第十章 静电场中的导体和电介质
一 选择题
1. 半径为R 的导体球原不带电，今在距球心为a 处放一点电荷q ( a ＞R )。设无限远处的电势为零，则导体球的电势为 ( )
2
0200π4 . D )(π4 . C π4 . B π4 .A R)(a qa
R a q a qR a q o --εεεε 解：导体球处于静电平衡，球心处的电势即为导体球电势，感应电荷q '±分布在导体球表面上，且
0)(='-+'+q q ，它们在球心处的电势
??'±'±='='='q q q R R q V 0d π41
π4d 0
0εε 点电荷q 在球心处的电势为 a
q
V 0π4ε=
据电势叠加原理，球心处的电势a
q
V V V 00π4ε='+=。
所以选（A ）
2. 已知厚度为d 的无限大带电导体平板，两表面上电荷均匀分布，电荷面密度均为σ ，如图所示，则板外两侧的电场强度的大小为 ( )
0002 . D . C 2 . B 2 .A εd
E=εE=E E σσεσεσ== 解：在导体平板两表面外侧取两对称平面，做侧面垂直平板的高斯面，根据高斯定理，考虑到两对称平面电场强度相等，且高斯面内电荷为S 2σ，可得 0
εσ=
E 。 所以选（C ）
3. 如图，一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R ，在腔内离球心的距离为 d 处(d ) R d (q R d q 11π4 D. 4πq C. π4 B. 0 A.000-εεε 解：球壳内表面上的感应电荷为-q ，球壳外表面上的电 荷为零，所以有)π4π4000R q d q V εε-+= 。 所以选（ D ） 4. 半径分别为R 和r 的两个金属球，相距很远，用一根细长导线将两球连接在一起并使它们带电，在忽略导线的影响下，两球表面的电荷面密度之比σR /σr 为 ( ) A ． R ／r B. R 2 / r 2 C. r 2 / R 2 D. r / R 解：两球相连，当静电平衡时，两球带电量分别为Q 、q ，因两球相距很远，所以电荷在两球上均匀分布，且两球电势相等，取无穷远为电势零点，则 r q R Q 00π4π4εε= 即 r R q Q = R r r q R Q r R ==22 4/4/ππσσ o R d +q ． 选择题3图 选择题2图 所以选（D ） 5. 一导体球外充满相对介质电常数为εr 的均匀电介质，若测得导体表面附近场强为E ，则导体球面上的自由电荷面密度σ为 ( ) A. ε0 E B. ε0εr E C. εr E D. (ε0εr -ε0) E 解：根据有介质情况下的高斯定理??∑=?q S D d ，取导体球面为高斯面，则有 S S D ?=?σ，即E D r 0εεσ==。 所以选（B ） 6. 一空气平行板电容器，充电后测得板间电场强度为E 0，现断开电源，注满相对介质常数为εr 的煤油，待稳定后，煤油中的极化强度的大小应是（ ） 0r 00r r 0r r 00r 01 . D 1 . C 1 . B .A )E (εεE ε)(εE ε)(εεE εε --- 解：断开电源后，不管是否注入电介质，极板间的自由电荷q 不变，D 0=D 即 E E r 000εεε= 得到 r 0/εE E = 又 P E D +=0ε 0r r 0r 00000) 1(E E E E D P εεεεεεε-=- =-= 所以选（B ） 7. 两个半径相同的金属球，一为空心，一为实心，两者的电容值相比较 ( ) A. 实心球电容值大 B. 实心球电容值小 C. 两球电容量值相等 D. 大小关系无法确定 解：孤立导体球电容R C 0π4ε=，与导体球是否为空心或者实心无关。 所以选（C ） 8. 金属球A 与同心球壳B 组成电容器，球A 上带电荷q ，壳B 上带电荷Q ，测得球和壳间的电势差为U AB ，则该电容器的电容值为（ ） A. q /U AB B. Q /U AB C. (q +Q )/ U AB D. (q +Q )/(2 U AB ) 解：根据电容的定义，应选（A ）。 9. 一空气平行板电容器，极板间距为d ，电容为c 。 若在两板中间平行地插入一块厚度为d / 3的金属板，则其电容值变为 ( ) A. C B. ２C ／３ C. 3 C ／２ D. ２C 解：平行板电容器插入的金属板中的场强为零，极板上电荷量不变，此时两极板间的电势差变为： 00 32)3(εσεσd d d d E U = -='= 其电容值变为： C d S S U Q C 2 3233d 2 00 ==== 'εεσσ 所以选（C ） 10. 一平板电容器充电后保持与电源连接，若改变两极板间的距离，则下述物理量中哪个保持不变？( ) A. 电容器的电容量 B. 两极板间的场强 C. 电容器储存的能量 D. 两极板间的电势差 解：平板电容器充电后保持与电源连接，则两极板间的电势差不变；平行板电容器的电容d S C ε=， 改变两极板间的距离d ，则电容C 发生变化；两极板间的场强d U E =，U 不变，d 变化， 则场强发生变化； d /3 选择题9题 电容器储存的能量2e 2 1 CU W =，U 不变，d 变化，导致电容C 发生变化，则电容器储存的能量也要发生 变化。 所以选（D ） 二 填空题 1. 一任意形状的带电导体，其电荷面密度分布为σ(x 、y 、z )，则在导体表面外附近任意点处的电场强度的大小E (x 、y 、z ) = ，其方向 。 解：E (x 、y 、z )= σ(x 、y 、z )/ε0，其方向与导体表面垂直朝外(σ>0)或与导体表面垂直朝里(σ<0)。 2. 如图所示，一无限大均匀带电平面附近设置一与之平行的无限大平面导体板。已知带电面的电荷面密度为σ ，则导体板两侧面的感应电荷密度分别为σ1 和σ2 = 。 解：由静电平衡条件和电荷守恒定律可得： 02220 2010=-+εσεσεσ ；21σσ-=。由此可解得：21σ σ- = ；2 2σ σ= 。 3. 半径为R 1和R 2的两个同轴金属圆筒(R 1< R 2)，其 间充满着相对介电常数为εr 的均匀介质，设两筒上单位长度带电量分别为λ 和-λ ，则介质中的电位移矢量的大小D = ，电场强度的大小E = 。 解：根据有介质情况下的高斯定理，选同轴圆柱面为高斯面，则有D = λ /（2πr ）， 电场强度大小E = D /εr ε0=λ /（2πεr ε0 r ）。 4. 电容值为100pF 的平板电容器与50V 电压的电源相接，若平板的面积为100cm 2，其中充满εr =6的云母片，则云母中的电场强度E = ；金属板上的自由电荷Q = ；介质表面上的极化电荷Q' = 。 解：极板间电场强度V/m 1042.93r 0r 0r 0?====S CU S Q D E εεεεεε，两极板上自由电荷 C 1059-?==CU Q ，由高斯定理，当有介质时，对平板电容器可有0 εQ Q S E ' +=?