牛顿力学和相对论力学的协变性
摘要：若将能量（包括动能）、动量都理解为相对论中的能量和动量，则牛顿力学中的功能原理、动能定理、动量定理、牛顿运动定律及力对物体所作的功的功率、能量-动量守恒定律及守恒条件在相对论中都是协变的，并给出了它们的协变形式。
关键词：功能原理；动能定理；动量定理；牛顿运动定律；能量-动量守恒定律；协变
The form of Newton's mechanics and the covariance
of relativistic mechanics
Abstract：It is pointed out that the work energy principle, the kinetic energy theorem, the momentum theorem, the Newton's law, the power of force, the law of energy- momentum and the conservative condition in the classical mechanics are all covariant in the theory of relativity if energy (including kinetic energy ) and momentum are all understood as energy and momentum in the theory of relativity.
Key words:work energy principle; kinetic energy theorem; momentum theorem; the Newton's movement law; the law of conservative of energy- momentum; consistent change
前言
牛顿力学以牛顿运动定律为基础，是在17世纪以后发展起来的。直接以牛顿运动定律为出发点来研究质点系统的运动。它以质点为对象，着眼于力的概念，在处理质点系统问题时，需分别考虑各个质点所受的力，然后来推断整个质点系统的运动。牛顿力学认为质量和能量各自独立存在，且各自守恒，它只适用于物体运动速度远小于光速的范围。相对性原理是由伽利略最先提出的，牛顿在前人的基础上加以完善，清楚的阐述了相对性原理。由于相对性原理在电动力学中的矛盾，促使爱因斯坦对它进一步深思。爱因斯坦建立的狭义相对论和广义相对论把相对论推广于全部物理学[5]。众所周知，牛顿运动定律对于伽利略变换是协变的，但对于洛伦兹变换不是协变的。因此，在相对论中人们修改了该定律的内
容，使之既能满足相对论协变性的要求，又能在低速时过渡为牛顿运动定律[1]。在经典范围内，以牛顿运动定律为基础建立起了牛顿的力学理论体系。人们自然会考虑这样的问题：牛顿的力学理论体系在相对论范围内是否也可以修改为协变形式？若可以，应进行怎样的修改？其形式如何？
1 功能原理的协变形式
在牛顿力学中，功能原理的表述为：dW dr F =? （1） 式中F 是物体所受的作用力，dr 是物体在力F 作用下发生的位移，dW 是物体受力作用发生位移而得到的能量的增量。式（1）表明，力对物体所做的功等于物体能量的增加。式（1）可写为： ()0/11
/12222=-+-?ict d dt dW c i c v c v dr
F （2） 式中v 是物体运动的速度，c 是真空中光速。利用四维力矢量和四维位移矢量表达 式：??? ??-=dt dW c i F c v K ,/11
22μ （4,3,2,1=μ） （3） ][),(,c i d dr dx =μ (4,3,2,1=μ) （4） 则（2）式可写为: 0=μμdx K （4,3,2,1=μ） （5） 式（5）显然是协变的。式（3）中的W 是物体在相对论中的能量。可见，若把式（1） 中物体的能量理解为相对论中的能量，则牛顿力学中的功能原理式（1）在相对论中就是协变的，其协变形式如式（5）所示。
2 动能定理的协变形式
在牛顿力学中，若物体受力F 作用而以速度v 运动，则其动能T 的增加率为
dt
dT v F =? （6）
若把式（6）中的T 理解为相对论中的动能，则有：20c m W T -= （7） 式（7）中，W 是物体在相对论中的总能量 , 0m 是物体的静能量，20c m 是物体的静 能量。对于一个确定的物体，其静能不随时间和坐标系而变，是一标量。因此有：
dW dT = （8）
将式（8）代入（6）式可得：0/1/12
222=-+-?ic c v dt dW
c
i c v v F （9） 利用式（3）和四维速度矢量的表达式： )(c i v c v U ,,/11
22-=μ （4,3,2,1=μ） （10）
则式（9）可写为0=μμU K (4,3,2,1=μ) （11） 式（11）显然为协变的，所以若将式（6）中物体的动能理解为相对论中的动能，则牛顿力学中的动能定理式（6）在相对论中就是协变的，其协变形式如式（11）所示。
3 动量定理的协变形式
牛顿力学中，力对物体的冲量等于物体动量的增量dp ,此关系即为动量定理：
dp dt F =? （12）
将式（8）代入式（6）。则动能定理又可写为：dW vdt F =? （13）
利用时间延缓，可给出τ与固有时间之间的微分关系[1]： 2211c
v d dt -=τ （14） 由式（14），（12）和（13）可分别写为： dp c v Fd =-22/1τ
（15）
??? ??=-?W c i d c
v vd F c i 22/1τ （16） ??
? ??=W c i p p ,μ（4,3,2,1=μ） （17） ??? ???-=v F c i F c v K ,/11
22μ （18） 则式（15）和（16）可合写为：μμτdp d K = (4,3,2,1=μ)
（19） 式（19）是协变的，所以若将物体的动能和动量都视为相对论中的动能和动量，则 牛顿力学中的动能定理式（13）和动量定理式（12）就都是协变的，其协变形式如式（9）所示。
4 牛顿运动定律的协变形式
牛顿力学中，牛顿运动定律为：dt dp F =
（20） 力F 对物体所做的功率为：dt
dW v F =? （21） 由式（14），式（20）和（21）又可写为： τ
d dp c v F
=-22/1 （22） τ
d W c i d c v vdt
F c i ??? ??=-?22/1 （23） 由式（17）和（18），式（22）和（23）可合写为
τμ
μd dp K = (4,3,2,1=μ) （24）
式（24）正是相对论力学基本方程式，是协变的，所以若将式（20）和（21）中的动量和能量都视为相对论中的动量和能量，则牛顿力学中的牛顿运动定律式（20）和对物体所作的功的功率式（21）就都是协变的，其协变形式如式（24）所示。 5 能量-动量守恒定律的协变形式
在牛顿力学中，能量、动量守恒定律分别为：0=dt
dW （25） 0=dr
dp （26） 由式（14），式（25）和（26）又可分别写为：0=??? ?
