大统一（243）
理论探索
质点系动量不守恒、角动量不守恒的证明
质点系动量不守恒、角动量不守恒的证明（2）
质点系动量不守恒、角动量不守恒的证明
原创作者 马天平（地址 新郑市）
(2015-03-07)
假设质量m2的人，伸开一只手拿着质量m1的铁球静止在自由空间（或者惯性系S），当人横向推铁球，人和铁球组成的系统，会遵守角动量守恒定律和动量守恒定律吗？
如图1（人推铁球）。（其中人的图片来源于网络上的截图）。
分析:
1、
在惯性系S系中，系统的初始角动量为零、初始动量为零。
M初=0
合外力=0
2、
如图1（人推铁球），在惯性系S系中（或者以惯性系S原点为参照），假设手给铁球（的质心）推力F1，则手受到反作用力F2=-F1，
根据平行轴定理，把手受到的力F2平移到人的两肩中点c2为F3，则F3﹤-F2，
然后再次把F2平移到人的质心c3为F4，则F4﹤F3
所以，F4﹤-F1、F4≠ -F1
根据平行轴定理，把手受到的力F2，平移到人的质心c3为力F4，则
F4﹤-F1
所以，
F4+F1 ≠0
因此，在惯性系S系中，人推铁球，使系统的内力矢量和不等于零，说明质点系的运动定理不成立。
3、
由于动量守恒定律来源于牛顿第三定律，所以，根据，F4﹤-F1、F4+F1 ≠0，说明系统违反动量守恒定律。系统违反动量守恒定律，说明质点系的运动定理不成立。
4、
如图1（人推铁球），以惯性系S原点为参照，铁球的质心（或者m1）受到推力F1，人的质心（或者m2）受受到力F4，假设作用时间为t，
由于F4≠ -F1，所以，
F4×t ≠ -F1×t
所以
F4×t + F1×t ≠ 0
F4×t + F1×t ≠ M初
因此，系统违反动量守恒定律。
5、
在惯性系S系中，以惯性系S原点为参照点，如图1（人推铁球），显然，矢径r4的大小小于矢径 r1的大小。
由于F4﹤-F1 ，r4的大小小于 r1的大小。
所以，
F4×r4 ≠-F1×r1
因此，人的质心受到的力矩，与铁球质心受到的力矩，矢量和不为零。
所以，系统受到的力矩矢量和不为零，违反质点系的角动量守恒定律、违反反质点系的角动量定理。
结论：
内力力矩可以改变系统的角动量和动量。
质点系的角动量守恒定律存在例外、质点系的动量守恒定律存在例外、质点系的角动量定理存在例外、质点系的动量定理存在例外、质点系的动量矩守恒定律存在例外、质点系的运动定理存在例外。
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质点系动量不守恒、角动量不守恒的证明（2）
原创作者 马天平（地址 新郑市）
(2015-03-07)
（根据2015-02-20的文章“证明角动量不守恒”改编）
假设质量分别为m1=m2 的A和B两个人静止在自由空间，A的一只手抓着B的肩部，A 和B组成系统，系统质心的初始位置为C（作为参考点C），从某时刻开始，A横向的推B、或
者静止的A对B的肩部在z轴方向上施加一个推力F2。
（其中F2在B两个肩部的连线上，其中AB高度相同）。
显然，系统受到合外力为零、受到合外力力矩为零。
系统会遵守角动量守恒定律吗？
如图1（A推B），其中人的小图片来源于网络、引用于网络。其中，系统的质心初始位置为c点，系统在某时刻开始产生内力。
分析：
1、
对于C点或者惯性系原点O：
在初始状态，A和B静止，系统相对于C点的（初始）力矩M初为零、系统的初始角动量L初为零。
M初=0
L初=0
2、
对于C点或者惯性系原点O：
当A对于B的肩部在z轴方向上施加一个力F2，就会使A的手受到反作用力
F1= -F2
假设A的质心为c1,、受到的力为F1’， B的质心为c2,、受到的力为F2’。
根据根据平行轴定理，把B的肩部受到的力F2平移到B的质心，则
F2’﹤F2
由于AB高度相同、质量相同、F1= -F2，因此，根据平行轴定理，使A的手受到的力F1，经过两次平移以后的力F1’的大小，就会小于经过一次平移以后的力F2’。 使 F1’﹤-F2’
所以，对于C点或者惯性系原点O，F1’﹤-F2’，说明系统的内力矢量和不等于零，违反质点系的运动定理。
由于动量守恒定律来源于牛顿第三定律，所以，对于C点或者惯性系原点O，根据，F1’﹤-F2’，说明系统违反动量守恒定律。系统违反动量守恒定律，说明质点系的运动定理不成立。
3、
参考图1（A推B），对于参考点C点：
A的质心受到的力矩M1’= F1’×r1
B的质心受到的力矩M2’= F2’×r2
其中t为推力F2的时间。
显然，M1’和M2’的方向相同，因此
M1’+M2’ ≠0
所以，
M1’+M2’ ≠M初
所以，对于C点，系统受到的力矩矢量和不为零，违反质点系的角动量守恒定律、违反反质点系的角动量定理。
4、
对于C点或者惯性系原点O：
当A对于B的肩部在z轴方向上施加一个力F2，就会使A的手受到反作用力，使AB受到力矩而自转。
因此，B就会在yz平面中自转，A就会在xz平面逆时针自转，使AB的角速度不在一个平面，就会使A在xz平面的角动量不能被B的自转角动量抵消，使系统角动量L’不为零，使L’≠ L初。
因此，B就会在yz平面中绕与x轴平行的轴自转，A就会在xz平面绕与y轴平行的轴逆时针自转，使AB的角速度不在一个平面，使A绕与y轴平行的轴的自转角动量，不能被B绕与x 轴平行的轴的自转角动量抵消，使系统角动量L’不为零，使L’ ≠ L初。
所以，沿着y轴方向，质点系的角动量守恒定律不成立。
其中，A绕x轴的角动量，显然不能否定L’ ≠ L初。
其中，A绕x轴的角动量，不能否定系统在z轴上的角动量不守恒。
结论：
内力力矩可以改变系统的角动量和动量。
质点系的角动量守恒定律存在例外、质点系的动量守恒定律存在例外、质点系的角动量定理存在例外、质点系的动量定理存在例外、质点系的动量矩守恒定律存在例外、质点系的运动定理存在例外。
