解读角动量守恒

开普勒定律的推导及应用

开普勒定律的推导及应用 江苏南京师范大学物科院王勇江苏海安曲塘中学周延怀 随着人类航天技术的飞速发展和我国嫦娥绕月卫星的发射成功，以天体运动为载体的问题将成为今后考查热点。在现行的高中物理教材中主要引用了开普勒三大定律来描述了天体的运动的规律，这三条定律的主要内容如下： （1）所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上。 （2）对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。 （3）所有行星的轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值。 至于行星绕太阳的轨道为何是椭圆以及中的常量C与那些量相关并无说明。为了更深入的理解天体和人造卫星的运行规律，本文将以椭圆的性质为基础从理论上推导开普勒定律。 一、开普勒第一定律 1．地球运行的特点 （1）由于地球始终绕太阳运动，则太阳对地球的万有引力的力矩始终为零，所以地球在运动过程中角动量守恒。 （2）若把太阳与地球当作一个系统，由于万有引力为保守力且无外力作用在这个系统上，所以系统机械能守恒。 2．地球运行轨迹分析 地球在有心力场中作平面运动且万有引力的作用线始终通过太阳，所以建立如图所示的极坐标系，则P点坐标为(r，θ)。 若太阳质量为M，地球质量为m，极径为r时地球运行的运行速度为v。 当地球的运行速度与极径r垂直时，则地球运行过程中的角动量（1） 若取无穷远处为引力势能的零参考点，则引力势能，地球在运行过程中的机械能（2） （1）式代入（2）式得：（3）

由式（3）得：（4） 由式（4）可知，当地球的运行速度与极径r垂直时，地球运行的极径r有两解，由于初始假设地球的运行速度与极径垂直，所以r为地球处在近日点和远日点距太阳的距离。考 虑到地球的这两个位置在极坐标系中分别相当于和，可把式（4）中的号改写为更普遍的形式极坐标方程。 则地球的运行轨迹方程为（5） （5）式与圆锥曲线的极坐标方程吻合，其中（p为 决定圆锥曲线的开口），（e为偏心率，决定运行轨迹的形状），所以地球的运行轨迹为圆锥曲线。由于地球绕太阳运动时E<0，则圆锥曲线的偏心率，所 以地球绕太阳运行的轨迹为椭圆。 3．人造星体的变轨 由于运载火箭发射能力的局限，人造星体往往不能直接由火箭送入最终运行的空间轨道，若要使人造星体到达预定的轨道，要在地面跟踪测控网的跟踪测控下，选择合适时机向卫星上的发动机发出点火指令使人造星体的速度增加（机械能增加），进而达到改变卫星运行轨 道的目的。如图所示最初人造星体直接由火箭送入近地轨道1，此时，偏 心率e=0，人造星体运行的轨迹为圆；当到达A点时，人造星体发动机点火，此时

角动量守恒定理及其应用

角动量守恒定理及其应用

角动量守恒定理及其应用 摘要:角动量这一概念是经典物理学里面的重要组成部分，角动量的研究主要是对于物体的转动方面，并且可以延伸到量子力学以、原子物理及天体物理等方面。角动量这一概念范畴系统的介绍的力矩、角速度、角加速度的概念，并且统筹的联系到质点系、质心系、对称性等概念。 关键词:角动量；力矩；角动量守恒；矢量；转动；应用 Angular momentum conservation theorems and their application Abstract:Angular momentum to the concept of classical physics there is an important component of angular momentum of research mainly for the rotation, and may extend to the quantum mechanics and physical and in the astrophysical. angular momentum in the categorical system of the present moment, the angular velocity, the concepts of angular acceleration and co-ordination of the particle, the quality of heart, symmetry, and concepts. Key words:Angular momentum;Torque; Conservation of angular momentum; Vector; Turn; application. 引言 在研究物体运动时,人们经常可以遇到质点或质点系绕某一定点或轴线运动的 情况。例如太阳系中行星绕太阳的公转、月球绕地球的运转、物体绕某一定轴的转动等,在这类运动中,运动物体速度的大小和方向都在不断变化,因而其动量也在不 断变化。在行星绕日运动中,行星受指向太阳的向心力作用,其运动满足角动量守恒。我们很难用动量和动量守恒定律揭示这类运动的规律,但是引入角动量和角动量守 恒定律后,则可较为简单地描述这类运动。 角动量可从另一侧面反映物体运动的规律。事实上,角动量不但能描述宏观物体的运动,而且在近代物理理论中,角动量对于表征状态也必不可少。角动量守恒定律在经典物理学、运动生物学、航空航天技术等领域中的应用非常广泛。角动量在20

