二． 计算题（每小题7分，共70分） 1。设z
y x x
z
y
u =
的全微分du
解：两边取对数
z x y z x y u ln ln ln ln ++=-----（1），
再对（1）两边取全微分：
??? ?
?++???? ??++??? ??+=dz z x zdx ydz dy y z
xdy dx x y du u ln ln ln 1 .ln ln ln dz z x y dy y z x dx z x y ??? ??
++???? ??++??? ??+= 所以，.ln ln ln dz z x y dy y z x dx z x y u du ??
?
??
++???? ??++??? ??+= 2．计算由方程
y
z
z x ln
=确定的函数()y x z z ,=的全微分。 解：原方程化为y z z z x ln ln 2-=----（1） （1）式两边全微分，得：
()???
?
??+-+=ydz dy y z dz z dx ln ln 12，整理，得：
()dy y
z y
z
dx y z dz dy y z dx dz y z ln ln 1ln ln 122ln ln 1-++-+=?+=-+
======)1( dz .222212122
yz xy x z z dy z
x y z dx z x z +++=+
++ 3．设()y x z z ,=，由方程0,,=????
??x z z y y x F 确定，且F 为可微函数，求dz 。
解：方程两边求全微分，并注意到一阶全微分形式的不变性，有：
.0/3/2/
1=?
??
??+??? ??+???
? ??x z d z y d y x d F F F 即： 01112/32/22/
1=???? ??+-+???? ??-+????
? ??-dz x dx z dz y dy z dy x dx y x F z F y F ，整理，得：
dy x z dx z y dz x y F y F F x F F F z ????? ??-+???? ??-=???? ??-/
12/2/32/1/3/22111，故：
.1111/3/22/12/2/3/22/32/1dy x y x z dx x y z y dz F F z F y F F F z F x F ???????
? ??--+??????? ??--=? 4．设函数(
)
2,sin ,22
2
+-=
x x
x y y x f z ，其中f 具有二阶连续偏导数，求
.;22
y
z x z ???? 解：（一）
??
????+
+
+=??x x y xf x
z f
f
f x 2cos 2.2/
3/2
/12
（二）
??
???
?
+
=??-x y
z f
f
x
sin /
2/1
2
，所以
?
??????????
?+
+??????
+
-=?--?x x x z f
f f f x y
sin sin sin //
22//21
//12//11
2
2
2
5。求曲线..
0,
6:222
?????=++=++Γz y x z
y x 在点()1,2,1-的切线。 解：方程组两边关于x 求导，得：
..01,0222??????
?
=++=++dx
dz dx dy dx
dz z dx dy y x ，----（1） 将点()1,2,1-代入（1），得：
..01,0242||||1
11
1??????
?=++=+-====x x x x dx dz dx dy dx dz dx dy 解之，有：.1,0||1
1-====x x dx dz dx dy 所以，切线向量为：{}1,0,1-=
故曲线在点()1,2,1-的切线为：
.1
1
0211--=+=-z y x 6． 计算,42
2
σd I D
y
x ??-
-=其中D 是x y
x 22
2
≤+
。
解：
.9
32384cos 202
22
-=
-=?
?-πθθ
π
πrdr d I r 7．计算dx dy I y
x
y
e ?
?=1
1
解：
交换积分次序，
()
[].
2
1211211_1||1010
10101
0001
02
2
=-=--==-=???
???==??????x xdx
dx dx x dx x x dy x
dx I e xe e e e x
x x x y x
y
三．试证明：点()2,3是函数()(
)
??
?
??--=y x y x y x f 2
2
46,的极值点。（10分）
解：()()()()().246,,426,2
/
2
/
?????--=??
?
?
?--=y x y x y x y x x f y f y
x
因为()(),02,32,3/
/
==f f y x 所以点()2,3是函数()()??
? ?
?--=y x y x y x f 2
2
46,的
驻点。
()()()()()()()26,,2426,,
42,2
//
//
2
//--=--=??
? ?
?
--=x f f y f x y x y x y x y y x yy xy xx 。 记
()()()0144,182,3,02,3,082,32
//
////<-=-=?-===<-==
AC B A B
f f f yy
xy
xx
所以，点()2,3是函数()()
??
? ?
?-
-=y x y x y x f 2
2
46,的极大值点。
四．设Ω是由曲面y
x z 2
2
4-
--=和y
x z 2
2
+-
=所围成的区域，试分别写
出()dv z y x f I ???Ω
=,,在直角坐标；柱坐标；球面坐标系下的三次积分（14分） 解：
Ω向xoy 平面上的投影区域为，:
D 22
2
≤+
y
x 。
（一）在直角坐标系下
()().,,,,22
224222
2
22dz x x
y x y x z y x f dy dx dv z y x f I ?
