高等数学
院系_______学号_______班级_______姓名_________得分_______
总分
题号选择题填空题计算题证明题其它题
型
题分20 20 20 20 20 核分人
得分复查人
一、选择题（共 20 小题，20 分）
1、曲线积分的值
(A)与曲线L及起点、终点均有关(B)仅与曲线L的起点、终点有关
(C)与起点、终点无关(D)等于零
答( )
2、设某个力场的力的方向指向y轴的负向，且大小等于作用点(x,y)的横坐标的平方。若某质点，质量为m，沿着抛物线1－x=4y2从点(1，0)移动到点(0，)，则场力所做的功为
答( )
3、设，则U(x,y)=
答( )
4、用格林公式计算，其中C为圆周x2+y2=R2,其方向为逆时针方向。则得
答( )
5、设 d U =[y +ln (x +1)]d x +(x +1－e y )d y , 则U (x ,y )= (A) ?
?-++
++y
y x
y x x x y 0
d )
e 1(d )]1ln([
(B) ?-++++x
y x x x x 0d )]e 1()1ln([ (C) ?
-++++y
y y y y y 0d )]e 1()1ln([
(D) ?
?-+++y
y x
y x x x 0
d )
e 1(d )1ln(
答 ( )
6、
7、设C 为任一条光滑简单闭曲线，它不通过原点，也不围住原点，且指定一个方向为正方向。则
(A)4π； (B)0； (C)2π； (D)π。
答( )
8、某物质沿曲线C ：????
?????===3232
t z t y t x ，0≤ｔ≤1分布，其线密度为
，则它的质量
M=
答( )
9、设L 是xoy 平面上的一条光滑曲线弧，函数f (x ,y )在L 上有界。用L 上的点M 1，M 2，…M n －1把L 分成n 个小段。设第i 个小段的长度为ΔS i ·(δi ,εi )为第i 小段上的一点，i =1,2,…,n 。则函数f (x ,y )在曲线L 上的对弧长的曲线积分
(A)
∑=?n
i
i
i
S f 1
) , (λ
ηξ
(B) ∑=→?n
i i i S f 1
0) , (lim λληξ (C) ∑
=→?n
i i i S f 10) , (lim λληξ,且极限值与L 的分法无关，与(ξi ,εi )的取法无关。 (D) ∑
=→?n i i i S f 10) , (lim λληξ，其中ΔS i 必须有相等的长度。 其中入为ΔS i 的长度的最大值。
答( )
10、设C 是从A (1，1)到B (2，3)的一个直线段，则
答( )
11、设L 是 |y |=1－x 2表示的围线的正向，则 =
++?
L
y x y y x x 2
22d d 2
(A) 0. (B) 2π. (C) π2-. (D) 2ln 4.
答 ( ) 12、单连通域G 内函数P (x ,y ),Q (x ,y )具有一阶连续偏导数，则在G 内与
路径无关的充要条件是在G 内恒有
答( )
13、设C 为从A (0，0)到B (4，3)的直线段，则
答( )
14、设曲线C 是由极坐标方程r =r (ζ)(ζ1≤ζ≤ζ2)给出，则
答( )
15、
16、
17、设C是抛物线y2=x上从(1，－1)到(1，1)的一段弧，则
(A)－(B)(C)(D)0
答( )
18、设F=3x2i+2y3j+4z4k,则div F(1,－1,0)为
(A). 6i+6j(B). 12 (C). 28 (D). 3i－2j+4k
答( )
19、设C为曲线0≤t≤则
答( )
20、设是某二元函数的全微分，则m=
A.0;
B.1;
C.2;
D.3.
答( )
二、填空题（共 20 小题，20 分）
1、设L由y=x2及y=1所围成的区域D的正向边界，则
2、设函数f(x,x+y,xz)对各变元具有一阶连续偏导数，则grad f=________.
3、设力的模, 的方向与相同，则在力的作
用下，质点沿曲线L：正向绕行一周，力所做的功可用曲线积分表示为________________.
