课题 第107 节 随机变量的数字特征与正态分布 课时 习题课（1课时）
三 维 教 学 目 标
知识与技能：掌握随机变量的期望、方差公式，正态分布求概率的方法； 过程与方法：通过自主学习、及时训练掌握公式； 情感态度价值观：培养学生分析解决问题的能力；
重 点 掌握随机变量的期望、方差公式，正态分布求概率的方法 难 点 习题演练 当堂检测重点 无
教 法
讲授法
教具 学案、黑板、投影
学 习 过 程
1．离散型随机变量的均值 (1)若离散型随机变量X 的分布列为
X x 1 x 2 … x i … x n P
p 1
p 2
…
p i
…
p n
则称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 为常数，则Y 也是随机变量，且E (aX ＋b )＝aE (X )＋b . (3)①若X 服从二点分布，则E (X )＝p ； ②若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np .
2．离散型随机变量的方差 (1)设离散型随机变量X 的分布列为
X x 1 x 2 … x i … x n P
p 1
p 2
…
p i
…
p n
则称D (X )＝∑
=n
i 1
(x i －E （X ）)2
p i 为随机变量X 的方差，算术平方根)(X D 为随机变量X
的标准差。
(2)D (aX ＋b )＝a 2
D (X )．
(3) ①若X 服从二点分布，则D (X )＝p (1－p )．②若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )． 及时训练1、已知随机变量ξ满足P (ξ＝1)＝0.3，P (ξ＝2)＝0.7，则E (ξ)和D (ξ)的值分别是( )
A ．0.6和0.7
B ．1.7和0.3
C ．0.3和1.7
D ．1.7和0.21
及时训练2、已知分布列为：
X －10 1
P 1
2
1
3
a
且设Y＝2X＋3，则Y的均值是________．
及时训练3、有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则D(X)＝________.
3．正态曲线的特点
(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
(3)曲线在x＝μ处达到峰值
1
σ2π
； (4)曲线与x轴之间的面积为1；
(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
4．正态分布的三个常用数据
(1)P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682_6； (2)P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954_4；
(3)P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997_4.
及时训练4、已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)．若P(ξ＞2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝( )
A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.977
及时训练5、设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξ＞c＋1)＝P(ξ＜c－1)，则c＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
及时训练6、在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(2，σ2)(σ＞0)，若ξ在(0,2)内取值的概率为0.4，则ξ在(－∞，4)内取值的概率为( )
A．0.1 B．0.2 C．0.8 D．0.9
习题巩固：
1、从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球(不放回)，则试验结束．
(1)求第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球的概率； (2)记试验次数为X ，求X 的分布列．
2、某射手每次射击击中目标的概率是2
3，且各次射击的结果互不影响．
(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；
(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率； (3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记ξ为射手射击3次后的总的分数，求ξ的分布列．
3、一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n 。如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则
这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。假设这批产品的优质品率为50%，即取
出的产品是优质品的概率都为1
2，且各件产品是否为优质品相互独立。
（1）求这批产品通过检验的概率；
（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望。
4、经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，没1t亏损300元。根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如有图所示。经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品。以x（单位：t，100≤x≤15 0）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。
