平面向量专题复习（含答案）
1．若向量=（1，1），=（1，-1），=（-1，2），则等于（ ）
A ．2321+-
B ．2321-
C ．2123-
D ．2
123+- 2．若取两个互相垂直的单位向量 i ， j 为基底, 且已知 a = 3i + 2j , b = i - 3j , 则5a 与3b 的数量积等于（ ）A ．–45 B ．45 C ．–1 D ．1
3． O 是ΔABC 所在的平面内的一点，且满足（-）·（+-2）=0，则ΔABC 的形状一定
为（ ）A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．斜三角形
4．下面的四个命题：①||||||=?；②2
22)(b a b a ?=?；③若?=?-⊥则)(；
④若||||0-=+=?则。其中真命题是（ ）A ．①② B ．③④C ．①③D ．②④
5．将抛物线742++=x x y 的图象按向量平移，使其顶点与坐标原点重合，则=（ ）
A ．（2，-3）
B ．（-2，-3）
C ．（-2，3）
D ．（2，3） 6．下列四个命题，其中正确的个数有（ ）
①对于实数m 和向量m m m -=-)(,,恒有；②对于实数m, n 和向量n m n m -=-)(,恒有； ③若R m m m =∈=则有),(。④若n m R n m n m =≠∈=则有,,,(。A ．1个B ．2个 C ．3个D ．4个
7．已知12,5||,3||=?==且，则向量a 在向量b 上的投影为（ ）
A ．512
B ． 3
C ．4
D ．5
8．已知向量=（3，-2），=（-5，-1），则2
1等于（ ） A ．（8，1） B ．（-8，1） C ．（4，-
21） D ．（-4，21） 9．已知|p |=22，|q |=3，p ，q 的夹角为4
π，则以a =5p +2q ，b =p -3q 为邻边的平行四边形的一条对角线长为（ ）A ．15 B ．15 C ．14 D ．16
10．设e 1和e 2是互相垂直的单位向量，且a =3e 1+2e 2，b =-3e 1+4e 2，则a ·b 等于（ ）
A ．1
B ．2
C ．-1
D ．-2
11．若|a |=|b |=1，a ⊥b 且2a +3b 与k a -4b 也互相垂直，则实数k 的值为（ ）
A ．-6
B ．6
C ．-3
D ．3
12．设a 、b 、c 为平面向量，下面的命题中：
①a ·（b -c ）=a ·b -a ·c ；②（a ·b ）·c =a ·(b ·c )；③（a -b ）2=|a |2-2|a |·|b |+|b |2；
④若a ·b =0，则a=0或b=0。正确的个数是（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
13．已知e 是单位向量，求满足a ∥e 且a ·e =－18的向量a =_______.
14．设a =(m +1)i －3j ，b =i +(m －1)j ，(a +b ) ⊥(a －b ), 则m =___ ___.
15．若·+2
= 0，则ΔABC 的形状为 。 16．把函数5422+-=x x y 的图象按向量a 平移，得到22x y =的图象，且a ⊥b ，c =（1，-1），b ·c =4， 则b = 。
17．已知向量a =e 1-e 2，b =4 e 1+3 e 2，其中e 1=（1，0），e 2=（0，1）。
（Ⅰ）试计算a ·b 及|a + b |的值； （Ⅱ）求向量a 与b 的夹角的大小。
18．已知平面上三个向量a 、b 、c 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.
（Ⅰ）求证：（a －b ）⊥c ； （Ⅱ）若|k a +b +c |>1（k ∈R ），求k 的取值范围.
19．已知f （A,B ）=22cos 2sin 32cos 2sin 22+--+B A B A 。
（Ⅰ）设A 、B 、C 为ΔABC 内角，当f （A , B ）取得最小值是，求∠C ；
（Ⅱ）当A+B =
2
π且A 、B ∈R 时，y =f （A , B ）的图象通过向量p 的平移得到函数y =2cos2A 的图象，求向量p 。
20．平面直角坐标系内有点P （1，cos x ），Q （cos x ，1），]4
,4[ππ-∈x 。 （Ⅰ）求向量和的夹角θ的余弦用x 表示的函数f （x ）；
（Ⅱ）求θ的最值。
21．已知a =（cos α，sin α），b =（cos β，sin β），a 与b 之间有关系式|k a +b |=3|a -k a |，其中k >0。
（Ⅰ）用k 表示a ·b ；（Ⅱ）求a ·b 的最小值，并求此时a 与b 的夹角θ的大小。
22．已知：a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a =（1，2）
（Ⅰ）若||52=，且//，求的坐标；
（Ⅱ）若||=
,2
5且2+与-垂直，求与的夹角θ.
参考答案：
BACBA CADAC BC
13．－18e 14．－2 15．直角三角形 16．（3，-1）
17．解：（Ⅰ）a =（1，0）-（0，1）=（1，-1），b =（4，0）+（0，3）=（4，3）。 a ·b =（1，-1）·（4，3）=1；|a+b |=|（5，2）|=29。
（Ⅱ）102||||cos =??=
b a b a θ，102arccos =θ。
18．解（Ⅰ）,1||||||===c b a 且a 、b 、c 之间的夹角均为120°，
0120||||120cos ||||)(=-=?-?=?-∴ ocs c b c a c b c a c b a …3分 c b a ⊥-∴)(.