4、设f(x,y)在具有连续的二阶偏导数，L是椭圆周的顺时针方
向，则的值等于________________.
5、设∑是柱面x2+y2=4介于1≤z≤3之间部分曲面，它的法向指向含oz轴的一侧，则=__________.
6、设向量场A=(3xy2+z2)i+(y3－x2z2)j+xyz k,则A在点M(1，2－1)处的旋度rot A｜=___________.
M
7、柱面∑以xoy平面上的线段L为准线，母线平行于oz轴，则∑介于平面z=0及曲面z=1+x2+y2之间的部分的面积可用曲线积分表示为_________.
8、设∑是柱面x2+y2=9的介于平面z=0及z=2间的部分曲面的外侧，则
=_________.
9、L是xoy平面上具有质量的光滑曲线，其线密度为ρ(x,y)，则L关于ox轴的转动惯量用曲线积分表示为___________. (ρ(x,y)为连续函数)。
10、向量场A=x2y i+yz2j－xyz k在点(x,y,z)处的散度div A(x,y,z)为_________.
11、设函数u(x,y,z)和v(x,y,z)都具有一阶连续偏导数，则点(x,y,z)处u=u(x,y,z)在v=v(x,y,z)的梯度方向上的方向导数取最大值的条件是_____________.
12、函数u=arctan的等值面方程为____________.
13、设L为沿抛物线y=x2上从点(1，1)到点(2，4)的一段曲线弧，则对坐标的曲线积分
可化成对弧长的曲线积分___________，其中P(x,y)和Q(x,y)是在L上的连续函数。
14、设u=2x+3xy+4xyz,则函数u在点(1，－1，2)处的梯度是__________.
15、若是某二元函数的全微分，则m=______.
16、设∑是xoy面上的闭区域的上侧，则(x+y+z)d y d z=__________.
17、
18、设C为正向圆周x2+y2=a2,则
19、已知L是平面上从原点到点(2，1)的直线段，则
20、
三、计算题（共 20 小题，20 分）
1、计算曲线积分，式中L是O(0，0)沿曲线
到B(2，2)，再沿直线y=2到A(0，2)，最后沿y轴回到O(0，0)。
2、设一刚体以常角速度ω依逆时针方向绕z轴正向旋转，求刚体上任一点P(x,y,z)处的速度v的散度。
3、计算曲线积分式中L是从A(1，3)沿直线
x+y=4到B(3，1)，再从B沿曲线xy=3回到A点的闭路径。
4、计算，式中L为沿正向椭圆周：
5、计算其中∑是锥面在xoy面上方的部分曲面的上侧。
6、计算曲线积分，式中L是从O(0，0)沿曲线
至点B(2，0)的上半椭圆。
7、若其中∑是八面体|x|+|y|+|z|≤a的表面，则正数a应等于多少?
8、计算曲线积分，式中L是正向圆周
9、计算
?+L
s y x
d )(22
, 其中L 是星形线
10、 计算
其中∑为锥面
及
平面z =2所围成立体Ω的表面外侧。
11、 计算
其中∑是由
x =0,y =0,z =0及 在第一卦限中所围成的立体Ω的表面的外侧。
12、 计算
其中∑是曲线段
(1≤y ≤3)绕Oy 轴旋转一周所成的曲面，其法线向量与oy 轴正向的夹角恒大于
。 13、 计算其中∑为由曲面y =z 2+x 2与平面y =1,y =2所围成的立体Ω
的表面的外侧。
14、计算曲线积分 ，其中L 是以A (1，0)，B (0，1)及E (－1，0)为
顶点的三角形正向周界。
15、设L 是由 1≤y ≤x , 1≤x ≤4 所确定的区域D 的正向边界，计算
16、计算曲线积分
，其中L 是边长为2，原点为形心的正方形边界正
向。
17、 设f (x ,y ,z )=xlny －ylnx +xyz ,又两点A (1，1，3)，B (3，2，－1)， (1) 求f (x ,y ,z )在点A 沿AB 方向的变化率。
(2) f (x ,y ,z )在点A 沿什么方向的变化率最大?最大变化率是多少? 18、 计算其中∑是平面x +y +z =
在第一卦限的部分曲面。
19、 计算
其中∑是平面 在第一卦限部分的
曲面块，r 为∑的法线向量
与z 轴正向所夹的角。
20、计算曲线积分 ，其中L 是由A (a ,0)沿 到
B (0，a )的弧段。(a >0)
四、证明题（共 20 小题，20 分）
1、 设向量场A =P (x ,y ,z )i +Q (x ,y ,z )j +R (x ,y ,z )k ,其中P ，Q ，R 对所含变量具有一阶连续
偏导数，函数u (x ,y ,z )对所含变量具有一阶连续偏导数，证明rot(u A )=u rot A +grad u ×A .