?
????--
--
+----Ω
== （二）在柱坐标下
()().,sin ,cos ,,20
2
42
dz r
z r r f rdr d dv z y x f I r ???
???-
-Ω
==π
θθθ
（三）在球坐标下
()().cos ,sin sin ,cos sin sin ,,20
4
320
2
ρ?ρθ?ρθ?ρ??θθ
ππρd f d d dv z y x f I ??????==Ω
五。选作题（每题10分，共40分）
1．在曲面842232:2
2
2
=+++++∑yz xz xy z y x 上求点的坐标使此点处的切平
面平行于yoz 坐标面。 解：设所求之点为()z y x M 0
0,,
记()842232,,2
2
2
-+++++=
yz xz xy z y x F z y x
，则曲面∑在()z y x M 0
,,处
的切平面的法向量为
()()(){}{}
y x z z x y z y x M F M F M F z
y
x
n 0
/
/
/426,424,222,,++++++==
因为{}0,0,1//，所以，有：
()????
???∑∈=-+++++=++=++M z y z x y x z y x y x z z x y 0000000202
020
000000
.0842232.
0426,
0424 ， 解之，.0,2,400
0==±=z y x 因此，所求之点()0,2,40 ±M 。
2．设()dv z y x f I ???Ω
=,,，其中f 为连续函数，Ω是由曲面R z
y x 2
2
2
2
4≤++
和
()()042
2
2
2
2>≤+
+
-R R R z y
x 所围成的区域，将I 化为柱坐标及球坐标下的
三次积分。
解：联立()?????=+
+≤++-.
4,42
2
2
22
22
22R R z y
x R z y x 消去z ，得Ω向xoy 平面上的投影区域
为，:
D .32
2
2
R y
x ≤+
。
（一）在柱坐标下
()().,sin ,cos ,,20
30
4
422
222dz r R r
R z r r f rdr d dv z y x f I R
R ??
????---Ω
==π
θθθ （二）在球坐标下
()()ρ?ρθ?ρθ?ρ??θθ
π
ρd f d d dv z y x f I R
???
???==Ω
20
30
20
2
cos ,sin sin ,cos sin sin ,,
().c o s ,s i n s i n ,c o s s i n s i n 20
23
c o s
40
2
ρ?ρθ?ρθ?ρ??θθ
π
π?ρd f d d R ???
+
3．求dz x y
x y
x dy dx I z ?
??-
-
-
+=2
2
2
2
210
22
10
解：Ω如图所示。宜采用球坐标计算之。
()
.75
122
sin 2
20
40
2
02
2
cos
π
ρ???θρρπ
π
-=
=???
d d d I 4．已知某一物体由,2,22
2
==+
z z y
x 及8=z 所围成且每一点处的面密度函数为
y
x 2
2
+
=
ρ，试求该物体的质量。
解：记Ω：().8222
2
≤≤=+
z z y
x
由三重积分的物理意义，知：
???Ω
??
?
??+
=dxdydz m y x 2
2
。宜才采用直角坐标系下的“切片法”。 设:
D z z y
x 22
2
≤+
为过点()()82,0,0≤≤z z 处Ω的截面。
???????????
????=??? ?
?+
=??? ??+
=Ω
82202022
2822
2
πθz rdr d dxdy D dz dxdydz m r y
x y x z
[].3363
22|
82
3
8
2
2
πππ===?
z z dz
5．试证明()()()()()???????
=≠+=.