（Ⅱ）,1||,
1||2>++∴>++c b ka c b ka 2()()1,
2221ka b c ka b c k a a b b c c ka b ka c b c ++?++>∴?+?+?+?+?+?> 21cos120,20,2
a b a c b c k k ?=?=?==-∴-> 0 2.k k ∴<>或
19．解：（Ⅰ）f （A ·B ）=1)212(cos )232(sin 22+-+-
B A 。 由题意???????==????????==.6,362
12cos ,232sin πππB A B A 或∴∠C=32π或∠C=2π。 （Ⅱ）∵A+B =2
π，∴2B=π-2A ， ∴f （A ·B ）=cos2A-3sin2A+3=2cos （2A+
3π）+3=2cos2（A+6π）+3，∴p =（6π，-3）。
20．解：（Ⅰ）∵·=2cos x ，||·||=x 2cos 1+，∴x
x OD OP 2cos 1cos 2||||+=?= f （x ）。 （Ⅱ）cosθ= f （x ）=x
x x x cos 1cos 2cos 1cos 22+=+。∵]4,4[ππ-∈x ，∴]1,22[cos ∈x ，2≤x x cos 1cos +≤2
23， 322≤f （x ）≤1，即322≤cosθ≤1。max θarccos 322， =min θ=0。
21．解：（Ⅰ）由|k a +b |2=3|a -k a |2得，8k a ·b =（3-k 2）a 2+（3k 2-1）b 2
。∴a ·b =k b k a k 8)13()3(2
222-+-。 ∵a =（cos α，sin α），b =（cos β，sin β
），∴a 2=1，b 2=1，∴a ·b =k k 412+。 （Ⅱ）∵k >0，k 2+1>2k ，即k
k 412+≥2142=k k ，∴a ·b 的最小值为21。 ∵a ·b =|a |·|b |c osθ，∴cosθ=
2
1，θ= 60，此时a 与b 的夹角为 60。 22．解：（Ⅰ）设20,52,52||),,(2222=+∴=+∴==y x y x c y x x y y x 2,02),2,1(,//=∴=-∴=
由 ?????=+=20222y x x y ∴ ???==42y x 或?
??-=-=42y x ∴)4,2(),4,2(--==或 （Ⅱ）0)2()2(),2()2(=-?+∴-⊥+b a b a b a b a
0||23||2,0232222
2=-?+∴=-?+ ……（※） ,45)25(||,5||222=== 代入（※）中, 250452352-=?∴=?-?+?∴ 125
525||||c o s ,25||,5||-=?-=?=∴==b a b a θ
数 学 平面向量 平面向量的概念及其线性运算 1．★★(2014·辽宁卷L) 设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0，命题q ：若a ∥b ，b∥c ，则a∥c ，则下列命题中真命题是 ( ) A ．p ∨q B ．p ∧q C ．)()(q p ?∧? D ．)(q p ?∨ 2．★★(·新课标全国卷ⅠL) 已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB → 与AC → 的夹角为________． 3．★★(2014·四川卷) 平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 4. ★★ (2014·新课标全国卷ⅠW)设D 、E 、F 分别为△ABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，则=+FC EB （ ） A ． B. 21 C. D. 2 1 5. ★★(2014福建W)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OD OC OB OA +++等于 （ ） A ．OM B. OM 2 C. OM 3 D. OM 4 6. ★★（2011浙江L ）若平面向量,αβ满足1,1a β=≤，且以向量,αβ为邻边的 平行四边形的面积为 1 2 ，则α与β的夹角θ的取值范围是 。 7. ★★（2014浙江 L ）记,max{,},x x y x y y x y ≥?=?
一、多选题1．题目文件丢失！ 2．下列说法中错误的为（ ） A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 5,3??-+∞ ??? B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ?? =- ??? 不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||a D ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60° 3．在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 2sin c A =，且 02 C << π ，4b =，则以下说法正确的是（ ） A ．3 C π = B ．若72 c = ，则1cos 7B = C ．若sin 2cos sin A B C =，则ABC 是等边三角形 D ．若ABC 的面积是4 4．在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6 A a c π ===则角C 的大小 是( ) A ． 6 π B ． 3 π C ． 56 π D ． 23 π 5．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A ．10,45,70b A C ==?=? B ．45,48,60b c B ===? C ．14,16,45a b A ===? D ．7,5,80a b A ===? 6．以下关于正弦定理或其变形正确的有（ ） A ．在ABC 中，a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C B ．在ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝b C ．在ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立 D ．在ABC 中， sin sin sin +=+a b c A B C 7．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论中正确的是（ ）
平面向量练习题集答案 典例精析 题型一向量的有关概念 【例1】下列命题： ①向量AB的长度与BA的长度相等； ②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反； ③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同； ④向量AB与向量CD是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上. 其中真命题的序号是. 【解析】①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；AB与CD 是共线向量，则A、B、C、D可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错.故是真命题的只有①. 【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可. 【变式训练1】下列各式： a?； ①|a|＝a ②(a?b) ?c＝a?(b?c)； ③OA－OB＝BA； ④在任意四边形ABCD中，M为AD的中点，N为BC的中点，则AB＋DC＝2MN； ⑤a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且a与b不共线，则(a＋b)⊥(a－b). 其中正确的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 a?正确；(a?b) ?c≠a?(b?c)；OA－OB＝BA正确；如下图所示，【解析】选D.| a|＝a MN=MD+DC+CN且MN=MA+AB+BN， 两式相加可得2MN＝AB＋DC，即命题④正确； 因为a，b不共线，且|a|＝|b|＝1，所以a＋b，a－b为菱形的两条对角线， 即得(a＋b)⊥(a－b). 所以命题①③④⑤正确.
