简谐运动的图像和公式 Last revised by LE LE in 2021
北京丰台二中教案纸
2、图像中的信息：
（1）任一时刻的位移
（2）T、A、f
(3)恢复力和加速度大小方向的
变化
(4)速度方向和大小的变化
3．简谐运动的表达式：
作业
教
学
反
思
高中物理-简谐运动的图像和公式教学设计 教学目标 1．理解振动图象的物理意义。 2．通过利用图象得到的信息,例如判断物体的位移、速度、加速度等物理量的大小与方向的变化规律,培养学生的抽象思维能力。 3．理解简谐运动的表达式,进一步使学生掌握解决物理问题的两种方法：公式法和图象法。 4．通过实验法得到简谐运动的图象,培养学生认真、严谨、实事求是的科学态度。 重点难点 重点：简谐运动图象的物理意义和特点；运用简谐运动的图象解决有关位移、周期、频率、加速度、回复力等问题。 难点：用实验法描绘出简谐运动的图象；运用简谐运动的图象求解实际问题。 设计思想 在高考中对本节的考查重点在于由振动图像获得振动的信息,并能理解振动方程,学生学习过程中重点在于理解振动图像的物理意义,并能很好得寻找出图像中包含的信息。这些重点知识,重要方法的学习,本课采用了学习自主探究的方式,培养学生的观察习惯,提高学生处理图像的能力。 教学资源《简谐运动的图像和公式》多媒体课件、、 实验器材：沙漏,悬挂支架,可拖动的长板,单摆 教学设计 【课堂引入】 质点做直线运动时,x-t图象能形象地说明质点的位移随时间变化的规律。物体做简 谐运动时,它的位移随时间变化的规律又是什么样的呢？ 问题1：思考能否也用x-t图象来形象的描述简谐运动,还是你有其他的想法,并说明如 何获得你想要的图像？ （学生分析、讨论：可以仍然作x-t图像,但此处的x与以往的位移不同,是指相对于平衡位置的位移；可以用拍照的方式,记下很多时刻做简谐运动的物体的位置,再用测量、描点的方式得到图像。） 老师引导： 老师小结：这位同学提的方案非常好,我们就以他的想法来画简谐运动的x-t图像,不过课堂上实验条件有限,下面我们就用最简便的装置来描绘x-t图像。 实验仪器介绍、分析：如图所示,沙摆装置,漏斗相对于绳子的长度是比较小的,并且摆动时角度较小,所以它的摆动近似可以看成是简谐运动,当它摆动时在沙漏的下方有一块可以拖动的薄板,薄板匀速拖动时接收漏下的沙子,就可以在板上留下一张图。下面我们就进行实验。 【课堂学习】 学习活动一：探究描述简谐运动的图像 实验演示：让砂摆振动,同时沿着与振动垂直的方向匀速拉 动摆下的长木板（即平板匀速抽动,如图所示）。 实验现象：砂子在长木板上形成一条曲线。现以板拖动的 反方向为横轴,以垂直于拖动方向为纵轴,得到了如图所示的图 像。 问题1：如图这样建立了坐标那么图线的横、纵坐标分别表 示什么物理量？ （学生答案：横坐标表示时间,纵坐标表示质点在不同时刻相对
RLC串联谐振频率及其计算公式串联谐振是指所研究的串联电路部分的电压和电流达到同相位,即电路中电感的感抗和电容的容抗在数值上时相等的,从而使所研究电路呈现纯电阻特性,在给定端电压的情况下,所研究的电路中将出现最大电流,电路中消耗的有功功率也最大. 1. 谐振定义：电路中L、C 两组件之能量相等，当能量由电路中某一电抗组件释 出时，且另一电抗组件必吸收相同之能量，即此两电抗组件间会产生一能量脉动。 2. 电路欲产生谐振，必须具备有电感器L及电容器C 两组件。 3. 谐振时其所对应之频率为谐振频率(resonance)，或称共振频率，以f r表示之。 4. 串联谐振电路之条件如图1所示：当Q=Q ?I2X L = I2 X C也就是X L =X C时，为R-L-C串联电路产生谐振之条件。
图1 串联谐振电路图 5. 串联谐振电路之特性： (1) 电路阻抗最小且为纯电阻。即 Z =R+jX L?jX C=R (2) 电路电流为最大。即 (3) 电路功率因子为1。即 (4) 电路平均功率最大。即P=I2R (5) 电路总虚功率为零。即Q L=Q C?Q T=Q L?Q C=0 6. 串联谐振电路之频率： (1) 公式： (2) R - L -C串联电路欲产生谐振时，可调整电源频率f 、电感器L 或电容器C 使其达到谐振频率f r，而与电阻R完全无关。
