广东技术师范学院天河学院
教案
2012 年月日第周
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第三章投影变换——换面法
第一节换面法的基本概念
一、换面法的基本概念
空间几何元素的位置保持不变，用新的投影面来代替旧的投影面，使空间几何元素对新的投影面的相对位置变成有利于解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。这种方法称为换面法。
用换面解题时应遵循下列两原则:
⒈选择新投影面时,应使几何元素处于有利于解题的位置；
⒉新投影面必须垂直于原投影面体系中不被变换的投影面，并与它组成新投影面体系，必要时可连续变换。
(a) (b)
图3.1 将一般位置直线变换成投影面平行线
如图3.1,新投影面必须垂直于不变换的投影面，即V1⊥H，X1为新投影轴。这时，不变换投影面上的投影a、b与V1面上的新投影a1＇、b1＇的投影连线a a1＇⊥X1、b b1＇⊥X1。并且a1＇、b1＇到X1的距离等于被代替的投影a＇、b＇到被代替的投影轴的距离，即a1＇a X1＝a＇a X＝A a＝Z A, b1＇b X1＝b＇b X＝B b＝Z B。
第二节点的换面
二、点的投影变换规律
（一）点的一次变换
点是一切几何形体的基本元素。因此，必须首先掌握点的投影变换规律。现在来研究更换正立投影面时，点的投影变换规律。图3表示点A在V/H 体系中，正面投影为a′，水平投影为a。现在令H面不变，取一铅垂面
V1（V1⊥H）来代替正立投影面V，形成新投影面体系V1/H。将点A向V1投影面投射，得到新投影面上的投影a′1。这样，点A在新、旧两体系中的投影（a，a′1）和(a，a′)都为已知。其中a′1为新投影，a′为旧投影，而a为新、旧体系中共有的不变投影。它们之间有下列关系：
1. 由于这两个体系具有公共的水平面H，因此点A到H面的距离（即z坐标），在新旧体系中都是相同的，即a′ax=Aa=a′1ax1。
2. 当V1面绕X1轴重合到H面时，根据点的投影规律可知aa′1必定垂直于X1轴。这和aa′⊥X轴的性质是一样的。
根据以上分析，可以得出点的投影变换规律：
1. 点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴。
2. 点的新投影到新投影轴的距离等于被更换的旧投影到旧投影轴的距离。
根据上述规律，由V/H体系中的投影（a，a′）求出V1/H体系中的投影的作图法为：
首先按要求条件画出新投影轴X1，新投影轴确定了新投影面在投影图上的位置。然后过点a 作aa′1⊥X1，在垂线上截取a′1ax1=a′ax，则a′1即为所求的新投影。水平投影a为新、旧两投影体系所共有。
上图表示更换水平投影面。取正垂面H1来代替H面，H1面和V面构成新投影体系V/H1，求出其新投影a1。因新、旧两体系具有公共的V面，因此a1ax1=Aa′=aax。
（二）点的两次变换
在运用换面法去解决实际问题时，更换一次投影面，有时不足以解决问题，而必须更换两次或更多次。右图表示更换两次投影面时，求点的新投影的方法，其原理和更换一次投影面是相同的。
必须指出：在更换多次投影面时，新投影面的选择除必须符合前述的两个条件外，还必须是在一个投影面更换完以后，在新的两面体系中交替地再更换另一个。如在图6-4中先由V1面代替V面，构成新体系V 1/H；再以这个体系为基础，取H2面代替H面，又构成新体系V 1/H2。
第三节直线的换面
以上讨论了换面法的基本原理和点的投影变换规律。这里再讨论把一般位置直线或平面变为特殊位置。这是解题时经常要遇到的问题。这类问题共有四个：①把一般位置直线变为投影面平行线；②把一般位置直线变为投影面垂直线；③把一般位置平面变为投影面垂直面；④把一般位置平面变为投影面平行面。
（一）把一般位置直线变为投影面平行线
如右图所示，直线AB在V/H体系中为一般位置直线，取V1面代替V 面，使V1面平行直线AB并垂直于H面。此时，AB在新体系V1/H中成为新投影面的平行线。求出AB在V1面上的投影a′1b′1，则a′1b′1反映线段AB的实长，并且a′1b′1和X1轴的夹角α即为直线AB和H 面的夹角。
