张喜林制
2.8 正态分布
教材知识检索
考点知识清单
1．正态分布是现实中最常见的分布，它有两个重要的参数；均值μ和方差),0(2>σσ通常用 表示X 服从参数为2σμ和的正态分布，其中μ 是总体的 .,σ是总体的
2．正态分布密度函数满足以下性质：
(1)函数图像关于直线 对称．
)0()2(>σσ的大小决定函数图像的
=+<<-)()3(σμσμX P
=+<<-)22(σμσμX P
=+<<-)33(σμσμX P
要点核心解读
1．正态密度曲线
正态变量概率密度曲线的函数表达式为
,,21
.)(22
)(R x e x P u x ∈?=--σσπ
其中σμ,是参数，且.,0R ∈>μσ
上式中的参数σμ和分别为正态变量的数学期望和标准差．正态变量概率密度函数的图像叫做正态密度曲线．
[注意] (1)由上述函数特点知，随机变量X 落在区间(a ，b)的概率为),()(~)(x d x P b X a P b
a ?<< 也就是说，由正态密度曲线，分别过点(a ，0)，(
b ，0)的两条垂直x 轴的直线及x 轴所围成的平面图形的面积，就是X 落在区间(a ，6)的概率的近似值，如图2-8 -1所示．
（续）
(2)曲线与x 轴之间的面积为1．
2．正态分布
若X 是一个随机变量，对任给区间)(],,(b x a P b a ≤<恰好是正态密度曲线下方和x 轴上（a ，b]上方所围成的图形的面积，我们就称随机变量X 服从参数为2σμ和的正态分布，简记为).,(~2σμN X
[注意] (1)正态分布完全由参数σμ和确定，所以正态分布常记作),,(2σμN 如果随机变量X 服从正态分布，则记作?),(~2σμN X 我们把1,0==σμ的正态分布叫做标准正态分布．
(2)正态分布是自然界中最常见的一种分布，在理论研究和实际应用中都有非常重要的作用．
(3)在实际中，如果一个随机变量是由众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素所引起的，则它服从或近似服从正态分布．
(4)参数σμ和可分别用样本的均值（期望）和标准差去估计，
3．正态密度曲线的性质
从正态密度曲线图像可以看出，正态密度曲线具有以下性质：
(1)曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交，且关于直线μ=x 对称；
(2)曲线在μ=x 时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状；
(3)曲线的形状由参数σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“高瘦”．
性质(1)说明了函数具有值域（函数值为正）及函数的渐近线（x 轴）．并且说明了函数具有对称性；性质(2)说明了函数在μ=x 时取最值；性质(3)说明σ越大，总体分布越分散，σ越小，总体分布越集中．
4．随机变量取值的概率与面积的关系
若随机变量ξ服从正态分布),,(2
σμN 那么对于任意实数),(b a b a <、当随机变量ξ在区间（a ，b]上取值时，其取值的概率与正态曲线与直线b x a x ==,以及x 轴所围成的图形的面积相等，如图2 -8 -3(1)中的阴影部分的面积就是随机变量ξ在区间（a,b]上取值的概率，
一般地，当随机变量在区间),(a -∞上取值时，其取值的概率是正态曲线在a x =左侧以及x 轴围成图
2.4.1正态分布 【教学目标】 了解正态分布的意义，掌握正态分布曲线的主要性质及正态分布的简单应用。 了解假设检验的基本思想，会用质量控制图对产品的质量进行检测，对生产过程进行控制。 【教学重难点】 教学重点：1.正态分布曲线的特点； 2.正态分布曲线所表示的意义. 教学难点：1.在实际中什么样的随机变量服从正态分布； 2．正态分布曲线所表示的意义. 【教学过程】 设置情境，引入新课 这是一块高尔顿板，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内。 问题1.在投放小球之前，你能知道这个小球落在哪个球槽中吗？ 问题2.重复进行高尔顿板试验，随着试验次数的增加，掉入每个球槽中小球的个数代表什么？ 问题3.为了更好的研究小球分布情况，对各个球槽进行编号，以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽的频率值为纵坐标，你能画出它的频率分布直方图吗？ 问题4.随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会发生什么样的变化？ 二、合作探究，得出概念 随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会越来越像一条钟形曲线 . 这条曲线可以近似下列函数的图像： 22 ()2,(),(,), 2x x e x μσμσ?πσ-- =∈-∞+∞ 其中实数(0)μσσ>和为参数，我们称,() x μσ?的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线。 问题5.如果在高尔顿板的底部建立一个水平坐标轴，其刻度单位为球槽的宽度，X 表示一个
随机变量，X 落在区间(,]a b 的概率为什么？其几何意义是什么？ 一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足 ,(
