量子力学的数学准备(暑期读物)
写在前面的话
06光信、电科的同学们：
暑假开学后我将和你们一起学习量子力学这门课程。由于教学计划调整，量子力学的学时由周五学时缩减为周四学时，加之学期缩短(由18-19周缩短为16-17周)，实际教学时间缩减近三分之一。无论是从学校的要求还是从将来同学们学习后续课程或考研的要求来看，都不允许减少教学内容。为此我编写了一个暑期读物，以期同学们利用暑假在不涉及量子力学的基本原理和有关概念的前提下，能够对量子力学课程中用到的一些数学知识做一个复习和预习，以便开学后在课堂上可适度减少对数学的讲解。我知道大家暑假都很忙，要回家与亲人团聚尽享天伦之乐，要孝敬父母帮着做一些事情，要游览大好河山感受大自然的美，要准备考托考吉考这考那，要准备科技创新、电子大赛，等等等等。但我还是希望大家能拨冗看一下这个读物，此处所说的看决不是指“Look ”，而是指“Read, Deduce and Consider ”，即阅读、推导、思考。为此，带上数学物理方法和线性代数的课本回家是有必要的。
有人说19世纪是机器的世纪，20世纪是信息的世纪，而21世纪将是量子的世纪。让我们为迎接量子世纪的到来做好准备吧！
刘骥 谨此
I.一个积分的计算
计算积分?+∞
∞
--≡
dx e I x
2
????+-+∞
∞
--+∞
∞
--=≡
e
dy e
dx e
I x y x
(2
22
2
θπ
=
+∞-?
?
020
2
r dr rd e π=∴I
由此我们可以得到积分公式：
πn
x n n dx e
x 2
!
)!12(2
2-=
?+∞
∞
--
22
1221222!
)!12(2)32)(12(212212212
22
I n I n n I n dx
e x n de x dx e
x
I n
n n x n x n x n
n -==--=-=
-=-=≡
--∞
∞
---∞
∞---+∞
∞
--??? 问题：对于积分?--≡1
1
2
dx e
J
x
密多项式及相关问题
在处理线性谐振子时会碰到求解下列方程的有限解问题
0)()()
(22
2=-+x y x dx
x y d λ[
2)
(x y 是待求的有限函数，λ下面尝试用级数法求解方程将n
x x
y =)(代入方程(1)
会出现n x
因而方程(1)① 考察方程(1)在区间),
(+∞-∞两端±∞
→x 由于
λ是常数，相对)(2
+∞→x 可忽略，方程(1)在±∞→x 的渐近式为
02=-''
y x y 观察可发现2
/2
x
e
-是方程(2)的近似解。2
/2x e
-当然不是方程(1)的解
)(x y ，但当±∞→x 时)(x y 应表现出2
/2x e
-的渐近行为，于是我们可以
合理地假设)(x y 中应包含因子2
e
-② 令
2
/2
)()(x
e x h x y -=，
代入(1)，得
0)()1()(2)(=-+'-''x h x h x x h λ 方程(3)称为Hermit ③ 级数法求解Hermit 方程 令∑∞
=
)(k k
x a
x h ，代入(3)，
(0∑∞
=k k k [(0
∑∞
=k k
,2,1,0,
)
2)(1(122=++-+=
+k a k k λ
k a k k (4)
由递推公式(4)可以看出，0a 确定后，2a 、4a 、…等所有下标为偶数的展开系数随之确定，1a 确定后，
3a 、5a 、…等所有下标为奇数的展开系数随之确定。
不妨令??
?==奇数，为偶数
为,21k b C a k b C a k k
k k ，21,C C 为任意常数，
则不管k 为偶数还是奇数都有k k b k k λ
k b )
2)(1(122++-+=+ (5)
于是
)
)
11)(7)(3()7)(3(!33()!
6)
9
)(5)(1(!4)5)(1(!21()(7151311260402001 +---+--+-+++---+--+-+
=x b x b x b x b C x b x b x b b C x h λλλλλλλλλλλλ (6)
)()(2211x h C x h C +≡
④)(x y 当λ取任意常数值(λi.对任一有限的x 即使趋向无穷大也不能快于2
/2x e
。
由式(5)，)(1x h 或)(2x h 的相邻项系数比(后项比前项)k
k k λk b b
k k
k 2)2)(1(122??→?++-+=
∞
→+，根据无穷级数收
敛判别法则，条件i 是满足的，即)(1x h 或)(2x h 是收敛的。至于是否满足条件ii ，难以直接看出。为此我们考察函数2
x e
的泰勒展开式 ++++++=)!