0,0,,0,0,0,,,22
y x y x xy y x f y x 在原点处连续且偏导数存在，但在原
点处不可微。
证明：（一）因为
()()0,00|||||
||,|022
→→→≤+=≤y x y y x y x f y x ，
所以，()()0,00,lim 0
0f y x f y x ==→→，故函数()y x f ,在原点处连续。
（二）因为()(),00
0lim 0,00,0lim 00
=?-=?-?+→?→?x x
f x f x x 所以，();00,0/
=f x
类似地，().00,0/
=f y
故函数()y x f ,在原点处可偏
导。
（三） 下面考察()()ρ
ρy
x z f f y
x
?-?-
?→0,00,0lim
/
/0
，即考察
()()[]()()()()
()()()()
y x y x y x f f y
x y
x f y x f x y x y x ??????++??=+?-?--?+?+→?→?→?2
2
2
20
2
2
/
/
.lim
0,00,00,00,0lim
()()
y x y
x y x ??+??=→?→?2
20
0.lim
。
我们说，()()
y x y
x y x ??+??→?→?2
2
0.lim
不存在，故()y x f ,在原点处不可微 。
高等数学 院系_______学号_______班级_______姓名_________得分_______ 总分 题号选择题填空题计算题证明题其它题 型 题分2020202020核分人 得分复查人 一、选择题（共 20 小题，20 分） 1、设 Ω是由z ≥及x2+y2+z2≤1所确定的区域，用不等号表达I1，I2，I3三者大小关系是 A. I1>I2>I3; B. I1>I3>I2; C. I2>I1>I3; D. I3>I2>I1. 答 ( ) 2、设f(x,y)为连续函数，则积分 可交换积分次序为 答 ( ) 3、设Ω是由曲面z=x2+y2,y=x,y=0,z=1所围第一卦限部分的有界闭区域，且f(x,y,z)在Ω上连续，则等于
(A) (B) (C) (D) 答 ( ) 4、设u=f(t)是(－∞,+∞)上严格单调减少的奇函数，Ω是立方体：|x|≤1;|y|≤1;|z|≤1. I=a,b,c为常数，则 (A) I>0 (B) I<0 (C) I=0 (D) I的符号由a,b,c确定 答 ( ) 5、设Ω为正方体0≤x≤1;0≤y≤1;0≤z≤(x,y,z)为Ω上有界函数。若 ，则 (A) f(x,y,z)在Ω上可积 (B) f(x,y,z)在Ω上不一定可积 (C) 因为f有界，所以I=0 (D) f(x,y,z)在Ω上必不可积 答 ( ) 6、由x2+y2+z2≤2z,z≤x2+y2所确定的立体的体积是 (A) (B) (C) (D) 答 ( ) 7、设Ω为球体x2+y2+z2≤1,f(x,y,z)在Ω上连续，I=x2yzf(x,y2,z3),则I= (A) 4x2yzf(x,y2z3)d v (B) 4x2yzf(x,y2,z3)d v (C) 2x2yzf(x,y2,z3)d v (D) 0
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()()2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.
大学数学期末高等数学试卷（计算题） 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) .d )1(22x x x ? +求 2、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-2332121629124 3、(本小题5分) 求极限lim arctan arcsin x x x →∞?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ．求dt t dx d x ?+2 021 6、(本小题5分) ??.d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ．求?ππ 2 1 21cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),22 9、(本小题5分) ． 求dx x x ?+3 01 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分) ．求? π +2 02sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ? +求 二、解答下列各题
高等数学复习题及答案 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的 括号内。错选、多选或未选均无分。 1.下列函数中为奇函数的是（ B ） A.()2x x e e f x -+= B.()2 x x e e f x --= C.3()cos f x x x =- D.5()sin f x x x = 答案：B 知识点：函数奇偶性 解：()()2x x e e f x f x -+-==故()2x x e e f x -+=为偶函数()()2 x x e e f x f x ---==-，故()2 x x e e f x --=为奇函数()()33()cos cos f x x x x x -=---=--，故3()cos f x x x =-为非奇非偶函数 ()()5 5()sin sin ()f x x x x x f x -=--==，故5()sin f x x x =为偶函数 2.当0x +→时，下列变量为无穷小量的是（ C ） A.1 e x B.ln x C.x sin 1x D.1sin x x
答案：C 知识点： 无穷小量 解：1 lim e x x +→=+∞ 3.设函数f (x )=2ln(1), 0,, 0x x x x +≥??
计算题 1. 求向量k j i a 434+-=在向量k j i b ++=22上的投影 2. 求直线 2 4 1312-=-=-z y x 与平面062=-++z y x 的交点。 3. 过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程。 4. 求过直线的平面与2 1121:21123: 21z y x L z y x L =-=+-==-. 5.直线过点A （-3，5，-9）且和两直线?? ?+=-=???-=+=10 57 4:,325 3:2 1x z x y l x z x y l 相交，求此直线方程. 6. 已知平面0543:,0122:21=+-=+--y x z y x ππ，求平分21,ππ夹角的平面方程。 7.已知向量b a ,之间的夹角,8,5,60===b a ?求b a +与b a -. 8. 已知,24,19,13=+==b a b a 求b a -. 9. 已知三点A （7，3，4），B （1，0，6），C （4，5，-2），求ΔABC 的面积. 10. 已知,3 2),(,5,2π ===b a b a 问系数λ为何值时，向量b a A 17+=λ与b a B -=3垂直. 11. 已知向量b ,之间的夹角,3,2,135===b a ?求以b a -2和b a 2+为邻边的 平行四边形面积. 12.若向量垂直于向量)3,2,1(,)1,3,2(-=-=b ，且于)1,1,2(-=c 的数量积等于-6， 求. 13.求过点（2，-3，1）和直线?? ?=+-=--0 620165z y y x 的平面方程. 14. 求过点（3，2，-1）且与平面x-4z-3=0及2x-y-5z-1=0平行的直线方程. 15. 求过点（1，0，-2）且与平面0643=+-+z y x 平行，又与直线1 4213z y x =+=- 垂直的直线方程. 16.求通过直线?? ?=+-=++0 40 5z x z y x 且与平面01284=+--z y x 成 45角的平面方程.