题型二 与向量线性运算有关的问题 【例2】如图，ABCD 是平行四边形，AC 、BD 交于点O ，点M 在线段DO 上，且DM = DO 31，点N 在线段OC 上,且ON =OC 3 1 ,设AB =a , AD =b ,试用a 、b 表示AM ，AN ，MN . 【解析】在?ABCD 中，AC ，BD 交于点O ， 所以DO ＝12DB ＝12(AB －AD )＝1 2 (a －b )， AO ＝OC ＝12AC ＝12(AB ＋AD )＝1 2(a ＋b ). 又DM ＝13DO ， ON ＝1 3OC ， 所以AM ＝AD ＋DM ＝b ＋1 3DO ＝b ＋13×12(a －b )＝16a ＋56 b ， AN ＝AO ＋ON ＝OC ＋1 3OC ＝43OC ＝43×12(a ＋b )＝2 3(a ＋b ). 所以MN ＝AN －AM ＝23(a ＋b )－(16a ＋56b )＝12a －16 b . 【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形. 【变式训练2】O 是平面α上一点，A 、B 、C 是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P 满足OP ＝OA ＋λ(AB ＋AC )，若λ＝1 2 时，则PA ?(PB ＋PC )的值为 . 【解析】由已知得OP －OA ＝λ(AB ＋AC )， 即AP ＝λ(AB ＋AC )，当λ＝12时，得AP ＝1 2(AB ＋AC )， 所以2AP ＝AB ＋AC ，即AP －AB ＝AC －AP ， 所以BP ＝PC ， 所以PB ＋PC ＝PB ＋BP ＝0， 所以PA ? (PB ＋PC )＝PA ?0＝0，故填0.
数学思维与训练 高中（三） ------------向量复习专题 向量思想方法和平面向量问题是新考试大纲考查的重要部分，是新高考的热点问题。题型多为选择或填空题，向量作为中学数学中的一个重要工具在三角、函数、解几、立几等问题解决中处处闪光。最近几年的考试中向量均出现在解析几何题中，在解析几何的框架中考查向量的概念和方法、考查向量的运算性质、考查向量几何意义的应用，并直接与距离问题、角度问题、轨迹问题等相联系。 附Ⅰ、平面向量知识结构表 1． 考查平面向量的基本概念和运算律 此类题经常出现在选择题与填空题中，主要考查平面向量的有关概念与性质，要求考生深刻理解平面向量的相关概念，能熟练进行向量的各种运算，熟悉常用公式及结论，理解并掌握两向量共线、垂直的充要条件。 1．(北京卷) | a |=1，| b |=2，c = a + b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为 （ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 2．(江西卷·理6文6) 已知向量 （ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 3．(重庆卷·理4)已知A （3，1），B （6，1），C （4，3），D 为线段BC 的中点，则向 量与 的夹角为 （ C ） A ． B ． C ． D ．－ 4．(浙江卷)已知向量≠，||＝1，对任意t ∈R ，恒有| －t |≥| －|，则 （ ） 向量 向量的概念 向量的运算 向量的运用 向量的加、减法 实数与向量的积 向量的数量积 两个向量平行的充要条件两个向量垂直的充要条件 定比分点公式 平移公式 在物理学中的应用 在几何中的应用
平面向量练习题 一．填空题。 1． BA CD DB AC +++等于________． 2．若向量＝（3，2），＝（0，－1），则向量2－的坐标是________． 3．平面上有三个点A （1，3），B （2，2），C （7，x ），若∠ABC ＝90°，则x 的值为________． 4.向量a 、b 满足|a |=1,|b |=2,(a +b )⊥(2a -b ),则向量a 与b 的夹角为________． 5．已知向量a ＝（1，2），b ＝（3，1），那么向量2a －21b 的坐标是_________． 6．已知A （－1，2），B （2，4），C （4，－3），D （x ，1），若与CD 共线，则|BD |的值等于________． 7．将点A （2，4）按向量＝（－5，－2）平移后，所得到的对应点A ′的坐标是______． 8. 已知a=(1,－2),b=(1,x),若a ⊥b,则x 等于______ 9. 已知向量a,b 的夹角为ο120，且|a|=2,|b|=5,则（2a-b ）·a=______ 10. 设a=(2,－3),b=(x,2x),且3a ·b=4,则x 等于_____ 11. 已知y x 且),3,2(),,(),1,6(--===∥，则x+2y 的值为_____ 12. 已知向量a+3b,a-4b 分别与7a-5b,7a-2b 垂直，且|a|≠0,|b|≠0，则a 与b 的夹角为____ 13． 在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则()OA OB OC +u u u r u u u r u u u r 的最小值是 . 14．将圆22 2=+y x 按向量v =（2，1）平移后，与直线0=++λy x 相切，则λ的值为 . 二．解答题。 1．设平面三点A （1，0），B （0，1），C （2，5）． （1）试求向量2＋的模； （2）试求向量与的夹角；
高考数学平面向量专题卷（附答案） 一、单选题（共10题；共20分） 1.已知向量，则＝（） A. B. C. 4 D. 5 2.若向量，，若，则 A. B. 12 C. D. 3 3.已知平面向量，，且，则＝（） A. B. C. D. 4.已知平面向量、，满足，若，则向量、的夹角为（） A. B. C. D. 5.在中，的中点为，的中点为，则（） A. B. C. D. 6.已知平面向量不共线，且，，记与的夹角是，则最大时， （） A. B. C. D. 7.在中，，AD是BC边上的高，则等于（） A. 0 B. C. 2 D. 1 8.已知，则的取值范围是（） A. [0，1] B. C. [1，2] D. [0，2] 9.已知向量，的夹角为，且，则的最小值为（） A. B. C. 5 D. 10.已知椭圆：上的三点，，，斜率为负数的直线与轴交于，若原点是的重心，且与的面积之比为，则直线的斜率为（）
