古典概型中研究的几类基本问题:
抛硬币、掷骰(t óu)子、摸球、取数等随机试验,在概率问题的研究中,有着十分重要的意义.一方面,这些随机试验,是人们从大量的随机现象中筛选出来的理想化的概率模型.它们的内容生动形象,结构清楚明确,富有直观性和典型性,便于深入浅出地反映事物的本质,揭示事物的规律.另一方面,这种模型化的处理方法,思想活泼,应用广泛,具有极大的普遍性,不少复杂问题的解决,常常可以归结为某种简单的模型.因此,有目的地考察并掌握若干常见的概率模型,有助于我们举一反三,触类旁通,丰富解题的技能和技巧,从根本上提高解答概率题的能力.
本部分主要讨论古典概率中的四类基本问题(摸球问题、分球入盒问题、随机取数问题和选票问题),给出它们的一般解法,指出它们的典型意义,介绍它们的常见应用.
一、摸球问题
[例1]袋中有α个白球,β个黑球：
(1)从中任取出a ＋b 个(a,b ∈N,α≤a,b ≤β,试求所取出的球恰有a 个白球和b 个黑球的概率；
(2)从中陆续取出3个球(不返回),求3个球依次为“黑白黑”概率；
(3)逐一把球取出(不返回),直至留在袋中的球都是同一种颜色为止,求最后是白球留在袋中的概率.
思考方法 这里的三个小题,摸球的方式各不相同,必须在各自的样本空间中分别进行处理.(1)中的每一个样本点,对应着从α+β个球中任取a+b 个球的一种取法,无需考虑顺序,属于组合问题.(2)中的每一个样本点,对应着从α+β个球中依次取出三个球的一种取法,需要考虑先后次序,属于排列问题.(3)中事件的有利场合(摸剩白球)包含了α种不同情形：摸剩α个白球,α-1个白球,…,1个白球.因此,必须对各种情形分别加以考虑.
[解](1)设A 1表示事件“所取的a+b 个球中恰有a 个白球和b 个黑球”.从α+β个球中
任意摸出a+b 个,有????
??++=++b a C b a βαβα种不同取法,此即样本空间所包含的样本点总数.而事
件A 1所包含的样本点数,相当于从α个白球中任取a 个,从β个黑球中任取b 个的取法种数,
共????
?????? ??=b a C C b a βαβα种.所以
P(A 1)=???
? ??++???? ?????? ??=++b a b a C C C b a b a βαβαβαβα (2)设A 2表示事件“取出的3个球依次为黑白黑”.从α+β个球中依次任取3个,有3βα+A 种取法,此即样本点总数.对于有利场合,第一个和第三个黑球可在β个黑球中依次取
得,有2
βA 种取法,第二个白球可在α个白球中任取,有1αA 种取法.因此,A 2所包含的样本点数为2
1βαA A ?.于是
P(A 2)=)
2)(1)(()1(-+-++-βαβαβαβαβ (3)袋中只剩白球时(设此事件为A 3),取出的球必为β个黑球,i 个白球(i=0,1,…,α-1).用Bi 表示事件“取出β个黑球,i 个白球,袋中留下的全是白球”(i=0,1,…,α-1),则事件B 0,B 1,…,B α-1,β必两两互不相容,且A 3=B 0+B 1+…+B α-1．
依概率的有限可加性,有
P(A 3)=P(B 0)+P(B 1)+P(B 2)+ …+P(B α-1)
依事件B i 的含义,对于确定的i,它的样本空间就是从α+β个球中任取i+β个球的排列.所
以,样本点总数为ββα++i A .注意到i+β个球取出后,留在袋中的全是白球,因而在这i+β个球
中,最后取出的一个应是黑球.这样,事件B i 的有利场合,就是i+β-1个球的全排列(β个黑
球中扣除1个,以保证最后取出的一个必为黑球).显然,i 个白球可从α个白球中取得,有i C α
种取法;β-1个黑球可从β个黑球中取得,有1-ββC 种取法,．从而事件B i 所包含的样本点数
为11-+-??βββαi i A C C .于是
P(B i )=ββαββββα++-+-+-??i i i i A A C C 11
1 =i i C 1)
(!!-++ββαβα 把诸P(Bi)的值代入(1)式,并注意到
22110++++m m m C C C +…111-+--+=n n m n n m C C
即得
P(A 3)=+++++-21101[)!(!!ββββαβαC C C …]12--+ααβC =11)!
(!!--++ααββαβαC =βαα+ 评注 如果把题中的“白球”、“黑球”换为“正品”、“次品”或“甲物”、“乙物”等等,我们就可以得到各种各样的“摸球问题”.为了让读者对此有深切的体会,我们再来看下面的例子：
(1)一批灯泡40只,其中3只是坏的,从中任取5只检查.问：① 5只都是好的概率为多少？② 5只中有2只坏的概率为多少？
(答案：①540537C C ;②540
23337C C C ) (2)在相应地写有2,4,6,7,8,11,12及13的8张相同的卡片中,任意取出2张,求由所取得的两个数构成的分数为可约的概率.
(答案:28
25C C ) (3)从一副扑克牌(52张)中任取6张,求得3张红色的牌和三张黑色的牌的概率.
(答案：652
326326C C C ) (4)用火车运载两类产品,甲类n 件,乙类m 件.有消息证实,在路途中有2件产品损坏.求损坏的是不同产品的概率.
(答案:211m
n m n C C C +?) (5)一个班级有2n 个男生和2n 个女生,把全班学生任意地分成人数相等的两组,求每组中男女生人数相等的概率.
(答案：n n
n n n C C C 24222?) (6)从数1,2,…,n 中任取两数,求所取两数之和和偶数的概率.
(答案：当n 为偶数时,p=222/2n
n C C ；当n 为奇数时,p=222/)1(22/)1(n n n C C C +-+) 不难发现,上述各个问题的解决,都可以归结为摸球问题(例1(1)).我们说摸球问题具有典型意义,原因也正在于此.,
二、分球入盒问题
[例2]把n 个球以同样的概率分配到Ｎ(n≤Ｎ)个盒子中的每一个中去,试求下列各事件的概率：
(1)Ａ：某指定n 个盒子中各有一球；
(2)Ｂ：恰有n 个盒子,其中各有一球;
(3)Ｃ：某指定盒子中恰有m(m≤n)个球.
思考方法 解答本题时,要发掘“n 个球以同样的概率分配到Ｎ个盒子中的每一个中去”一语的含义.这句话意思是说,每一个球,被分配到任意一个盒子中去是等可能的；也就是说每一个球各有Ｎ种不同的去向.
