函数的基本性质(教案)

［课題h第一章集合与函数概念函数的基本性质

主备人：高一数学备课组陈伟坚编写时间：2013年9月30日使用班级（21）（22）计划上课时间：2013-2014学年第一学期第6 周星期一至三（四至六月考）

［课标.大纲.考纲内容］:

【教材与学情分析】

学生在初中已学过一次函数、二次函数、反比例函数的图象与性质，通过这些基本初等函数引入函数的单调性和最值，学生还是容易接受的，但很多学生的二次函数的性质还不过关，需要如强。学生的阅读理解能力还是较弱，教师需要引导学生对函数的单调性、奇偶性的定艾理解透彻。

［教学目标］:

［教学重难点］:

1、重点：理解函数的单调性.最大（小）值及其几何意义；求函数的单调区间和最值；奇偶性

的定艾，判定函数的奇偶性的方法；运用函数图象理解和研究函数的性质。

2、难点：运用函数图象理解函数单调性和奇偶性的定艾，研究基本函数的单调性和奇偶性。

［课的类型.教具.教法、教时］:

第1课时1.3.1单调性与最大(小)值(1)【教学目标】

1. 运用已学过的函数特别是二次函数的图象，理解函数的单调性的定狡及其几何意爻；

2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

3. 会用定艾证明函数的单调性

【教学重难点】

教学重点：理解函数的单调性的含狡及其几何意艾.

教学难点：用定爻证明函数的单调性.

【教学过程】

一、引入课題

1. 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

O能否看出函数的最大、灵小值

2. 画出下列函数的图象，观察其变化规律：

1 ? f (x) = X

O从左至右图象上升还是下降___________

O在区间 ______________ 上，随着X的增

大，f(x)的值随着____________ ?

O必须是对于区间D内的任意两个自变量的值Xχ X2:当

×1<×2时，总有f（Xi）

2. 函数的单调性定义

如果函数y=f（X）在区间D上是增函数或减函

数，那么就说函数y=f（X）在这一区间具有（严格

的）单调性，区间D叫做y=f （x）的单调区间：

3. 判断函数单调性的方法步探

利用定狡证明函数f（x）在给定的区间D上的单调

性的一般步骤：

O 任取Xi, ×2∈D,且X KX2；

O 作差f（XI）—f（X2）:

O变形（通常是因式分解和配方）；

O定号（即判断差f （χ1）-f （X2）的正负）：

O下结论（即指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）?（二）典型例题

例1.（教材P29例1）根据函数图象说明函数的单调性.

解：（略）

巩固练习：课本P32练习第3题

例2.（教材P29例2）根据函数单调性定狡证明函数的单调性.

解：（略）

巩固练习：

O课本P32练习第4题；

O证明函数y = x +丄在（1, +8）上为增函数.

X

思考：画出反比例函数y =丄的图象.

X

O这个函数的定狡域是什么

O它在定狡域/上的单调性怎样证明你的结论.

三、归纳小结.强化思想

函数的单调性一般是先根損图象判斷，再利用定狡证明.求函数的单调区间时必须要注意函数的定狡域，单调性的证明一般分五步：

取值T作差T变形T定号T下结论

四、作业布置

课本P的习题1?3 （A组）第仁2题.

五、教学反思：利用定爻证明函数的单调性的变形过程是难点。

第2课时1.3.1单调性与最大（小）值（2）

【教学目标】

1. 理解函数的最大（小）值及其几何意义；

2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质：

【教学重难点】

教学莹点：函数的最大(小)值及其几何意艾.

教学难点：利用函数的单调性求函数的最大(小)值.

【教学过程】

一、引入课题

画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问題：

O 说出y=f(X)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；

O指出图象的爺商点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征

(1) f(x) = -2x+3(2) /(x) = -2x÷3 x∈［l,2］

(4) /(X)= X2+2X÷1 X∈[0,2]

(3) /(X)=X2+2X÷1

二、新课教学

(-)函数最大(小)值定狡

1. 最大值

一般地，设函数y=f (x)的定狡域为/,如果存在实数M满足：

(1) 对于任意的x∈∕,都有f (x)≤M:

(2) 存在X0∈/,使得f (xo) = M

那么，称M是函数y=f (x)的最大值(MaXimUm Value).

思考：仿照函数最大值的定狡，给出函数y=f (x)的最小值(MinimUnl ValUe)的定狡?(学生活动) 注意：O函数置大(小)首先应该是某一个函数值，即存在xo∈Λ使得f(x°) = M：

O 函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的x∈∕,都有f(x) ≤M (f(X)≥M).