， Q 为自由电荷，Q' 为介质表面上的极化电荷，代入已知数据可求得Q' = 4.17×10-9 C 。 5. 平行板电容器的两极板A 、B 的面积均为S ，相距为d ，在两板中间左右两半分别插入相对介电常数为εr1和εr2的电介质，则电容器的电容为 。 解：该电容器相当于是两个面积为S /2的电容器的并联，电容值分别为： d S C 21 1r 01εε=，d S C 212r 02 εε=， )(22r 1r 021εεε+=+=∴d S C C C 6. 半径为R 的金属球A ，接电源充电后断开电源，这时它储存的电场能量为5×10-5J,今将该球与远处一个半径是R 的导体球B 用细导线连接，则A 球储存的电场能量变为 。 解：金属球A 原先储存的能量J 1052152 -?==C Q W ,当它与同样的金属球B 连接，则金属球A 上的电 荷变为原来的1/2，则能量J 1025.1)2/(2152 -?=='C Q W 7. 三个完全相同的金属球A 、B 、C ，其中A 球带电量为Q ，而B 、C 球均不带电，先使A 球同B 球接触，分开后A 球再和C 球接触，最后三个球分别孤立地放置，则A 、B 两球所储存的电场能量W e A 、W e B ，与A 球原先所储存的电场能量W e0比较，W e A 是W e0的 倍，W e B 是W e0的 倍。 σ σ 1 2 填充题2图 解：初始A 球的电场能量C Q W 2 0e 21=，先使A 球同B 球接触，则 Q Q Q B A 2 1 ==，0e 2e 41)2/(21W C Q W B == ， 分开后，A 球再和C 球接触，则 Q Q Q C A 4 1 ==' ，0e 2e 161)4/(21W C Q W A == 8. 一空气平行板电容器，其电容值为C 0，充电后将电源断开，其储存的电场能量为W 0，今在两极板间充满相对介电常数为εr 的各向同性均匀电介质，则此时电容值C = ，储存的电场能量W e = 。 解：初始时电容0 00U Q C =，充电后将电源断开，Q 0不变，由r 0/εε D E =，当两极板间充满电介质时， 两极板电势差r 0r 00r 0εεεεεU S d Q d D Ed U ====，0r 0 C U Q C ε==∴ r 0r 2 0202121εεW C Q C Q W === 。 9. 一平行板电容器，极板面积为S ，间距为d ，接在电源上并保持电压恒定为U 。若将极板距离拉开一倍，那么电容器中静电能的改变为 ，电源对电场做功为 ，外力对极板做功为 。 解：初始时，电容器的静电能2 000002121U d S U Q W e ε==将极板距离拉开一倍，电容值变为 00212C d S C ==ε，极板间电压不变，000021 21Q U C CU Q ===∴，此时电容器的静电能 2 00e 0e 414121U d S W QU W ε=== ∴电容器中静电能的改变 200e e e 41U d S W W W ε-=-=? 电源对电场做功200021)21(U d S Q Q U q U W ε-=-=?= 由能量守恒，电源和外力做功的和等于电容器中静电能的改变，所以外力做的功 d SU U d S U d S W W W 4242 02 02 0e εεε= +- =-?=' 10. 平板电容器两板间的空间（体积为V ）被相对介电常数为εr 的绝缘体充填，极板上电荷的面密度为σ，则将绝缘体从电容器中取出过程中外力所做的功为 。（摩擦不计） 解：当平板电容器充满相对介电常数为εr 电介质时，场强r 0r 01εεσ εε==D E ，抽出后场强0 02εσε= =D E 此时具有的静电能 ?????? === V V E V w W e r 022 1r 0e 121d 21d εεσεε 当电介质取出后静电能 ??????= ==V V E V w W 0 22 20e 2e 21d 21d εσε 由能量守恒，在此过程中若不计摩擦，外力做功的等于静电能的增量 )1 1(22121r 02r 0202e εεσεεσεσ-=-= V V V W 三 计算题 1. 如图所示，一内半径为a 、外半径为b 的金属球壳，带有电量Q ，在球壳空腔内距离球心r 处有一点电荷q ，设无限远处为电势零点，试求：(1)球壳内外表面上的电荷；(2)球心处由球壳内表面上电荷产生的电势；(3)球心处的总电势。 解：（1）由静电感应，金属球壳的内表面上有感应电荷-q ，外表面上带电荷q +Q 。 （2）不论球壳内表面上的感应电荷是如何分布的，因为任一电荷元离O 点的距离都是a ，所以由这些电荷在O 点产生的电势为 a q a q V q 0 0π4π4d εε-= = ?- （3）球心O 点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和电荷q 在O 点产生的电势的代数和 b Q b a r q b q Q a q r q V V V V q Q q q 000000π4)111(π4 π4π4πεεεεε+ +-=++-=++=+- 7. 两同心导体球壳中间充满相对介电常数为εr 的均匀电介质，其余为真空，内球壳半径为R 1，带电量为Q 1；外球壳半径为R 2，带电量为Q 2，如图所示。求图中距球心O 分别为r 1、r 2、r 3的a 、b 、c 三点的场强和电势。 解：分别取半径为r 1、r 2、r 3的高斯球面，利用高斯定理得： E a =0 ,42 2r 01 r Q E b εεπ=沿径向方向向外 ,42 202 1r Q Q E c επ+= 沿径向方向向外 11R r <，? ??++-=+==∞∞ππ2211202 1 21r 014)11(4d d d R c R R b r a R Q Q R R Q r E r E r E U εεε 221R r R <<，? ??++-=+==∞∞ππ22222 02 122r 014)11(4d d d R c R r b r b R Q Q R r Q r E r E r E U εεε 23R r >，?? +=+==∞∞ππ33302 1 20214d 4d r r c c r Q Q r r Q Q r E U εε 8. 一空气平行板电容器，两极板面积均为S ，板间距离为d ，在两极板间平行地插入一面积也是S ， 厚度为t 的金属片，试求：(1)电容C 等于多少？(2)金属片在两极板间放置的位置对电容值有无影响？ 解：设极板上分别带电量+q 和-q ；金属片与A 板距离为d 1，与B 板距离为d 2；金属片与A 板间场强为 E 1 =q / (ε0 S ) 金属板与B 板间场强为 E 2 =q / (ε0 S ) 金属片内部场强为 0='E 则两极板间的电势差为 U A -U B =E 1d 1+E 2d 2 =( q /ε0S )(d 1+d 2) = (q /ε0S ) (d - t ) 由此得 C =q /(U A -U B ) =ε0S /（d - t ） 因C 值仅与d 、t 有关，与d 1、d 2无关，故金属片的安放仅置对电容值无影响。 