（一）函数、极限、连续 一、选择题： 1、 在区间(-1,0)内，由( )所给出的函数是单调上升的。 (A) ;1+=x y (B) ; 2x x y -= (C) 34+-=x y (D)25-=x y 2、 当+∞→x 时，函数f (x )=x sin x 是( ) （A ）无穷大量 （B ）无穷小量 （C ）无界函数 （D ）有界函数 3、 当x →1时，31)(,11)(x x x x x f -=+-=?都是无穷小，则f (x )是)(x ?的( ) （A ）高阶无穷小 （B ）低阶无穷小 （C ）同阶无穷小 （D ）等阶无 穷小 4、 x =0是函数 1 ()arctan f x x =的( ) （A ）可去间断点 （B ）跳跃间断点； （C ）振荡间断点 （D ）无穷间断点 5、 下列的正确结论是（ ） （A ）)(lim x f x x →若存在，则f (x )有界； （B ）若在0x 的某邻域内，有()()(),g x f x h x ≤≤且),(lim 0 x g x x →),(lim 0 x h x x →都存在，则 ),(lim 0 x f x x →也 存在； （C ）若f(x)在闭区间[a , b ]上连续，且f (a ), f (b )<0则方程f (x )=0,在(a , b )内有唯一的实根; （D ） 当∞→x 时，x x x x x a sin )(,1) (== β都是无穷小，但()x α与)(x β却不能比. 二、填空题： 1、 若),1(3-=x f y Z 且x Z y ==1 则f (x )的表达式为 ; 2、 已知数列n x n 1014- =的极限是4, 对于,101 1=ε满足n >N 时，总有ε<-4n x 成立的最小N 应是 ; 3、 3214 lim 1 x x ax x b x →---+=+(b 为有限数) , 则a = , b = ; 4、 设 ,)(a x a x x f --=则x =a 是f (x )的第 类 间断点; 5、 ,0 , ; 0, )(,sin )(?? ?>+≤-==x n x x n x x g x x f 且f [g (x )]在R 上连续，则n = ； 三、 计算题:
二． 计算题（每小题7分，共70分） 1。设z y x x z y u = 的全微分du 解：两边取对数 z x y z x y u ln ln ln ln ++=-----（1）， 再对（1）两边取全微分： ??? ? ?++???? ??++??? ??+=dz z x zdx ydz dy y z xdy dx x y du u ln ln ln 1 .ln ln ln dz z x y dy y z x dx z x y ??? ?? ++???? ??++??? ??+= 所以，.ln ln ln dz z x y dy y z x dx z x y u du ?? ? ?? ++???? ??++??? ??+= 2．计算由方程 y z z x ln =确定的函数()y x z z ,=的全微分。 解：原方程化为y z z z x ln ln 2-=----（1） （1）式两边全微分，得： ()??? ? ??+-+=ydz dy y z dz z dx ln ln 12，整理，得： ()dy y z y z dx y z dz dy y z dx dz y z ln ln 1ln ln 122ln ln 1-++-+=?+=-+ ======= ) 1(Θdz .222212122 yz xy x z z dy z x y z dx z x z +++=+ ++ 3．设()y x z z ,=，由方程0,,=???? ??x z z y y x F 确定，且F 为可微函数，求dz 。 解：方程两边求全微分，并注意到一阶全微分形式的不变性，有： .0/3/2/ 1=? ?? ??+??? ??+??? ? ??x z d z y d y x d F F F 即： 01112/32/22/ 1=???? ??+-+???? ??-+???? ? ??-dz x dx z dz y dy z dy x dx y x F z F y F ，整理，得：
高等数学基础模拟题 一、单项选择题（每小题4分，本题共20分） 1.函数 2 e e x x y -= -的图形关于（ ）对称． (A) 坐标原点 (B) x 轴 (C) y 轴 (D) x y = 2.在下列指定的变化过程中，（ ）是无穷小量． (A) )(1sin ∞→x x x (B) )0(1sin →x x (C) )0()1ln(→+x x (D) )(e 1∞→x x 3.设)(x f 在0x 可导，则=--→h x f h x f h 2) ()2(lim 000（ ）． (A) )(0x f ' (B) )(20x f ' (C) )(0x f '- (D) )(20x f '- 4.若?+=c x F x x f )(d )(，则?=x x f x d )(ln 1 （ ）． (A) )(ln x F (B) c x F +)(ln (C) c x F x +)(ln 1 (D) c x F +)1 ( 5.下列积分计算正确的是（ ）． (A) 0d sin 1 1=?-x x x (B) 1d e 0 =? ∞--x x (C) πd 2sin 0 =? ∞ -x x (D) 0d cos 1 1 =? -x x x 二、填空题（每小题3分，共15分） 1.函数 2 4) 1ln(x x y -+= 的定义域是 ． 2.若函数 ?? ? ??≥+<+=0 0) 1()(21 x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k ． 