2. 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法

O利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值

O利用图象求函数的灵大(小)值

O利用函数单调性的判断函数的最大(小)值

如果函数y=f (x)在区间［a, b］上单调递增，在区间［b, c］上单调递减則函数y=f (x)在x=b处有罠大值f(b):

如果函数y=f (×)在区间［a, b］上单调递城，在区间［b, c］上单调递增则函数y=f (x)在x=b处有爺小值f⑹：

(二)典型例题

例1?(教材P50例3)利用二次函数的性质确定函数的最大(小)值. 解：(略)

说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审淸题意.适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的罠大(小)值.

巩固练习：如因，把截面半径为25Cm的圆形木头锯成矩

形木料，如果矩形一边长为X t面积为y 试将y表示成X

的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使

得截面面积最大例2.(新題讲解)

旅馆定价

一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经

营，经理得到一些定价和住房率的数据如下:

房价(元)住房率(%)

16055

14065

欲使每天的的营业额就高，应如何定价

解：根据已知数据，可假设该客房的最鬲价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系.

设y为旅馆一天的客房总收入，X为与房价160相比降低的房价，因此当房价为（16O-X）元

时，住房率为（55+彩??10）%,于是得

y=15O ?（160-x）?（55 +讦?10）% =.

由于（55+ —??10）% ≤1,可知O≤x≤90?

20

因此问题转化为：当O≤x≤90吋，求y的最大值的问題.

将y的两边同除以一个常数.得）*一/+50尤+17600?

由于二次函数八在X =25吋取得最大值，可知y也在X =25时取得最大值，此时房价定位应是160-25=135 （元），相应的住房率为％,最大住房总收入为（元）?所以该客房定价应为135元.（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的）

例3?（教材P3∣例4）求函数J = ^-在区间［2, 6］上的罠大值和置小值?

X-I

解：（略）

注意：利用函数的单调性求函数的就大（小）值的方法与格式.

巩固练习：（教材P32练习5）

三、归纳小结，强化思想

函数的单调性一般是先根扌居图象判断，再利用定狡证明.画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定狡域，单调性的证明一般分五步：

取值T作差T变形T定号T下结论

四、作业布置

课本P M习題1?3 A组第5题.B组第1题

五、教学反思：函数单调性可以从三个方面理解：（1）图形刻画：函数图象在给定区间从左向右连续上升则函数是增函数。（2）定性刻画：函数在给定区间y随X的增大而增大，则是函数是增函数，y随X的增大而减小，则函数是减函数（3）定量刻画：利用定义证明。

第3课时1.3.1单调性与最大（小）值（3）

【教学目标】

1. 通过习题训练进一步理解函数的单调性和黃大（小）值及其几何意艾：

2. 运用函数图象理解和研究函数的性质；

【教学重难点】

教学重点：函数的单调性和罠大（小）值及其几何意乂.

教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值.

【教学过程】

—、复习回顾：

1. 证明函数单调性的步腺：

①任取Xt, X2∈D,且Xl＜X2：

②作差f（Xi）— f（X2）:

③变形（通常是因式分解和配方）：

④定号（即判斷差f（xι）-f（x2）的正负）；

⑤下结论（即指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）.

2. 求函数单调区间的方法：根据图象判斷。

3. 求函数最大（小）值的方法：

①利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

②利用图象求函数的最大（小）值

③利用函数单调性的判断函数的最大（小）值

二、习题训练：（学生训练，提问学生，先学生讲评，后教师点评）

1. 函数y = x2-6x的单调递减区间是—（一oo,3］ _____________ .

2. 定义在R上的函数f（x）对任意两个不相等的实数a,b,总有J则必有（C ）

a—b

A. 函数f（x）先增后减

B. 函数f（x）先减后增

C. 函数f（x）是R上的增函数

D. 函数f（x）是R上的减函数

3. 下列说法中正确的有（A ）

①若x l, X2∈ /,当X］＜ x2?, /（x1）＜ /（X2）, W = /（X）在 2 上是增函数；

②函数丿=兀2在R上是增函数；

③函数y=-丄在定狡域上是增函数；

X

④y =丄的单调区间是（-∞,0）∪（0,+oo）.

X

个个 C. 2个个

k

4. 若函数y = —伙＞0）在［2,4］ JI的最小值为5,則k的值为—20—?

X

5. 判断函数f（x）=√7-X在区间［l,+∞）上的单调性.（减函数）

6. 判断函数f（x）=x i + 3x在R上的单调性..（增函数）

7. 已知f（x）是定51在［-1,1］上的增函数，且f（χ-1）＜f（1-3x）,求X的取值范围.（OSArv丄）

2

三、易错点反思：（提问学生做错的原因）

四、教学反思：利用函数的单调性求函数的最大（小）值。学生对最大（小）值槪念的理解往往忽視定狡域的限制。

2. f(×) = -2x+1

O 从左至右图象上升还是下降 __________

O在区间 _______________ 上，随着X的增

大，f(χ)的值随着____________ .