A. B. C. D. 二、填空题（共8题；共8分） 11.在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，﹣1），B（﹣3，﹣4）两点，若点C在∠AOB的平分线上，且 ，则点C的坐标是________． 12.已知单位圆上两点满足，点是单位圆上的动点，且，则 的取值范围为________． 13.已知正方形的边长为1，，，，则________. 14.在平面直角坐标系中，设是函数（）的图象上任意一点，过点向直线 和轴作垂线，垂足分别是，，则________． 15.已知为锐角三角形，满足，外接圆的圆心为，半径为1，则的取值范围是________. 16.设是边长为的正六边形的边上的任意一点，长度为的线段是该正六边形外接圆的一条动弦，则的取值范围为________. 17.设的外接圆的圆心为，半径为2，且满足，则 的最小值为________. 18.如图，在中，，点，分别为的中点，若，，则 ________. 三、解答题（共6题；共60分） 19.的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．（Ⅰ）求； （Ⅱ）若，求的面积． 20.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），已知点，点是曲线上任意一点，点为的中点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
试卷第1页，总5页 一、选择题 1．已知三点)143()152()314(--，，、，，、，，λC B A 满足⊥，则λ的值 ( ) 2．已知)2 , 1(-=，52||=，且//，则=( ) 5．已知1,2,()0a b a b a ==+= ，则向量b 与a 的夹角为（ ） 6．设向量(0,2),==r r a b ，则, a b 的夹角等于（ ） 7．若向量()x x a 2,3+=和向量()1,1-=→b 平行，则 =+→→b a （ ） 8．已知()()0,1,2,3-=-=b a ，向量b a +λ与b a 2-垂直，则实数λ的值为( ). 9．设平面向量(1,2)a = ，(2,)b y =- ，若向量,a b 共线，则3a b + =（ ） 10．平面向量a 与b 的夹角为60 ，(2,0)a = ，1b = ，则2a b + = 11．已知向量()1,2=，()1,4+=x ，若//，则实数x 的值为 12．设向量)2,1(=→a ，)1,(x b =→，当向量→→+b a 2与→→-b a 2平行时，则→→?b a 等于 13．若1,2,,a b c a b c a ===+⊥ 且，则向量a b 与的夹角为（ ） 142= ，2||= 且（b a -）⊥a ，则a 与b 的夹角是 （ ） 15．已知向量AB ＝(cos120°，sin120°)，AC ＝(cos30°，sin30°)，则△ABC 的形状为 A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形 17．下列向量中，与(3,2)垂直的向量是（ ）． A ．(3,2)- B ．(2,3) C ．(4,6)- D ．(3,2)- 18．设平面向量(3,5),(2,1),2a b b ==--= 则a （ ） 19．已知向量)1,1(=a ，),2(n =b ，若b a ⊥，则n 等于 20． 已知向量,a b 满足0,1,2,a b a b ?=== 则2a b -= （ ） 21．设向量a =（1.cos θ）与b =（-1， 2cos θ）垂直，则cos 2θ等于 （ ） 23．化简AC - BD + CD - AB = 25．如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，那么=EF （ ）
微专题3 平面向量问题的“基底法”与“坐标法” 例1 如图，在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上．若BE →＝λBC →，D F →＝19λDC →，则 AE →·A F → 的最小值为 ________． (例1) 变式1 在△ABC 中，已知AB ＝10，AC ＝15，∠BAC ＝π 3，点M 是边AB 的中点， 点N 在直线AC 上，且AC →＝3AN → ，直线CM 与BN 相交于点P ，则线段AP 的长为________． 变式2若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为________． 处理平面向量问题一般可以从两个角度进行： 切入点一：“恰当选择基底”．用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算． 切入点二：“坐标运算”．坐标运算能把学生从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标．对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的．