主备人： 审核： 包科领导： 年级组长： 使用时间： 正态分布 【学习目标】 1、了解正态曲线的形状； 2、会求服从正态分布的随机变量X 的概率分布 【重点、难点】 会求服从正态分布的随机变量X 的概率分布 【使用说明与学法指导】 1、根据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案； 2、用红笔勾画出疑难点，提交小组讨论； 3、带※ 为选做题; 【自主探究】 1、正态曲线： 函数22 2) (,21)(σμσμσ π?--=x e x ，),(+∞-∞∈x ，（其中实数μ和σ)0(>σ为参数）的图 象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线． 2、正态分布： 如果对于任何实数b a <，随机变量X 满足， )(b X a P ≤<= ， 则称X 的分布为正态分布． 记作：X ～N （ ）． 3、正态曲线的特点： （1）曲线位于x 轴 ，与x 轴 ； （2）曲线是单峰的，它关于直线 对称； （3）曲线在 处达到峰值 ； （4）曲线与x 轴之间的面积为 ． 4、正态曲线随着μ和σ的变化情况： ①当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴 ； ②当μ一定时，曲线的 由σ确定． σ越小，曲线越“ ”，表示总体的分布越 ；σ越大，曲线越“ ”，表示总体的分布越 ． 5、正态分布中的三个概率： =+≤<-)(σμσμX P ； =+≤<-)22(σμσμX P ； =+≤<-)33(σμσμX P ． 【合作探究】
1、若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值等于 π241，求该正 态分布的概率密度函数的解析式． 2、某地区数学考试的成绩X 服从正态分布，其密度函数曲线图形最高点坐标（π281,60）， 成绩X 位于区间(]68,52的概率是多少？ 3、在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～)100,90(N ． （1）试求考试成绩ξ位于区间（70，110）上的概率是多少？ （2）若这次考试共有 2000名考生，试估计考试成绩在（80，100）间的考生大约有多少人？ 4、商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布)1.0,10(2N （单位：kg ）任选一袋这种大米，质量在9.8～10.2kg 的概率是多少？ 【巩固提高】 1.若2) 1(221 )(--=x e x f π，则下列正确的是（ ）． A ．有最大值、最小值 B ．有最大值，无最小值 C ．无最大值，有最小值 D ．无最大值、最小值 2．设随机变量ξ～)4,2(N ，则)21 (ξD = ( ) ． A ．1 B ．2 C ． 21 D ． 4 3．若随机变量满足正态分布),(2σμN ，则关于正态曲线性质的叙述正确的是（ ）． A ．σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦” B ．σ越小，曲线越“矮胖”，σ越大，曲线越“高瘦” C ．σ的大小，和曲线的“高瘦”、“矮胖”没有关系 D ．曲线的“高瘦”、“矮胖”受到μ的影响 4．期望是2，标准差为π2的正态分布密度函数的解析式是 ． 5．若随机变量X ～)2,5(2 N ，则 =≤<)73(X P ． 课堂小结—————————————————————————————————
1 / 14 张喜林制 2.2.1 等差数列 教材知识检索 考点知识清单 1．等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的 都等于____ ，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数d 叫做等差数列的 . 2．等差数列的单调性：等差数列的公差 时，数列为递增数列；等差数列的公差 时，数列 为递减数列； 等差数列的公差 时，数列为常数列．等差数列不会是 ． 3．等差数列的通项公式=n a 4．要证明数列}{n a 为等差数列，只要证明：当2≥n 时， 要点核心解读 1．等差数列的定义 在等差数列的定义中，要强调“从第二项起”和“同一常数”，这体现了等差数列的基本特征，还要注意公差是“每一项与它前一项的差”，防止将被减数和减数颠倒，如果用数学符号来描述，可叙述为： 若d n d a a n n ,2(]≥=-- 为常数） ，则}{n a 是等差数列．还可以写成：若d N n d a a u n ,1++∈<=- 为常数），则}{n a 是等差数列． [注意] 以上定义中的常数是相对于变量n （项数）而言的． 2．等差中项 如果a 、b 、c 成等差数列，则称b 是a 与c 的等差中项， 由以上定义知：b 是a 与c 的等差中项甘a 、b 、c 成等差数列2 2c a b b c a += ?=+? 3．等差数列的判定 (1)用定义判定：即判定d a a n n =-+1（常数）)(+∈N n 或1 22++=+n n n a a a （即)112n n n n a a a a -=-+++ 是否成立． (2)用通项公式判定：即用}{n a 为等差数列q pn a n +=?q p 、(为常数）判定．
_2.4正态分布 [对应学生用书P39] 1．正态曲线 正态变量概率密度曲线的函数表达式为f(x)＝ 1 2π·σ 2 2 e 2 xμ σ () － － ，x∈R，其中参数μ为正 态分布变量的数学期望，μ∈(－∞，＋∞)；σ为正态分布变量的标准差，σ∈(0，＋∞)．正态变量的概率密度函数(即f(x))的图象叫做正态曲线． 期望为μ，标准差为σ的正态分布通常记作N(μ，σ2)，μ＝0，σ＝1的正态分布叫标准正态分布． 2．正态曲线的性质 (1)曲线在x轴的上方，并且关于直线x＝μ对称； (2)曲线在x＝μ时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状； (3)曲线的形状由参数σ确定，σ越大，曲线“矮胖”；σ越小，曲线越“高瘦”． 3．正态分布的3σ原则 P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝68.3%； P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝95.4%； P(μ－3σ＜X＜μ＋2σ)＝99.7%. 可知正态变量的取值几乎都在距x＝μ三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则． 1．正态分布密度函数及正态曲线完全由变量μ和σ确定．参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计． 2．对于正态曲线的性质，应结合正态曲线的特点去理解、记忆． [对应学生用书P40] [例1] 析式，求出总体随机变量的期望和方差．