角动量不守恒的证明

大统一（243） 理论探索 质点系动量不守恒、角动量不守恒的证明 质点系动量不守恒、角动量不守恒的证明（2） 质点系动量不守恒、角动量不守恒的证明 原创作者 马天平（地址 新郑市） (2015-03-07) 假设质量m2的人，伸开一只手拿着质量m1的铁球静止在自由空间（或者惯性系S），当人横向推铁球，人和铁球组成的系统，会遵守角动量守恒定律和动量守恒定律吗？ 如图1（人推铁球）。（其中人的图片来源于网络上的截图）。 分析: 1、 在惯性系S系中，系统的初始角动量为零、初始动量为零。 M初=0 合外力=0 2、 如图1（人推铁球），在惯性系S系中（或者以惯性系S原点为参照），假设手给铁球（的质心）推力F1，则手受到反作用力F2=-F1， 根据平行轴定理，把手受到的力F2平移到人的两肩中点c2为F3，则F3﹤-F2， 然后再次把F2平移到人的质心c3为F4，则F4﹤F3 所以，F4﹤-F1、F4≠ -F1 根据平行轴定理，把手受到的力F2，平移到人的质心c3为力F4，则

F4﹤-F1 所以， F4+F1 ≠0 因此，在惯性系S系中，人推铁球，使系统的内力矢量和不等于零，说明质点系的运动定理不成立。 3、 由于动量守恒定律来源于牛顿第三定律，所以，根据，F4﹤-F1、F4+F1 ≠0，说明系统违反动量守恒定律。系统违反动量守恒定律，说明质点系的运动定理不成立。 4、 如图1（人推铁球），以惯性系S原点为参照，铁球的质心（或者m1）受到推力F1，人的质心（或者m2）受受到力F4，假设作用时间为t， 由于F4≠ -F1，所以， F4×t ≠ -F1×t 所以 F4×t + F1×t ≠ 0 F4×t + F1×t ≠ M初 因此，系统违反动量守恒定律。 5、 在惯性系S系中，以惯性系S原点为参照点，如图1（人推铁球），显然，矢径r4的大小小于矢径 r1的大小。 由于F4﹤-F1 ，r4的大小小于 r1的大小。 所以， F4×r4 ≠-F1×r1 因此，人的质心受到的力矩，与铁球质心受到的力矩，矢量和不为零。 所以，系统受到的力矩矢量和不为零，违反质点系的角动量守恒定律、违反反质点系的角动量定理。 结论： 内力力矩可以改变系统的角动量和动量。 质点系的角动量守恒定律存在例外、质点系的动量守恒定律存在例外、质点系的角动量定理存在例外、质点系的动量定理存在例外、质点系的动量矩守恒定律存在例外、质点系的运动定理存在例外。 00000000000000000========= 质点系动量不守恒、角动量不守恒的证明（2） 原创作者 马天平（地址 新郑市） (2015-03-07) （根据2015-02-20的文章“证明角动量不守恒”改编） 假设质量分别为m1=m2 的A和B两个人静止在自由空间，A的一只手抓着B的肩部，A 和B组成系统，系统质心的初始位置为C（作为参考点C），从某时刻开始，A横向的推B、或