1. 设E ，F 分别是Rt △ABC 的斜边BC 上的两个三等分点，已知AB ＝3，AC ＝6，则AE →·A F → ＝________． 2. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·A F →＝2，则AE →·B F → ＝________． 3. 如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE → ＝33 32 ，则AB 的长为________． (第2题) (第3题) (第4题) 4. 如图，在2×4的方格纸中，若a 和b 是起点和终点均在格点上的向量，则向量2a ＋b 与a －b 夹角的余弦值是________． 5. 已知向量OA →与OB →的夹角为60°，且|OA →|＝3，|OB →|＝2，若OC →＝mOA →＋nOB →，且OC → ⊥AB → ，则实数m n ＝________． 6. 已知△ABC 是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足AQ →＝23AP →＋13 AC →，则|BQ → |的最小值是________． 7. 如图，在Rt △ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足BP →＝12 PC → ，点M ，N 在过点P 的直线上，若AM →＝λAB →，AN →＝μAC → ，λ，μ>0，则λ＋2μ的最小值为________． (第7题) (第8题) (第9题) 8. 如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE → ＝λBA →＋μBD → (λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________． 9. 如图，在直角梯形ABCD 中，若AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1， 动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD → (m ，n 均为正实数)，则1m ＋1n 的最小值为________． 10. 已知三点A(1，－1)，B(3，0)，C(2，1)，P 为平面ABC 上的一点，AP →＝λAB →＋μAC → 且AP →·AB →＝0，AP →·AC → ＝3. (1) 求AB →·AC → 的值； (2) 求λ＋μ的值．
平面向量高考试题精选(一) 一．选择题（共14小题） 1．（2015?河北）设D为△ABC所在平面内一点，，则（） A． B． C． D． 2．（2015?福建）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．21 3．（2015?四川）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足，，则=（）A．20 B．15 C．9 D．6 4．（2015?安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（） A．||=1 B．⊥C．?=1D．（4+）⊥ 5．（2015?陕西）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（） A．||≤|||| B．||≤|||﹣||| C．（）2=||2D．（）?（）=2﹣2 6．（2015?重庆）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A． B． C． D．π 7．（2015?重庆）已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（） A． B． C． D． 8．（2014?湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D 满足||=1，则|++|的取值范围是（） A．[4，6] B．[﹣1，+1] C．[2，2] D．[﹣1，+1] 9．（2014?桃城区校级模拟）设向量，满足，，＜＞=60°，则||的最大值等于（） A．2 B． C． D．1 10．（2014?天津）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ，若?=1，?=﹣，则λ+μ=（） A． B． C． D． 11．（2014?安徽）设，为非零向量，||=2||，两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，若?+?+?+?所有可能取值中的最小值为4||2，则与的夹角为（） A． B． C． D．0
平面向量 【考点例题解析】 考点1.共线定理应用 例一：平面向量→ →b a ,共线的充要条件是（ ） A.→ →b a ,方向相同 B. → →b a ,两向量中至少有一个为零向量 C.存在,R ∈λ→ → =a b λ D.存在不全为零的实数0,,2121=+→ → b a λλλλ 变式一：对于非零向量→ →b a ,，“→→ →=+0b a ”是“→ →b a //”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 变式二：设→ →b a ,是两个非零向量（ ） A.若→ → → → =+b a b a _则→→ ⊥b a B. 若→→⊥b a ，则→→→→=+b a b a _ C. 若→ →→→=+b a b a _，则存在实数λ，使得 → → =a b λ D 若存在实数λ，使得→ → =a b λ，则→ → → → =+b a b a _ 例二：设两个非零向量→ → 21e e 与，不共线， （1）如果三点共线；求证：D C A e e CD e e BC e e AB ,,,28,23,212121--=+=-= （2）如果三点共线， 且D C A e k e CD e e BC e e AB ,,,2,32,212121-=-=+=求实数k 的值。