[思路点拨] 给出了一个正态曲线，就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的期望、标准差及解析式． [精解详析] 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x ＝20对称，最大值是1 2π， 所以μ＝20. 由 12π·σ＝1 2π ，得σ＝ 2. 于是概率密度函数的解析式是 f (x )＝ 12π · e x 2204 ()－－ ，x ∈(－∞，＋∞)， 总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2. [一点通] 利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ，具体方法如下： (1)正态曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称，由此性质结合图象求μ. (2)正态曲线在x ＝μ处达到峰值，由此性质结合图象可求σ. 1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f (x )的图象，且f (x )＝ 18πe x 2 108 ()－－ ，则 这个正态总体的均值与标准差分别是( ) A ．10与8 B ．10与2 C ．8与10 D ．2与10 解析：由正态曲线f (x )＝ 12πσ x 22 e 2()σ－－ μ知， ? ???? 2πσ＝8π，μ＝10，即μ＝10，σ＝2. 答案：B 2．如图是正态分布N (μ，σ21)，N (μ，σ22)，N (μ，σ23)(σ1，σ2，σ3>0)相应的曲线，那么σ1， σ2，σ3的大小关系是( )
精品导学案：2． 4正态分布 教学目标： 知识与技能：掌握正态分布在实际生活中的意义和作用。 过程与方法：结合正态曲线，加深对正态密度函数的理理。 情感、态度与价值观：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。 教学重点：正态分布曲线的性质、标准正态曲线N(0，1) 。 教学难点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。 教学课时：3课时 教具准备：多媒体、实物投影仪。 教学设想：在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口，正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布。 内容分析： 1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布 布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布 2．正态分布是可以用函数形式来表述的其密度函数可写成： 2 2 () 2 (),(,) x f x x μ σ - - =∈-∞+∞，（σ＞0） 由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的常把它记为) , (2 σ μ N 3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x 轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的 4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征 5．由于正态分布是由其平均数μ和标准差σ唯一决定的，因此从某种意义上说，正态分布就有好多好多，这给我们深入研究带来一定的困难 研究N（0，1），其他的正态分布都可以通过) ( ) ( σ μ - Φ = x x F转化为N（0，1），我们把N （0，1）称为标准正态分布，其密度函数为 2 2 1 2 1 ) (x e x F- = π ，x∈（-∞，+∞），从而使正态分布的研究得以简化 6．结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质正态曲线的作图较难，教科书没做要求，授课时可以借助几何画板作图，学生只要了解大致的情形就行了，关键是能通过正态曲线，引导学生归纳其性质 教学过程： 学生探究过程： 复习引入： 总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组
1.3 简单的逻辑联结词 教材知识检索 考点知识清单 1．“p 且q ”就是用联结词“ ① ”把命题p 和命题q 联结起来，得到的新命题． 2．“p 或q ”就是用联结词“ ② ”把命题p 和命题q 联结起来，得到的新命题． 3．对一个命题p ③ ，得到的新命题，记作ip ，读作“ ④ ”或“ ⑤ ”． 4．已知p 、q 的真假时，常用下列表格判断“p 且q ”“p 或q ”“非p ”的真假． 要点核心解读 一、逻辑联结词“且” 1．定义：用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，就得到一个新命题，记作,q p ∧读作”，且q p 其中符号“∧”读作“合取”． 2．判断命题“p 且q”的真假：当p 、q 都是真命题时，“p 且q”为真命题；当p 、q 两个命题中只要有一个命题为假命题时，“p 且q”就为假命题． [注意]．逻辑联结词“且”与集合中“交集”的概念有关，与A x x B A x ∈=∈|{ 且}B x ∈中的“且”意义相同，即”“A x ∈”“B x ∈这两个条件都要满足， 举一个与“且”有关的实际例子：电子保险门在“钥匙插入”且“密码正确”两个条件都满足时，才会开启，相应的电路，就叫与门电路． 二、逻辑联结词“或” 1．定义：用逻辑联结词“或”把命题 p 和命题q 联结起来，就得到一个新命题，记作,q p ∨读 作“p 或q”，其中符号“∨”读作“析取”． 2．判断命题“p 或q”的真假：当p 、q 两个命题中，只要有一个命题为真命题时，“p 或q”就为真命题；当p 、q 两个命题都为假命题时，“p 或q”为假命题． [注意] 对“或”的理解，可联想并集的概念，”“B A x ∈是指”“A x ∈或”“B x ∈其中至少有一 个是成立的，即为”“A x ∈且”B x ?还可以为A x ?且”B x ∈也可以为”“A x ∈且”B x ∈逻辑联结词中 的“或”的含义与“并集”中的“或”的含义是一致的，它们都不同于生活用语中的“或”的含义，生活