b a q r Q 计算题1图 计算题7图 r 2 r 3 b O R 1 r 1 c R 2 Q 1 a Q 2 B 103 第八章 静电场中的导体和电介质 一、基本要求 1．理解导体的静电平衡，能分析简单问题中导体静电平衡时的电荷分布、场强分布和电势分布的特点。 2．了解两种电介质极化的微观机制，了解各向同性电介质中的电位移和场强的关系，了解各向同性电介质中的高斯定理。 3．理解电容的概念，能计算简单几何形状电容器的电容。 4．了解电场能量、电场能量密度的概念。 二、本章要点 1．导体静电平衡 导体内部场强等于零，导体表面场强与表面垂直；导体是等势体，导体表面是等势面。 在静电平衡时，导体所带的电荷只能分布在导体的表面上，导体内没有净电荷。 2．电位移矢量 在均匀各向同性介质中 E E D r εεε0== 介质中的高斯定理 ∑??=?i i s Q s d D 自 3．电容器的电容 U Q C ?= 电容器的能量 C Q W 2 21= 4．电场的能量 电场能量密度 D E w ?= 2 1 电场能量 ? = V wdV W 三、例题 8-1 下列叙述正确的有（Ｂ） （Ａ）若闭合曲面内的电荷代数和为零，则曲面上任一点场强一定为零。 （Ｂ）若闭合曲面上任一点场强为零，则曲面内的电荷代数和一定为零。 104 （Ｃ）若闭合曲面内的点电荷的位置变化，则曲面上任一点的场强一定会改变。 （Ｄ）若闭合曲面上任一点的场强改变，则曲面内的点电荷的位置一定有改变。 （Ｅ）若闭合曲面内任一点场强不为零，则闭合曲面内一定有电荷。 解：选（B ）。由高斯定理??∑=?0/εi i q s d E ，由 ∑=?=00φq ，但场强则 不一定为零，如上题。 （C ）不一定，受静电屏蔽的导体内部电荷的变动不影响外部场强。 （D ）曲面上场强由空间所有电荷产生，改变原因也可能在外部。 （E ）只要通过闭曲面电通量为0，面内就可能无电荷。 8-2 如图所示，一半径为Ｒ的导体薄球壳，带电量为-Ｑ1，在球壳的正上方距球心Ｏ距离为３Ｒ的Ｂ点放置一点电荷，带电量为＋Ｑ2。令∞处电势为零，则薄球壳上电荷-Ｑ1在球心处产生的电势等于___________，＋Ｑ2在球心处产生的电势等于__________，由叠加原理可得球心处的电势Ｕ0等于_____________；球壳上最高点Ａ处的电势为_______________。 解：由电势叠加原理可得，球壳上电荷-Ｑ1在O 点的电势为 R Q U 0114πε- = 点电荷Ｑ2在球心的电势为 R Q R Q U 02 0221234πεπε= ?= 所以，O 点的总电势为 R Q Q U U U 01 2210123ε-= += 由于整个导体球壳为等势体，则 0U U A =R Q Q 01 2123ε-= 8-3 两带电金属球，一个是半径为２Ｒ的中空球，一个是半径为Ｒ的实心球，两球心间距离ｒ（>>Ｒ），因而可以认为两球所带电荷都是均匀分布的，空心球电势为Ｕ1，实心球电势为Ｕ2，则空心球所带电量Ｑ1=___________，实心球所带电Ｑ2=___________。若用导线将它们连接起来，则空心球所带电量为______________，两球电势为______________。 解：连接前，空心球电势R Q U 2401 1πε= ，所以带电量为 第十章 静电场中的导体和电介质 一 选择题 1. 半径为R 的导体球原不带电，今在距球心为a 处放一点电荷q ( a ＞R )。设无限远处的电势为零，则导体球的电势为 ( ) 2 02 00π4 . D ) (π4 . C π4 . B π4 .A R) (a qa R a q a qR a q o --εεεε 解：导体球处于静电平衡，球心处的电势即为导体球电势，感应电荷q '±分布在导体球表面上，且0)(='-+'+q q ，它们在球心处的电势 ??'±'±='= ' = 'q q q R R q V 0d π41π4d 00 εε 点电荷q 在球心处的电势为 a q V 0π4ε= 据电势叠加原理，球心处的电势a q V V V 00π4ε= '+=。 所以选（A ） 2. 已知厚度为d 的无限大带电导体平板，两表面上电荷均匀分布，电荷面密度均为σ ，如图所示，则板外两侧的电场强度的大小为 ( ) 2 . D . C 2 . B 2 .A εd E= εE= E E σσεσ εσ= = 解：在导体平板两表面外侧取两对称平面，做侧面垂直平板的高斯面，根据高斯定理，考虑到两对称平面电场强度相等，且高斯面内电荷为S 2σ，可得 0 εσ= E 。 所以选（C ） 3. 如图，一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R ，在腔内离球心的距离为 d 处(d 第四章 静电场 本章提要 1．电荷的基本性质 两种电荷，量子性，电荷首恒，相对论不变性。 2．库仑定律 两个静止的点电荷之间的作用力 12122 2 04kq q q q r r = = F r r πε 其中 9 2 2 910(N m /C )k =?? 12 2-1 -2 018.8510 (C N m ) 4k -= =??επ 3．电场强度 q = F E 0q 为静止电荷。由 10102 2 04kq q q q r r == F r r πε 得 112 2 04kq q r r = = E r r πε 4．场强的计算 （1）场强叠加原理 电场中某一点的电场强度等于各个点电荷单独存在时在该点产生的电场强度的矢量和。 i = ∑E E （2）高斯定理 电通量：在电场强度为E 的某点附近取一个面元，规定S ?=?S n ， θ为E 与n 之间的夹角，通过S ?的电场强度通量定义为 e cos E S ?ψ=?=??v S θ 取积分可得电场中有限大的曲面的电通量 ψd e s S = ??? E 高斯定理：在真空中，通过任一封闭曲面的电通量等于该封闭曲面内的所有电荷电量的代数和除以0ε，与封闭曲面外的电荷无关。即 i 0 1 d s q = ∑?? E S 内 ε 5．典型静电场 （1）均匀带电球面 0=E （球面内） 2 04q r πε= E r （球面外） （2）均匀带电球体 3 04q R πε= E r （球体内） 204q r πε= E r （球体外） （3）均匀带电无限长直线场强方向垂直于带电直线，大小为 02E r λ πε= （4）均匀带电无限大平面场强方向垂直于带电平面，大小为 2E σ ε= 6．电偶极矩 电偶极子在电场中受到的力矩 =?M P E 思考题 4-1 02 0 4q q r = = πεr 与F E E 两式有什么区别与联系。 