3. f (x) = X2 3

O在区间 ______________ 上，f(x)的值随

着X的增大而 _________ ?

O在区间 _______________ 上，f(x)的值随

着X的增大而 _________ ?

二、新课教学

(-)函数单调性定义

1. 增函数

一般地，设函数y=f (x)的定狡域为I,

如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值xι,x2,当xKx2时，都有f (xι)

思考：仿照增函数的定艾说出城函数的定艾.(学生活动)

注意：

O 函数的单调性是在定艾域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质;

函数的基本性质教案1第1课时

课题：§1.3.1函数的单调性及最大、小值 ⑴通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义； ⑵学会运用函数图象理解和研究函数的性质； ⑶够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性． ⑷理解函数的最大（小）值及其几何意义； ⑸学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 函数的单调性及其几何意义．函数的最大（小）值及其几何意义． 利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．利用函数的单调性求函数的 最大（小）值． ⑴观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： ①随x 的增大，y 的值有什么变化？②能否看出函数的最大（小）值？③函数图象是否具有某种对称性？ ⑵画出下列函数的图象，观察其变化规律： ①f(x) = x ○ 1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ． ②f(x) = -2x+1 ○ 1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ． ③f(x) = x 2 ○1在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ． ○2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ． ⑴设函数)(x f y =的定义域是Ｉ，区间I D ?，D x x ∈21,，当21x x <时，都有)()(21x f x f < 成立，则称)(x f 在区间D 上是增函数．．． ，如图⑴ ⑵设函数)(x f y =的定义域是Ｉ，区间I D ?，D x x ∈21,，当21x x <时，都有 )()(21x f x f >成立，则称)(x f 在区间D 上是减函数．．． ，如图⑵ ①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ②必须是对于区间D 内的任意．．两个自变量x 1，x 2；当x 1

人教版_数学_必修1函数的基本性质_教案

一、 函数的单调性 1．单调函数的定义 （1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。 （2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。 （3）单调性：如果函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做()y f x =的单调区间。 2、单调性的判定方法 （1）定义法： 判断下列函数的单调区间：2 1x y = （2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。 （3）复合函数的单调性的判断： 设)(x f y =，)(x g u =，],[b a x ∈，],[n m u ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在] ,[b a 上也是单调函数。 ①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。 ②若)(x f y =是[,]m n 上的减函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。 即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的 单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 练习：（1）函数24x y -=的单调递减区间是 ，单调递增区间 为 ． （2）5 412 +-= x x y 的单调递增区间为 ． 3、函数单调性应注意的问题： ①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)． ③函数在定义域内的两个区间A ,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上 是增（或减）函数 4．例题分析

函数的基本性质(教案)

[课题]：第一章集合与函数概念 1.3 函数的基本性质 主备人：高一数学备课组陈伟坚编写时间：2013年9月30日使用班级（21）（22）计划上课时间：2013-2014学年第一学期第6 周星期一至三（四至六月考）[课标、大纲、考纲内容]： 【教材与学情分析】 学生在初中已学过一次函数、二次函数、反比例函数的图象与性质，通过这些基本初等函数引入函数的单调性和最值，学生还是容易接受的，但很多学生的二次函数的性质还不过关，需要加强。学生的阅读理解能力还是较弱，教师需要引导学生对函数的单调性、奇偶性的定义理解透彻。 [教学目标]：

[教学重难点]： 1、重点：理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；求函数的单调区间和最值；奇偶性 的定义，判定函数的奇偶性的方法；运用函数图象理解和研究函数的性质。 2、难点：运用函数图象理解函数单调性和奇偶性的定义，研究基本函数的单调性和奇偶性。 [课的类型、教具、教法、教时]： 第1课时 1.3.1 单调性与最大（小）值（1） 【教学目标】 1. 运用已学过的函数特别是二次函数的图象，理解函数的单调性的定义及其几何意义； 2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 3. 会用定义证明函数的单调性 【教学重难点】 教学重点: 理解函数的单调性的含义及其几何意义. 教学难点: 用定义证明函数的单调性. 【教学过程】 一、引入课题 1． 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： ○ 1 随x 的增大，y 的值有什么变化？ ○ 2 能否看出函数的最大、最小值？ 2． 画出下列函数的图象，观察其变化规律： 1．f(x) = x ○ 1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ． 2．f(x) = -2x+1 ○ 1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 的增