§2.4 正态分布 1．了解正态曲线的形状； 2．会求服从正态分布的随机变量X 的概率分布． 一、课前准备 （预习教材P 80~ P 86，找出疑惑之处） 复习1：函数22 21 )(x e x f -=π的定义域是 ；它是 （奇或偶）函数； 当=x 时，函数有最 值，是 ． 复习2：已知抛物线322++-=x x y ，则其对称轴为 ；该曲线与直线1=x ，2=x ，x 轴所围的成的图形的面积是？ 二、新课导学 ※ 学习探究 探究： 1．一所学校同年级的同学的身高，特别高的同学比较少，特别矮的同学也不多，大都集中在某个高度左右； 2．某种电子产品的使用寿命也都接近某一个数，使用期过长，或过短的产品相对较少． 生活中这样的现象很多，是否可以用数学模型来刻划呢？ 新知1：正态曲线： 函数22 2)(,21 )(σμσμσπ?--=x e x ，),(+∞-∞∈x ，（其中实数μ和σ)0(>σ为参数）的图象为正态 分布密度曲线，简称正态曲线． 试试：下列函数是正态密度函数的是（ ） A ．222)(21 )(σμπσ-=x e x f ，)0(,>σσμ是实数
B ．2222)(x e x f -= ππ C ．4)1(2221 )(--=x e x f π D ．2 2 21 )(x e x f π= 新知2：正态分布： 如果对于任何实数b a <，随机变量X 满足，)(b X a P ≤<= ， 则称X 的分布为正态分布．记作：X ～N （ ）． 新知3：正态曲线的特点： （1）曲线位于x 轴 ，与x 轴 ； （2）曲线是单峰的，它关于直线 对称； （3）曲线在 处达到峰值 ； （4）曲线与x 轴之间的面积为 ． 新知4：正态曲线随着μ和σ的变化情况： ①当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴 ； ②当μ一定时，曲线的 由σ确定． σ越小，曲线越“ ”，表示总体的分布越 ；σ越大，曲线越“ ”，表示总体的分布越 ． 试试：把一个正态曲线a 沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b ，下列说法中不正确的是（ ）． A ．曲线b 仍然是正态曲线 B ．曲线a 和曲线b 的最高点的纵坐标相等 C ．以曲线b 为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a 为概率密度曲线的总体的期望大2 D ．以曲线b 为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a 为概率密度曲线的总体的方差大2
张喜林制 2.8 正态分布 教材知识检索 考点知识清单 1．正态分布是现实中最常见的分布，它有两个重要的参数；均值μ和方差),0(2>σσ通常用 表示X 服从参数为2σμ和的正态分布，其中μ 是总体的 .,σ是总体的 2．正态分布密度函数满足以下性质： (1)函数图像关于直线 对称． )0()2(>σσ的大小决定函数图像的 =+<<-)()3(σμσμX P =+<<-)22(σμσμX P =+<<-)33(σμσμX P 要点核心解读 1．正态密度曲线 正态变量概率密度曲线的函数表达式为 ,,21 .)(22 )(R x e x P u x ∈?=--σσπ 其中σμ,是参数，且.,0R ∈>μσ 上式中的参数σμ和分别为正态变量的数学期望和标准差．正态变量概率密度函数的图像叫做正态密度曲线． [注意] (1)由上述函数特点知，随机变量X 落在区间(a ，b)的概率为),()(~)(x d x P b X a P b a ?<< 也就是说，由正态密度曲线，分别过点(a ，0)，( b ，0)的两条垂直x 轴的直线及x 轴所围成的平面图形的面积，就是X 落在区间(a ，6)的概率的近似值，如图2-8 -1所示． （续）
(2)曲线与x 轴之间的面积为1． 2．正态分布 若X 是一个随机变量，对任给区间)(],,(b x a P b a ≤<恰好是正态密度曲线下方和x 轴上（a ，b]上方所围成的图形的面积，我们就称随机变量X 服从参数为2σμ和的正态分布，简记为).,(~2σμN X [注意] (1)正态分布完全由参数σμ和确定，所以正态分布常记作),,(2σμN 如果随机变量X 服从正态分布，则记作?),(~2σμN X 我们把1,0==σμ的正态分布叫做标准正态分布． (2)正态分布是自然界中最常见的一种分布，在理论研究和实际应用中都有非常重要的作用． (3)在实际中，如果一个随机变量是由众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素所引起的，则它服从或近似服从正态分布． (4)参数σμ和可分别用样本的均值（期望）和标准差去估计， 3．正态密度曲线的性质 从正态密度曲线图像可以看出，正态密度曲线具有以下性质： (1)曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交，且关于直线μ=x 对称； (2)曲线在μ=x 时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状； (3)曲线的形状由参数σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“高瘦”． 性质(1)说明了函数具有值域（函数值为正）及函数的渐近线（x 轴）．并且说明了函数具有对称性；性质(2)说明了函数在μ=x 时取最值；性质(3)说明σ越大，总体分布越分散，σ越小，总体分布越集中． 4．随机变量取值的概率与面积的关系 若随机变量ξ服从正态分布),,(2 σμN 那么对于任意实数),(b a b a <、当随机变量ξ在区间（a ，b]上取值时，其取值的概率与正态曲线与直线b x a x ==,以及x 轴所围成的图形的面积相等，如图2 -8 -3(1)中的阴影部分的面积就是随机变量ξ在区间（a,b]上取值的概率， 一般地，当随机变量在区间),(a -∞上取值时，其取值的概率是正态曲线在a x =左侧以及x 轴围成图