变式一：设→ →21e e 与两个不共线向量，,2,3,2212121e e e e e k e -=+=+=若三点A,B,D 共线，求实数 k 的值。 变式二：已知向量→ →b a ,，且,27,25,2+=+-=+=则一定共线的三点是（ ） A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D 考点2.线段定比分点的向量形式在向量线性表示中的应用 例一：设P 是三角形ABC 所在平面内的一点，,2BA BC BP += 则（ ） A. PB PA +=0 B. PA PC +=0 C. PC PB +=0 D. PB PA PC ++=0 变式一：已知O 是三角形ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且OC OB OA ++=20,那么（ ）A. OD A =0 B. OD A 20= C. OD A 30= D. OD A =02 变式二：在平行四边形ABCD 中a AB =，b AD =，NC AN 3=,M 为BC 的中点，则=MN ( 用b a ,表示) 例二：在三角形ABC 中，c AB =，b AC =,若点D 满足DC BD 2=,则=AD ( ) A. ,3132+ B. ,3235- C. ,3132- D. ,3 2 31+
高考数学二轮复习 专题5 平面向量 专题五 平面向量 【重点知识回顾】 向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既具有代数特征，又具有几何特征，因此我们要借助于向量可以将某些代数问题转化为几何问题，又可将某些几何问题转化为代数问题，在复习中要体会向量的数形结合桥梁作用。能否理解和掌握平面向量的有关概念，如：共线向量、相等向量等，它关系到我们今后在解决一些相关问题时能否灵活应用的问题。这就要求我们在复习中应首先立足课本，打好基础，形成清晰地知识结构，重点掌握相关概念、性质、运算公式 法则等，正确掌握这些是学好本专题的关键 在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性。二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。 在解决解斜三角形问题时，一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解斜三角形是重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的能力 因此，在复习中，要注意分层复习，既要复习基础知识，又要把向量知识与其它知识，如：曲线，数列，函数，三角等进行横向联系，以体现向量的工具性 平面向量基本定理（向量的分解定理） e e a → →→ 12，是平面内的两个不共线向量，为该平面任一向量，则存在唯一 实数对、，使得，、叫做表示这一平面内所有向量λλλλ12112212a e e e e → → → → → =+ 的一组基底。 向量的坐标表示
i j x y →→ ，是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数，，使得 ()a x i y j x y a a x y → →→→→ =+=，称，为向量的坐标，记作：，，即为向量的坐标 () 表示。 ()() 设，，，a x y b x y → → ==1122 ()()()则，，，a b x y y y x y x y → →±=±=±±11121122 ()() λλλλa x y x y → ==1111，， ()() 若，，，A x y B x y 1122 ()则，AB x x y y → =--2121 ()()||AB x x y y A B →= -+-212212，、两点间距离公式 . 平面向量的数量积 （）··叫做向量与的数量积（或内积）。1a b a b a b → → → → → → =||||cos θ [] θθπ为向量与的夹角，，a b →→ ∈0 数量积的几何意义： a b a b a b → → → → → ·等于与在的方向上的射影的乘积。||||cos θ （2）数量积的运算法则 ①··a b b a → → → → = ②··()a b c a c b c → →→ → → → → +=+ ()()③·，·，a b x y x y x x y y →→ ==+11221212 注意：数量积不满足结合律····()()a b c a b c → → → → → → ≠ ()() （）重要性质：设，，，31122a x y b x y →→ == ①⊥···a b a b x x y y → → → → ?=?+=001212
2020年高考数学平面向量专题练习 一、选择题 1、P是双曲线上一点，过P作两条渐近线的垂线，垂足分别为A,B 求的值（） A. B. C. D. 2、向量,，若，且，则x＋y的值为（） A．－3 B．1 C．－3或1 D．3或1 3、已知向量满足，若，则向量在方向上的投影为A． B． C．2 D．4 4、．如图，为等腰直角三角形，，为斜边的高，为线段的中点，则 （） A．B． C．D． 5、在平行四边形中，，若是的中点，则（） A. B. C. D. 6、已知向量，且，则（）
A. B. C. D. 7、已知是边长为2的等边三角形，D为的中点，且，则( ) A. B.1 C. D. 3 8、在平行四边形ABCD中，，则该四边形的面积为 A． B． C．5 D．10 9、下列命题中正确的个数是（） ⑴若为单位向量，且，=1，则=；⑵若=0，则=0 ⑶若，则；⑷若，则必有；⑸若，则 A．0 B．1 C．2 D．3 10、如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若存在最大值，则的取值范围为（） 二、填空题 11、已知向量与的夹角为120°,且,则____. 12、若三点满足，且对任意都有，则的最小值为________. 13、已知，，则向量在方向上的投影等于___________. 14、.已知，是夹角为的两个单位向量，，，若，则实数的值为 __________.