2/(!3!21642
2
k x x x x e
k
x ，其相邻项系数比
k
k k k k 21)2(1]!1)2[()!2(??→?+=+∞
→。一个无穷级数在±∞→x 时的渐近行为取决于其高次项，)(1x h 或
)(2x h 与2
x e 有相同的(∞→k )相邻项系数比，因而2
21201)(,)(x x x x xe b x h e b x h ???→????→?±∞→±∞→。显然
这不满足上述的条件ii ，即12+≠n λ时，方程(1)没有有限解。
⑤12+=n λ时，方程(1)有有限解
12+=n λ时，式(5)变为k k b k k n k b )
2)(1()
12(122+++-+=
+，由0b (或1b )可推出n b b b ,,,42 (或n b b b ,,,53 )，
而042===++ n n b b ，)(1x h 或)(2x h 截断成为多项式。±∞→x 时，多项式趋向无穷的速度不快于
2
/2x e
，满足条件ii ，因而我们可以得到方程(1)的有限解。
具体地说，12+=n λ，n 为偶数时，)(1x h 截断成为只含有偶数次幂的n 次多项式，而)(2x h 仍为无穷
级数，此时可选任意常数02=C ，得到方程(1)的有限解2/112
)()(x e x h C x y -=。
12+=n λ，n 为奇数时，)(2x h 截断成为只含有奇数次幂的n 次多项式，而)(1x h 仍为无穷级数，此时
可选任意常数01=C ，得到方程(1)的有限解2
/222)()(x e x h C x y -=。
⑥Hermit(厄密)多项式
12+=n λ时，)(1x h 或)(2x h 截断成为n
次多项式，其中的常数0b 或1b 习惯上这样选取：使多项式
最
高次项的系数为n
2。这样的多项式称为Hermit 多项式，记为)(x H n ，其通项公式：
∑=
-=
]2
[0
)1()(n k n x H 由此通项公式可具体写出任意阶的厄密多项式，如
1)(0=x H ，x x H 2)(1=，24)(22-=x x H ，x x x H 128)(33-=
124816)(244+-=x x x H ，……
归纳起来，方程0)(2
=-+''y x y λ在
12+=n λ时存在有限解，对应的解为
2
/2)()(x n n n e
x H C x y -=，⑦Hermit 多项式的微商表示方法及递推公式 Hermit 多项式还可写为n
x n x n n dx
e
d e
x H 2
2
)
1()(--= (8)
由通项公式(7)可得厄密多项式的一个递推公式
(9)
由微商表示(8)可得第二个递推公式
(10) 由(9),(10)可得第三个递推公式
(11)
⑧常数n C 由归一化条件确定
按照量子力学，)(x y n 应满足归一化条件，即1)()(222
2
==??
+∞∞
--+∞
∞
-dx x H e
C dx
x y n x n
n 。其中的积分值计
算出来后，就能得到常数n C 。将微商表示(8)代入上述积分，得
?
?
+∞∞
--+∞
∞
---=dx dx
e
d x H dx x H
e n
x n n n n x 2
2
)
()1()(2
?
+∞∞
-----=)(
)()1(1
12
n x n n n
dx
e d d x H
?
+∞
∞
----'--=dx dx
e
d x H n x n n
n
1
12
)()1(?
+∞∞
-------=dx dx
e
d
x H n n x n n n 1
111
2
)
()1(2
π
!2)(!22
0n dx e
x H n n x n
===?+∞∞
-- (12)
于是
⑨两个常用的关于)(x y n 递推关系
由(11)得，)(21)()(11x H x nH x xH n n n +-+=，那么)(!21)(2
/2
/12
x xH e n x xy n x
n n -???
? ??=π
)
()!1(2121)()!1(21212
/2
/1112/2
/1122
x H e
n n x H e
n n n x n n x
n +-+---???
? ??+++???
? ??-=ππ
即
利用(10)式)(2)(1x H xH x H n n n +-='，类此上面的计算可得
⑩
)(x y n 满足正交性，即n m dx x y x y n m ≠=?+∞
∞
-,0)()(
证明：不妨设n m >，仿照(12)式中的做法
??+∞
∞
---+∞∞
-=dx e
x H n dx x y x y x n m n
n m 2
)(!2
)()(
再将厄密多项式的微商表示(8)代入，
?--+∞
∞
--=n dx x y x y
n
m n
n
m )1(!2)()(0)1(!21
12
=-=+∞
∞
-------n m x n m n
m n dx
e
d
n
III.δ函数
1．定义 ???=∞≠=0,0
,0)(x x x δ，且1)(=?+∞
∞
-dx x δ。
2．性质 i.)()(x x δδ=-， ii.)0(),(1
)(≠=a x a
a x δδ iii.
)()()(00x f dx x x x f =
-?+∞∞
-δ
3．δ函数是某些通常函数序列的极限
“δ函数显然不是通常意义的函数。人们现在说，它是广义函数。具体地说，它是某种通常函数系列的极限，而这极限是在积分的意义上说的。”（梁昆淼《数学物理方法》第三版，p108）
除了梁昆淼书中给出的三个例子，即 i. )(rect 1)(lim 0l x l x l →=
δ， ii.x Kx
x K sin 1)(lim π
δ∞→= iii. 221)(lim x x +=
∞
→εε
πδε之外，量子力学中还经常用到下面几种： iv. ?+∞∞
-=
dx e
k ikx
π
δ21
)( v. g
x xg x g 2
2)
(sin )(lim
πδ∞
→=
先验证iv ，
k Rk
dx e dx e R R R
ikx R ikx sin 121
21lim
lim
ππ
π
∞
→+-∞
→+∞
∞
-==??
再验证v ，0≠x 时，
0)
(sin 2
2lim =∞
→g
x xg g π
0=x 时，∞→==∞
→→∞→∞
→π
ππg
g
x xg g
x xg g x g g lim
lim
lim lim
2
20
2
2)
(sin )
(sin
∞
-∞→∞
-∞→∞
-∞
→x
g
x g
x g g g 2
2
2
lim
lim π
ππ注意到
π===-=
???
?
+∞
∞-+∞
∞-+∞
∞
-+∞
∞
-dx x
x
x xd dx x x dx x
x 2sin 12cos 2122cos 1sin 2
2
2
1)
(sin 2
2lim =∴
?+∞
∞
-∞
→dx g
x xg g π 符合δ函数的定义。
IV. Kroneck 符号mn δ与Levi-Civita 符号ijk ε
1．Kroneck 符号??
?≠==n
m n
m mn ,0,1δ， Z n m ∈,
引入Kroneck 符号后，可对许多公式进行方便简捷地表达。例如，三维空间的三个相互正交的单位矢量
k j i ,,也可用321,,e e e
表示，则有
111=?e e ，021=?e e
，031=?e e
012=?e e ，122=?e e
，032=?e e 此九式可统一写为mn n m e e δ=?
013=?e e ，023=?e e
，133=?e e
2．Levi-Civita 符号
定义： ??
?