精选讲义-角动量守恒定律

第四章角动量守恒定律 基本要求： 1. 明确力矩的物理涵义，掌握力矩的一般定义，并能从力矩的一般定义中得出力对某轴的力矩的表达式； 2. 掌握质点的角动量的物理涵义，能熟练地推导在一般情况下的质点角动量定理，以及对轴的角动量定理； 3. 理解角动量守恒定律的物理内容和定律的适用条件，并能运用这个定律解释有关现象。 §4-1力矩 一、力矩的一般意义 1、引入对于一个静止的质点来说, 当它受到力的作用时，将开始运动；但对于物体的转动而言, 当它受到外力作用时, 可能转动, 也可能不转动, 这决定于此外力是否产生力矩。外力产生力矩，物体就转动, 不产生力矩，物体则不转动。所以, 力矩对物体转动所起的作用, 与力对质点运动所起的作用是类似的。 2、定义在一般意义上，力矩是对某一参考点而 言的。如果质点p在坐标系o-xyz中的位置矢量是r (见 图4-1), 那么作用于质点的力f相对于参考点o所产生 的力矩，就定义为 (4-1) 显然，m必定垂直于由矢量r和f所决定的平面, m的指向应由右手定则确定：右手的四指由r的方向经小于 π的角转向f的方向，伸直的拇指所指的方向就是力矩m的方向。m的大小等于以r和f为邻边的平行四边形的面积，即 (4-2) 式中θ是r与f之间的夹角。 在国际单位制中，力矩的单位是n ? m (牛顿?米)。 3、合力情况合力对某参考点o的力矩等于各分力对同一点力矩的矢量之和：由力矩的定义式(4-1)可以看到, 力矩m与质点的位置矢量r有关, 也就是与参考点o的选取有关。对于同样的作用力f, 选择不同的参考点, 力矩m的大小和方向都会不同。为了表示力矩m是相对于参考点o的, 所以一般在画图时总是把力矩m画在参考点o 上, 而不是画在质点p上, 如图4-1所表示的那样。 如果作用于质点上的力f是多个力的合力, 即 f = f1+ f2 + …+ f n , 代入式(4-1)中, 得 =r?f1+ r?f2+ … + r?f n= m1+ m2 + … + m n(4-3) 这表示, 合力对某参考点o的力矩等于各分力对同一点力矩的矢量之和。 二、力对轴的力矩 1、引入我们日常所见到的转动很多是绕某转轴进行的, 如门绕门轴的转动, 风扇叶片绕转轴的转动, 螺帽绕螺杆的转动等。在这种情况下, 对转动起作用的力矩只是力矩矢量沿转轴的分量, 若把转轴定为z轴, 则是力矩沿z轴的分量m z。 2、定义在以参考点o为原点的直角坐标系中, 将力矩矢量m表示为 m = m x i + m y j + m z k ,

角动量守恒定律演示教学

第四章 角动量守恒定律 4-1 质量为1.0 kg 的质点沿着由 ()34323r t i t t j =+-r r r 决定的曲线运动，其中t 是时间，单位为s ，r r 的单位为m 。求此质点在 t = 1.0 s 时所受的相对坐标原点O 的力矩。 解：()34323t i t t j γ=+-r r r Q ()232649d r v t i t t j dt ∴==+-r r r r ()()34323223649l mv t i t t j m t i t t j γ????=?=+-?+-????r r r r r r r ()()34234324963m t t t k t t t k ??=---??r r () 666862m t t k t mk =-=r r 551212dl M t mk t k dt ===r u u r r r ()0.1m kg = 1.012.0t s M N m ==u u r g 当时： 方向沿z 轴方向 12.0kN m =r r g 或： M 4-2 质量为1.0 kg 的质点在力()()2332F t i t j =-+-u r r r 的作用下运动，其中t 是时间，单位为s ，F 的 单位是N ，质点在t = 0 时位于坐标原点，且速度等于零。求此质点在 t = 2.0 s 时所受的相对坐标原点O 的力矩。 解：由牛顿第二定律： dv F m dt =r u r ()()000112332v t t dv F dt t i t j dt m m ??∴=?=-+-?????r u r r r 解得：()223322mv t t i t t j ??=-+- ??? r r r 而：d r v dt =r r ()()32320111312332322t r t i t j dt t t i t t j m m ????????∴=-+-=-+- ? ??????????? ?r r r r r

