51 如图，设F 是椭圆)0(1:22
22>>=+b a b y a x C 的左焦点，直线l 为其左准线，直线l 与
x 轴交于点P ，线段MN 为椭圆的长轴，已知
.||2||,8||MF PM MN ==且
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若过点P 的直线与椭圆相交于不同两点A 、B 求证：∠AFM=∠BFN ； （3）（理科）求三角形ABF 面积的最大值。
解（1）48||=∴=a MN
122)
(12
1
0132)(2||2||22222=-==∴==?=+--=-=c a b c e c e e c a a c a MF PM 舍去或即得又
1
121622=+∴y x 椭圆的标准方程为
（2）当AB 的斜率为0时，显然.0=∠=∠BFN AFM 满足题意
当AB 的斜率不为0时，设),(),,(2211y x B y x A ，AB 方程为,8-=my x 代入椭圆方程 整理得
014448)43(22=+-+my y m
则
431444
348),43(1444)48(22122122+=
?+=
++?-=?m y y m m
y y m m
662222
112211-+
-=+++=
+∴my y my y x y x y k k BF AF
)6)(6()
(62212121=--+-=
my my y y y my
.,0BFN AFM k k BF AF ∠=∠=+∴从而
综上可知：恒有BFN AFM ∠=∠
（3）（理科）
434
72||||212212+-=-?=-=???m m y y PF S S S PAF
PBF ABF
3
316
32724
164372
16
)4(34722222=?≤
-+
-=+--=m m m m
当且仅当3
284
1643222=
-=
-m m m 即（此时适合△＞0的条件）取得等号.
∴三角形ABF 面积的最大值是3 3
52 设椭圆方程为4
2
2
y x +=1，求点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 为坐标原点，
点P 满足→→
→
+=)(2
1OB OA OP ，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程.
解：设P （x ，y ）是所求轨迹上的任一点，①当斜率存在时，直线l 的方程为y =k x +1，A （x 1，
y 1），B （x 2，y 2），联立并消元得：（4+k 2）x 2+2k x －3=0， x 1+x 2=－
,422k k +y 1+y 2=2
48
k
+，由)(21→→→+=OB OA OP 得：（x ，y ）=21（x 1+x 2，y 1+y 2），即：???
????+=+=+-=+=2212
2144242k y y y k k x x x
消去k 得：4x 2+y 2－y =0当斜率不存在时，AB 的中点为坐标原点，也适合方程
所以动点P 的轨迹方程为：4x 2+y 2－y = 0．
53 已知椭圆C:2222b
y a x +=1(0a b >>)的离心率为36
,短轴一个端点到右焦点的距离为
3.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为2
3
， 求△AOB 面积的最大值.
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c
，依题意c a a ?=
???=?
∴ 1b =，∴ 所求椭圆方程为2
213
x y +=． （Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，．
（1）当AB x ⊥
轴时，AB =
（2）当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+．
=
2
23(1)4m k =+．
把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=，
122631km
x x k -∴+=+，21223(1)31
m x x k -=+．
2
2
2
21(1)()AB k x x ∴=+-2222
222
3612(1)(1)(31)31k m m k k k ??
-=+-??++??
222222222
12(1)(31)3(1)(91)
(31)(31)
k k m k k k k ++-++==++ 242
22121212
33(0)34196123696k k k k k k
=+=+≠≤+=++?+++． 当且仅当2
219k k =
，即k =时等号成立．当0k =
时，AB = 综上所述max 2AB =．
∴ 当AB 最大时，AOB △
面积取最大值max 12S AB =
?=
． 54 已知向量)1,0(,)0,(21??e ???a ?e ==，经过定点)0,(??
a A -且方向向量为21e e λ+-的直线与经过定点)0,
(?a ?B 且方向向量为212e e +λ的直线交于点M ，其中∈λR ，常数a >0. （1）求点M 的轨迹方程； （2）若2
6
=a ，过点)0,1(??
F 的直线与点M 的轨迹交于C 、D 两点，求FD FC ?的取值范围.
设点),(,),(,),(?y a ?x ??y a ?x ???y x ?M -=+=则，
又∥),()(21λλ??e e a -=+-，∥)1,2()2(21??e e a λλ=+
故?
??-=-=+a x ay ay a x λλ2)(，消去参数λ，整理得点Ｍ的轨迹方程为
22222a y a x =+（除去点)0,(,)0,(?a ??B ??a ?
A -） （2）由2
6=a 得点M 轨迹方程为
121
)
2
6(222=+y x （除去点)0,26(,)0,26(???B ???A -），
若设直线CD 的方程为)1(-=x k y ??k ,0(≠)点过否则A CD ，??y x C ),(11，??y x D ),(22，则由???=+-=3
62)1(2
2y x x k y 消去y 得0)12(312)13(22
222=-+-+k k x k ，显然0)1(242
>+=?k ，于是)
13(2)
12(3,1362
2212221+-=+=+k k x ?x ?k k x x ， 设),1(,),1(,2211?y ?x ???y ?x ?m ?-=-==?，
因此)1)(1()1)(1()1)(1(212212121--+--=+--=?=
x x k x x y y x x m
]1136)13(2)12(3)[1(]1)()[1(22
2
22
21212
++-+-+=++-+=k k k k k x x x x k ，
即,6121)016(01612)
13(212
2
2?m m ?m m k k k m -<<-?≠+>++=?++-= 若直线x CD ⊥轴，则61,12121
-===y ?y ?x x ，于是6
1-=m ，
综上可知??? ??--
∈=?61,2
1
??m 55如图，已知直线)0(1:1:22
22>>=++=b a b
y a x C my x L 过椭圆的右焦点F ，且交椭圆
C 于A ，B 两点，点A ，F ，B 在直线2
:a x G =上的射影依次为点D ，K ，E . （1）若抛物线y x 342=的焦点为椭圆C 的上顶点，求椭圆C 的方程；
（2）对于（1）中的椭圆C ，若直线L 交y 轴于点M ，且BF MB AF MA 21,λλ==，
当m 变化时，求21λλ+的值；
（3）连接AE ，BD ，试探索当m 变化时，直线AE 、BD 是否相交于一定点N ？若交于定
点N ，请求出N 点的坐标，并给予证明；否则说明理由. 解：（1）易知)0,1(,332F b b 又=∴=
41
222=+==∴c b a c
13
42
2=+∴y x C 的方程为椭圆
（2）)1
,0(m
M y l -
轴交于与
设???=-++=0
12431
)
,(),,(2
2
2211y x my x y x B y x A 由 0)1(1440
96)43(222>+=?=-++∴m my y m
(*)3
21121m y y =+∴
又由),1()1
,(111111y x m
y x --=+
∴=λλ
1
111my -
-=∴λ
同理2
211my -
-=λ
3
8322)11(122121-=--=+-
-=+∴y y m λλ
3
8
21-=+∴λλ…
（3）)0,(),0,1(2
a k F =
先探索，当m =0时，直线L ⊥ox 轴，则ABED 为矩形，由对称性知，AE 与BD 相交FK
中点N ，且)0,2
1
(2+a N
猜想：当m 变化时，AE 与BD 相交于定点)0,2
1
(2+a N … 证明：设),(),,(),,(),,(12
22
2211y a D y a E y x B y x A
当m 变化时首先AE 过定点N
2
1,21)1(0)1(40)1(2)(0
12
2
1212222222222222
22222a y K m y a y K a b m a b a a b y m b y m b a b a y a x b m y x EN
AN --=---=
>>-+=?=-+++???=-++=又即 )2
1
(21)(21
12
221212m y a a y m y y y a K K EN
AN ----+-=-而
)0)()1()
1()2(21)(21(2
222222
22
222222221212=+-?-=+-?-+-?-=-+-b
m a mb mb a b m a a b m b m a mb a y my y y a
∴=∴EN
AN K K A 、N 、E 三点共线
同理可得B 、N 、D 三点共线
∴AE 与BD 相交于定点)0,21
(2+a N
56 已知椭圆C 过点)0,2(),2
6
,
1(-F M 是椭圆的左焦点，P 、Q 是椭圆C 上的两个动点，且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ；
（3）设点A 关于原点O 的对称点是B ，求|PB|的最小值及相应点P 的坐标。
解：（1）设椭圆C 的方程为22221x y a b +=，由已知，得22
2
2
61412
a b a b ?