表示把一般位置直线变为投影面平行线的投影图的作法。首先画出新投影轴X1，X1必须平行于ab，但和ab间的距离可以任取。然后分别求出线
段AB两端点的投影a′1和b′1，连a′1b′1即为线段的新投影。
假如不更换正立投影面，而更换水平投影面，同样可以把它变成新投影面的平行线，右图表示了投影图的作法。
例已知直线AB的两面投影ab和a＇b＇，求作AB的实长及其对V 面的倾角β，如图
（二）把一般位置直线变为投影面垂直线
欲把一般位置直线变为投影面垂直线，显然，只换一次投影面是不行的。
若选新投影面P直接垂直于一般位置直线AB，则平面P也是一般位置平面，它和原体系中的任一投影面不垂直，因此不能构成新的投影面体系。
如果所给的是一条投影面平行线，要变为投影面垂直线，则更换一次投影面即可。
如右图所示，由于AB为正平线，因此所作垂直于直线AB的新投影面H1必垂直于原体系中的V面，这样AB在V/H1体系中变为投影面垂直线。其投影图作法见右图，根据投影面垂直线的投影特性，取X1⊥a′b′，然后求出AB在H1面上的新投影a1b1，a1b1必重合为一点。
要把一般位置直线变为投影面垂直线，必须更换两次投影面，见右图。第一次把一般位置直线变为投影面V1的平行线；第二次再把投影面平行线变为投影面H2的垂直线。
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第四节平面的换面
（一）把一般位置平面变为投影面垂直面
右图表示把一般位置平面△ABC变为投影面垂直面的情况。为了使三角形变为投影面垂直面，只需使属于该平面的任意一条直线垂直于新投影面。我们知道，要把一般位置直线变为投影面垂直线，必须更换两次投影面，而把投影面平行线变为投影面垂直线只需更换一次投影面。因此，我们在面上任取一条投影面平行线（正平线AI）为辅助线，取与它垂直的H1面为新投影面，三角形也就和新投影面垂直。
把△ABC变为投影面垂直面的作图过程。首先在△ABC上取一条正平线AI（a1，a′1′），然后使新投影轴X1⊥a′1′，这样△ABC在V/H1体系中就成为投影面垂直面。求出△ABC三顶点的新投影a1、、b1、、c1，则a1b1c1必在同一直线上。并且a1b1c1和X1轴的夹角β即为△ABC对V面的夹角。
（二）把一般位置平面变为投影面平行面
平行面如果要把一般位置平面变为投影面平行面，只更换一次投影面也是不行的。必须更换两次投影面。第一次把一般位置平面变为投影面垂直面，第二次再把投影面垂直面变为投影面平行面。
图表示把△ABC变为投影面平行面的作图过程。第一次变为投影面垂直面；第二次变为投影面平行面，根据投影面平行面投影特性，取轴X2∥
b1a1c1，作出△ABC三顶点在V2面的新投影a′2b′2c′2，则△a′2b′2c′2便反映△ABC的实形。
把投影面垂直面变为投影面平行面，只需更换一次投影面
求投影面垂直面的实形
⑴在适当位置作新投影轴X1∥△abc；
⑵作出△ABC各顶点的新投影a1＇b1＇c＇即为所求。
(a) (b)
求垂直面的实形
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第五节空间几何问题综合分析
工程实际抽象出来的几何问题，如距离、角度的度量；点、线、面的定位等，并不是单纯的平行、相交、垂直问题，而多是较复杂的综合问题，其突出特点是要受若干条件的限制，求解时往往要同时满足几个条件。
解决此类问题的方法通常是：分析、确定解题方案及投影图上实现。
分析是十分重要的，首先根据给出已知条件和求解要求，想出已知空间几何模型，然后进行空间思维，想象出最终结果的空间几何模型，再分析确定从已知几何模型到最终结果几何模型的空间解题步骤。
如果最终结果几何模型很难直接确定，则常用“轨迹法”，即逐个满足限制条件，找出满足每一个条件的无数解答的集合（通常称之为该条件的轨迹），弄清该集合是什么形状，在投影图上如何实现；多个条件则形成多个轨迹，这些轨迹的交集即为所求结果。
解题中的常见轨迹如下：
1、过定点与定直线相交的直线的轨迹为一平面。
2、与定平面平行（等距）的直线的轨迹为其平行面。
3、与两相交直线或两相交平面等距的点的轨迹为其角平分面。