[解] 因为n 个球中的每一个球,都以同样的概率进入Ｎ个盒子中的任意一个,所以样
本点总数为N n .
(1)n 个球分别分配到Ｎ个预先指定的盒子中去,相当于n 个球的全排列,因此事件Ａ所包含的样本点数为A n ,于是 P(A)=n n n N
n N A !=． (2)对于事件Ｂ,ｎ个盒子可自Ｎ个盒子中任意选取,有n N C 种选法,因而事件Ｂ包含
!n C n N ?个样本点,于是 P(B)=)!
(!!n N N N N n C n n n N -?=?. (8)事件Ｃ中的ｍ个球,可以从n 个球中任意选取有m
n C 种选法,其余的n-m 个球可以任
意分配到另外Ｎ-1个盒子中去,有(N-1)
n-m 种分配法.因而事件Ｃ包含m n m n N C --)1(个样本
点.这样 P(C)=m n m m n n m n m n N N C N
N C ---=-)11()1()1(. 评注 不难发现当n 和Ｎ确定时P(C)只依赖于m.如果把P(C)记作P m ,依二项式定理有
1)111()11()1(00=-+=-=-==∑∑n m n m n m m n n m m N
N N N C P . 上述等式的概率意义是十分明显的.就是对于某个指定的盒子来说,进入盒子中的球数不外是0,1,...,n;从而这n+1种情形的和事件为必然事件,其概率必为1.这个问题实质上就是贝努利(Bernoulli)概型.
n 个球在Ｎ个盒子中的分布,是一种理想化的概率模型,可用以描述许多直观背景很不相同的随机试验.为了阐明这一点,我们列举一些貌异质同的试验：
(1)生日.ｎ个人的生日的可能情形,相当于ｎ个球放入Ｎ=365个盒子中的不同排列(假定一年有365天).
(2)性别.ｎ个人的性别分布,相当于把ｎ个球放入Ｎ=2个盒子中.
(3)意外事件.如果把ｎ个意外事件按其发生在星期几来分类,相当于ｎ个球放入Ｎ=7个盒子中.
(4)掷骰子.掷ｎ颗骰子的可能结果,相当于把ｎ个球放入Ｎ=6个盒子中.
(5)质点入格.ｎ个质点落于Ｎ个格子中的可能情形,相当于ｎ个球分入Ｎ个盒子中.
(6)旅客下站.一列火车中有ｎ名旅客,它在Ｎ个站上都停.旅客下站的各种能情形,相当于n 个球分到Ｎ个盒子中的各种情形.
(7)住房分配.n 个人被分配到Ｎ个房间中去住,则人相当于球,房间相当于盒子.
(8)印刷错误.ｎ个印刷错误在一本具有Ｎ页的书中的一切可能的分布,相当于ｎ个球放入Ｎ个盒子中的一切可能分布(ｎ必须小于每一页的字数).
从上面所列举的部分试验,我们不难体会分球入盒的模型的意义.因而使例2成为古典概率中的典型问题之一,为一类实际问题的求解,提供了有效的途径.作为练习,读者可利用本题的思想方法,解答下列各题：
(1)同时掷4颗质量均匀的骰子,求出现完全不相同的点数的概率.
(答案：4466
A ) (2)设一个人的生日在星期几是等可能的,求6个人的生日都集中在一星期中任意两天但不是都在同一天的概率.
(答案：6
6277)22(-C ) (3)有n 个质点,每个质点都等可能地落于Ｎ(ｎ≤Ｎ)个格子中的每一个.试求每一格子至多含一点的概率.
(答案：n
n n N N A C )
(4)设有n 个人,每个人都等可能地被分配到n 个房间中的任一间去住.求恰有一个空房间的概率.
(答案:n
n n n n A C C 121-??．) 三、随机取数问题
[例3]从1,2,…,10这十个数中任取一个,假定各个数都以同样的概率被取中,取后还原,先后取出7个数,试求下列各事件的概率：
(1)A 1：7个数全不相同；
(2)A 2：不含10与1；
(3)A 3：10恰好出现两次；
(4)A 4：10至少出现两次；
(5)A 5：取到的最大数恰好为6．
思考方法 本题所及的随机试验,就取样方法来说,属于返回取样.也就是说,把某数取出后还原,下次仍有同样的可能再取到这个数.注意到这一特点,运用上节介绍的思想方法,原题就不难得解.
[解] 依题设样本空间就是10个相异元素允许重复的7元排列.所以样本点总数为107．
(1)事件A 1,要求所取的7个数是互不相同的,考虑到各个数取出时有先后顺序之分,所以有利场合相当于从10个相异元素里每次取出7个相异元素的排列.因此,A 1所包含的样本
点数为710A .于是
P(A 1)=06048.010
7710=A . (2)事件A 2：先后取出的7个数中不含10与1,所以,这7个数只能从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数中取得.注意到实验属于有返回取样,则A 2的有利场合,相当于8个相异元素允许重
复的7元排列.于是,A 2所包含的样本点数为87,有
P(A 2)=2097.010
877
≈. (3)事件A 3中出现的两次10,可以是7次取数中的任意两次,有27C 种取法,其余的5次,
每次可以取剩下的9个数中的任一个,共有95
种取法.于是A 3的有利场合为5279?C .由此 P(A 3)=1240.01097
5
27≈?C . (4)事件A 4是六个两两互不相容事件“10恰好出现k 次”(k=2,3,4,5,6,7)的和,因此
P(A 4)=1497.01097
2777≈?∑=-k k
k C . 也可以先考察A 4的逆事件.这里4A 是事件“10恰好出现一次或一次也不出现”显然
P(4A )=8503.010
9977
617≈+?C . (5)事件A 5的有利场合,就是6个相异元素(1,2,3,4,5,6)允许重复的最大数恰好为6的7元排列.这种排列可以分为6出现1次,2次,3次,4次,5次,6次,7次等七类,显然,它们的
排列数依次是2573474375276175,5,5,5,5,C C C C C ,1675C ,.5077C 于是
P(A 5)=0202.010577177≈?∑=-k k k C
.
事件A 5的有利场合数也可以这样来考虑：最大数字不大于6的7元重复排列,有67种,
它可以分为两类,一类是最大数恰好是6的7元重复排列；一类是最大数小于6的7元重复
排列.注意到第二类重复排列有57种,则第一类重复排列有67-57种.于是．
P(A 5)=0202.010567
7
7≈-. 评注 例3是一个比较典型的返回取样问题,解题的思想方法,对于同类问题具有指导意义.但决不能把它作为现成的公式乱套,即使同是随机取数问题,也须斟酌题意灵活运用.例如,下面的四个问题,表面看结构相仿,实质上差别较大,读者不妨一试,以资鉴别.
