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高考数学二轮复习专题3 数列与不等式

专题三数列与不等式

【重点知识回顾】

1．数列在高考中，一般设计一个客观题和一个解答题，主要考查数列和不等式部分的基本知识，对基本运算能力要求较高，解答题常常综合考查函数、方程、不等式等知识．难度较大，尤其是数列、函数和不等式的综合考题，又加入了逻辑推理能力的考查，成为了近几年数列考题的新热点．

2．数列与不等式部分的重点为：等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n 项和；不等式的性质、解法和两个重要不等式的应用；该部分重点考查运算能力和逻辑推理能力，考查函数与方程思想、化归于转化思想及分类讨论思想．【典型例题】

1．等差数列与等比数列的综合

等差数列与等比数列都是高考命题的重点知识，考题经常将它们综合在一起综合考查等差数列和等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识和基本性质的灵活应用，对基本的运算要求比较高．

例1．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（）

A ．2744n n +

B ．2533n n +

C ．2324n n

D ．2n n + 答案：A

解析：设数列{}n a 的公差为d ，则根据题意得(22)22(25)d d +=?+，解得1

d =

或0d =（舍去）

，所以数列{}n a 的前n 项和2(1)1722244

n n n n n

S n -=+?=+．例2．等比数列{}n a 的前n 项和为n s ，且41a ，22a ，3a 成等差数列．若1a =1，则4s =（）

（A ）7 （B ）8 （3）15 （4）16 解析：

41a ，22a ，3a 成等差数列，13244a a a ∴+=，即2

11144a a q a q +=，

2440

q q ∴-+=，

42,15

q S ∴==，因此选C ．

点评：该类题目综合考查了等差数列和等比数列的概念、通项公式和等比数列的求和公式等，基础性较强，综合程度较小，要求具有较熟练的运算能力．

2．函数与不等式综合

不等式与函数有着密切的联系，其中线性规划求目标函数的最值是近几年高考的热点问题之一，经常以选择题或填空题出现．有不少关于最值方面的问题，通常用二次函数的配方法求最值或用均值不等式求最值，考题经常以与不等式有关的实际应用问题出现．在应用不等式解决实际问题时，要注意以下四点：

①理解题意，设变量．设变量时一般把要求最值的变量定为自变量； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题； ③在定义域内，求出函数的最值； ④正确写出答案．

例３．设x ，y 满足约束条件??

??≥≥≥+-≤--0,0020

63y x y x y x ，若目标函数z=ax+by （a>0，b>0）的值是

最大值为12，则

a b

+的最小值为（） A ．625 B ．38 C ． 3

11 D ． 4

答案：A

解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z （a>0，b>0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时，目标函数z=ax+by （a>0，b>0）取得最大

12，即

4a+6b=12，即

2a+3b=6, 而

23a b +=2323()6a b a b ++13()6b a a b =++1325266

≥+=，故选A ．

点评：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值，对于形如已知2a+3b=6，求23

a b

+的

最小值常用乘积进而用基本不等式解答．

例4．本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、

乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0．3万元和0．2万元．问

该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是万元．

答案：70

解析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，

由题意得3005002009000000.x y x y x y +??

+???

≤，

≤，≥，≥

目标函数为30002000z x y =+．

二元一次不等式组等价于3005290000.x y x y x y +??

+???

≤，≤，≥，≥

作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．如图：作直线:300020000l x y +=，即320x y +=．

平移直线，从图中可知，当直线过M 点时，目标函数取得最大值．联立30052900.

x y x y +=??

+=?，

解得100200x y ==，．∴点M 的坐标为

(100200)，．

max 30002000700000z x y ∴=+=（元）．

点评：本题是线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，通过数形结合解答问题．用线性规划的方法解决实际问题能提高学生分析问题、解决问题的能力，随着课改的深入，这类试题应该是高考的热点题型之一．

例5．设a 为实数，函数

2()2()||f x x x a x a =+--．

(1)若(0)1f ≥，求a 的取值范围； (2)求

()f x 的最小值；

(3)设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，直接写出．．．．

(不需给出演算步骤)不等式()1h x ≥的解集．

解析：（1）若(0)1f ≥，则2

||111

a a a a a

()32,f x x ax a =-+2

2min

(),02,0()2(),0,033

f a a a a f x a a f a a ?≥≥???==??<

()2,f x x ax a =+-2

min

(),02,0

()(),02,0

f a a a a f x f a a a a ?-≥-≥??==??<

2,0

()2,03

a a f x a a ?-≥?=?