（Ⅰ）将T表示为x的函数（Ⅱ）根据直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表改组的各个值求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x [)
110
,
100
∈）则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入[100，110]的T的数学期望。
离散型随机变量的均值与方差、正态分布 一、选择题、填空题 1．已知随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，P (ξ≤4)＝0.84，则P (ξ≤－2)＝( ) A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ．0.84 2．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为 c ，a 、b 、c ∈(0,1)，且无其他得分情况，已知他投篮一次得分的数学期望为1， 则ab 的最大值为 ( ) A.148 B.124 C.1 12 D.16 3．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( ) A ．100 B ．200 C ．300 D ．400 4．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为： 则q 等于( ) A ．1 B ．1±22 C ．1－2 2 D ．1＋ 2 2 5．随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝k )＝c k (k ＋1)，k ＝1,2,3,4，其中c 是常数，则P (12 2.4.1正态分布 【教学目标】 了解正态分布的意义，掌握正态分布曲线的主要性质及正态分布的简单应用。 了解假设检验的基本思想，会用质量控制图对产品的质量进行检测，对生产过程进行控制。 【教学重难点】 教学重点：1.正态分布曲线的特点； 2.正态分布曲线所表示的意义. 教学难点：1.在实际中什么样的随机变量服从正态分布； 2．正态分布曲线所表示的意义. 【教学过程】 设置情境，引入新课 这是一块高尔顿板，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内。 问题1.在投放小球之前，你能知道这个小球落在哪个球槽中吗？ 问题2.重复进行高尔顿板试验，随着试验次数的增加，掉入每个球槽中小球的个数代表什么？ 问题3.为了更好的研究小球分布情况，对各个球槽进行编号，以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽的频率值为纵坐标，你能画出它的频率分布直方图吗？ 问题4.随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会发生什么样的变化？ 二、合作探究，得出概念 随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会越来越像一条钟形曲线 . 这条曲线可以近似下列函数的图像： 22 ()2,(),(,), 2x x e x μσμσ?πσ-- =∈-∞+∞ 其中实数(0)μσσ>和为参数，我们称,() x μσ?的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线。 问题5.如果在高尔顿板的底部建立一个水平坐标轴，其刻度单位为球槽的宽度，X 表示一个 随机变量，X 落在区间(,]a b 的概率为什么？其几何意义是什么？ 一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足 ,( 主备人： 审核： 包科领导： 年级组长： 使用时间： 正态分布 【学习目标】 1、了解正态曲线的形状； 2、会求服从正态分布的随机变量X 的概率分布 【重点、难点】 会求服从正态分布的随机变量X 的概率分布 【使用说明与学法指导】 1、根据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案； 2、用红笔勾画出疑难点，提交小组讨论； 3、带※ 为选做题; 【自主探究】 1、正态曲线： 函数22 2) (,21)(σμσμσ π?--=x e x ，),(+∞-∞∈x ，（其中实数μ和σ)0(>σ为参数）的图 象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线． 2、正态分布： 如果对于任何实数b a <，随机变量X 满足， )(b X a P ≤<= ， 则称X 的分布为正态分布． 记作：X ～N （ ）． 3、正态曲线的特点： （1）曲线位于x 轴 ，与x 轴 ； （2）曲线是单峰的，它关于直线 对称； （3）曲线在 处达到峰值 ； （4）曲线与x 轴之间的面积为 ． 4、正态曲线随着μ和σ的变化情况： ①当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴 ； ②当μ一定时，曲线的 由σ确定． σ越小，曲线越“ ”，表示总体的分布越 ；σ越大，曲线越“ ”，表示总体的分布越 ． 5、正态分布中的三个概率： =+≤<-)(σμσμX P ； =+≤<-)22(σμσμX P ； =+≤<-)33(σμσμX P ． 【合作探究】 1、若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值等于 π241，求该正 态分布的概率密度函数的解析式． 2、某地区数学考试的成绩X 服从正态分布，其密度函数曲线图形最高点坐标（π281,60）， 成绩X 位于区间(]68,52的概率是多少？ 