刚体的角动量及守恒定律 一、选择题 1、一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上，双臂水平地举二哑铃。在该人把此二哑 铃水平收缩到胸前的过程中，对于人、哑铃与转动平台组成的系统来说，正确的 是： 。 A.机械能守恒，角动量守恒； B.机械能守恒，角动量不守恒； C.机械能不守恒，角动量守恒； D.机械能不守恒，角动量不守恒； 2、 刚体角动量守恒的充分而必要的条件是 。 (A) 刚体不受外力矩的作用． (B) 刚体所受合外力矩为零． (C) 刚体所受的合外力和合外力矩均为零． (D) 刚体的转动惯量和角速度均保持不变． 3、一块方板，可以绕通过其一个水平边的光滑固定轴自由转动．最初板自由下垂．今 有一小团粘土，垂直板面撞击方板，并粘在板上．对粘土和方板系统，如果忽略空气阻力， 在碰撞中守恒的量是 。 (A) 动能． (B) 绕木板转轴的角动量． (C) 机械能． (D) 动量． 4、光滑的水平桌面上，有一长为2L 、质量为m 的匀质细 杆，可绕过其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴O 自由转动，其转动惯量为31mL 2，起初杆静止．桌面上有两个质量均为m 的小球，各自在垂直于杆的方向上，正对着杆的一端，以相同 速率v 相向运动，如图所示。当两小球同时与杆的两个端点发生完全非弹性碰撞后，就与 杆粘在一起转动，则这一系统碰撞后的转动角速度应为 。 (A) L 32v ． (B) L 54v ． (C) L 76v ． (D) L 98v ． (E) L 712v ． 5、如图所示，一匀质细杆可绕通过上端与杆垂直的水平光滑固定轴O 旋转，初始状态为静止悬挂．现有一个小球自左方水平打击细杆．设小球与细杆之间为非弹性碰撞，则在碰撞过程中对细杆与小球这一系统 。 (A) 只有机械能守恒． (B) 只有动量守恒． (C) 只有对转轴O 的角动量守恒． (D) 机械能、动量和角动量均守恒． 6、 质量为m 的小孩站在半径为R 的水平平台边缘上．平台可以绕通过其中心的竖直 光滑固定轴自由转动，转动惯量为J ．平台和小孩开始时均静止．当小孩突然以相对于地 面为v 的速率在台边缘沿逆时针转向走动时，则此平台相对地面旋转的角速度和旋转方向 分别为 。 (A) ??? ??=R J mR v 2ω，顺时针． (B) ?? ? ??=R J mR v 2ω，逆时针． (C) ??? ??+=R mR J mR v 22ω，顺时针． (D) ?? ? ??+=R mR J mR v 22ω，逆时针． 7、一水平圆盘可绕通过其中心的固定竖直轴转动，盘上站着一个人.把人和圆盘取作 系统，当此人在盘上随意走动时，若忽略轴的摩擦，此系统 。 (A) 动量守恒． (B) 机械能守恒． O v 俯视图
第四节 角动量守恒定律 一、角动量 1. 质点对定点的角动量 （1）v m r p r L ?=?= (力矩：F r M ?=) （2）说明：r 指质点相对于固定点O 的位置矢量；指质点的动量；v 指质点的速度 （3）大小：=L αsin rmv ， （4）方向：（右手法则）v r ?向 （5）单位：12-s kgm （6）量纲：12-T ML 2. 刚体对定轴的角动量 （将刚体分解为质点组）∑∑=???==????=???=ωI w r m L L w r m v r m L i i i oz i i i i i i 22 ω I L = 此式对质点也适用 3. 角动量定理： （1） 公式：dt dL dt I d dt d I I M ====)(ωωβ 或dL dt M =? （2）文字表述：刚体对某一给定转轴或点的角动量对时间的变化率等于刚体所受到的对同一转轴或点的和外力矩的大小。 （3）说明：dt M ?称冲量矩，表示力矩的时间积累效果，单位：牛·米·秒 若何外力矩M=0,则L=IW=恒量 4. 转动定律的普遍形式 dt dI dt d I dt L d M ωω +== 二、角动量守恒 1、角动量守恒的条件：质点所受相对于参考点的力矩的矢量和等于零；在有心 力作用下，质点相对于力心的角动量守恒。 2、应用：
例1：花样滑冰运动员的“旋”动作，当运动员旋转时伸臂时转动惯量较大，转速较慢；收臂时转动惯量减小，转速加快；再如：跳水运动员的“团身--展体”动作，当运动员跳水时团身，转动惯量较小，转速较快；在入水前展体，转动惯量增大，转速降低，垂直入水。 3、习题： 1．质点做直线运动时，其角动量( )（填一定或不一定）为零。 答案: 不一定 2．一质点做直线运动，在直线外任选一点O为参考点，若该质点做匀速直线运动，则它相对于点O的角动量( )常量；若该质点做匀加速直线运动，则它相对于点O的角动量( )常量，角动量的变化率( )常量。（三空均填是或不是）答案: 是; 不是; 是。 3．一质点做匀速圆周运动，在运动过程中，质点的动量( )，质点相对于圆心的角动量( )。（两空均填守恒或不守恒） 答案：不守恒；守恒。 4．一颗人造地球卫星的近地点高度为h 1 ,速率为υ 1 ，远地点高度为h 2, 已知地 球半径为R.求卫星在远地点时的速率υ 2.. 解：因为卫星所受地球引力的作用线通过地球中心，所以卫星对地球中心的角动量守恒。 根据角动量守恒定律得 r 1 mυ 1 = r 2 mυ 2 且r 1=R+ h 1 r 2 =R+ h 2 解得υ 2 =（R+ h 1 /R+ h 2 ）υ 1
第3单元 角动量守恒定律 序号 学号 姓名 专业、班级 一 选择题 [ A ]1．已知地球的质量为m ，太阳的质量为M ，地心与日心的距离为R ，引力常数为G ，则地球绕太阳作圆周运动的角动量为 (A) GMR m (B) R GMm (C) R G Mm (D) R GMm 2 [ C ]2． 关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是 (A) 只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位置无关。 (B) 取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关。 (C) 取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置 (D) 只取决于转轴的位置、与刚体的质量和质量的空间分布无关。 [ E ]3. 如图所示，有一个小块物体，置于一个光滑的水平桌面上，有一绳其一端连结此物体，另一端穿过桌面中心的小孔，该物体原以角速度ω在距孔为R 的圆周上转动，今将 绳从小孔缓慢往下拉，则物体 动能不变，动量改变。 动量不变，动能改变。 角动量不变，动量不变。 角动量改变，动量改变。 角动量不变，动能、动量都改变。 [ A ]4．均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示。今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖直位置的过程中，下述说法哪一种是正 确的? (A) 角速度从小到大，角加速度从大到小 ; (B) 角速度从小到大，角加速度从小到大 ; (C) 角速度从大到小，角加速度从大到小 ; (D) 角速度从大到小，角加速度从小到大 。 [ B ]5．两个均质圆盘A 和B 密度分别为A ρ和B ρ，若A ρ>B ρ，但两圆盘质量与厚度相