??-=数字有重复i ,0132或321或213为i ,1312或231或123为,1jk jk ijk ijk
ε 可这样记忆：设想只有三个钟点的表盘(如右图)，ijk 按顺时针方向取三个数字，Levi-Civita 符号为+1，逆时针
方向取为-1，ijk 中有两个或三个重复数字则为0。口诀：顺正逆负，重复为零。
性质：kij jki ijk εεε==(下标轮换，符号不变)，ikj jik ijk εεε-=-= (下标对调，改变符号) 例如011=?e e ，321e e e =?， 231e e e
-=?
312e e e -=?，022=?e e
，132e e e =? 213e e e -=?，123e e e -=?，033=?e e
又如角动量i ijk j j i i p x e p e x p r L =?=?=ε)()(
其中第k 个分量j i ijk k p x L ε=
k 取1得第一个分量(x 分量)：233211
p x p x p x L j i ij -==ε
再如熟知的公式)()()(B A C A C B C B A
?-?=??，利用Levi-Civita 符号可以很简洁地证明。
证明：
j i C B A C B A =??)(m k j i ilm jkl e C B A
εε=
m m i i ilm iml e C B A εε=mil ε+m m i i e C B A -=m i m i e C B A
+)()(B A C A C B
?-?=
V. Nabla 算符与Laplace 算符
Nabla 算符就是梯度算符?(读作Nabla)，它对任意函数),,(z y x f 的作用在直角坐标系中表示为
k z f j y f i x f z y x f
??+??+??=?),,(，或写为z
k y j x i ??+??+??=?
那么在球坐标系中，函数)],,(),,,(),,,([),,(),,(z y x z y x x y x r g r g z y x f ?θ?θ==，Nabla 算符又具有什么样的形式？
利用直角坐标和球坐标之间的关系
?????===θ?θ?
θcos sin sin cos sin r z r y r x 和???
????=++=++=x y z y x z z y x r ?θtan cos 2
222
22 则
??θθ????+????+????=??=??g x g x r g x r x g x f ，或写为?
?θθ????+????+????=??x x r x r x 计算得：?θcos sin =??x r ，?θθcos cos 1r x =??，θ
?
?sin sin 1r x -=?? 于是
?
θ?θ?θ?θ??-??+??=??sin sin 1cos cos 1cos sin r r r x
同理
?θ?θ?θ?θ??+??+??=??sin cos 1sin cos 1sin sin r r r y ， θ
θθ??-??=??sin 1cos r r z ???θθ
θ?θ?θθ?θ?θ??+-+??-++??++=?)cos sin (sin 1
)
sin sin cos cos (cos 1)cos sin sin cos (sin j i r k j i r r k j i
注意直角坐标和球坐标系单位矢量间的关系(见右图)
j
i e k j i e k
j i e r
??θ?θ?θθ?θ?θ?θcos sin sin sin cos cos cos cos sin sin cos sin +-=-+=++=
(1)
可得球坐标系中Nabla 算符的具体表达式
Laplace 算符???=?≡?2
，注意到?θe e e r
,,相互正交，且由(1)式可得
0=??=??=??r
e r e r e r ?
θ
， θθ?θ?θθ
e k j i e r
=-+=??sin sin cos cos cos ?θ?θ?θ?
e j i e r sin cos sin sin sin =+-=?? ?θθθ?θ?θθ
e k j i e sin cos sin sin cos sin =---=?? ?θθ?θ?θ?
e j i e cos cos cos sin cos =+-=?? 0=??θ
?e ，
?θ?θθ???
e e e j i e r
⊥+-=--=??)cos (sin sin cos
可得
θ?θ?θθ?θθθ??θ?????+?????+?????+??+??+??=?e e r r e e r r e e r r r r r
r sin 1sin 11sin 112
22
22222222 θθθ?
θθ??
+??+??+??+??=sin cos 2sin 112
222222222r r r r r r
注意：k j i
,,是空间三个相互正交的固定．．方向上的单位矢量，与空间点),,(z y x 或),,(?θr 无关。而?θe e e r
,,是空间三个相互正交的变动．．
方向上的单位矢量，与空间点),,(z y x 或),,(?θr 有关，确切地说与?θ,有关。
VI.函数空间及其矢量
一、三维几何空间中的矢量
在三维几何空间中，所谓矢量是指需其大小和方向两方面来描述的量，如位移、速度等，一般来说是三
维空间中的有向线段。一旦我们在空间中选定一组(此处是三个)线性无关的矢量作为基矢量，比如k j i ,,(相当于选定了直角坐标系)，则任意矢量A 可写为k A j A i A A
321++=，其中321,,A A A 分别是A 在k j i ,,方
?
? ?1A ???
?
? ??=????? ??=????? ??=100,010,001k j i 。
类?θr 球坐标系)，则上述任意矢量
??θθe A e A e A A r r
++=，
或写为????
? ??='?θA A A A r 。显然同一矢量A 在直角坐标系中的矩阵表示A 与在球坐标中的矩阵表示A '是不同的。
以上的讨论实际上意味着这样一个事实，三维几何空间中的任意一个矢量可写成一组完备正交基({}k j i
,,或{}
?θe e e r
,,)的线性组合。
两个矢量A 和B
的内积(点乘)等于在同一完备基下两矢量对应分量的乘积和，即
332211B A B A B A B A ++=?
或??θθB A B A B A B A r r ++=?
二、从Fourier 变换看完备函数系
我们在数理方法中知道，对任一在),(∞-∞上有定义的函数f
?∞∞
-=
dk e k g x f ikx
)(21
)(π
，其中?
∞∞
--=
dx e x f k g ikx )(21)(π
，R k ∈
我们可以换一个角度来看Fourier 变换，选择一系列函数
ikx
e π
21[k 取遍),(∞-∞中的所有值]，任一函数)(x f
如果任一函数)
(x f 可写为某一函数系列的线性组合，则该函数系列为完备函数系，简称完备系。比如我们这里的函数系列?
??