姓名 __________ 学号 ____________ 《大学物理Ⅰ》答题纸第十章 一、选择题 [ B ］1（基础训练2 ）一“无限大”均匀带电平面A，其附近放一+σ2 与它平行的有一定厚度的“无限大”平面导体板B，如图所示．已知A上的 电荷面密度为+σ ，则在导体板B的两个表面1和2上的感生电荷面密度为：(A) σ 1 = - σ，σ 2 = + σ．(B) σ 1 = - (C) σ 1 = -11σ，σ 2 =+σ．22A11σ，σ 1 = -σ．(D) σ 1 = - σ，σ 2 = 0． 22 【提示】“无限大”平面导体板B是电中性的：σ 1S+σ 2S=0， 静电平衡时平面导体板B内部的场强为零，由场强叠加原理得： σσσ+1-2=0 2ε02ε02ε0 σσ 联立解得：σ1=-σ2= 22 [ C ]2（基础训练4）、三个半径相同的金属小球，其中甲、乙两球带有等量同号电 荷，丙球不带电。已知甲、乙两球间距离远大于本身直径，它们之间的静电力为F；现用带 绝缘柄的丙球先与甲球接触，再与乙球接触，然后移去，则此后甲、乙两球间的静电力为： (A) 3F / 4． (B) F / 2． (C) 3F / 8． (D) F / 4． 【提示】设原来甲乙两球各自所带的电量为q，则F=q2 4πε0r2； ?q??3q???3q3q24=F 丙球与它们接触后，甲带电，乙带电，两球间的静电力为：F'=244πε0r28 [ C ］3（基础训练6）半径为R的金属球与地连接。在与球心O相 距d =2R处有一电荷为q的点电荷。如图所示，设地的电势为零，则球上的感 生电荷q'为： (A) 0． (B) qq． (C) -． (D) -q． 22【提示】静电平衡时金属球是等势体。金属球接地，球心电势为零。球心电势可用电势叠加 法求得： q'dq'q1qq'qq+=0=-∴q'=-，，，其中d = 2R， dq'=- ??4πεR4πεdRd24πε0R04πε0d000 q' ［ C ］4（基础训练8）两只电容器，C1 = 8 μF，C2 = 2 μF，分 别把它们充电到 1000 V，然后将它们反接(如图所示)，此时两极板间的电 势差为： 姓名 __________ 学号 ____________ 《大学物理Ⅰ》答题纸第十章 (A) 0 V ． (B) 200 V． (C) 600 V． (D) 1000 V 【提示】反接，正负电荷抵消后的净电量为 Q=Q1-Q2=CU-C2U=(8-2)?10-6?1000=6?10-6C 1 这些电荷重新分布，最后两个电容器的电压相等，相当于并联。并联的等效电容为C'=C1+C2=10-5F，电势差为U'=Q=600(V)。 C' ［ B ］5（自测提高4）一导体球外充满相对介电常量为εr的均匀电介质，若测得导体表面附近场强为E，则导体球面上的自由电荷面密度σ0为 (A) ε0E．(B) ε0εrE ．(C) εrE．(D) (ε0εr-ε0)E 【提示】导体外表面附近场强E= σ0σ0，∴σ0=ε0εrE. =εε0εr ［ D ］6（自测提高5）一空心导体球壳，其内、外半径分别为R1和R2，带电荷q，如图所示。当球壳中心处再放一电荷为q的点电荷时，则导体球壳 的电势(设无穷远处为电势零点)为 (A) q 4πε0R14πε0R2 第七章 静电场中的导体、电介质 一、选择题： 1. 已知厚度为d 的无限大带电导体平板，两表面上电荷均匀分布，电荷面密度均为σ，如图所示，则板外两侧的电场强度的大小为：[ ] （A ）E=0 2εσ （B ）E=02εσ （C ）E=0εσ （D ）E=02d εσ 2. 两个同心薄金属体，半径分别为R 1和R 2（R 2>R 1），若分别带上电量为q 1和q 2的电荷，则两者的电势分别为U 1和U 2（选无穷远处为电势零点），现用导线将两球壳相连接，则它们的电势为[ ] （A ）U 1 （B ）U 2 （C ）U 1+U 2 （D ）2 1 （U 1+U 2） 3.如图所示，一封闭的导体壳A 内有两个导体B 和C ，A 、C 不带电，B 带正电，则A 、B 、C 三导体的电势U A 、U B 、U C 的大小关系是[ ] （A ）U A =U B =U C （B ）U B > U A =U C （C ）U B >U C >U A （D ）U B >U A >U C 4.一厚度为d 的“无限大”均匀带电导体板，电荷面密度为σ，则板的两侧离板的距离均为h 的两点a 、b 之间的电势差为： [ ] （A ）零 （B ）02εσ （C ）0εσh （D ）0 2εσh 5. 当一个带电导体达到静电平衡时： [ ] (A) 表面上电荷密度转大处电势较高 (B) 表面曲率较大处电势。 (C)导体内部的电势比导体表面的电势高。 (D)导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零。 6. 如图示为一均匀带电球体，总电量为+Q ，其外部同心地罩一内、 外半径分别为r 1、r 2的金属球壳、设无穷远处为电势零点，则在球壳内半径为r 的P 点处的场强和电势为： [ ] （A ）E= r Q U r Q 02 04,4πεπε= （B ）E=0， 1 04r Q πε （C ）E=0， r Q 04πε （D ）E=0，2 04r Q πε 7. 设有一个带正电的导体球壳，若球壳内充满电介质，球壳外是真空时，球壳外一点的场强大小和电势用E 1，U 1表示；若球壳内、外均为真空时，壳外一点的场强大小和电势用E 2、U 2表示，则两种情况下，壳外同一处的场强大小和电势大小的关系为： [ ] （A ）E 1=E 2， U 1=U 2 （B ）E 1=E 2， U 1>U 2 （C ）E 1>E 2， U 1>U 2 （D ）E 1 大学物理课后答案第 七章静电场中的导 体和电介质 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 2 习题7 7-2 三个平行金属板A ，B 和C 的面积都是200cm 2，A 和B 相距4.0mm ，A 与C 相距2.0 mm ．B ，C 都接地，如题7-2图所示．如果使A 板带正电3.0×10-7C ，略去边缘效应，问B 板和C 板上的感应电荷各是多少以地的电势为零，则A 板的电势是多少 解: 如题7-2图示，令A 板左侧面电荷面密度为1σ，右侧面电荷面密度为 2σ 题7-2图 (1)∵ AB AC U U =，即 ∴ AB AB AC AC E E d d = ∴ 2d d 21===AC AB AB AC E E σσ 且 1σ+2σS q A = 得 ,32S q A = σ S q A 321=σ 而 711023 2 -?-=- =-=A C q S q σC C 10172-?-=-=S q B σ (2) 30 1 103.2d d ?