角动量守恒定律教学文案

角动量守恒定律

第四章 角动量守恒定律 4-1 质量为1.0 kg 的质点沿着由 ()34323r t i t t j =+-r r r 决定的曲线运动，其中t 是时间，单位为s ，r r 的单位为m 。求此质点在 t = 1.0 s 时所受的相对坐标原点O 的力矩。 解：()34323t i t t j γ=+-r r r Q ()232649d r v t i t t j dt ∴==+-r r r r ()()34323223649l mv t i t t j m t i t t j γ????=?=+-?+-????r r r r r r r ()()34234324963m t t t k t t t k ??=---??r r () 666862m t t k t mk =-=r r 551212dl M t mk t k dt ===r u u r r r ()0.1m kg = 1.012.0t s M N m ==u u r g 当时： 方向沿z 轴方向 12.0kN m =r r g 或： M 4-2 质量为1.0 kg 的质点在力()()2332F t i t j =-+-u r r r 的作用下运动，其中t 是时间，单位为s ，F 的单位是N ，质点在t = 0 时位于坐标原点，且速度等于零。求此质点在 t = 2.0 s 时所受的相对坐标原点O 的力矩。 解：由牛顿第二定律： dv F m dt =r u r ()()000112332v t t dv F dt t i t j dt m m ??∴=?=-+-?????r u r r r 解得：()223322mv t t i t t j ??=-+- ??? r r r 而：d r v dt =r r ()()32320111312332322t r t i t j dt t t i t t j m m ????????∴=-+-=-+- ? ??????????? ?r r r r r

第五节 角动量角动量守恒定理

第五章角动量角动量守恒定理 本章结构框图 学习指导 本章概念和内容是中学没有接触过的，是大学物理教学的重点和难点。许多同学容易将平动问题与转动问题中的概念和规律混淆，例如两种冲击摆问题。建议采用类比方法，对质量与转动惯量、动量与角动量、力与力矩、冲量与角冲量、平动动能和转动动能、运动学的线量和角量、动量定理和角动量定理、动量守恒和角动量守恒……一一加以比较。本章的重点是刚体定轴转动问题，注意定轴条件下，各种规律都应该用标量式表示。还请注意动量守恒在天体问题、粒子问题中的应用。 基本要求 1.理解质点、质点系、定轴刚体的角动量概念。 2.理解定轴刚体的转动惯量概念，会进行简单计算。 3.理解力矩的物理意义, 会进行简单计算。 4.掌握刚体定轴转动定律，熟练进行有关计算。 5.理解角冲量（冲量矩）概念，掌握质点、质点系、定轴刚体的角动量定理， 熟练进行有关计算。

6.掌握角动量守恒的条件，熟练应用角动量守恒定律求解有关问题。 内容提要 1.基本概念 刚体对定轴的转动惯量：是描述刚体绕定轴转动时，其转动惯性大小的物理量。定义为刚体上每个质元（质点、线元、面元、体积元）的质量与该质元到转轴距离平方之积的总和。即： I的大小与刚体总质量、质量分布及转轴位置有关。 质点、质点系、定轴刚体的角动量：角动量也称动量矩，它量度物体的转动运动量，描述物体绕参考点（轴）旋转倾向的强弱。表5.1对质点、质点系、定轴刚体的角动量进行了比较。 表5.1质点、质点系和定轴刚体的角动量

力矩：力的作用点对参考点的位矢与力的矢积叫做力对该参考点的力矩（图5.1）： 即： 大小：（力×力臂）方向：垂直于决定的平面，其指向由右手定则确定。 对于力矩的概念应该注意明确以下问题： ?区分力对参考点的力矩和力对定轴的力矩：力对某轴的力矩是力对轴上任意一点的力矩在该轴上的投影。例如：某力对x、y、z轴的力矩就是该力对原点 的力矩在三个坐标轴上的投影： 由上可知：力对参考点的力矩是矢量，而力对定轴的力矩是代数量。 ?明确质点系内力矩的矢量和恒为零：由于内力总是成对出现，作用力和反 作用力等大、反向、在同一直线上，所以对任何参考点内力矩的矢量和恒为零。当然，对任意轴，内力矩的代数和也恒为零。 ?明确质点系的合外力矩不等于其外力矢量和的力矩：合外力矩为各外力对同一参考点的力矩的矢量和，即：。由于一般情况下，各外力的作 用点的位矢各不相同，所以不能先求合力，再求合力的力矩。但是存在特例：在求重力矩时，可以把系内各质点所受重力平移到质心C，先求出其合 力，再由得到重力的合力矩。