???∈R k e ikx ,21π就是完备系。
三、函数空间
三维几何空间实际上是所有三维矢量作为其元素的一个集合。对于三维几何空间，当选定一组完备系 (比
如{}
k j i ,,，它们当然也是该集合中的元素)后，任意矢量A 可写为k A j A i A A
321++=，其中321,,A A A 分
别是A 在k j i
,,方向上的分量。
对照来看，所有定义在),(∞-∞上的复函数的集合，也构成一个空间，称为函数空间，也叫希尔伯特空
间。当选定函数系列?
??
???∈R k e ikx ,21π作为完备系时，任意函数?∞∞
-=
dk e
k g x f ikx
)(21)(π，)(k g 是)
(x f 在基
ikx
e π
21上的分量。从这个意义上讲，一个函数)(x f 就是函数空间中的一个矢量。既然是一个矢量，也可以形式上写成矩阵：行第行
第2121)()(k k k g k g f ???
???
?
? ??=，只不过此处标记行的指标k 有无限多个取值而且是连续的。
希尔伯特空间中的两个矢量)(1x f 和)(2x f 的内积也等于两个对应分量乘积的和，即
?∞
∞
-dk k g k g
)()(2*
1。
当然我们并不一定要选函数系列?
??
??
?∈R k e ikx ,21π作为希尔伯特空间的完备系，也可以选另外一套完
备系，比如{}R x x x ∈-00),(δ。此处x 是基函数)(0x x -δ的变量，而0x 是不同基函数)(0x x -δ的标记。
根据δ函数的性质，?∞
∞
--=
)()()(dx
x x x f x f δ，可以看出函数值)(0x f 就是矢量)(x f 在基)(0x x -δ上
的分量。此时，作为希尔伯特空间中的矢量)(x f 也可以形式上写成矩阵：行第行
第2121)()(x x x f x f f ???
???
?
? ??=。
两个矢量)(1x f 和)(2x f 的内积也可以写成两个对应分量的乘积和(当然其中一个要取复数共轭)，
?
∞
∞
-0020*
1
)()(dx x f x f 。由于积分变量的替换不改变积分的值，)(1x f 和)(2x f 的内积可写为
?
∞
∞
-dx x f x f )()(2*1。
在三维几何空间中，两矢量的内积不依赖于坐标系的选取，不管取直角坐标还是求坐标，计算出的两个
矢量A 和B 的内积B A ?都是相同的。那么在希尔伯特空间中，取不同的函数系?
??
???∈R k e ikx ,21π或
{}
R x x x ∈-00),(δ作为完备系，计算得到的)(1x f 和)(2x f 的内积理应相等，即
??
∞
∞
-∞
∞
-=
dk k g k g dx x f x f )()()()(2*
12*
1
。下面证明这个结论：
由Fourier 变换知，?∞∞
-=
dk e k g x f ikx
)(21
)(11π
，?∞
∞
-'''=k d e k g x f x
k i )(21)(2
2π ????∞
∞
-∞
∞-'∞∞--∞
∞
-??? ??''??? ??=dx k d e k g dk e k g dx x f x f x k i ikx )()(21
)()(2*12*1
π
??
?
∞∞-∞
∞
-∞
∞
--'?
??'=dx e
k g k g x
k k i )(2*
1
21
)()(π???∞∞-∞
∞
-∞
∞
-=
''-'=
dk k g k g k dkd k k k g k g )()()()()(2*12*1
δ。
在量子力学中我们还会遇到很多其它不同的完备系。
VII. 矩阵及其特征向量和特征值
复习矩阵、转置矩阵、正交矩阵、相似变换等。 复习方阵的特征值和特征向量的计算方法。
量子力学数学形式表述的由来和特点 量子力学是用数学语言来调和两种对立的经典概念波和粒子应用到原子现象上描写同一微观客体的佯谬（表观矛盾）的。波概念的用场在于通过波动的各部分振幅的（线性）叠加引起加强削弱的所谓干涉效应来说明原子现象在空间时间上的强弱分布；粒子概念的用场在于说明原子过程的单个性特色。 尽管这两者在表观上是矛盾的，事实表明，两种概仿可借助作用量量子充当调停者的角色对应起来，写出如下两种等式： 普朗克（1900）——爱因斯坦（1905）——玻尔（1913）关系： 能量/h=频率； 爱因斯坦（1909）——德布罗意（1923）——薛定谔（1926）关系： 动量/h=波数 两式的左边由粒子概念组成，右边由波概念组成。象玻恩所说，等式本身就完全不合理。何以有这种对应到今仍是个谜。但是玻恩也认为，如果放弃物理学一向接受的决定论原理，这种等式就通过量子力学的建立而合理化了。 可以认为，为了解释原子现象在表观上的二得性，物理学家面临的问题是要把经典物理学作一个合理的推广，以便把作用量量子以合理的方式合并进去。这一困难任务终于通过引进合适的数学抽象完成了。完成的过程及其特点大致如下： 推导量子论的数学结构，不管用粒子图景还是用波图景，都靠两个来源：经验事实和玻尔的对应原理。但是，这种推导并不是数学意义上的推导，因为所得各方程本身就是所建立理论的假定。虽然这些假定看来很合理，最后的证明还得看它们的预言和实验符合得怎样。 （一）矩阵力学 1925——26年海森堡发起，随后经玻恩和约旦协助，从粒子类似出发，在“试图解开原子谜，必须只考虑可观察的数量”这个观念指导下，试图推出量子力学的数学结构。出发点仍是经典力学的数学结构，即哈密顿的正则运动方程。根据原子物理学中公认的经验事实（里德堡——里兹原子光谱线并合规则，分立的原子能量值的存在，玻尔频率关系），在对应原理的指引下，他们发出原子稳定态的理论要求电子坐标、动量及其函数都可用（厄米）矩阵来表示。