??+=??-=??，解得224
2a b ?=??=?? 所以椭圆的标准方程为22
142
x y += …………3分 （2）证明：设1122(,),(,)P x y Q x y 。由椭圆的标准方程为22
142
x y +=，可知
1
||2
2
PF x
===+
同理
2
||2,||2
22
OF x MF
=+=+
∵2||||||
MF PF QF
=+
，∴
12
2(24)
22
x x
+=++
∴
12
2
x x
+=
①当
12
x x
≠时，由
22
11
22
22
24
24
x y
x y
?+=
?
?
+=
??
，得2222
1212
2()0
x x y y
-+-=
从而有1212
1212
1
2
y y x x
x x y y
-+
=-?
-+
设线段PQ的中点为(1,)
N n，由12
12
1
2
PQ
y y
k
x x n
-
==-
-
得线段PQ的中垂线方程为2(1)
y n n x
-=-
∴(21)0
x n y
--=，该直线恒过一定点
1
(,0)
2
A
②当
12
x x
=
时，(1,
P Q或
(1,
P Q
线段PQ的中垂线是x轴，也过点
1
(,0)
2
A，
∴线段PQ的中垂线过点
1
(,0)
2
A
（3）由
1
(,0)
2
A，得
1
(,0)
2
B-。
又
12
22,22
x x
-≤≤-≤≤，∴
12
2[0,2]
x x
=-∈
2
22222
1
1111
11179
||()()2(1)
222244
x
PB x y x x
=++=++-=++≥
∴
min
3
||
2
PB=时，点P的坐标为
57 在直角坐标系xOy中，已知椭圆)0
(
1
:
2
2
2
2
>
>
=
+b
a
b
y
a
x
C的离心率e
，左右两
个焦分别为21F F 、．过右焦点2F 且与x 轴垂直的直线与椭圆C 相交M 、N 两点，且|MN|=1 ．
(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；
(Ⅱ) 设椭圆C 的左顶点为A,下顶点为B ，动点P 满足4PA AB m ?=-
，（m R ∈）试
求点P 的轨迹方程，使点B 关于该轨迹的对称点落在椭圆C 上.
解：(Ⅰ)∵2MF x ⊥轴，∴21||2MF =,由椭圆的定义得：11
||22
MF a += （2分）
∵
2211
||(2)4
MF c =+
，∴
2211
(2)424
a c -=+
，
（4分）
又e =
2
234c a = ∴22423,a a a -= 0a > 2a ∴=
∴2222
114
b a
c a =-=
=， ∴所求椭圆C 的方程为2214
x y +=． (Ⅱ)由（Ⅰ）知点A(－2,0)，点B 为（0，－1），设点P 的坐标为(,)x y
则(2,)PA x y =--- ，(2,1)AB =-
, 由PA AB m ?=
－4得－424x y m -+=-，
∴点P 的轨迹方程为2y x m =+.
设点B 关于P 的轨迹的对称点为00'(,)B x y ，则由轴对称的性质可得： 0000111,2222
y y x m x +-=-=?+，解得：004423,55m m x y ---=
=， ∵点00'(,)B x y 在椭圆上，∴ 224423(
)4()455
m m ---+=， 整理得2
230m m --=解得1m =-或 32
m =
∴点P 的轨迹方程为21y x =-或3
22
y x =+， 经检验21y x =-和3
22
y x =+
都符合题设， ∴满足条件的点P 的轨迹方程为21y x =-或3
22
y x =+．
58 椭圆C ：122
22=+b
y a x ()0>>b a 的两个焦点为1F 、2F ，点P 在椭圆C 上，且
211F F PF ⊥，且341=
PF ，3
14
2=PF . （1）求椭圆C 的方程.
（2）若直线l 过圆02422=-++y x y x 的圆心M ，交椭圆C 于A 、B 两点，且A 、B 关于点M 对称，求直线l 的方程. 解：(1)202
2
1=F F
525221=?==∴c c F F
又36221=?=+=a PF PF a
14
9:2
2=+∴y x C 椭圆
（2）()()()
0273636183694149
1222222=-+++++????
??=+++=k k k k x k y x x k y
对称关于、M B A
98
29491822
221=?-=++-=+∴k k k k x x ()129
8
:++=
∴x y l 即02598=+-y x
59 在直角坐标平面内，已知点(2,0),(2,0)A B -， P 是平面内一动点，直线PA 、PB 斜率之积为34
-
. (Ⅰ)求动点P 的轨迹C 的方程；
(Ⅱ)过点1(,0)2
作直线l 与轨迹C 交于E F 、两点，线段EF 的中点为M ,求直线MA 的斜率k 的取值范围.
解: (Ⅰ)设P 点的坐标为(,)x y ，依题意，有
3(2)224
y y x x x ?=-≠±-+ . 化简并整理，得
22
1(2)43
x y x +=≠±. ∴动点P 的轨迹C 的方程是22
1(2)43
x y x +=≠±. (Ⅱ)解法一：依题意，直线l 过点1(,0)2且斜率不为零，故可设其方程为1
2
x my =+, 由方程组
22
12
14
3x my x y ?
=+????+=?? 消去x ，并整理得 224(34)12450m y my ++-=
设),(),,(2211y x F y x E ,),(00y x M ,则
122334
m
y y m ∴+=-
+ ，
∴1202
322(34)
y y m
y m +=
=-+ ∴002
12234
x my m =+
=+, 02
0244
y m
k x m ∴=
=-+, (1)当0=m 时，0k =； (2)当0≠m 时,
144k m m
=
+
44|4|4||8||m m m m +
=+≥ 1
1
048
4m m
∴<
≤+. 10||8k ∴<≤
. 11
88
k ∴-≤≤且0k ≠ .
