思考题
13-1 尖端放电的物理实质是什么？
答：尖端放电的物理实质，是尖端处的强电场致使附近的空气分子电离，电离所产生的带电粒子在电场的作用下急剧运动和相互碰撞，碰撞又使更多的空气分子电离，并非尖端所带的电荷直接释放到空间去。
13-2 将一个带电+q半径为RB的大导体球B移近一个半径为RA而不带电的小导体球A，试判断下列说法是否正确？并说明理由。
图13-37 均匀带电球体的电场能
(1) B球电势高于A球。
答：正确。不带电的导体球A在带电+q的导体球B的电场中，将有感应电荷分布于表面。另外，定性画出电场线，在静电场的电力线方向上电势逐点降低，又由图看出电场线自导体球B指向导体球A，故B球电势高于A球。
(2) 以无限远为电势零点，A球的电势: VA < 0
答：不正确。若以无穷远处为电势零点V∞＝0，从图可知A球的电力线伸向无穷远处。所以，VA ＞0。
13-3 怎样能使导体净电荷为零，而其电势不为零?
答：将不带电的绝缘导体(与地绝缘并与其它任何带电体绝缘)置于某电场中，则该导体有∑q=0而导体的电势V≠0。
13-4 怎样理解静电平衡时导体内部各点的场强为零？
答：必须注意以下两点：
（1）这里的“点”是指导体内的宏观点，即无限小体积元。对于微观点，例如导体中某电子或某原子核附近的一个几何点，场强一般不为零；
（2）静电平衡的这一条件，只有在导体内部的电荷除静电场力以外不受其他力（如“化学力”）的情况下才能成立。
13-5 怎样理解导体表面附近的场强与表面上对应点的电荷面密度成正比？
答：不应产生这样的误解：导体表面附近一点的场强，只是由该点的一个面电荷元σ?S产生的。实际上这个场强是导体表面上全部电荷所贡献的合场强。如果场中不止一个导体，则这个场强应是所有导体表面上的全部电荷的总贡献。
13-6 为什么不能使一个物体无限制地带电？
答：所谓一个物体带电，就是指它因失去电子而有多余的净的正电荷或因获得电子而有多余的负的净电荷。当物体带电时，在其周围空间产生电场，其电场强度随物体带电量的增加而增大。带电体附近的大气中总是存在着少量游离的电子和离子，这些游离的电子和离子在其强电场作用下，获得足够的能量，使它们和中性分子碰撞时产生碰撞电离，从而不断产生新的电子和离子，这种电子和离子的形成过程如雪崩一样地发展下去，导致带电物体附近的大气被击穿。在带电体带电的作用下，碰撞电离产生的、与带电体电荷异号的电荷来到带电体上，使带电体的电量减少。所以一个物体不能无限制地带电。如尖端放电现象。
13-7 感应电荷的大小和分布怎样确定？
答：当施感电荷Q接近于一导体时，导体上出现等量异号的感应电荷±q′。其分布一方面与导体的表面形状有关，另一方面与施感电荷Q有关，导体靠近Q的一端，将出现与Q
异号的感应电荷q′。而一般情况下q′并不等于Q，q′的大小及其在导体上的分布情况由静电平衡条件决定，最终总是使得±q′与施感电荷Q在导体内任一点产生的合电场强度为零，只有在一些特殊情视下，q′的大小才会与Q相等。
13-8 怎样理解导体壳外电荷对壳内的影响？
答：封闭导体壳不论接地与否，其内部的电场均不受壳外电荷的影响，对此不能产生误解，以为由于壳的存在，壳外电荷不在壳内产生电场。实际上，壳外电荷也要在壳内激发电场，只是由于这个场与壳外表面的感应电荷在壳内激发的场的合场强为零，才造成壳内电场不受壳外电荷影响这一结果。
13-9 怎样理解导体壳内电荷对壳外的影响？
答：对一个不接地的中性导体壳，壳外无带电体，但壳外空间仍然可能有场，这个场是壳内电荷间接引起的。例如壳内有一正电荷q，则壳内、外壁的感应电荷将分别为-q和+q。外壁电荷将发出电场线，所以壳外空间有场。但是不要以为由于壳的存在，壳内电荷q不在壳外空间激发场。实际上壳内电荷q和内壁感应电荷-q都要在壳外空间激发场，只不过其合场强为零，才使得壳外空间的场只是由外壁感应电荷+q所决定。而且应当注意，无论壳内电荷分布如何，它和内壁感应电荷在壳外空间激发的合场强始终为零。壳外空间的场只与壳内电荷的总电量有关，而与它们的分布无关。
13-10 在静电场中的电介质、导体表现出有何不同的特征？
答：静电场中的导体的主要特征是表面有感应电荷，内部场强处处为零，表面为等势面，导体为等势体。而电介质的主要特征是在电场中被极化产生极化电荷，介质内部场强不为零，方向与外加电场方向一致，一般说介质表面不是等势面。13-11 电介质的极化现象与导体的静电感应现象有什么区别？
答：导体的静电感应现象从微观上看，是金属中有大量自由电子，它们在电场的作用下可以在导体内作宏观移动，电子的移动使导体中的电荷重新分布，结果在导体表面出现感应电荷。感应电荷产生的电场与外电场的方向相反，因此随着感应电荷的堆积，导体中的合场强逐渐减小，达到静电平衡时，感应电荷产生的电场与外加电场相互抵消，导体中的合场强为零，导体中自由电子的宏观移动也停止。
电介质的极化现象从微观上看，分子中的电子与原子核的结合相当紧密，电子处于束缚状态。把电介质引入静电场时，电子与原子核之间，只能作一微观的相对位移，或者它们之间的连线稍微改变方向（有时两种情况都发生），结果在沿场强方向的两个表面出现极化电荷。极化电荷所产生的电场只是部分地抵消外加电场，达到稳定时，电介质内部的电场强度不为零。
13-12 怎样理解电势能与电场能
答：电势能是带电体之间或带电体与电场之间的相互作用能，随电势能零点的选取而改变，其正负取决于相互作用性质。由于电势能在所求点A处的值等于将电荷从无限远（电势能零点处）移至A处外力反抗电场力作的功，外力作的功的正负与电势能正负一致。也可由相互作用判断，如是排斥作用，则是正值，如是吸引作用，则是负值。电场能是电场物质所包含的固有能量，与势能零点的选取无关。电势能是电场能的一部分，也表示电场能随位置改变的变化。在有一些情况，如电容器中，由于电场只存在于电容器内部，电容储能
1Q211W==CU2=QU 既是电场能，又是电势能。 2C22
13-13 怎样使导体有过剩的正(或负)电荷，而其电势为零？
答：将不带电的导体置于负电荷(或正电荷)的电场中，再将该导体接地，然后撤除接地线。则该导体有正电荷(或负电荷)，并且电势为零。
13-14 怎样使导体有过剩的负电荷，而其电势为正？
答：将一带少量负电荷-q的导体置于另一正电荷Q(Q>>q)的电场中，由于Q>>q ，带负电荷的导体并未明显改变原电场，这时该导体有过剩的负电荷，而其电势为正。
13-15 电介质在外电场中极化后，两端出现等量异号电荷，若把它截成两半后分开，再撤去外电场，问这两个半截的电介质上是否带电?为什么?