张喜林制 3.4 不等式的实际应用 教材知识检索 考点知识清单 1．在许多实际问题中，需要设 ，列 求解． 2．解有关不等式的应用题时，首先要用 表示题中 ，然后由题中给出的 关系，列出 关于未知数 ，解所列出的关于 ，写出 要点核心解读 1．在不等式的应用中建立不等式的主要途径 (1)利用问题的几何意义；(2)利用判别式；(3)利用函数的有界性；(4)利用函数的单调性；(5)利用均值不等式等，只要建立起数学模型，问题就不难解决了． 2．解答不等式应用题的一般步骤 解答不等式应用题，一般可分为如下四步： (1)阅读理解材料：应用题所用语言多为“文字语言，符号语言，图形语言”并用，我们要细心领悟商题的实际背景，分析各八量之间的关系，形成思路，想办法把实际问题抽象成数学模型。 (2)建立数学模型：根据题意，把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且建立所得数学模型和已知数学模型的对应关系埘^便确立下一步的努力方向。 (3)讨论不等关系：根据(2)中建立起来的数学模型和题目要求，讨论和结论有关的不等关系，得到有关理论参数的值．(4)作出同题结论：根据(3)中得到的理论参数的值，结合题目要求作出问题的结论。 典例分类剖析 考点1 作差法解决实际问题 命题规律 (1)利用作差法原理，即b a b a >?>-0解决实际中的一些应用问题． (2)往往以“速度问题，提价、降价问题等”来考查运用作差法解决实际问题的能力． [例1] 现有A 、B 、C 、D 四个长方体容器，A ，B 的底面积为,2 a 高分别为a 和 b ，C ，D 的底面积均为 ,2b 高分别为a 和b （其中a ≠b ） ．现规定一种游戏规则：每人一次从四个容器中取两个．盛水多者为胜，问先取者有没有必胜的方案？若有的话有几种？ [解析】 依题可知A ，B ，C ，D 四个容器的容积分别为,3a .,,322b ab b a 按照游戏规则，问题可转化
正态分布教案 学院数学与计算机科学学院专业数学与计算机年级 2008级 执教者王黎玲学号 105062008020 指导老师袁智强老师 教材：人民教育出版社A版选修2-3第二章第四节 一、教学目标 二、教学重点与难点
三、教学的方法与手段 四、教学过程 【环节一：创设情境，导入新知】通过对高尔顿这位伟大的统计学家的介绍，引出高尔顿钉板实验。 教师活动：今天上新课之前我们要先来做一个实验——高尔顿顶板实验，那么实验之前老师想问同学们有谁认识高尔顿呢？ 学生预案：高尔顿？ 教师活动：看来同学们对高尔顿不是很熟悉。那么同学们认识达尔文吗？ 学生预案：知道。 教师活动：达尔文他出版的《物种起源》这一划时代的著作，提出了生物进化论学说，被恩格斯列为19世纪自然科学的三大发现之一。而高尔顿是英国著名的人类学家、 生物统计学家，他是生物统计学派的奠基人，也是著名生物学家达尔文的表弟， 正是因为达尔文《物种起源》的问世，才触动了高尔顿对生物统计学的研究，而 等等我们要进行的高尔顿钉板实验，就是高尔顿在收集统计数据时进行的的实 验。 教师活动：那么高尔顿钉板的实验原理是什么呢？首先在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面当有一块 玻璃，让一个小球从高尔顿钉板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层 小木块碰撞，最后掉入高尔顿钉板下方的某一个球槽内。 教师活动：那么小球下落后，我们就要观察每个球槽内小球的个数，因此在这之前要把球槽进行编号，以方便我们观察，然后多次重复这个实验，就可以发现掉入各个球槽 内的小球的个数，小球堆积的高度越来越高。为了更好的研究实验结果呈现的现 象，我们将结果化成频率直方图，请同学们也仔细观察频率直方图，总之整个实 验过程分三个步骤，小球下落——观察小球个数——观察频率直方图。现在我们 开始做实验。 老师演示：打开实验flash，进行演示。最后将实验300次、600次、1500次、3000次得频率直方图同时显示，让学生更好的观察。 300次 600次
张喜林制 2.2 超几何分布 教材知识检索 考点知识清单 1．-般地，若一个随机变量X 的分布列为,)(N r n M N r M C C C r X P --==其中},,min{,,,3,2,1,0M n l l r == ,,,,,+∈≤≤N N M n N M N n 则称X 服从超几何分布，n N r n M N r M C C C r X P --==)(中的N 代表 ，M 代表 ，n 代表 ，r 代表 2．对一般情形，一批产品共N 件，其中有M 件次品，从中随机取出的n 件产品中，次品数x 的概率分布如下表所示： 则① ，② ，③ ，④ ． 要点核心解读 1．超几何分布的概念 (1)-般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件}{r X =发生的概 率为==)(r X P n N r n M N r M C C C --,,,2,1,0l r =（其中},,min{n M l =且,,,n N M N n ≤≤),,+∈N N M 称该分布列为超几何分布列，如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布． (2)超几何分布这一模型在高考、统考中应用广泛，在使用时要注意以下几点： ①可以借助概率分布，观察其中的规律，再把这种规律推广到一般情形，即求出从含有M 件次品的 )(M N N ≥件产品中任取n 件，取到次品数X 的概率分布，而不必生搬硬套公式（容易记错）． ②要注意解释超几何分布的引入背景．如“在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品……”，这里“任取n 件”等价于从所有的产品中依次不放回地任取n 件， ③思考在一般情况下表示次品件数的随机变量x 的取值范围是什么，以得到概率分布列的完整的解析 表达式==)(r X P ,,,2,1,0,l r C C C n N r n M N r M =--其中}.,min{M n l =解题时要标明随机变量的取值范围． 2．超几何分布的应用 (1)超几何分布是一种常见的随机变量的分布，要熟记公式，正确应用公式解题．