2、设
，其中L 是椭圆x 2+4y 2=8的正向，
试证明|I |≤e 2S , S 是此椭圆的周长。
3、证明：对于xoy 平面上的任意简单闭曲线L 及一常向量
有
式中
是曲线L 的单位切线向量。
4、设f (u )在1≤u ≤4上有连续的一阶导数，域D 由y =x , y =4x ,xy =1与xy =4所围成，L 是D 的逆时针方向的边界，求证：
5、 证明光滑闭曲面∑所围立体Ω
的体积为
其中cos α,cos β,cos γ是曲面∑的外法线方向的方向余弦。
6、 验证向量场A =e x+2y+3z [(x +2y +3z +1)i +(2x +4y +6z +2)j +(3x +6y +9z +3)k ]是有势场，并验证函数u =e x+2y+3z (x +2y +3z )+c 为A 的势函数，其中c 为任意常数。
7、 试证明
其中∑是八面体|x |+|y |+|z |≤a 的表面，a 为正
数。
8、 试证对于空间任意一条简单闭曲线C ，恒有∮c (2x +y )d x +(4y +x +2z )d y +(2y －6z )d z =0. 9、 设函数),(y x u ,),(y x v 及),(y x ?在闭域D 及其边界C 上具有一阶连续偏导数，证明
y x y x x v y u y x y v x u D
c D
d d d d d d ????????? ?????+????-?-?=???? ?????+???+。 (式中c +
边界c 的正方向)
10、 设∑为空间任一有界闭的平面图形(不平行各坐标面)试证明∑的形心在各坐标面上的投影是∑在相应坐标面上的投影域的形心。
11、设L 为对称于坐标轴的任意正向光滑闭曲线，试证明：
12、 验证
2xye z d x +x 2e z d y +x 2ye z d z =0,其中Γ为任一条有向的光滑封闭曲线。
13、设f (a )在1≤u ≤4上有连续一阶导数，区域D 由y =x , y =4x , xy =1与xy =4围成，C 为D 的逆时针方向的边界。求证：
14、 设函数u (x ,y ,z )在二维单连域G 中具有连续的二阶偏导数，∑是G 中的有界闭域
Ω的光滑边界曲面，且在Ω内有02
22222=??+??+??=?z u
y u x u u ，试证明：若函数u 在∑上取
零值，则在Ω内u ≡0.