这个稳定态理论构成量子力学的初始阶段，在其中分立能量值的存在是通过把多周期性振动这个经典运动固定下来而得到的。 他们不考虑原子内部是否有观察不到的电子轨道的存在，离开在空间时间上的客观过程这个观念，只用和光谱线联系的频率和振幅这两种直接可观测的数值来组成原子内部电子运动的力学量的表示，从而找到了能综合原子光谱线经验事实、确定原子稳定态的量子条件。这个条件相当于位置矩阵q和动量矩阵p的乘积次序不能随意对调的一个神秘方程，即所谓的对易关系： qp= - pq i 这个计算规则被认为反映着与q、p相应的测量操作的不可对易性。接受这个规则，稳定态力学性质，包括能量确定值和其他量的平均值，以及两稳定态之间量子跃迁过程发生的几率（相对次数）就都能推算出来，而不带任何任意性。这就是矩阵力学的功效。
量子力学的数学准备(暑期读物) 写在前面的话 06光信、电科的同学们： 暑假开学后我将和你们一起学习量子力学这门课程。由于教学计划调整，量子力学的学时由周五学时缩减为周四学时，加之学期缩短(由18-19周缩短为16-17周)，实际教学时间缩减近三分之一。无论是从学校的要求还是从将来同学们学习后续课程或考研的要求来看，都不允许减少教学内容。为此我编写了一个暑期读物，以期同学们利用暑假在不涉及量子力学的基本原理和有关概念的前提下，能够对量子力学课程中用到的一些数学知识做一个复习和预习，以便开学后在课堂上可适度减少对数学的讲解。我知道大家暑假都很忙，要回家与亲人团聚尽享天伦之乐，要孝敬父母帮着做一些事情，要游览大好河山感受大自然的美，要准备考托考吉考这考那，要准备科技创新、电子大赛，等等等等。但我还是希望大家能拨冗看一下这个读物，此处所说的看决不是指“Look ”，而是指“Read, Deduce and Consider ”，即阅读、推导、思考。为此，带上数学物理方法和线性代数的课本回家是有必要的。 有人说19世纪是机器的世纪，20世纪是信息的世纪，而21世纪将是量子的世纪。让我们为迎接量子世纪的到来做好准备吧！ 刘骥 谨此 I. 一个积分的计算 计算积分?+∞ ∞ --≡ dx e I x 2 ???? +-+∞ ∞ --+∞ ∞--=≡ e dy e dx e I x y x (2 22 2 θπ = +∞-??020 2 r dr rd e π=∴I 由此我们可以得到积分公式： πn x n n dx e x 2 ! )!12(2 2-= ?+∞ ∞ -- 02 21221222! )!12(2)32)(12(212212212 22 I n I n n I n dx e x n de x dx e x I n n n x n x n x n n -==--=-= -=-=≡ --∞ ∞ ---∞ ∞---+∞ ∞ --???
附录A ：量子力学中常用的数学工具 1. 常用数学符号 1.1 克雷内克符号 克雷内克（Kronecker ）符号i j δ在物理中有广泛应用，其定义为 1,0,i j i j i j δ=?=? ≠? （A1-1） 可以用来简洁地表示基矢量或本征函数之间的正交归一性关系 *i j i j dx ψψδ=? （A1-2） 1.2 列维·西维塔符号 列维·西维塔（Levi-Civita ）符号i j k ε又称为三阶反对称张量，其定义为 1,123,231,312 1,132,213,3210,i j k i jk i jk ε+=?? =-=??? 其它 （A1-3） 可以用来简洁地表示矢量积的分量关系 ,,,(), k i j k i j i j k i j k i j i j k A B A B A B C A B C εε?=??=∑∑v v v v v （A1-4） 1.3. 微分算符 在坐标表象下，动量对应梯度算符，梯度算符在直角坐标和球坐标中的表示形式为 11 sin x y z r e e e e e e x y z r r r θ?θθ? ???????=++=++??????v v v v v v （A1-5） 利用球坐标表达式r r re =v v ，得到 1sin r e e ?θθθ? ????=-??v v v （A1-6） 上式决定了角动量在球坐标中的表示形式。 （A1-6）式的平方为球面拉普拉斯算符 2 22 11sin sin sin θθθθθ?Ω????=+ ??? （A1-7） 与角动量平方相对应。拉普拉斯算符在直角坐标和球坐标中的表示形式为 22222 22222 11 r x y z r r r Ω?????=?=++=+????? （A1-8） 与动能相对应。
2011年 数理 第一大题：10个小题 б函数的定义和用法，格林函数法求解步骤，极坐标系下柯西黎曼条件证明，简单的洛朗展开的计算，勒让德函数自然边界条件以及本征值本证函数，用拉普拉斯变换把一个数学物理方程变换式变换出来（含边界和初始条件） 二：写出贝塞尔函数的母函数，并由此推导出贝塞尔函数的递推公式（这个公式就是书上的一个公式，我暂时想不出来了） 三：两道计算题： 第一是用留数定理计算积分（好像是第二种情况）；第二是用柯西积分公式计算积分。 四：稳定场方程在指定条件下的求解（边界是其次的）。 五：球函数的应用题，很常规的，跟ΘΦ有关。 六：利用傅里叶变换求解半无界区域的数理方程。 量子 一.空间自由粒子t=0时候波函数为ψ（0）=coskx 1、求任意时间的波函数表达式 2、求任意时刻的动量可能值和相应的概率 二.设一维无限深势阱中运动粒子的波函数为ψ（x）=4/√a sin（πx/a）cos2（πx/a），求在此任意态下，粒子能量的可能值和相应的概率练习册p40 三.