角动量守恒及其应用

角动量守恒及其应用 李泽林，过程装备与控制工程，10110902。 摘要：掌握角动量守恒定律，并通过习题深入分析其应用和注意事项。 关键词：刚体，角动量，转动惯量，惯性系。 在研究“质点或质点系绕某一定点或轴线运动”这类问题时，常常利用“角动量守恒定律”来处理此类问题。但是如何正确应用角动量定律解题尤为重要。本文通过对角动量守恒定律详细的推导，加深对定律的理解，以及通过习题来深入分析角动量守恒的正确应用。 1角动量守恒定律 1．1质点对参考点的角动量守恒定律 如图1所示，质点m 的动量为P ，相对于参考点O 的角动量为L ，其值 α sin p r L ?=，其中α是质 点的动量与质点相对参考点0的位置矢量r 的夹角。其角动量的变化量L ?等于外力的冲量矩t M ??（M 为外力对参 考点O 的力矩），即dt M dL ?=。若M=0，得L ?=0，即质点对参考点O 的角动量守恒。 1．2质点系对参考点的角动量守恒定律 由n 个质点组成的质点系，且处于惯性系中，可以推导出作 用于各质点诸力对参考点的外力矩的冲量t M i ??∑，仍等于质点系对该参考点的角动量的变化量，即 t M L i ??= ?∑。同样当 O m P α 图1 r ③ gh v 20=

∑i M时（即质点系的和外力矩为零），质点系对该参考点的角= 动量守恒。 1．3角动量守恒的判断 当外力对参考点的力矩为零， ∑i M时，质点或质点系对该参 即0= 考点的角动量守恒。有四种情况可 判断角动量守恒：①质点或质点系不受外力。②所有外力通过参考点。③每个外力的力矩不为零，但外力矩的矢量和为零。④内力对参考点的力矩远大于外力对参考点的合力矩，即内力矩对质点系内各质点运动的影响远超过外力矩的影响，角动量近似守恒。 2角动量守恒定律的应用 2.1开普勒第二定律，即行星对太阳的矢径在相等的时间间隔内扫过相等大小的面积 如图，设行星的质量为m，它相对太阳的位矢为r，速度为v，走过的路程为s。行星受到太阳对它的万有引力，方向沿着它和太

大学物理学第五章角动量角动量守恒定律习题

第5章角动量角动量守恒定律 一、本章总结 1.请总结角动量、角动量守恒定律一章的知识点。 2.请画出本章的知识脉络框图。 二、填空题 1. 如图所示，圆盘绕着与盘面垂直且过圆心O 的轴旋转， 轴固定且光滑，转动角速度为ω。这时，一对力偶沿着盘面作用在圆盘上（每个力大小为F ），圆盘的角速度 ω 。（填增大、减小或不能确定） 2. 一个立方体放在粗糙的水平地面上，其质量分布均匀，为50 kg ，边长为1m 。现用一水平拉力F 作用于立方体的定边中点。如果地面摩擦力足够大，立方体不会滑动，那么要使该立方体翻转90?，拉力F 至少为 。 3.一长为L 、质量为M 的均匀细棒，放在水平面上。通过 棒的端点O 有一垂直于水平面的光滑固定转轴，如图所示。一质量为m 、速率为v 的子弹在水平面内垂直射向 细棒，随后以速率v 2 1穿出，这时细棒的角速度 。 4. 刚体角动量守恒的充分而必要的条件是 。 5. 气候变暖造成地球两极的冰山融化，海平面因此上升。这种情况将使地球的转动惯量 ，自转角速度 ，角动量 ，自转动能 。（填变大、变小或不变） 三、推导题 6.试推导质量为m ，半径为R 的实心球体的转动惯量？（答：252 mR ） 四、计算和证明题 7.如图所示，一个质量均匀分布的梯子靠墙放置，和地面成θ角，下端A 处连接一个弹性系数为k 的弹簧。已知梯子的长度为l ，重量为W ，靠墙竖直放置时弹簧处于自然伸长，所有接触面均光滑。如果梯子处于平衡状态，求地面、墙面对梯子的作用力，以及W 、k 、l 和θ满足的关系。（答：W ；kl cos θ； O F F ω v ?21 v ? 俯视图