15、若f (u )为连续函数，L 为单连通区域G ：x >y >0内的任意简单曲线，则曲线积分
的值与路径无关。
16、 设函数u (x ,y ,z ),v (x ,,z )在二维单连域Ω上具有二阶连续偏导数，∑是有界闭域Ω的光滑边界曲面，n 是∑的外法线向量。试求证：
z y x v u u v S n v u n u
v D
d d d )(d ??????-?=??? ????-??∑ 其中 22222222222
2,z
v
y v x v v z u y u x u u ??+??+??=???+??+??=? 17、 设函数u (x ,y ,z )在二维单连通域G 中具有连续的一阶偏导数，∑是G 中的有界闭
区域Ω的光滑边界曲面，在Ω内部u x ≥0,u y ≥0,u z ≥0,在∑上u =0.试证明在Ω内u ≡0. 18、 验证向量场A =[x +y cos(xy )]i +[－y 2+x cos(xy )]j +(2z +sin z )k 是有势场，并求其势函数。 19、 设向量场A =P (x ,y ,z )i +Q (x ,y ,z )j +R (x ,y ,z )k ,其中P ，Q ，R 对各变元具有一阶连续偏导数，函数u (x ,y ,z )对各变元具有一阶连续导数，证明div(u A )=u div A +grad u ·A 20、 设向量场A =(3x 2+6xy 2－2z )i +(4y 3+6x 2y －z )j +
+(5z 4－y －2x )k ,证明存在可微函数u (x ,y ,z ),使得d u =A ·(i d x +j d y +k d z ),并求出u (x ,y ,z ).
五、其它题型（共 20 小题，20 分）
1、柱面∑的母线平行于Z 轴，它与xoy 平面的交线为L ：
求∑被曲面
所截下的部分的面
积A 。
2、设质线L 的方程为 ，L 上的任意点(x ,y )处的线密度为
求
质线L 的质心坐标(ξ,ε).
3、设函数Q (x ,y )在xoy 平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分
与路径无关，且对任意t 恒有 ，求
函数Q (x ,y ).
4、设力场 物体沿着摆线
从t =0运动到t =2π。
求力所做的功。
5、已知曲线L 的极坐标方程为r =ζ (0≤ζ≤
),L 上任一点处的线密度为
，试求该曲线段关于极轴的转动惯量。
6、设力场 物体从点A (0，0)运动到B (2，1)，问力做了多少
功?
7、计算心脏线
所围图形的面积。
8、设曲线段L 的极坐标方程为r = θ (0 <θ <21
)其中任一点处线密度为
4
11θ-，求该曲线的质量。
9、 求由柱面x 2 = ay , z 2 = ay 和平面 y = 2a 所围成的立体Ω的表面积，其中a 为正数。
10、在变力k xy j zx i yz F
++=的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面
上第一卦限的点M (ξ，ε，δ)。试问，当ξ、ε、δ取何值时，力所作
的功W 最大?并求出W 的最大值。
11、求质点沿椭圆4x 2+y 2=4的逆时针方向绕行一周时，力j x y i x y F
)2()3(-++= 所
做的功。
12、 设面密度为1的锥面∑为
，0≤z ≤h ,a 为正数。求∑对ox 轴的转
动惯量。
13、求圆柱面x 2+y 2=2ax 被球面x 2+y 2+z 2=4a 2所截取部分的面积A (a >0).
14、 求分布在抛物面2az =x 2+y 2被圆柱面x 2+y 2=a 2截得的局部曲面的电荷总量。已知在抛物面的每一点的电荷密度等于kz ,k 为正数。
15、 设向量场A =(e x sin2y cos3z +mxz )i +n e x cos2y cos3z j +(－3e x sin2y sin3z +4x p )k ,试确定常数m ,n ,p 之值，使得A 为有势场，并求势函数。
16、平面力场
沿曲线L ：y =x 2从点A (1，1)到B (2，4)所做的功。
17、求摆线x =a (t －sin t ). y =a (1－cos t ) (0≤t ≤2π)的一拱(线密度为1)，关于ox 轴的转动惯量I x .
18、 设∑是柱面x 2+y 2=1的处于z =－1与z =H 间的一段曲面，H 为正数。若
，则H 为何值?
19、 设有曲面壳∑的质量面密度ρ(x ,y ,z )=
,∑所围的空间Ω是由曲面
z =ln (x 2+y 2)与平面z =0及z =ln 16所围成的区域。试求该曲面壳对oz 轴的转动惯量。
20、试用曲线积分求由曲线y =sin x (0≤x ≤π)绕ox 轴旋转所得旋转曲面的面积A 。