3、在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～)100,90(N ． （1）试求考试成绩ξ位于区间（70，110）上的概率是多少？ （2）若这次考试共有 2000名考生，试估计考试成绩在（80，100）间的考生大约有多少人？ 4、商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布)1.0,10(2N （单位：kg ）任选一袋这种大米，质量在9.8～10.2kg 的概率是多少？ 【巩固提高】 1.若2) 1(221 )(--=x e x f π，则下列正确的是（ ）． A ．有最大值、最小值 B ．有最大值，无最小值 C ．无最大值，有最小值 D ．无最大值、最小值 2．设随机变量ξ～)4,2(N ，则)21 (ξD = ( ) ． A ．1 B ．2 C ． 21 D ． 4 3．若随机变量满足正态分布),(2σμN ，则关于正态曲线性质的叙述正确的是（ ）． A ．σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦” B ．σ越小，曲线越“矮胖”，σ越大，曲线越“高瘦” C ．σ的大小，和曲线的“高瘦”、“矮胖”没有关系 D ．曲线的“高瘦”、“矮胖”受到μ的影响 4．期望是2，标准差为π2的正态分布密度函数的解析式是 ． 5．若随机变量X ～)2,5(2 N ，则 =≤<)73(X P ． 课堂小结————————————————————————————————— 第三讲随机变量及其分布列 1．(2017·全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________. 解析：依题意，X～B(100,0.02)，所以D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96. 答案：1.96 2．(2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0 _2.4正态分布 [对应学生用书P39] 1．正态曲线 正态变量概率密度曲线的函数表达式为f(x)＝ 1 2π·σ 2 2 e 2 xμ σ () － － ，x∈R，其中参数μ为正 态分布变量的数学期望，μ∈(－∞，＋∞)；σ为正态分布变量的标准差，σ∈(0，＋∞)．正态变量的概率密度函数(即f(x))的图象叫做正态曲线． 期望为μ，标准差为σ的正态分布通常记作N(μ，σ2)，μ＝0，σ＝1的正态分布叫标准正态分布． 2．正态曲线的性质 (1)曲线在x轴的上方，并且关于直线x＝μ对称； (2)曲线在x＝μ时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状； (3)曲线的形状由参数σ确定，σ越大，曲线“矮胖”；σ越小，曲线越“高瘦”． 3．正态分布的3σ原则 P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝68.3%； P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝95.4%； P(μ－3σ＜X＜μ＋2σ)＝99.7%. 可知正态变量的取值几乎都在距x＝μ三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则． 1．正态分布密度函数及正态曲线完全由变量μ和σ确定．参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计． 2．对于正态曲线的性质，应结合正态曲线的特点去理解、记忆． [对应学生用书P40] [例1] 析式，求出总体随机变量的期望和方差． [思路点拨] 给出了一个正态曲线，就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的期望、标准差及解析式． [精解详析] 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x ＝20对称，最大值是1 2π， 所以μ＝20. 由 12π·σ＝1 2π ，得σ＝ 2. 于是概率密度函数的解析式是 f (x )＝ 12π · e x 2204 ()－－ ，x ∈(－∞，＋∞)， 总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2. [一点通] 利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ，具体方法如下： (1)正态曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称，由此性质结合图象求μ. (2)正态曲线在x ＝μ处达到峰值，由此性质结合图象可求σ. 1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f (x )的图象，且f (x )＝ 18πe x 2 108 ()－－ ，则 这个正态总体的均值与标准差分别是( ) A ．10与8 B ．10与2 C ．8与10 D ．2与10 解析：由正态曲线f (x )＝ 12πσ x 22 e 2()σ－－ μ知， ? ???? 2πσ＝8π，μ＝10，即μ＝10，σ＝2. 答案：B 2．如图是正态分布N (μ，σ21)，N (μ，σ22)，N (μ，σ23)(σ1，σ2，σ3>0)相应的曲线，那么σ1， σ2，σ3的大小关系是( ) 精品导学案：2． 4正态分布 教学目标： 知识与技能：掌握正态分布在实际生活中的意义和作用。 过程与方法：结合正态曲线，加深对正态密度函数的理理。 情感、态度与价值观：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。 教学重点：正态分布曲线的性质、标准正态曲线N(0，1) 。 教学难点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。 