4、题目中若出现正方形、矩形、菱形、等腰三角形、等边三角形、到两点等距等，它们的轨迹通常为一直线的垂面。因为这些几何图形都具有垂直要素，例如：菱形的对角线垂直平分；等腰三角形底边上的高垂直于底边等。
5、与定直线等距的点的轨迹为一圆柱面。
6、与定直线平行，且距离为定长的直线的轨迹为圆柱面。
7、与定直线距离为定长的直线的轨迹为一圆柱面的切平面。
8、过一点和定直线或定平面保持固定夹角的直线的轨迹为圆锥面。
9、与定点等距的点的轨迹为圆球面。
以下讨论综合问题的解法。在解法举例中，一些典型例题采用了两种解法（①在V/H投影体系中直接解题；②应用换面法解题），只要将空间几何元素之间的关系分析清楚，无论采用何种解法均可。
综合问题解法举例（一）
一、求实形及倾角
1.直角三角形法，（最大斜度线）
2.换面法
二、距离和角度的度量
解决距离和角度的度量问题，主要基础是根据直角投影定理作平面的法线或直线的垂面，并求其实长或实形。
（一）距离的度量
常见的距离问题有点到点之间的距离、点到直线（包括两平行直线）之间的距离、两交叉直线之间的距离、点到面（包括直线平行平面和两平行平面）之间距离。
1、点到点之间的距离
如图所示，将点A及点B相连得线段AB，求出线段AB实长，即为所求点A到点B之间的距离。
2、点到直线之间的距离
如图所示，过点E作平面P垂直于直线CD；求出直线CD与平面P的垂足F；连点和E点F得到直线段EF并求出其实长，即为所求点到直线之间的距离。
例8. 求两平行直线AB和CD之间的距离。
解题思路一：
解题思路二
3、两交叉直线之间的距离
如图所示，包含直线CD作一平面P平行于直线AB；在直线AB上任取一点M，过点M做平面P的法线MN，并求出垂足N；再求出直线段MN 的实长，即为所求两交叉直线之间的距离。
例．求两交叉直线AB和CD的距离，并定出它们的公垂线的位置。
解法一
解法二
4、点到平面（包括直线平行平面和两平行平面之间）的距离
如图所示，过点A作平面Q的法线AB；求出垂足B后，再求出直线段AB的实长，即为所求点到平面之间的距离。
5、直线到平行平面之间的距离。
关于平行于平面的直线到平面之间的距离，实质仍是点到平面间的距离。在直线CD、平面P上任取一点A，问题就转化为点到平面之间的距
6、两平行平面间的距离。
两平行平面之间的距离，实质仍是点到平面间的距离。在直线CD、平面P上任取一点A，问题就转化为点到平面之间的距离。
（二）角度的度量
常见的角度问题有两相交直线间的夹角、直线与平面间的夹角及两平面间的夹角。
1、两相交直线间的夹角
如图所示，任作与两相交直线AB、AC相交的直线EF，构成△AEF；再作出△AEF的实形；△AEF中的∠EAF便是所求两相交直线间的夹角θ。
2、直线与平面间的夹角
初等几何中曾定义：直线和它在平面上的投影所夹的锐角，称为直线与平面间的夹角。
如图所示，任取属于直线HG的一点H，由点H作平面P的法线HO；求出直线HO和HG的夹角；的余角便是直线与平面间的夹角θ。
例求直线HG与平面的夹角，平面由四边形ABCD给定
例求直线AB与平面DEF之间的夹角θ
3、两平面间的夹角
两平面的夹角就是两平面形成的二面角的平面角。
如图所示，在空间任取一点L，过点L分别作平面P和Q的法线LM 和LN，两相交直线LM和LN所确定的平面S是P、Q两平面的公垂面，即是平面角所在的平面；求出两相交直线LM和LN的夹角θ；θ的补角便是两平面的夹角。若平面P、Q为投影面垂直面，则其积聚性投影的夹角，即为两平面的夹角。
例求△ABC和△ABD之间的夹角。
综合问题解法举例（二）
例试完成矩形ABCD的两面投影，已知AB平行于△EFG, B、C分别属于MN、AS。
例过点K作直线与△CDE所给的平面平行，并与直线AB相交（1）。
解题方案一：
方法一
解题方案二：求两平面交线MN，过K作MN的平行线例试过定点A作直线与已知直线EF正交。
解法1
三投影面体系的建立-标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