（3）(,)x a ∈+∞时，()1h x ≥得223210x ax a -+-≥，

222412(1)128a a a ?=--=-

当a a ≤≥时，0,(,)x a ?≤∈+∞；

当22a -<<时，△>0

，得：(033a a x x x a

?-+?--≥??>?

；

讨论得：当22

a ∈时，解集为(,)a +∞；

当(a ∈

时，解集为(,[)33a a a -+?+∞；

当[a ∈

时，解集为)+∞．点评：本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．

3．函数与数列的综合

高考试题中经常将函数与数列综合在一起，设计综合性较强的解答题，考查数列的概念、性质、通项及求和公式等主干知识和分析问题、解决问题的逻辑推理能力．

例6．知函数3

21()23

f x x x =

+-．（Ⅰ）设}{

n a 是正数组成的数列，前n 项和为n S ，其中13a =．若点2

11(,2)n n n a a a ++-(n

∈N*)在函数'()y f x =的图象上，求证：点(,)n n S 也在'

()y f x =的图象上；

（Ⅱ）求函数()f x 在区间(1,)a a -内的极值．解析：(Ⅰ)证明：因为3

21()2,3

f x x x =

+-所以'2()2f x x x =+，由点211(,2)(N )n n n a a a n +++-∈在函数'

()y f x =的图象上,22

1122n n n n a a a a ++-=+

111()()2()n n n n n n a a a a a a ++++-=+，又0(N )n a n +>∈，

所以12n n a a +-=，}{

n a 是13,2a d ==的等差数列，所以2(1)

32=22

n n n S n n n -=+

?+,又因为'2()2f n n n =+,所以()n S f n '=, 故点(,)n n S 也在函数'

()y f x =的图象上．

(Ⅱ)解:2

()2(2)f x x x x x '=+=+,令()0,f x '=得02x x ==-或．

当x 变化时,()f x '﹑()f x 的变化情况如下表:

注意到(1)12a a --=<,从而

①当2

12,21,()(2)3

a a a f x f -<-<-<<--=-即时的极大值为,此时()f x 无极小值；

②当10,01,()a a a f x -<<<<即时的极小值为(0)2f =-,此时()f x 无极大值； ③当2101,()a a a f x ≤--≤≤≥或或时既无极大值又无极小值．

点评：本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力．

4．数列与不等式、简易逻辑等的综合

数列是培养推理论证能力的极好载体，将数列的知识与推理证明的方法交织在一起进行考查，是新课程高考中的一个亮点，常常荣归纳、猜想、数学归纳法、分类讨论、等价转化等数学思想和方法于一体，对能力的要求较高．

例7．设0,0.a b >>3a 与3b 的等比中项，则

a b

+的最小值为（）

A ．8

B ．4

C ．1

D ．

答案：B

解析：因为333=?b a ，所以1=+b a ，

11a b +11()()a b a b =++2b a a b

=++

24≥+=，当且仅当b a a b =即2

==b a 时“=”成立，故选择B ．点评：本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力．

例8．设数列{}n a 满足3*

010,1,,n n a a ca c c N c +==+-∈其中为实数．

（Ⅰ）证明：[0,1]n a ∈对任意*n N ∈成立的充分必要条件是[0,1]c ∈；

（Ⅱ）设103c <<

，证明：1*

1(3),n n a c n N -≥-∈；（Ⅲ）设103c <<，证明：222

*1221,13n a a a n n N c

++>+-∈-．

解析： (1) 必要性：120,1a a c ==-∵∴ ，又 2[0,1],011a c ∈≤-≤∵∴ ，即

[0,1]c ∈．

充分性：设[0,1]c ∈，对*n N ∈用数学归纳法证明[0,1]