教学课时：3课时 教具准备：多媒体、实物投影仪。 教学设想：在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口，正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布。 内容分析： 1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布 布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布 2．正态分布是可以用函数形式来表述的其密度函数可写成： 2 2 () 2 (),(,) x f x x μ σ - - =∈-∞+∞，（σ＞0） 由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的常把它记为) , (2 σ μ N 3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x 轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的 4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征 5．由于正态分布是由其平均数μ和标准差σ唯一决定的，因此从某种意义上说，正态分布就有好多好多，这给我们深入研究带来一定的困难 研究N（0，1），其他的正态分布都可以通过) ( ) ( σ μ - Φ = x x F转化为N（0，1），我们把N （0，1）称为标准正态分布，其密度函数为 2 2 1 2 1 ) (x e x F- = π ，x∈（-∞，+∞），从而使正态分布的研究得以简化 6．结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质正态曲线的作图较难，教科书没做要求，授课时可以借助几何画板作图，学生只要了解大致的情形就行了，关键是能通过正态曲线，引导学生归纳其性质 教学过程： 学生探究过程： 复习引入： 总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组 第10章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第9讲 A 组 基础关 1．(2018·广西南宁模拟)设随机变量X ～N (5，σ2 )，若P (X ＞10－a )＝0.4，则P (X ＞ a )＝( ) A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3 D ．0.2 答案 A 解析 因为随机变量X ～N (5，σ2 )，所以P (X ＞5)＝P (X ＜5)．因为P (X ＞10－a )＝0.4，所以P (X ＞a )＝1－P (X ＜a )＝1－0.4＝0.6.故选A. 2．已知随机变量X ＋Y ＝8，若X ～B (10,0.6)，则E (Y )，D (Y )分别是( ) A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6 D ．6和5.6 答案 B 解析 由已知随机变量X ＋Y ＝8，所以Y ＝8－X .因此，求得E (Y )＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2，D (Y )＝(－1)2 D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4.故选B. 3．(2018·浙江嘉兴适应性训练)随机变量X 的分布列如下表，且E (X )＝2，则D (2X －3)＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 C 解析 p ＝1－16－13＝12 ， E (X )＝0×1 6＋2×12＋a ×13 ＝2?a ＝3， ∴D (X )＝(0－2)2×16＋(2－2)2×12＋(3－2)2 ×13＝1. ∴D (2X －3)＝22 D (X )＝4. 4．(2018· 潍坊模拟)我国成功申办2022年第24届冬季奥林匹克运动会，届时冬奥会的高山速降运动将给我们以速度与激情的完美展现，某选手的速度ξ服从正态分布(100， σ2)(σ＞0)，若ξ在(80,120)内的概率为0.7，则他的速度超过120的概率为( ) A ．0.05 B ．0.1 C ．0.15 D ．0.2 答案 C 解析 由题意可得，μ＝100，且P (80＜ξ＜120)＝0.7， §2.4 正态分布 1．了解正态曲线的形状； 2．会求服从正态分布的随机变量X 的概率分布． 一、课前准备 （预习教材P 80~ P 86，找出疑惑之处） 复习1：函数22 21 )(x e x f -=π的定义域是 ；它是 （奇或偶）函数； 当=x 时，函数有最 值，是 ． 复习2：已知抛物线322++-=x x y ，则其对称轴为 ；该曲线与直线1=x ，2=x ，x 轴所围的成的图形的面积是？ 二、新课导学 ※ 学习探究 探究： 1．一所学校同年级的同学的身高，特别高的同学比较少，特别矮的同学也不多，大都集中在某个高度左右； 2．某种电子产品的使用寿命也都接近某一个数，使用期过长，或过短的产品相对较少． 生活中这样的现象很多，是否可以用数学模型来刻划呢？ 新知1：正态曲线： 函数22 2)(,21 )(σμσμσπ?--=x e x ，),(+∞-∞∈x ，（其中实数μ和σ)0(>σ为参数）的图象为正态 分布密度曲线，简称正态曲线． 试试：下列函数是正态密度函数的是（ ） A ．222)(21 )(σμπσ-=x e x f ，)0(,>σσμ是实数 B ．2222)(x e x f -= ππ C ．4)1(2221 )(--=x e x f π D ．2 2 21 )(x e x f π= 新知2：正态分布： 如果对于任何实数b a <，随机变量X 满足，)(b X a P ≤<= ， 则称X 的分布为正态分布．记作：X ～N （ ）． 