?τ
d W c i d (27) 0=τ
d dp （28） 利用式（17），式（27）和（28）可合写为： 0=dt dp μ
（4,3,2,1=μ） （29）
式（19）是协变的。可见，若将式（25）和（26）中物体的能量和动量都视为相对论中的能量、动量，则牛顿力学中的能量、动量守恒定律式（25）和（26）就都是协变的，其协变形式如式（29）所示。
由式（20）和（21）可知，若式（25）和（26）成立，则F=0，0=?v F 。所以 由式（18）可得：若式（25）和（26）成立，则必有:0=μK （4,3,2,1=μ） （30） 式（30）即为能量-动量守恒定律式（29）成立的条件，该条件也是协变的。 结 论
牛顿定律是经典时空观的产物，用于低速情况，而相对论力学方程式处理高速情况下的基本方程，所以，在我们所讨论的范围内，若将牛顿力学表达式中的能量和动量分别理解为相对论中的能量和动量，则牛顿力学中的一些表达式在相对论中就是协变的。
参考文献
[1]郭硕鸿.电动力学[M].北京：人民教育出版社，1979.252～262.
[3]李子军,李根全,白旭芳.牛顿力学形式和相对论力学的协变性.大学物理.2002.21(6); 22-23.
[4]蔡伯濂.狭义相对论[M].北京:高等教育出版社，2008.5.
[5]金万修.广义相对论[M].东北：东北师范大学出版社，1987.5.
部分力学和电磁学练习题（供参考） 一、选择题 1. 一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O 转动，如图射来两个质量相同，速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并且留在盘内，则子弹射入后的瞬间， 圆盘的角速度ω (A) 增大． (B) 不变． (C) 减小． (D) 不能确定． ［ C ］ 2. 将一个试验电荷q 0 (正电荷)放在带有负电荷的大导体附近P 点处(如图)，测得它所受的力为F ．若考虑到电荷q 0不是足够小，则 (A) F / q 0比P 点处原先的场强数值大． (B) F / q 0比P 点处原先的场强数值小． (C) F / q 0等于P 点处原先场强的数值． (D) F / q 0与P 点处原先场强的数值哪个大无法确定． ［ A ］ 3. 如图所示，一个电荷为q 的点电荷位于立方体的A 角上，则通过侧面abcd 的电场强度通量等于： (A) 06εq ． (B) 0 12εq ． (C) 024εq ． (D) 0 48εq ． ［ C ］ 4. 两块面积均为S 的金属平板A 和B 彼此平行放置，板间距离为d (d 远小于板 的线度)，设A 板带有电荷q 1，B 板带有电荷q 2，则AB 两板间的电势差U AB 为 (A) d S q q 0212ε+． (B) d S q q 02 14ε+． (C) d S q q 021 2ε-． (D) d S q q 02 14ε-． ［ C ］ 5. 图中实线为某电场中的电场线，虚线表示等势（位）面，由图可看出： (A) E A ＞E B ＞E C ，U A ＞U B ＞U C ． (B) E A ＜E B ＜E C ，U A ＜U B ＜U C ． (C) E A ＞E B ＞E C ，U A ＜U B ＜U C ． (D) E A ＜E B ＜E C ，U A ＞U B ＞U C ． ［ D ］ 6. 均匀磁场的磁感强度B ? 垂直于半径为r 的圆面．今以该圆周为边线，作一半球面S ，则通过S 面的磁通量的大小为 (A) 2πr 2B ． (B) πr 2B ． (C) 0． (D) 无法确定的量． ［ B ］ 7. 如图，两根直导线ab 和cd 沿半径方向被接到一个截面处处相等的铁环上， 稳恒电流I 从a 端流入而从d 端流出，则磁感强度B ? 沿图中闭合路径L 的积 分??L l B ? ?d 等于 (A) I 0μ． (B) I 03 1 μ． (C) 4/0I μ． (D) 3/20I μ． ［ D ］ O M m m － P 0 A b c q d A S q 1q 2 C B A I I a b c d 120°
物理学的开端：经验物理时期已完成成绩：分 【单选题】相对论分为狭义相对论和广义相对论，它们都是关于（）的基本理论。 A、引力和重力 B、时空和重力 C、时间和空间 D、时空和引力 我的答案：D得分：分 2 【单选题】提出“格物穷理”的是谁（） A、张载 B、陆九渊 C、朱熹 D、王阳明 我的答案：C得分：分 3 【判断题】 中国奴隶社会比欧洲时间短，西方封建社会比中国时间短。（） 我的答案：√得分：分 4 【判断题】欧几里得的学生是阿基米德的老师。（） 我的答案：√得分：分 伽利略与经典物理的诞生已完成成绩：分 1 【单选题】惯性定律认为物体在受任何外力的作用下，不会保持下列哪种运动状态（） A、匀速曲线 B、匀速直线 C、加速直线 D、加速曲线
我的答案：B得分：分 2 【单选题】伽利略有许多成就，但不包括下面哪一项（） A、重述惯性定律 B、阐述相对性原理 C、发现万有引力 D、自由落体定律 我的答案：C得分：分 3 【单选题】认为万物都是由原子构成的古希腊哲学家是谁() A、德谟克利特 B、毕达哥拉斯 C、色诺芬 D、亚里士多德 我的答案：A得分：分 4 【判断题】奥地利物理学家伽利略是近代实验科学的先驱者。（） 我的答案：×得分：分 经典物理的三大支柱：经典力学、经典电动力学、经典热力学和统计力学已完成成绩：分 1 【单选题】继发现热力学第一定律和第二定律后，有谁发现了“热力学第三定律”。（） A、克劳修斯 B、开尔文 C、能斯特 D、焦耳 我的答案：C得分：分 2 【多选题】下列选项不属于经典物理学范畴的是（）。