(1)电话号码有五个数字组成,求电话号码由完全不同的数字组成的概率.
(答案：551010
A ．) (2)某单位印刷的一种单据,编号由五个数字组成,从00001开始,求任取其中一张,编号由完全不同的数组成的概率.
(答案:1
105510-A ．) (3)在0至9这十个数字中,不放回地任取5个,求能排成由完全不同的数字组成的五位数的概率.
(答案:510
454959)(A A A C A -+．) (4)在0至9这十个数字中,有放回地任取5个,求能排成由完全不同的数字组成的6位数的概率.
(答案:5
45495910)(A A C A -+．) 四、选票问题
[例4]假定在一次选举中,候选人甲得a 票,候选人乙得b 票,且a ＞b,试求下列事件的概率：
(1)Ａ：在计票过程中,甲、乙的票数在某个时刻相等；
(2)Ｂ：在计票过程中,甲的票数总比乙的票数多;
(3)Ｃ：在计票过程中,甲的票数总不落后于乙.
思考方法 本题结构比较复杂,不大容易入手.为了便于分析,我们不妨考虑一个简化问题,比如,令a=3,b=2．这时,样本空间就是3张属于甲的选票和2张属于乙的选票的全排列.显然这是一个不尽相异元素的全排列问题,其排列种数为10!
2!3)!23(=?+．如果把样本点具体写出来,就是
①乙乙甲甲甲,②乙甲乙甲甲,③乙甲甲乙甲,④乙甲甲甲乙,⑤甲甲乙乙甲,⑥甲乙乙甲甲,⑦甲乙甲乙甲,⑧甲乙甲甲乙,⑨甲甲乙甲乙,⑩甲甲甲乙乙.
为了直观地反映事件Ａ,Ｂ,Ｃ的情形,我们可以利用平面坐标的思想,建立样本点和平面折线的对应关系.具体地说,以横轴表示计票张数,纵轴表示计票过程中甲、乙两候选人所得票数之差；先依样本点在计票过程中的情形,在坐标平面上确定点的位置,再用线段把各点连成折线.如图3-3[1]所示,点Ｏ(0,0)表示计票起点；点Ａ(1,-1)表示第一张选票是属于乙的,甲、乙票数之差等于-1；点Ｂ(2,-2)表示第二张选票也是属于乙的,这时共计了两张选票,甲、乙票数之差等于-2；点Ｃ(3,-1)表示第三张选票是属于甲的,这时共计了三张选票,甲、乙票数之差等于-1；点Ｄ(4,0)表示第四张选票是属于甲的,这时共计了四张选票,甲、乙票数之差等于0,即两人得票数相等；点Ｅ(5,1)表示第五张选票也是属于甲的,这时共计了五张选票,甲、乙票数之差等于 1.这样,图3-3[1]的折线就形象地刻划了样本点“乙乙甲甲甲”在计票过程中的情形.同样,图3-3[2]至[10]的各条折线,刻划了其余九个样本点在计票过程中的情形.
经过上述处理,我们从图3-3就可以形象地看到：事件Ａ包含的样本点,它们所对应的折线,除起点外,与横轴至少有一个公共点；事件Ｂ包含的样本点,它们所对应的折线,除起点外,图形全在横轴的上方,与横轴没有其余的公共点；事件Ｃ的样本点,它们所对应的折线,在横轴的上方,且与横轴允许有其余的公共点.这样,从图中容易得到,Ａ的样本点数为8,Ｂ的样本点数为2,Ｃ的样本点数为5．于是
P(A)=8/10=0.8; P(B)=2/10=0.2; P(C)=5/10=0.5.
分析到这里,简化问题得以解决.为了能用于指导原题的解答,我们还需对简化问题作进一步的考察.细酌题中的各个事件,从图3-3可以得到以下结论：
1.在计票过程中,甲的票数总比乙少的情形是不可能发生的.事实上,如果甲的票数总比乙少,那么甲的得票总数将比乙少,与条件a ＞b 相矛盾.这就表明,事件Ａ与Ｂ必为互逆事件.
2.事件Ｂ的样本点,对应于图3-3[9]、[10]所示的折线.这两个样本点的共同特点是：
甲先得一票；如果把这一票扣除,那么余下的四票就组成甲得2票、乙得2票时,事件“在计票过程中,甲的票数总不落后于乙”的样本点.这样,我们就可把事件Ｂ与事件Ｃ联系起来,相互转化.
3.从1、2可知,解题的关键,在于推求P(A)；而计算P(A)的关键,又在于确定Ａ的样本点数.从图3-3不难看出,A 的样本点可以分为两类：一类是第一张选票属于乙的;另一类是第一张选票属于甲的.前一类样本点数,相当于3张属于甲的选票和2-1=1张属于乙的选票的全排列数：4!
1!3)!13(=+．后一类样本点数,似难直接推算.但从图3-3可以看出.如果把这一类样本点所对应的折线,从起点到首次触到横轴的部分,对横轴作一次反射,那么就得到第一类样本点(参考图3—3[1]—[4]与[5]—[8].这就是说,两类样本点在所作的反射下是一一对应的.所以,第二类样本点数等于第一类样本点数.分析到这里,原题就不难解出了.
[解] 依题设,样本空间就是a 张屋于甲的选票与b 张属于乙的选票的全排列.这是一个不尽相异元素的排列问题,排列种数为!
!)!(b a b a +,这就是样本点的总数. (1)为了计算A 的样本点数.我们把A 的每个样本点表示成形如图3—3的折线,横标为计票张数,纵标为甲、乙票数之差；斜率为1的线段表示计票过程中甲得票,斜率为-1的线段表示计票过程中乙得票.这样,可以把A 的样本点分成两类：第一类为第一张选票属于乙的,在这种场合,于某个时刻必然会出现甲、乙两人的票数相等(因为a>b)；第二类为第一张选票属于甲,且在某时刻甲、乙两人的票数相等.
这里,第一类样本点数,相当于a 张属于甲的选票与b-1张属于乙的选票的全排列数,有)!
1(!)!1(--+b a b a 种. 对于第二类样本点的任一折线,从起点到首次触到横轴的部分对横轴作一次反射,其余部分保持不变,就得到第一类样本点的一条折线(图3-4).不难证明,用这样的方法可以建立起第一类与第二类样本点之间的一一对应关系.所以,第二类样本点数也是)!1(!)!1(--+b a b a ．这样,事件Ａ的样本点数为)!