答: 不带电
因为从电介质极化的微观机制看有两类：
①非极性分子在外电场中沿电场方向产生感应电偶极矩；
②极性分子在外电场中其固有电偶极矩在该电场作用下沿着外电场方向取向。
其在外电场中极化的宏观效果是一样的，在电介质的表面上出现的电荷是束缚电荷，这种电荷不象导体中的自由电荷那样能用传导的方法引走。当电介质被裁成两段后撤去电场，极化的电介质又恢复原状，仍各保持中性。
13章习题
13-1 半径分别为1.0cm与2.0cm的两个球形导体，各带电量1.0×10-8C，两球心间相距很远，若用导线将两球相连，求：
（1）每个球所带电量；
（2）每球的电势。
解: 两球相距很远，可视为孤立导体，互不影响，球上电荷均匀分布。设两球半径分别为r1和r2，导线连接后的带电量分别为q1和q2，而 q1+q2= 2q，则两球电势分别是
V1=q1
4πε0r1 ，V2=q24πε0r2
两球相连后电势相等，V1=V2，则有
q1q2q1+q22q=== r1r2r1+r2r1+r2
即
q1=
q2=2qr1=6.67?10-9C r1+r22qr2=13.33?10-9C r1+r2
两球电势
V1=V2=q1
4πε0r1=6.0?103V
13-2 A、B、C是三块平行金属板，面积均为200cm2，A、B相距4.0mm，A、C 相距2.0mm，B、C两板都接地，如图13-38所示。设A板带正电3.0×10-7C，不计边缘效应，求B板和C板上的感应电荷，以及A板的电势。
图 13-38
解: A板带正电，B、C两板接地，且两板在A板附近，所以A板上的正电荷电量为q，分布在左右两表面，设B板感应电荷为-q1，C板感应电荷为-q2 ，则
q1+q2=q ①
由于AB间和AC间均可视为匀强电场
EAB=EAC=q1 ε0Sq2 ε0S
所以
q1EAB= ② q2EAC
根据题意
VA-VB=VA-VC
dAB?EAB=dAC?EAC
得
EAB1= ③ EAC2
由②③解得
q1=1.0×10-7C， q2=2.0×10-7C
B板上感应电荷为– q1= –1.0×10-7C
C板上感应电荷为– q2= – 2.0×10-7C
q1dAB ε0SVA=EAB?dAB=1.0?10-7?4.0?10-3
=2.3?103V =-12-48.85?10?200?10
13-3 两块无限大均匀带电导体平板相互平行放置，设四个表面的电荷面密度分别为σ1、σ2、σ3、σ4，如图13-39所示。求证当静电平衡时，σ2=-σ3、σ1=σ4。
图
13-39
证明垂直于板作柱状高斯面，如图所示，因为导体内场强为零，两板间场强垂直于板平面，所以有
E?dS=(σS2+σ3)?S1ε0=0
所以σ2=-σ3
又左边导体板内场强E=(σ1-σ2-σ3-σ4)/2ε0=0
考虑到σ2+σ3=0于是有σ1=σ4
13-4如图13-40所示，一内半径为a、外半径为b的金属球壳，带有电荷Q，在球壳空腔内距离球心r处有一点电荷q。设无限远处为电势零点，试求：
(1) 球壳内外表面上的电荷。
(2) 球心O点处，由球壳内表面上电荷产生的电势。
(3) 球心O点处的总电势。
图13-40 习题13-4图
解: (1) 由静电感应，金属球壳的内表面上有感生电荷-q，外表面上带电荷q+Q。
(2) 不论球壳内表面上的感生电荷是如何分布的，因为任一电荷元离O点的距离都是a，所以由这些电荷在O点产生的电势为
V-q=?dq
4πε0a=-q 4πε0a
(3) 球心O点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷q在O点产生的电势的代数和
VO=Vq+V-q+VQ+q
=qqQ+qq111Q = -+(-+)+4πε0r4πε0a4πε0b4πε0rab4πε0b
13-5有一"无限大"的接地导体板，在距离板面b处有一电荷为q的点电荷。如图13-41所示，试求：
(1) 导体板面上各点的感生电荷面密度分布。
(2) 面上感生电荷的总电荷。
图13-41 习题13-5图
解: (1) 选点电荷所在点到平面的垂足O为原点，取平面上任意点P，P点距离原点为r，设P点的感生电荷面密度为σ．
在P点左边邻近处(
导体内)场强为零，其法向分量也是零，按场强叠加原理，
EP⊥=
所以σqcosθ+=0 222ε04πε0r+b(r2+b2)σ=-qb/2π
(3/2 (2) 以O点为圆心，r为半径，dr为宽度取一小圆环面，其上电荷为
dQ=σdS=-qbrdr/r2+b2)3/2
总电荷为
Q=?σ
dS=-qb?S∞rdr0r2+b23/2=-q
O
13-6如图13-42所示，中性金属球A，半径为R，它离地球很远．在与球心O相距分别为a与b的B、C两点，分别放上电荷为qA和qB的点电荷，达到静电平衡后，问：
(1) 金属球A内及其表面有电荷分布吗？
(2) 金属球A中的P点处电势为多大？(选无穷远处为电势零点)
qB
图13-42 习题13-6图
解: (1) 静电平衡后，金属球A内无电荷，其表面有正、负电荷分布，净带电荷为零。
(2) 金属球为等势体，设金属球表面电荷面密度为σ．
?qAqB? +?σ?dS?ab? VP=V0=+SA4πεR4πε00
因为
σ?dS=0 SA
所以
?qAqB? +?ab? VP=?
4πε0
13-7 半径为R1的导体球，被一与其同心的导体球壳包围着，其内外半径分别为R2、R3，使内球带电q，球壳带电Q，试求：
（1）电势分布的表示式；
（2）用导线连接球和球壳后的电势分布；
（3）外壳接地后的电势分布。
图13-43 习题13-7图
解:（1）根据静电平衡条件，导体内场强为零。可知球壳内表面感应电荷为–q，且均匀分布；导体球所带电量q均匀分布在导体球表面。由电荷守恒得导体球壳外表面均匀分布电量(Q+q)，所以静电平衡后空间电势分布可视为三个均匀带电球面的电势叠加。均匀带电球面电势为
?q?4πεR(r≤R)?0 V=?q?(r≥R)?4πεr0?
所以当r≤R1，
V1=
R1≤r≤R2， 1?qqq+Q??-+ 4πε0?R1R2R3??
V2=
R2≤r≤R3， 1?qqq+Q??-+ 4πε0?rR2R3??
V3=
r≥R3，q+Q 4πε0R3
V4=q+Q 4πε0r
（2）导体连接后，导体球带电量q与球壳内表面感应电荷–q中和，导体壳与导体球等势，电荷分布在导体壳外表面，电量为q+Q，所以
r≤R3，
V1'=V2'=V3'=
r≥R3，q+Q 4πε0R3
V4'=q+Q 4πε0r
（3）外壳接地后，外表面电荷q+Q被中和，则为两均匀带电球面电势叠加
r≤R1，
V1''=
R1≤r≤R2，?qq?? - ?4πε0r?R1R2?1
?qq? V2''=-? 4πε0r?rR2??1
r≥R2，
V3''=V4''=0
13-8 已知导体球半径为R1，带电量为q。一导体球壳与球同心，内外半径分别为R2和R3，带电量为Q，如图13-44所示。求：
（1）场强的分布；
（2）球和球壳的电势V1和V2以及它们的电势差；
（3）若球壳接地，V1和V2以及电势差；
（4）用导线连接球与球壳后V1和V2的值。
图13-44 习题13-8图
解: （1）先确定电荷的分布：因内球表面带电量为q，则球壳内表面的感应电荷为-q；又因球壳所带的电量为Q，根据电荷守恒定律，球壳外表面的带电量一定为q+Q。下面用两种方法求此带电系统的场强分布。
方法一：用高斯定理求解。因电荷分布具有球对称性，可用高斯定理求场强。取以半径为r的同心球面为高斯面。