15、已知向量与的夹角为120°，，，则________. 16、已知中，为边上靠近点的三等分点，连接为线段的中点，若 ， 则__________． 17、已知向量为单位向量，向量，且，则向量的夹角为. 18、在矩形ABCD中，已知E，F分别是BC，CD上的点，且满足，。若 (λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为。 三、简答题 19、已知平面直角坐标系中，向量，，且. （1）求的值；（2）设，求的值． 20、已知向量＝(sin，cos﹣2sin)，＝(1，2)． （1）若∥，求的值； （2）若，0＜＜，求的值． 21、已知向量，．(1)若在集合中取值，求满足的概率；(2)若 在区间[1,6]内取值，求满足的概率. 22、在平面直角坐标系xOy中，已知向量， （1）求证：且； （2）设向量，，且，求实数t的值．
历年平面向量高考试 题汇集
高考数学选择题分类汇编 1．【2011课标文数广东卷】已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实 数，(a ＋λb)∥c ，则λ＝( ) A.14 B .1 2 C ．1 D ．2 2．【2011·课标理数广东卷】若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c·(a ＋2b)＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 3．【2011大纲理数四川卷】如图1－1，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝ ( ) A ．0 B.BE → C.AD → D.CF → 4．【2011大纲文数全国卷】设向量a ，b 满足|a|＝|b|＝1，a·b ＝－1 2，则|a ＋2b|＝( ) A. 2 B. 3 C. 5 D.7 . 5．【2011课标文数湖北卷】若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A ．－π4 B.π6 C.π4 D.3π4 6．【2011课标理数辽宁卷】若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c)·(b －c)≤0，则|a ＋b －c|的最大值为( ) A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2 【解析】 |a ＋b －c|＝(a ＋b －c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a·b －2a·c －2b·c ，由于a·b ＝0，所以上式＝3－2c·(a ＋b )，又由于(a －c)·(b －c)≤0，得(a ＋b)·c ≥c 2＝1，所以|a ＋b －c|＝3－2c·(a ＋b )≤1，故选B. 7．【2011课标文数辽宁卷】已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k)，a·(2a －b)＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6 D ．12
高中平面向量经典练习题 【编著】黄勇权 一、填空题 1、向量a=（2，4），b=（-1，-3），则向量3a-2b的坐标是。 2、已知向量a与b的夹角为60°，a=（3，4），|b | =1，则|a+5b | = 。 3、已知点A（1，2），B（2，1），若→ AP=（3，4），则 → BP= 。 4、已知A（-1，2），B（1，3），C（2，0），D（x，1），若AB与CD共线，则|BD|的值等于________。 5、向量a、b满足|a|=1，|b|= 2 ，(a+b)⊥(2a-b)，则向量a与b的夹角为________。 6、设向量a，b满足|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6 ，则a·b＝。 7、已知a、b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是。 8、在△ABC中，D为AB边上一点，→ AD = 1 2 → DB， → CD = 2 3 → CA + m → CB，则 m= 。 9、已知非零向量a，b满足|b|=4|a|，a⊥（2a+b），则a与b的夹角是。 10、在三角形ABC中，已知A（-3，1），B（4，-2），点P（1，-1）在中线AD 上，且→ AP= 2 → PD，则点C的坐标是（）。 二、选择题 1、设向量→ OA=（6，2），→ OB=（-2，4），向量→ OC垂直于向量→ OB，向量 → BC平行于 →OA，若→ OD + → OA= → OC，则 → OD坐标=（）。 A、（11，6） B、（22，12） C、（28，14） D、（14，7） 2、把A（3,4）按向量a（1,-2）平移到A',则点A'的坐标（） A、（4 , 2） B、（3，1） C、（2，1） D、（1，0） 3、已知向量a，b，若a为单位向量, 且 | a| = | 2b| ,则（2a+ b）⊥（a-2b），则向量a与b的夹角是（）。 A、90° B、60° C、30° D、0° 4、已知向量ab的夹角60°，| a|= 2，b=（-1，0），则| 2a-3b|=（）
数学高考《平面向量》复习资料 一、选择题 1．已知A ，B ，C 是抛物线24y x =上不同的三点，且//AB y 轴，90ACB ∠=?，点C 在AB 边上的射影为D ，则CD =（ ） A ．4 B ．2 2 C ．2 D ．2 【答案】A 【解析】 【分析】 画出图像，设222112112,,,,,444y y y A y B y C y ?????? - ? ? ???????，12y y >， 由90ACB ∠=?可求2 2 1 216y y -=，结合22 1244 y y CD =-即可求解 【详解】 如图：设222112112,,,,,444y y y A y B y C y ??????- ? ? ???????，12y y >， 由90ACB ∠=?可得0CA CB ?=u u u r u u u r ，22221212 1212,,,44y y y y CA y y CB y y ????--=-=-- ? ????? u u u r u u u r ， ()222221212004y y CA CB y y ??-?=?--= ???u u u r u u u r ，即()()222122212016 y y y y ---= 解得2 2 1 216y y -=（0舍去），所以2222 12124444 y y y y CD -=-== 故选：A 【点睛】 本题考查抛物线的几何性质与向量的综合应用，计算能力，逻辑推理能力，属于中档题 2．已知5MN a b =+u u u u r r r ，28NP a b =-+u u u r r r ，3()PQ a b =-u u u r r r ，则（ ）