A、万有引力定律 B、热质学说 C、量子论 D、狭义相对性原理 我的答案：B、C、D得分：25分 3 【判断题】根据双缝干涉实验，牛顿提出了光学上的“波动说”。（） 我的答案：×得分：分 4 【判断题】根据“热力学第零定律”，两个热力学系统彼此处于热平衡的前提条件是每一个都与第三个热力学系统处理热平衡。（） 我的答案：√得分：分 经典物理的局限与量子论的诞生已完成成绩：分 1 【单选题】物理学上用紫外灾难形容经典理论的困境，其具体内容指()。 A、维恩线在短波波段与实验值的巨大差异 B、瑞利-金斯线在短波波段与实验值的巨大差异 C、维恩线在长波波段与实验值的巨大差异 D、瑞利-金斯线在长波波段与实验值的巨大差异 我的答案：B得分：分 2 【单选题】与平衡热辐射实验值在长波和短波波段都吻合是哪条线() A、普朗克线 B、维恩线 C、瑞丽-金斯线 D、爱因斯坦线 我的答案：A得分：分 3
第七章第5节相对论时空观与牛顿力学的局限性 【学习目标】 1．感受牛顿力学在高速世界与事实的矛盾，知道牛顿力学只适用于低速、宏观物体的运动。知道相对论、量子论有助于人类认识高速、微观领域。 2．知道爱因斯坦狭义相对论的基本假设，知道长度相对性和时间间隔相对性的表达式。 3．了解宇宙起源的大爆炸理论，知道科学真理是相对的，未知世界必将在人类不懈的探索中被揭开更多的谜底。 【课前预习】 一、相对论时空观 1．爱因斯坦两个假设： (1)在不同的惯性参考系中，物理规律的形式都是_________的; (2)真空中的光速在不同的惯性参考系中大小都是_________的。 2．时间延缓效应：如果相当于地面以v运动的惯性参考系上的人观察到与其一起运动的物体完成某个动作的时间间隔为Δτ，地面上的人观察到该物体在同一地点完成这个动作的时间间隔为Δt， 则Δt=____________。由于1?(v c )2<1，所以总有Δt>Δτ，此种情况称为时间延缓效应。 3．长度收缩效应：如果与杆相对静止的人测得杆长是l0，沿着杆的方向，以v相对杆运动的人 测得杆长是l，则l=_________。由于1?(v c )2<1，所以总有l 基础知识 1．下列说法中正确的是( ) A电和磁在以太这种介质中传播 B相对不同的参考系，光的传播速度不同 C.牛顿定律仅在惯性系中才能成立 D.时间会因相对速度的不同而改变 2．爱因斯坦相对论的提出，是物理学思想的一场重大革命，他( ) A.否定了xx的力学原理 B.提示了时间、空间并非绝对不变的属性 C.认为时间和空间是绝对不变的 D.承认了“以太”是参与电磁波传播的重要介质 3．爱因斯坦狭义相对论的两个基本假设： (1)爱因斯坦的相对性原理： _______________． (2)光速不变原理： ___________________． 4．下列哪些说法符合狭义相对论的假设( ) A在不同的惯性系中，一切力学规律都是相同的 B．在不同的惯性系中，一切物理规律都是相同的 C.在不同的惯性系中，真空中的光速都是相同的 D．在不同的惯性系中，真空中的光速都是不同的 5．在一惯性系中观测，两个事件同时不同地，则在其他惯性系中观测，它们( ) A．一定同时 B．可能同时 C.不可能同时，但可能同地 D．不可能同时，也不可能同地 6．假设有一列很长的火车沿平直轨道飞快匀速前进，车厢中央有一个光源发出了一个闪光，闪光照到了车厢的前后壁，根据狭义相对论原理，下列说法中正确的是( ) A地面上的人认为闪光是同时到达两壁的 B车厢里的人认为闪光是同时到达两壁的 C．地面上的人认为闪光先到达前壁 D．车厢里的人认为闪光先到达前壁 能力测试 7．关于牛顿力学的适用范围，下列说法正确的是( ) A.适用于宏观物体 B.适用于微观物体 C.适用于高速运动的物体 D.适用于低速运动的物体 8．下列说法中正确的是( ) A.相对性原理能简单而自然的解释电磁学的问题 B.在真空中，若物体以速度v背离光源运动，则光相对物体的速度为c-v C在真空中，若光源向着观察者以速度v运动，则光相对于观察者的速度为c+v D．迈xx一xx实验得出的结果是： 不论光源与观察者做怎样的相对运动，光速都是一样的 9．地面上的 A、B两个事件同时发生，对于坐在火箭中沿两个事件发生地点连线，从A 到B方向飞行的人来说哪个事件先发生( ) A．两个事件同时发生 B．A事件先发生 C．B事件先发生 D．无法判断 10．关于电磁波，下列说法正确的是( ) 论动体的电动力学 大家知道，麦克斯韦电动力学——象现在通常为人们所理解的那样——应用到运动的物体上时，就要引起一些不对称，而这种不对称似乎不是现象所固有的。比如设想一个磁体同一个导体之间的电动力的相互作用。在这里，可观察到的现象只同导休和磁体的相对运动有关，可是按照通常的看法，这两个物体之中，究竟是这个在运动，还是那个在运动，却是截然不同的两回事。如果是磁体在运动，导体静止着，那么在磁体附近就会出现一个具有一定能量的电场，它在导体各部分所在的地方产生一股电流。但是如果磁体是静止的，而导体在运动，那么磁体附近就没有电场，可是在导体中却有一电动势，这种电动势本身虽然并不相当于能量，但是它——假定这里所考虑的两种情况中的相对运动是相等的——却会引起电流，这种电流的大小和路线都同前一情况中由电力所产生的一样。 堵如此类的例子，以及企图证实地球相对于“光煤质”运动的实验的失败，引起了这样一种猜想：绝对静止这概念，不仅在力学中，而且在电动力学中也不符合现象的特性，倒是应当认为，凡是对力学方程适用的一切坐标系，对于上述电动力学和光学的定律也一样适用，对于第一级微量来说，这是已经证明了的。我们要把这个猜想（它的内容以后就称之为“相对性原理”）提升为公设，并且还要引进另一条在表面上看来同它不相容的公设：光在空虚空间里总是以一确定的速度C 传播着，这速度同发射体的运动状态无关。由这两条公设，根据静体的麦克斯韦理论，就足以得到一个简单而又不自相矛盾的动 体电动力学。“光以太”的引用将被证明是多余的，因为按照这里所要阐明的见解，既不需要引进一个共有特殊性质的“绝对静止的空间”，也不需要给发生电磁过程的空虚实间中的每个点规定一个速度矢量。 这里所要闸明的理论——象其他各种电动力学一样——是以刚体的运动学为根据的，因为任何这种理论所讲的，都是关于刚体（坐标系）、时钟和电磁过程之间的关系。对这种情况考虑不足，就是动体电动力学目前所必须克服的那些困难的根源。 