== =AC AC AC A E U εσV 3 7-3 两个半径分别为1R 和2R （1R ＜2R )的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+q ，试计算： (1)外球壳上的电荷分布及电势大小； (2)先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势； *(3)再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量． 解: (1)内球带电q +；球壳内表面带电则为q -,外表面带电为q +，且均匀分布，其电势 题7-3图 ? ? ∞ ∞==?=2 2 020π4π4d d R R R q r r q r E U εε (2)外壳接地时，外表面电荷q +入地，外表面不带电，内表面电荷仍为q -．所以球壳电势由内球q +与内表面q -产生： 0π4π42 02 0=- = R q R q U εε (3)设此时内球壳带电量为q '；则外壳内表面带电量为q '-，外壳外表面带电量为+-q q ' (电荷守恒)，此时内球壳电势为零，且 0π4' π4'π4'2 02 01 0=+-+ - = R q q R q R q U A εεε l. 一带电量为Q、半径为R1的金属球, 放在内、外半径分别为R2和R3的金属球壳内, 若用导线把球与球壳连接后，则金属球的电势. ( ) 2．A、B、C为带电导体表面上的三点, 如图所示, 静电平衡时, 比较三点的面电荷密度、电势及表面附近的场强，下述说法中错误的是：( ) 第十章静电场中的导体与电介质课后练习十九 3. 如图所示，两同心导体球壳，初始时刻给内球壳所带电量为+q，给外球壳所带电量为-2q。那么静电平衡时，外球壳的内表面所带电荷量为；外表面所带电荷量为。 4. 一真空中平板电容器，极板面积为S，极板间距为d，则电容C0 = ；当充入εr 的电介质，则电容 C = ；C与C0之比为。 5. 半径分别为R1和R2(R2＞R1)的两个同心导体薄球壳, 分别带电量Q1和Q2, 今将内球壳用细导线与远处的半径为r 的导体球相连, 导体球原来不带电, 试求相连后导体球所带电量q. 6. A、B、C 三个平行板面积均为200cm, A、B之间相距4mm,A、C 之间相距2mm,B、C 两板接地,若使A板带正电3.0×10-7C, 求(1) B、C 两板上的感应负电荷各为多少? (2) A板电势为多大? 第十章静电场中的导体与电介质课后练习十九 1. 一空气平行板电容器充电后与电源断开, 然后在两极板间充满各向同性均匀电介质, 则场强的大小E、电容C、电势差U、电场能量We 四个量各自与充入介质前相比较. 增大(用↑表示)或减小(用↓表示)的情形为( ) (A) E↓C ↑U ↑We ↑ (B) E↑C↓U ↓We ↑ (C) E↓C ↑U ↑We ↓ (D) E↓C↑U ↓We ↓ 2. 平行板电容器极板面积为S, 间距为d, 充电到电压U0 , 然后断开电源, 把相对电容率为εr的均匀电介质充满电容器的一半空间, 如图. 则两极板间电压变为 第7章 静电场中的导体和电介质 习题及答案 1. 半径分别为R 和r 的两个导体球，相距甚远。用细导线连接两球并使它带电，电荷面密度分别为1σ和2σ。忽略两个导体球的静电相互作用和细导线上电荷对导体球上电荷分布的影响。试证明： R r =21σσ 。 证明：因为两球相距甚远，半径为R 的导体球在半径为r 的导体球上产生的电势忽略不计，半径为r 的导体球在半径为R 的导体球上产生的电势忽略不计，所以 半径为R 的导体球的电势为 R R V 0211π4επσ= 14εσR = 半径为r 的导体球的电势为 r r V 0222π4επσ= 24εσr = 用细导线连接两球，有21V V =，所以 R r =21σσ 2. 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板来说，(1)相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。 证明: 如图所示，设两导体A 、B 的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为1σ，2σ，3σ，4σ （1）取与平面垂直且底面分别在A 、B 部的闭合圆柱面为高斯面，由高斯定理得 S S d E S ?+==??)(1 0320 σσε 故 +2σ03=σ 上式说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反。 （2）在A 部任取一点P ，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即 022220 4 030201=---εσεσεσεσ 又 +2σ03=σ 故 1σ4σ= 3. 半径为R 的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为R d 3=处有一点电荷+q ，试求：金属球上的感应电荷的电量。 解：如图所示，设金属球表面感应电荷为q '，金属球接地时电势0=V 由电势叠加原理，球心电势为 = O V R q dq R 3π4π4100εε+ ? 03π4π400=+'= R q R q εε 故 - ='q 3 q 4．半径为1R 的导体球，带有电量q ，球外有外半径分别为2R 、3R 的同心导体球壳，球壳带有电量Q 。 （1）求导体球和球壳的电势1V 和2V ； （2）如果将球壳接地，求1V 和2V ； （3）若导体球接地（设球壳离地面很远），求1V 和2V 。 解：（1）应用均匀带电球面产生的电势公式和电势叠加原理求解。 半径为R 、带电量为q 的均匀带电球面产生的电势分布为 ???????>≤=)( 4)( 400 R r r q R r R q V πεπε 导体球外表面均匀带电q ；导体球壳表面均匀带电q -，外表面均匀带电Q q +，由电势叠加原理知，空间任一点的电势等于导体球外表面、导体球壳表面和外表面电荷在该点产生的电势的代数和。 导体球是等势体，其上任一点电势为 )( 413 210 1R Q q R q R q V ++-= πε 球壳是等势体，其上任一点电势为 第七章 静电场中的导体和电介质 一、选择题 1. （★★）一个不带电的空腔导体球壳，内半径为R 。在腔内离球心的 距离为a 处（a 10-1 如题图所示，一内半径为a 、外半径为b 的金属球壳，带有电荷Q ，在球壳空腔内距离球心r 处有一点电荷q ，设无限远处为电势零点。试求： (1) 球壳内外表面上的电荷； (2) 球心O 点处，由球壳内表面上电荷产生的电势； (3) 球心O 点处的总电势。 习题10-1图 解：(1) 由静电感应，金属球壳的内表面上有感生电荷-q ，外表面上带电荷q +Q 。 (2) 不论球壳内表面上的感生电荷是如何分布的，因为任一电荷元离O 点的 距离都是a ，所以由这些电荷在O 点产生的电势为 0d 4q q U a πε-= ?a q 04επ-= (3) 球心O 点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷q 在O 点产生的电势的代数和 q Q q q O U U U U +-++= 04q r πε= 04q a πε- 04Q q b πε++ 01114()q r a b πε=-+04Q b πε+ 10-2 有一"无限大"的接地导体板 ，在距离板面b 处有一电荷为q 的点电荷，如题图(a)所示。试求： (1) 导体板面上各点的感生电荷面密度分布(参考题图(b))； (2) 面上感生电荷的总电荷(参考题图(c))。 习题10-2图 解：(1) 选点电荷所在点到平面的垂足O 为原点，取平面上任意点P ，P 点距离原点为r ，设P 点的感生电荷面密度为 ． 在P 点左边邻近处(导体内)场强为零，其法向分量也是零，按场强叠加原理， ()22 0cos 024P q E r b θσ επε⊥= +=+ ∴ () 2 /32 22/b r qb +-=πσ (2) 以O 点为圆心，r 为半径，d r 为宽度取一小圆环面，其上电荷为 ( ) 32 2 2d d d //Q S qbr r r b σ==-+ q Q a b O r 一、选择题 [ B ］1（基础训练2） 一“无限大”均匀带电平面A ，其附近放一与它 平行的有一定厚度的“无限大”平面导体板B ，如图所示．已知A 上的电荷 面密度为+σ ，则在导体板B 的两个表面 1和2上的感生电荷面密度为： (A) σ 1 = - σ， σ 2 = + σ． (B) σ 1 = σ21- ， σ 2 =σ2 1 +． (C) σ 1 = σ21- ， σ 1 = σ2 1 -． (D) σ 1 = - σ， σ 2 = 0． 【提示】“无限大”平面导体板B 是电中性的：σ 1S+σ 2S=0， 静电平衡时平面导体板B 内部的场强为零，由场强叠加原理得： 02220 2010=-+εσεσεσ 联立解得： 122 2 σ σ σσ=- = [ C ］2（基础训练6）半径为R 的金属球与地连接。在与球心O 相距d =2R 处有一电荷为q 的点电荷。如图所示，设地的电势为零，则球上的感生电荷q ' 为： (A) 0． (B) 2q ． (C) -2 q ． (D) -q ． 【提示】静电平衡时金属球是等势体。金属球接地，球心电势为零。球心电 势可用电势叠加法求得： 000'044q dq q R d πεπε' +=?， 00' 01'44q q dq R d πεπε=-?， 'q q R d =-，其中d = 2R ，'2q q ∴=- ［ C ］3（基础训练8）两只电容器，C 1 = 8 μF ，C 2 = 2 μF ，分别把 它们充电到 1000 V ，然后将它们反接(如图所示)，此时两极板间的电势差 为： (A) 0 V ． (B) 200 V ． (C) 600 V ． (D) 1000 V 【提示】反接，正负电荷抵消后的净电量为 661212(82)101000610Q Q Q C U C U C --=-=-=-??=? 这些电荷重新分布，最后两个电容器的电压相等，相当于并联。并联的等效电容为 512C'10C C F -=+=，电势差为'600()' Q U V C = =。 ［ D ］4（基础训练10）两个完全相同的电容器C 1和C 2，串联后与电源连接。现将一各向同性均匀电介质板插入C 1中，如图所示，则(A) 电容器组总电容减小． (B) C 1上的电荷大于C 2上的电荷． (C) C 1上的电压高于C 2上的电压 ．(D) 电容器组贮存的总能量增大． 【提示】(A) C 1↑，1/C=(1/C 1)+(1/C 2)，∴C ↑ (B) 串联，Q 1=Q 2 (C) U 1=Q/C 1，U 2=Q/C 2 ，∴U 1 静电场中的导体与电介质考试题及答案 6 －1 将一个带正电的带电体A 从远处移到一个不带电的导体B 附近，则导体B 的电势将（ ） （A ） 升高 （B ） 降低 （C ） 不会发生变化 （D ） 无法确定 分析与解 不带电的导体B 相对无穷远处为零电势。由于带正电的带电体A 移到不带电的导体B 附近时，在导体B 的近端感应负电荷；在远端感应正电荷，不带电导体的电势将高于无穷远处，因而正确答案为（A ）。 6 －2 将一带负电的物体M 靠近一不带电的导体N ，在N 的左端感应出正电荷，右端感应出负电荷。若将导体N 的左端接地（如图所示），则（ ） （A ） N 上的负电荷入地 （B ）N 上的正电荷入地 （C ） N 上的所有电荷入地 （D ）N 上所有的感应电荷入地 分析与解 导体N 接地表明导体N 为零电势，即与无穷远处等电势，这与导体N 在哪一端接地无关。因而正确答案为（A ）。 6 －3 如图所示将一个电量为q 的点电荷放在一个半径为R 的不带电的导体球附近，点电荷距导体球球心为d ，参见附图。设无穷远处为零电势，则在导体球球心O 点有（ ） （A ）d εq V E 0π4,0= = （B ）d εq V d εq E 02 0π4,π4== （C ）0,0==V E （D ）R εq V d εq E 020π4,π4== 分析与解 达到静电平衡时导体内处处各点电场强度为零。点电荷q 在导 体球表面感应等量异号的感应电荷±q ′，导体球表面的感应电荷±q ′在球心O 点激发的电势为零，O 点的电势等于点电荷q 在该处激发的电势。因而正确答案为（A ）。 6 －4 根据电介质中的高斯定理，在电介质中电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于这个曲面所包围自由电荷的代数和。下列推论正确的是( ) （A ） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内一定没有自由电荷 （B ） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内电荷的代数和一定等于零 （C ） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分不等于零，曲面内一定有极化电荷 （D ） 介质中的高斯定律表明电位移矢量仅仅与自由电荷的分布有关 （E ） 介质中的电位移矢量与自由电荷和极化电荷的分布有关 分析与解 电位移矢量沿任意一个闭合曲面的通量积分等于零，表明曲面 内自由电荷的代数和等于零；由于电介质会改变自由电荷的空间分布，介质中的电位移矢量与自由电荷与位移电荷的分布有关。因而正确答案为（E ）。 