当r E?dS=0， S1 所以 4πr2E=0，即E=0； 当R1 所以 S2E?dS=qε0， 4πr2E=q ε0，即E=q4πε0r2； 当R2 所以 S3E?dS=q-qε0， 4πr2E=0，即E=0； 当r>R3时： 所以 SE?dS=q+Qε0， 4πr2E=q+Q ε0， 即 E=q+Q。4πε0r2 方法二：利用场强叠加原理求E分布。 空间任意一点的场强都可以看为三个带电量分别为q、- q和q+Q的带电球面在该点产生的场强的矢量和。设三个带电球面产生的场强大小分别为E1、E2和E3，利用均匀带电球 面的场强公式可得 ?0?E1=?q ?4πεr2 0??0?E2=?q ?4πεr2 0??0? E3=?q+Q ?4πεr2 0? r r r 根据场强的叠加原理，空间任意一点的总场强 E=E1+E2+E3 所以，场强大小分布为 ?0 ??q?4πε0r2E=? ?0 ?q+Q?2??4πε0r r （2）求球体和球壳的电势及它们的电势差。方法一：用电势定义式Vp=球的电势： ? ∞p E?dl计算。 V1=?E?dl=? R1 ∞ R2R1 R3∞q+Qq dr+0dr+dr??22RR234πεr4πε0r0 q11q+Q =(-)+ 4πε0R1R24πε0R3 球壳的电势： V2=?E?dl=? R3 ∞ q+Qq+Q dr= R34πεr24πε0R30 ∞ 球与球壳的电势差： U=V1-V2= q4πε0 ( 11 -) R1R2 方法二：用电势叠加原理计算。 空间任一点的电势都可以看作这三个带电球面在该点所产生的电势的代数和。利用均匀 带电球面产生电势的公式 ?q?4πεR?0 V=? ?q??4πε0r 同样可以得到 V1= q4πε0 ( r≤R r>R q+Q11q+Q-)+， V2=， 4πε0R3R1R24πε0R3 所以 U=V1-V2= q4πε0 ( 11-) R1R2 （3）若导体球接地，球壳外表面电荷中和。用高斯定理可求得场强分布?0??qE=?2 ?4πε0r?0? r R1 所以得 V1=? 所以 R2 q4πε0r2 R1 dr+?0dr= R2 R3 q4πε0 ( 11 -)，V2=0， R1R2 U=V1-V2=q 4πε0(11-) R1R2 （4）用导线联结球与球壳时，球与球壳内表面电荷中和，导体球壳外表面带电量为q+Q。这时场强的分布为 ?r E=?0 ?q+Q ?4πεr2r>R ?3 因球和球壳相联，所以它们的电势相等，即 V∞q+Q 1=V2=?R0r2dr=q+Q 34πε4πε0R3 球与球壳的电势差为 U=V1-V2=0 13-9一半径为R的带电介质球体，相对介电常量为εr，电荷体密度分布ρ = k / r。已知常量)，试求球体内、外的电位移和场强分布。 解:取半径为r'→r'+dr'的薄壳层，其中包含电荷 dq=ρdV=(k/r')4πr'2dr'=4πkr'dr' 应用D的高斯定理，取半径为r的球形高斯面．球内： 4πr2Dr 1=4πk?0r'dr'=2πkr2 D1 = k / 2 ， D1=D1er (er 为径向单位矢量) E1 = D1 / (ε0εr) = k / (2ε 0εr)， E1=E1er 球外：4πr2D2=4πk?R 0r'dr'=2πkR2 DkR2 2=2r2 , D2=D2er (k为 kR2 E2=D2/ε0=，E2=E2er 2ε0r2 13-10半径为R的介质球，相对介电常量为εr、其体电荷密度ρ＝ρ0(1－r / R)，式中ρ0为常量，r是球心到球内某点的距离。试求： (1) 介质球内的电位移和场强分布。 (2) 在半径r多大处场强最大？ 解: (1) 取半径为r'→r'＋dr'的薄壳层，其中包含电荷 ?2r'3??r'?2 dq=ρdV=ρ0 1-?4πr'dr'=4πρ0 r'-?dr' ?RR???? 应用D的高斯定理，取半径为r的球形高斯面． ?r3r4??2r'3?? 4πrD=4πρ0? r'- 3-4R???dr'=4πρ0 0 R????2r 则：?rr2? D=ρ0 3-4R??，D=Der ?? ρE=D/(ε0εr)=0 ε0εr (2) 对E(r)求极值?rr2? 3-4R??，E=Eer ，er 为径向单位矢量??ρdE=0 drε0εr?1r? -?=0 32R?? 得 r=2R 3 2Rd2Er=<0且因，所以处E最大． 23dr 13-11一平行板电容器，极板间距离为10 cm，其间有一半充以相对介电常量εr＝10的各向同性均匀电介质，其余部分为空气，如图13-45所示．当两极间电势差为100 V时，试分 图13-45 习题13-11图 别求空气中和介质中的电位移矢量和电场强度矢量。 (真空介电常量ε0＝ 8.8531012 -C22N12m2) -- 解:设空气中和介质中的电位移矢量和电场强度矢量分别为D1、D2和E1、E2，则 U = E1d = E2d (1) D1 = ε0E1 (2) D2 = ε0εrE2 (3) 联立解得 E1=E2=U=1000 V/m d D1=ε0E1=8.85?10-9C/m2 D2=ε0εrE2=8.85?10-8C/m2 方向均相同,由正极板垂直指向负极板． -13-12 一平行板空气电容器充电后，极板上的自由电荷面密度σ＝1.773106 C/m2．将极 板与电源断开，并平行于极板插入一块相对介电常量为εr＝8 的各向同性均匀电介质板。计算电介质中的电位移D．场强E和电极化强度P的大小。(真空介电常量ε0＝8.8531012 C2 / -N2m2) 解:由D的高斯定理求得电位移的大小为 D = σ ＝1.773106 C/m2 - 由D=ε0εrE的关系式得到场强E的大小为 E=D ε0εr＝2.53104 V/m 介质中的电极化强度P的大小为 P = ε0χeE = ε0 ( εr-1 )E＝1.553106 C/m2 - 13-13一导体球带电荷Q＝1.0 C，放在相对介电常量为εr＝5 的无限大各向同性均匀电介质中。求介质与导体球的分界面上的束缚电荷Q'。 解:导体球处于静电平衡时，其电荷均匀分布在球面上．在球表面外附近，以球半径R作一同心高斯球面．按D的高斯定理有4πR2D = Q。得到电位移的大小为 D = Q / (4πR2) 该处的电场强度大小为 E = D / (ε0εr)= Q / (4πε0εr R2) 电极化强度的大小为 P = ε0 (εr-1)E= 极化电荷面密度为 σ'= Pcos180°=(εr-1)Q 4εrR2 (1-εr)Q 4πεrR2 分界面上的束缚电荷为 Q'= 4πR2σ'=1-εr εrQ＝－0.8 C 13-14半径为R，厚度为h (< 解:建坐标如右图． 圆盘均匀极化，只有极化面电荷，盘边缘处极化电荷面密度为σ = Pcosθ dq = Rdθ2h2σ＝RhPcosθdθ 图13-46 习题13-14图 dE=dq 4πε0R2 dEx = dEcos(π+θ)，dEy = dEsin(π+θ) 由极化电荷分布的对称性可知 Ey=dEy= 0 ? dqRhP∴ E=Ex=?dEx=?-cosθ=-4πε0R24πε0R2?2π0cos2θdθ=-h P 4ε0R E=-h 4ε0RP 13-15如图13-47所示，一各向同性均匀电介质球，半径为R，其相对介电常量为εr，球内均匀分布有自由电荷，其体密度为ρ 0．求球内的束缚电荷体密度ρ' 和球表面上的束缚电荷 图13-47 习题13-15图 面密度σ'。 解:因为介质是球对称的，且ρ0均匀分布，所以ρ'，σ' 也必为球对称分布．因而电场必为球对称分布．用D的高斯定理可求得D=ρ0r 3， E=D ε0εr=ρ0r 3ε0εr P=ε0χeE=χeρ0r 3εr Pr+dr?4π(r+dr)-Pr?4πr2 =-24πr?dr2P?dS ρ'=-S ?V =-χeρ0χρ3?4π(r+dr)-e0r?4πr23εr3εr 4πr?dr2 略去dr的高次项，则 ρ'=-χeρ0 εr=-(εr-1)ρεr0 (ρ'与ρ0异号) σ'=PR?en=PR=(ε-1)ρ0R, σ'与ρ同号．χeρ0R=r 03εr3εr 13-16 有两个半径分别为R1和R2的同心金属球壳，其间各充满一半相对介电常数分别为εr1,εr2的各向同性的均匀介质，如图13-48所示。当内球壳带电量为-Q，外球壳带电量为+Q时，忽略边缘效应。试求： （1）空间中D、E的分布； （2）两球壳的电势差。 图13-48 习题13-16图 解: （1）作半径为r的同心球形高斯面，根据导体静电平衡后等势 ? 即 R2R1E1?dl=?E2?dl R1R2 E1=E2=E又 D=ε0εrE；D1=ε0εr1E；D2=ε0εr2E 忽略边缘效应，电荷分别在上、下半球和球壳均匀分布，根据高斯定理D?dS=∑q s当r D=0,E=0 当R1 D1?2πr2+D2?2πr2=-Q 即 εr1ε0?2πr2+εr2ε0?2πr2=-Q 得 E=-Q 2π(εr1+εr2)ε0r2 D1=D2=-εr1Q 2π(εr1+εr2)r2-εr1Q 2π(εr1+εr2)r2 当r>R2，∑q0=0， D=0， E=0 方向D//E//-r （2）由定义 U=?E?dl=?R1R2R2R1-Qdr 22(εr1+εr2)ε0r 即 U=-Q 2(εr1+εr2)ε0?11??