1(!])!1[(2--+b a b a ．于是 P(A)=b
a b b a b a b a b a +=+--+2!!)!
()!1(!]
)!1[(2
(2)在a ＞b 的条件下,事件Ｂ是事件Ａ的逆事件,所以
P(B)=1-P(A)=1-b
a b a b a b +-=+2. (3)为了方便起见,我们用C a,b 记事件“在计票过程中,甲的票数总不落后于乙”;用B a,b 记事件“在计票过程中,甲的票数总比乙多”(足码a,b 表示在计票过程中一共有a ＋b 张选票,其中a 张属于甲的,b 张属于乙的).容易看出,B a,b 的样本点,它们所对应的折线,全在横轴的上方.所以,如果把第一张属于甲的选票去掉(相当于把横轴向上平移一个单位),那么余下的折线仍在新横轴的上方,最多与新横轴有若干个公共点(图3-5),从而必是C a-1,b 的样本点.也就是说,C a-1,b 的样本点数与B a,b 的样本点数相等.
因此,C a-1,b 的样本点数为
!
1)()!1()!1(!)!1(2!!)!(b a b a b a b a b a b a b a --+=--+?-+. 而对应的样本点总数为!
)!1()!1(b a b a ?-+-．于是 P(C a-1,b )=
a b a b a b a b a b a b a -=?--+?--+!)!1()!1(!!)
()!1(. 在上式中用a ＋1替换a,即得
P(C)=P(C a,b )=1
1++-a b a .
评注 在解题过程中,我们借助了几何直观,把每个样本点都用坐标平面上的一条折线来表示,并采用了反射的技巧,建立起事件Ａ的两类样本点之间的一一对应关系,把本来难以入手的问题,转化为容易求解的排列问题.本题涉及到较多的理论问题,深入进行考察,还可得到许多有趣的结论,有兴趣的读者可以阅读威廉．费勒(William Feuer)的名著《概率论及其应用》(胡迪鹤等译,科学出版社1964年11月第一版).
例4是一个典型的古典概率问题.利用本题的结论和思想方法,不难解答下列问题：
(1)一口袋中有m 个白球及n 个黑球,且m ＞n,从袋中一个个把球取出(不返回),直至把球全部取出.求在整个摸球过程中,得到相同个数黑、白球的概率.
(答案：n
m n +2．) (2)掷均匀硬币几次,求总共掷出m 次正面(m ＞n/2)且在整个投掷过程中掷出反面次数总小于正面次数的概率.
(答案：n
n m -2．) (3)剧院售票处有2n 个人排队买票,其中n 人只有五角钱一张的钞票,其余几个人只有一元钱的钞票.开始售票时售票处无钱可找,而每个人只买一张五角钱的票.求售票处不会找不出钱的概率.
(答案：1
1+n ．) (4)一口袋中有n 个白球和n 个黑球.从袋中一个个把球取出(不返回),直至球全部取出.求在摸完全部球之前,摸出的白球个数总比摸出的黑球个数多的概率.
(答案：
)12(21-n ．)
2020年 《概率统计》 第1页 共2页 桂林理工大学2020年硕士研究生入学考试试题（A 卷） 考试科目代码：874 考试科目名称：概率统计 （总分150分，三小时答完） 考生注意：1．请将答题写在答卷纸上，写在试卷上视为无效。 2．考试需带 用具 一 、填空题（本大题共9小题，每小题5分，共45分） 1．有两个袋子，每个袋子都装有a 只黑球，b 只白球。从第一个袋子中任取1只球放入第二个袋子中，充分混合后再从第二个袋子中任意取出1只球。则从第二个袋子中取得的是黑球的概率p = 。（注：每个袋子中的球只有颜色差别，其它特征均相同） 2．已知()0.7P A =，()0.4P B =，(0.5P AB =，则((|)P A B B = 。 3．已知X 为连续型随机变量，概率密度函数为,02()20,x x f x ?<-= 。 4．已知随机变量X 的概率密度函数为|| (),x k f x e μσσ--=x -∞<<+∞，其中参数μ-∞<<+∞， 0σ>。则常数k = ；X 的期望()E X = 。 5．设随机变量~(1,1)X N ，~(1,2)Y N -且X 与Y 相互独立。则(2)P X Y -<= 。 6．设随机变量X 服从均匀分布(1,2)U ，2X Y e -=，则Y 的概率密度函数()Y f y = 。 7．某厂要从供应商处购进元件，双方协商的验货规则是：每批货随机地抽取5只进行检验，若抽检的5只中的不合格品数不超过1，则该厂应接收这批货，其它情况则作退货处理。若一批元件中有20%的为不合格品，则该厂接收这批货的概率为 。（结果保留4位小数） 8．某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p (0
XX考研数学概率论重要考点总结 第一章随机事件和概率 一、本章的重点内容： 四个关系：包含，相等，互斥，对立﹔ 五个运算：并，交，差﹔ 四个运算律：交换律，结合律，分配律，对偶律(德摩根律)﹔ 概率的基本性质：非负性，规范性，有限可加性，逆概率公式﹔ 五大公式：加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式﹔· 条件概率﹔利用独立性进行概率计算﹔·重伯努利概型的计算。 近几年单独考查本章的考题相对较少，从考试的角度来说不是重点，但第一章是基础，大多数考题中将本章的内容作为基础知识来考核，都会用到第一章的知识。 二、常见典型题型： 1.随机事件的关系运算﹔ 2.求随机事件的概率﹔ 3.综合利用五大公式解题，尤其是常用全概率公式与贝叶斯公式。 第二章随机变量及其分布 一、本章的重点内容： 随机变量及其分布函数的概念和性质(充要条件)﹔
分布律和概率密度的性质(充要条件)﹔ 八大常见的分布：0-1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布及它们的应用﹔ 会计算与随机变量相联系的任一事件的概率﹔ 随机变量简单函数的概率分布。 近几年单独考核本章内容不太多，主要考一些常见分布及其应用、随机变量函数的分布 二、常见典型题型： 1.求一维随机变量的分布律、分布密度或分布函数﹔ 2.一个函数为某一随机变量的分布函数或分布律或分布密度的判定﹔ 3.反求或判定分布中的参数﹔ 4.求一维随机变量在某一区间的概率﹔ 5.求一维随机变量函的分布。 第三章二维随机变量及其分布 一、本章的重点内容： 二维随机变量及其分布的概念和性质， 边缘分布，边缘密度，条件分布和条件密度， 随机变量的独立性及不相关性， 一些常见分布：二维均匀分布，二维正态分布， 几个随机变量的简单函数的分布。
考研数学备考：概率论各章节知识点梳理考研备考时间已然快要过半，还在为了备考方法焦灼？不用担心！老司机带你上车，下面由我为你精心准备了“考研数学备考：概率论各章节知识点梳理”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！ 考研数学备考：概率论各章节知识点梳理 众所周知，概率论的知识点又多又杂，需要我们系统的归类并掌握，这样才能获得高分。为此我整理了相关内容，希望对大家有所帮助。 第一部分：随机事件和概率 (1)样本空间与随机事件 (2)概率的定义与性质(含古典概型、几何概型、加法公式) (3)条件概率与概率的乘法公式 (4)事件之间的关系与运算(含事件的独立性) (5)全概公式与贝叶斯公式 (6)伯努利概型 其中：条件概率和独立为本章的重点，这也是后续章节的难点之一，请各位研友务必重视起来。 第二部分：随机变量及其概率分布 (1)随机变量的概念及分类 (2)离散型随机变量概率分布及其性质 (3)连续型随机变量概率密度及其性质 (4)随机变量分布函数及其性质 (5)常见分布 (6)随机变量函数的分布