新知3：正态曲线的特点： （1）曲线位于x 轴 ，与x 轴 ； （2）曲线是单峰的，它关于直线 对称； （3）曲线在 处达到峰值 ； （4）曲线与x 轴之间的面积为 ． 新知4：正态曲线随着μ和σ的变化情况： ①当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴 ； ②当μ一定时，曲线的 由σ确定． σ越小，曲线越“ ”，表示总体的分布越 ；σ越大，曲线越“ ”，表示总体的分布越 ． 试试：把一个正态曲线a 沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b ，下列说法中不正确的是（ ）． A ．曲线b 仍然是正态曲线 B ．曲线a 和曲线b 的最高点的纵坐标相等 C ．以曲线b 为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a 为概率密度曲线的总体的期望大2 D ．以曲线b 为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a 为概率密度曲线的总体的方差大2 教学过程 一、课堂导入 “离散型随机变量的分步列，均值和方差”在“排列与组合”知识的延伸，在本讲的学习中，同学们将通过具体实例理解随机变量及其分布列、均值和方差的概念，认识随机变量及其分布对于刻画随机现象的重要性．要求同学们会用随机变量表达简单的随机事件，会用分布列来计算这类事件的概率，计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．在高考中，这部分知识通常有一道解答题，占12─14分左右，主要考查学生的逻辑推理能力和运算能力，凸显数学的应用价值． 二、 复习预习 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定． ( ) (2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小． ( ) (3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差． ( ) (4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布． ( ) 2．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝1 5(k ＝2,4,6,8,10)，则D (ξ)等于 ( ) A ．5 B ．8 C ．10 D ．16 3．设随机变量ξ服从正态分布N (3,4)，若P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)，则a 等于 ( ) A ．3 B.5 3 C ．5 D.73 4．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X 表示取到次品的件数，则D (X )＝________. 张喜林制 2.8 正态分布 教材知识检索 考点知识清单 1．正态分布是现实中最常见的分布，它有两个重要的参数；均值μ和方差),0(2>σσ通常用 表示X 服从参数为2σμ和的正态分布，其中μ 是总体的 .,σ是总体的 2．正态分布密度函数满足以下性质： (1)函数图像关于直线 对称． )0()2(>σσ的大小决定函数图像的 =+<<-)()3(σμσμX P =+<<-)22(σμσμX P =+<<-)33(σμσμX P 要点核心解读 1．正态密度曲线 正态变量概率密度曲线的函数表达式为 ,,21 .)(22 )(R x e x P u x ∈?=--σσπ 其中σμ,是参数，且.,0R ∈>μσ 上式中的参数σμ和分别为正态变量的数学期望和标准差．正态变量概率密度函数的图像叫做正态密度曲线． [注意] (1)由上述函数特点知，随机变量X 落在区间(a ，b)的概率为),()(~)(x d x P b X a P b a ?<< 也就是说，由正态密度曲线，分别过点(a ，0)，( b ，0)的两条垂直x 轴的直线及x 轴所围成的平面图形的面积，就是X 落在区间(a ，6)的概率的近似值，如图2-8 -1所示． （续） (2)曲线与x 轴之间的面积为1． 2．正态分布 若X 是一个随机变量，对任给区间)(],,(b x a P b a ≤<恰好是正态密度曲线下方和x 轴上（a ，b]上方所围成的图形的面积，我们就称随机变量X 服从参数为2σμ和的正态分布，简记为).,(~2σμN X [注意] (1)正态分布完全由参数σμ和确定，所以正态分布常记作),,(2σμN 如果随机变量X 服从正态分布，则记作?),(~2σμN X 我们把1,0==σμ的正态分布叫做标准正态分布． (2)正态分布是自然界中最常见的一种分布，在理论研究和实际应用中都有非常重要的作用． (3)在实际中，如果一个随机变量是由众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素所引起的，则它服从或近似服从正态分布． (4)参数σμ和可分别用样本的均值（期望）和标准差去估计， 3．正态密度曲线的性质 从正态密度曲线图像可以看出，正态密度曲线具有以下性质： (1)曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交，且关于直线μ=x 对称； (2)曲线在μ=x 时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状； (3)曲线的形状由参数σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“高瘦”． 性质(1)说明了函数具有值域（函数值为正）及函数的渐近线（x 轴）．并且说明了函数具有对称性；性质(2)说明了函数在μ=x 时取最值；性质(3)说明σ越大，总体分布越分散，σ越小，总体分布越集中． 4．