- R? R1??2 13-17 平行板电容器极板面积为S，间距为d，中间有两层厚度各为d1和d2 （d=d1+ d2）、介电常数各为ε1和ε2的电介质，计算其电容。 解:设两极板各带电荷+q和-q，两极板电势差： U=V1-V2=E1d1+E2d2=σσqddd1+d2=(1+2) ε1ε2Sε1ε2 C=ε1ε2Sqq== V1-V2qd1d2d1ε2+d2ε1(+)Sε1ε2 --13-18三个电容器如图如图13-49联接，其中C1 = 103106 F，C2 = 53106 F，C3 = 43 106 F，当A、B间电压U =100 V时，试求： - (1) A、B之间的电容； (2) 当C3被击穿时，在电容C1上的电荷和电压各变为多少？ 图13-49 习题13-18图 解: (1) C=(C1+C2)C3= 3.16310-6 F C1+ C2+C3 -(2) C1上电压升到U = 100 V，电荷增加到Q1=C1U=13103 C 13-19如图13-50所示，一空气平行板电容器，极板面积为S，两极板之间距离为d，其中平行地放有一层厚度为t (t 图13-50 习题13-图 解: 设极板上的自由电荷面密度为σ．应用D的高斯定理可得两极板之间的电位移为D = σ 由D~E关系知，空气中的电场强度为 E0 = σ / ε0 介质中的电场强度为 E = σ / (ε0εr) 两极板之间的电势差为 U = E0(d - t) + Et= σ (d-t)+σt=σ[εrd+(1-εr)t] ε0ε0εrε0εr 电容器的电容为 C= 作法二：看成二个电容串联， σS U = εrd+1-εrt ε0εrS C1= ε0S d-t ， C2= ε0εrS t C= ε0εrSC1C2 = C1+C2εrd+1-εrt 13-20如图13-51所示，一平行板电容器，极板面积为S，两极板之间距离为d，中间充满介电常量按ε = ε0 (1+x)规律变化的电介质．在忽略边缘效应的情况下，试计算该电容器d S 图13-51 习题13-20图 的电容。 解:设两极板上分别带自由电荷面密度±σ，则介质中的电场强度分布为 E=σσd =εε0d+x两极板之间的电势差为 U=?d 0Edx=σdε0?d0dxσd=ln2 d+xε0 该电容器的电容值为C=σS U=ε0S dln2 13-21 半径分别为a和b的两个金属球，它们的间距比本身线度大得多。今用一细导线将两者相连接，并给系统带上电荷Q，求： （1）每个球上分配到的电荷数。 （2）按电容定义式计算此系统的电容。 解:（1） Qa+Qb=Q Va=Qa 4πε0a；Vb=Qb 4πε0b Va=Vb=V Qa 4πε0a=Qb 4πε0b 即 QaQbQ ==aba+b 得 Qa=（2）系统电容 aQbQ；Qb= a+ba+b C=Q4πε0aQQ==4πε0(a+b) =QaUVa 13-22如图13-52所示，一平行板电容器的极板面积S=200cm2，两板间距 d=5.0mm，极板间充以两层均匀电介质。电介质其一厚度d=2.0mm，相对介电常 103 第八章 静电场中的导体和电介质 一、基本要求 1．理解导体的静电平衡，能分析简单问题中导体静电平衡时的电荷分布、场强分布和电势分布的特点。 2．了解两种电介质极化的微观机制，了解各向同性电介质中的电位移和场强的关系，了解各向同性电介质中的高斯定理。 3．理解电容的概念，能计算简单几何形状电容器的电容。 4．了解电场能量、电场能量密度的概念。 二、本章要点 1．导体静电平衡 导体内部场强等于零，导体表面场强与表面垂直；导体是等势体，导体表面是等势面。 在静电平衡时，导体所带的电荷只能分布在导体的表面上，导体内没有净电荷。 2．电位移矢量 在均匀各向同性介质中 E E D r εεε0== 介质中的高斯定理 ∑??=?i i s Q s d D 自 3．电容器的电容 U Q C ?= 电容器的能量 C Q W 2 21= 4．电场的能量 电场能量密度 D E w ?= 2 1 电场能量 ? = V wdV W 三、例题 8-1 下列叙述正确的有（Ｂ） （Ａ）若闭合曲面内的电荷代数和为零，则曲面上任一点场强一定为零。 （Ｂ）若闭合曲面上任一点场强为零，则曲面内的电荷代数和一定为零。 104 （Ｃ）若闭合曲面内的点电荷的位置变化，则曲面上任一点的场强一定会改变。 （Ｄ）若闭合曲面上任一点的场强改变，则曲面内的点电荷的位置一定有改变。 （Ｅ）若闭合曲面内任一点场强不为零，则闭合曲面内一定有电荷。 解：选（B ）。由高斯定理??∑=?0/εi i q s d E ，由 ∑=?=00φq ，但场强则 不一定为零，如上题。 （C ）不一定，受静电屏蔽的导体内部电荷的变动不影响外部场强。 （D ）曲面上场强由空间所有电荷产生，改变原因也可能在外部。 （E ）只要通过闭曲面电通量为0，面内就可能无电荷。 8-2 如图所示，一半径为Ｒ的导体薄球壳，带电量为-Ｑ1，在球壳的正上方距球心Ｏ距离为３Ｒ的Ｂ点放置一点电荷，带电量为＋Ｑ2。令∞处电势为零，则薄球壳上电荷-Ｑ1在球心处产生的电势等于___________，＋Ｑ2在球心处产生的电势等于__________，由叠加原理可得球心处的电势Ｕ0等于_____________；球壳上最高点Ａ处的电势为_______________。 解：由电势叠加原理可得，球壳上电荷-Ｑ1在O 点的电势为 R Q U 0114πε- = 点电荷Ｑ2在球心的电势为 R Q R Q U 02 0221234πεπε= ?= 所以，O 点的总电势为 R Q Q U U U 01 2210123ε-= += 由于整个导体球壳为等势体，则 0U U A =R Q Q 01 2123ε-= 8-3 两带电金属球，一个是半径为２Ｒ的中空球，一个是半径为Ｒ的实心球，两球心间距离ｒ（>>Ｒ），因而可以认为两球所带电荷都是均匀分布的，空心球电势为Ｕ1，实心球电势为Ｕ2，则空心球所带电量Ｑ1=___________，实心球所带电Ｑ2=___________。若用导线将它们连接起来，则空心球所带电量为______________，两球电势为______________。 解：连接前，空心球电势R Q U 2401 1πε= ，所以带电量为 静电场、静电场中的导体 判断题 （×）1. 静电场中电场线可以是闭合的。 （×）2. 电场是标量场，电势是矢量场。 （×）3.静电场的高斯定理i S 01E dS q ε?=∑?中E 取决于高斯面内部的电荷。 （×）4.高斯面上的电场强度是仅仅由高斯面包围的电荷产生的。 选择题 1、关于静电场的电场线，以下说法错误的是 C （A ）静电场的电场线总是从正电荷出发，到负电荷终结； （B ）静电场的任何两条电场线不会相交； （C ）沿静电场的电场线方向电场强度的大小减小； （D ）静电场的电场线的切线方向就是该点电场强度的方向。 2、下列关于高斯定理∑??=?i S q S d E 0 1ε 说法正确的是 D (A) 若闭合曲面S 内电荷的代数和为零，则面上任一点的电场强度为零； (B) 若0=???S S d E ，则闭合曲面内一定没有电荷； (C) 由高斯定理可知，静电场的电场线是有起点和终点的； (D) 由高斯定理可知，静电场是保守力场。 3、一平行板空气电容器，极板面积为S ,极板间的距离为d ，充电至带电Q 后与电源断开，然后用力缓缓地把两极板拉开到d 2。电容器的能量（ B ） (A)不变 （B ）增大 （C ）减小 （D ）不可确定 4、在静电场中，下列说法正确的是(无答案) A 、 电势为零处，场强必为零。 B 、 场强为零处，电势必为零。 C 、 场强大小相等处，电势必相等。 D 、电势处处相等处，场强必为零。 5、关于静电场中的高斯定理??∑=?i q s d E 01ε ，下列说法正确的是( D ) A 、E 为高斯面内电荷所产生的场强，∑i q 为高斯面内电荷的代数和。 B 、E 为高斯面内电荷所产生的场强，∑i q 为高斯面内外电荷的代数和。 C 、E 为高斯面内外电荷所产生的场强，∑i q 为高斯面内自由电荷代数和。 D 、E 为高斯面内外电荷所产生的场强，∑i q 为高斯面内电荷的代数和。 7. 下列说法正确的是（B ） A 、闭合曲面上各点的电场强度都为零时，曲面内一定没有电荷 B 、闭合曲面上各点的电场强度都为零时，曲面内电荷的代数和必为零 C 、闭合曲面的电通量为零时，曲面上各点的电场强度必为零 D 、闭合曲面的电通量不为零时，曲面上任一点的电场强度都不可能为零 填空题 1．