四.求证：P×L+L×P=2ihP p50 五.求氢原子1s电子的动能，势能的平均值。（1s的波函数给出）练习册p87 六.求在Sz的本征态I↑z>=﹙10）下，求σ?n的可能值及相应几率p110 七.有一量子态体系，其hamilton量为Ho，并已知Ho的本征值和本证函数分别为En和ψn，（n=1,2,3…..）.在初始时刻t=0，体系处于ψo态，当t>0时体系开始受到一微扰H′=F（x）exp（-βt）的作用。在一级近似下求 1、经过充分长的时间后，体系跃迁到ψn的几率 2、如果该体系为一维谐振子，且F（x）=x，结果将如何？P164
第一章矩阵 1.1矩阵的由来、定义和运算方法 1.矩阵的由来 2.矩阵的定义 3.矩阵的相等 4.矩阵的加减法 5.矩阵和数的乘法 6.矩阵和矩阵的乘法 7.转置矩阵 8.零矩阵 9.矩阵的分块 1.2行矩阵和列矩阵 1.行矩阵和列矩阵 2.行矢和列矢 3.Dirac符号 4.矢量的标积和矢量的正交 5.矢量的长度或模 6.右矢与左矢的乘积 1.3方阵 1.方阵和对角阵 2.三对角阵 3.单位矩阵和纯量矩阵 4.Hermite矩阵 5.方阵的行列式，奇异和非奇异方阵 6.方阵的迹 7.方阵之逆 8.酉阵和正交阵 9.酉阵的性质 10.准对角方阵 11.下三角阵和上三角阵 12.对称方阵的平方根 13.正定方阵 14.Jordan块和Jordan标准型 1.4行列式求值和矩阵求逆 1.行列式的展开 https://www.doczj.com/doc/9d11027187.html,place展开定理 3.三角阵的行列式 4.行列式的初等变换及其性质 5.利用三角化求行列式的值 6.对称正定方阵的平方根 7.平方根法求对称正定方阵的行列之值 8.平方根法求方阵之逆 9.解方程组法求方阵之逆 10.伴随矩阵
11.伴随矩阵法求方阵之逆 1.5线性代数方程组求解 1.线性代数方程组的矩阵表示 2.用Cramer法则求解线性代数方程组 3.Gauss消元法解线性代数方程组 4.平方根法解线性代数方程组 1.6本征值和本征矢量的计算 1.主阵的本征方程、本征值和本征矢量 2.GayleyHamilton定理及其应用 3.本征矢量的主定理 4.Hermite方阵的对角化——计算本征值和本征矢量的Jacobi法1.7线性变换 1.线性变换的矩阵表示 2.矢量的酉变换 3.相似变换 4.等价矩阵 5.二次型 6.标准型 7.方阵的对角化 参考文献 习题 第二章量子力学基础 2.1波动和微粒的矛盾统一 1.从经典力学到量子力学 2.光的波粒二象性 3.驻波的波动方程 4.电子和其它实物的波动性——de Broglie关系式 5.de Broglie波的实验根据 6.de Broglie波的统计意义 7.态叠加原理 8.动量的几率——以动量为自变量的波函数 2.2量子力学基本方程——Schrdinger方程 1.Schrdinger方程第一式 2.Schrdinger方程第一式的算符表示 3.Schrdinger方程第二式 4.波函数的物理意义 5.力学量的平均值(由坐标波函数计算) 6.力学量的平均值(由动量波函数计算) 2.3算符 1.算符的加法和乘法 2.算符的对易 3.算符的平方 4.线性算符 5.本征函数、本征值和本征方程
量子力学涉及的重要概念 量子力学和经典力学都是理论物理学非常成功的科学范式，从经典力学到量子力学或从量子力学到经典力学是一种范式转变（paradigm shift ）的过程；这种转变突出体现在两个方面：第一，经典力学描述物理系统以该系统的空间位形（位置和形状）为基础，位形的变化及如何变化反映系统的运动及动力学性质；而量子力学描述物理系统则以该系统的状态为基础，由此引入了一个经典力学中完全没有的量子态的概念，态蕴含了该系统的所有物理信息。第二，经典力学认为物理量（物理量是指一切现象、实体、物质等的可以被观测量化的物理性质）的数学模型是数值量；而量子力学则认为物理量的数学模型是线性算符量，即从c-number 到q-number 的转变；前者认为物理量直接能被观测量化，后者认为同观测相联系的仅仅只是物理量的本征值或期望值。量子力学研究的物理系统主要是纳米或亚纳米尺度的少数粒子，主要研究目的是描述它们的相互作用及运动规律。经典力学主要研究少数宏观物体的相互作用及运动规律，只不过有时视研究目的而忽略了它们本身的大小及结构而将它们看成质点。 量子力学理论结构：数学形式（采用Dirac-von Neumann 的形式体系(formal system)）+物理诠释（采用哥本哈根学派的解释） 列出量子力学五大公设如下： ①、量子态公设（量子态是描述物理系统的基础） ②、物理量公设（经典力学中物理量的数学对应是各阶数值张量，而量子力学中物理量的数学对应是各阶线性算符张量，物理量的这种数学形式本身就表明在任何一个时刻（在测量前）对一个量子系统的物理量不可能预言单一的数值，除非一个算符的本征值只有一个，但任何一个时刻物理量的算符形式仍是确定的，这便是量子力学的决定论，即我们能准确预言任意时刻物理量的算符形式而不是物理量的数值。因此从经典力学过渡到量子力学的方法就是保留物理量原有的形式并把复数改成线性算符即可，除非出现了没有经典对应的 物理量，比如自旋。例：??(/,)(/,)p E c p H c p i μμ=→=?） ③、量子化条件（正则对易或反对易关系，特别是[],q p i =，q 、p 是正则坐标） ④、态的运动方程（包括哈密顿量的构造） ⑤、对于两个数学形式的物理解释：?a a A a ψψ=、?A ψψ（事实上基于①②两条公设此公设是可以argue 出来的。） ⑥、粒子全同性原理：数学描述就是交换任意两个粒子的量子坐标（标记一个量子态的一组完备量子数），量子态差一个相位因子。