北京四中高考数学总复习 函数的基本性质(提高)知识梳理教案

【考纲要求】 1. 了解函数的定义域、值域，并能简单求解． 2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质． 【知识网络】 【考点梳理】 1．单调性 （1）一般地，设函数()f x 的定义域为I 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，若都有12()()f x f x <，那么就说函数在区间D 上单调递增，若都有12()()f x f x >，那么就说函数在区间D 上单调递减。 （2）如果函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这一区间具有严格的单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间。 （3）判断证明函数单调性的一般方法：单调四法，导数定义复合图像 定义法： 用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①设D x x ∈21,，且12x x <；②作差 )()(21x f x f -；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）④判断)()(21x f x f -的 正负符号；⑤根据定义下结论。 复合函数分析法 设()y f u =，()u g x =[,]x a b ∈，[,]u m n ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在[,]a b 上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表： 函数的基本性质 奇 偶 性 单 调 性 周 期 性

()u g x = ()y f u = [()]y f g x = 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 导数证明法： 设()f x 在某个区间(,)a b 内有导数'()f x ，若()f x 在区间(,)a b 内，总有'()0('()0)f x f x ><，则()f x 在区间(,)a b 上为增函数（减函数）；反之，若()f x 在区间(,)a b 内为增函数（减函数） ，则'()0('()0)f x f x ≥≤。 图像法： 一般通过已知条件作出函数图像的草图，从而得到函数的单调性。 2、奇偶性 (1)定义: 如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为这一定义域内的奇函数;如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称f(x)为这一定义域内的偶函数. 理解： (Ⅰ)上述定义要求一对实数x,-x 必须同时都在f(x)的定义域内,注意到实数x,-x 在x 轴上的对应点关于原点对称(或与原点重合),故知f(x)的定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要条件. (Ⅱ)判断函数奇偶性的步骤: ①考察函数定义域; ②考察f(-x)与f(x)的关系; ③根据定义作出判断. (Ⅲ)定义中条件的等价转化 ①f(-x)=-f(x)?f(x)+f(-x)=0;或f(-x)=-f(x) ? ) () (x f x f -=-1 (f(x)≠0) ②f(-x)= f(x) ?f(x)-f(-x)=0;或f(-x)=f(x) ? ) () (x f x f -=1 (f(x)≠0)

人教版 数学 必修1函数的基本性质 教案

课程标题 函数的基本性质 学习目标（1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应 用函数的基本性质解决一些问题。 （2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法． （3）了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。 重点与难点 （1）判断或证明函数的单调性； （2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。 学习过程 一、 函数的单调性 1．单调函数的定义 （1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。 （2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。 （3）单调性：如果函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做()y f x =的单调区间。 2、单调性的判定方法 （1）定义法： 判断下列函数的单调区间：2 1x y = （2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。 （3）复合函数的单调性的判断： 设)(x f y =，)(x g u =，],[b a x ∈，],[n m u ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在] ,[b a 上也是单调函数。 ①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。 ②若)(x f y =是[,]m n 上的减函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相 同。 即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的 单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 练习：（1）函数2 4x y -= 的单调递减区间是 ，单调递增区间 为 ．

高一数学教案：函数的基本性质

教学要求：理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念，掌握增（减）函数的证明和判别, 学会运用函数图象理解和研究函数的性质。 教学重点：掌握运用定义或图象进行函数的单调性的证明和判别。 教学难点：理解概念。 教学过程： 一、复习准备： 1.引言：函数是描述事物运动变化规律的数学模型，那么能否发现变化中保持不变的特征呢？ 2. 观察下列各个函数的图象，并探讨下列变化规律： ①随x 的增大，y 的值有什么变化？ ②能否看出函数的最大、最小值？ ③函数图象是否具有某种对称性？ 3. 画出函数f(x)= x ＋2、f(x)= x 2的图像。（小结描点 法的步骤：列表→描点→连线） 二、讲授新课： 1.教学增函数、减函数、单调性、单调区间等概念： ①根据f(x)＝3x ＋2、 f(x)＝x 2 (x>0)的图象进行讨论： 随x 的增大，函数值怎样变化？ 当x 1>x 2时，f(x 1)与f(x 2)的大小关系怎样？ ②.一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质？ ③定义增函数：设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1