一、多选题 1．下列说法中错误的为（ ） A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 5,3??-+∞ ??? B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ?? =- ??? 不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||a D ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60° 2．已知ABC 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos A b B a =，则该三角形的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形 3．在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 2sin c A =，且 02 C << π ，4b =，则以下说法正确的是（ ） A ．3 C π = B ．若72 c = ，则1cos 7B = C ．若sin 2cos sin A B C =，则ABC 是等边三角形 D ．若ABC 的面积是4 4．在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6 A a c π ===则角C 的大小 是( ) A ． 6 π B ． 3 π C ． 56 π D ． 23 π 5．已知点()4,6A ，33,2B ??- ??? ，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ） A ．14,33?? ??? B ．97,2?? ??? C ．14,33??-- ??? D ．(7，9) 6．ABC 中，2AB =，30ACB ∠=?，则下列叙述正确的是（ ） A ．ABC 的外接圆的直径为4. B ．若4A C =，则满足条件的ABC 有且只有1个 C ．若满足条件的ABC 有且只有1个，则4AC =
平面向量 专题 常考考点与核心问题 一 平面向量的性质与运算法则 理解向量的实际背景，向量的含义，掌握零向量、平行向量、共线向量、单位向量等等这些概念以及平面向量的基本定理。 平面向量的和，差，数乘，数量积的运算法则以及其几何意义。 注意：平面向量几何意义与数形结合思想的应用. 二 向量的坐标表示及其线性运算. 向量的坐标运算是代数与几何联系的桥梁，它融数形于一体，既具有代数形式，又具有几何形式.是中学数学知识的一个重要交汇点.常与平面几何，解析几何，三角函数等内容综合.复习时注意转化化归思想的应用. 三 定比分点 熟练掌握定比分点公式与中点公式 定比分点公式的几个表达形式： 设平面上A (x 1，y 1)，P (x ，y )，B (x 2，y 2)三点共线，O 为平面上任意一点. ①λ= ②??? ???? ++=++=λ1λλ 1λ2121y y y x x x ③()OB t OA t OP -+=1
四 平面向量与其他知识的综合 1．向量与三角函数，注意正弦定理和余弦定理的使用和向量的几何意义 2．向量与函数，对向量的基本概念和运算要掌握 3．向量与解析几何 基础篇 1．(广东卷理) 一质点受到平面上的三个力1F ，2F ，3F (单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知1F ，2F 成60°角，且1F ，2F 的大小分别为2和4，则3F 的大小为( ) A ．6 B ．2 C ．52 D ．72 考点：平面向量 规律方法：平面向量的运算法则，余弦定理 解析：由力的三角形原理，利用余弦定理 ()2860180cos 221222123=?-?-+=F F F F F ，所以723=F 答案：D 2．(优质真题宁夏海南卷理)已知O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且OA OB OC ==，0=++，且?=?=?，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( ) A ．重心 外心 垂心 B ．重心 外心 内心 C ．外心 重心 垂心 D ．外心 重心 内心 (注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心) 考点：平面向量的几何特点
高中数学平面向量专题训练 一、选择题： 1、若向量方程23(2)0x x a --=r r r r ，则向量x r 等于 A 、65 a r B 、6a -r C 、6a r D 、65 a -r 2、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a r 和b r ，那么下列命题中错误的一个是 A 、a r 与b r 为平行向量 B 、a r 与b r 为模相等的向量 C 、a r 与b r 为共线向量 D 、a r 与b r 为相等的向量 3、AB BC AD +-=u u u r u u u r u u u r A 、AD u u u r B 、CD uuu r C 、DB u u u r D 、DC u u u r 4、下列各组的两个向量，平行的是 A 、(2,3)a =-r ，(4,6)b =r B 、(1,2)a =-r ，(7,14)b =r C 、(2,3)a =r ，(3,2)b =r D 、(3,2)a =-r ，(6,4)b =-r 5、若P 分AB u u u r 所成的比为4 3 ，则A 分BP u u u r 所成的比为 A 、7 3 - B 、3 7 - C 、73 D 、 3 7 6、已知(6,0)a =r ，(5,5)b =-r ，则a r 与b r 的夹角为 A 、045 B 、060 C 、0135 D 、0120 7、已知i r ，j r 都是单位向量，则下列结论正确的是 A 、1i j ?=r r B 、22 i j =r r C 、i r ∥j i j ?=r r r D 、0i j ?=r r 8、如图，在四边形ABCD 中，设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ， BC c =u u u r r ，则DC =u u u r A 、a b c -+r r r B 、()b a c -+r r r C 、a b c ++r r r D 、b a c -+r r r 9、点),0(m A )0(≠m ，按向量a r 平移后的对应点的坐标是)0,(m ，则向量a r 是 C B A D
— 平面向量高考试卷精选(一) 一．选择题（共14小题） 1．（2015?河北）设D为△ABC所在平面内一点，，则（） A．B． C．D． 2．（2015?福建）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（） 、 A．13 B．15 C．19 D．21 3．（2015?四川）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足，，则=（） A．20 B．15 C．9 D．6 4．（2015?安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（） A．||=1 B．⊥C．?=1 D．（4+）⊥ | 5．（2015?陕西）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（） A．||≤|||| B．||≤|||﹣||| C．（）2=||2D．（）?（）=2﹣2 6．（2015?重庆）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）
A．B．C．D．π 7．（2015?重庆）已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（） （ A．B．C．D． 8．（2014?湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值范围是（） A．[4，6] B．[﹣1，+1] C．[2，2] D．[﹣1，+1] 9．（2014?桃城区校级模拟）设向量，满足，，＜ ＞=60°，则||的最大值等于（） A．2 B．C．D．1 { 10．（2014?天津）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ，若?=1，?=﹣，则λ+μ=（） A．B．C．D． 11．（2014?安徽）设，为非零向量，||=2||，两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，若?+?+?+?所有可能取值中的最小值为4||2，则与的夹角为（） A．B．C．D．0 12．（2014?四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 ~