综合(1)、(2)可知直线MA 的斜率k 的取值范围是：11
88
k -≤≤.
60 在直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：22
22b
y a x +=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2．F 2
也是抛物线C 2：2
4y x =的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且｜MF 2｜=3
5
． （Ⅰ）求C 1的方程；
（Ⅱ）平面上的点N 满足21MF MF +=，直线l ∥MN ，且与C 1交于A ，B 两点，若
0OA OB = ，求直线l 的方程．
解：（Ⅰ）由2C ：2
4y x =知2(10)F ，． 设11()M x y ，，M 在2C 上，因为253MF =
，所以1513x +=，得123x =
，1y =． M 在1C 上，且椭圆1C 的半焦距1c =，于是22224
8193 1.a b
b a ?+=???=-?
，
消去2
b 并整理得 4293740a a -+=， 解得2a =（1
3
a =
不合题意，舍去）． 故椭圆1C 的方程为22
143
x y +=． （Ⅱ）由12MF MF MN +=
知四边形12MF
NF 是平行四边形，其中心为坐标原点O ， 因为l MN ∥，所以l 与OM 的斜率相同，
故l
的斜率323
k ==．设l
的方程为)y x m =-．
由223412)x y y x m ?+=??=-??，，
消去y 并化简得 22916840x mx m -+-=． 设11()A x y ，，22()B x y ，，12169m x x +=，212849
m x x -=．
因为OA OB ⊥
，所以12120x x y y +=．
121212126()()x x y y x x x m x m +=+--2121276()6x x m x x m =-++
22841676699
m m
m m -=-+ 21(1428)09m =-=．
所以m =．此时22(16)49(84)0m m ?=-?->， 故所求直线l
的方程为y -
y =+．
61 椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，离心率e =
2
2
，椭圆上的点到焦点的最短距离为1－2
2
, 直线l 与y 轴交于点P （0，m ），与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且A P ＝PB λ
．
（1）求椭圆方程；
（2）若OA ＋OB ＝ 4OP λ
，求m 的取值范围．
解：（1）设C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1（a >b >0），设c >0，c 2＝a 2－b 2
，由条件知a-c ＝22，c a ＝22
，
∴a ＝1，b ＝c ＝
2
2
， 故C 的方程为：y 2
＋x 2
12＝1 5′
（2）由AP → ＝λPB →
，OA ＋OB ＝ 4OP λ
∴λ＋1＝4，λ＝3 或O 点与P 点重合OP → =0→
7′ 当O 点与P 点重合OP → =0→
时，m=0
当λ＝3时，直线l 与y 轴相交，则斜率存在。
设l 与椭圆C 交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）
?????
y ＝kx ＋m
2x 2
＋y 2
＝1
得（k 2＋2）x 2＋2kmx ＋（m 2
－1）＝0
Δ＝（2km ）2
－4（k 2
＋2）（m 2
－1）＝4（k 2
－2m 2
＋2）>0 （*） x 1＋x 2＝－2km k 2＋2， x 1x 2＝m 2
－1k 2＋2
∵AP ＝3PB →
∴－x 1＝3x 2 ∴?????
x 1＋x 2＝－2x 2x 1x 2＝－3x 2
2
消去x 2，得3（x 1＋x 2）2＋4x 1x 2＝0，∴3（－2km k 2＋2）2＋4m 2
－1
k 2＋2＝0
整理得4k 2m 2
＋2m 2
－k 2
－2＝0 m 2
＝14时，上式不成立；m 2≠14时，k 2＝2－2m
2
4m 2－1
，
因λ＝3 ∴k ≠0 ∴k 2
＝2－2m 2
4m 2－1>0，∴－1 2 容易验证k 2>2m 2 －2成立，所以（*）成立 即所求m 的取值范围为（－1，－12）∪（1 2 ，1）∪｛0｝ 62 如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1)，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为(0)m m ≠，l 交椭圆于A 、B 两个不同点. （1）求椭圆的方程； （2）求m 的取值范围； （3）求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形. 解：（1）设椭圆方程为)0(122 22>>=+b a b y a x 则?????==?????=+=28 11 42222 2b a b a b a 解得- ∴椭圆方程12 82 2=+y x （2）∵直线l 平行于OM ，且在y 轴上的截距为m 又2 1= OM K ∴l 的方程为：m x y += 2 1 -- 由0422128 21222 2 =-++∴???????=++=m m x x y x m x y ∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点， ,0)42(4)2(22>--=?∴m m ∴m 的取值范围是}022|{≠<<-m m m 且 （3）设直线MA 、MB 的斜率分别为k 1，k 2，只需证明k 1+k 2=0即可--9分 设2 1 ,21),,(),,(22 21112211--=--= x y k x y k y x B y x A 则 042222=-++m mx x 由可得 42,222121-=-=+m x x m x x 而) 2)(2() 2)(1()2)(1(21,21211221221121----+--= --+--= +x x x y x y x y x y k k ) 2)(2()1(4)2)(2(42) 2)(2() 1(4))(2() 2)(2() 2)(121 ()2)(12 1(212212*********------+-= ----+++= ----++--+=x x m m m m x x m x x m x x x x x m x x m x 0) 2)(2(4442422122=--+-+--=x x m m m m ∴k 1+k 2=0 故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形. 63设椭圆:C )0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为e =22 ,点A 是椭圆上的一点,且点A 到椭 圆C 两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆C 的方程； （2）椭圆C 上一动点P ()00,y x 关于直线x y 2=的对称点为()111,y x P ,求1143y x -的 取值范围. 解:(1)依题意知,24, 2.a a =∴= ∵2 2 = = a c e , ∴2,222=-== c a b c . ∴所求椭圆C 的方程为12 42 2=+y x . （2）∵ 点P ()00,y x 关于直线x y 2=的对称点为()111,y x P ， ∴ ???????+?=+-=?--.222 ,1210101 01 0x x y y x x y y 解得：001435y x x -= ，00 1345 y x y +=. ∴011543x y x -=-. ∵ 点P ()00,y x 在椭圆C :12 42 2=+y x 上, ∴220≤≤-x , 则105100≤-≤-x . ∴1143y x -的取值范围为[]10,10-. 64 已知椭圆Γ的方程为22 221(0)x y a b a b +=>>，(0,)A b 、(0,)B b -和(,0)Q a 为Γ的三个 顶点. （1）若点M 满足1()2 AM AQ AB =+ ，求点M 的坐标； （2）设直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点，交直线22:l y k x =于点E .若 2 122b k k a ?=-，证明：E 为CD 的中点； （3）设点P 在椭圆Γ内且不在x 轴上，如何构作过PQ 中点F 的直线l ，使得l 与椭圆Γ的 两个交点1P 、2P 满足12PP PP PQ += 12PP PP PQ += ？令10a =，5b =，点P 的坐标是（-8，-1），若椭圆Γ上的点1P 、2P 满足12PP PP PQ += ，求点1P 、2P 的坐标. 解析：(1) (,)22 a b M -； (2) 由方程组122221 y k x p x y a b =+?? ?+=??，消y 得方程2222222211()2()0a k b x a k px a p b +++-=， 因为直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点， 所以?>0，即222210a k b p +->， 设C (x 1,y 1)、D (x 2,y 2)，CD 中点坐标为(x 0,y 0)， 则2121022212 01022212x x a k p x a k b b p y k x p a k b ?+==-?+? ??=+= ?+? ， 由方程组12 y k x p y k x =+??=?，消y 得方程(k 2-k 1)x =p ， 又因为2 221 b k a k =-，所以210222211 2 202221a k p p x x k k a k b b p y k x y a k b ?==-=?-+???===?+? ， 故E 为CD 的中点； (3) 因为点P 在椭圆Γ内且不在x 轴上，所以点F 在椭圆Γ内，可以求得直线OF 的斜率k 2，由12PP PP PQ += 知F 为P 1P 2的中点，根据(2)可得直线l 的斜率212 2b k a k =-，从而得直线l 的方程． 