了完善的地步”。当今，数学以空前的广度和深度向一切领域渗透，可以从以下几方面来看数学建模在现实世界中的重要意义： （1）在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地，如机械、电机、土木、水利等； （2）在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具，如通信、微电子、航天、自动化等； （3）数学进入一些新领域，诸如经济、人口、生态、地质等。所谓非物理领域也为数学建模开辟了许多处女地，如计量经济学、人口控制论、数学生态学等。 本章为数学建模概述，主要讨论建立数学模型的意义、方法和步骤，使读者全面的、初步的了解数学建模，最后给出几点数学建模竞赛建议供读者参考。 §1.1从现实现象到数学模型 现实世界丰富多彩，变化万千。人们无时无刻都在运用自己的智慧和力量去认识、利用、改造世界，从而创造出更加多彩的物质文明和精神文明。博览会是集中展示这些成果的场所之一。工业展厅上，豪华、舒适的新型汽车令人赞叹不已；农业展厅上，硕大、娇艳的各种水果令人流连忘返；科技展厅上，大型水电站模型雄伟壮观，人造卫星模型高高耸立，讲解员深入浅出的介绍原子结构模型的运行机理，电影演播室里播放着一部现代化炼钢厂自动化生产的影片，其中既有火花四溅的炼钢情形，也有控制的框图、公式和程序。参加博览会，既有汽车、水果那些原封不动的从现实搬到展厅的实物，也有各种实物模型、照片、图表、公式……，这些模型在短短几个小时给大家的作用，恐怕置身现实世界很多天也无法做到。 与形形色色的模型相对应，它们在现实世界的原始参照物统称为原型，它们是人们现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。本书所述的现实对象、研究对象、实际问题等均指原型。模型是为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、抽象、提炼而构成的原型替代物，也是所研究的系统、过程、事
数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。 随着社会的发展，生物、医学、社会、经济……各学科、各行业都涌现现出大量的实际课题，亟待 人们去研究、去解决。但 是，社会对数学的需求并 不只是需要数学家和专门 从事数学研究的人才，而 更大量的是需要在各部门 中从事实际工作 的人善于运用数 学知识及数学的 思维方法来解决 他们每天面临的 大量的实际问题， 取得经济效益和社会效 益。他们不是为了应用数 学知识而寻找实际问题 （就像在学校里做数学应 用题），而是为了解决实 际问题而需要用到数学。 而且不止是要用到数学， 很可能还要用到别的学 科、领域的知识，要用到 工作经验和常识。特别是 在现代社会，要真正解决 一个实际问题几乎都离不 开计算机。可以这样说， 在实际工作中 遇到的问题， 完全纯粹的只 用现成的数学 知识就能解决 的问题几乎是 没有的。你所能遇到的都 是数学和其他东西混杂在 一起的问题，不是“干净 的”数学，而是“脏”的 数学。其中的数学奥妙不 是明摆在那里等着你去解 决，而是暗藏在深处等着
你去发现。也就是说，你 要对复杂的实际问题进行 分析，发现其中的可以用 数学语言来描述的关系或 规律，把这个实际问题化 成一个数学问题，这就称 为数学模型。 数学模型具有下列特 征：数学模型的一个重要 特征是高度的抽象性。通 过数学模型能够将形象思 维转化为抽象思维，从而 可以突破实际系统的约 束，运用已有的数学研究 成果对研究对象进行深入 的研究。数学模型的另一 个特征是经济性。用数学 模型研究不需要过多的专 用设备和工具，可以节省 大量的设备运行和维护费 用，用数学模型可以大大 加快研究工作的进度，缩 短研究周期，特别是在电 子计算机得到广泛应用的 今天，这个优越性就更为 突出。但是，数学模型具 有局限性，在简化和抽象 过程中必然造成某些失 真。所谓“模型就是模型” (而不是原型)，即是该性 质。 