同，如两盘对通过盘心垂直于盘面轴的转动惯量各为A J 和B J ，则 (A) A J >B J (B) B J >A J (C) A J ＝B J (D) A J 、B J 哪个大，不能确定 [ A ]6．有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上： (1) 这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零； (2) 这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零； (3) 当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零； (4) 当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零。 在上述说法中： (A) 只有(1)是正确的。 (B) (1)、(2)正确，(3)、(4)错误。 (C) (1)、(2)、(3)都正确，(4)错误。 (D) (1)、(2)、(3)、(4)都正确。 [ C ]7．一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O 转动，如图射来两个质量相同、速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并且留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度ω (A) 增大 (B) 不变 (C) 减小 (D) 不能确定 二 填空题 1.质量为m 的质点以速度 v 沿一直线运动，则它对直线上任一点的角动量为 ___0_ 。 2.飞轮作匀减速转动，在5s 内角速度由40πrad·s 1 -减到10πrad·s 1 -，则飞轮在这5s 内总共转过了___62.5_____圈，飞轮再经_______1.67S_____ 的时间才能停止转动。 3． 一长为l 、质量可以忽略的直杆，两端分别固定有质量为2m 和m 的小球，杆可绕通过其中心O 且与杆垂直的水平光滑固定轴在铅直平面内转动。 开始杆与水平方向成某一角度θ，处于静止状态，如图所示。释放后，杆绕O 轴转动，则当杆转到水平位置时，该系统所受的合外力矩的大小M = mgl 21 ，此时该系统角加速度的大小β= l g 32 。 4．可绕水平轴转动的飞轮，直径为1.0m ，一条绳子绕在飞轮的外周边缘上，如果从静 止开始作匀角加速运动且在4s 内绳被展开10m ，则飞轮的角加速度为2 /5.2s rad 。 ５．决定刚体转动惯量的因素是 ___刚体的质量____ __；__刚体的质量分布____
《大学物理》作业 No.4 角动量守恒定律 一、选择题 1.已知地球的质量为m，太阳的质量为M，地心与日心的距离为R，引力常数为G，则地球绕太阳作圆周运动的角动量为 [ ](A) (B) (C) (D) 2.均匀细棒OA可绕通过其一端O而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示。今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖直位置的过程中，下述说法哪一种是正确的? [ ](A) 角速度从小到大，角加速度从大到小 ; (B) 角速度从小到大，角加速度从小到大 ; (C) 角速度从大到小，角加速度从大到小 ; (D) 角速度从大到小，角加速度从小到大。 3. 两个均质圆盘A和B密度分别为和，若>，但两圆盘质量与厚度相同，如两盘对通过盘心垂直于盘面轴的转动惯量各为和，则 [ ](A) > (B) > (C) ＝ (D) 、哪个大，不能确定 4.有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上： (1) 这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零； (2) 这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能是零； (3) 当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零； (4) 当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零。 在上述说法中： [ ](A) 只有(1)是正确的。 (B) (1)、(2)正确，(3)、(4)错误。 (C) (1)、(2)、(3)都正确，(4)错误。 (D) (1)、(2)、(3)、(4)都正确。 5.关于力矩有以下几种说法： (1) 对某个定轴而言，内力矩不会改变刚体的角动量。 (2) 作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零。 (3) 质量相等、形状和大小不同的两个物体，在相同力矩的作用下，它 们的角加速度一定相等。 在上述说法中，