6 －5 对于各向同性的均匀电介质，下列概念正确的是（ ） （A ） 电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的1/εｒ倍 （B ） 电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的1/εｒ倍 （C ） 在电介质充满整个电场时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该 第九章 静电场中的导体 9.1 选无穷远处为电势零点，半径为R 的导体球带电后，其电势为U 0，则球外离球心距离为r 处的电场强度的大小为 (A) 3 2r U R ． (B) R U 0． (C) 2 0r RU ． (D) r U 0 ． ［ C ］ 9.2如图所示，一厚度为d 的“无限大”均匀带电导体板，电荷面密度为σ ，则板的两侧离 板面距离均为h 的两点a 、b 之间的电势差为： (A) 0． (B) 2εσ ． (C) 0εσh ． (D) 0 2εσh ． ［ A ］ 9.3 一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R ．在腔内离球心的距离为d 处( d < R )，固定 一点电荷+q ，如图所示. 用导线把球壳接地后，再把地线撤去．选无穷远处为电势零点，则球心O 处的电势为 (A) 0 ． (B) d q 04επ． (C) R q 04επ-． (D) )1 1(4 R d q -πε． ［ D ］ 9.4 在一不带电荷的导体球壳的球心处放一点电荷，并测量球壳内外的场强分布．如果将此 点电荷从球心移到球壳内其它位置，重新测量球壳内外的场强分布，则将发现： (A) 球壳内、外场强分布均无变化． (B) 球壳内场强分布改变，球壳外不变． (C) 球壳外场强分布改变，球壳内不变． (D) 球壳内、外场强分布均改变． ［ B ］ 9.5在一个孤立的导体球壳内，若在偏离球中心处放一个点电荷，则在球壳内、外表面上将出现感应电荷，其分布将是： (A) 内表面均匀，外表面也均匀． (B) 内表面不均匀，外表面均匀． (C) 内表面均匀，外表面不均匀． (D) 内表面不均匀，外表面也不均匀． ［ B ］ 9.6当一个带电导体达到静电平衡时： (A) 表面上电荷密度较大处电势较高． (B) 表面曲率较大处电势较高． (C) 导体内部的电势比导体表面的电势高． (D) 导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零． ［ D ］ 9.7如图所示，一内半径为a 、外半径为b 的金属球壳，带有电荷Q ，在球壳空腔内距离球心r 处有一点电荷q ．设无限远处为电势零点，试求： (1) 球壳内外表面上的电荷． (2) 球心O 点处，由球壳内表面上电荷产生的电势． (3) 球心O 点处的总电势． 解：(1) 由静电感应，金属球壳的内表面上有感生电荷-q ，外表面上带电荷q +Q ． (2) 不论球壳内表面上的感生电荷是如何分布的，因为任一电荷元离O 点的 距离都是a ，所以由这些电荷在O 点产生的电势为 a dq U q 04επ= ?-a q 04επ-= (3) 球心O 点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷q 在O 点产生的电势的代数和 q Q q q O U U U U +-++= r q 04επ= a q 04επ- b q Q 04επ++ )111(40b a r q +-π=εb Q 04επ+ 9.8有一"无限大"的接地导体板 ，在距离板面b 处有一电荷为q 的点电荷．如图所示，试求： (1) 导体板面上各点的感生电荷面密度分布． (2) 面上感生电荷的总电荷． 《大学物理》练习题 No .4 静电场中的导体 电介质及能量 班级 ___________ 学号 ___________ 姓名 ___________ 成绩 ________ 一、 选择题 1. 如图4.1,真空中有一点电荷Q 及空心金属球壳A, A 处于静电平衡, 球内有一点M, 球壳中有一点N, 以下说法正确的是 [ E ] (A) E M ≠0, E N =0 ,Q 在M 处产生电场,而在N 处不产生电场； (B) E M =0, E N ≠0 ,Q 在M 处不产生电场,而在N 处产生电场； (C) E M = E N =0 ,Q 在M 、N 处都不产生电场； (D) E M ≠0,E N ≠0,Q 在M 、N 处都产生电场； (E) E M = E N =0 ,Q 在M 、N 处都产生电场. 2.如图4.2,原先不带电的金属球壳的球心处放一点电荷q 1 , 球外放一点电荷q 2 ,设q 2 、金属内表面的电荷、外表面的电荷对q 1的作用力分别为F 1、F 2、F 3 , q 1受的总电场力为F , 则 [ C ] (A) F 1=F 2=F 3=F =0. (B) F 1= q 1 q 2 / ( 4 π ε0 d 2 ) , F 2 = 0 , F 3 = 0 , F =F 1 . (C) F 1= q 1 q 2 / ( 4 π ε0 d 2 ) , F 2 = 0 ,F 3 =- q 1 q 2 / ( 4 π ε0 d 2 ) (即与F 1反 向), F =0 . (D) F 1= q 1 q 2 / ( 4 π ε0 d 2 ) , F 2 = - q 1 q 2 / ( 4 π ε0 d 2 ) (即与F 1反 向) ,F 3 =0, F =0 . (E) F 1= q 1 q 2 / ( 4 π ε0 d 2 ) , F 2=- q 1 q 2 / ( 4 π ε0 d 2 ) (即与F 1反向), F 3 = 0, F =0 . 3. 一导体球外充满相对电容率为εr 的均匀电介质，若测得导体表面附近场强为E ，则导体球面上的自由电荷面密度σ为： [ B ] (A) ε0E . (B) ε0εr E . (C) εr E . (D) (ε0εr -ε0)E . 4. 两个半径相同的金属球,一为空心,一为实心,把两者各自孤立时的电容值加以比较,则： [ C ] (A) 空心球电容值大. (B) 实心球电容值大. (C) 两球电容值相等. (D) 大小关系无法确定. 5.平行板电容器充电后与电源断开,然后在两极板间插入一导体平板,则电容C , 极板间电压V ,极板空间(不含插入的导体板)电场强度E 以及电场的能量W 将(↑表示增大,↓表示减小) [ B ] (A) C ↓,U ↑,W ↑,E ↑. (B) C ↑,U ↓,W ↓,E 不变. (C) C ↑,U ↑,W ↑,E ↑. (D) C ↓,U ↓,W ↓,E ↓. ?Q 图4.1, q 图4.2 静电场中的导体 2.1 填空题 2.1.1 一带正电小球移近不带电导体时，小球将受到（ ）力作用；一带负电小球移近不 带电导体时，小球将受到（ ）力作用；一带正电小球靠近不带电的接地导体时，小球将受到（ ）力作用。 2.1.2 在一个带正电的大导体附近P 点放置一个点电荷q(电荷q 不是足够小)，实际测得它的受力为F ，如果q>0, 则F/q 与P 点场强E 0关系为（ ），如果q<0, 则F/q 与P 点场强关系为( ) 2.1.3 导体在静电场中达到静电平衡的条件是（ ）和（ ）。 