1(1,)2F -，直线OF 的斜率21 2k =-，直线l 的斜率212212b k a k =-=， 解方程组22 112 110025 y x x y ? =-????+=??，消y ：x 2-2x -48=0，解得P 1(-6,-4)、P 2(8,3)． 65 已知m ＞1，直线2:02m l x my --=，椭圆2 22:1x C y m +=，1,2F F 分别为椭圆C 的左、右焦点. （Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程； （Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，12AF F V ，12BF F V 的重心分别为,G H .若原点 O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围. （Ⅰ）解：因为直线:l 202m x my --= 经过20)F ， 所以22m =,得 22m =， 又因为1m > ，所以m 故直线l 的方程为0x =。 （Ⅱ）解：设1122(,),(,)A x y B x y 。 由2222 2 1m x my x y m ?=+????+=??，消去x 得 22 2104 m y my ++-= 则由2 2 28(1)804 m m m ?=--=-+>，知28m <， 且有212121 ,282 m m y y y y +=-= - 。 由于12(,0),(,0),F c F c -， 故O 为12F F 的中点， 由2,2AG GO BH HO == ， 可知1121( ,),(,),3333 x y x y G h 22 2 1212()()99 x x y y GH --=+ 设M 是GH 的中点，则1212 (,)66 x x y y M ++， 由题意可知2,MO GH < 即22 2212121212()()4[()()]6699 x x y y x x y y ++--+<+ 即12120x x y y +< 而22 12121212()()22m m x x y y my my y y +=+++ 22 1(1 ()82 m m =+-） 所以 21082 m -< 即2 4m < 又因为1m >且0?> 所以12m <<。 所以m 的取值范围是(1,2)。 66 设1F ，2F 分别为椭圆22 22:1x y C a b +=(0)a b >>的左、 右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点，直线l 的倾斜角为60 ，1F 到直线l 的距离为（Ⅰ）求椭圆C 的焦距； （Ⅱ）如果222AF F B = ,求椭圆C 的方程. 解：（Ⅰ）设焦距为2c ，由已知可得1F 到直线l 2.c ==故 所以椭圆C 的焦距为4. （Ⅱ）设112212(,),(,),0,0,A x y B x y y y <>由题意知直线l 的方程为2).y x =- 联立2222422 222),(3)30.1 y x a b y y b x y a b ?=-? ++-=?+=??得 解得22122222 (22)(22) ,.33a a y y a b a b +-==++ 因为22122,2.AF F B y y =-= 所以 即222222 (22)(22)2.33a a a b a b +-=?++ 得223.4,a a b b =-==而所以 故椭圆C 的方程为22 1.95 x y += 67 设椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ,2AF FB = . (I) 求椭圆C 的离心率； (II) 如果|AB|= 15 4 ，求椭圆C 的方程. 解： 设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意知1y ＜0，2y ＞0. （Ⅰ）直线l 的方程为 ()y x c - ，其中c = 联立2222), 1 y x c x y a b ?=-? ?+=?? 得22224(3)30a b y cy b ++-= 解得22122222 (2)(2) ,33c a c a y y a b a b +-==++ 因为2AF FB = ，所以122y y -=. 即 222222 (2)(2) 233c a c a a b a b +-=?++ 得离心率 2 3 c e a = =. （Ⅱ）因为21AB y =- 15 4=. 由 23c a = 得3 b =.所以51544a =，得a=3 ，b =椭圆C 的方程为22 195 x y +=. 68 设椭圆22 122:1(0)x y C a b a b +=>>，抛物线22 2:C x by b +=。 （1） 若2C 经过1C 的两个焦点，求1C 的离心率； （2） 设A （0，b ），54Q ? ? ??? ，,又M 、N 为1C 与2C 不在y 轴上的两个交点，若△AMN 的垂心为34B b ?? ??? 0，，且△QMN 的重心在2C 上，求椭圆1C 和抛物线2C 的方程。 【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程。 （1）由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上，可得：2 2 c b =，由 22 2 2 2 212,22 c a b c c e a =+==?= 有。 (2)由题设可知M 、N 关于y 轴对称，设 11111(,),(,)(0)M x y N x y x ->,由AMN ?的垂心为B ，有 21113 0()()04 BM AN x y b y b ?=?-+--= 。 由点11(,)N x y 在抛物线上，2 211x by b +=，解得：11()4 b y y b =-=或舍去 故1,(,),,)44 b b x M N = --，得QMN ? 重心坐标)4b . 由重心在抛物线上得：2 23,=24b b b +=所以 ，11(),)22M N --，又因为M 、 N 在椭圆上得：2 163a =，椭圆方程为22 163 14 x y +=，抛物线方程为224x y +=。 69 已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是( ， y=t 椭圆C 交与不同的两点M ，N ，以线段为直径作圆P,圆心为P 。 （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标； （Ⅲ）设Q （x ，y ）是圆P 上的动点，当t 变化时，求y 的最大值。 解：（Ⅰ）因为 3 c a = ，且c = 1a b === 圆锥曲线基础测试题大 全 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】 （北师大版）高二数学《圆锥曲线》基础测试试题 一、选择题 1.已知椭圆116 252 2=+ y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为 （ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 2. 椭圆32x 2+16 y 2 =1的焦距等于（ ）。 A ．4 B 。8 C 。16 D 。123 3．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程 为 （ ） A ．116922=+ y x B ．1162522=+y x C ．1162522=+y x 或125 162 2=+y x D ．以上都不对 4．动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是 （ ） A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．两条射线 D ．一条射线 5．设双曲线的半焦距为c ，两条准线间的距离为d ，且d c =，那么双曲线的离心率e 等于（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．3 6．抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是 （ ） A ．2 5 B ．5 C ． 2 15 D ．10 7. 抛物线y 2=8x 的准线方程是（ ）。 （A ）x =－2 （B ）x =2 （C ）x =－4 （D ）y =－2 8．已知抛物线的焦点是F (0，4)，则此抛物线的标准方程是( ) （A ）x 2＝16y （B ）x 2＝8y （C ）y 2＝16x （D ）y 2＝8x 9.经过（1，2）点的抛物线的标准方程是（ ） （A ）y 2＝4x （B ）x 2＝21y (C ) y 2＝4x 或x 2＝2 1y (D ) y 2＝4x 或x 2＝4y 10．若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为 （ ） A ．(7, B ．(14, C ．(7,± D ．(7,-± 11．椭圆mx 2＋y 2＝1的离心率是 2 3 ，则它的长半轴的长是（ ） （A ）1 （B ）1或2 （C ）2 （D ）2 1 或1 13. 抛物线y =－8 x 2 的准线方程是（ ）。 … 圆锥曲线测试题（文） 时间：100分钟 满分100分 一、选择题：（每题4分，共40分） 1．0≠c 是方程 c y ax =+2 2 表示椭圆或双曲线的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．不充分不必要条件 、 2．如果抛物线y 2 =ax 的准线是直线x =-1，那么它的焦点坐标为 （ ） A ．（1, 0） B ．（2, 0） C ．（3, 0） D ．（－1, 0） 3．直线y = x +1被椭圆x 2 +2y 2 =4所截得的弦的中点坐标是（ ） A ．( 31, -3 2 ) B ．(- 32, 3 1 ) C.( 21, -31) D ．(-31,2 1 ) 4．