7. 串联谐振电路之质量因子： (1) 定义：电感器或电容器在谐振时产生的电抗功率与电阻器消耗的平均功率 之比，称为谐振时之品质因子。 (2) 公式： (3) 品质因子Q值愈大表示电路对谐振时之响应愈佳。一般Q值在10～100 之 间。 8. 串联谐振电路阻抗与频率之关系如图(2)所示： (1) 电阻R 与频率无关，系一常数，故为一横线。 (2) 电感抗X L=2 πfL ，与频率成正比，故为一斜线。 (3) 电容抗与频率成反比，故为一曲线。 (4) 阻抗Z = R+ j(X L?X C) 当 f = f r时， Z = R 为最小值，电路为电阻性。
简谐运动及其图象 编稿：张金虎审稿：吴嘉峰 【学习目标】 1．知道什么是弹簧振子以及弹簧振子是理想化模型。 2．知道什么样的振动是简谐运动。 3．明确简谐运动图像的意义及表示方法。 4．知道什么是振动的振幅、周期和频率。 5．理解周期和频率的关系及固有周期、固有频率的意义。 6．知道简谐运动的图像是一条正弦或余弦曲线，明确图像的物理意义及图像信息。 7．能用公式描述简谐运动的特征。 【要点梳理】 要点一、机械振动 1．弹簧振子 弹簧振子是小球和弹簧所组成的系统，这是一种理想化模型．如图所示装置，如果球与杆之间的摩擦可以忽略，且弹簧的质量与小球的质量相比也可以忽略，则该装置为弹簧振子． 2．平衡位置 平衡位置是指物体所受回复力为零的位置． 3．振动 物体（或物体的一部分）在平衡位置附近所做的往复运动，叫做机械振动． 振动的特征是运动具有重复性． 要点诠释：振动的轨迹可以是直线也可以是曲线． 4．振动图像 （1）图像的建立：用横坐标表示振动物体运动的时间t，纵坐标表示振动物体运动过程中对平衡位置的位移x，建立坐标系，如图所示．
（2）图像意义：反映了振动物体相对于平衡位置的位移x 随时间t 变化的规律． （3）振动位移：通常以平衡位置为位移起点，所以振动位移的方向总是背离平衡位置的．如图所示，在x t -图像中，某时刻质点位置在t 轴上方，表示位移为正（如图中12t t 、时刻），某时刻质点位置在t 轴下方，表示位移为负（如图中34t t 、时刻）． （4）速度：跟运动学中的含义相同，在所建立的坐标轴（也称为“一维坐标系”）上，速度的正负表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反． 如图所示，在x 坐标轴上，设O 点为平衡位置。A B 、为位移最大处，则在O 点速度最大，在A B 、两点速度为零． 在前面的x t -图像中，14t t 、时刻速度为正，23t t 、时刻速度为负． 要点二、简谐运动 1．简谐运动 如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数规律，即它的振动图像是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动． 简谐运动是物体偏离平衡位置的位移随时间做正弦或余弦规律而变化的运动，它是一种非匀变速运动． 物体在跟位移的大小成正比，方向总是指向平衡位置的力的作用下的振动，叫做简谐运动． 简谐运动是最简单、最基本的振动． 2．实际物体看做理想振子的条件 （1）弹簧的质量比小球的质量小得多，可以认为质量集中于振子（小球）；（2）当与弹簧相接的小球体积足够小时，可以认为小球是一个质点；（3）当水平杆足够光滑时，可以忽略弹簧以及小球与水平杆之间的摩擦力；（4）小球从平衡位置拉开的位移在弹簧的弹性限度内． 3．理解简谐运动的对称性 如图所示，物体在A 与B 间运动，O 点为平衡位置，C 和D 两点关于O 点对称，则有： （1）时间的对称： 4 OB BO OA AO T t t t t ==== ， OD DO OC CD t t t t ===，