随机变量取值的概率与面积的关系 若随机变量ξ服从正态分布),,(2 σμN 那么对于任意实数),(b a b a <、当随机变量ξ在区间（a ，b]上取值时，其取值的概率与正态曲线与直线b x a x ==,以及x 轴所围成的图形的面积相等，如图2 -8 -3(1)中的阴影部分的面积就是随机变量ξ在区间（a,b]上取值的概率， 一般地，当随机变量在区间),(a -∞上取值时，其取值的概率是正态曲线在a x =左侧以及x 轴围成图 6.4.2 随机变量及其分布 必备知识精要梳理 1.超几何分布 在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则 P (X=k )=C M k C N -M n -k C N n ,k=0,1,2,…,m ,其中m=min{M ,n },且n ≤N ,M ≤N ,n ,M ,N ∈N *. 2.二项分布 一般地,在n 次独立重复试验中,事件A 发生的次数为X ,设每次试验中事件A 发生的概率为 p ,则P (X=k )=C n k p k q n-k ,其中0 简单随机变量之和与正态分布 本文将笼统，随意的讲解，为什么多随机变量之和可以认为服从正态分布。 首先我们建立一个简单的随机变量之和的模型。假设我们手里有一枚硬币，我们认定硬币的正面为1，反面为0，那么抛一次硬币的情况就是0或1且他们的概率都是50%。如果我不写概率也是写概率的比例，那么这个比例可以写为1：1。现在我们抛两次硬币，那么这个结果有四种，00，01，10，11。相信你知道我在说什么。那么正同我们提到的，我们要的是随机变量之和，所以我们有0，1，2。且他们的比例可以很容易的得到，是1：2：1。那么如果抛三次硬币呢？可能的结果就是0，1，2，3，而他们的比例是1：3：3：1。也许你已经发现这个规律了，也许你没有，但我会告诉你的。假如你抛2N次硬币，并且求和，那么其结果就是0，1，2……2N，共2N+1种可能。这2N+1种可能的比例服从组合数C2N i。你可以代入刚才抛三次的情况，C30：C31：C32：C33就是我们得到的1：3：3：1。至于为什么这个比例符合组合数，抛两次硬币那里举了个例子，就不重复了。这里简单的定义以下，每个随机变量称作X i他们的和称作Y，也就是： 2N Y=∑X i 1 （为什么突然变成了抛2N次而不是抛N次，因为我想保证我抛的是偶数次，这样Y的均值就是N了，你会发现抛两次的时候，Y的均值就是1，但是如果你抛三次，Y的均值就会是1.5，我想避免这个小数。） 所以接下来我们就要说明，组合数的分布规律为什么就成了正态分布。那么首先，你相信这个结论吗?让我们从抛多次到抛少次，来看一下正态分布和这个组合数分布到底有多像。 从Y的取值范围你也能猜出，这里分别是N取5，10，15，20的情况，实际上除了N 取5，也就是抛10次的时候，你还能看得清楚红线和蓝线，当N取10也就是抛20次以后，两线其实非常吻合了。你还可以看一下他们之间的误差，其峰值也是逐渐减小的。 正态分布教案 学院数学与计算机科学学院专业数学与计算机年级 2008级 执教者王黎玲学号 105062008020 指导老师袁智强老师 教材：人民教育出版社A版选修2-3第二章第四节 一、教学目标 二、教学重点与难点 三、教学的方法与手段 四、教学过程 【环节一：创设情境，导入新知】通过对高尔顿这位伟大的统计学家的介绍，引出高尔顿钉板实验。 教师活动：今天上新课之前我们要先来做一个实验——高尔顿顶板实验，那么实验之前老师想问同学们有谁认识高尔顿呢？ 学生预案：高尔顿？ 教师活动：看来同学们对高尔顿不是很熟悉。那么同学们认识达尔文吗？ 学生预案：知道。 教师活动：达尔文他出版的《物种起源》这一划时代的著作，提出了生物进化论学说，被恩格斯列为19世纪自然科学的三大发现之一。而高尔顿是英国著名的人类学家、 生物统计学家，他是生物统计学派的奠基人，也是著名生物学家达尔文的表弟， 正是因为达尔文《物种起源》的问世，才触动了高尔顿对生物统计学的研究，而 等等我们要进行的高尔顿钉板实验，就是高尔顿在收集统计数据时进行的的实 验。 教师活动：那么高尔顿钉板的实验原理是什么呢？首先在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面当有一块 玻璃，让一个小球从高尔顿钉板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层 小木块碰撞，最后掉入高尔顿钉板下方的某一个球槽内。 教师活动：那么小球下落后，我们就要观察每个球槽内小球的个数，因此在这之前要把球槽进行编号，以方便我们观察，然后多次重复这个实验，就可以发现掉入各个球槽 内的小球的个数，小球堆积的高度越来越高。为了更好的研究实验结果呈现的现 象，我们将结果化成频率直方图，请同学们也仔细观察频率直方图，总之整个实 验过程分三个步骤，小球下落——观察小球个数——观察频率直方图。现在我们 开始做实验。 老师演示：打开实验flash，进行演示。最后将实验300次、600次、1500次、3000次得频率直方图同时显示，让学生更好的观察。 300次 600次 2.3 第一课时 离散型随机变量的均值 一、课前准备 1．课时目标 (1) 理解离散型随机变量的均值的定义； (2) 能熟练应用离散型随机变量的均值公式求值； (3) 能熟练应用二项分布、两点分布、超几何分布的均值公式求值. 2．基础预探 1．若离散型随机变量X 的分布列为 则称_______________________为随机变量X 的均值或数学期望. 2.两点分布：若X 服从两点分布，则EX ＝__________. 3.二项分布：若随机变量X 服从二项分布，即~(,)X B n p ，则EX =___________. 4.超几何分布：若随机变量X 服从N ，M ，n 的超几何分布，故EX =___________. 二、学习引领 1.随机变量的均值与样本的平均值的关系 随机变量的均值反映的是离散型随机变量的平均取值水平．随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化.对于简单随机抽样，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值． 2.求随机变量的均值的步骤 ①分析随机变量的特点，若为两点分布、二项分布、超几何分布模型，则直接套用公式；②否则，根据题意设出随机变量，分析随机变量的取值；③列出分布列；④利用离散型随机变量的均值公式求解． 