2．6 正态分布 3．掌握运用正态分布解决实际问题的方法． 1．正态密度曲线 x － μ ) 2 μ ，x ∈ R ，其中实数 μ 和 σ 为参数， P (x ) x 的图象为正 2．正态分布 3．正态曲线的性质 (1) 当 x <μ 时，曲线上升；当 x >μ 时，曲线下降；当曲线向左右两边无限延 伸时，以 x 轴为渐近线； (2) 正态曲线关于直线 x ＝μ 对称； (3) σ 越大，正态曲线越扁平； σ 越小，正态曲线越尖陡； (4) 在正态曲线下方和 x 轴上方范围内的区域面积为 1. 4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 落在区间 ( μ－σ，μ＋σ) 上的概率约为 68.3%， 落在区间 ( μ－2σ，μ＋2σ) 上的概率约为 95.4%， 落在区间 ( μ－3σ， μ＋3σ) 上的概率约为 99.7%. 义． 1. 了解正态密度函数的概念． 2. 理解正态密度函数的特点及曲线所表示的意 1 函数 P (x ) ＝ e － 2πσ 态密度曲线 (如图所 2σ2 正态分布完全由参数 服从正态分布，记为 X ～ N ( 和σ 确定，因此正态分布记作 2 μ，σ ) ． N ( μ， σ2 ) ．如果随机变量 X
1．判断 ( 正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 函数 p ( x ) 中参数 μ，σ的意义分别是样本的均值与方差． ( ) (2) 正态曲线是单峰的，其与 x 轴围成的面积是随参数 μ，σ的变化而变化的． ( ) (3) 正态曲线可以关于 y 轴对称． ( ) 答案： (1) × (2) × (3) √ 2．设随机变量 X ～N (μ，σ2 ) ，且 P ( X ≤ C ) ＝ P ( X > C ) ，则 C ＝( ) 答案： D 答案： D 【解】 (1) 由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数， 所以其图象关于 y 轴对称， 即 μ＝ 0. A ．0 B ．σ C ．－ μ D ．μ 3．已知随机变量 X 服从正态分布 N (3， )，则 P ( X < 3) ＝( 1 A. 5 B. C. 1 D.12 4．已知正态分布密度函 2 x x ∈ ( －∞，＋∞ ) ，则该正态 分布的均 P(x)＝ 2πe － 4π 正态分布密度函数与正态
张喜林制 2.3.2 等比数列的前n 项和 教材知识检索 考点知识清单 1．等比数列}{n a 的前n 项和为,n S 当公比1=/q 时，=n s = 当q=l 时，=n S 2．若数列}{n a 的前n 项和),1(n n q p s -=且,1,0=/=/q q 则数列}{n a 是 3．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中共有n n S q n a a ,,,,1五个量，在这五个量中 4．在等比数列中，若项数为偶s N n n ),(2+∈与奇S 分别为偶数项与奇数项的和，则=÷奇偶S S 5．数列}{n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则--n n n n s s s s 32,,,,2 n s 仍构成 要点核心解读 1．等比数列前n 项和公式 (1)前n 项和公式的导出， 解法一：设等比数列 ,,,,,321n a a a a 它的前n 项和是 ?+++=n n a a a S 21 由等比数列的通项公式可将n S 写成 112111-++++=n n q a q a q a a s ① ①式两边同乘以q ，得 .131211n n q a q a q a q a qs ++++= ② ①一②，得,)1(11n n q a a S q -=- 由此得1=/q 时，q q a s n n --=1)1(1 ,11-=n n q a a
所以上式可化为q q a a s n n --=11 当q=l 时，?=1na s n 解法二：由等比数列的定义知?====-q a a a a a a n n 1 2312 当1=/q 时，,12132q a a a a a a n n =++++++- 即?=--q a S a s n n n 1 故当1=/q 时，q q a q q a a S n n n --=--=1)1(111 当q=l 时，?=1na s n 解法三：112111-++++=n n q a q a q a a S )(21111-++++=n q a q a a q a 11-+=n qs a ).(1n n a s q a -+= 当1=/q 时，q q a q q a a s n n n --=--=1)1(111 当q=l 时，?=1na S n (2)注意问题， ①上述证法中，解法一为错位相减法，解法二为合比定理法，解法三为拆项法．各种解法在今后的解题中都经常用到，要用心体会， ②公比为1与公比不为1时公式不同，若公比为字母，要注意分类讨论． ③当已知n q a ,,1时，用公式,1)1(1q q a S n n --=当已知,,1q a n a 时，用公式q q a a S n n --=11 ④在解决等比数列问题时，如已知n n s q n a a ,,,,1中的任意三个量，可由通项公式或前n 项和公式求解其余两个量． (3)等比数列前n 项和的一般形式 一般地，如果q a ,1是确定的，那么--=--=q a q q a S n n 11)1(11,11n q q a -设,11q a A -=则上式可写为 ?=/-=)1(q Aq A s n n