开普勒定律的推导及应用 江苏南京师范大学物科院王勇江苏海安曲塘中学周延怀 随着人类航天技术的飞速发展和我国嫦娥绕月卫星的发射成功，以天体运动为载体的问题将成为今后考查热点。在现行的高中物理教材中主要引用了开普勒三大定律来描述了天体的运动的规律，这三条定律的主要内容如下： （1）所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上。 （2）对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。 （3）所有行星的轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值。 至于行星绕太阳的轨道为何是椭圆以及中的常量C与那些量相关并无说明。为了更深入的理解天体和人造卫星的运行规律，本文将以椭圆的性质为基础从理论上推导开普勒定律。 一、开普勒第一定律 1．地球运行的特点 （1）由于地球始终绕太阳运动，则太阳对地球的万有引力的力矩始终为零，所以地球在运动过程中角动量守恒。 （2）若把太阳与地球当作一个系统，由于万有引力为保守力且无外力作用在这个系统上，所以系统机械能守恒。 2．地球运行轨迹分析 地球在有心力场中作平面运动且万有引力的作用线始终通过太阳，所以建立如图所示的极坐标系，则P点坐标为(r，θ)。 若太阳质量为M，地球质量为m，极径为r时地球运行的运行速度为v。 当地球的运行速度与极径r垂直时，则地球运行过程中的角动量（1） 若取无穷远处为引力势能的零参考点，则引力势能，地球在运行过程中的机械能（2） （1）式代入（2）式得：（3）
由式（3）得：（4） 由式（4）可知，当地球的运行速度与极径r垂直时，地球运行的极径r有两解，由于初始假设地球的运行速度与极径垂直，所以r为地球处在近日点和远日点距太阳的距离。考 虑到地球的这两个位置在极坐标系中分别相当于和，可把式（4）中的号改写为更普遍的形式极坐标方程。 则地球的运行轨迹方程为（5） （5）式与圆锥曲线的极坐标方程吻合，其中（p为 决定圆锥曲线的开口），（e为偏心率，决定运行轨迹的形状），所以地球的运行轨迹为圆锥曲线。由于地球绕太阳运动时E<0，则圆锥曲线的偏心率，所 以地球绕太阳运行的轨迹为椭圆。 3．人造星体的变轨 由于运载火箭发射能力的局限，人造星体往往不能直接由火箭送入最终运行的空间轨道，若要使人造星体到达预定的轨道，要在地面跟踪测控网的跟踪测控下，选择合适时机向卫星上的发动机发出点火指令使人造星体的速度增加（机械能增加），进而达到改变卫星运行轨 道的目的。如图所示最初人造星体直接由火箭送入近地轨道1，此时，偏 心率e=0，人造星体运行的轨迹为圆；当到达A点时，人造星体发动机点火，此时 《大学物理》练习题 No 7 角动量守恒定律 班级__________学号 _________ 姓名 _________ 成绩 ________ 基本要求： （1） 掌握质点和刚体在定轴转动中的角动量、角动量定理、角动量守恒定律及应用 内容提要： 1. 质点的角动量 a. 质点对点的角动量：v m r p r L ?=?= b. 对固定轴的角动量：ω J L = 2. 刚体对定轴的角动量：等于刚体对此轴的转动惯量与角速度的乘积 即：ω z z J L = 3．刚体的角动量定理: 外力矩对系统的角冲量(冲量矩)等于角动量的增量. 即：00 ωω J J L d dt M L L t t -==?? 若J 可以改变,则：000 ωω J J L d dt M L L t t -==?? 4．角动量守恒定律：当物体所受的合外力矩为零时,物体的角动量保持不变， 即00 ωωω J J J ==或 常矢量 角动量守恒定律的两种情况： a. 转动惯量保持不变的单个刚体 00,0ωωωω ===则时，当J J M b. 转动惯量可变的物体。 . 保持不变就增大，从而减小时，当就减小； 增大时，当ωωω J J J 一、选择题 1.刚体角动量守恒的充分必要条件是 [ ] (A) 刚体不受外力矩的作用. (B) 刚体所受合外力矩为零. (C) 刚体所受的合外力和合外力矩均为零. (D) 刚体的转动惯量和角速度均保持不变 2.有一半径为R 的水平圆转台,可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动, 转动惯量为J , 开始时转台以匀角速度ω 0转动,此时有一质量为m 的人站在转台中心,随后人沿半径向外跑去,当人到达转台边缘时, 转台的角速度为 [ ] (A) J ω 0/(J +mR 2) . (B) J ω 0/[(J +m )R 2]. (C) J ω 0/(mR 2) . (D) ω 0. 3.如图7.1所示,一静止的均匀细棒,长为L 、质量为M , 可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴O 在水平面内转动, 转动惯量为ML 2/3.一质量为m 、速率为v 的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射入并穿出棒的自由端,设穿过棒后子弹的速率为v /2,则此时棒的角速度应为 [ ] (A) mv/(ML ) . (B) 3mv/(2ML ). (C) 5mv/(3ML ). (D) 7mv/(4ML ). 二、填空题 1. 在XOY 平面内的三个质点,质量分别为m 1 = 1kg, m 2 = 2kg,和 m 3 = 3kg,位置坐标(以米为单位)分别为m 1 (－3,－2)、m 2 (－2,1)和m 3 (1,2),则这三个质点构成的质点组对Z 轴的转动惯量I z = . 2.质量均为70kg 的两滑冰运动员，以6.5s m /等速反向滑行，滑行路线的垂直距离为10m 。当彼此交错时，各抓住10m 长绳子的两端，然后相对旋转。则各自对中心的角动量=L ，当各自收绳到绳长为5m 时，各自速率为=v 。 3.一飞轮以角速度ω 0绕轴旋转, 飞轮对轴的转动惯量为J 1;另一静止飞轮突然被同轴地啮合到转动的飞轮上,该飞轮对轴的转动惯量为前者的二倍,啮合后整个系统的角速度ω = . 三、计算题 1. 如图7.2所示,有一飞轮,半径为r = 20cm,可绕水平轴转动,在轮上绕一根很长的轻绳,若在自由端系一质量m 1 = 20g 的物体,此物体匀速下降；若系m 2=50g 的物体,则此物体在10s 内由静止开始加速下降40cm . 绳系重物m 2后的张力？ v /2 图7.1 图7.2 图7.3 角动量守恒定理及其应用 角动量守恒定理及其应用 摘要:角动量这一概念是经典物理学里面的重要组成部分，角动量的研究主要是对于物体的转动方面，并且可以延伸到量子力学以、原子物理及天体物理等方面。角动量这一概念范畴系统的介绍的力矩、角速度、角加速度的概念，并且统筹的联系到质点系、质心系、对称性等概念。 