一运动学部分 §1、同时性的定义 设有一个牛顿力学方程在其中有效的坐标系。为了使我们的陈述比较严谨，并且便于将这坐标系同以后要引进来的别的坐标系在字面上加以区别，我们叫它“静系”。 如果一个质点相对于这个坐标系是静止的，那么它相对于后者的位置就能够用刚性的量杆按照欧儿里得几何的方法来定出，并且能用笛卡儿坐标来表示。 如果我们要描述一个质点的运动，我们就以时间的函数来给出它的坐标值。现在我们必须记住，这样的数学描述，只有在我们十分清楚地懂得“时间”在这里指的是什么之后才有物理意义。我们应当考虑到：凡是时间在里面起作用的我们的一切判断，总是关于同时的事件的判断。比如我说，“那列火车7点钟到达这里”，这大概是说：“我的表的短针指到7 同火车的到达是同时的事件。” 第五章 狭义相对论基础 §5.1伽利略相对性原理 经典力学的时空观 一.伽利略（牛顿力学）相对性原理 对力学规律而言，所有的惯性系都是等价的或在一个惯性系中，所作的任何理学实验都不能够确定这一惯性系本身是静止状态，还是匀速直线运动。 力学中不存在绝对静止的概念，不存在一个绝对静止优越的惯性系。 二.伽利略坐标变换式 经典力学时空观 设当O 与O '重合时0t t ='=作为记 时的起点 同一事件：K 系中)t ,z ,y ,x ( K '系中)t ,z ,y ,x ('''' 按经典观念：???????='='='-='t t z z y y vt x x 或???? ???' ='='=' +'=t t z z y y t v x x ??? ??'='=+'=?????='='-='?'='=z z y y x x z z y y x x u u u u v u u u u u u v u u t d dt ,t t 或Θ 所谓绝对时空： 1、时间：时间间隔的绝对性与同时的绝对性，即t t ,t t ='?='?。时间是与参照系无 关的不变量。 2、空间：若有一把尺子，两端坐标分别为 K 中：)t ,z ,y ,x (P ),t ,z ,y ,x (P 22221111 K '中：) t ,z ,y ,x (P ),t ,z ,y ,x (P 22221111''''''''' 有222222z y x r ,z y x r '?+'?+'?='??+?+?=? 由,t t =' 得r r '?=?，即：长度（空间间隔）是与参照系无关的不变量或长度（空间间 隔）的绝对性。 a a ρρ='即?????='='='z z y y x x a a a a a a 且认为m m ,F F ='='ρ ρ 因此：在K '中，有a m F ''='ρρ，得K 中a m F ρρ= 由牛顿的绝对时空以及“绝对质量”的概念，得到牛顿相对性原理。 总结：牛顿定律在所有惯性系都具有相同的表述形式，即牛顿定律在伽利略变换下是协变的，牛顿力学符合力学相对性原理。 §5.2狭义相对论基本原理与光速不变 一.引子：相对论主要是关于时空的理论 局限于惯性参考系的理论称为狭义相对论，推广到一般参考系和包括引力场在内的理论称为广义相对论。 牛顿力学的困难： 例子：○ 1打排球，发点球 ○2超新星爆发过程中光线传播引起的疑问，如“蟹状星云”有较为祥实的记载。“客 星”最初出现于公元1054年，历时23天，往后慢慢暗下来，直到1056年才隐没。 按牛顿观点： 1500v ?km.s -1 5000l ?光年 会持续25年，能看到超新星开始爆发时发出的强光，其实不然 ○ 3电动力学的例子 牛顿经典力学 牛顿经典力学认为质量和能量各自独立存在，且各自守恒，它只适用于物体运动速度远小于光速的范围。牛顿 力学较多采用直观的几何方法，在解决简单的力学问题 时，比分析力学方便简单。 广义相对论 广义相对论（General Relativity?），是爱因斯坦于1915年以几何语言建立而成的引力理论，统合了狭义相对论和牛顿的万有引力定律，将引力改描述成因时空中的物质与能量而弯曲的时空，以取代传统对于引力是一种力的看法。 广义相对论的相对性原理：所有非惯性系和有引力场存在的惯性系对于描述物理现象都是等价的。 爱因斯坦狭义相对论 相对论是20世纪物理学史上最重大的成就之一，它包括狭义相对论和广义相对论两个部分，狭义相对论颠复了从牛顿以来形成的时空概念，提示了时间与空间的统一性和相对性，建立了新的时空观。广义相对论把相对原理推广到非惯性参照系和弯曲空间，从而建立了新的引力理论。在相对论的建立过程中，爱因斯坦起了主要的作用。 物理经典力学和爱因斯坦的相对论有什么区别物理经典力学是牛顿时期的力学那时候的坐标系是忽略时间的,只有空间 爱因斯坦的相对论时期是考虑了时间的是时间和空间都考虑的 相对论与经典力学的区别与联系。 可以这样高度总结地来看： 经典力学是狭义相对论在低速（v< 1. 质点做匀速率圆周运动时，其速度和加速度的变化情况为（（A ）速度不变，加速度在变化（ B ）加速度不变，速度在变化（C ）二者都在变化（ D ）二者都不变 ） 2.一质点在平面上作一般曲线运动，其瞬时速度为 v ，瞬时速率为 v ，某一时 间内的平均速度为 v ，平均速率为 v ，它们之间的关系必定有： （ ） （A ）v v, v v （ ） （ ） （ ） v v, v v B v v, v v C v v, v v D 3.有两个质点 A 、B 分别做匀速圆周运动，角速度之比为 ω A ω B ： =1：2，圆周 的半径之比为 R A ：R B =1：3，则它们的法向加速度之比 an A ：an B =（ ） （A ）1：12 （B ）1：6 （C ）3：4 （D ）4：3 4.一运动质点在某瞬时位于矢径 r x, y 的端点处 , 其速度大小为（ ） d r d r 2 2 (A) d r (B) (D) d x d y (C) dt dt d t dt dt 5. 以下描述不正确的是（ ） (A) 动能定理只适用于惯性系。 (B) 动量定理只适用于惯性系。 (C) 功和动能不依赖于惯性系的选取。 (D) 动量守恒定律只适用于惯性系。 6.