第二节三视图的形成及其对应关系 教学目的：1、了解三视图的形成。 2、掌握三视图之间的对应关系（三视图位置关系、投影对应关系、方位 对应关系）。。 教学重点及教学难点： 1、三视图之间的对应关系 2、三视图位置关系 3、投影对应关系（主、俯视图长对正，主、左视图高平齐， 左、俯视图宽相等）。 4、方位对应关系（主视图反映物体长与高，俯视图反映物体 长与宽，左视图反映物体宽与高）。 教具：三角直尺板、立体模型。 课时：1课时 教学过程： 1、复习旧课（正投影法的基本性质）。 2、引入新课 3、新课讲解 一、三投影面体系的建立 三投影体系是由三个相互垂直的投影面组成。如 右图所示： 三个投影面分别是： 正立投影面，简称正面，用V表示。 水平投影面，简称水平面，用H表示。 侧立投影面，简称侧面，用W表示。 三个相互垂直的投影面之间的交线，称为 投影轴，它们分别是： OX轴（简称X轴），是V面与H面的交 线，它代表长度方向。 OY轴（简称Y轴），是H面与W面的交 线，它代表宽度方向。 OZ轴（简称Z轴），是V面与W面的交线，它代表高度方向。 三投影轴相互垂直其交点O称为原点。 二、三视图的形成： 1、三视图的形成：将物体放在三投影面体系中，用正投影法将空间的物体 投影到投影面上，形成的平面投影图称为“视图”。因此，在下图（a）中，我们分别得到了正面投影（主视图），水平面投影（俯视图），侧面投影（左视图）。 主视图：由前向后的投影，在正面上所得到的视图。 俯视图：由上向下的投影，在水平面上所得到的视图。 左视图：由左向右的投影，在侧面上所得到的视图。 2、三视图的展开：为了看图与画图的方便，需要将相互垂直的三个投影面 摊平在同一个平面上。因此，规定：正立投影面不动，将水平投影面绕OX
第二节三视图的形成及其对应关系 教学目的：1、了解三视图的形成。 2、掌握三视图之间的对应关系（三视图位置关系、投影对应关系、 方位对应关系）。。 教学重点及教学难点： 1、三视图之间的对应关系 2、三视图位置关系 3、投影对应关系（主、俯视图长对正，主、左视图高平齐，左、俯 视图宽相等）。 4、方位对应关系（主视图反映物体长与高，俯视图反映物体长与宽， 左视图反映物体宽与高）。 教具：三角直尺板、立体模型。 课时：1课时 教学过程： 1、复习旧课（正投影法的基本性质）。 2、引入新课 3、新课讲解 一、三投影面体系的建立 三投影体系是由三个相互垂直的投影面组成。如 右图所示： 三个投影面分别是： 正立投影面，简称正面，用V表示。
水平投影面，简称水平面，用H表示。 侧立投影面，简称侧面，用W表示。 三个相互垂直的投影面之间的交线，称为 投影轴，它们分别是： OX轴（简称X轴），是V面与H面的交 线，它代表长度方向。 OY轴（简称Y轴），是H面与W面的交 线，它代表宽度方向。 OZ轴（简称Z轴），是V面与W面的交线，它代表高度方向。 三投影轴相互垂直其交点O称为原点。 二、三视图的形成： 1、三视图的形成：将物体放在三投影面体系中，用正投影法将空间的物体 投影到投影面上，形成的平面投影图称为“视图”。因此，在下图（a）中，我们分别得到了正面投影（主视图），水平面投影（俯视图），侧面投影（左视图）。 主视图：由前向后的投影，在正面上所得到的视图。 俯视图：由上向下的投影，在水平面上所得到的视图。 左视图：由左向右的投影，在侧面上所得到的视图。
2、三视图的展开：为了看图与画图 的方便，需要将相互垂直的三个投影 面摊平在同一个平面上。因此，规定： 正立投影面不动，将水平投影面绕 OX轴向下旋转90°，将侧立投影面 绕OZ轴向右旋转90°，使它们与正 立投影面处于同一平面上（这个平面就是纸面）。展开效果图如下图(b)所示： 图（a） 图（b） 注意：在旋转过程中，OY轴 一分为二，随H面旋转的Y 轴用Y H表示，随W面旋转的Y轴用Y w表示。 三、三视图之间对应关系 1、三视图之间的位置关系： 由右图可知三视图的位置关系 以主视图为准，俯视图位于主视图 的正下方，左视图位于主视图正右方。 2、投影对应关系： 在下图（a）所示，物体有长、宽、高三个方向的尺寸。通常规定：物体