关键词:角动量；力矩；角动量守恒；矢量；转动；应用 Angular momentum conservation theorems and their application Abstract:Angular momentum to the concept of classical physics there is an important component of angular momentum of research mainly for the rotation, and may extend to the quantum mechanics and physical and in the astrophysical. angular momentum in the categorical system of the present moment, the angular velocity, the concepts of angular acceleration and co-ordination of the particle, the quality of heart, symmetry, and concepts. Key words:Angular momentum;Torque; Conservation of angular momentum; Vector; Turn; application. 引言 在研究物体运动时,人们经常可以遇到质点或质点系绕某一定点或轴线运动的 情况。例如太阳系中行星绕太阳的公转、月球绕地球的运转、物体绕某一定轴的转动等,在这类运动中,运动物体速度的大小和方向都在不断变化,因而其动量也在不 断变化。在行星绕日运动中,行星受指向太阳的向心力作用,其运动满足角动量守恒。我们很难用动量和动量守恒定律揭示这类运动的规律,但是引入角动量和角动量守 恒定律后,则可较为简单地描述这类运动。 角动量可从另一侧面反映物体运动的规律。事实上,角动量不但能描述宏观物体的运动,而且在近代物理理论中,角动量对于表征状态也必不可少。角动量守恒定律在经典物理学、运动生物学、航空航天技术等领域中的应用非常广泛。角动量在20 角动量定理及角动量守恒定律 一、力对点的力矩： 如图所示，定义力F 对O 点的力矩为： F r M ?= 大小为： θsin Fr M ＝ 力矩的方向：力矩是矢量，其方向可用右手螺旋法则来判断：把右手拇指伸直，其余四指弯曲，弯曲的方向由矢径通过小于1800的角度转向力的方向时，拇指指向的方向就是力矩的方向。 二、力对转轴的力矩： 力对O 点的力矩在通过O 点的轴上的投影称为力对转轴的力矩。 1）力与轴平行，则0=M ； 2）刚体所受的外力F 在垂直于转轴的平面内，转轴和力的作用线之 间的距离d 称为力对转轴的力臂。力的大小与力臂的乘积，称为力F 对 转轴的力矩，用M 表示。力矩的大小为： Fd M ＝ 或： θsin Fr M ＝ 其中θ是F 与r 的夹角。 3）若力F 不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个力，一 个与转轴平行的分力1F ，一个在垂直与转轴平面内的分力2F ，只有分力2F 才对刚体的转动状态有影响。 对于定轴转动，力矩M 的方向只有两个，沿转轴方向或沿转轴方向反方向，可以化为标量形式，用正负表示其方向。 三、合力矩对于每个分力的力矩之和。 合力 ∑=i F F 合外力矩 ∑∑∑=?=?=?i i i M F r F r F r M ＝ 即 ∑i M M ＝ 四、质点的角动量定理及角动量守恒定律 在讨论质点运动时，我们用动量来描述机械运动的状态，并讨论了在机械运动过程中所遵循的动量守恒定律。同样，在讨论质点相对于空间某一定点的运动时，我们也可以用角动量来描述物体的运动状态。角动量是一个很重要的概念，在转动问题中，它所起的作用和(线)动量所起的作用相类似。 在研究力对质点作用时，考虑力对时间的累积作用引出动量定理，从而得到动量守恒定律；考虑力对空间的累积作用时，引出动能定理，从而得到机械能守恒定律和能量守恒定律。至于力矩对时间的累积作用，可得出角动量定理和角动量守恒定律；而力矩对空间的累积作用，则可得出刚体的转动动能定理，这是下一节的内容。本节主要讨论的是绕定轴转动的刚体的角动量定理和角动量守恒定律，在这之前先讨论质点对给定点的角动量定理和角动量守恒定律。 下面将从力矩对时间的累积作用，引入的角动量的概念，讨论质点和刚体的角动量和角动量守恒定律。 1．质点的角动量（Angular Momentum ）——描述转动特征的物理量 1）概念 一质量为m 的质点，以速度v 运动，相对于坐标原点O 的位置矢量 大统一（243） 理论探索 质点系动量不守恒、角动量不守恒的证明 质点系动量不守恒、角动量不守恒的证明（2） 质点系动量不守恒、角动量不守恒的证明 原创作者 马天平（地址 新郑市） (2015-03-07) 假设质量m2的人，伸开一只手拿着质量m1的铁球静止在自由空间（或者惯性系S），当人横向推铁球，人和铁球组成的系统，会遵守角动量守恒定律和动量守恒定律吗？ 如图1（人推铁球）。（其中人的图片来源于网络上的截图）。 分析: 1、 在惯性系S系中，系统的初始角动量为零、初始动量为零。 M初=0 合外力=0 2、 如图1（人推铁球），在惯性系S系中（或者以惯性系S原点为参照），假设手给铁球（的质心）推力F1，则手受到反作用力F2=-F1， 根据平行轴定理，把手受到的力F2平移到人的两肩中点c2为F3，则F3﹤-F2， 然后再次把F2平移到人的质心c3为F4，则F4﹤F3 所以，F4﹤-F1、F4≠ -F1 根据平行轴定理，把手受到的力F2，平移到人的质心c3为力F4，则 F4﹤-F1 所以， F4+F1 ≠0 因此，在惯性系S系中，人推铁球，使系统的内力矢量和不等于零，说明质点系的运动定理不成立。 3、 由于动量守恒定律来源于牛顿第三定律，所以，根据，F4﹤-F1、F4+F1 ≠0，说明系统违反动量守恒定律。系统违反动量守恒定律，说明质点系的运动定理不成立。 4、 如图1（人推铁球），以惯性系S原点为参照，铁球的质心（或者m1）受到推力F1，人的质心（或者m2）受受到力F4，假设作用时间为t， 由于F4≠ -F1，所以， F4×t ≠ -F1×t 所以 F4×t + F1×t ≠ 0 F4×t + F1×t ≠ M初 因此，系统违反动量守恒定律。 5、 在惯性系S系中，以惯性系S原点为参照点，如图1（人推铁球），显然，矢径r4的大小小于矢径 r1的大小。 由于F4﹤-F1 ，r4的大小小于 r1的大小。 所以， F4×r4 ≠-F1×r1 因此，人的质心受到的力矩，与铁球质心受到的力矩，矢量和不为零。 