某质点作直线运动的运动学方程为 x ＝3t-5t 3 + 6 (SI)，则该质点作 (A)匀加速直线运动，加速度沿 x 轴正方向． (B)匀加速直线运动，加速度沿 x 轴负方向． (C)变加速直线运动，加速度沿 x 轴正方向． (D)变加速直线运动，加速度沿 x 轴负方向． 7. 一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度 v 2 m/s ，瞬时加速度 a 2m / s 2 ， 则一秒钟后质点的速度（ ） 班级 姓名 色的色 学号 批阅日期 5 月 5 日 质点运动学1-1 一、选择题 1、分别以r 、s 、v 和a 表示质点运动的位矢、路程、速度和加速度，下列表述中正确的是 A 、r r ?=? B 、v dt ds dt r d == C 、dt dv a = D 、v dt dr = [ B ] 2、一质点沿Y 轴运动，其运动学方程为324t t y -=， 0=t 时质点位于坐标原点，当质点返回原点时，其速度和加速度分别为 A 、116-?s m ，116-?s m B 、116-?-s m ，116-?s m C 、 116-?-s m ，116-?-s m D 、116-?s m ，116-?-s m [ C ] 3、质点在平面内运动，位矢为()r t ，若保持0dr dt =，则质点的运动是 A 、 匀速直线运动 B 、 变速直线运动 C 、圆周运动 D 、匀速曲线运动 [ C ] 二、填空题 4、一质点沿直线运动,其运动学方程为x = 6 t －t 2 (SI)，则在t 由0至4s 的时间间隔内，质点的位移大小为 8 m ，在t 由0到4s 的时间间隔内质点走过的路程为10 m ． 5、质点的运动方程为j t t i t t r )3 121()21 (32 +++-=，（SI ）当t ＝2s 时，其加速度=a j i r 4+-=。 6、质点以加速度t kv a 2 =作直线运动，式中k 为常数，设初速度为v 0，则质点速度v 与时间t 的函数关系是2 kt 2 1v 1v 1= - 。 三、计算题 8、一质点按t y t x ππ6sin 8,6cos 5==（SI ）规律运动。求（1）该质点的轨迹方程；（2） 第五秒末的速度和加速度 （1） 164 y 25 x 2 2 =+ 7.5 相对论时空观与牛顿力学的局限性 学案 1．了解牛顿力学时空观，初步了解相对论时空观。 2．了解时间延缓效应和长度收缩效应。 3．认识牛顿力学的成就和局限性。 1.相对论时空观 (1)绝对时空观：时间与空间都是□01独立于物体及其运动而存在的，也叫□ 02牛顿力学时空观。 (2)爱因斯坦的两个假设：在不同的惯性参考系中，物理规律的形式都是□ 03相同的；真空中的光速在不同的惯性参考系中大小都是□ 04相同的。 (3)同时的相对性：根据爱因斯坦的假设，如果两个事件在一个参考系中是同时的，但在另一个参考系中□ 05不一定是同时的。 (4)爱因斯坦假设的结果 ①时间延缓效应 如果相对于地面以v 运动的惯性参考系上的人观察到与其一起运动的物体完成某个动作的时间间隔为Δτ，地面上的人观察到该物体在同一地点完成这个动作 的时间间隔为Δt ，那么两者之间的关系是Δt ＝□06Δτ 1－? ????v c 2，由于1－? ????v c 2<1，所以总有Δt □ 07>Δτ。 ②长度收缩效应 如果与杆相对静止的人测得杆长是l 0，沿着杆的方向，以v 相对杆运动的人测 得杆长是l ，那么两者之间的关系是l ＝□ 08l 0 1－? ????v c 2，由于1－? ?? ??v c 2<1，所以总有l □ 09 2．牛顿力学的成就与局限性 (1)牛顿力学的成就 牛顿力学的基础是□11牛顿运动定律。牛顿力学在□12宏观、□13低速的广阔领域里与实际相符，显示了牛顿运动定律的正确性和牛顿力学的魅力。 (2)牛顿力学的局限性 ①物体在以接近□14光速运动时所遵从的规律，有些是与牛顿力学的结论并不相同的。 ②电子、质子、中子等微观粒子不仅具有粒子性，同时还具有□15波动性，它 们的运动规律在很多情况下不能用牛顿力学来说明，而□16量子力学能够很好地描述微观粒子运动的规律。 ③基于实验检验的牛顿力学不会被新的科学成就所否定，而是作为某些条件 下的□17特殊情形，被包括在新的科学成就之中。当物体的运动速度□18远小于光速c时，□19相对论物理学与牛顿力学的结论没有区别；当另一个重要常数即普朗克常量h可以忽略不计时，□20量子力学和牛顿力学的结论没有区别。相对论与量 子力学都没有否定过去的科学，而只认为过去的科学是自己在□21一定条件下的特殊情形。 判一判 (1)原子的运动能用牛顿力学描述。() (2)长度收缩效应是指物体的实际长度变短了。() 提示：(1)×原子是微观粒子，不能用牛顿力学描述，要用量子力学描述。 (2)×长度收缩效应是因为相对运动引起的观测效应，实际长度不变。 想一想 洲际导弹的飞行速度可达6000 m/s，地球绕太阳公转的速度是3×104 m/s，这两个速度在相对论中属于高速还是低速？ 提示：相对论中的高速是可以与光速相比拟的速度，6000 m/s、3×104 m/s的速度都远远小于光速，都属于相对论中的低速。 课堂任务相对论时空观 第五章狭义相对论基础 内容： 1．经典力学的时空观；迈克耳逊–莫雷实验，长度收缩，时间延缓，同时的相对性，狭义相对论的时空观。质量与速度的关系；相对论动力学基本方程；相对论动量和能量。 2．狭义相对论的基本原理； 3．洛仑兹坐标变换式； 4．相对运动； 重点与难点： 1．经典力学的时空观 2．迈克耳逊–莫雷实验。 3．狭义相对论的基本原理； 3．质量与速度的关系； 4．相对论动量和能量。 5．相对论动力学基本方程 要求： 1．了解爱因斯坦狭义相对论的两个基本假设。 2．了解洛伦兹坐标变换。了解狭义相对论中同时的相对性以及长度收缩和时间延缓。了解 伽利略的绝对时空观和爱因斯坦狭义相对论的时空观及其二者的差异。 3．理解狭义相对论中质量和速度的关系、质量和能量的关系。 相对论包括狭义相对论和广义相对论两部分内容．狭义相对论提出了新的时空观，建立了物体高速运动所遵循的规律，揭示了时间和空间、质量和能量的内在联系．