一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m ，则水面宽为（ ） A ．6m B ． 26m C ． D ．9m 5. 已知椭圆15922=+y x 上的一点P 到左焦点的距离是3 4 ，那么点P 到椭圆的右准线的距离是（ ） A ．2 B ．6 C ．7 D ． 143 — 6．曲线 2 25 x ＋ 2 9 y =1与曲线 2 25k x -＋ 2 9k y -=1(k ＜9 ）的（ ） A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 7．已知椭圆 2 5 x ＋ 2 m y ＝1的离心率 e= 5 ,则m 的值为（ ） A ．3 B. 25 3 或 3 8．已知椭圆C 的中心在原点，左焦点F 1，右焦点F 2均在x 轴上，A 为椭圆的右顶点，B 为 椭圆短轴的端点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，则此椭圆的离心率等于（ ） A ． 12 B C ．1 3 D 9 2)0>>n m 的曲线在同一坐标系 > 2020高考虽然延期，但是每天练习一定要跟上，加油！ 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、 F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2， －1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （4 1 ，－1） B. （4 1，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点 的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 1 1 c a ＜2 2 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点 到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=u u u u r u u u u r 的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ．(0, 2 D ．,1)2 6.（辽宁卷10）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） A B ．3 C D ．92 7.（全国二9）设1a >，则双曲线22 22 1(1)x y a a - =+的离心率e 的取值范围是（ B ） A ． B ． C ．(25)， D ．(2 8.（山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为 13 5 ，焦点在X 轴上且长轴长为 A B C D - 高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22221x y a b -=（ａ＞0，b>０）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切,则该双曲线的离心率等于 （ Ｃ ） （A)3 (B)2 (Ｃ)5 （D ）6 ２.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ，右准线为l ，点A l ∈,线段AF 交C 于点B ,若3FA FB =,则||AF = (A). 2 (B). 2 (C).3 （D ）. 3 3．过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线,该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C .若1 2 AB BC =,则双曲线的离心率是 （ ） A.2 B.3 C.5 D ．10 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴, 直线 AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ) A ． 3 B ．22 Ｃ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上,若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点,且 |||PA AB =,则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ) A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” Ｄ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点)是“ 点” ６.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线ｙ=x 2 +1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为 （ ）． Ａ. 4 5 B. ５ C. 2 5 D.5 2 圆锥曲线测试题及详细答案 一、选择题： 1、双曲线 22 1102x y -=的焦距为（ ） 2.椭圆14 22 =+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的 直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF = （ ） A ． 2 3 B ．3 C ．27 D ．4 3．已知动点M 的坐标满足方程|12512|132 2-+=+y x y x ，则动点M 的轨迹是（ ） A. 抛物线 B.双曲线 C. 椭圆 D.以上都不对 4．设P 是双曲线192 22=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若5||1=PF ，则=||2PF （ ） A. 1或5 B. 1或9 C. 1 D. 9 5、设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三 角形，则椭圆的离心率是（ ）. A. B. C. 2 D. 1 6．双曲线)0(12 2≠=-mn n y m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（ ） A ． 163 B ．83 C ．316 D ．3 8 7. 若双曲线22 21613x y p -=的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上,则p 的值为 ( ) (A)2 (B)3 (C)4 8．如果椭圆 19 362 2=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） 02=-y x B 042=-+y x C 01232=-+y x D 082=-+y x 9、无论θ为何值，方程1sin 22 2=?+y x θ所表示的曲线必不是（ ） A. 双曲线 B.抛物线 C. 椭圆 D.以上都不对 数学圆锥曲线高考题选讲 一、选择题： 1. （2006全国II ）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2 ＝1的一条渐近线方程为y ＝4 3x ，则双曲线的离心率为（ ） （A ）53 (B )43 (C )54 (D )32 2. （2006全国II ）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 2 3＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点 在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） （A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 3.（2006全国卷I ）抛物线2 y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ） A ． 43 B ．7 5 C ．85 D ．3 4．（2006广东高考卷）已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ） A.2 B. 22 3 C. 2 D. 4 5.（2006辽宁卷）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ ） Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率 6.（2006辽宁卷）曲线 22 1(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m +=<<--的（ ） (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7．（2006安徽高考卷）若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 8.（2006辽宁卷）直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题： 9. （2006全国卷I ）双曲线2 2 1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = 。 10. (2006上海卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(3,0)F -,右顶点为(2,0)D ,设点11, 2A ?? ??? ，则求该椭圆的标准方程为 。 11. (20XX 年高考全国新课标卷理科14) 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在 x 轴上， 离心率为 2 2 。过l 的直线 交于,A B 两点，且2ABF 的周长为16，那么C 的方程为 。 