所以，系统受到的力矩矢量和不为零，违反质点系的角动量守恒定律、违反反质点系的角动量定理。 结论： 内力力矩可以改变系统的角动量和动量。 质点系的角动量守恒定律存在例外、质点系的动量守恒定律存在例外、质点系的角动量定理存在例外、质点系的动量定理存在例外、质点系的动量矩守恒定律存在例外、质点系的运动定理存在例外。 00000000000000000========= 质点系动量不守恒、角动量不守恒的证明（2） 原创作者 马天平（地址 新郑市） (2015-03-07) （根据2015-02-20的文章“证明角动量不守恒”改编） 假设质量分别为m1=m2 的A和B两个人静止在自由空间，A的一只手抓着B的肩部，A 和B组成系统，系统质心的初始位置为C（作为参考点C），从某时刻开始，A横向的推B、或 第四章角动量守恒定律 基本要求： 1. 明确力矩的物理涵义，掌握力矩的一般定义，并能从力矩的一般定义中得出力对某轴的力矩的表达式； 2. 掌握质点的角动量的物理涵义，能熟练地推导在一般情况下的质点角动量定理，以及对轴的角动量定理； 3. 理解角动量守恒定律的物理内容和定律的适用条件，并能运用这个定律解释有关现象。 §4-1力矩 一、力矩的一般意义 1、引入对于一个静止的质点来说, 当它受到力的作用时，将开始运动；但对于物体的转动而言, 当它受到外力作用时, 可能转动, 也可能不转动, 这决定于此外力是否产生力矩。外力产生力矩，物体就转动, 不产生力矩，物体则不转动。所以, 力矩对物体转动所起的作用, 与力对质点运动所起的作用是类似的。 2、定义在一般意义上，力矩是对某一参考点而 言的。如果质点p在坐标系o-xyz中的位置矢量是r (见 图4-1), 那么作用于质点的力f相对于参考点o所产生 的力矩，就定义为 (4-1) 显然，m必定垂直于由矢量r和f所决定的平面, m的指向应由右手定则确定：右手的四指由r的方向经小于 π的角转向f的方向，伸直的拇指所指的方向就是力矩m的方向。m的大小等于以r和f为邻边的平行四边形的面积，即 (4-2) 式中θ是r与f之间的夹角。 在国际单位制中，力矩的单位是n ? m (牛顿?米)。 3、合力情况合力对某参考点o的力矩等于各分力对同一点力矩的矢量之和：由力矩的定义式(4-1)可以看到, 力矩m与质点的位置矢量r有关, 也就是与参考点o的选取有关。对于同样的作用力f, 选择不同的参考点, 力矩m的大小和方向都会不同。为了表示力矩m是相对于参考点o的, 所以一般在画图时总是把力矩m画在参考点o 上, 而不是画在质点p上, 如图4-1所表示的那样。 如果作用于质点上的力f是多个力的合力, 即 f = f1+ f2 + …+ f n , 代入式(4-1)中, 得 =r?f1+ r?f2+ … + r?f n= m1+ m2 + … + m n(4-3) 这表示, 合力对某参考点o的力矩等于各分力对同一点力矩的矢量之和。 二、力对轴的力矩 1、引入我们日常所见到的转动很多是绕某转轴进行的, 如门绕门轴的转动, 风扇叶片绕转轴的转动, 螺帽绕螺杆的转动等。在这种情况下, 对转动起作用的力矩只是力矩矢量沿转轴的分量, 若把转轴定为z轴, 则是力矩沿z轴的分量m z。 2、定义在以参考点o为原点的直角坐标系中, 将力矩矢量m表示为 m = m x i + m y j + m z k , 转动动能定理、角动量守恒原理 一，转动动能定理： 1， 力矩的功 设刚体在外力F 作用下发生角位移d φ 由功的定义：相应的元功为： ? θ?θMd Frd ds F ds F dA o ==-?=?=sin )90cos( 所以力矩的功为： ??==2 1 ???Md dA A 2， 转动动能定理 设M 为作用刚体上的合外力矩。将转动定律应用于功的定义中： 2 22 121)(0ωωωω?ω?β?ωωJ J d J d dt d J d J Md A -=====???? 所以转动动能定理为： 2 22 121ωω?J J Md -=? 说明，（1）??Md 为合外力矩的功，是过程量 22 1 ωJ E K = 为刚体在t 时刻的转动动能。是时刻量。 （2）其中M 、J 、ω必须相对同一惯性系，同一转轴。 【例】：质量为m 长度为l 的匀质细棒，可绕端轴o 在铅垂铅垂面内自由摆动，求细棒自水平位置自由下摆到铅垂位置时的角速度。 解：取细棒为研究对象，视之为刚体。细棒下摆到 任意θ位置时受外力有：重力mg ，端轴支持力N (对o 不成矩) 。由功的定义： 2 c o s 2)90sin(2900l mg d l mg d l mg Md o o ===-=???θθθθθ 由转动动能定理： l g ml J l mg 331210212222= ∴ ?? ? ??=-=ωωω 二，角动量守恒定律 设M 为作用于刚体的合外力矩，由定轴转动定律： dt dL dt J d dt d J J M = ===)(ωωβ 所以，刚体定轴角动量定理为 00 L L dL Mdt L L t t -==?? 特别当整个过程中合外力矩为零时，刚体的角动量守恒。 即刚体定轴转动角动量守恒定律为： 常矢==L M 0 说明：（1）刚体定轴角动量守恒条件是整个过程中合外力矩为零。 （2）守恒式各量（M 、J 、ω）均需是对同一惯性系中的同一转轴。 （3）? ??==都变，但乘积不变、都不变、ωωωJ J const I L （4）角动量守恒定律也是自然界基本定律之一。不仅适用宏观领域， 也适用微观领域。 【例】质量为m 的人站在质量为M ，半径为R 的水平匀质圆盘边沿，随圆盘以角速度0Ω旋转，当他运动到半径r 处时，系统的角速度变为多少？ 解：系统转动过程中所受外力：重力Mg 、mg 、以及转轴的支持力N 均对转轴不成矩，故系统角动量守恒。 2 22 22022220222)2() 2 1()21()2 1 ()21(Ω++=+Ω+=ΩΩ+=Ω+ MR mr R M m MR mr MR mR MR mr MR mR 第四章 角动量守恒定律 4-1 质量为1.0 kg 的质点沿着由 ()34323r t i t t j =+-r r r 决定的曲线运动，其中t 是时间，单位为s ，r r 的单位为m 。求此质点在 t = 1.0 s 时所受的相对坐标原点O 的力矩。 解：()34323t i t t j γ=+-r r r Q ()232649d r v t i t t j dt ∴==+-r r r r ()()34323223649l mv t i t t j m t i t t j γ????