第二节三视图的形成及其对应关系 教学目的：1、了解三视图的形成。 2、掌握三视图之间的对应关系（三视图位置关系、投影对应关系、 方位对应关系）。。 教学重点及教学难点： 1、 三视图之间的对应关系 2、 三视图位置关系 3、 投影对应关系（主、俯视图长对正，主、左视图高平齐，左、俯 视图宽相等）。 4、 方位对应关系（主视图反映物体长与高，俯视图反映物体长与宽, 左视图反映物体宽与高）。 三角直尺板、立体模型。 1课时 具: 时: 教 课 教学过程： 1复习旧课（正投影法的基本性质）。 2、 引入新课 3、 新课讲解 一、 三投影面体系的建立 三投影体系是由三个相互垂直的投影面组成。 右图所示： 三个投影面分别是： 正立投影面，简称正面，用 V 表示。 水平投影面，简称水平面，用 H 表示。 侧立投影面，简称侧面，用 W 表示。 三个相互垂直的投影面之间的交线，称为 投影轴，它们分别是： OX 轴（简称X 轴），是V 面与H 面的交 线，它代表长度方向。 OY 轴（简称丫 轴），是H 面与W 面的交 线，它代表宽度方向。 OZ 轴（简称Z 轴），是V 面与W 面的交线，它代表高度方向。 三投影轴相互垂直其交点O 称为原点。 二、 三视图的形成： 1三视图的形成：将物体放在三投影面体系中，用正投影法将空间的物体 投影到投影面上，形成的平面投影图称为“视图”。因此，在下图（a ） 我们分别得到了正面投影（主视图），水平面投影（俯视图），侧面投影 视图）。 主视图：由前向后的投影，在正面上所得到的视图。 俯视图：由上向下的投影，在水平面上所得到的视图。 左视图：由左向右的投影，在侧面上所得到的视图。 2、三视图的展开：为了看图与画图的方便，需要将相互垂直的三个投影面 摊平在同一个平面上。因此，规定：正立投影面不动，将水平投影面绕 中， （ 左 OX 轴向下旋转90 °,将侧立投影面绕OZ 轴向右旋转90°,使它们与正立投影
《三面正投影图的实作》教学设计 南郑县职教中心——潘姗 一、教学任务 能运用形体分析法和线面分析法绘制简单形体的三面正投影图。 二、教学分析 1、教材分析 本节课选自全国中等职业学校建筑类专业教材《建筑制图与识图》第四章《投影的基本知识》中的第二节。本节课是投影图“三等”关系的具体应用，在本课程中处于非常重要的地位。该节课内容是否掌握，对后续课程的学习起着承前启后的作用。学生根据立体图能正确画出三面投影图，就说明他对“三等”关系及线、面投影规律基本掌握了。 2、分析学生 对于初中毕业的职业学校学生建筑制图是一门完全陌生的课程他们没有接触过生产实际,缺乏应有的理论基础,特别由于传统的教材体系和教学方法影响,部分职业学校学生将建 筑制图课视为畏途,深感枯燥乏味,对教师课堂的理论讲授表现出消极学习, 甚至厌学的现象。因此,必须改革职业学校的机械制图的教学,以调动学生的学习积极性,激发学生的求知欲。 三、教学目标 （1）知识目标：掌握同一物体的三个投影图的“三等”关系。 （2）能力目标：①培养学生由实体想象投影的抽象思维能力；②培养学生的学习兴趣，提高学习能力。 （3）德育目标：①培养学生理论联系实际的思想和求实精神，耐心细致的工作作风和严肃认真的工作态度。②培养学生“实践——认识——再实践”的辩证唯物主义认识论思想。 四、教学重点、难点的确立及依据 根据教材的分析和大纲要求及学生对知识的理解能力，确立本节课的重难点： 重点:同一物体的三个投影图之间的三等关系应用。 难点:线、面投影关系的应用。 五、教学方法 1、运用理论联系实际的教学原则进行教学。结合对具体形体的三视投影进行分析，让学生更加明白作图的方法。 2、本节课的教学方法就是教师指导，学生实作。在课堂教学中教师的主导作用主要体现在课前准备、课堂辅导；学生的主体作用主要体现在实际操作上。 3、重视学生的反馈意见，采取互动式教学：在整个教学过程中，要随时观察学生的动向。在课堂上，要注意学生的反映，根据学生的表情及言语，随时调整讲课速度，重点、难点内容要详细讲解。 六、学生学法 本节课重在培养学生的作图兴趣及绘图能力，更主要要体现在学生的主体上面。因此，采用的教学方法如下： 1、领悟式指导法：在教师提示、启导下，让学生自悟学法。 2、兴趣式指导法：通过典型、生动的事例，诱发学生学习的兴趣，然后再对学生进行学法指导。
4 -1 4 -2 4 -34 -4 4 -5 4 -6 4 -74 -8 4 -94 -104 -114 -124 -13 4 -144 -154 -16 4 -174 -184 -194 -20 4 -214 -224 -23 4 -24 4 -25 4 -26 4 -274 -28 4 -29 4 -30 4 -31 4 -32 4 -33