高中数学1.3函数的基本性质教案新人教版必修1

函数的奇偶性教学设计 一、教材分析： 函数的奇偶性选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1》B版第二章第一节函数的第四小节，安排为一课时。 从在教材中的地位与作用来看，函数是高中数学学习中的重点和难点，函数的思想贯穿整个高中数学。而函数的奇偶性是函数的重要性质之一，它与现实生活中的对称性密切联系，为接下来学习指数函数、对数函数和幂函数以及三角函数的性质奠定了坚实的基础。奇偶性的教学无论是在知识还是在能力方面对学生的教育起着非常重要的作用,因此本节课充满着数学方法论的渗透教育,同时又是数学美的集中体现。因此，本节课的内容是十分重要的。 二、概念解析 纵观中学数学的函数体系，函数的知识网络象一棵大树：函数的概念是“根”，函数的性质是“干”，函数的重要命题以及基本函数则是树干上生出的主要枝杈。其中，奇函数与偶函数的性质，它们一方面相互对立，另一方面又相互依存，相互联系和相互贯通。注意到奇函数与偶函数“本是同根生”的关系，由偶函数性质引出的命题，与由奇函数性质引出的相应的命题，在具有鲜明个性的同时，又会“具有惊人的相似之处”。认知函数奇偶性的本质，揭示函数图象的对称性与函数之间的联系，审题时便会目光犀利，入骨三分；解题时自然转换灵活，得心应手。 三、学情分析 知识结构：学生已经学习过函数、轴对称和中心对称等知识；经历了单调性的定义的 形成过程； 学生已经学习过了函数单调性的知识，对函数的增减性与图象和解析式只间的关系有了一定认识。 能力结构：通过对函数单调性的学习，学生已经具备了一定的图象分析能力，抽象归纳的能力和语言转换能力。 学生特点：所教班级为昌平三中高一5、6班学生，大多数学生的知识基础比较薄弱，具有一定的观察能力，但抽象归纳能力、逻辑思维能力、计算能力以及语言互化能力等比较欠缺。 四、教学目标及重难点 （一）教学目标 1.知识与技能目标： 通过本节课，使学生从数和形两方面理解奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法； 2. 过程与方法目标： 通过实例观察、具体函数分析、数形结合、定性与定量的转换，让学生经历函数奇偶性概念建立的全过程，体验数学概念学习的方法，积累数学学习的经验。 3.情感态度与价值观目标： 在经历概念形成的过程中，培养学生归纳、概括的能力，使学生养成善于观察、用于探索的良好习惯和严谨的科学态度。 （二）重难点 1.重点：函数奇偶性概念的形成和函数奇偶性的判断。 2.难点：形成函数奇偶性概念的过程中，如何从图象对称的直观认识过渡到函数奇偶性的数学符号语言表述。理解函数奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法。 五、教学方式、教学手段 1．教学方式

人教版高中数学必修一《集合与函数概念》之《函数的基本性质》教案设计

函数的基本性质 教学目标 1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应用函数的基本性质解决一些问题。 （2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法． （3）了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。 重点与难点 （1）判断或证明函数的单调性； （2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。 教学过程 一、 函数的单调性 1．单调函数的定义 （1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。 （2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当 1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。 （3）单调性：如果函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数 ()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做()y f x =的单调区间。 2、单调性的判定方法 （1）定义法： 判断下列函数的单调区间：2 1x y = （2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。 （3）复合函数的单调性的判断：

设)(x f y =，)(x g u =，],[b a x ∈，],[n m u ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在 ],[b a 上也是单调函数。 ①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。 ②若)(x f y =是[,]m n 上的减函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。 即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的 单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 练习：（1）函数24x y -=的单调递减区间是 ，单调递增区间 为 ． （2）5 412 +-= x x y 的单调递增区间为 ． 3、函数单调性应注意的问题： ①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)． ③函数在定义域内的两个区间A ,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数 4．例题分析 证明：函数1 ()f x x = 在(0,)+∞上是减函数。 证明：设任意1x ，2x ∈（0，+∞）且12x x <， 则21 121212 11()()x x f x f x x x x x --= -=， 由1x ，2x ∈（0，+∞），得120x x >，又12x x <，得210x x ->， ∴12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >

高中数学《函数的基本性质-奇偶性》教案2 新人教A版必修1

1．3函数的基本性质-----奇偶性 （一）教学目标 1．知识与技能： 使学生理解奇函数、偶函数的概念，学会运用定义判断函数的奇偶性. 2．过程与方法： 通过设置问题情境培养学生判断、推断的能力. 3．情感、态度与价值观： 通过绘制和展示优美的函数图象来陶冶学生的情操. 通过组织学生分组讨论，培养学生主动交流的合作精神，使学生学会认识事物的特殊性和一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质. （二）教学重点与难点 重点：函数的奇偶性的概念；难点：函数奇偶性的判断. （三）教学方法 应用观察、归纳、启发探究相结合的教学方法，通过设置问题引导学生观察分析归纳，形成概念，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得对函数奇偶性的全面的体验和理解. 对于奇偶性的应用采取讲练结合的方式进行处理，使学生边学边练，及时巩固. （四）教学过程 一．复习与回顾 1、在初中学习的轴对称图形和中心对称图形的定义是什么？ 2、要求学生同桌两人分别画出函数f (x) =x3与g (x) = x2的图象. 3、多媒体屏幕上展示函数f (x) =x3和函数g (x) = x2的图象，并让学生分别求出x =±3，x =±2， x =±1 ，…的函数值，同时令两个函数图象上对应的点在两个函数图象上闪现，让学生发现两个函 2 数的对称性反映到函数值上具有的特性：f (–x) = –f (x)，g (–x) = g (x). 然后通过解析式给出证明，进一步说明这两个特性对定义域内的任意一个x都成立. 二．新课讲授 1、奇函数、偶函数的定义： 奇函数：设函数y = f (x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有f (–x) = –f (x)，则这个函数叫奇函数. 偶函数：设函数y = g (x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有g (–x) = g (x)，则这个函数叫做偶函数. 问题1：奇函数、偶函数的定义中有“任意”二字，说明函数的奇偶性是怎样的一个性质？与单调性有何区别？ 强调定义中“任意”二字，说明函数的奇偶性在定义域上的一个整体性质，它不同于函数的单调性. 问题2：–x与x在几何上有何关系？具有奇偶性的函数的定义域有何特征？ 奇函数与偶函数的定义域的特征是关于原点对称. 问题3：结合函数f (x) =x3的图象回答以下问题： （1）对于任意一个奇函数f (x)，图象上的点P (x，f (x))关于原点对称点P′的坐标是什么？ 点P′是否也在函数f (x)的图象上？由此可得到怎样的结论. （2）如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，能否判断它的奇偶性？ 2、奇函数与偶函数图象的对称性： 如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象以坐标原点为对称中心的中心对称图形. 反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. 如果一个函数是偶函数，则它的图形是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 3、举例分析

高中必修第一册《3.2 函数的基本性质》优质课教案教学设计

3.2.1 单调性与最大（小）值 《函数的单调性与最大（小）值}》系人教A版高中数学必修第一册第三章第二节的内容,本节包括函数的单调性的定义与判断及其证明、函数最大（小）值的求法。在初中学习函数时,借助图像的直观性研究了一些函数的增减性,这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一,函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延续,它和后面的函数奇偶性,合称为函数的简单性质,是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础;在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问需用到函数的单调性;同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的救开结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。 A.理解增函数、减函数、单调区间、单调 性概念； B.掌握增（减）函数的证明与判断； C.能利用单调性求函数的最大（小）值； D.学会运用函数图象理解和研究函数的性 质； 1.教学重点：函数单调性的概念，函数的最值； 2.教学难点：证明函数的单调性，求函数的最值。多媒体

教学过程 教学设计意图 核心素养目标 一、情景引入 1. 观察这些函数图像，你能说说他们分别反映了相应函数的哪些特征吗？ 2、它们分别反映了相应函数有什么变化规律？ 二、探索新知 探究一 单调性 1、思考：如何利用函数解析式2 )(x x f =描述“随着x 的增大，相应的f(x)随着增大？” 【答案】图象在区间 ）+∞,0(上 逐渐上升， 在）+∞,0(内随着x 的增大，y 也增大。 对于区间）+∞,0(内任意21,x x ，当21x x <时， 都有)()(21x f x f <。这是，就说函数2 )(x x f =在区间 ）+∞,0(上是增函数. 2、你能类似地描述2 )(x x f =在区间)0,(-∞上是减函数吗？ 【答案】在区间)0,(-∞内任取21,x x ，得到2 11)(x x f =，2 22)(x x f = ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >。这时，我们就说函数 通过观察函数的图象，观察函数的变化规律，引入本节新课。提高学生概括、推理的能力。 通过思考，观察 函数的图象，学生归纳随着x 的变化，相应的f(x)也随着变化，提高学生的解决问题、分析问题的能力。

函数的基本性质教案

我的函数的基本性质教案 1. .函数的单调性 (1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->? []b a x f x x x f x f ,)(0) ()(2 121在?>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 注：如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数;如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数. 2. 奇偶函数的图象特征 函数奇偶性的判定 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 注：若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+. 注：对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2b a x += ;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2 b a x +=对称. 注：若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2 (a 对称;若 )()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数. 3. 多项式函数1 10()n n n n P x a x a x a --=++ +的奇偶性 多项式函数()P x 是奇函数?()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数?()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性 (1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ?+=- (2)()f a x f x ?-=. (2)函数()y f x =的图象关于直线2 a b x += 对称()()f a mx f b mx ?+=- ()()f a b mx f mx ?+-=. 4. 两个函数图象的对称性 (1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m += 对称.