=?=+-?+-????r r r r r r r ()()34234324963m t t t k t t t k ??=---??r r () 666862m t t k t mk =-=r r 551212dl M t mk t k dt ===r u u r r r ()0.1m kg = 1.012.0t s M N m ==u u r g 当时： 方向沿z 轴方向 12.0kN m =r r g 或： M 4-2 质量为1.0 kg 的质点在力()()2332F t i t j =-+-u r r r 的作用下运动，其中t 是时间，单位为s ，F 的 单位是N ，质点在t = 0 时位于坐标原点，且速度等于零。求此质点在 t = 2.0 s 时所受的相对坐标原点O 的力矩。 解：由牛顿第二定律： dv F m dt =r u r ()()000112332v t t dv F dt t i t j dt m m ??∴=?=-+-?????r u r r r 解得：()223322mv t t i t t j ??=-+- ??? r r r 而：d r v dt =r r ()()32320111312332322t r t i t j dt t t i t t j m m ????????∴=-+-=-+- ? ??????????? ?r r r r r 第6节 角动量定理和角动量守恒定律 一、 质点对固定点的～ 定义：质点对O 点的角动量(动量矩) L =r ?P L =?sin rP =?sin rmV ， 12-s k g m ，12-T ML 定义：力F 对O 点的力矩：M =r ? M =θsin rF F r V m V dt P d r P dt r d P r dt d dt L d ?+?=?+?=?=)( M dt M ：元冲量矩 ?21 t t dt M ：冲量矩，N m s ，1 2-T ML 如果合外力矩M =0 0=dt L d ?C P r L =?=：角动量守恒定律 例：圆锥摆球在水平面内匀速转动 分别对固定点A 和O ，讨论 小球受到的张力矩，重力矩 合力矩和角动量 对A ：T R M T ?==0， G R M G ?=≠0 M =T M +G M ≠0， V m R L A ? =不守恒 对O ：T r M T ?=≠0 ，G r M G ?=≠0 M =T M +G M =)(G T r +?=0 V m r L O ?=守恒 例：证明开普勒第二定律 “从恒星到行星的矢径在相同 的时间内扫过相同的面积” 证：合外力矩M =r ?F =0 角动量L =r V m ?=C r V ?=C ' ，?sin rV =C ' dt ，面积?i n 2 121r d s r d h dA == ?s i n 21dt ds r dt dA ==2/sin 2 1C rV '=?：常数 二、质点系对固定点的～ i m ：动量：i i i V m P = 角动量i i i P r L ?= 定义：质点系对O 点的角动量 ∑∑?==i i i P r L L ∑∑?+?=dt P d r P dt r d dt L d i i i i ∑∑+?+?=)(i i i i i f F r P V ∑∑?+?=i i i i f r F r 外M F r i i =?∑：合外力矩 ?f r ：合内力矩，∑?i i f r =0 如果合外力矩外M =0 0=dt L d ?∑==C L L i ：角动量守恒定律 例：两只猴子，质量相同，距地面高度相同 一只猴子向上爬，另一只猴子不爬， 请问，哪只猴子先到达滑轮？ 解：角动量守恒：21RmV RmV -=0 21V V =，同时达到滑轮 角动量守恒定律 第四章 角动量守恒定律 4-1 质量为1.0 kg 的质点沿着由 ()34323r t i t t j =+-r r r 决定的曲线运动，其中t 是时间，单位为s ，r r 的单位为m 。求此质点在 t = 1.0 s 时所受的相对坐标原点O 的力矩。 解：()34323t i t t j γ=+-r r r Q ()232649d r v t i t t j dt ∴==+-r r r r ()()34323223649l mv t i t t j m t i t t j γ????=?=+-?+-????r r r r r r r ()()34234324963m t t t k t t t k ??=---??r r () 666862m t t k t mk =-=r r 551212dl M t mk t k dt ===r u u r r r ()0.1m kg = 1.012.0t s M N m ==u u r g 当时： 方向沿z 轴方向 12.0kN m =r r g 或： M 4-2 质量为1.0 kg 的质点在力()()2332F t i t j =-+-u r r r 的作用下运动，其中t 是时间，单位为s ，F 的单位是N ，质点在t = 0 时位于坐标原点，且速度等于零。求此质点在 t = 2.0 s 时所受的相对坐标原点O 的力矩。 解：由牛顿第二定律： dv F m dt =r u r ()()000112332v t t dv F dt t i t j dt m m ??∴=?=-+-?????r u r r r 解得：()223322mv t t i t t j ??=-+- ??? r r r 而：d r v dt =r r ()()32320111312332322t r t i t j dt t t i t t j m m ????????∴=-+-=-+- ? ??????????? ?r r r r r 第五章角动量角动量守恒定理 本章结构框图 学习指导 本章概念和内容是中学没有接触过的，是大学物理教学的重点和难点。许多同学容易将平动问题与转动问题中的概念和规律混淆，例如两种冲击摆问题。建议采用类比方法，对质量与转动惯量、动量与角动量、力与力矩、冲量与角冲量、平动动能和转动动能、运动学的线量和角量、动量定理和角动量定理、动量守恒和角动量守恒……一一加以比较。本章的重点是刚体定轴转动问题，注意定轴条件下，各种规律都应该用标量式表示。还请注意动量守恒在天体问题、粒子问题中的应用。 基本要求 1.