4-1 求线段AB 的实长及其对V ，H 面的投影。 V H X o a ' b ' b a a ' b 'β α b 'a ' a b B A αβ o x V 分析 作图 ①作新轴平行于ab ②变换水平投影ab b '1a '1 ③作新轴平行于a 'b '④变换正面投影a 'b ' 直线与H 面的夹角是在以直线的实长为斜边，以直线的水平投影长、直 线的Z 轴坐标差为两直角边构成的三角形内，实长 斜边与水平投影长所夹的角。直线与其它投影面的 夹角请自行推论。
4-2 在线段AB 上有一点C ，AC = 20㎜，求作点C 的两面投影。 V H X o a ' b 'b a 实长 分析作图 c c ' 直线上两点间的距离要在反映真实长度的图中量取。当直线是投影面的平行线时，在所平行的投影面上的投影反映实长．
4-3 已知线段AB 的长度为40mm ，求ab 。 V H X o a ' b ' a b b 1 a 1 分析 作图 直线的长度要从反映真实长度的图中量取。将一般位置直线变换为投影面的平行线需要一次变换。 由于正面投影是已知的，因此将正面投影作为保留投影是简便的方法。
4-4 求作△ABC 的实形。 V H X o a ' b 'a c ' c b a '1 c '1 b '1 c '2 a '2 b '2 分析 作图 由于△ABC 是一般位置平面，要反映其实形需将其变换为投影面的平行面。须两次换面。第一次将其变成投影面的垂直面，再将其变成投影面的平行面。
直线在三投影面体系中的投影特性 一、一般位置直线： 1、定义：与三个投影面均倾斜的直线。 2、投影特性： （1）在三个投影面上的投影均是倾斜直线。 （2）投影长度均小于实长。 3、三视图： 二、投影面平行线： 1、定义：平行于三投影面体系的一个投影面，倾斜于其他两个投影面。 2、投影特性： （1）在所平行的投影面上的投影为一段反映实长的斜线。 （2）在其他两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴，长度缩短。 正平线： 1、平行于正面（V面），倾斜于水平面（H面）和侧面（W面）。 2、投影特性： （1）在正面（V面）上的投影为一段反映实长的斜线。 （2）在水平面（H面）和侧面（W面）上的投影分别平行于X轴和Z轴，长度缩短。 3、三视图：
1、定义：平行于水平面（H面），倾斜于正面（V面）和侧面（W面）。 2、投影特性： （1）在水平面（H面）上的投影为一段反映实长的斜线。 （2）在正面（V面）和侧面（W面）上的投影分别平行于X轴和Y轴，长度缩短。 3、三视图： 侧平线： 1、定义：平行于侧面（W面），倾斜于正面（V面）和水平面（H面）。 2、投影特性： （1）在侧面（W面）上的投影为一段反映实长的斜线。 （2）在正面（V面）和水平面（H面）上的投影分别平行于Z轴和Y轴，长度缩短。 3、三视图： 三、投影面垂直线： 1、定义：垂直于三投影面体系的一个投影面，平行于其他两个投影面。 2、投影特性： （1）在所垂直的投影面上的投影积聚为一点。 （2）在其他两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴，且反映实长。
1、定义：垂直于正面（V面），平行于水平面（H面）和侧面（W面）。 2、投影特性： （1）在正面（V面）上的投影积聚为一点。 （2）在水平面（H面）和侧面（W面）上的投影平行于Y轴，且反映实长。 3、三视图： 铅垂线： 1、定义：垂直于水平面（H面），平行于正面（V面）和侧面（W面）。 2、投影特性： （1）在水平面（H面）上的投影积聚为一点。 （2）在正面（V面）和侧面（W面）上的投影平行于Z轴，且反映实长。 3、三视图： 侧垂线： 1、定义：垂直于侧面（W面），平行于正面（V面）和水平面（H面）。 2、投影特性：
三投影面体系的建立