边长为a 正方体中心放置一个电荷Q ，则通过任一个正方体侧面的电通量为 0 6εQ 。 2.半径为R 的球面均匀带电，所带总电量为q ，则球内距球心距离为r (r 思考题 13-1 尖端放电的物理实质是什么？ 答： 尖端放电的物理实质，是尖端处的强电场致使附近的空气分子电离，电离所产生的带电粒子在电场的作用下急剧运动和相互碰撞，碰撞又使更多的空气分子电离，并非尖端所带的电荷直接释放到空间去。 13-2 将一个带电+q 半径为R B 的大导体球B 移近一个半径为R A 而不带电的小导体球A ，试判断下列说法是否正确？并说明理由。 (1) B 球电势高于A 球。 答： 正确。不带电的导体球A 在带电+q 的导体球B 的电场中，将有感应电荷分布于表面。另外，定性画出电场线，在静电场的电力线方向上电势逐点降低，又由图看出电场线自导体球B 指向导体球A ，故B 球电势高于A 球。 (2) 以无限远为电势零点，A 球的电势: V A < 0 答： 不正确。若以无穷远处为电势零点V ∞＝0，从图可知A 球的电力线伸向无穷远处。所以，V A ＞0。 13-3 怎样能使导体净电荷为零 ，而其电势不为零? 答：将不带电的绝缘导体(与地绝缘并与其它任何带电体绝缘)置于某电场中，则该导体有∑=0q 而导体的电势V ≠0 。 图13-37 均匀带电球体的电场能 13-4 怎样理解静电平衡时导体内部各点的场强为零？ 答： 必须注意以下两点： （1） 这里的“点”是指导体内的宏观点，即无限小体积元。对于微观点，例如导体中某电子或某原子核附近的一个几何点，场强一般不为零； （2） 静电平衡的这一条件，只有在导体内部的电荷除静电场力以外不受其他力（如“化学力”）的情况下才能成立。 13-5 怎样理解导体表面附近的场强与表面上对应点的电荷面密度成正比？ 答： 不应产生这样的误解：导体表面附近一点的场强，只是由该点的一个面电荷元S ?σ产生的。实际上这个场强是导体表面上全部电荷所贡献的合场强。如果场中不止一个导体，则这个场强应是所有导体表面上的全部电荷的总贡献。 13-6 为什么不能使一个物体无限制地带电？ 答： 所谓一个物体带电，就是指它因失去电子而有多余的净的正电荷或因获得电子而有多余的负的净电荷。当物体带电时，在其周围空间产生电场，其电场强度随物体带电量的增加而增大。带电体附近的大气中总是存在着少量游离的电子和离子，这些游离的电子和离子在其强电场作用下，获得足够的能量，使它们和中性分子碰撞时产生碰撞电离，从而不断产生新的电子和离子，这种电子和离子的形成过程如雪崩一样地发展下去，导致带电物体附近的大气被击穿。在带电体带电的作用下，碰撞电离产生的、与带电体电荷异号的电荷来到带电体上，使带电体的电量减少。所以一个物体不能无限制地带电。如尖端放电现象。 13-7 感应电荷的大小和分布怎样确定？ 答： 当施感电荷Q 接近于一导体时，导体上出现等量异号的感应电荷±q ′。其分布一方面与导体的表面形状有关，另一方面与施感电荷 第十章 静电场中的导体和电介质 一 选择题 1. 半径为R 的导体球原不带电，今在距球心为a 处放一点电荷q ( a ＞R )。设无限远处的电势为零，则导体球的电势为 ( ) 2 02 00π4 . D ) (π4 . C π4 . B π4 .A R) (a qa R a q a qR a q o --εεεε 解：导体球处于静电平衡，球心处的电势即为导体球电势，感应电荷q '±分布在导体球表面上，且0)(='-+'+q q ，它们在球心处的电势 ??'±'±='= ' = 'q q q R R q V 0d π41π4d 00 εε 点电荷q 在球心处的电势为 a q V 0π4ε= 据电势叠加原理，球心处的电势a q V V V 00π4ε= '+=。 所以选（A ） 2. 已知厚度为d 的无限大带电导体平板，两表面上电荷均匀分布，电荷面密度均为σ ，如图所示，则板外两侧的电场强度的大小为 ( ) 2 . D . C 2 . B 2 .A εd E= εE= E E σσεσ εσ= = 解：在导体平板两表面外侧取两对称平面，做侧面垂直平板的高斯面，根据高斯定理，考虑到两对称平面电场强度相等，且高斯面内电荷为S 2σ，可得 0 εσ= E 。 所以选（C ） 3. 如图，一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R ，在腔内离球心的距离为 d 处(d 第6章 静电场中的导体与电介质 一、选择题 1. 当一个导体带电时, 下列陈述中正确的是 (A) 表面上电荷密度较大处电势较高 (B) 表面上曲率较大处电势较高 (C) 表面上每点的电势均相等 (D) 导体内有电力线穿过 [ ] 2. 关于带电导体球中的场强和电势, 下列叙述中正确的是 (A) 导体内的场强和电势均为零 (B) 导体内的场强为零, 电势不为零 (C) 导体内的电势与导体表面的电势相等 (D) 导体内的场强大小和电势均是不为零的常数 [ ] 3. 当一个带电导体达到静电平衡时 (A) 导体内任一点与其表面上任一点的电势差为零 (B) 表面曲率较大处电势较高 (C) 导体内部的电势比导体表面的电势高 (D) 表面上电荷密度较大处电势较高 [ ] 4. 一个带正电的小球放入一个带等量异号电荷、半径为R 的球壳中，如图1所示．在距球心为r (R r <)处的电场与放入小球前相比将 (A) 放入前后场强相同 (B) 放入小球后场强增加 (C) 因两者电荷异号, 故场强减小 (D) 无法判定 [ ] 5. 设无穷远处电势为零, 半径为R 的导体球带电后其电势为V , 则球外离球心距离为r 处的电场强度大小为 (A) 23R V r (B) V r (C) 2RV r (D) V R [ ] 6. 有两个大小不等的金属球, 其大球半径是小球半径的两倍, 小球带有正电荷．当用金属细线连接两金属球后 (A) 大球电势是小球电势的两倍 (B) 大球电势是小球电势的一半 (C) 所有电荷流向大球 (D) 两球电势相等 [ ] 7. 在某静电场中作一封闭曲面S ．若有 ??=?s S D 0d ? ρ, 则S 面内必定 (A) 没有自由电荷 (B) 既无自由电荷, 也无束缚电荷 (C) 自由电荷的代数和为零 (D) 自由电荷和束缚电荷的代数和为零 [ ] 8. 有一空气球形电容器, 当使其内球半径增大到两球面间的距离为原来的一半时, 此电容器的电容为 (A) 原来的两倍 (B) 原来的一半 (C) 与原来的相同 (D) 以上答案都不对 [ ] 9. 一均匀带电Q 的球体外, 罩一个内、外半径分别为r 和R 的同心金属球壳，如图2所示．若以无限远处为电势零点, 则在金属球壳r ＜R ＇＜R 的区域内 q 图1 第七章 静电场中的导体、电介质 一、选择题： 1. 已知厚度为d 的无限大带电导体平板，两表面上电荷均匀分布，电荷面密度均为σ，如图所示，则板外两侧的电场强度的大小为：[ ] （A ）E=0 2εσ （B ）E=02εσ （C ）E=0εσ （D ）E=02d εσ 2. 两个同心薄金属体，半径分别为R 1和R 2（R 2>R 1），若分别带上电量为q 1和q 2的电荷，则两者的电势分别为U 1和U 2（选无穷远处为电势零点），现用导线将两球壳相连接，则它们的电势为[ ] （A ）U 1 （B ）U 2 （C ）U 1+U 2 （D ）2 1 （U 1+U 2） 3.如图所示，一封闭的导体壳A 内有两个导体B 和C ，A 、C 不带电，B 带正电，则A 、B 、C 三导体的电势U A 、U B 、U C 的大小关系是[ ] （A ）U A =U B =U C （B ）U B > U A =U C （C ）U B >U C >U A （D ）U B >U A >U C 4.一厚度为d 的“无限大”均匀带电导体板，电荷面密度为σ，则板的两侧离板的距离均为h 的两点a 、b 之间的电势差为： [ ] （A ）零 （B ）02εσ （C ）0εσh （D ）0 2εσh 5. 当一个带电导体达到静电平衡时： [ ] (A) 表面上电荷密度转大处电势较高 (B) 表面曲率较大处电势。 (C)导体内部的电势比导体表面的电势高。 (D)导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零。 6. 