圆锥曲线基本题型总结：提纲： 一、定义的应用： 1、定义法求标准方程： 2、涉及到曲线上的点到焦点距离的问题： 3、焦点三角形问题： 二、圆锥曲线的标准方程： 1、对方程的理解 2、求圆锥曲线方程（已经性质求方程） 3、各种圆锥曲线系的应用： 三、圆锥曲线的性质： 1、已知方程求性质： 2、求离心率的取值或取值范围 3、涉及性质的问题： 四、直线与圆锥曲线的关系： 1、位置关系的判定： 2、弦长公式的应用： 3、弦的中点问题： 4、韦达定理的应用： 一、定义的应用： 1. 定义法求标准方程： (1)由题目条件判断是什么形状，再由该形状的特征求方程：(注意细节的处 理) 1.设F1, F2 为定点，|F1F2| =6,动点M满足|MF1| + |MF2| = 6,则动点M的轨 迹是() A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段【注：2a>|F1 F2| 是椭圆，2a=|F1 F2|是线段】 2. 设 B - 4,0) , C4,0),且厶ABC的周长等于18,则动点A的轨迹方程为) x2 y2 y2 x2 A.25+ -9 = i y z0) B.25^9 = 1 徉0) x2 y2 y2 x2 C.^+16= 1 y z 0) D￡+_9 = 1 y z 0) 【注：检验去点】 3. 已知A0, - 5)、B0,5) ,|PA| - |PB| = 2a,当a= 3 或 5 时，P点的轨迹为) A. 双曲线或一条直线 B. 双曲线或两条直线 C. 双曲线一支或一条直线 D. 双曲线一支或一条射线【注：2av|F1 F2|是双曲线，2a=|F1 F2|是射线，注意一支与两支的判断】 1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线 22x py =外一点00(,)P x y 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，与抛物线切点弦AB 的交点为Q 。 （1）求证：抛物线切点弦的方程为00()x x p y y =＋； （2）求证：112|||| PC PD PQ +=. 2. 已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且.||||,0PN PM PF PM ==? （1）动点N 的轨迹方程； （2）线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若304||64,4≤≤-=?AB OB OA 且，求直线l 的斜率k 的取值范围. 3. 如图，椭圆13 4: 2 21=+y x C 的左右顶点分别为A 、B ，P 为双曲线134:222=-y x C 右支上（x 轴上方）一点，连AP 交C 1于C ，连PB 并延长交C 1于D ，且△ACD 与△PCD 的面积 相等，求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角. 4. 已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||PM PN -=记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程； （Ⅱ）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ?的最小值. 5. 已知曲线C 的方程为:kx 2+(4-k )y 2=k +1,(k ∈R) （Ⅰ）若曲线C 是椭圆，求k 的取值范围； （Ⅱ）若曲线C 是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程； （Ⅲ）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P ，Q 关于直线l ：y=x -1对称，若存在，求出过P ，Q 的直线方程；若不存在，说明理由。 6. 如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN += (1)求点P 的轨迹方程； (2)若2 ·1cos PM PN MPN -∠＝,求点P 的坐标. 7. 已知F 为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点，直线l 过点F 且与双曲线 12 2 2=-b y a x 的两条渐进线12,l l 分别交于点,M N ，与椭圆交于点,A B . （I ）若3 MON π∠= ，双曲线的焦距为4。求椭圆方程。 （II ）若0OM MN ?=（O 为坐标原点），1 3 FA AN =，求椭圆的离心率e 。 (2019全国1)10.已知椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点.若||2||22B F AF =， ||||1BF AB =，则C 的方程为（ ） A.1222=+y x B. 12322=+y x C.13422=+y x D.14 522=+y x 答案： B 解答： 由椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F 可知1=c ，又Θ||2||22B F AF =，||||1BF AB =，可设m BF =||2，则 m AF 2||2=，m AB BF 3||||1==，根据椭圆的定义可知a m m BF BF 23||||21=+=+，得a m 2 1 = ，所以a BF 21||2=，a AF =||2，可知),0(b A -，根据相似可得)21,23(b B 代入椭圆的标准方程122 22=+b y a x ，得32=a ， 22 22=-=c a b ，∴椭圆C 的方程为12 32 2=+ y x . (2019全国1)16.已知双曲线C:22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 的 两条渐近线分别交于,A B 两点.若112,0F A AB F B F B =?=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则C 的离心率为 . 答案： 2 解答： 由112,0F A AB F B F B =?=u u u r u u u r u u u r u u u r 知A 是1BF 的中点，12F B F B ⊥uuu r uuu r ，又O 是12,F F 的中点，所以OA 为中位线且1OA BF ⊥，所以1OB OF =，因此1FOA BOA ∠=∠，又根据两渐近线对称，12FOA F OB ∠=∠，所以260F OB ∠=?，221()1tan 602b e a =+=+?=. 专题之——椭圆 （一）热点透析 考查目标 1.考查椭圆的定义及应用；2.考查椭圆的方程、几何性质；3.考查直线与椭圆的位置关系． 达成目标 1.熟练掌握椭圆的定义、几何性质；2.会利用定义法、待定系数法求椭圆方程；3.重视数学思想方法的应用，体会解析几何的本质——用代数方法求解几何问题． （二）知识回顾 1．椭圆的概念 在平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数： (1)若a>c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a （三）疑难解释 1． 椭圆焦点位置与x 2 ，y 2 系数间的关系： 给出椭圆方程x 2m ＋y 2 n ＝1时，椭圆的焦点在x 轴上?m >n >0，椭圆的焦点在y 轴上?0 第八章 圆锥曲线方程 ●考点阐释 圆锥曲线是解析几何的重点容，这部分容的特点是： （1）曲线与方程的基础知识要求很高，要求熟练掌握并能灵活应用. （2）综合性强．在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角及直线等容，体现了对各种能力的综合要求． （3）计算量大．要求学生有较高的计算水平和较强的计算能力． ●试题类编 一、选择题 1.（2003京春文9，理5）在同一坐标系中，方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +b y 2=0（a ＞b ＞0）的曲线大致是（ ） 2.（2003京春理，7）椭圆?? ?=+=? ? sin 3cos 54y x （?为参数）的焦点坐标为（ ） A.（0，0），（0，－8） B.（0，0），（－8，0） C.（0，0），（0，8） D.（0，0），（8，0） 3.（2002京皖春，3）已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点．如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是（ ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 4.（2002全国文，7）椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是（0，2），那么k 等于（ ） A.－1 B.1 C.5 D. － 5 5.（2002全国文，11）设θ∈（0， 4 π ），则二次曲线x 2cot θ－y 2tan θ＝1的离心率的取值围为（ ） A.（0， 2 1 ） B.（ 22 ,21） C.（ 2,2 2 ） D.（ 2，＋∞） 6.（2002文，10）已知椭圆222253n y m x +和双曲线22 2 232n y m x -＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ） A.x ＝± y 2 15 B.y ＝± x 2 15 2013年全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线 一、选择题 1 ．引直线l 与曲线y =A,B 两点,O 为坐标原点,当?AOB 的面积取最大值时,直线l 的斜率等于（ ） A ． 3 B ．3 - C ．3 ± D ．2 ．双曲线2 214 x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ） A ． 25 B ． 45 C D 3 ．