3.曲线 1)(3+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是 ． 4.函数x y arctan =的单调增加区间是 ． 5.若 ?+=c x x x f sin d )(，则=')(x f ． 三、计算题（每小题11分，共44分） 1.计算极限1) 1sin(lim 21-+-→x x x ． 2.设x x y 3e cos +=，求y d ． 3.计算不定积分?x x x d e 21． 4.计算定积分 ? e 1 d ln x x ． 四、应用题（本题16分） 某制罐厂要生产一种体积为V 的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？ 答案 一、单项选择题（每小题4分，本题共20分） 1.A 2.C 3. C 4. B 5. D 二、填空题（每小题4分，本题共20分） 1. )2,1(- 2. e 3. 3 4. ),(∞+-∞ 5. x sin - 三、计算题（每小题11分，共44分） 1. 解：21 )1)(1()1sin(lim 1)1sin(lim 121-=-++=-+-→-→x x x x x x x 2. 解：)3(d )e (cos d )3e (cos d d x x x x y +=+= x x x x l n 3d 3)e (d e s i n +-= x x x x x ln3d 3d e sin e +-= x x x x ln3)d 3e sin e (+-= 3. 解：由换元积分法得 c u x x x u u x x +-=-=-=? ??e d e )1(d e d e 1 21 c x +-=1 e 4. 解：由分部积分法得 ?? -=e 1 e 1e 1 )d(ln ln d ln x x x x x x 1d e e 1 ?=-=x 四、应用题（本题16分） 解：设容器的底半径为r ，高为h ，则其表面积为 r V r rh r S 2π2π2π222+=+= 2 2π4r V r S - =' 由0=' S ，得唯一驻点3 π2V r =，由实际问题可知，当3 π 2V r =时可使用料最省，此时3 π 4V h =，即当容器的底半径与高分别为 3 π 2V 与3 π 4V 时，用料最省． 二、综合练习 （一）单项选择题 ⑴下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等． (A) 2)()(x x f =，x x g =)( (B) 2)(x x f =， x x g =)( (C) 3ln )(x x f =，x x g ln 3)(= (D) 4 ln )(x x f =，x x g ln 4)(= ⑵设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数) ()(x f x f --的图形关于（ ）对称． (A) x y = (B) y 轴 (C) x 轴 (D) 坐标原点 ⑶当0→x 时，变量（ ）是无穷小量． (A) x 1 (B) x x sin
全国2001年10月高等教育自学考试高等数学(二)试题 二、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 1.如果矩阵A 经过一次初等变换化为矩阵B,那么|A|与|B|有什么关系呢?(试就三种初等变换分别回答) 2.设αα1275243162=-=-(,,,),(,,,),试求αα34,,使αααα1234,,,构成R 4的基。 3.设ξ～ N (,),μσ2问k 取何值时P k {}.ξμσ≤+=05。 4.设总体X 服从普阿松(Poisson)分布，P X k k e k k {}!(,,,),===-λλ012Λ其中λ>0为未知参数，X X X n 12 ,,Λ为样本，X n X i i n ==∑11，则2X 为2λ的矩估计,对不对？ 三、 计算题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 1.求方程组x x x x x x x x x x x x 123412341234313344 5980+--=--+=+--=?????的通解(用对应齐次方程组的基础解系表示)。 2.若甲盒中装有三个白球,二个黑球,乙盒中装有一个白球,二个黑球。由甲盒中任取一球投入乙盒,再从乙盒中任取一个球。 （1） 求从乙盒中取得一个白球的概率； （2） 若从乙盒中取得一个黑球，问从甲盒中也取得一个黑球的概率。 3.设随机变量ξ的分布函数为 F x A x e x x x ()(),=-+
一、填空题（每小题１分，共１０分） ________ １ １．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2＋────── 的定义域为 _________ √１－ｘ2 _______________。 ２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点（０，１）处的切线方程是______________。 ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h） ３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ，则ｌｉｍ─────────────── h→o h ＝_____________。 ４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是 ____________。 ｘ ５．∫─────ｄｘ＝_____________。 １－ｘ4 １ ６．ｌｉｍＸｓｉｎ───＝___________。 x→∞ Ｘ ７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。 _______ R √R2－ｘ2 ８．累次积分∫ ｄｘ∫ ｆ（Ｘ2＋Ｙ2）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为 ____________。 0 0 ｄ3ｙ３ｄ2ｙ ９．微分方程─── ＋──（─── ）2的阶数为____________。 ｄｘ3ｘｄｘ2 ∞ ∞ １０．设级数∑ ａn发散，则级数∑ ａn_______________。 n=1 n=1000 二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内，
１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分） （一）每小题１分，共１０分 １ １．设函数ｆ（ｘ）＝── ，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（） ｘ １１１ ①１－── ②１＋── ③ ──── ④ｘ ｘｘ１－ｘ １ ２．ｘ→0 时，ｘｓｉｎ──＋１是（） ｘ ①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量 ３．下列说法正确的是（） ①若ｆ（X ）在X＝Xo连续，则ｆ（X ）在X＝Xo可导 ②若ｆ（X ）在X＝Xo不可导，则ｆ（X ）在X＝Xo不连续 ③若ｆ（X ）在X＝Xo不可微，则ｆ（X ）在X＝Xo极限不存在 ④若ｆ（X ）在X＝Xo不连续，则ｆ（X ）在X＝Xo不可导 ４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有ｆ'（ｘ）〈０，ｆ"（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ） 内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为（） ①上升的凸弧②下降的凸弧③上升的凹弧④下降的凹弧 ５．设Ｆ'(x) ＝Ｇ'(x)，则（） ① Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数 ② Ｆ(X)－Ｇ(X) 为常数 ③ Ｆ(X)－Ｇ(X) ＝０ ｄｄ ④ ──∫Ｆ（ｘ）ｄｘ＝──∫Ｇ（ｘ）ｄｘ ｄｘｄｘ 1 ６．∫ │ｘ│ｄｘ＝（） -1 ① ０② １③ ２④ ３
浙江师范大学《高等数学（一）》（上册）考试卷 考试类别 闭 卷 使用学生 考试时间 120 分钟 出卷时间 2006 年 2 月 22日 说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理 一、 选择题（每小题1分，共6分）。 1. 设函数552()6kx f x x -=+，且1 lim ()3 x f x →∞=，则=k （ ） A ． 12 B ．12- C ． 1 3 D ． 3 2. 设(0)0f =，(0)3f '=，则当0x →时，()f x 是x 的 （ ） A ．低阶无穷小量 B 同阶无穷小量 C ．高阶无穷小量 D ．等价无穷小量 3. 函数cos y x x =-在(),-∞+∞上（ ） A ．单调减少 B ．单调增加 C ．为奇函数 D ．为偶函数 4. 设()2sin ()x f x '=，则()d f x x =?（ ） A. 2sin x C + B. 22cos x x C + C. 2cos x C + D. 2cos x C -+ 5. 若()f x 4x -=，0()()d x x f t t Φ=?，则 d [()]d x x Φ=（ ） A. 5 4x -- B. 5 4x - C. 4 x - D. 3 3 x -- 6. 设函数f()sin 3x x kx =+，且1 f ()2 π'=，则=k （ ） A ． 52- B ．12 C ．32 D ．72
二、 填空题（每小题2分，共16分） 1. 若3lim 1+e x x k x →∞ ?? = ??? ，则=k ① . 2. 曲线sin 2y x =在点(0,0)处的切线的方程是. ② . 3. 设()f x 为e x -的一个原函数，则()f x '= ③ . 4. 函数2sin y x =，则 d y = ④ . 5. 若 2arctan y x =，则(1)y ' ⑤ . 6. 2 2e d x x x ? ⑥ 7. 曲线323y x =+的拐点为 ⑦ . 8. 2d a a x x -? = ⑧ 三、 计算题（每小题10分，共60分） 1.求1 7lim( )1 x x x x -→∞ ++ 2.已知隐函数()y y x =由方程22y x y x +=确定，求d d y x . 3.计算定积分2π 0cos d x x x ?. 4.已知参数方程2cos x t y t ?=?=?，求导数d d y x 和22d d y x . 5.设0,1()1,1x f x x x ≤??=?>??，求2 0()d f x x ? 6.求()e x f x x -=在区间[]0,3上的最大值和最小值。 四、 证明题（8分） 设()f x 为可导的偶函数，求证()f x '为奇函数. 五、 应用题（10分） 求由抛物线 25y x =-与直线3x y +=所围图形的面积.