如果差一个-1，那么粒子就是全同费米子；如果完全不变则是全同玻色子。 一、希尔伯特空间（Hilbert space ）：附加了复内积结构的完备的线性空间。注意：复内积是从希尔伯特空间到其数域的映射，因此希尔伯特空间中的向量必定能归一化。但是量子力学中也常常涉及一些不可归一化的向量（至少是作为一种有用的数学工具），从严格意义上讲这种向量不属于希尔伯特空间，为了能从数学上严格讨论这种向量，数学家引入了新的代数结构，即所谓的装备希尔伯特空间（rigged Hilbert space 、equipped Hilbert space ），我们并不纠缠这种层面的数学上的严密性。
《量子力学》课程教学大纲 课程英文名称：Quantum Mechanics 课程简介：本课程为专业基础课。通过该课程的学习，学生可以掌握量子力学的基本理论与基本方法，能提高本科生分析和解决实际物理问题的能力，为本科生后续的专业课程学习和今后的实际工作奠定一定的理论基础，并掌握初步的解决问题方法。 让学生掌握描述量子力学的一些基本量子思想和量子理论方法。这些内容将为今后本科生在固体物理学、磁性物理学、凝聚态物理等理论方面的进一步学习奠定一定的理论基础，并可以使本科生初步掌握分析问题和解决问题的方法。 一、课程教学内容及教学基本要求 第一章绪论 本章重点： 1)介绍量子力学的产生背景时要说明提出问题和解决问题的条件：社会的需求、科学技术的水平、人们的前期努力和成就等等，用历史唯物主义的观点看待问题。介绍杰出的人物的工作和贡献时同样应注意突出重点，兼顾全面的原则，从科学史的角度考察，借以获得更多的教益。 2)要着重注意介绍德布罗意假设、波粒二象性的概念，借以初步认识微观客体运动的特殊性和唯物主义思想的指导作用；介绍相应的实验验证和实践应用，认识理论和实践的关系。 3)使学员能从较宽广的角度认识量子力学的地位和作用，增强学习自觉性。同时初步了解学科的特点，对下一步的学习有相应的准备。 难点：康普顿散射的推导及理解，微观粒子的波粒二象性。 第一节经典物理学的困难（之一：黑体辐射问题和Plank量子论） 本节要求：理解：黑体辐射问题中经典理论所遇到的困难和Plank量子论。掌握：Plank 量子论（重点：考核概率50%）。 1 黑体辐射问题中经典理论所遇到的困难（维恩公式、瑞利-金斯公式）。 2 Plank的电磁辐射能量量子化的思想，并推导Plank的黑体辐射公式，理解并掌握Plank 的能量量子化的假设。 第二节经典物理学的困难（之二：光电效应与爱因斯坦的光量子论；之三：A.Einstein光量子论在Compton效应的解释） 本节要求：掌握：光电效应概念（脱出功A的概念、光电流等）；爱因斯坦的光量子论解释光电效应；Compton效应概念；A.Einstein光量子论在Compton效应的解释（重点：考核概率100%）；理解：在微观单个碰撞事件中能量动量守恒定律仍然成立）。 1光电效应概念（脱出功A的概念、光电流等），光电效应实验中所得到的3个结论认识。2爱因斯坦的利用Plank的能量量子论思想引入到电磁波上引入了光量子论思想，利用此思想如何解释了光电效应现象。（重点）
一、课程总体说明 1、课程性质 量子力学是近代物理两大支柱之一，是近代物理的重要基础。因而本课是物理专业最重要的一门专业基础必修课。 2、学习目的 （1）系统地了解微观世界的基本规律； （2）理解掌握量子力学基本概念和基本原理，并能应用基本概念和规律解释微观现象； （3）了解量子力学史上的重要物理思想，培养辩证唯物主义的世界观和科学方法。 3、主要内容 量子力学主要内容包括：量子力学发展简况，波函数，薛定谔方程，力学量和算符，态和力学量的表象，微扰论，自旋和全同粒子。 4、主要考核目标 （1）掌握波粒二象性是一切物质客体所具有的普遍属性。 （2）正确理解和熟练掌握描写微观粒子运动状态的波函数的意义及量子力学的基本方程—薛定谔方程的求解。 （3）熟练掌握力学量用算符表示后量子力学规律所取的形式及力学量与算符的关系。 （4）了解表象的物理意义和一些简单的表象变换。 （5）掌握用久期方程求解算符的本征值和本征函数的方法。 （6）正确理解定态微扰论的方法和使用条件,熟练掌握非简并情况下体系能级的二级近似值与一级近似波函数的计算方法,了解与时间有关的微扰理论。 （7）认识微观粒子的自旋角动量的性质,熟记自旋角动量算符与自旋波函数的表达方式。 （8）理解全同粒子的不可区分性、全同性原理以及波函数的对称性与统计法之间的关系。
二、章节说明:本课程重点阐述非相对论量子力学之波动力学的完整自洽的知识 体系。考虑到专业特点和学时要求，在保留量子力学完整知识结构的基础上，我 们删减了一些章节的内容。主要内容如下： 第一章 绪论 掌握§1-§4，重点和难点是§4。 1、 了解经典物理学的困难，黑体辐射、光电效应和原子的线状光谱及其规律。 2、 了解光的波粒二象性，理解Planck 能量子假设、Einstein 的光量子理论和Bohr 的原子量子论。 3、 掌握Compton 效应的内容和物理含义。 4、 理解德布罗意的物质波思想，熟练掌握德布罗意波的表示和波长的计算方法。 第二章 波函数和薛定谔方程 掌握§1-§8，重点是§5-§7，难点是§1和§4，主要内容如下： 1、 理解波函数),(t r 的统计解释； 2、 了解态迭加原理及其物理意义； 3、 理解薛氏方程的建立； 4、 理解几率流密度和粒子数守恒定率；熟练掌握几率连续性方程的数学表示和物 理含义； 5、 掌握定态薛氏方程；理解定态的定义和定态的特点； 6、 熟练掌握一维束缚态：无限深势阱和线性谐振子的求解过程和重要结论。 第三章 力学量和算符 掌握§1-§8，重点是§4-§7，难点是§7，主要内容如下： 1、掌握动量算符和角动量算符本征方程的求解； 2、理解电子在库仑场中的运动；了解氢原子（类氢原子）求解过程，熟练掌握其 结论； 3、 掌握力学量与算符的关系； 4、 熟练掌握计算力学量算符的对易关系； 5、 掌握厄密算符的本征值和本征函数的性质；掌握共同本征函数的性质； 6、 测不准关系，力学量完全集。