教案示例 一、素质教育目标 （一）知识教学点 1、知道振动图像的物理含义。 2、知道简谐运动的图像是一条正弦或余弦曲线。 3、能根据图象知道振动的振幅、周期和频率。 （二）能力训练点 1、学会用图象法、列表法表示简谐运动位移随时间变化规律，提高运用工具解决物理问题的能力。 2、分析简谐运动图像所表示的位移，速度、加速度和回复力等物理量大小及方向变化的规律，培养抽象思维能力。 （三）德育渗透点 1、描绘简谐运动的图像，培养学生认真、严谨、实事求是的科学态度。 2、从图像了解简谐运动的规律，培养学生分析问题的能力，以及审美能力（逐步认识客观存在着简洁美、对称美等）。 二、重点、难点、疑点及解决办法 1、重点 （二）简谐运动图像的物理意义。 （2）简谐运动图像的特点。 2、难点 （1）用描点法画出简谐运动的图像。 （2）振动图像和振动轨迹的区别。 （3）由简谐运动图像比较各时刻的位移、速度、加速度和回复力的大小及方向。 3、疑点 能用正弦（或余弦）图像判定一个物体的振动是否是简谐运动。 4、解决办法 （1）通过对颗闪照相的分析，利用表格，通过作图比较，认识简谐运动的特点。 （2）复习数学中的正弦（或余弦）图像知识；比较几种典型运动（匀速直线运动，匀加速、匀减速直线运动）的图像与简谐运动图像的区别。
三、课时安排 1课时 四、教具、学具准备 自制幻灯片、幻灯机（或多媒体课件）、音叉（带共鸣箱）（附小槌、灵敏话筒、示波器）。 五、学生活动设计 1、学生观看多媒体课件，观察振子的简谐运动情况及其频闪照片、位移一时间变化表格。 2、学生根据表格画出s-t图 3、学生分组讨论，确定振子在各时刻的位移、速度、回复力和加速度的方向。 六、教学步骤 （一）明确目标 （略） （二）整体感知 理解简谐运动图像的物理意义是认识简谐运动规律的关键。 （三）重点、难点的学习与目标完成过程 ［导入新课］ 提问 1、在匀速直线运动中，设开始计时的那一时刻位移为零，则运动的位移图像是一条什么线？ （是一条过原点的直线） 2、在匀变速直线运动中，设开始计时的那一时刻位移为零，则运动的位移图像是一条什么线？ （根据s＝at2,运动的位移图像是一条过原点的抛物线） 那么，简谐运动的位移图像是一条什么线？ ［新课教学］ 多媒体课件（或幻灯）显示。观察气垫导轨上弹簧振子的振动情况，这是典型的简谐运动。 观察振子从离平衡位置最左侧20mm处向右运动的1/2周期内频闪照片，以及接
3．简谐运动的图像和公式 学习目标知识脉络 1.掌握简谐运动的位移——时间 图像．(重点、难点) 2．知道简谐运动的表达式、明确 各量表示的物理意义．(重点) 3．了解相位、初相和相位差的概 念． 4．能用公式描述简谐运动的特 征．(重点、难点) 简谐运动的图像 [先填空] 1．坐标系的建立 在简谐运动的图像中，以横轴表示质点振动的时间，以纵轴表示质点偏离平衡位置的位移． 2．物理意义 表示做简谐运动质点的位移随时间变化的规律． 3．图像的特点 是一条正弦(或余弦)曲线． 4．从图像中可以直接得到的信息 (1)任意时刻质点偏离平衡位置的位移； (2)振动的周期； (3)振动的振幅． [再判断] 1．简谐运动图像反映了物体在不同时刻相对平衡位置的位移．(√) 2．振动位移的方向总是背离平衡位置．(√) 3．振子的位移相同时，速度也相同．(×) 4．简谐运动的图像都是正弦或余弦曲线．(√) [后思考] 1．简谐运动的图像是否是振动物体的运动轨迹？
【提示】不是．简谐运动的图像是描述振动物体的位移随时间变化的规律，并不是物体的运动轨迹． 2．简谐运动中振动物体通过某一位置时，加速度和速度方向是否一致？ 【提示】不一定．振动物体通过某一位置时，加速度方向始终指向平衡位置，但速度方向可能指向平衡位置，也可能背离平衡位置，故加速度和速度方向不一定一致． 1．图像含义 表示某一质点不同时刻的位移；简谐运动图像不是做简谐运动的物体的运动轨迹． 2．图像斜率 该时刻速度的大小和方向． 3．判断规律 (1)随时间的延长，首先得到质点相对平衡位置的位移情况． (2)任意时刻质点的振动方向：看下一时刻质点的位置，如图1-3-1中a点，下一时刻离平衡位置更远，故a此刻向上振动． 图1-3-1 (3)任意时刻质点的速度、回复力、加速度的变化情况及大小比较：看下一时刻质点的位置，判断是远离还是靠近平衡位置，如图1-3-1中b点，从正位移向着平衡位置运动，则速度为负且增大．回复力方向与位移方向相反，总指向平衡位置，t轴上方曲线上各点回复力取负值．t轴下方曲线上各点回复力取正值，回复力大小和位移成正比，离平衡位置越远，回复力越大．加速度变化步调与回复力相同． 1．一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系曲线如图所示，由图1-3-2可知( ) 图1-3-2 A．质点振动频率是4 Hz B．t＝2 s时，质点的加速度最大 C．质点的振幅为2 cm D．t＝2 s时，质点的位移是2 cm E．从t＝0开始经过3 s，质点通过的路程是6 cm