3. 试验次数对随机变量的均值有没有影响 假设随机试验进行了ｎ次，其中1x 出现了1p n 次， 2x 出现了2p n 次，…，n x 出现了 n p n 次；故X 出现的总值为1p n 1x ＋2p n 2x ＋…＋n p n n x .因此ｎ次试验中，X 出现的均值 1122n n p nx p nx p nx EX n ++ += ，即EX ＝1122n n p x p x p x +++.由此可以看出，试验 次数对随机变量的均值没有影响. 三、典例导析 题型一 离散型随机变量的数学期望 例1 某车间在三天内，每天生产10件某产品，其中第一天、第二天分别生产出了1件、2件次品，而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过. 2．6 正态分布 3．掌握运用正态分布解决实际问题的方法． 1．正态密度曲线 x － μ ) 2 μ ，x ∈ R ，其中实数 μ 和 σ 为参数， P (x ) x 的图象为正 2．正态分布 3．正态曲线的性质 (1) 当 x <μ 时，曲线上升；当 x >μ 时，曲线下降；当曲线向左右两边无限延 伸时，以 x 轴为渐近线； (2) 正态曲线关于直线 x ＝μ 对称； (3) σ 越大，正态曲线越扁平； σ 越小，正态曲线越尖陡； (4) 在正态曲线下方和 x 轴上方范围内的区域面积为 1. 4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 落在区间 ( μ－σ，μ＋σ) 上的概率约为 68.3%， 落在区间 ( μ－2σ，μ＋2σ) 上的概率约为 95.4%， 落在区间 ( μ－3σ， μ＋3σ) 上的概率约为 99.7%. 义． 1. 了解正态密度函数的概念． 2. 理解正态密度函数的特点及曲线所表示的意 1 函数 P (x ) ＝ e － 2πσ 态密度曲线 (如图所 2σ2 正态分布完全由参数 服从正态分布，记为 X ～ N ( 和σ 确定，因此正态分布记作 2 μ，σ ) ． N ( μ， σ2 ) ．如果随机变量 X 1．判断 ( 正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 函数 p ( x ) 中参数 μ，σ的意义分别是样本的均值与方差． ( ) (2) 正态曲线是单峰的，其与 x 轴围成的面积是随参数 μ，σ的变化而变化的． ( ) (3) 正态曲线可以关于 y 轴对称． ( ) 答案： (1) × (2) × (3) √ 2．设随机变量 X ～N (μ，σ2 ) ，且 P ( X ≤ C ) ＝ P ( X > C ) ，则 C ＝( ) 答案： D 答案： D 【解】 (1) 由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数， 所以其图象关于 y 轴对称， 即 μ＝ 0. A ．0 B ．σ C ．－ μ D ．μ 3．已知随机变量 X 服从正态分布 N (3， )，则 P ( X < 3) ＝( 1 A. 5 B. C. 1 D.12 4．已知正态分布密度函 2 x x ∈ ( －∞，＋∞ ) ，则该正态 分布的均 P(x)＝ 2πe － 4π 正态分布密度函数与正态 Generated by Foxit PDF Creator ? Foxit Software https://www.doczj.com/doc/9d2606820.html, For evaluation only. 2.6 正态分布 1．了解正态密度曲线及正态分布的概念，认识正态密度曲线的特征．(重点、难点) 2．会根据标准正态分布求随机变量在一定范围内取值的概率，会用正态分布解决实际问题．(重点) [基础·初探] 教材整理1 正态密度曲线 阅读教材P 75～P 76第三自然段，完成下列问题． 1．正态密度曲线的函数表达式是P (x )＝ 12πσ e － x －μ 2σ2 ，x ∈R ，这里有两个参数μ 和σ，其中μ是随机变量X 的均值，σ2 是随机变量X 的方差，且σ>0，μ∈R .不同的μ和σ对应着不同的正态密度曲线． 2．正态密度曲线图象具有如下特征： (1)当x <μ时，曲线上升；当x >μ时，曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸时，以 x 轴为渐近线； (2)正态曲线关于直线x ＝μ对称； (3)σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡； (4)在正态曲线下方和x 轴上方范围内的区域面积为1. 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正态变量函数表达式中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．( ) (2)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量．( ) (3)正态曲线是一条钟形曲线．( ) (4)离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述，连续型随机变量的概率分布 用分布列描述．( ) 【解析】(1)×因为正态分布变量函数表述式中参数μ是随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计，而σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，用样本的标准差去估计． (2)√因为离散型随机变量最多取有限个不同值．而连续型随机变量可能取某个区间上的任何值． (3)√由正态分布曲线的形状可知该说法正确． (4)×因为离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，连续型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线(函数)描述． 