其中：要理解分布函数的定义，还有就是常见分布的分布律抑或密度函数必须记好且熟练。 第三部分：二维随机变量及其概率分布 (1)多维随机变量的概念及分类 (2)二维离散型随机变量联合概率分布及其性质 (3)二维连续型随机变量联合概率密度及其性质 (4)二维随机变量联合分布函数及其性质 (5)二维随机变量的边缘分布和条件分布 (6)随机变量的独立性 (7)两个随机变量的简单函数的分布 其中：本章是概率的重中之重，每年的解答题定会有一道与此知识点有关，每个知识点都是重点，务必重视! 第四部分：随机变量的数字特征 (1)随机变量的数字期望的概念与性质 (2)随机变量的方差的概念与性质 (3)常见分布的数字期望与方差 (4)随机变量矩、协方差和相关系数 其中：本章只要清楚概念和运算性质，其实就会显得很简单，关键在于计算。 第五部分：大数定律和中心极限定理 (1)切比雪夫不等式 (2)大数定律 (3)中心极限定理
2017考研数学：概率论重要知识点梳理 来源：文都图书 概率论在历年考研数学真题中特点比较明显。概率论与数理统计对计算技巧的要求低一些，一些题目，尤其是文字叙述题要求考生有比较强的分析问题的能力。所以考生应在这门中尽量做到那全分，这样才能保证数学的分数，下面我们整理了一些概率论的重要知识点： 第一部分：随机事件和概率 (1)样本空间与随机事件 (2)概率的定义与性质(含古典概型、几何概型、加法公式) (3)条件概率与概率的乘法公式 (4)事件之间的关系与运算(含事件的独立性) (5)全概公式与贝叶斯公式 (6)伯努利概型 其中：条件概率和独立为本章的重点，这也是后续章节的难点之一，考生务必引起重视， 第二部分：随机变量及其概率分布 (1)随机变量的概念及分类 (2)离散型随机变量概率分布及其性质 (3)连续型随机变量概率密度及其性质 (4)随机变量分布函数及其性质 (5)常见分布 (6)随机变量函数的分布 其中：要理解分布函数的定义，还有就是常见分布的分布律抑或密度函数必须记好且熟练。 第三部分：二维随机变量及其概率分布 (1)多维随机变量的概念及分类 (2)二维离散型随机变量联合概率分布及其性质 (3)二维连续型随机变量联合概率密度及其性质
(4)二维随机变量联合分布函数及其性质 (5)二维随机变量的边缘分布和条件分布 (6)随机变量的独立性 (7)两个随机变量的简单函数的分布 其中：本章是概率的重中之重，每年的解答题定会有一道与此知识点有关，每个知识点都是重点，务必重视! 第四部分：随机变量的数字特征 (1)随机变量的数字期望的概念与性质 (2)随机变量的方差的概念与性质 (3)常见分布的数字期望与方差 (4)随机变量矩、协方差和相关系数 其中：本章只要清楚概念和运算性质，其实就会显得很简单，关键在于计算 第五部分：大数定律和中心极限定理 (1)切比雪夫不等式 (2)大数定律 (3)中心极限定理 其中：其实本章考试的可能性不大，最多以选择填空的形式，但那也是十年前的事情了。 第六部分：数理统计的基本概念 (1)总体与样本 (2)样本函数与统计量 (3)样本分布函数和样本矩 其中：本章还是以概念为主，清楚概念后灵活运用解决此类问题不在话下 第七部分：参数估计 (1)点估计 (2)估计量的优良性 (3)区间估计
概率论与数理统计基本公式 欧阳光明（2021.03.07） 第一部分 概率论基本公式 1、) (;A B A B A AB A B A B A -?=?-==-- 2、对偶率： .- ---?=??=?B A B A B A B A ； 3、概率性率：)()();()()(),()()(B P A P B P A P B A P A B AB P A P B A P ≥-=-?-=-时有： 特别， 4、古典概型 5、条件概率 例：有三个罐子，1号装有2红1黑共3个球，2号装有3红1黑4个球，3号装有2红2黑4个球，某人随机从其中一罐，再从该罐中任取一个球，（1）求取得红球的概率；（2）如果取得是红球，那么是从第一个罐中取出的概率为多少？ . 348.0) () ()|()|()2(. 639.0)(3 1 )()()(. 21)|(;43)|(;32)|()|()()(}{3,2,1i }{)1(111321321i i 321≈=≈∴==========∑A P B P B A P A B P A P B P B P B P B A P B A P B A P A B P A P B P B B B A i B i i 由贝叶斯公式：，，依题意，有：由全概率公式是一个完备事件、、，由题知取得是红球。，号罐球取自设解：6、独立事件 （1）P(AB)=P(A)P(B),则称A 、B 独立。 (2)伯努利概型 如果随机试验只有两种可能结果：事件A 发生或事件A 不发生，则称为伯努利试验，即：
P(A)=p,q p A P =-=- 1)( (0 历年考研概率真题集锦（2000-2019） ——对应茆诗松高教出版社“概率论与数理统计” 第一章 §1.1 1、（2001数学四）（4）对于任意二事件A 和B ，与A B B ?=不等价的是（ ） A 、A B ? B 、B A ? C 、AB =Φ D 、AB =Φ 2、（2000数学三、四）（5）在电炉上安装4 个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t ，电炉就断电。以E 表示事件“电炉断电”，而(1)(2)(3)(4)T T T T ≤≤≤为4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E 等于（ ） (A ) {}(1)0T t ≥ (B ) {}(2)0T t ≥ (C ) {}(3)0T t ≥ (D ) {} (4)0T t ≥ §1.2 1、（2007数学一、三）(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于1 2 的概率为________. §1.3 1、（2009数学三）（7）设事件A 与事件B 互不相容，则( ) (A )()0P AB = (B )()()()P AB P A P B = (C )()1()P A P B =- (D )()1P A B ?= 2、（2015数学一、三）(7) 若A ,B 为任意两个随机事件，则( ) (A ) ()()()≤P AB P A P B (B ) ()()()≥P AB P A P B (C ) ()()()+2≤ P A P B P AB (D ) ()()() +2 ≥P A P B P AB 3、（2019数学一、三）（7）设A 、B 为随机事件，则()()P A P B =的充分必要条件是（ ） （A ）()()()P A B P A P B =+U （B ） ()()()P AB P A P B = （C ）()()P AB P B A = （D ）()()P AB P AB = §1.4 1、 A B AB A AB;A B A (B A) 例： 证明： A B) B A AB AB A B. 