简谐运动位移公式推导 问题：质量为m的系于一端固定的轻弹簧（弹簧质量可不计）的自由端。如图（a）所示， 将物体略向右移，在弹簧力作用下，若接触面光滑，m物体将作往复运动，试求位移x与时间t的函数关系式。 图（a） 分析：m物体在弹力F的作用下运动，显然位移X与弹力F有关，进而由弹簧联想起胡克定律，但结果只有位移与时间，故要把弹力F替换成关于X与t的量，再求解该微分方程。 推导：取物体平衡位置O为坐标原点,物体运动轨迹为X轴，向右为正。设弹力为F, 由胡克定律F=?kX,K为劲度系数，负号表示力与位移方向相反。 根据牛顿第二定律，m物体加速度a=dv dt =d2X dt2 =F m =-k m x(1) 可令k m =ω2 代入（a）,得 d2X dt2=?ω2X或d2X dt2 +ω2X=0 显然，想求出位移X与时间t的函数关系式，须解出此微分方程
求解：对于d2X dt 2+ω2X=0，即X ’’+ ω2X=0 (4) (4)式属可将阶的二阶微分方程， 若设X ’=u ，消去t,就要把把X ”转化为关于X 与t 的函数，那么 X ’’= dX "dt = du dx dx dt =u du dx , u du dx +ω2X=0, u du dx =?ω2X 下面分离变量再求解微分方程，然后两边积分，得 udu =?ω2 Xdx 得 12u 2=? 12ω2 x 2+C ，即u 2=? ω2 x 2+C1 (5) u=x ’,x ’= 2 x 2 =dx dt 再次分离变量， C1? ω2 x 2=dt (7) 两边积分，右边=t ，但左边较为复杂， 经过仔细思考，笔者给出一种求解方法： 运用三角代换，令X= C1ωcos z (7)式左边化为 d cos z ωsin z =?sin zdz ωsin z =-dz ω, 两边积分，得 -–z ω=t+C2 由此可得， X= C1ωcos(ωt+ωC2),
简谐运动的公式描述教案 教学目标 1．知识与技能 (1)会用描点法画出简谐运动的运动图象． (2)知道振动图象的物理含义，知道简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线． (3)了解替代法学习简谐运动的位移公式的意义． (4) 知道简谐运动的位移公式为x=A sin （ωt＋），了解简谐运动位移公式中各量的物 理含义． (5) 了解位相、位相差的物理意义． (6) 能根据图象知道振动的振幅、周期和频率、位相． 2．过程与方法 (1) 通过“讨论与交流”匀速圆周运动在Ⅳ方向的投影与教材表1— 3— 1 中数据的 比较，并描出z— t 函数曲线，判断其结果，使学生获知匀速圆周运动在x 方向的投影和简谐运动的图象一样，是一条正弦或余弦曲线． (2)通过用参考圆替代法学习简谐运动的位移公式和位相，使学生懂得化难为易 以及应用已学的知识解决问题． (3)通过课堂讲解习题，可以巩固教学的知识点与清晰理解重点与难点． 3．情感、态度与价值观 (1)通过本节的学习，培养学生学会用已学的知识使难题化难为易、化繁为简， 科学地寻找解决问题的方法． (2)培养学生合作学习、探究自主学习的学习习惯． ●教学重点 ,难点 1.简谐运动位移公式x=Asin（ω t ＋）的推导 2.相位 , 相位差的物理意义 .. ●教学过程 教师讲授 简谐振动的旋转矢量法 。y 在平面上作一坐标轴 OX，由原点 O 作一长度等于振幅的矢量 A t=0 ,矢量与坐标轴的夹角等于初相 矢量 A 以角速度w 逆时针作匀速圆周运动， 研究端点M 在 x 轴上投影点的运动， 1.M 点在 x 轴上投影点的运动 x=Asin（ω t＋）为简谐振动。 x 代表质点对于平衡位置的位移，t 代表时间，简谐运动的三角函数表示 回答下列问题 a:公式中的 A 代表什么 ? b:ω叫做什么 ?它和 f 之间有什么关系? c:公式中的相位用什么来表示? d:什么叫简谐振动的初相? M A t M 0 o x P x