数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践。即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。简而言之,建立数学模型的这个过程就称为数学建模。 模型是客观实体有关属性的模拟。陈列 在橱窗中的飞机模型外形应当像真正的飞 机，至于它是否真的能飞则无关紧要；然而 参加航模比赛的飞机模型则全然不同，如果 飞行性能不佳，外形再 像飞机，也不能算是一 个好的模型。模型不一 定是对实体的一种仿照，也可以是对实体的 某些基本属性的抽象，例如，一张地质图并 不需要用实物来模拟，它可以用抽象的符 号、文字和数字来反映出该地区的地质结 构。数学模型也是一种模拟，是用数 学符号、数学式子、程序、图形等对 实际课题本质属性的抽象而又简洁
2007 年度东华大学数学建模竞赛暨全国数学建模竞赛选拔赛 2007 年度东华大学数学建模竞赛即将举行，现将有关事宜通知如下： 1．2007 年度东华大学数学建模竞赛定于5 月30 日（周三）—6 月3 日（周日）举行，6 月4 日（周一）早8 ：00 前提交建模竞赛论文到指定地点。 2．本次竞赛设一等奖4 名、二等奖8 名、三等奖12 名、成功参赛奖若干名，获得一、二、三等奖的队伍将代表我校参加全国大学生数学建模竞赛。 3．本次竞赛将采用自由组队的方式进行报名，同学们在报名前尽量组队（每队必须由三人组成，可以来自不同专业、不同班级）；若不能组队，可以个人报名，报名截止日期为 5 月20 日。我们将在报名截止后公布未组队的同学名单，未组队的同学可以相互交流，按照相应的知识结构在一周内完成组队，若在规定的时间内未能组队，则取消该同学的参赛资格。 4．获得参加全国竞赛资格的队伍原则上不允许另行组队，仍按原先组队的成员参加全国竞赛。 5. 本次竞赛的形式为选手网上取题、自主解决、完成建模论文的方式进行。5 月30 日晨8 ：00 参赛队员可以从https://www.doczj.com/doc/b912969336.html,/mmadhu 上选题（可从两道参赛题中任选一道），选题后要求选手在规定时间内完成建模任务（自己查阅资料、机房上机），在规定时间内完成建模论文，并按时递交论文。建模论文和相关程序将是评奖的两个依据。 6. 竞赛前将组织几次针对性的建模知识讲座，具体时间安排请见https://www.doczj.com/doc/b912969336.html,/mmadhu 上的相关通知。 7. 报名方式：点击教务处主页，登录后选择学科竞赛报名—数学建模即可进行网上报名。 请有兴趣的同学踊跃报名组队参赛！ 东华大学教务处 东华大学数学建模协会 2007.4.24
1 数学建模简介 1.1什么是数学建模 数学建模简单的讲就是将实际问题变为用数学语言描述的数学问题的过程。其中对应的数学问题就是数学模型，人们通过对该数学模型的求解可以获得相应实际问题的解决方案或对相应实际问题有更深入的了解。数学建模问题不只是一个纯数学的问题。以2001年全国大学生数学建模竞赛考题为例，此年出了两个赛题让参赛队在其中任选一个来做。这两个赛题是:血管的三维重建问题和公交车调度问题。前一个题目是生物医学方面的问题, 它除了形态医学知识之外,还涉及到几何学中的包络线知识、数据处理知识、计算机图象处理知识和计算机编程等；第二个题目涉及概率统计知识、数据采集、数据处理知识、计算机仿真及计算机编程知识等。再看看以前各届国内外数学建模试题，更是五花八门。有动物保护、施肥方案、抓走私船的策略、应急设施的选址等等。实际上，熟悉科学研究的人会发现数学建模正是科学研究工作者及在读研究生要完成毕业论文要做的工作。由于数学建模具有可以培养解决实际问题能力的特点，因此，了解和学习数学建模知识对渴望提高自身科研素质的人们无疑是很有帮助的。 要学习数学建模，应该了解如下与数学建模有关的概念： ●原型（Prototype） 人们在现实世界里关心、研究、或从事生产、管理的实际对象称为原形。原型有研究对象、实际问题等。 ●模型（Model) 为某个目的将原型的某一部分信息进行简缩、提炼而构成的原型替代物称为模型。