第二节三视图的形成及其对应关系 教学目的：1、了解三视图的形成。 2、掌握三视图之间的对应关系（三视图位置关系、投影对应关系、方位 对应关系）。。 教学重点及教学难点： 1、三视图之间的对应关系 2、三视图位置关系 3、投影对应关系（主、俯视图长对正，主、左视图高平齐，左、俯 视图宽相等）。 4、方位对应关系（主视图反映物体长与高，俯视图反映物体长与 宽，左视图反映物体宽与高）。 教具：三角直尺板、立体模型。 课时：1课时 教学过程： 1、复习旧课（正投影法的基本性质）。 2、引入新课 3、新课讲解 一、三投影面体系的建立 三投影体系是由三个相互垂直的投影面组成。如 右图所示： 三个投影面分别是： 正立投影面，简称正面，用V表示。
水平投影面，简称水平面，用H表示。 侧立投影面，简称侧面，用W表示。 三个相互垂直的投影面之间的交线，称为 投影轴，它们分别是： OX轴（简称X轴），是V面与H面的交 线，它代表长度方向。 OY轴（简称Y轴），是H面与W面的交 线，它代表宽度方向。 OZ轴（简称Z轴），是V面与W面的交线，它代表高度方向。 三投影轴相互垂直其交点O称为原点。 二、三视图的形成： 1、三视图的形成：将物体放在三投影面体系中，用正投影法将空间的物体 投影到投影面上，形成的平面投影图称为“视图”。因此，在下图（a）中，我们分别得到了正面投影（主视图），水平面投影（俯视图），侧面投影（左视图）。 主视图：由前向后的投影，在正面上所得到的视图。 俯视图：由上向下的投影，在水平面上所得到的视图。 左视图：由左向右的投影，在侧面上所得到的视图。
三面投影体系 wjawon, 2015-12-10 基本知识 三个互相垂直相交的投影面 Ｖ、Ｈ 和 Ｗ 构成三面投影体系，如图 1，把空 间分为八个区域，每一区域称为一个分角，依次为Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ、Ⅳ……Ⅶ、Ⅷ分角。 若将物体放置第一分角（Ｈ面之上，Ｖ面之前，Ｗ 面之左）进行投射，则称第一角画法；若将物体放置在第三分角（Ｈ面之下，Ｖ面之后，Ｗ面之左）进行投射，则称第三角画法。由于第二象限投影与第四象限投影因水平投影面旋转后与直立投 影面重叠，致使投影视图线条混淆不清，增加绘固及识图不便，故不予采用。 对于正投影方法的使用，第一角画法或第三角画法同等适用。但在同一张图纸 上不可混合使用，且须在标题概内或其他明显处绘制投影识别符号或加注“第一角 画法”或“第三角画法”字样。以作为读图的识别。 欧洲各国盛行第一角法投影制，所以第一角法投影亦有“欧式投影制”之称。 例如德国(DIN)、瑞士(VSM)、法国(NF)、挪威(NS)等国家使用之。美国采用第三角 投影制，故有“美式投影制”之称。除美国(ANSI)外，尚盛行于美洲地区。而台湾(CNS)、国际标准化机构(ISO)与日本(JIS)则采第一角及第三角两制并行。 根据国家标准（GB/T 17451-1998）规定，我国工程图样按正投影法绘制，并优先采用第一角画法。 图 1: 三面投影体系
第一角画法(First Angle Method) 在第一角投影中，物体放置在投影面与观察者之间，形成“人、物、面”的相互关系，习惯上物体在第一角投影中得到的三视图是主视图、俯视图、左视图。 图 2: 第一角画法的三视图的展开 投影识别符号
柳州铁道职业技术学院LIUZHOU RAILWAY VOCATIONAL TECHNICAL COLLEGE 教师备课教案首页课时授课计划编号：5 授课日期授课时数 2 授课班级 11铁工11班 11级道桥5班 11级道桥6班 11铁工10班课题：三面投影体系及投影特点教学目的： 1、了解三面投影体系的建立；2、理解三面投影图的形成；3、掌握三面投影图的投影关系。教学重点：三面投影图的投影关系教学难点：三面投影图的形成课堂类型与教学方法：讲授课讲授法、举例法、提问法、讨论法教具挂图：三角板、圆规等教学过程：如下教研室主任签字：年月日任课教师：沈杰 柳州铁道职业技术学院LIUZHOU RAILWAY VOCATIONAL TECHNICAL COLLEGE 教师备课教案【考勤】班级点名考勤【复习旧课】提问法正投影的基本性质有哪些？每一性质有什么特点？【引入新课】思考:如图1-38所示，三个形状不同的物体，在同一投影面上的投影却是相同的。这说明根据物体的一个投影图，往往不能确定物体的空司形状。因此，一讨论法般把物体放在三个互相垂直的平面所组成的三面投影体系中进行投影。