广义相对论提出了新的引力理论，开始了有关引力本质的探索．本章仅介绍狭义相对论的运动学以及相对论动力学的主要结论． §5-1 伽利略变换与力学相对性原理 为了理解相对论时空观的变革，首先回顾一下牛顿力学的时空观． 一、伽利略变换与绝对时空观 要描述某一个事件，应该说明事件发生的地点和时间．这就需要确定一个参考系，并在其中使用一定的尺和钟，用以确定事件发生的空间坐标和时间坐标，即用x、y、z来表示事件发生的空间位置，用t来表示事件发生的时刻． 设有分别固定在两个惯性参考系上的两个直角坐标系S和S'，如图5-1所示，相应的坐标轴相互平行，S'系相对于S系以恒定速度v沿x轴正方向运动．现在要讨论的问题是：如果在S系上的观测者测得某一事件P发生的位置和时刻分别为x、y、z和t，而在S'系上观测者测得同一事件P发生的位置和时刻分别为x'、y'、z'和t'，那么x、y、z、t 和x'、y'、z'、t'之间的关系如何呢？ 第十 相对论简介 12.1迈克尔孙—莫雷实验结果说明什么问题？ 答：1865年，英国物理学家麦克斯韦发表了题为“电磁场的动力学理论”的论文，提出了电磁场及电磁波的理论，并将各种电磁现象的本质概括为一组方程——麦克斯韦电磁场方程。该理论提出后，由于经典物理理论在人们头脑中的根深蒂固，因此人们坚定不移地认为：传播电磁波（包括光波）的介质，即以太必然存在，由于参照系的运动必然导致“以太风”的产生，麦克斯韦方程只有在绝对静止以太参照系中成立。 迈克尔孙——莫雷实验的负结果，否认了以太相对于太阳的绝对静止。并进而否定了以太的存在。真空中光速是一个不变值，伽俐略速度合成公式，即伽俐略变换在电磁现象中失败了，这就需要提出一种新的时空观念，即新的坐标变换。 12.2狭义相对论的基本假设是什么？为什么在光速不变原理中强调真空中的光速？洛仑磁变换与伽利略变换有什么不同？ 答：狭义相对论中的两个基本假设： 1＞．光速不变原理——真空中的光速C 是对任何惯性参照系都适用的普适常数。 2＞．狭义相对性原理——对于描述一切物理过程的规律所有惯性系都是等价的。 在麦克斯韦的电磁场方程中要涉及真空中的介电常数0ε，真空中的磁导率0μ而 01 με与真空中的光速完全一样为C ，只有C 在任何参照系中为普适常数，麦克斯韦才具 有普遍意义，故在光速不变原理中必然强调的是在真空中的光速。 伽利略变换与洛仑兹变换的本质不同点体现在时空观，伽利略变换体现了时间和空间是独立的，而洛沦兹变换体现了相对时空观，它们是相互依存的统一体。 12.3 在o '系中o x y '''-坐标面内置一圆盘，在另一惯性参照系O 系中的观察者是否也测到一个圆盘？ 答：若O 系相对于o '系有一定的速度，且速度的方向沿o-x 轴，或o-y 轴，则在o 系中测得的是一个椭圆，这是由于洛沦磁收缩的原因。 若Ｏ相对于o '系的速度垂直于o x y '''-平面。则在o 系中也测到一个圆盘。 12.4有两个静长度相等的杆分别置于o 系和o '系中且处于静止，从o 系观察，哪根棒较长？从o '系观察的结果又如何？它们的观测结果是否相同？如果不相同，究竟谁正确？ 答：设两个棒沿x 轴和x`轴放置，o '系相对于o 系沿x 轴运动，则两系中的观察者观测的棒的静长0L 观测的动长为2 01β -=L L 根据此公式可得o 系的观测者认为置于o 系中的棒比置于o '系中的棒要长一些。 o ' 系的观测者认为置于o '系的棒比置于o 系中的棒要长一些。两个观测者观测的结果均正确。 12．5在相对论中对于两事件同时的理解和在经典力学中有什么不同。 答：在经典力学中，在某一个参照中两个同时发生的事件。那么观察者无论在任何一个其它的参照系上观测，这两个事件也是同时发生。 在相对论中，若在某一个参照系中，两个事件是同时发生的，即21t t =在另一个相对于此参照系以速度V 运动的另一个参照系中，根据洛仑兹变化可得 ： 2 2 1 12v t t x )''-=- 若此二事间发生在不同地点，则不足同时发生的，若发生在同一地点，则同时是绝对的。 12.6相对论的质量——速率关系为2 1β-=m m 是否违背质量守恒？ 答：在经典力学中，质量守恒定律和能量守恒定律是两个彼此独立的定律，但是在相对论中，它们是统一的，可称为质——能守恒“质能”可以看作是一个统一的物理量。例如： 智慧树知到《物理与人类生活》章节测试[完 整答案] 智慧树知到《物理与人类生活》章节测试答案 第一章 1、光从太阳到达地球所需的时间大约为 A:8秒钟 B:8分钟 C:8小时 D:不需要时间，瞬间到达 正确答案：8分钟 2、下列关于学习物理学的作用的说法，正确的是 A:学习物理不仅可以了解自然规律，还可以指导人的科学活动 B:物理学纯粹是理论研究，与日常生活无关 C:只有物理专业的人才需要学物理，其它人学习物理毫无意义 D:学好物理学，就可以掌握世界的全部规律，不需要再学其它学科 正确答案：学习物理不仅可以了解自然规律，还可以指导人的科学活动 3、下列物理学分支学科中，形成时间最早的是 A:力学 B:热学 C:电磁学 D:相对论 正确答案：力学 4、下列哪种现象属于力学的研究范畴? A:雨后天空出现彩虹 B:水分解为氢和氧 C:行星绕太阳运动 D:手机收发信号 正确答案：行星绕太阳运动 5、浮力定律是谁发现的? A:牛顿 B:伽利略 C:阿基米德 D:亚里士多德 正确答案：阿基米德 6、《自然哲学的数学原理》的作者是 A:牛顿 B:伽利略 C:哈密顿 D:拉格朗日 正确答案：牛顿 7、麦克斯韦是哪个国家的物理学家? A:美国 B:英国 C:法国 D:德国 正确答案：英国 8、下列哪个定律不属于电磁学的基本原理? A:查理定律 B:库仑定律 C:欧姆定律 D:安培定律 正确答案：查理定律 9、光的衍射现象说明了 A:光具有波动性 B:光具有量子性 C:光具有偏振性 D:光的波长很小 正确答案：光具有波动性 10、十九世纪末微观物理的三大发现是 A:以太、黑体辐射、放射性 B:以太、电子、放射性 C:伦琴射线、电子、黑体辐射 D:伦琴射线、电子、放射性 正确答案：伦琴射线、电子、放射性 大学物理”力学和电磁学“练习题(附答案) 部分力学和电磁学练习题（供参 考） 一、选择题 1. 