模型有直观模型、物理模型、思维模型、计算模型、数学模型等。 一个原型可以有多个不同的模型。 ●数学模型 由数字、字母、或其他数学符号组成、描述实际对象数量规律的数学公式、图形或算法称为数学模型。 1.2数学建模的方法和步骤 数学建模乍一听起来是乎很高深，但实际上并非如此。例如，在中学的数学课程中我们在作应用题而列出的数学式子就是简单的数学模型，而作题的过程就是在进行简单的数学建模。下面我们用一道代数应用题求解过程来说明数学建模的步骤。 例题：一个笼子里装有鸡和兔若干只，已知它们共有8个头和22只脚，问
研究生数学建模竞赛简介 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
全国研究生数学建模竞赛 竞赛发起网址：年在一批参加过大学生数学建模竞赛感到收获很大 的研究生的要求下，东南大学、南京大学、中国科技大学、合肥工业大学等江苏、安徽省 12所高校研究生会联合发起了“南京及周边地区研究生数学建模”有20所学校、近200名研究生参加。 竞赛全名 全国研究生数学建模竞赛 National Post-Graduate Mathematic Contest in Moleding ：GMCM 竞赛由来 东南大学“长江计划特聘教授”、生命科学专家陆祖宏赞助了这次竞赛，竞赛的成功举办在研究生中产生较大的反响。 2004年东南大学研究生院、南京师范大学研究生部联合邀请部分高校研究生院的领导共商研究生建模的工作。经过南京的筹备会议，东南大学、南京师范大学、南京大学、南京理工大学、同济大学、河海大学、武汉大学、南京航空航天大学、山东大学、南昌大学、中国科学技术大学、国防科学技术大学、中国矿业大学、解放军信息工程大学、解放军理工大学、中南大学、华南理工大学、吉林大学、西安交通大学、中山大学、合肥工业大学、厦门大学、天津大学、四川大学、上海交通大学、哈尔滨工业大学等 26所高校研究生院一致决定联合发起全国部分高校研究生数学建模竞赛，成立了竞赛组织委员会和竞赛评审委员会，制定了竞赛的章程和规则。
竞赛历程 2004年首届竞赛由南京师范大学承办，由 24 个省 84所高校及中国科学院的约1440名研究生参加，其中包括60名博士生。 2005年第二届竞赛由东南大学举办，包括清华大学、南开大学、大连理工大学、北京理工大学、湖南大学、武汉理工大学、北京工业大学等 25个省的高校和中国科学院研究生所得 103个单位的600多对总计2000多名研究生报名参赛，其中包括博士生 72 人。东南大学校友、全国百篇优秀博士论文作者， The catholic University of America 孙璐教授为竞赛命题，交通专业的“ 长江计划特聘教授” 、全国“ 畅通工程” 专家组组长王炜教授和中科院的专家韩续业、田丰教授参加了评审。根据竞赛的发展，组织委员会决定增加清华大学、北京航空航天大学、北京交通大学、西北工业大学、大连理工大学、重庆大学为组织委员成员，并更名为“ 全国研究生数学建模竞 赛” 。经过两年的实践，这项活动不仅为高校所认可，而且得到教育部的支持，教育部研究生司给颁奖晚会发来贺词：“ 在全国范围内积极开展研究生的数学建模活动，不仅极大地激发研究生群体的学习活力，充分调动研究生的学习积极性、拓宽知识面、提高数学建模和解决实际问题的能力，而且有利于培养研究生很强的团队精神，有利于各学科的交叉融合，提高研究生的创新能力。” 2008初教育部研究生司正式批准东南大学的申请，将全国研究生数学建模创新能力培养改革和举办全国研究生数学建模竞赛列入研究生创新教育计划项目，对竞赛产生巨大的推动。 2006年第三届竞赛由同济大学承办。在承办组委会的努力下，参赛学校数和参赛的研究生人数都有了很大的增加。其中，华中科技大学、中国人民