图1-38一个投影图不能确定物体的空间形状【理论教学】一、绘制物体的三面投影图讲授法（一）三面投影体系的建立及其名称图示法三面投影即把物体放在三个互相垂直的平面所组成的三面投影体系中进行投影，如教材图1-39所示。三个投影面分别为:水平投影面——H面;正立投影面——V 面;侧立投影面——W面。三投影面两两垂直相交构成三条投影轴OX.OY.OZ，三条投影轴垂直相交于O，称为原点。（二）三面投影图的形成难点将物体放在三面投影体系中，置于观察者和投影面之间，物体靠近观察者的举例法一面称为前面，反之为后面，依此定出上下、左右四个面。用三组分别垂直于三 2 柳州铁道职业技术学院LIUZHOU RAILWAY VOCATIONAL TECHNICAL COLLEGE 教师备 课教案讲授法个投影面的投射线对物体进行投影，如图1-40所示。上→下，水平投影图(H面投影); 前→后，正立面投影图O(V面投影): 左→右，(左)侧立面投影图(W面投影)。根据物体的三面投影图，可以唯一确定物体的空间位置和形状。为了使三投影图能画在同一张图纸上，还必须把三个投影 面展开在同一平面。上，国家标准规定：V面不动，H面绕OX轴向下旋转90，W面绕OZ轴向右旋转。90，使它们转至与V面同在一个平面上，Y轴出现两次，Y 和Y，如教材图1-41HW 所示。 (三)三面投影 图的投影关系讲授法三面投影图是从物体的三个方向投影得到的。三个投影图之间是密切相关图示法的，它们的关系主要表现在度量和相互位置上的联系。重点1、投影形成相关的顺序关系：人→物→图。2、投影中的长、宽、高和方位关系：（1）每个物体都有长度、宽度、高度或左右、前后、上下三个 方向的形状和大小变化。 1）物体左右两点之间平行于OX轴的距离为长度; 2）上下两点之间平行于 OZ轴的距离为高度; 3）前后两点之间平行于OY轴的距离为宽度。 (2)每个投影图只反映其中两个方向 关系： 1）H面投影反映长度和宽度、左右(x轴)和前后(Y轴)方向； 2）V面投影反映长度和高度，左 右和上下(Z轴)方向； 3）W面投影反映高度和宽度，上下和前后方向。 3、投影图的三等关系三面投 影图是在物体位置不变的情况下，从三个不同方向投影所得到的，它们共同表达同一物体。（1）V,H 两面投影都反映物体的长度，展开后所反映物体的长度不变，因此必须左右对齐即有"长对正"的关系; （2）同理,H.W两面投影郡反映形体的宽度，有“宽相等” 的关系；（3）V、W两面投影郡反映形体的高度，有"高平齐"的关系。 3
三面投影体系 -标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
投影的基本知识 三面投影体系 在三面投影体系中，把处于水平位置的投影面称为水平投影面，简称水平面或H面，正立位置投影面称为正立投影面。简称正立面或V面，侧立位置的投影面称为侧立投影面，简称侧立面或W面。 三个投影面两两相交，交线OX、OY、OZ称为投影轴。三根投影轴两两垂直并交于原点O、OX轴可表示长度方向，OY轴可表示宽度方向，OZ轴可表示高度方向。 三面投影图的形成 将形体放置在三面投影体系当中，即放置在H面的上方，V面的前面，W面的左方。并尽量让形体的表面和投影面平行或垂直。 从前往后对正立投影面进行投射，在正立面上得到正立面投影图，简称正立面图。
从上往下对水平投影面进行投射，在水平面上得到水平面投影 图，简称水平面图。 从左往右对侧立投影面进行投射，在侧立面上得到侧立面投影图，简称侧立面图。 三面正投影的展开 由于三个投影面是相付垂直的，所以三个投影图已就不在同一个平面上，不方便观看。为了把三个投影图画在同一个平面上，就必须将三个福相垂直的投影面连同三个投影面的展开。规定V面保持不动，将H面绕OX轴向下旋转90°，W面绕OZ轴向右旋转90°，使他们和V面处在同一平面上。这时OY 轴分为两条，一条OY H轴，一条OY W轴。 三个投影图的位置关系是：正立面图在上方，平面图在正立面图的正下方，侧立面图在正立面图的正右方。用三面正投影图表达形体的投影时，可不画出投影面的外框线和坐标轴。在建筑工程中，三面正投影图或多面正投影图经常不在一张图纸上，这样，在每个正投影图的下方必须要标注图名。