第一部分 概率论基本公 式 概率论与数理统计基本公式 证明： 由(A B) B ，知 B 不发生， A 发生，则 AB 不发生，从而 A B) B A AB 成立，也即 A B 成立，也即 A B 成立。得证。 2、对偶率： A B A B ；A B A B. 3、概率性率： (1) 有限可加： A 1、 A 2为不相容事件，则 P(A 1 A 2) P(A 1) P(A 2) P(A B) P(A ) P(B);P(A) P(B) (3) 对任意两个事件有： P(A B) P(A) P(B) P(AB) 例：已知： P(A) 0.5， P(AB) 0.2，P(B) 0.4.求：(1)P(AB);P(A B); P(A 解： AB AB B,且B 、AB 是不相容事件， P(AB) P(AB) P(B) 即P(AB) 0.2.,又 P(A) 0.5, P(A B) P(A) P(AB) 0.3 P(A B) P(A) P(B) P(AB) 0.7, P( AB) PA B 1 P(A B) 0.3. 4、古典概 P(A B) P(A) P(AB),特别， B A 时有： (2) B); P( AB ) 例： n 双鞋总共 2n 只，分为 n 堆，每堆为 2只，事件 A 每堆自成一双鞋的概率 2n (2-n 2))!！ 2！ ,自成一双为： n! C 22 n 解：分堆法： C 22n n ！，则 P(A) 5、条件概率 P(B| A) P(AB) ,称为在事件 A 条件下，事件 B 的条件概 率， P(A) P(B)称为无条件概率。 乘法公式： P(AB) P(A)P(B |A) P(AB) P(B)P(A |B) 全概率公式：P(B) P(A i )P(B| A i ) i 贝叶斯公式： P(A i |B) P(A i B) P(A i )P(B|A i ) i P(B) P(A j )P(B |A j ) j 例：有三个罐子， 1号装有 2红1黑共 3个球， 2号装有 3红1黑 4个球， 3号装有 2红2 概率论公式背诵 第一章 P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB) 特别地，当 A 、 B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式 概率的乘法公式 全概率公式：从原因计算结果 Bayes 公式：从结果找原因 第二章 二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p) ) ()()|(B P AB P B A P = )|()()(B A P B P AB P =)|()(A B P A P =∑==n k k k B A P B P A P 1) |()()(∑== n k k k i i k B A P B P B A P B P A B P 1 ) |()() |()()|(∑≤==≤=x k k X P x X P x F ) ()()(1 ),(0≤≤y x F } ,{),(y Y x X P y x F ≤≤= 泊松分布——X~P(λ) 概率密度函数 怎样计算概率 均匀分布X~U(a,b) 指数分布X~Exp (θ) ),...,1,0()1()(n k p p C k X P k n k k n =-==-，,...) 1,0(! )(== =-k e k k X P k ，λλ1)(=? +∞ ∞ -dx x f ) (b X a P ≤≤?=≤≤b a dx x f b X a P )()() 0(1 )(/≥= -x e x f x θ θ )(1)(b x a a b x f ≤≤-= 分布函数 对离散型随机变量 对连续型随机变量 分布函数与密度函数的重要关系： 二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法 联合密度函数 联合分布函数 联合密度与边缘密度 ?∞-=≤=x dt t f x X P x F )()()(? ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()() ,(y x f ) ,(y x F 0 ),(≥y x f 1 ),(=?? +∞∞-+∞ ∞ -dxdy y x f ?+∞ ∞ -=dy y x f x f X ),()() ()(' x f x F = 考研数学公式(高数- 线代-概率)40923 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222?????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 2 2)ln(221 cos sin 22 2222 2222222 22222 2 22 2 π π 概率论基本公式 Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998 概率论与数理统计基本公式 第一部分概率论基本公式 1、)(;A B A B A AB A B A B A -?=?-==-- 例：证明： 2、对偶率：.- - - - ?=??=?B A B A B A B A ； 3、概率性率： (1) )()()(212121A P A P A A P A A +=?为不相容事件，则、有限可加：(2 ) ) ()();()()(),()()(B P A P B P A P B A P A B AB P A P B A P ≥-=-?-=-时有： 特别， （3）)()()()(AB P B P A P B A P -+=?对任意两个事件有： 4、古典概型 5、条件概率 例：有三个罐子，1号装有2红1黑共3个球，2号装有3红1黑4个球，3号装有2红2黑4个球，某人随机从其中一罐，再从该罐中任取一个球，（1）求取得红球的概率；（2）如果取得是红球，那么是从第一个罐中取出的概率为多少 . 348.0) () ()|()|()2(. 639.0)(3 1 )()()(.2 1 )|(;43)|(;32)|()|()()(}{3,2,1i }{)1(111321321i i 321≈=≈∴====== ====∑A P B P B A P A B P A P B P B P B P B A P B A P B A P A B P A P B P B B B A i B i i 由贝叶斯公式：，，依题意，有：由全概率公式是一个完备事件、、，由题知取得是红球。，号罐球取自设解：6、独立事件 2016考研数学概率论零基础入门讲 目录 第一讲随机事件与概率 (1) 第二讲一维随机变量及其概率分布 (7) 第三讲随机变量的数字特征 (12) 【注】（1）数二的考生不需要学习这部分内容。 （2）老师没有完全按照讲义的顺序讲课，而是打乱了顺序，重新整合授课体系，但是老师所讲的内容多数是包含在讲义中的，讲义中没有的内容需要同学们自己做笔记. 第一讲随机事件与概率 一、从古典概型讲起 1.