实验一动力系统 一、实验目的与要求 掌握运用软件求解动态系统模型，通过研究散点图得到动态系统的内在性质和长期趋势。通过对数据进行处理，归纳出动态系统模型。 1、用Excel对数据进行处理，建立动态系统模型并且进行验证； 2、用Excel画散点图，对动态系统模型解的长期趋势进行分析； 3、用Excel求解动态系统模型并估计均衡点； 4、用Excel分析多元动态系统模型。 二、实验内容 Example 1.1 P9 研究课题第一题 随着汽油价格的上涨，今年你希望买一辆新的（混合动力）汽车。你把选择范围缩小到以下几种车型：2007Toyota Camry混合动力汽车2007Saturn混合动力汽车2007Honda Civic混合动力汽车2007Nissan Altima 混合动力汽车2007Mercury Mariner混合动力汽车。每年公司都向你提供如下的“优惠价”。你有能力支付多达60个月的大约500美元的月还款。采用动力系统的方法来确定你可以买那种新的混合动力系统汽车。 混合动力汽车“优惠价”（美元）预付款（美元）利率和贷款持续时间Saturn 22045 1000 年利率5.95%，60个月Honda Civic24350 1500年利率5.5%，60个月Toyota Camry26200 750年利率6.25%%，60个月Mariner27515 1500年利率6%%，60个月 Altima24900 1000年利率5.9%%，60个月 解答如下，对五家公司分别建立动力系统模型： Saturn:Δb n=b n+1-b n=0.0595b n-6000 b n+1= b n+0.0595b n-6000 b0=21045 Honda Civic:Δb n=b n+1-b n=0.055b n-6000 b n+1= b n+0.055b n-6000 b0=22850 Toyota Camry: Δb n=b n+1-b n=0.0625b n-6000 b n+1= b n+0.0625b n-6000 b0=25450 Mariner:Δb n=b n+1-b n=0.06b n-6000 b n+1= b n+0.06b n-6000 b0=26015
数学建模是怎么回事 一提起数学竞赛，人们脑海里就会浮想起这样的场面：考场里鸦雀无声，监考老师警惕的目光扫视全场．年轻的数学尖子们坐在各自的书桌前，时而冥思苦想，时而奋笔疾书，希望能找到那一道道数学难题的正确答案．而那正确答案早已经由出题的专家们做出来，正锁在某—个保险柜里． 数学建模竞赛，或称数学模型竞赛，是不是也是这样的场面呢？你最好还是先到它的考场去见识见识吧．且慢！它并没有一个固定的考场．那么，参赛的选手们在哪里做题呢？到哪里去找他们呢？你可以到图书馆去试试，他们也许正在那里查阅资料，在那堆积如山的书堆中翻来翻去，希望从浩瀚的书海中打捞到自己需要的宝贝，你也可以到计算机房去看看，或许他们正在熟练地操纵着键盘，聚精会神地注视着计算机屏幕，屏幕上闪烁着的那些枯燥无味的数字和符号，简直就像侦探片、武打片或世界怀足球赛那样能抓住他们的心，让他们或欣喜若狂，或目瞪口呆，或颓丧万分．旁边居然还有一个选手在打瞌睡，小心别吵醒他，他已经连熬了两个通宵了！那边是谁在吵架？不，那是另外一队的选手在讨论问题，七嘴八舌，各有各的主意，要把这些互相冲突的意见统—在同一份答卷里可真是不容易，交卷的时间快到了，不再有争吵的声音，打印机均匀的嚓嚓声在选手们的耳朵里好像是世界上最美妙的音乐，他们打着哈欠检查着打印机吐出的—页页印刷精美的作品．你要是他们现在最想干的事情是什么，他们一定异口同声地回答：“睡觉！” 这像是考试吗？像数学竞赛吗？又是翻书查资料，又是相互讨论，到处跑来跑去也没人管，哪里还有一点考试的体统呢？不像考试像什么？也许你会想到，这有点像是一个科研课题组在突击完成一项任务．这算说对了．参赛选手们自己也这样说：“这不像是在考试，而像是在干活．”但它确实也是考试，是另一种形式的考试，姑且说是干活的考试吧，就是考一考谁千活干得更好．再来看一看竞赛的题目吧，看它出了些什么样的数学题．以1993年我国大学生数学建模竞赛为例，它出了两个题，让每个参赛队选作其中一个．一个题是要为我国12支甲级足球队排名次，做这个题的选手们面对这些足球劲旅的比赛成绩评头品足，俨然是国家体委的官员或体育界的专家．另一个题目是卫星通讯