角动量守恒定理

角动量守恒定理 摘要:角动量这一概念是经典物理学里面的重要组成部分，角动量的研究主要是对于物体的转动方面，并且可以延伸到量子力学以、原子物理及天体物理等方面。角动量这一概念范畴系统的介绍的力矩、角速度、角加速度的概念，并且统筹的联系到质点系、质心系、对称性等概念。 关键词:角动量；力矩；角动量守恒；矢量；转动；应用 Angular momentum conservation theorems and their application Abstract:Angular momentum to the concept of classical physics there is an important component of angular momentum of research mainly for the rotation, and may extend to the quantum mechanics and physical and in the astrophysical. angular momentum in the categorical system of the present moment, the angular velocity, the concepts of angular acceleration and co-ordination of the particle, the quality of heart, symmetry, and concepts. Key words:Angular momentum;Torque; Conservation of angular momentum; Vector; Turn; application. 引言 在研究物体运动时,人们经常可以遇到质点或质点系绕某一定点或轴线运动的情况。例如太阳系中行星绕太阳的公转、月球绕地球的运转、物体绕某一定轴的转动等,在这类运动中,运动物体速度的大小和方向都在不断变化,因而其动量也在不断变化。在行星绕日运动中,行星受指向太阳的向心力作用,其运动满足角动量守恒。我们很难用动量和动量守恒定律揭示这类运动的规律,但是引入角动量和角动量守恒定律后,则可较为简单地描述这类运动。 角动量可从另一侧面反映物体运动的规律。事实上,角动量不但能描述宏观物体的运动,而且在近代物理理论中,角动量对于表征状态也必不可少。角动量守恒定律在经典物理学、运动生物学、航空航天技术等领域中的应用非常广泛。角动量在20世纪已成为继动量和能量之外的力学中的重要概念之一。

角动量守恒定理及其应用

角动量守恒定理及其应用摘要:角动量这一概念是经典物理学里面的重要组成部分，角动量的研究主要是对于物体的转动方面，并且可以延伸到量子力学以、原子物理及天体物理等方面。 关键词:角动量；力矩；角动量守恒；矢量；转动；应用 引言 在研究物体运动时,人们经常可以遇到质点或质点系绕某一定点或轴线运动的情况。例如太阳系中行星绕太阳的公转,在行星绕日运动中,行星受指向太阳的向心力作用,其运动满足角动量守恒 角动量可从另一侧面反映物体运动的规律。事实上,角动量不但能描述宏观物体的运动,而且在近代物理理论中,角动量对于表征状态也必不可少。 1.角动量的概念 刚体的转动惯量和角速度的乘积叫做刚体转动的角动量，或动量矩，单位千克二次方米每秒，符号kgm2/s。角动量是描述物体转动状态的物理量。 角动量是矢量。 角动量> F r F sin L, r = ? < r ? ? =F 角动量在量子力学中与角度是一对共轭物理量。 2.角动量守恒定理 在不受外界作用时，角动量是守恒的。角动量守恒是跟空间各项同性有关系的，也就是说空间的各个方向是没有区别的，这叫做物理定律的旋转不变性，由这种不变性，在理论上，可以得到角动量守恒。动量守恒是跟空间均匀性相关的，也就是说物理定律在各个地方是一样的，地球上的物理定律跟月亮上的物理定律是一样的，这叫做空间平移不变性，由空间平移不变性，可以从理论上推导出动量守恒。 3.角动量守恒定理的应用 角动量守恒定理在我们的现实生活中非常的常见，航海航天领域和人们平常所使用的工具器械，以及日常中见到的现象很多一部分都可以用角动量守恒定理来解释。

3.1平板球摆问题 有一光滑圆形平板A,在圆盘的中心O点出有一圆形小孔，小空中穿过一根细棉绳，绳的另一端系着一质量为m的小球，小球以速度v按逆时转动，用手拉住棉线的下端缓慢向下拉。我们会发现小球的线速度会逐渐增加。即对于小球有，半径r逐渐 r 为一定值，减小，速度v逐渐增加，通过实验计算我们可以得出对于以上系统有mv 即小球的角动量守恒。 结语 现对角动量守恒现象做了一些初步的介绍，我们了解到角动量守恒现象对于物理学及技术应用都有很大意义。推动角动量守恒现象的研究对于人类的发展极大的作用。 参考文献 [1]漆安慎,杜婵英.普通物理学教程力学[M].北京:高等教育出版社,2005.6～8. [2]王建峰.“角动量守恒”及其应用[J].物理教师,2007,28(4):34～36. [3]王志刚,张立换,徐建军.角动量理论在现代技术中的应用[J].现代物理知识,2006,32(7),10～12.