理解质点、质点系、定轴刚体的角动量概念。 2.理解定轴刚体的转动惯量概念，会进行简单计算。 3.理解力矩的物理意义, 会进行简单计算。 4.掌握刚体定轴转动定律，熟练进行有关计算。 5.理解角冲量（冲量矩）概念，掌握质点、质点系、定轴刚体的角动量定理， 熟练进行有关计算。 6.掌握角动量守恒的条件，熟练应用角动量守恒定律求解有关问题。 内容提要 1.基本概念 刚体对定轴的转动惯量：是描述刚体绕定轴转动时，其转动惯性大小的物理量。定义为刚体上每个质元（质点、线元、面元、体积元）的质量与该质元到转轴距离平方之积的总和。即： I的大小与刚体总质量、质量分布及转轴位置有关。 质点、质点系、定轴刚体的角动量：角动量也称动量矩，它量度物体的转动运动量，描述物体绕参考点（轴）旋转倾向的强弱。表5.1对质点、质点系、定轴刚体的角动量进行了比较。 表5.1质点、质点系和定轴刚体的角动量 力矩：力的作用点对参考点的位矢与力的矢积叫做力对该参考点的力矩（图5.1）： 即： 大小：（力×力臂）方向：垂直于决定的平面，其指向由右手定则确定。 对于力矩的概念应该注意明确以下问题： ?区分力对参考点的力矩和力对定轴的力矩：力对某轴的力矩是力对轴上任意一点的力矩在该轴上的投影。例如：某力对x、y、z轴的力矩就是该力对原点 的力矩在三个坐标轴上的投影： 由上可知：力对参考点的力矩是矢量，而力对定轴的力矩是代数量。 ?明确质点系内力矩的矢量和恒为零：由于内力总是成对出现，作用力和反 作用力等大、反向、在同一直线上，所以对任何参考点内力矩的矢量和恒为零。当然，对任意轴，内力矩的代数和也恒为零。 ?明确质点系的合外力矩不等于其外力矢量和的力矩：合外力矩为各外力对同一参考点的力矩的矢量和，即：。由于一般情况下，各外力的作 用点的位矢各不相同，所以不能先求合力，再求合力的力矩。但是存在特例：在求重力矩时，可以把系内各质点所受重力平移到质心C，先求出其合 力，再由得到重力的合力矩。 角动量守恒及其应用 李泽林，过程装备与控制工程，10110902。 摘要：掌握角动量守恒定律，并通过习题深入分析其应用和注意事项。 关键词：刚体，角动量，转动惯量，惯性系。 在研究“质点或质点系绕某一定点或轴线运动”这类问题时，常常利用“角动量守恒定律”来处理此类问题。但是如何正确应用角动量定律解题尤为重要。本文通过对角动量守恒定律详细的推导，加深对定律的理解，以及通过习题来深入分析角动量守恒的正确应用。 1角动量守恒定律 1．1质点对参考点的角动量守恒定律 如图1所示，质点m 的动量为P ，相对于参考点O 的角动量为L ，其值 α sin p r L ?=，其中α是质 点的动量与质点相对参考点0的位置矢量r 的夹角。其角动量的变化量L ?等于外力的冲量矩t M ??（M 为外力对参 考点O 的力矩），即dt M dL ?=。若M=0，得L ?=0，即质点对参考点O 的角动量守恒。 1．2质点系对参考点的角动量守恒定律 由n 个质点组成的质点系，且处于惯性系中，可以推导出作 用于各质点诸力对参考点的外力矩的冲量t M i ??∑，仍等于质点系对该参考点的角动量的变化量，即 t M L i ??= ?∑。同样当 O m P α 图1 r ③ gh v 20= ∑i M时（即质点系的和外力矩为零），质点系对该参考点的角= 动量守恒。 1．3角动量守恒的判断 当外力对参考点的力矩为零， ∑i M时，质点或质点系对该参 即0= 考点的角动量守恒。有四种情况可 判断角动量守恒：①质点或质点系不受外力。②所有外力通过参考点。③每个外力的力矩不为零，但外力矩的矢量和为零。④内力对参考点的力矩远大于外力对参考点的合力矩，即内力矩对质点系内各质点运动的影响远超过外力矩的影响，角动量近似守恒。 2角动量守恒定律的应用 2.1开普勒第二定律，即行星对太阳的矢径在相等的时间间隔内扫过相等大小的面积 如图，设行星的质量为m，它相对太阳的位矢为r，速度为v，走过的路程为s。行星受到太阳对它的万有引力，方向沿着它和太 第六章角动量 内容： §6－1 力矩（4课时） §6－2 质点的角动量定理及角动量守恒定律（4课时） 要求： １.熟练掌握力对点的力矩。 ２.理解对点的角动量定理及角动量守恒定律。 重点与难点： 角动量守恒定律。 作业： P219 1，2，3，4， P220 5，6，， 第六章 角动量 §6－1 力矩 一、力对点的力矩： 如图所示，定义力F 对O 点的力矩为： F r M ?= 大小为： θs i n Fr M ＝ 力矩的方向：力矩是矢量，其方向可用右手螺旋法则来判断：把右手拇指伸直，其余四指弯曲，弯曲的方向由矢径通过小于1800的角度转向力的方向时，拇指指向的方向就是力矩的方向。 二、力对转轴的力矩： 力对O 点的力矩在通过O 点的轴上的投影称为力对转轴的力矩。 1）力与轴平行，则0=M ； 2）刚体所受的外力F 在垂直于转轴的平面内，转轴和力的作用线之 间的距离d 称为力对转轴的力臂。力的大小与力臂的乘积，称为力F 对 转轴的力矩，用M 表示。力矩的大小为： Fd M ＝ 或： θs i n Fr M ＝ 其中θ是F 与r 的夹角。 3）若力F 不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个力，一 个与转轴平行的分力1F ，一个在垂直与转轴平面内的分力2F ，只有分力2F 才对刚体的转动状态有影响。 对于定轴转动，力矩M 的方向只有两个，沿转轴方向或沿转轴方向反方向，可以化为标量形式，用正负表示其方向。 三、合力矩对于每个分力的力矩之和。 合力 ∑=i F F 合外力矩 ∑∑ ∑=?= ?=?i i i M F r F r F r M ＝ 即 ∑i M M ＝ 四、单位： m N ? 注意：力矩的单位和功的单位不是一回事，力矩的单位不能写成焦耳。 （1）与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩； （2）与转轴平行的力对转轴不产生力矩；7.角动量守恒定律
角动量守恒定理及其应用
角动量定理及角动量守恒定律
角动量不守恒的证明
精选讲义-角动量守恒定律
刚体角动量守恒定律
角动量守恒定律演示教学
角动量定理和角动量守恒定律
角动量守恒定律教学文案
第五节 角动量角动量守恒定理
角动量守恒及其应用
质点的角动量定理及角动量守恒定律
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