n a ∈，

当1n =时，10[0,1]a =∈．假设[0,1](1)

k a k ∈≥，

则31111k k a ca c c c +=+-≤+-=，且3

1110

k k a ca c c +=+-≥-=≥，

1[0,1]k a +∈∴，由数学归纳法知[0,1]n a ∈对所有*n N ∈成立．

(2) 设 1

c <<

，当1n =时，10a =，结论成立．当2n ≥ 时，32

11111,1(1)(1)

n n n n n n a ca c a c a a a ----=+--=-++∵∴，

103

C <<

∵,由（1）知1[0,1]n a -∈，所以 2

1113n n a a --++≤ 且 110n a --≥，

113(1)

n n a c a --≤-∴，

12113(1)(3)(1)(3)(1)(3)n n n n n a c a c a c a c -----≤-≤-≤≤-=∴，

1*1(3)()

n n a c n N -≥-∈∴．

(3) 设 103c <<

，当1n =时，2120213a c

=>--，结论成立，当2n ≥时，由（2）知1

1(3)0

n n a c -≥->，

21212(1)1

(1(3))12(3)(3)12(3)n n n n n a c c c c ----≥-=-+>-∴，

2222

2112212[3(3)(3)]

n n n a a a a a n c c c -+++=++>--++

+∴

2(1(3))2

111313n c n n c c

-=+->+---．

点评：该题综合考查了等比数列的求和、不等式的性质的应用、充分必要条件和数学归纳法等，具有较高的难度，对逻辑推理能力的考查要求较高．

５．数列与概率的综合

数列与概率的综合考查，虽然不是经常但很有新意，这种命题也体现了在知识交汇处命题的指导思想．

例9．将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（）

Ａ．Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

解析：一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个，其中为等差数列有三类：

（1）公差为0的有6个；（2）公差为1或-1的有8个；（3）公差为2或-2的有4个，共有18个，成等差数列的概率为

，选B ．

点评：本题是以数列和概率的背景出现，题型新颖而别开生面，有采取分类讨论，分类时要做到不遗漏，不重复．【模拟演练】

1．公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若4a 是37a a 与的等比中项, 832S =,则10S 等于( )

A ． 18

B ． 24

C ． 60

D ． 90 2．等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别用S n 和T n 表示，若534+=n n

T S n n ，则n n

a b 的值为( )

4231n n -+ B 8362n n -+ C 6382n n -+ D 62

n n -+ 3．已知函数()??

?≥-<+-=0

x x x x x f ，则不等式()()111≤+++x f x x 的解集是（）

A ．{

}

121|-≤≤-x x B ． {}1|≤x x

C ． {

}12|-≤

x x D ．{}

1212|-≤≤--x x

4．已知x ＞0，y ＞0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b)

cd 的最

小值是________．

5．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点*

,()n

S n n N n

??∈

???

均在函数32y x =-的图象上．则数列{}n a 的通项公式为．

6．命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a <，命题:q 实数x 满足260x x --≤或2280x x +->，且p ?是q ?的必要不充分条件，求a 的取值范围．

7．已知二次函数()f x 的二次项系数为 a ，且不等式 ()2f x x >- 的解集为（1 , 3）．

（l ）若方程()60f x a +=有两个相等的根，求()f x 的解析式；（2）若()f x 的最大值为正数，求 a 的取值范围．

8．围建一个面积为360m 2

的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)．（Ⅰ）将y 表示为x 的函数：

（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．

【参考答案】

1．答案：C

解析：由2437a a a =得2

111(3)(2)(6)a d a d a d +=++得1230a d +=,再由

81568322S a d =+

=得:1278a d +=则12,3d a ==-,所以10190

10602

S a d =+=,故选C ．

2．答案：A

解析： ∵121

21(21)(21)2

n n n a a S n n a --+=-=-；21(21)n n T n b -=-． ∴

2121n n n n a S b T --=4(21)3(21)5n n -=-+8442

6231

n n n n --==

++． 3．答案：C 解析：依题意得10(1)(1)x x x x +

++-≤?或10

(1)1

x x x x +??++≥≤?