一圆盘正绕垂直于盘面的 水平光滑固定轴O 转动，如图射来两个质量相同，速度大小 相同，方向相反并在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并且留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度ω (A) 增大． (B) 不变． (C) 减小． (D) 不能确定． ［ C ］ 2. 将一个试验电荷q 0 (正电荷)放在带有负电荷的大 导体附近P 点处(如图)，测得它所受的力为F ．若考虑到电荷q 0不是足够小，则 (A) F / q 0比P 点处原先的场强数值大． (B) F / q 0比P 点处原先的场强数值小． (C) F / q 0等于P 点处原先场强的数值． (D) F / q 0与P 点处原先场强的数值哪个大无法确定． ［ A ］ 3. 如图所示，一个电荷为q 的点电荷位于立方体的A 角上，则通过侧面 abcd 的电场强度通量等于： (A) 06εq ． (B) 0 12ε q ． (C) 24εq ． (D) 48εq ． ［ C ］ O M m m － P +q 0 A b c a q 4. 两块面积均为S 的金属平板A 和B 彼此平行放置，板间距离为d (d 远小于板的 线度)，设A 板带有电荷q 1，B 板带有电荷 q 2，则AB 两板间的电势差U AB 为 (A) d S q q 0 2 1 2ε+． (B) d S q q 0 2 1 4ε+． (C) d S q q 02 12ε-． (D) d S q q 02 14ε-． ［ C ］ 5. 图中实线为某电场中的电场线，虚线表示等势（位）面，由图可看出： (A) E A ＞E B ＞E C ，U A ＞U B ＞U C ． (B) E A ＜E B ＜E C ，U A ＜U B ＜U C ． (C) E A ＞E B ＞E C ，U A ＜U B ＜U C ． (D) E A ＜E B ＜E C ，U A ＞U B ＞U C ． ［ D ］ 6. 均匀磁场的磁感强度B ? 垂直于半径为r 的圆面．今以该圆周为边线，作一半球面S ，则通过S 面的磁通量的大小为 (A) 2πr 2B ． (B) πr 2B ． (C) 0． (D) 无法确定的量． ［ B ］ 7. 如图，两根直导线ab 和cd 沿半径方向被接到一个截面处处相等的铁环上，稳恒电流I 从a 端流入而从d 端流出，则磁感强度B ? 沿图中闭合路径L 的积分 d B A S q 1 q 2 C B A I I a b c d 120° 大学物理学练习册 （一） 参考答案 习 题 解 答（力学） 练习一 一）选择题 ： 1）C ； 2) B ； 3) D ； 4) D ； 5) D ； 二）填空题： 1）222)( , cos A v y t A dt dy v =+==ω ωω 2) 30 2 031Ct dt Ct v v t = =-? , 400121Ct t v x x +=- 3) v h h h v m 2 11-= 三）计算题 1）解：t a t τ a a kt a a(t) ,a , 00+ =+===；a n n n t )1(a a a(n) ,+=+ ==ττ τ 20 021)()(t at dt t a a v t v t ττ + =+ +=?；32020)(6)(2)21(ττ τττn a n a dt t at x x n +=++=? 四）证明题： 1）解法一： 2kv dt dv -= ，kdt v dv -=2 ，C kt v +-=-1 由初始条件可求得：01v C - =， 01 1v kt v +=， kt v v v 001+= 由vdt dx = ，积分得 )1ln(1 100000+=+= -?kt v k dt kt v v x x t kx e kt v kt v kx =++=1 , )1ln(00 kx e v kt v v v -=+= 000 1 解法二：由：2kv dx dv v dt dx dx dv dt dv -=?=?= 得：kdx v dv -= kx v v -=0 ln ， kx e v v -=0 练习二 一）选择题： 1）B ； 2）C ； 3）B ； 4）B ； 5） D 二）填空题： 1）)/(40033 ),( 34s m m π π，与X 轴正向成60°角 2）B ，R A B 2 4+π； 3）θθcos , sin g g 三）计算题 1）设斜面为动系，地面为静系，质点为动点，则有：e r a v v v += ααsin ,cos r ay r ax v v v u v =+= ; gy v r 2= αααcos 222)sin 2()cos 2(2222gh u u gh gh gh u v ++=++= 牛顿力学、相对论和时间空间的关系 志勰 对牛顿力学和相对论进行的比较分析，可以说本文是我在探索相对论时间和空间观念结束的一篇总结性的文章。对牛顿力学和相对论的观念进行了确定性比较判断。 关于相对论和时间、空间的关系，在前面的文章中实际上已经结束了。又涉及的概念和说明的方法很杂乱，这里进行系统的整理一下，并对前面一些文章中的看法进行修正一下。为了便于总览整体的轮廓，这里只进行关键性的问题说明，您可以查阅前面的文章。 时间和空间的两种定义方法 牛顿力学中的时间概念来源于人们对物质运动变化的经验感觉，并选定一个统一的定量标准去对物质运动变化进行定量，实际上这是采用一种物质运动变化的度量流程标准去对另一种物质运动变化进行度量。并且对这一度量流程绝对的均匀化，理想化。以至于是可以采用数学化的绝对均匀描述。比如两个时刻之间可以采用任意均匀的间隔进行描述。从物质事件的进程中我们可以向前或者向后无限的延伸。即通常所说的延绵。并且，这样的时间定义于我们所采用的任何参照系是无关的。关于这一问题，您可参见时间的经验感觉。