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于3 2 ,在双曲线C 的方程是（ ） A ．22 14x = B ．22145x y - = C ． 22 125 x y -= D ．22 12x -= 4 ．已知双曲线C :22221x y a b -=(0,0a b >>) ,则C 的渐近线方程为（ ） A ．14 y x =± B ．13 y x =± C ．12 y x =± D ．y x =± 5 ．已知04π θ<<,则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与22 2222 :1sin sin tan y x C θθθ -=的 （ ） A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等 D ．离心率相等 6 ．抛物线2 4y x =的焦点到双曲线2 2 13 y x -=的渐近线的距离是（ ） A ．12 B C ．1 D 7 ．如图,21,F F 是椭圆14 :22 1=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是（ ） A ．2 B ．3 C ． 2 3 D ． 2 6 8 ．已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 则p =（ ） A ．1 B ． 3 2 C ．2 D ．3 9 ．椭圆22 :143 x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ） A ．1324 ?????? ， B ．3384 ?????? ， C ．112?? ???? ， D ．314?? ???? ， 10．已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点,若 0MA MB =uuu r uuu r g ,则k =（ ） A ． 12 B C D ．2 11．若双曲线22 221x y a b -= 则其渐近线方程为（ ） A ．y =±2x B ．y = C ．12 y x =± D ．2 y x =± 椭圆 典例剖析 知识点一 椭圆定义的应用 方程x 225－m ＋y 2 16＋m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 ________． 解析：因为焦点在y 轴上，所以16＋m >25－m ，即m >9 2 ，又因为b 2＝25－m >0，故m <25，所以m 的取 值范围为92 圆锥曲线归纳总结 ——for Yuri 第22sin cos θθ+部分：知识储备 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式：2121 tan 1k k k k α-=+ （3）弦长公式 直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离： 12AB x =-=或12AB y y =- （4）两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1) 椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） 标准方程：22 1(0,0)x y m n m n m n + =>>≠且 距离式方程2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2) 双曲线的方程的形式有两种 标准方程：22 1(0)x y m n m n + =?< 距离式方程 ：2a = (3) 三种圆锥曲线的通径 椭圆：22b a ；双曲线：2 2b a ；抛物线：2p (4) 圆锥曲线的定义 黄楚雅，分别回忆第一定义和第二定义！ (5) 焦点三角形面积公式： P 在椭圆上时，122tan 2F PF b θ?=S P 在双曲线上时，122cot 2 F PF b θ ?=S （其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos ||||PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠===?） (6) 记住焦半径公式： ①椭圆焦点在时为0a ex ±，焦点在y 轴上时为0a ey ± ②双曲线焦点在x 轴上时为0||e x a ± ③抛物线焦点在x 轴上时为0||2p x + ，焦点在y 轴上时0||2 p y + 3333333333333333333333333333333333333333333333333华丽的分割线3333333333333333333333333333333333333333333333333333333 第0sin xdx π ?部分：三道核心例题 例1．椭圆长轴端点为,A B ,O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且1AF FB ?=， 1OF =。 （1）求椭圆的标准方程； （2）记椭圆的上顶点为M ，直线交椭圆于,P Q 两点，问：是否存在直线 l 圆锥曲线与方程单元测试（高二高三均适用） 一、选择题 1．方程x = （ ） （A ）双曲线 （B ）椭圆 （C ）双曲线的一部分 （D ）椭圆的一部分 2．椭圆 142 2 2=+a y x 与双曲线1222=-y a x 有相同的焦点，则a 的值是 （ ） （A ）12 （B ）1或–2 （C ）1或12 （D ）1 3.双曲线22 221x y a b -=的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是 （ ） （A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ） 2 3 4、已知圆22670x y x +--=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则p 为 （ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 5、过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 （ ） A 、有且仅有一条 B 、有且仅有两条 C 、有无穷多条 D 、不存在 6、一个椭圆中心在原点，焦点12F F 、在x 轴上，P （2）是椭圆上一点，且1122||||||PF F F PF 、 、成等差数列，则椭圆方程为 （ ） A 、22186x y += B 、221166x y += C 、22184x y += D 、22 1164 x y += 7．设0＜k ＜a 2 , 那么双曲线x 2a 2–k – y 2b 2 + k = 1与双曲线 x 2a 2 – y 2 b 2 = 1有 （ ） （A ）相同的虚轴 （B ）相同的实轴 （C ）相同的渐近线 （D ）相同的焦点 8．若抛物线y 2= 2p x (p ＞0)上一点P 到准线及对称轴的距离分别为10和6, 则p 的值等于 （ ） （A ）2或18 （B ）4或18 （C ）2或16 （D ）4或16 9、设12F F 、是双曲线2 214 x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上，且120PF PF ?= ，则12||||PF PF ? 的 值等于 （ ） A 、2 B 、 C 、4 D 、8 10.若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22 =的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MA MF +取得最小值的M 的坐标为 （ ） 浙江省高考数学圆锥曲线真题 22 04. 若椭圆 x 2 y 2 ab 1（a > b > 0）的左、右焦点分别为 F 1、F 2, 线段 F 1F 2被抛物线 y 2=2 bx 的焦点 分成 5∶ 3的两 段 , 则此椭圆的离心率为 16 (A) 1167 05．过双曲线 2 x 2 a 4 17 (B) 17 2 b y 2 1(a b 4 (C)45 (D) 255 5 0,b 0） 的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 M 、 N 两点 , 以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点 则双曲线的离心率等于 07. 已知双曲线 2 x 2 a 2 y 2 1(a 0,b b 2 0） 的左、右焦点分别为 F 1,F 2, P 是准线上一点 , PF 1 PF 2,|PF 1| |PF 2| 4ab , 则双曲线的离心率是 B ） 3 （C ） 2 （D ） 3 △ ABP 的面积为定 则动点 P 的轨迹是A ． 圆 B ． 椭圆 C ． 一条直线 D ． 两条平行直线 09. 2 x 过双曲线 2 a 2 y b 2 1(a 0,b 0） 的右顶 点 条渐近线的交点分别为 B,C uuur ．若 AB 1 uuur BC , 2 A ． 2 B ．3 C 08．如图 , AB 是平面 的斜．线．段． ） B A P 第 10 题） A 作斜率为 1的直线 , 该直线与双曲线的两 则双曲线的离心率 是 ( ) ．5 D ． 10 A 为斜足 , 若点 P 在平面 内运动 , 使得 点 A （0,2） 。若线段 FA 的中点 B 在抛物线上 2 10. （13）设抛物线 y 2 2px （p 0） 的焦点为 F, 则 B 到该抛物线准线的距离为 近线与以 C 1 的长轴为直径的圆相交于 A, B 两点 ( ) 13 2 B ． a 2＝ 13 1 D ． A ．a 2＝ C ．b 2＝ b 2＝2 2 2 2 11. 设 F 1, F 2分别为椭圆 x 2 3 y 2 1的 左、 右焦点 22 x y 2 11. 已知椭圆 C 1： 2 2 =1 (a > b > 0)与双曲线 C 2： x 2 ab 则点 A 的坐标是 _______ 2 y 1有公共的焦点 , C 2 的一条渐 4 若 C 1 恰好将线段 AB 三等分 , 则 uuur uuuur 点 A, B 在椭圆上． 