2.1.4 导体处于静电平衡状态时，导体内部电荷体密度（ ），电荷只能分布在（ ）。 2.1.5 导体处于静电平衡状态时，导体是（ ）体，表面是（ ）面。 2.1.6 接地导体的电势等于（ ），地球与（ ）等电势。 2.1.7 一导体球壳，内外半径分别为R 1和R 2，带电q ，球壳内还有一点电荷q ，则导体球壳的电势是（ ）。 2.1.8 一点电荷q 放在一接地的无限大导电平面附近，则导电平面上的总电量为（ ）。 2.1.9 将一个点电荷+q 移近一个不带电的导体B 时，则导体B 的电势将（ ）。 2.1.10 一封闭导体壳C 内有一些分别带q 1、q 2…的带电体，导体壳C 外也有一些分别带Q 1、Q 2…的带电体，则q 1、q 2…的大小对导体壳C 外的电场强度（ ）影响，对C 外的电势（ ）影响；Q 1、Q 2…的大小对导体壳C 内的电场强度（ ）影响，对C 内的电势（ ）影响。 2.1.11 两个同心导体球壳A 、B ，若内球B 上带电q ，则电荷在其表面上的分布呈（ ）分布；当从外边把另一带电体移近这两个同心球时，则内球B 上的分布呈（ ）分布。 2.1.12 两导体球半径分别为r A 和r B ，A 球带电q ，B 球不带电，现用一细导线连接，则分布在两球上的电荷之比Q A ∶Q B （ ）。 2.1.13 在带等量异号电荷的二平行板间的均匀电场中，一个电子由静止自负极板释放，经t 时间抵达相隔d 的正极板，则两极板间的电场为（ ），电子撞击正极板的动能为（ ）。 2.1.14 中性导体空腔的腔内、腔外分别有一个点电荷q 和Q ，均与导体空腔不接触，则导体空腔内、外表面的电量分别为（ ）和（ ）。 2.1.15 当空腔内有带电体时，导体空腔内表面带电，它所带电荷与腔内带电体所带电荷（ ）。 2.1.16 金属球壳内外半径分别为a 和b ，带电量为Q ，球心O 点的电势为（ ）。 2.1.17 两个同心导体球，内球带电1Q ，外球带电2Q ，则，外球内表面电量为（ ）；外球外表面电量为（ ）。 2.1.18 两个同心导体球，内球带电1Q ，外球带电2Q ，若将外球接地，外球内表面电量为（ ）； 习题解答 如题图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的 电位为零，上边盖板的电位为，求槽内的电位函数。 解 根据题意，电位满足的边界条件为 ① ② ③ 根据条件①和②，电位的通解应取为 由条件③，有 故得到槽内的电位分布 两平行无限大导体平面，距离为，其间有一极薄的导体片由到。 上板和薄片保持 电位，下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄 片平面上，从到，电位线性变 化， 故得到 求在上题的解中，除开一项外，其他所有项对电场总储能的贡献。并按定出边缘电容。 解 在导体板（）上，相应于的电荷面密度 则导体板上（沿方向单位长）相应的总电荷 相应的电场储能为 其边缘电容为 如题图所示的导体槽，底面保持电位，其余两面电位为零，求槽内的电位的解。 两边同乘以，并从 0 到对积分，得到 解 应用叠加原理，设板间的电位 为 其中，为不存在薄片的平行 位，即；是两个电位为零的 位，其边界条件为： ① ② ③ 根据条件①和②， 由条件 ③有 两边同乘以，并从 无限大导体平面间（电压为）的电 平行导体板间有导体薄片时的电 可设的通 0到对积分，得到 解为 y 解根据题意，电位满足的边界条件为 ① ② ③根据条件①和②，电位的通解应取为 由条件③，有两边同乘以，并从0 到对积分，得到 故得到槽内的电位分布为一长、宽、高分别为、、的长方体表面保持零电位， 体积内填充密度为 题图 的电荷。求体积内的电位。 解在体积内，电位满足泊松方程 （1） 长方体表面上，电位满足边界条件。由此设电位的通解为 代入泊松方程（1），可得 由此可得 或 （2） 由式（2），可得 故 如题图所示的一对无限大接地平行导体板，板间有一与轴平行的线电荷，其位置为。求板间的电位函数。解由于在处有一与轴平行的线电荷，以为界将场空间分割为和两个区域，则这两个区域中的电位和都满足拉普拉斯方程。而在的分界面上，可利用函数将线电荷表示成电荷面密度。 电位的边界条件为 题图 导体与电介质部分 自学练习题 一、选择题： 1．将一带正电的物体A 从远处移到一个不带电的导体B 附近，导体B 的电势将：（ ） （A ）升高； （B ）降低； （C ）不会发生变化； （D ）无法确定。 【提示：相当于将B 从无穷远移到A 附近，电势升高】 2．将一带负电的物体M 靠近一个不带电的导体N ，在N 的左端感应出正电荷，右端感应出负电荷，若将导体N 的左端接地，则：（ ） （A ）N 上的负电荷入地； （B ）N 上的正电荷入地； （C ）N 上的所有电荷入地； （D ）N 上所有的感应电荷入地。 【提示：N 上感应出来的正电荷被M “吸住”，负电荷入地】 3．如图所示，将一个电荷量为q 的点电荷放在一个半径为R 的不带电导体球附近，点电荷距导体球球心为d ，设无限远处为电势零点，则导体球心O 点的场强和电势为：（ ） （A ）0E =，04q V d πε= ；（B ）2 04q E d πε= ，04q V d πε= ； （C ）0E =，0V =； （D ）2 04q E d πε=，04q V R πε= 。 【提示：静电平衡状态下，导体球内部不会有电场线；导体球是一个等势体，电势由所在的电场分布决定】 4．如图所示，绝缘带电导体上a 、b 、c 三点， 电荷密度是（ ）； 电势是（ ）： （A ）a 点最大； （B ）b 点最大； （C ）c 点最大； （D ）一样大。 【提示：在静电平衡状态下，孤立导体在曲率较大处电荷面密度和场强的值较大；导体是等势体】 5．当一个带电导体达到静电平衡时：（ ） （A ）表面上电荷密度较大处电势较高； （B ）表面上曲率较大处电势较高； （C ）导体内部的电势比导体表面电势高；（D ）导体内任一点与其表面上任一点的电势差为零。 【见上题提示】 6．一个半径为R 带有电量为Q 的孤立导体球电容的决定式为：（ ） （A ）04Q C R πε= ； （B ）2 04Q C R πε= ；（C ）0 4C R επ= ；（D ）04C R πε=。 【提示：孤立导体球的电势为04Q V R πε= ，利用 Q C V =，有04C R πε=】 7．对于带电的孤立导体球： （ ） （A ）导体内的场强与电势大小均为零。（B ） 导体内的场强为零，而电势为恒量。 （C ）导体内的电势比导体表面高。 （D ）导体内的电势与导体表面的电势高低无法确定。 【见上题提示】第八章 静电场中的导体和电介质
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