随机试验与随机事件 称一个试验为随机试验，如果满足： （1）同条件下可重复 （2）所有试验结果明确可知且不止一个 （3）试验前不知哪个结果会发生 【注】①在一次试验中可能出现，也可能不出现的结果称为随机事件，简称为事件，并用大写字母A, B, C 等表示，为讨论需要，将每次试验一定发生的事件称为必然事件，记为Ω．每次试验一定不发生的事件称为不可能事件，记为φ． ②随机试验每一最简单、最基本的结果称为基本事件或样本点，记为ωi . 2.古典概率 称随机试验(随机现象)的概率模型为古典概型，如果其基本事件空间(样本空间)满足: (1)只有有限个基本事件(样本点)； (2)每个基本事件(样本点)发生的可能性都一样． 【注】①等可能：对于可能结果: ω1,ω2 , ,ωn ，我们找不到任何理由认为其中某一结果ωi 更易发生，则只好（客观）认为所有结果在试验中发生的可能性一样. ②如果古典概型的基本事件总数为n ，事件A 包含k 个基本事件，即有利于A 的基本事件k 个．则A 的概率定义为 P( A) =k = 事件A所含基本事件的个数n 由上式计算的概率称为A 的古典概率． 3.计数方法 基本事件总数 1 概率论与数理统计是考研数学一和数学三的必考内容，数学二的考生不考。这部分的内容相对于高等数学而言算是较简单的部分，与线性代数一样都是考生必须要抓住的地方。下面整理了考研概率论与数理统计必考的六种题型，希望对你有所帮助! 1、参数估计 这是数一的考试重点，同时它也将成为未来数三的考试重点，所以数三的考生要引起足够的重视。点估计的两种方法即矩估计法和最大似然估计法经常是以解答题的形式进行考查，经常是试卷的最后一道题目。而今年数一和数三把点估计的两种方法都考了一遍，占11分。 2、数理统计的基本概念 此部分主要考两个题型，第一个是判定统计量的分布，第二个常考题型是求统计量的数字特征。常以客观题的形式进行考查。今年数一和数三都考了一个选择题，考的是第二个题型就求统计量的数字特征，此题涉及到的知识点，往年已考过多次。 3、随机事件和概率 它的重点内容主要是事件的关系和运算，古典概型和几何概型，加法公式、减法公式、乘法公式、全概公式和贝叶斯公式。主要是以客观题的形式考查。今年的考研数学中，数一和数三的一个选择题就考到了事件的关系和概率的问题。 4、随机变量的数字特征 1 / 3 每年必考，主要和其他知识点相结合来考查，一般是一道客观题和一道解答题中的一问，所以要重点复习。我们要掌握相应的公式进行计算即可，今年数一和数三的一个大题的第二小问考到了随机变量的数字特征，而且还是结合高等数学的无穷级数求和函数来考的，难度稍大。 5、一维随机变量及其分布 这是每年必考的，有单独直接考查，也经常与二维随机变量相结合去考查。重点内容是常见分布，主要是以客观题的形式考查。而今年数一和数三都是以大题的形式考到了常见分布——二项分布和n重伯努利试验的问题。 6、二维随机变量 重点内容是二维随机变量的概率分布(概率密度)、边缘概率、条件概率和独立性及二维正态分布的性质。二维离散型随机变量的概率分布的建立，主要是结合古典概率进行考查。二维连续型随机变量的边缘概率密度和条件概率密度的计算，很多考生计算存在误区，一定要注意。而今年数一和数三只考到了二维正态分布的一个性质，还是一个填空题。 接下来是考研概率论与数理统计的九个解题规律 1.如果要求的是若干事件中“至少”有一个发生的概率，则马上联想到概率加法公式;当事件组相互独立时，用对立事件的概率公式。 2.若给出的试验可分解成(0-1)的n重独立重复试验，则马上联想到Bernoulli试验，及其概率计算公式。 2 / 3 概率论与数理统计基本公式 第一部分概率论基本公式 1、A -B =AB 二A -AB; A B = A 一(B -A) 2、对偶率：A 一 B = B ；A ' B = A 一 B. P(A - B) = P(A) - P(AB),特别，B A 时有: P(A _ B)二 P(A) _ P(B); P(A) _ P(B) 对任意两个事件有： P(A B) = P(A) - P(B) - P(AB) 4、古典概型 例：n 双鞋总共2n 只，分为n 堆，每堆为2只，事件A 每堆自成一双鞋的概率 5、条件概率 P(B | A) =P(AB ),称为在事件A 条件下，事件B 的条件概率，P(B)称为无条件概率。 P(A) 乘法公式：P(AB) = P(A)P(B |A) P(AB) = P(B)P(A | B) 全概率公式：P(B)=5： P(A)P(B|A i ) i 贝叶斯公式：P(A|B)=P^= P(A i )P(B|A) P(B) Z P(A j )P(B|A j ) j 例：有三个罐子，1号装有2红1黑共3个球，2号装有3红1黑4个球，3号装有2红2 黑4个球，某人随机从其中一罐 ，再从该罐中任取一个球 ，(1)求取得红球的概率 (2)如果取得是红球，那么是从第一个罐中取出的概率为多少 ？ 解：分堆法：C ；n 島！，自成一双为: n ！，则 P(A) = n*. C 2n 3、概率性率 解：1)设B i=｛球取自i号罐｝, i =1,2,3。A =｛取得是红球｝，由题知B1> B2、B3是一个完备事件 2 3 1 由全概率公式P(B)=v P(A)P(B|A) 依题意，有：P(A|B i) ;P(A|B2); P(A| B3) . i 3 4 2 1 P(BJ =P(B2) = P(B3) ，P(A) ：0.639. 3 (2)由贝叶斯公式：P(B1 | A)二P(A| B1)P(B1):. 0.348. P(A) 6、独立事件 (1)P(AB)=P(A)P(B),则称A、B 独立。 (2)伯努利概型 如果随机试验只有两种可能结果：事件A发生或事件A不发生，则称为伯努利试验，即： P(A)=p, P( A) =1 - p = q (0 考研概率论部分历年真题（总结） 数学一： 1（87，2分） 设在一次试验中A 发生的概率为p ，现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为 ；而事件A 至多发生一次的概率为 。 2（87，2） 三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球5个白球。现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率等于 。已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为 。 3（88，2分） 设三次独立试验中，事件A 出现的概率相等，若已知A 至少出现一次的概率等于2719，则事件A 在一次试验中出现的概率为 。 4（88，2分） 在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为 。 5（89，2分） 已知随机事件A 的概率P （A ）=0.5，随机事件B 的概率P （B ）=0.6及条件概率P （B | A ）=0.8，则和事件A B 的概率P （A B ）= 。 6（89，2分） 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 。 7（90，2分） 设随机事件A ，B 及其和事件A B 的概率分别是0.4, 0.3和0.6，若B 表示B 的对立事件，那么积事件A B 的概率P （A B ）= 。 