若 F 1A 5F 2B , 直线和圆锥曲线常考题型 运用的知识： 1、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =-；两条直线垂直，则直线所在的向量120v v = 2、韦达定理：若一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b c x x x x a a +=-=。 3、中点坐标公式：121 2 ,y 22 x x y y x ++= =，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。 4、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上， 则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一， AB = 或者AB = 例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22 : 14x y C m +=始终有交点，求m 的取值范围 解： 14m m ≤≠且。 例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2 y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。 设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。 由2 (1)y k x y x =+?? =?消y 整理，得2222 (21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得 2242(21)4410k k k ?=--=-+> 即2 1 04 k << ② 由韦达定理，得：2122 21 ,k x x k -+=-121x x =。 高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A，点B、D在直线l1上(B、D 位于点A右侧，且|AB|=4，|AD|=1，M是该平面上的一个动点，M在l1上的射影点是N，且|BN|=2|DM|. 2. (Ⅰ建立适当的坐标系，求动点M的轨迹C的方程． (Ⅱ过点D且不与l1、l2垂直的直线l交(Ⅰ中的轨迹C于E、F两点；另外平面上的点G、H满足： 求点G的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆的一条准线方程是其左、右顶点分别 是A、B；双曲线的一条渐近线方程为3x－5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB 并延长交椭圆C1于点N，若. 求证： 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为 a. （1）用半焦距c表示椭圆的方程及tg; （2）若2 <3 ，求椭圆率心率 e 的取值范围 . 5. 已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为 （1）求椭圆的方程 （2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C D两点问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由 6. 在直角坐标平面中，的两个顶点的坐标分别为，，平 面内两点同时满足下列条件： ①；②；③∥ （1）求的顶点的轨迹方程； （2）过点的直线与（1）中轨迹交于两点，求的取值范围 7. 设，为直角坐标平面内x轴．y轴正方向上的单位向量，若 ，且 （Ⅰ）求动点M(x,y的轨迹C的方程； （Ⅱ）设曲线C上两点A．B，满足(1直线AB过点（0，3），(2若，则OAPB为矩形，试求AB方程． 椭圆 一、选择题 1．(2012·高考大纲全国卷)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x ＝－4，则该椭圆的方程为( ) A. x 216＋y 2 12 ＝1 B. x 2 12 ＋y 28 ＝1 C.x 28＋y 24＝1 D.x 2 12＋y 2 4＝1 解析：选C.由题意知椭圆的焦点在x 轴上， 故可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)． 由题意知????? 2c ＝4，a 2 c ＝4，∴? ???? c ＝2， a 2 ＝8， ∴b 2 ＝a 2 －c 2 ＝4，故所求椭圆方程为x 28＋y 2 4 ＝1. 2．(2011·高考浙江卷)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2 －y 24 ＝1有公共 的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则( ) A ．a 2＝132 B ．a 2 ＝13 C ．b 2＝12 D ．b 2 ＝2 解析：选C.由题意知，a 2＝b 2＋5，因此椭圆方程为(a 2－5)x 2＋a 2y 2＋5a 2－a 4 ＝0，双曲 线的一条渐近线方程为y ＝2x ，联立方程消去y ，得(5a 2－5)x 2＋5a 2－a 4 ＝0， ∴直线截椭圆的弦长d ＝5×2a 4－5a 25a 2 －5＝2 3 a ， 解得a 2＝112， b 2 ＝12 . 3．椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点 P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是( ) A ．(0， 2 2 ] B ．(0，1 2] C ．[2－1,1) D ．[1 2 ，1) 解析：选D.设P (x 0，y 0)，则|PF |＝a －ex 0.又点F 在AP 的垂直平分线上，∴a －ex 0＝ a 2 c －c ，因此x 0＝a ac －a 2＋c 2 c 2 . 又－a ≤x 0 专题九 圆锥曲线 1.【2015高考福建，理3】若双曲线22 :1916 x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双 曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（ ） A ．11 B ．9 C ．5 D ．3 【答案】B 【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==，即236PF -=，解得29PF =，故选B ． 【考点定位】双曲线的标准方程和定义． 【名师点睛】本题考查了双曲线的定义和标准方程，利用双曲线的定义列方程求解，属于基础题，注意运算的准确性． 2.【2015高考四川，理5】过双曲线22 13 y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线 的两条渐近线于A ，B 两点，则AB =（ ） (C)6 （D ）【答案】D 【解析】 双曲线的右焦点为(2,0)F ，过F 与x 轴垂直的直线为2x =，渐近线方程为2 2 03 y x -=，将 2x =代入2 2 03 y x -=得：212,||y y AB ==±∴=.选D. 【考点定位】双曲线. 【名师点睛】双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为22 220x y a b -=，将直线2x =代入这个渐近线 方程，便可得交点A 、B 的纵坐标，从而快速得出||AB 的值. 3.【2015高考广东，理7】已知双曲线C ：12222=-b y a x 的离心率5 4 e =，且其右焦点()25,0F ， 则双曲线C 的方程为（ ） A ．13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14 32 2=-y x 【答案】B ． 【解析】因为所求双曲线的右焦点为()25,0F 且离心率为5 4 c e a = =，所以5c =，4a =，2 2 2 9b c a =-=所以所求双曲线方程为22 1169 x y - =，故选B ． 【考点定位】双曲线的标准方程及其简单几何性质． 【名师点睛】本题主要考查学生利用双曲线的简单几何性质求双曲线的标准方程和运算求解能力，由离心率和其右焦点易得a ，c 值，再结合双曲线222b c a =-可求，此题学生易忽略右焦点信息而做错，属于容易题． 4.【2015高考新课标1，理5】已知M （00,x y ）是双曲线C ：2 212 x y -=上的一点，12,F F 是 C 上的两个焦点，若120MF MF ?<，则0y 的取值范围是( ) （A ）（- 33，3 3 ） （B ）（- 36，3 6 ） （C ）（223-，223） （D ）（233-，23 3 ） 【答案】A 【考点定位】双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法. 【名师点睛】本题考查利用向量数量积的坐标形式将12MF MF ?表示为关于点M 坐标的函数，利用点M 在双曲线上，消去x 0，根据题意化为关于0y 的不等式，即可解出0y 的范围，是基础题，将12MF MF ?表示为0y 的函数是解本题的关键. 5.【2015高考湖北，理8】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ） A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < C ．对任意的,a b ，12e e < D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】D 【解析】依题意，2 221)(1a b a b a e +=+=，2222)(1)()(m a m b m a m b m a e +++=++++=，圆锥曲线基础测试题大全
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