所以1x R x ∈<-???

或111

x x ≥-≤≤??

???

解得：1111x x x ≤≤

-?<≤-或，故选C ．

4．答案：4

解析：∵(a ＋b)2

cd ＝(x ＋y)2

xy ≥(2xy)2

xy ＝4．

5．答案：65()n a n n N *

=-∈

解析：由题意得，

32,n

S n n

=-即232n S n n =-．当n ≥2时， ()2

21(32)312(1)65n n n a S S n n n n n -??=-=-----=-??

;

当n=1时，113a S =-×21-2×1-1-6×1-5．所以65()n a n n N *

=-∈．

6．解析：设{}

22|430(0)A x x ax a a =-+<<{}|3x a x a =<<，

{}22|60280B x x x x x =--≤+->或{}{}22|60|280x x x x x x =--

{}{}|23|42x x x x x =-≤≤?<->或={}|42x x x <-≥-或

因为p ?是q ?的必要不充分条件，所以q ??p ?，且p ?推不出q ?

而{}|42R C B x x =-≤<-，{}|3,R C A x x a x a =≤≥或所以{}{}|42|3x x x x a x a -≤<-≤≥或，则320a a ≥-??

a a ≤-??

a -

≤<或4a ≤-． 7．解析：（1）因为()20f x x +>的解集为（1，3），所以()2(1)(3)f x x a x x +=--且

0a <．

因而2

()(1)(3)2(24)3f x a x x x ax a x a =---=-++ （1）由方程()60f x a +=得：2

(24)90ax a x a -++= （2）因为方程（2）有两个相等的根．

所以2

[(24)]490a a a ?=-+-?=，即25410a a --=．解得：1a =（舍去）或1

a =-，将15a =-

代入（1）得()f x 的解析式为：2163()555

f x x x =---，（2）2

()2(12)3f x ax a x a =-++221241

()a a a a x a a +++=--，有a < 0，可得()f x 的最大值为241

a a a ++-，

所以241a a a

++- > 0，且a < 0．

解得：220a a <--+<<，

故当()f x 的最大值为正数时，实数a 的取值范围是(,2(23,0)-∞--+．

8．解析：（1）如图，设矩形的另一边长为a m ，则2

y -45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360，

由已知xa=360,得a=x 360

，所以y=225x+2360360(0)x x ->． (II)108003602252360225,022

=?≥+∴x

x x

104403603602252≥-+=∴x x y ．当且仅当225x=x

360时，等号成立．

即当x=24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．

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初中数学重要公式总结

乘法公式(反过来就是因式分解的公式)：①(a＋b)(a－b)＝a2－b2．②(a±b)2＝a2±2ab＋b2．③(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3．④(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab．一、公式：设有n个数x1，x2，…，x n，那么： ①平均数为： 12 ...... n x x x x n； ②极差：用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化围，用这种方法得到的差称为极差，即：极差=最大值-最小值； ③方差：数据1x、2x……, n x的方差为2s，则 2 s= 222 12 1 ..... n x x x x x x n 标准差：方差的算术平方根. 数据1x、2x……, n x的标准差s，则 s= 222 ..... x x x x x x 一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，越不稳定。设∠A是Rt△ABC的任一锐角，则∠A的正弦：sinA＝，∠A的余弦：cosA ＝，∠A的正切：tanA＝．并且sin2A＋cos2A＝1． 0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0．∠A越大，∠A的正弦和正切值越大，余弦值反而越小余角公式：sin(90o－A)＝cosA，cos(90o－A)＝sinA．特殊角的三角函数值：sin30o＝cos60o＝，sin45o＝cos45o＝，

sin60o＝cos30o＝， tan30o＝，tan45o＝1，tan60o＝． ④斜坡的坡度：i ＝铅垂高度水平宽度＝．设坡角为α，则i ＝tan α＝二次函数的有关知识： 1.定义：一般地，如果 c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0