目录 第1章量子力学简史 (2) 第2章量子力学重要内容简介 (3) 2.1基本假设 (3) 2.2对易力学量完全集 (4) 2.3态矢量、算符 (4) 2.3.1态矢量 (4) 2.3.2算符 (5) 第3章泛函分析简介 (5) 3.1集合与空间 (5) 3.1.1集合 (5) 3.1.2拓扑空间 (6) 3.1.3度量空间 (6) 3.1.4赋范线性空间 (6) 3.1.5内积空间 (7) 3.1.6希尔伯特空间 (7) 3.1.7希尔伯特空间的重要性质 (7) 3.1.8综述 (8) 3.2线性算子 (9) 3.2.1线性算子 (9) 3.2.2线性运算与乘法 (10) 3.2.3伴算子 (10) 3.2.4自伴算子 (11) 第4章量子力学中泛函分析的应用 (12) 4.1量子态的矩阵表示 (12) 4.2算符 (13) 4.3本征方程 (13) 4.4平均值 (14) 第5章后序 (14)
参考文献 (16) 第一章量子力学简史 1900年，普朗克提出辐射量子假说，假定电磁场和物质交换能量是以间断的形式(能量子)实现的，能量子的大小同辐射频率成正比，比例常数称为普朗克常数，从而得出黑体辐射能量分布公式，成功地解释了黑体辐射现象。1905年，爱因斯坦引进光量子(光子)的概念，并给出了光子的能量、动量与辐射的频率和波长的关系，成功地解释了光电效应。其后，他又提出固体的振动能量也是量子化的，从而解释了低温下固体比热问题。1913年，玻尔在卢瑟福原有核原子模型的基础上建立起原子的量子理论。按照这个理论，原子中的电子只能在分立的轨道上运动，在轨道上运动时候电子既不吸收能量，也不放出能量。原子具有确定的能量，它所处的这种状态叫“定态”，而且原子只有从一个定态到另一个定态，才能吸收或辐射能量。这个理论虽然有许多成功之处，但对于进一步解释实验现象还有许多困难。在人们认识到光具有波动和微粒的二象性之后，为了解释一些经典理论无法解释的现象，法国物理学家德布罗意于1923年提出了物质波这一概念。认为一切微观粒子均伴随着一个波，这就是所谓的德布罗意波。由于微观粒子具有波粒二象性，微观粒子所遵循的运动规律就不同于宏观物体的运动规律，描述微观粒子运动规律的量子力学也就不同于描述宏观物体运动规律的经典力学。当粒子的大小由微观过渡到宏观时，它所遵循的规律也由量子力学过渡到经典力学。量子力学与经典力学的差别首先表现在对粒子的状态和力学量的描述及其变化规律上。在量子力学中，粒子的状态用波函数描述，它是坐标和时间的复函数。为了描写微观粒子状态随时间变化的规律，就需要找出波函数所满足的运动方程。这个方程是薛定谔在1926年首先找到的，被称为薛定谔方程。当微观粒子处于某一状态时，它的力学量(如坐标、动量、角动量、能量等)一般不具有确定的数值，而具有一系列可能值，每个可能值以一定的几率出现。当粒子所处的状态确定时，力学量具有某一可能值的几率也就完全确定。这就是1927年，海森伯得出的测不准关系，同时玻尔提出了并协原理，对量子力学给出了进一步的阐释。量子力学和狭义相对论的结合产生了相对论量子力学。经狄拉克、海森伯（又称海森堡，下同）和泡利（pauli）等人的工作发展了量子电动力学。20世纪30年代以后形成了描述各种粒子场的量子化理论——量子场论，它构成了描述基本粒子现象的理论基础。
量子力学的数学准备（暑期读物） 写在前面的话 06光信、电科的同学们： 暑假开学后我将和你们一起学习量子力学这门课程。由于教学计划调整，量子力学的学时由周五学时缩 减为周四学时，加之学期缩短 （由18-19周缩短为16-17周），实际教学时间缩减近三分之一。无论是从学校的 要求还是从将来同学们学习后续课程或考研的要求来看，都不允许减少教学内容。为此我编写了一个暑期读 物，以期同学们利用暑假在不涉及量子力学的基本原理和有关概念的前提下，能够对量子力学课程中用到的 一些数学知识做一个复习和预习，以便开学后在课堂上可适度减少对数学的讲解。我知道大家暑假都很忙， 要回家与亲人团聚尽享天伦之乐，要孝敬父母帮着做一些事情，要游览大好河山感受大自然的美，要准备考 托考吉考这考那，要准备科技创新、电子大赛，等等等等。但我还是希望大家能拨冗看一下这个读物，此处 所说的看决不是指"Look ”，而是指"Read, Deduce and Consider ”，即阅读、推导、思考。为此，带上数学物 理方法和线性代数的课本回家是有必要的。 纪的到来做好准备吧! 刘骥谨此 I. 一个积分的计算 由此我们可以得到积分公式: 2n x e 2 x dx (2n 2n 叫 2 n x 2 I n x e dx 1 2n 1 i x 2 x de 2n 1 2 n 2 e x "dx 2 2 x 2n 1 1 (2n 1)(2 n 3). (2n 1)!!. I n 1 2 2 I 22 n 2 n I 0 2n 有人说19世纪是机器的世纪, 20世纪是信息的世纪，而 21世纪将是量子的世纪。让我们为迎接量子世 计算积分I I 2 2 x