8（91，3分） 随机地向半圆0 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='?-='?='-='='2 22211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='??????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222?? ? ??++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 222222222222222222 222 020ππ 概率论与数理统计基本公式 第一部分 概率论基本公式 1、)(;A B A B A AB A B A B A -?=?-==-- 2、对偶率：.- ---?=??=?B A B A B A B A ； 3、概率性率：) ()();()()(),()()(B P A P B P A P B A P A B AB P A P B A P ≥-=-?-=-时有： 特别， 4、古典概型 5、条件概率 例：有三个罐子，1号装有2红1黑共3个球，2号装有3红1黑4个球，3号装有2红2黑4个球，某人随机从其中一罐，再从该罐中任取一个球，（1）求取得红球的概率；（2）如果取得是红球，那么是从第一个罐中取出的概率为多少？ . 348.0) () ()|()|()2(. 639.0)(3 1 )()()(. 21)|(;43)|(;32)|()|()()(}{3,2,1i }{)1(111321321i i 321≈=≈∴==========∑A P B P B A P A B P A P B P B P B P B A P B A P B A P A B P A P B P B B B A i B i i 由贝叶斯公式：，，依题意，有：由全概率公式是一个完备事件、、，由题知取得是红球。，号罐球取自设解：6、独立事件 （1）P(AB)=P(A)P(B),则称A 、B 独立。 (2)伯努利概型 如果随机试验只有两种可能结果：事件A 发生或事件A 不发生，则称为伯努利试验，即： P(A)=p,q p A P =-=- 1) ( (0 考研数学概率论与数理统计常用公式 1．随机事件及其概率 吸收律：A AB A A A A =?=??Ω=Ω?)(A B A A A A A =??? =??=Ω?)() (AB A B A B A -==- 2P P P P 3P 乘法公式 ()) 0)(()()(>=A P A B P A P AB P ()() ) 0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P 全概率公式 ∑==n i i AB P A P 1)()() ()(1 i n i i B A P B P ?=∑= Bayes 公式 )(A B P k )()(A P AB P k =∑==i i i k k B A P B P B A P B P 1 ) ()()()(4．随机变量及其分布 分布函数计算 P ≤-≤=≤<5P P *P 6(1)均匀分布) ,(b a U ?? ???<<-=其他,0,1)(b x a a b x f ???????--=1,,0)(a b a x x F (2)指数分布) (λE ?????>=-其他,00,)(x e x f x λλ???≥-<=-0 ,10,0)(x e x x F x λ(3)正态分布 N (μ,σ2)+∞<<∞-=--x e x f x 22 2)(21)(σμσπ?∞---=x t t e x F d 21 )(222)(σμσπ*N (0,1)—标准正态分布 27.F F f F f Y 8.?其他, 0f (2)二维正态分布 +∞ <<-∞+∞<<∞-?-=????????????-+------y x e y x f y y x x ,121 ),(2222212121212)())((2)()1(21221σμσσμμρσμρρσπσ 第3章 数字特征 1． （1987年、数学一、填空） 设随机变量X 的概率密度函数,1 )(1 22 -+-= x x e x f π 则 E(X)=( ),)(X D =( ). [答案 填：1； 2 1.] 由X 的概率密度函数可见X ～N(1, 21 ),则E(X)=1，)(X D =2 1. 2． （1990年、数学一、填空） 设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且Z=3X-2, 则E(X)=( ). [答案 填：4] 3． （1990年、数学一、计算） 设二维随机变量(X,Y)在区域D:0 4． （1991年、数学一、填空） 设X ～N(2，2 σ）且P{2 历年考研概率真题集锦(2000-2019)-精品推荐
(完整版)概率论基本公式
考研数学概率论公式背诵
离散型随机变量： ⑴0-1 分布
pk p x k pkq1k (k 0,1)
EX p
DX pq
⑵二项分布 B(n, p)
pk p x k Cnk pkqnk (k 0,1, n)
EX np
DX npq
⑶泊本介分布 p()
pk
p x k ke (k 0,1,2,
k!
n)
EX
DX
连续型随机变量
⑴均匀分布U (a,b)
⑶正态分布
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
2
E(x)
D(x) 2
⑷ 2 分布 x1 xn N(0,1)
2 x12 xn2
EX n DX 2n
正态分布【特殊】
若 X N(, 2)
一维
Z (X ) N(0,1)
F (x) px
p
x
(
)
f
(
x)
b
1
a
x
(a,b)
0
其他
b
EX x f (x)dx x
1
dx b a
a ba
2
DX b x2 1 dx (b a )2 b2 ab a2 b2 2ab a2 (b a )2
a ba
2
3
4
12
⑵指数分布
f
(
x)
e
x
0
x0 其他
EX
1
DX
1 2
二维正态分布
(X ,Y ) N(1, 2；12，22; ) ① X 、Y 独立 X ~ N(1,12)
0
Y
~
N
(2
,
2 2
)
(X ,Y ) N(1, 2;12,22;0)
② aX bY 仍服从正态分布
若 XY 0 X 与Y 不相关(只有在正态条件下，才能推独立)
Cov(X ,Y ) 0
EXY EXEY D(X Y ) DX DY
常用公式：
E(X Y ) EX EY EXY =EXEY DX =EX 2 (EX )2
X、Y独立
D(X Y ) DX DY 2Cov(X ,Y )
D(X C) DX
Cov(X ,Y ) EXY EXEY
Cov(X ,C) 0
Cov(aX ,bY ) abCov(X ,Y )
Cov(X Y , Z) Cov(X , Z) Cov(Y, Z)
XY
Cov(X ,Y ) DX DY
1/2概率论公式总结
考研数学公式(高数-线代-概率)40923
概率论基本公式
历年考研数学概率论零基础讲义
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