牛顿力学对空间的处理也同样是这样，采用标准距离去定义物体的长度。实际上，牛顿力学已经将时间和空间纯粹的理想化，并采用数学化的方式进行描述。牛顿力学中时间和空间概念是脱离于物质运动的定义的。因此，时间与空间在牛顿力学中是最基本的物理单位。 举个例子来说，热胀冷缩:一个物体发生热胀冷缩，我们不能判断物体所在的空间发生膨胀，而仅将物体这种膨胀属性归因于物体的结构在不同温度下所发生的常规现象，我们知道，实际上，温度的不同，物体分子间的相互作用是不同的。我们不是将这种作用加到空间上，而判断物体发生了空间膨胀，实际上，如果我们将空间的属性判断为物质的属性，那么这样的说法也未尝不可。因此，牛顿力学中的时间和空间是一种绝对理想化的物理量，它不依赖于物质的作用属性。 相对论中的时间观念却不是这样了，它是在处理参照系的问题时而引入的新的概念。 狭义相对论基础 学 号 姓 名 一.选择题： 1.（本题3分）4359 (1). 对某观察者来说，发生在某惯性系中同一地点、同一时刻的两个事件，对于相对于该惯性系作匀速直线运动的其它惯生系中的观察者来说，它们是否同时发生？ (2)在某惯性系中发生于同一时刻、不同地点的两个事件，它们在其它惯性系中是否同时发生？ 关于上述两个问题的正确答案是： [A] (A)（1）同时， （2）不同时； (B)（1）不同时， （2） 同时； （C ）（1）同时， （2） 同时； （D ）（1）不同时， （2） 不同时； 2.（本题3分）4352 一火箭的固有长度为L ，相对于地面作匀速直线运动的速度为v 1，火箭上有一个人从火箭的后端向火箭前端上的靶子发射一颗相对于火箭的速度为v 2的子弹，在火箭上测得子弹从射出到击中靶的时间间隔是： [B] （A ） 2 1v v L + （B ） 2 v L （C ） 2 1v v L - （D ） 2 11) /(1c v v L - 3.(本题3分)4351 宇宙飞船相对于地面以速度v 作匀速直线运动，某一时刻飞船头部的宇航员向飞船尾部发出一个光讯号，经过?t （飞船上的钟）时间后，被尾部的接收器收到，则由此可知飞船的固有长度为 [A ] （A ）t c ?? (B) t v ?? (C) 2 )/(1c v t c -??? (D) 2 ) /(1c v t c -?? 4.(本题3分)5355 边长为a 的正方形薄板静止于惯性系K 的XOY 平面内，且两边分别与X 、Y 轴平行，今有惯性系K ˊ以0.8c （c 为真空中光速）的速度相对于K 系沿X 轴作匀速直线运动，则从K '系测得薄板的面积为： [ B ] （A ）a 2 （B ）0.6a 2 （C ）0.8a 2 （D ）a 2 /0.6 5．（本题3分）4356 一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行，如果宇航员希望把这路程缩短为3光年，则他所乘的火箭相对于地球的速度应是： [C] （A ）（1/2）c （B ）（3/5）c （C ）（4/5）c （A ）（9/10）c 6．（本题3分）5614 5 相对论时空观与牛顿力学的局限性 教学目标 1. 了解狭义相对论的两条基本假设，了解狭义相对论和广义相对论提出的历史背景。 2. 了解尺缩钟慢效应，经历分别以地面为参考系和以μ子为参考系计算μ子寿命的过程。 3. 知道牛顿力学的适用条件和局限性。 教学重难点 教学重点 狭义相对论的两条基本假设、尺缩钟慢效应、牛顿力学的局限性 教学难点 狭义相对论的基本假设、应用洛伦兹变换分析相关问题 教学准备 多媒体课件 教学过程 新课引入 教师活动：展示时钟塔的图片。 教师活动：我们之所以能看到物体，是因为有光进入了我们的眼睛。设想，你以乘坐电车以光速远离时钟塔，你看到的时钟塔时钟的指针应该是怎样的？实际上时钟塔的指针应该是怎样的？ 讲授新课 一、相对论时空观 教师活动：讲解狭义相对论提出的历史背景。 19 世纪，英国物理学家麦克斯韦根据电磁场理论预言了电磁波的存在，并证明电磁波的传播速度等于光速c。人们自然要问：这个速度是相对哪个参考系而言的？一些物理学家对这个问题进行了研究。在实验研究中，1887年的迈克耳孙—莫雷实验以及其他一些实验表明：在不同的参考系中，光的传播速度都是一样的！这与牛顿力学中不同参考系之间的速 度变换关系不符。 在牛顿力学理论与电磁波理论的矛盾与冲突面前，一些物理学家仍坚持原有理论的基础观念，进行一些修补的工作，而爱因斯坦、庞加莱等人则主张彻底放弃某些与实验和观测不符的观念，如绝对时间的概念，提出能够更好地解释实验事实的假设。 教师活动：讲解狭义相对论的两条基本假设。 狭义相对性原理：在不同的惯性参考系中，物理规律都可以表示为相同的形式。 光速不变原理：真空中的光速在不同的惯性参考系中大小都是相同的。 教师活动：讲解同时的相对性。 在经典力学中，时间是绝对的，时间均匀流逝的。两者之间是独立的。 在经典力学的，两个事件在某一参考系中同时发生，那么在其他任意的参考系中这两个事件也是同时发生的。 在相对论中，时间和空间是不可分割的。时间和空间都是相对的，两个事件是否同时发生也是相对的。 假设一列火车沿平直轨道飞快地匀速行驶。车厢中央的光源发出了一个闪光，闪光照到了车厢的前壁和后壁。车上的观察者以车厢为参考系，因为车厢是个惯性系，光向前、后传播的速率相同，光源又在车厢的中央，闪光当然会同时到达前后两壁。 对于车下的观察者来说，他以地面为参考系，因闪光向前、后传播的速率对地面也是相同的，在闪光飞向两壁的过程中，车厢向前行进了一段距离，所以向前的光传播的路程长些。他观测到的结果应该是：闪光先到达后壁，后到达前壁。因此，这两个事件不是同时发生的。 教师活动：讲解尺缩钟慢效应。 如果相对于地面以v 运动的惯性参考系上的人观察到与其一起运动的物体完成某个动作的时间间隔为Δτ，地面上的人观察到该物体在同一地点完成这个动作的时间间隔为Δt ，那么两者之间的关系是 t ?= (1) 由于v 狭义相对论的基本原理
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