《高等数学》试卷1（下） 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2，则有（ ）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,2 2 ≤+≤y x y x B.( ){} 21,2 2 <+
A. x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定，求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ??+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解.
高等数学基础模拟题 一、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1.设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f --的图形关于（ D ）对称． (A) x y = (B) x 轴 (C) y 轴 (D) 坐标原点 2.当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量． (A) x 1 (B) x x sin (C) 1e -x (D) 2x x 3.设x x f e )(=，则=?-?+→?x f x f x )1()1(lim 0（ B ）． (A) e 2 (B) e (C) e 41 (D) e 21 4.=?x x xf x d )(d d 2（ A ）． (A) )(2 x xf (B) x x f d )(2 1 (C) )(2 1x f (D) x x xf d )(2 5.下列无穷限积分收敛的是（ B ）． (A) ? +∞ d e x x (B) ? +∞ -0 d e x x (C) ? +∞1d 1 x x (D) ? +∞ 1 d 1x x 二、填空题（每小题3分，共15分） 1.函数) 1ln(92 --=x x y 的定义域是 (1,2)U(2,3］ ． 2.函数? ??≤>-=0sin 0 1x x x x y 的间断点是 X=0 ． 3.曲线1)(+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是 1/2 ． 4.函数1)1(2 ++=x y 的单调减少区间是 （－∞，－1） ． 5.='? x x d )(sin sinx + c ． 三、计算题（每小题9分，共54分） 1.计算极限x x x 5sin 6sin lim 0→． 2.设22sin x x y x +=，求y '． 3.设x y e sin 2=，求．
计算题，每道题8分 第八章 多元函数微分法及其应用 1、求 1(,)(0,1) lim (1)x x y xy →+ 2、求 22 (,)(,) lim ( )x x y xy x y →-∞+∞+ 3、设2()z y u x = 求(1,1,1)du 4、(6分)设u e y x st y t s x ===+sin ,, 22，求,s t u u ''。 5、设u f =(,,)ξηζ，其中ξηζ==-=x y xy 2 2 2，求????2222 u x u y ,。 6、设函数(,)z z x y =由方程2 2 2 60x y z z ++-=所决定.求22z x ??. 7、设0=-xyz e z , 求22x z ?? 8、设2 2 (,)xy z f e x y =+，求2z x y ???. 9、若 222 e x y z z ++=确定(,)z z x y =. 求 z x ?? 和 z y ??. 10、设函数(,)z f xy x y =+，f 具有二阶连续偏导数，求2z x y ???. 11、设1(,)()z f x y y x y x ?=++，其中f 、?具有二阶连续偏导数，求2z x y ???。 12、设 ，其中 二阶可导，(,)g u v 具有连续二阶偏导数，求 2z x y ???。 13、设(2,sin )z f x y y x =-，其中(,)f u v 具有二阶连续偏导数 ,求2z x y ???。 14、设函数3(,)y z x f xy x =，f 具有二阶连续偏导数，求 . 15. 设函数 ，其中f 具有二阶连续偏导数， 均可微， 求 .