2.6 正态分布 1．了解正态密度曲线及正态分布的概念，认识正态密度曲线的特征．(重点、难点) 2．会根据标准正态分布求随机变量在一定范围内取值的概率，会用正态分布解决实际问题．(重点) [基础·初探] 教材整理1 正态密度曲线 阅读教材P 75～P 76第三自然段，完成下列问题． 1．正态密度曲线的函数表达式是P (x )＝ 12πσ e － x －μ 2σ2 ，x ∈R ，这里有两个参数μ 和σ，其中μ是随机变量X 的均值，σ2 是随机变量X 的方差，且σ>0，μ∈R .不同的μ和σ对应着不同的正态密度曲线． 2．正态密度曲线图象具有如下特征： (1)当x <μ时，曲线上升；当x >μ时，曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸时，以 x 轴为渐近线； (2)正态曲线关于直线x ＝μ对称； (3)σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡； (4)在正态曲线下方和x 轴上方范围内的区域面积为1. 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正态变量函数表达式中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．( ) (2)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量．( ) (3)正态曲线是一条钟形曲线．( ) (4)离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述，连续型随机变量的概率分布
用分布列描述．( ) 【解析】(1)×因为正态分布变量函数表述式中参数μ是随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计，而σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，用样本的标准差去估计． (2)√因为离散型随机变量最多取有限个不同值．而连续型随机变量可能取某个区间上的任何值． (3)√由正态分布曲线的形状可知该说法正确． (4)×因为离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，连续型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线(函数)描述． 【答案】(1)×(2)√(3)√(4)× 2．把一条正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线b，下列说法中不正确的是______． (填序号) ①曲线b仍然是正态曲线； ②曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等； ③以曲线b为正态分布的总体的方差比以曲线a为正态分布的总体的方差大2； ④以曲线b为正态分布的总体的均值比以曲线a为正态分布的总体的均值大2. 【解析】正态曲线向右平移2个单位，σ不发生变化，故③错误． 【答案】③ 教材整理2 正态分布 阅读教材P76第四自然段～P79部分，完成下列问题． 1．正态分布：若X是一个随机变量，则对任给区间(a，b]，P(a 正态分布教案学院数学与计算机科学学院专业数学与计算机年级2008级 执教者王黎玲学号指导老师袁智强老师 教?材：人民教育出版社A版选修2-3第二章第四节 一、教学目标 二、教学重点与难点 三、教学的方法与手段 四、教学过程 【环节一：创设情境，导入新知】通过对高尔顿这位伟大的统计学家的介绍，引出高尔顿钉板实验。 教师活动：今天上新课之前我们要先来做一个实验——高尔顿顶板实验，那么实验之前老师 想问同学们有谁认识高尔顿呢？ 学生预案：高尔顿？ 教师活动：看来同学们对高尔顿不是很熟悉。那么同学们认识达尔文吗？ 学生预案：知道。 教师活动：达尔文他出版的《物种起源》这一划时代的着作，提出了生物进化论学说，被恩 格斯列为19世纪自然科学的三大发现之一。而高尔顿是英国着名的人类学家、 生物统计学家，他是生物统计学派的奠基人，也是着名生物学家达尔文的表弟， 正是因为达尔文《物种起源》的问世，才触动了高尔顿对生物统计学的研究，而 等等我们要进行的高尔顿钉板实验，就是高尔顿在收集统计数据时进行的的实 验。 教师活动：那么高尔顿钉板的实验原理是什么呢？首先在一块木板上钉着若干排相互平行但 相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面当有一块 玻璃，让一个小球从高尔顿钉板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层 小木块碰撞，最后掉入高尔顿钉板下方的某一个球槽内。 教师活动：那么小球下落后，我们就要观察每个球槽内小球的个数，因此在这之前要把球槽 进行编号，以方便我们观察，然后多次重复这个实验，就可以发现掉入各个球槽 内的小球的个数，小球堆积的高度越来越高。为了更好的研究实验结果呈现的现 象，我们将结果化成频率直方图，请同学们也仔细观察频率直方图，总之整个实 验过程分三个步骤，小球下落——观察小球个数——观察频率直方图。现在我们 开始做实验。 ?老师演示：打开实验flash ，进行演示。最后将实验300次、600次、1500次、3000次得频 率直方图同时显示，让学生更好的观察。 300次 600次 1500次 3000次 我们发现随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状越来越像是一条曲线，它的形状像我们寺庙里面的钟，我们也把它叫钟型曲线。 