2019-2020年高中数学《函数的基本性质》教案2 新人教A版必修1

2019-2020年高中数学《函数的基本性质》教案2 新人教A 版必修1 教学目的：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义； （2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质； （3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性． 教学重点：函数的单调性及其几何意义． 教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性． 教学过程： 一、引入课题 1． 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： ○ 1 随x 的增大，y 的值有什么变化？ ○ 2 能否看出函数的最大、最小值？ ○ 3 函数图象是否具有某种对称性？ 2． 画出下列函数的图象，观察其变化规律： 1． f(x) = x ○ 1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ． 2．f(x) = -2x+1 ○ 1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ． 3．f(x) = x 2 ○ 1在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ． ○ 2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ． 二、新课教学 （一）函数单调性定义 1．增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1

必修一 函数的基本性质 教案

必修一 1．3 函数的基本性质 教案 1．3．1 单调性与最大（小）值 1、 引入 观察如下函数图象，说说它们的图象是单调上升，还是单调下降，有没有最大值或最小值。 P27 2、 研究函数单调性 函数图象的单调上升或是单调下降，我们统称为这是函数的单调性。那么我们怎样研究判断函数的单调性？ 首先，研究一次函数)(x f =x 和二次函数)(x f =2x 的单调性。P27 如图所示 由图，可观察到函数)(x f =x 的图象由左到右是上升的；而函数)(x f =2x 的图象在对称轴左侧是下降的，在对称轴右侧是上升的。所说的图象“上升”或“下降”反映的就是函数的单调性，那么，如何描述函数图象的“上升”“下降”呢？ 以二次函数)(x f =2x 为例，结合图象，不难发现，图象在对称轴左侧是“下降”的，也就是在区间（∞-，0]内，随着x 的增大，相应的)(x f （即y 值）反而减小；相反地，在对称轴的右侧图象是“上升”的，也就是在区间(]∞+，0内，随着x 的增大，相应的)(x f （即y 值）也随着增大。 那么该如何去描述“在区间(]∞+，0内， 随着x 的增大，相应的)(x f （即y 值）也随着增大”？ 描述如下：在区间(]∞+，0内，任取两个21,x x ，并且21x x <，得到)(1x f =21x ，)(2x f =22x ，有)(1x f <)(2x f ，这时，我们就说函数)(x f =2 x 在区间(]∞+，0上是增函数。 3、 增函数、减函数的定义 一般地，设函数)(x f 的定义域为I ： 如果对于定义域I 内某个区间D 上任取的两个值21,x x ，当21x x <时，都有)(1x f <)(2x f ，那么就说函数)(x f 在区间D 上是增函数。这时区间D 就叫单调增区间。 相反地，如果对于定义域I 内某个区间D 上任取的两个值21,x x ，当21x x <时，都有)(1x f >)(2x f ，那么就说函数)(x f 在区间D 上是减函数。这时区间D 就叫单调减区间。 4、 例题 P29 例1 例2 巩固练习 P32 练习1，2，3，4 1、已知函数f (x )=2x 2 -mx +3，当()2,x ∈-+∞时是增函数，当(),2x ∈-∞-时是减函数，则f (1)等于 （ ） A ．-3 B ．13 C ．7 D ．含有m 的变量 2、如果函数f (x )＝ax 2 ＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是

人教版_数学_必修1函数的基本性质_教案

31-ξ函数的基本性质 学习目标（1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应 用函数的基本性质解决一些问题。 （2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法． （3）了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。 重点与难点 （1）判断或证明函数的单调性； （2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。 学习过程 一、 函数的单调性 1．单调函数的定义 （1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。 （2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。 （3）单调性：如果函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做()y f x =的单调区间。 2、单调性的判定方法 （1）定义法： 判断下列函数的单调区间：2 1x y = （2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。 （3）复合函数的单调性的判断： 设)(x f y =，)(x g u =，],[b a x ∈，],[n m u ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在] ,[b a 上也是单调函数。 ①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。 ②若)(x f y =是[,]m n 上的减函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。 即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的 单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 练习：（1）函数24x y -= 的单调递减区间是 ，单调递增区间

函数的基本性质(教案)

［课題h第一章集合与函数概念函数的基本性质 主备人：高一数学备课组陈伟坚编写时间：2013年9月30日使用班级（21）（22）计划上课时间：2013-2014学年第一学期第6 周星期一至三（四至六月考） ［课标.大纲.考纲内容］: 【教材与学情分析】 学生在初中已学过一次函数、二次函数、反比例函数的图象与性质，通过这些基本初等函数引入函数的单调性和最值，学生还是容易接受的，但很多学生的二次函数的性质还不过关，需要如强。学生的阅读理解能力还是较弱，教师需要引导学生对函数的单调性、奇偶性的定艾理解透彻。 ［教学目标］: ［教学重难点］: 1、重点：理解函数的单调性.最大（小）值及其几何意义；求函数的单调区间和最值；奇偶性 的定艾，判定函数的奇偶性的方法；运用函数图象理解和研究函数的性质。 2、难点：运用函数图象理解函数单调性和奇偶性的定艾，研究基本函数的单调性和奇偶性。 ［课的类型.教具.教法、教时］:

第1课时1.3.1单调性与最大(小)值(1)【教学目标】 1. 运用已学过的函数特别是二次函数的图象，理解函数的单调性的定狡及其几何意爻； 2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 3. 会用定艾证明函数的单调性 【教学重难点】 教学重点：理解函数的单调性的含狡及其几何意艾. 教学难点：用定爻证明函数的单调性. 【教学过程】 一、引入课題 1. 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： O能否看出函数的最大、灵小值 2. 画出下列函数的图象，观察其变化规律： 1 ? f (x) = X O从左至右图象上升还是下降___________ O在区间 ______________ 上，随着X的增 大，f(x)的值随着____________ ? O必须是对于区间D内的任意两个自变量的值Xχ X2:当 ×1<×2时，总有f（Xi）

函数的基本性质教案

函数的基本性质复习 教学目标： 函数的三个基本性质：单调性，奇偶性，周期性 教学过程 一、单调性 1．定义：对于函数)(x f y =，对于定义域内的自变量的任意两个值21,x x ，当 21x x <时， 都有))()()(()(2121x f x f x f x f ><或，那么就说函数)(x f y =在这个区间上是增（或减）函数。 2．证明方法和步骤： （1） 设元：设21,x x 是给定区间上任意两个值，且21x x <； （2） 作差：)()(21x f x f -； （3） 变形：（如因式分解、配方等）； （4） 定号：即0)()(0)()(2121<->-x f x f x f x f 或； （5） 根据定义下结论。 3．二次函数的单调性：对函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a ， 当0>a 时函数)(x f 在对称轴a b x 2- =的左侧单调减小，右侧单调增加； 当0

4．复合函数的单调性：复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表： 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”。 例：函数322-+= x x y 的单调减区间是 （ ） A.]3,(--∞ B.),1[+∞- C.]1,(--∞ D.),1[+∞ 5．函数的单调性的应用： 判断函数)(x f y =的单调性；比较大小；解不等式；求最值（值域）。 例1：奇函数)(x f 在定义域)1,1(-上为减函数，且满足0)1()1(2<-+-a f a f ，求实数a 的取值范围。 例2：已知)(x f 是定义在()+∞,0上的增函数，，且1)2(=f ，)()()(y f x f xy f +=， （1）求)4(),1(f f ；（2）满足)3(2)(--≤x f x f 的实数x 的范围。

函数的基本性质教案1

必修一导学案 学科：数学 编号：11 编写人:朱亮： 审核人： 使用时间： 班级 姓名： 小组序号： 组长评价： 教师评价 课题：函数的单调性（第1课时） 【学习目标】 1、能记住函数单调性的概念,能说出简单函数单调区间 2、会运用函数单调性定义,会解决用定义法证明函数的单调性； 3、体验单调性求参数取值范围等相关问题 【学习重点与难点】 1、教学重点：函数单调性的概念、判断及证明。 2、教学难点：函数的单调性的判断 【使用说明与学法指导】 1、带着预习案中问题导学中的问题自主设计预习提纲，通读教材27--29页内容，阅读37资料,作好必要的标注和笔记。 2、认真完成基础知识梳理，在“我的疑惑”处填上自己不懂的知识点，在“我的收获”处填写自己对本课自主学习的知识及方法收获。 3、熟记基础知识梳理中的重点知识。 预习案 一、问题导学 1、画函数图像的步骤是什么？ 2.如何利用解析式描述“随着x 的增大，相应的函数f(x)随之增大（或减小）”？ 3.单调区间有多个时，区间之间用什么相连？ 4.定义法证明函数单调性是要注意什么 二、知识梳理 1.增函数的概念:一般地，设函数f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当 时，都有 ，那么就说函数f(x)在 上是增函数，区间D 叫做函数的 。 2、减函数的感念:一般地，设函数f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当 时，都有 ，那么就说函数f(x)在 上是减函数.，区间D 叫做函数的 。 3、如果一个函数在某个区间上是 或 那么就说这个函数在区间D 上具有（严格的）单调性，区间D 叫做这个函数的 。 三、预习自测 1、二次函数2()(-2)1f x x =-的单调增区间是 。 2、函数2()f x x =的单调减区间是 。 3、若()f x 在R 上是增函数，且12()()f x f x >，则12x x ，的大小关系为 4、函数32)(2--=x x x f 的单调增区间是 。