如图示为一均匀带电球体，总电量为+Q ，其外部同心地罩一内、 外半径分别为r 1、r 2的金属球壳、设无穷远处为电势零点，则在球壳内半径为r 的P 点处的场强和电势为： [ ] （A ）E= r Q U r Q 02 04,4πεπε= （B ）E=0， 1 04r Q πε （C ）E=0， r Q 04πε （D ）E=0，2 04r Q πε 7. 设有一个带正电的导体球壳，若球壳内充满电介质，球壳外是真空时，球壳外一点的场强大小和电势用E 1，U 1表示；若球壳内、外均为真空时，壳外一点的场强大小和电势用E 2、U 2表示，则两种情况下，壳外同一处的场强大小和电势大小的关系为： [ ] （A ）E 1=E 2， U 1=U 2 （B ）E 1=E 2， U 1>U 2 （C ）E 1>E 2， U 1>U 2 （D ）E 1 大学物理课后答案第 七章静电场中的导 体和电介质 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 2 习题7 7-2 三个平行金属板A ，B 和C 的面积都是200cm 2，A 和B 相距4.0mm ，A 与C 相距2.0 mm ．B ，C 都接地，如题7-2图所示．如果使A 板带正电3.0×10-7C ，略去边缘效应，问B 板和C 板上的感应电荷各是多少以地的电势为零，则A 板的电势是多少 解: 如题7-2图示，令A 板左侧面电荷面密度为1σ，右侧面电荷面密度为 2σ 题7-2图 (1)∵ AB AC U U =，即 ∴ AB AB AC AC E E d d = ∴ 2d d 21===AC AB AB AC E E σσ 且 1σ+2σS q A = 得 ,32S q A = σ S q A 321=σ 而 711023 2 -?-=- =-=A C q S q σC C 10172-?-=-=S q B σ (2) 30 1 103.2d d ?== =AC AC AC A E U εσV 3 7-3 两个半径分别为1R 和2R （1R ＜2R )的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+q ，试计算： (1)外球壳上的电荷分布及电势大小； (2)先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势； *(3)再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量． 解: (1)内球带电q +；球壳内表面带电则为q -,外表面带电为q +，且均匀分布，其电势 题7-3图 ? ? ∞ ∞==?=2 2 020π4π4d d R R R q r r q r E U εε (2)外壳接地时，外表面电荷q +入地，外表面不带电，内表面电荷仍为q -．所以球壳电势由内球q +与内表面q -产生： 0π4π42 02 0=- = R q R q U εε (3)设此时内球壳带电量为q '；则外壳内表面带电量为q '-，外壳外表面带电量为+-q q ' (电荷守恒)，此时内球壳电势为零，且 0π4' π4'π4'2 02 01 0=+-+ - = R q q R q R q U A εεε 第7章 静电场中的导体和电介质 习题及答案 1. 半径分别为R 和r 的两个导体球，相距甚远。用细导线连接两球并使它带电，电荷面密度分别为1σ和2σ。忽略两个导体球的静电相互作用和细导线上电荷对导体球上电荷分布的影响。试证明： R r =21σσ 。 证明：因为两球相距甚远，半径为R 的导体球在半径为r 的导体球上产生的电势忽略不计，半径为r 的导体球在半径为R 的导体球上产生的电势忽略不计，所以 半径为R 的导体球的电势为 R R V 0211π4επσ= 14εσR = 半径为r 的导体球的电势为 r r V 0222π4επσ= 24εσr = 用细导线连接两球，有21V V =，所以 R r =21σσ 2. 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板来说，(1)相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。 证明: 如图所示，设两导体A 、B 的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为1σ，2σ，3σ，4σ （1）取与平面垂直且底面分别在A 、B 部的闭合圆柱面为高斯面，由高斯定理得 S S d E S ?+==??)(1 0320 σσε 故 +2σ03=σ 上式说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反。 （2）在A 部任取一点P ，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即 022220 4 030201=---εσεσεσεσ 又 +2σ03=σ 故 1σ4σ= 3. 半径为R 的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为R d 3=处有一点电荷+q ，试求：金属球上的感应电荷的电量。 解：如图所示，设金属球表面感应电荷为q '，金属球接地时电势0=V 由电势叠加原理，球心电势为 = O V R q dq R 3π4π4100εε+ ? 03π4π400=+'= R q R q εε 故 - ='q 3 q 4．半径为1R 的导体球，带有电量q ，球外有外半径分别为2R 、3R 的同心导体球壳，球壳带有电量Q 。 （1）求导体球和球壳的电势1V 和2V ； （2）如果将球壳接地，求1V 和2V ； （3）若导体球接地（设球壳离地面很远），求1V 和2V 。 解：（1）应用均匀带电球面产生的电势公式和电势叠加原理求解。 半径为R 、带电量为q 的均匀带电球面产生的电势分布为 ???????>≤=)( 4)( 400 R r r q R r R q V πεπε 导体球外表面均匀带电q ；导体球壳表面均匀带电q -，外表面均匀带电Q q +，由电势叠加原理知，空间任一点的电势等于导体球外表面、导体球壳表面和外表面电荷在该点产生的电势的代数和。 导体球是等势体，其上任一点电势为 )( 413 210 1R Q q R q R q V ++-= πε 球壳是等势体，其上任一点电势为 第七章 静电场中的导体和电介质 一、选择题 1. （★★）一个不带电的空腔导体球壳，内半径为R 。在腔内离球心的 距离为a 处（a 一、选择题 [ B ］1（基础训练2） 一“无限大”均匀带电平面A ，其附近放一与它 平行的有一定厚度的“无限大”平面导体板B ，如图所示．已知A 上的电荷 面密度为+σ ，则在导体板B 的两个表面 1和2上的感生电荷面密度为： (A) σ 1 = - σ， σ 2 = + σ． (B) σ 1 = σ21- ， σ 2 =σ2 1 +． (C) σ 1 = σ21- ， σ 1 = σ2 1 -． (D) σ 1 = - σ， σ 2 = 0． 【提示】“无限大”平面导体板B 是电中性的：σ 1S+σ 2S=0， 静电平衡时平面导体板B 内部的场强为零，由场强叠加原理得： 02220 2010=-+εσεσεσ 联立解得： 122 2 σ σ σσ=- = [ C ］2（基础训练6）半径为R 的金属球与地连接。在与球心O 相距d =2R 处有一电荷为q 的点电荷。如图所示，设地的电势为零，则球上的感生电荷q ' 为： (A) 0． (B) 2q ． (C) -2 q ． (D) -q ． 【提示】静电平衡时金属球是等势体。金属球接地，球心电势为零。球心电 势可用电势叠加法求得： 000'044q dq q R d πεπε' +=?， 00' 01'44q q dq R d πεπε=-?， 'q q R d =-，其中d = 2R ，'2q q ∴=- ［ C ］3（基础训练8）两只电容器，C 1 = 8 μF ，C 2 = 2 μF ，分别把 它们充电到 1000 V ，然后将它们反接(如图所示)，此时两极板间的电势差 为： (A) 0 V ． (B) 200 V ． (C) 600 V ． (D) 1000 V 【提示】反接，正负电荷抵消后的净电量为 661212(82)101000610Q Q Q C U C U C --=-=-=-??=? 这些电荷重新分布，最后两个电容器的电压相等，相当于并联。并联的等效电容为 512C'10C C F -=+=，电势差为'600()' Q U V C = =。 ［ D ］4（基础训练10）两个完全相同的电容器C 1和C 2，串联后与电源连接。现将一各向同性均匀电介质板插入C 1中，如图所示，则(A) 电容器组总电容减小． (B) C 1上的电荷大于C 2上的电荷． (C) C 1上的电压高于C 2上的电压 ．(D) 电容器组贮存的总能量增大． 【提示】(A) C 1↑，1/C=(1/C 1)+(1/C 2)，∴C ↑ (B) 串联，Q 1=Q 2 (C) U 1=Q/C 1，U 2=Q/C 2 ，∴U 1 第12章 静电场中的导体和电介质 12-1 一导体球半径为R 1,外罩一半径为R 2的同心薄导体球壳,外球壳所带总电荷为Q,而内球的电势为V 0.求此系统的电势和电场分布. 12-2 如图所示,在一半径为R 1=6.0cm 的金属球A 外面套有一个同心的金属球壳B.已知球壳B 的内、外半径分别为R 2=8.0cm,R 3=10.0cm.设A 球带有总电荷Q A =3.0×10-8C,球壳B 带有总电荷Q B =2.0×10-8C.求（1）球壳B 内、外表面上所带的电荷以及球A 和球壳B 的电势；（2）将球壳B 接地后断开，再把金属球A 接地，求金属球A 和球壳B 内、外表面上所带的电荷以及球A 和球壳B 的电势。 12-3 如图所示，三块平行导体平板A ，B ，C 的面积均为S ，其中A 板带电Q ，B ，C 板不带电，A 和B 间相距为d 1,A 和C 之间相距为d 2,求（1）各导体板上的电荷分布和导体板间的电势差；（2）将B ，C 导体板分别接地，再求导体板上的电荷分布和导体板间的电势差。 12-4 如图所示，在真空中将半径为R 的金属球接地，在与球O 相距为r(r>R)处放置一点电荷q ，不计接地导线上电荷的影响，求金属球表面上的感应电荷总量。 图 习题3.12A B 1 R 2 R 3 R 图 习题2.12 12-5 地球和电离层可当作一个球形电容器，它们之间相距约为100km ，试估算地球电离层系统的电容，设地球与电离层之间为真空。 12-6 两线输电线的线径为3.26mm ，两线中心相距离0.50m ，输电线位于地面上空很高处，因而大地影响可以忽略，求输电线单位长度的电容。 12-7 如图所示，由两块相距为0.50mm 的薄金属板A ，B 构成的空气平板电容器，被屏蔽在一个金属盒K 内，金属盒上，下两壁与A 、B 分别相距0.25mm ，金属板面积为30×40mm 2，求： （1） 被屏蔽后的电容器电容变为原来的几倍； （2） 若电容器的一个引脚不慎与金属屏蔽盒相碰，问此时的电容又为原来的几 倍。 12-8 如图所示，在点A 和点B 之间有五个电容器，其连接如图所示，（1）求A 、B 两点之间的等效电容；（2）若A 、B 之间的电势差为12V ，求U AC ，U CD 和U DB . A B 图 习题7. 12图习题4.12 第9章静电场中的导体和电介质 什么是导体什么是电介质 静电场中的导体静电平衡 9.1.1 静电感应静电平衡 金属导体：金属离子+、自由电子- 1、静电感应：在外电场作用下，导体中电荷重新分布而呈现出的带电现象，叫做静电感应现象，对应的电荷称为感应电荷。（感应电荷与外加电场相互影响，比如金属球置于匀强电场中，外电场使电荷重新分布，感应电荷的分布使均匀电场在导体附近发生弯曲。） 2、导体静电平衡条件 不受外电场影响时，无论对整个导体或对导体中某一个小部分来说，自由电子的负电荷和金属离子的正电荷的总量是相等的，正负电荷中心重合，导体呈现电中性。 若把金属导体放在外电场中，比如把一块金属板放在电场强度为0E r 的匀强电场中，这时导体中的自由电子在作无规则热运动的同时，还将在电场力作用下作宏观定向运动，自由电子逆着电场方向移动，从而使导体中的电荷重新分布。电荷重新分布的结果使得金属板两侧会出现等量异号的电荷。这种在外电场作用下，引起导体中电荷重新分布而呈现出的带电现象，叫做静电感应现象，对应的电荷称为感应电荷。 感应电荷在金属板的内部建立起一个附加 电场，其电场强度'E r 和外在的电场强度0E r 的方向相反。这样，金属板内部的电场强度E r 就是0 E r 和'E r 的叠加。开始时0'E E <，金属板内部的 电场强度不为零，自由电子会不断地向左移动， 从而使'E r 增大。这个过程一直延续到金属板内部的电场强度等于零，即0'0E E E =+=r r r 时为止。这时，导体上没有电荷作定向运动，导体处于静电平衡 状态。 当导体处于静电平衡状态时，满足以下条件： 静电场中的导体与电介质考试题及答案 6 －1 将一个带正电的带电体A 从远处移到一个不带电的导体B 附近，则导体B 的电势将（ ） （A ） 升高 （B ） 降低 （C ） 不会发生变化 （D ） 无法确定 分析与解 不带电的导体B 相对无穷远处为零电势。由于带正电的带电体A 移到不带电的导体B 附近时，在导体B 的近端感应负电荷；在远端感应正电荷，不带电导体的电势将高于无穷远处，因而正确答案为（A ）。 6 －2 将一带负电的物体M 靠近一不带电的导体N ，在N 的左端感应出正电荷，右端感应出负电荷。若将导体N 的左端接地（如图所示），则（ ） （A ） N 上的负电荷入地 （B ）N 上的正电荷入地 （C ） N 上的所有电荷入地 （D ）N 上所有的感应电荷入地 分析与解 导体N 接地表明导体N 为零电势，即与无穷远处等电势，这与导体N 在哪一端接地无关。因而正确答案为（A ）。 6 －3 如图所示将一个电量为q 的点电荷放在一个半径为R 的不带电的导体球附近，点电荷距导体球球心为d ，参见附图。设无穷远处为零电势，则在导体球球心O 点有（ ） （A ）d εq V E 0π4,0= = （B ）d εq V d εq E 02 0π4,π4== （C ）0,0==V E （D ）R εq V d εq E 020π4,π4== 分析与解 达到静电平衡时导体内处处各点电场强度为零。点电荷q 在导 体球表面感应等量异号的感应电荷±q ′，导体球表面的感应电荷±q ′在球心O 点激发的电势为零，O 点的电势等于点电荷q 在该处激发的电势。因而正确答案为（A ）。 6 －4 根据电介质中的高斯定理，在电介质中电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于这个曲面所包围自由电荷的代数和。下列推论正确的是( ) （A ） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内一定没有自由电荷 （B ） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内电荷的代数和一定等于零 （C ） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分不等于零，曲面内一定有极化电荷 （D ） 介质中的高斯定律表明电位移矢量仅仅与自由电荷的分布有关 （E ） 介质中的电位移矢量与自由电荷和极化电荷的分布有关 分析与解 电位移矢量沿任意一个闭合曲面的通量积分等于零，表明曲面 内自由电荷的代数和等于零；由于电介质会改变自由电荷的空间分布，介质中的电位移矢量与自由电荷与位移电荷的分布有关。因而正确答案为（E ）。 6 －5 对于各向同性的均匀电介质，下列概念正确的是（ ） （A ） 电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的1/εｒ倍 （B ） 电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的1/εｒ倍 （C ） 在电介质充满整个电场时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该 第二章 供稿：group5&2 整理：徐阳 §1静电场中的导体 概念： 1.静电平衡：当自由电子不作宏观运动（没有电流）时的状态。 2．平衡条件：导体内部场强处处为0。（仅当导体内部不受除静电力以外其它力。例如一节电池，还必须有不为0的静电场力来抵消非静电力来达到平衡。3.静电屏蔽：无论封闭导体壳是否接地，壳内电荷不影响壳外电场；封闭导体壳接地时，壳外电荷不影响壳内电场（不接地时可能影响）。 公式： σ ε0（运用高斯定理） 1.导体表面附近场强： dFσ= 2.导体表面单位面积所受静电力：ds2ε0（运用公式1、叠加原理E= 及体内场强为0） 推论： 1.