【答案】(1)×(2)√(3)√(4)× 2．把一条正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线b，下列说法中不正确的是______． (填序号) ①曲线b仍然是正态曲线； ②曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等； ③以曲线b为正态分布的总体的方差比以曲线a为正态分布的总体的方差大2； ④以曲线b为正态分布的总体的均值比以曲线a为正态分布的总体的均值大2. 【解析】正态曲线向右平移2个单位，σ不发生变化，故③错误． 【答案】③ 教材整理2 正态分布 阅读教材P76第四自然段～P79部分，完成下列问题． 1．正态分布：若X是一个随机变量，则对任给区间(a，b]，P(a 正态分布教案学院数学与计算机科学学院专业数学与计算机年级2008级 执教者王黎玲学号指导老师袁智强老师 教?材：人民教育出版社A版选修2-3第二章第四节 一、教学目标 二、教学重点与难点 三、教学的方法与手段 四、教学过程 【环节一：创设情境，导入新知】通过对高尔顿这位伟大的统计学家的介绍，引出高尔顿钉板实验。 教师活动：今天上新课之前我们要先来做一个实验——高尔顿顶板实验，那么实验之前老师 想问同学们有谁认识高尔顿呢？ 学生预案：高尔顿？ 教师活动：看来同学们对高尔顿不是很熟悉。那么同学们认识达尔文吗？ 学生预案：知道。 教师活动：达尔文他出版的《物种起源》这一划时代的着作，提出了生物进化论学说，被恩 格斯列为19世纪自然科学的三大发现之一。而高尔顿是英国着名的人类学家、 生物统计学家，他是生物统计学派的奠基人，也是着名生物学家达尔文的表弟， 正是因为达尔文《物种起源》的问世，才触动了高尔顿对生物统计学的研究，而 等等我们要进行的高尔顿钉板实验，就是高尔顿在收集统计数据时进行的的实 验。 教师活动：那么高尔顿钉板的实验原理是什么呢？首先在一块木板上钉着若干排相互平行但 相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面当有一块 玻璃，让一个小球从高尔顿钉板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层 小木块碰撞，最后掉入高尔顿钉板下方的某一个球槽内。 教师活动：那么小球下落后，我们就要观察每个球槽内小球的个数，因此在这之前要把球槽 进行编号，以方便我们观察，然后多次重复这个实验，就可以发现掉入各个球槽 内的小球的个数，小球堆积的高度越来越高。为了更好的研究实验结果呈现的现 象，我们将结果化成频率直方图，请同学们也仔细观察频率直方图，总之整个实 验过程分三个步骤，小球下落——观察小球个数——观察频率直方图。现在我们 开始做实验。 ?老师演示：打开实验flash ，进行演示。最后将实验300次、600次、1500次、3000次得频 率直方图同时显示，让学生更好的观察。 300次 600次 1500次 3000次 我们发现随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状越来越像是一条曲线，它的形状像我们寺庙里面的钟，我们也把它叫钟型曲线。 这条曲线就是我们今天要研究的正态分布密度曲线，简称正态曲线。它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，正态曲线可用下面函数的图象来表示或近似表示： 这个函数是： 式中的实数μ、)0(>σσ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,()x μσ?的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．有些同学有疑问了，这个函数解析式是怎么来的呢？这个问题以同学现在的知识还无法推导出来，等同学到了大学进一步学习概率论等统计数学时，就可以通过大数定律正确的推导出来，但是现在我们不做要求，有兴趣的同学可以回去查阅书籍，现在同学们只要牢牢记住这个函数式就行了。 【环节二：动手练习，巩固概念】及时用习题巩固概念，有利于学生对正态函数的掌握。吉林省吉林市第一校高中数学 正态分布学案 新人教A选修
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正态分布概率公式(部分)
图 62正态分布概率密度函数的曲线 正态曲线可用方程式表示。 n 当 →∞时，可由二项分布概率函数方程推导出正态 分布曲线的方程：
fx= （61 ） () .6
式中： x—所研究的变数； fx —某一定值 x出现的函数值，一般称为概率 () 密度函数 （由于间断性分布已转变成连续性分布，因而我们只能计算变量落在某 一区间的概率， 不能计算变量取某一值， 即某一点时的概率， 所以用 “概率密度” 一词以与概率相区分），相当于曲线 x值的纵轴高度； p—常数，等于 31 .4 19……； e— 常数，等于 2788……； μ 为总体参数，是所研究总体 5 .12 的平均数， 不同的正态总体具有不同的 μ ， 但对某一定总体的 μ 是一个常数； δ 也为总体参数， 表示所研究总体的标准差， 不同的正态总体具有不同的 δ ， 但对某一定总体的 δ 是一个常数。 上述公式表示随机变数 x的分布叫作正态分布， 记作 N μ ,δ2 )， “具 ( 读作 2 平均数为 μ，方差为 δ 的正态分布”。正态分布概率密度函数的曲线叫正态 曲线，形状见图 62。 （二）正态分布的特性
1、正态分布曲线是以 x μ 为对称轴，向左右两侧作对称分布。因 =
的
数值无论正负， 只要其绝对值相等， 代入公式 61 ） （ .6 所得的 fx 是相等的， () 即在平均数 μ 的左方或右方，只要距离相等，其 fx 就相等，因此其分布是 () 对称的。在正态分布下，算术平均数、中位数、众数三者合一位于 μ 点上。2016_2017学年高中数学第二章概率2.6正态分布学案
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