这条曲线就是我们今天要研究的正态分布密度曲线，简称正态曲线。它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，正态曲线可用下面函数的图象来表示或近似表示： 这个函数是： 式中的实数μ、)0(>σσ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,()x μσ?的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．有些同学有疑问了，这个函数解析式是怎么来的呢？这个问题以同学现在的知识还无法推导出来，等同学到了大学进一步学习概率论等统计数学时，就可以通过大数定律正确的推导出来，但是现在我们不做要求，有兴趣的同学可以回去查阅书籍，现在同学们只要牢牢记住这个函数式就行了。 【环节二：动手练习，巩固概念】及时用习题巩固概念，有利于学生对正态函数的掌握。 张喜林制 3.5.2 简单线性规划 教材知识检索 考点知识清单 1．线性规划问题： (1)线性约束条件： . (2)线性目标函数： . (3)线性规划问题： . (4)可行解： . (5)可行域： . (6)最优解： . 2．建立线性规划问题的数学模型一般按以下步骤进行： (1) ； (2) ; (3) ; 要点核心解读 1．线性规划问题 (1)线性约束条件：由关于x ，y 的一次不等式形成的约束条件． (2)线性目标函数：由关于两个变量x ，y 的一次式形成的函数． (3)线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题． (4)可行解：满足线性约束条件的解(x ，y). (5)可行域：占所有可行解组成的集合． (6)最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解． 2．目标函数B A C By Ax Z ,{++=不全为零）的理解 0=/B 时，由,C By Ax Z ++=得?-+- =B C Z x B A y 这样，二元一次函数就可视为斜率为,B A -在y 轴上截距为,B C Z -且随Z 变化的一簇平行线，于是，把求Z 的最大值和最小值的问题转化为：直线与可行域有公共点时，直线在y 轴上的截距的最大值或最小值问题．当0>B 时，Z 的值随着直线在y 轴上的截距的增大而增大；当0 (2)确定线性约束条件； (3)确定线性目标函数； (4)画出可行域； (5)利用线性目标函数（直线）求出最优解； (6)实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解． 4．建立线性规划问题的数学模型一般按以下步骤进行 (1)明确问题中有待确定的未知量，并用数学符号表示； (2)明确问题中所有的限制条件（约束条件），并用线性方程或线性不等式表示； (3)明确问题的目标，并用线性函数（目标函数）表示，按问题的不同，求其最大值或最小值． 5．利用线性规划的知识解决 (1)数学中关于求给定区域上的最值问题； (2)求区域的面积等； (3)仿线性规划法、解决其他目标函数的最值问题． 6．可行域可以是一封闭的多边形，也可以是一侧开放的平面区域 而目标函数的最优解一般在边界直线的交点处．其判定方法通常有两种：一是将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的交点便是；二是利用围成可行域的直线斜率来判定． 若围成可行域的直线n l l l ,,,21 的斜率分别为<<< 21k k ,n k 目标函数的直线的斜率为k ，则当 1+< 正态分布教学设计 正态分布教学设计 刘一（湖北省沙市中学） 一、教学目标分析 结合课程标准的要求，学生的实际情况，本节课的教学目标如下： 知识与技能目标： （1）学习正态分布密度函数解析式； （2）认识正态曲线的特点及其表示的意义； 过程与方法目标： （1）设置课前自主学习学案，使学生在课前自学； （2）课堂采用小组合作探究，提高课堂效率；（3）课后设置课后查阅要求，将课堂学习延伸至课外学习。 情感、态度与价值观： （1）以情境引入，以实验作载体，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习热情； （2）运用讨论探究形式，增强学生的合作意识。 二、教学内容解析 正态分布是人教A版选修2-3第二章第四节的 内容，该内容共一课时。之前，学生已经学习了频率分布直方图、离散型随机变量等相关知识，这为本节课学习奠定了基础，而正态分布研究是连续型随机变量，既是对前面内容的补充、拓展，又为学生初步应用正态分布知识解决实际问题提供了理论依据。 三、教学问题诊断 学生已在必修三中学习过频率分布直方图、总体密度曲线，但间隔时间较长，有些遗忘，可能会影响课堂进度。正态曲线的特征较多，证明也较为复杂，如果等到课堂上才开始思考，必定影响课堂容量。本班学生为理科名校班，学生能力较强，要给学生发挥主观能动性的空间。 教学重点： （1）正态分布密度函数解析式； （2）正态曲线的特点及其所表示的意义。 教学难点： 正态曲线的特点 四、教学对策分析 通过两个概念复习题，让学生熟悉本节课需 要用到的知识。设计了很多学生发言的环节，让学生充分的展现自己的能力。为完成教学任务，教师需要在课前为学生提供学案，课堂中引导学生，掌控学习进度。 五、教学基本流程 课前自主学习情境引入高尔顿板实验总体密度曲线 正态曲线与函数课堂练习正 态分布正态曲线特点课堂检测条件及举例课堂小结课 后查阅 六、教学过程设计 （1）课前自主学习： 1.频率分布直方图用什么表示频率？ 2.由频率分布直方图得到总体密度曲线的过程是：首先绘制样本的频率分布折线图，然后随着的无限增加，作图时的减小、的增加，频率分布折线图越来越接近一条光滑曲线，这条曲线就是曲线。 讲解：请第一小组的同学展示课前自主学习的成正态分布教案
3.5.2简单线性规划-王后雄学案
正态分布教学设计
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