静电平衡时，导体是个等势体，处处电势相等，导体表面是个等位面；导体以外靠近表面地方场强方向垂直表面。 2．对于实心导体：净电荷只存在于外表面 对于内部有空腔导体：若空腔内无净电荷，； 若空腔有净电荷q，内表面感生出-q，其余净电荷只分布于外表面。 3．对于孤立导体：凸处（表面曲率为正且较大）电荷面密度较大，凹处（表面曲率为负且较小）电荷面密度较小。所以凸处易产生尖端放电， 应用： 1.避雷针。 2.为了避免输电过程中的电晕，导线要求光滑且半径较大。 3.库仑平方反比律的精确验证。 4.利用法拉第圆筒吸走带电体的净电荷。 5.范德格拉夫起电机：使导体电位不断升高，加速带电粒子。 §2 电容器 1概念： 电容：对于一个确定的孤立导体，电位U随着带电量Q的增加而成比例的增加，所以定义C=Q U.(注意：C和电容器自身属性有关，和Q、 U无关，这只是定义和度量方法) 2电容的计算方法： 1.定义：场强积分得出U，再根据 C=C=QU。（注意：这是最根本的方法！） 2.利用串并联关系：串联： 3常见电容： 1.平行板电容器：C=C1?C2C1+C2；并联：C=C1+C2 ε0S d 2.球形电容器：C=4πε0R（不过只有一极，实用价值不大） C= 3.同心球电容器：4πε0R1R24πε0R12ε0SC0≈=R2-R1（1)当R2-R1=d< 第十章静电场中的导体和电介质§10-1 静电场中的导体 一、导体的静电平衡 1、金属导体的电结构及静电感应 （1）金属导体：由带正电的晶格和带负电的自由电子组成. 带电导体：总电量不为零的导体； 中性导体：总电量为零的导体； 孤立导体：与其他物体距离足够远的导体. “足够远”指其他物体的电荷在该导体上激发的场强小到可以忽略. （2）静电感应过程：导体内电荷分布与电场的空间分布相互影响的过程. （3）静电平衡状态：导体中自由电荷没有定向移动的状态. 2、导体静电平衡条件 （1）从场强角度看： ①导体内任一点，场强； ②导体表面上任一点与表面垂直. 证明：由于电场线与等势面垂直，所以导体表面附近的电场强度必定与该处表面垂直. 说明：①静电平衡与导体的形状和类别无关. ②“表面”包括内、外表面； （2）从电势角度也可以把上述结论说成：静电平衡时导体为等势体. ①导体内各点电势相等； ②导体表面为等势面. 证明：在导体上任取两点A，B，.由于=0，所以. （插话：空间电场线的画法. 由于静电平衡的导体是等势体，表面是等势面.因此，导体正端发出的电场线绝对不会回到导体的负端.应为正电荷发出的电场线终于无穷远，负电荷发出的电场线始于无穷远.） 二、静电平衡时导体上的电荷分布 1、导体内无空腔时电荷分布 如图所示，导体电荷为Q，在其内作一高斯面S，高斯定理为： 导体静电平衡时其内， ， 即. S面是任意的，导体内无净电荷存在. 结论：静电平衡时，净电荷都分布在导体外表面上. 2、导体内有空腔时电荷分布 （1）腔内无其它电荷情况 如图所示，导体电量为Q，在其内作一高斯面S，高斯定理为： 14 静电场中的导体和电介质 14．1基本概念 在静电场中放入导体和电介质后, 电场的分布将会发生变化, 导体和电介质和性质也将发生变化. （1）静电场中的导体 导体放入静电场中, 因导体中有自由电子, 在电场的作用下自由电子产生移动, 导体中的电荷将重新分布, 这种现象称静电感应, 电荷在导体中重新分布 , 后即达到静电平衡, 达到静电平衡时 ③静电屏蔽： 接地的导体空腔屏蔽内、外电场. （2）静电场中的电介质 ①电介质的极化 电介质中虽然没有自由电子, 但分子、原子中的带正电的原子核和带负电的束缚电子在电场的作用下也要发生微小的位移, 使得在跟电场垂直的表面出现了净余电荷层, 这种现象称电介质的极化.电介质表面出现的净余电荷称极化电荷,极化电荷要产生附加的电场, 它的方向跟原电场方向相反, 因而使电介质中的场强减弱. ②极化强度矢量 介质中某处的极化强度矢量为该处附近单位体积中的分子电偶极矩的矢量和. 极化电荷面密度与极化强度的关系为： 电介质表面极化电荷面密度在数值上等于极化强度沿介质表面外法线方向上的分量. ③电位移矢量 ④介质中的高斯定理 通过任一闭曲面的电位移通量,在数值上等于闭合曲面所包围的自由电荷的代数和. （3）电容 孤立导体的电容 即为导体所带的电量跟导体的电势之比.（它只跟导体本身的性质、形状、大小及周围的介质有关） 电容器的电容 即为电容器每块极板上的电量Q与两极板间电势差的比值. 它表示电容器单位电压所容纳的电量. （4）电场的能量 ①电容器的电能 ②电场的能量 电能储存在电场中,电场中单位体积的电能称电场能量体密度 电能的能量 14．2解题指导 （1）静电场中的导体 导体放在静电场中首先要考虑静电感应,然后用静电平衡条件（导体内部的场强为零,导体表面的场强垂直表面）解有关的问题. （2）利用介质中的高斯定理求对称分布的电场的解题步骤 ①首先用求出D的分布； ②再用求出E 的分布； ③求极化电荷密度. （3）求电容的方法 ①先用高斯定理求出E的分布； ②用求出电势差； 教学要求 了解有极分子和无极分子，有极分子的取向极化、无极分子的位移极化、电极化强度。了解电介质的静电场。 理解静电平衡的条件、推论及其性质、静电平衡时导体上的电荷分布，空腔导体内外的静电场、静电屏蔽，有电介质时的高斯定理及应用、电位移的定义、D ，E ，P 之间的关系。 9.5 静电场中的导体 9.5.1 导体的静电平衡 导体的特点是导体内存在着大量的自由电荷,对金属导体（本书讨论都是金属导体）而言，就是自由电子。即金属导体在它内部有可以自由移动的电荷—自由电子。一个不带电的中性导体放在静电场中，在电场力作用下，它内部自由电子将受静电场的作用而产生定向运动而改变导体上的电荷分布。这电荷的分布的改变又将反过来改变导体内外的电场分布。这种现象叫做静电感应。导体由于静电感应而带的电荷叫感应电荷。因此，当电场中有导体存在时，电荷分布和电场分布相互影响、相互制约。当导体内部和表面都没有电荷的宏观定向运动时，我们称导体处于静电平衡状态。导体达到静电平衡状态所满足的条件叫静电平衡条件。 如图9-27，我们将一块导体板放入一均匀电场E 中，电场力则驱动金属板内部的自由 电荷逆着电场的方向运动，使得金属板的两个侧面出现等量异号的电荷。这些电荷将在金属 板的内部建立一个附加电场'E ，附加电场'E 的方向与原场E 相反。金属板内部的电场强度就是E 和'E 的叠加。开始时，E E <'，金属板内部的电场不为零，自由电子会不停地向左移动，从而使' E 增大。这个过程一直达到静电平衡状态为止。 int 0 E = 'E E 图9－27 导体的静电平衡 E E 静电平衡状态只有在导体内部场强处处为零时才有可能达到和维持。否则，导体内部的自由电子在电场的作用下将发生定向移动。同时，导体表面附近的电场强度必定和导体表面垂直。显然，导体的静电平衡条件是：导体内部场强处处为零，即int 0E ≡ ，导体表面紧邻 处的场强s E 垂直于导体表面。这里所说的电场强度，指的是外加的静电场E 和感应电荷产 生的附加电场'E 叠加后的总电场，即=E E E '+ 总。由于将导体放入电场中到建立静电平衡 的时间是极短的（610s -的数量级），所以通常在我们处理静电场中的导体问题时，若非特别说明，总是把它当作已达到静电平衡的状态来讨论。 处于静电平衡状态的导体，除了电场强度满足上述的静电平衡条件外，还具有以下性质： （1)导体是等势体，导体表面是等势面。当导体处于静电平衡时，因为其内部电场强度处处为零，而且表面紧邻处的电场强度都垂直于表面，所以导体中以及表面上任意两点间的电势必然为零。 （2)导体内部处处没有未被抵消的净电荷，净电荷只分布在导体的表面上。 为了证明上述结论，我们在导体内部围绕任意点P 作一个小闭合曲面S （如图9-28），由于静电平衡时导体内部电场强度处处为零，因此通过此封闭曲面的电通量必然为零。按高斯定理，此闭合曲面内电荷的代数和为零，由于P 点是任意的，封闭曲面也可以作得任意地小，所以导体内部各处净电荷为零,电荷只能分布在表面。 （3) 导体以外，靠近导体表面附近场强大小和导体表面在该处的面电荷密度 的关系 为 E σε= （9-30 图9-29导体表面电荷与场强的关系 ' S ?int 0 E = E 图9-28 导体内无净电荷 p σ第八章 静电场中的导体和电介质
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