《高等数学2》课程习题集 【说明】：本课程《高等数学2》（编号为01011）共有计算题1,计算题2等多种试题类型，其中，本习题集中有[]等试题类型未进入。 一、计算题1 1. 计算 行列式614 230 21510 3212 1----=D 的值。 2. 计算行列式5241 421 3183 20521 ------=D 的值。 3. 用范德蒙行列式计算4阶行列式125 34327641549916 573 4 1111 4--=D 的值。 4. 已知2333231232221 131211 =a a a a a a a a a ， 计算：33 3231232221131211101010a a a a a a a a a 的值。 5. 计算行列式 01111 0111 1011 110=D 的值。
6. 计算行列式1998 199819971996199519941993 19921991 的值． 7. 计算行列式50007 06 1102948023 ---=D 的值． 8. 计算行列式32142 1431 4324 321=D 的值。 9. 已知10333222 111 =c b a c b a c b a ，求222 111333c b a c b a c b a 的值． 10. 计算行列式x a a a x a a a x D n ΛΛΛ ΛΛ=的值。 11. 设矩阵?????? ? ??--=2100430000350023A ，求1-A 。 12. 求???? ? ??=311121111A 的逆． 13. 设n 阶方阵A 可逆，试证明A 的伴随矩阵A *可逆，并求1*)(-A 。
《高等数学》试卷1（下） 一 .选择题（ 3 分10） 1.点M12,3,1到点 M 2 2,7,4的距离 M1M 2（） . A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量a i2j k ,b2i j ，则有（） . A. a∥b B. a⊥b C. a,b 3D. a,b 4 3.函数y2x2y 21的定义域是（） . x 2y21 A.x, y 1 x2y 22 B.x, y 1 x 2y22 C.x, y 1 x2y 22D x, y 1 x 2y 22 4.两个向量a与b垂直的充要条件是（）. A. a b 0 B. a b 0 C. a b 0 D. a b 0 5.函数z x3y 33xy 的极小值是（） . A.2 B.2 C.1 D.1 6.设z xsin y ，则 z ＝（） . y 1,4 A. 2 B. 2 C.2 D.2 22 7.若p级数1收敛，则（） . n 1 n p A. p 1 B. p1 C. p1 D. p1 8.幂级数 x n 的收敛域为（） . n 1 n A.1,1B1,1 C.1,1 D.1,1 x n 9.幂级数在收敛域内的和函数是（） . n 02
A. 1 B. 2 C. 2 D. 1 x x x x 1212 10.微分方程 xy y ln y0 的通解为（）. A.y ce x B. y e x C. y cxe x D. y e cx 二 .填空题（ 4 分5） 1.一平面过点A 0,0,3且垂直于直线AB ，其中点 B 2, 1,1，则此平面方程为______________________. 2.函数z sin xy 的全微分是______________________________. 3 y23xy3xy 1 ，则2 z 3.设z x_____________________________. x y 4. 1 的麦克劳林级数是 ___________________________. 2 x 三.计算题（ 5 分 6） 1.设z e u sin v ，而u xy, v x y ，求z ,z . x y 2.已知隐函数z z x, y由方程 x 2 2 y 2z2 4 x2z 5 0 确定，求z ,z . x y 3.计算sin x2y 2 d，其中 D:2x2y24 2 . D 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 四 .应用题（ 10 分2） 1.要用铁板做一个体积为 2 m3的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？. 试卷 1 参考答案 一.选择题 CBCAD ACCBD 二 .填空题 1. 2x y 2 z 6 0. 2.cos xy ydx xdy . 3.6x 2 y9 y 2 1 . 4. 1 n n . 2n 1 x n 0
高等数学试题 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1．设f(x)=lnx ，且函数?(x)的反函数1?-2(x+1)(x)= x-1，则[]?=f (x)（ ） ....A B C D x-2x+22-x x+2 ln ln ln ln x+2x-2x+22-x 2．()002lim 1cos t t x x e e dt x -→+-=-?（ ） A ．0 B ．1 C ．-1 D ．∞ 3．设00()()y f x x f x ?=+?-且函数()f x 在0x x =处可导，则必有（ ） .lim 0.0.0.x A y B y C dy D y dy ?→?=?==?= 4．设函数,131,1 x x x ?≤?->?22x f(x)=，则f(x)在点x=1处（ ） A.不连续 B.连续但左、右导数不存在 C.连续但不可导 D. 可导 5．设C +?2 -x xf(x)dx=e ，则f(x)=（ ） 2222-x -x -x -x A.xe B.-xe C.2e D.-2e 二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+14)+f(x-14 )的定义域是__________. 7．()()2lim 1_________n n a aq aq aq q →∞ ++++<= 8．arctan lim _________x x x →∞= 9.已知某产品产量为g 时，总成本是2 g C(g)=9+800 ，则生产100件产品时的边际成本100__g ==MC 10.函数3()2f x x x =+在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________. 11.函数3229129y x x x =-+-的单调减少区间是___________. 12.微分方程3'1xy y x -=+的通解是___________. 13. 设2ln 2 ,6a a π==?则___________. 14.设2cos x z y =则dz= _______. 15.设{}2(,)01,01y D D x y x y xe dxdy -=≤≤≤≤=??，则_____________. 三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 16.设1x y x ??= ??? ，求dy.
大学高等数学下考试题 库附答案 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. .4 C 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（ ）. A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4,π =b a 3.函数1 122 2 22-++ --=y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+
10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算σd y x D ??+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2） 1.要用铁板做一个体积为23m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省 2..曲线()x f y =上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍，且曲线过 点?? ? ??31,1，求此曲线方程 试卷1参考答案