简谐运动的图像 知识要点： 一、简谐运动的图像 1、坐标轴：横轴表示时间，纵轴表示位移。 具体作法：以平衡位置为坐标原点，以横轴表示，以纵轴表示质点对平衡位置的位 移，根据实验数据在坐标平面上画出各个点，并用平滑曲线将各点连接起来，即得 到简谐运动的位移——时间图像。（通常称之为振动图像） 2、简谐运动图像的特点：理论和实验都证明，所有简谐运动的振动图像都是正弦或余 弦曲线。 3、简谐运动图像的物理意义：表示做简谐运动的质点的位移随时间变化的规律，即位 移——时间函数图像。 注意：切不可将振动图像误解为物体的运动轨迹。处理振动图像问题时，一定要把图像还原为质点的实际振动过程分析。 二、从简谐运动图像可获取的信息 1、任一时刻振动质点离开平衡位置的位移：纵坐标值。 2、振幅A：图像中纵坐标的最大值。 3、周期T：两相邻的位移和速度始终完全相同的两状态间的时间间隔。 4、任一时刻的速度大小及方向：图线上该时刻对应的斜率大小反映速度大小，斜率正、 负反映速度方向。斜率大时速度大，斜率为正时速度为正，斜率为负值时速度为负。 5、任一时刻加速度（回复力）方向：与位移方向相反，总是指向平衡位置，即时间轴。 6、某一段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能及势能的变化情况：当振动质点 向平衡位置方向运动时，速度、动能均增大，而位移、回复力、加速度、势能均减 小，否则相反。 典型例题： 例1、如图9-15所示为某质点简谐运动的振动图像，根据图像回答： ⑴振幅、周期； ⑵具有正向最大速度的时刻； ⑶具有正向最大加速度的时刻； ⑷在3～4s内，质点的运动情况； ⑸1～4s内质点通过的路程。 解析：⑴由图像可知振幅A＝10cm，周期T＝4s。 ⑵物体在平衡位置时有最大速度，顺着时间轴向后看，看它下一时刻的位移，就知道 它向哪个方向运动，故可知t＝0，4s，8s，…4ns（n为非负整数）时，具有正向最 大速度。 ⑶物体在最大位移处时具有最大加速度，由于加速度与位方向相反，故只胡当质点位 为负时，加速度方为正，故可知t＝3s，7s，11s，…(4n＋3)s（n为非负整数）时， 具有正向最大加速度。 ⑷在3～4s内物体由负向最大位移处返回平衡位置，加速度逐渐减小，速度逐渐增大， 加速度和速度方向均为正，物体做加速度逐渐减小的加速运动。 ⑸1～4s内质点通过的路程s＝3A＝30cm。 例2、一弹簧振子做简谐运动，周期为T，则（） A．若t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动位移的大小相等，方向相同，则Δt一定等于T 的整数倍；
《简谐运动的图像》 一、教学三维目标 （一）知识与技能 1、知道振动图像的物理含义。 2、知道简谐运动的图像是一条正弦或余弦曲线。 3、能根据图象知道振动的振幅、周期和频率。 （二）过程与方法 1、学会用图象法、列表法表示简谐运动位移随时间变化规律，提高运用工具解决物理问题的能力。 2、分析简谐运动图像所表示的位移，速度、加速度和回复力等物理量大小及方向变化的规律，培养抽象思维能力。 （三）情感态度与价值观 1、描绘简谐运动的图像，培养学生认真、严谨、实事求是的科学态度。 2、从图像了解简谐运动的规律，培养学生分析问题的能力，以及审美能力（逐步认识客观存在着简洁美、对称美等）。 二、重点、难点、疑点及解决办法 1、重点 （1）简谐运动图像的物理意义。 （2）简谐运动图像的特点。 2、难点 （1）用描点法画出简谐运动的图像。 （2）振动图像和振动轨迹的区别。 （3）由简谐运动图像比较各时刻的位移、速度、加速度和回复力的大小及方向。 3、疑点 能用正弦（或余弦）图像判定一个物体的振动是否是简谐运动。 4、解决办法 （1）通过对颗闪照相的分析，利用表格，通过作图比较，认识简谐运动的特点。 （2）复习数学中的正弦（或余弦）图像知识；比较几种典型运动（匀速直线运动，匀加速、匀减速直线运动）的图像与简谐运动图像的区别。
三、课时安排 1课时 四、教具、学具准备 自制幻灯片、幻灯机（或多媒体课件）、音叉（带共鸣箱）（附小槌、灵敏话筒、示波器）。 五、学生活动设计 1、学生观看多媒体课件，观察振子的简谐运动情况及其频闪照片、位移一时间变化表格。 2、学生根据表格画出s-t图 3、学生分组讨论，确定振子在各时刻的位移、速度、回复力和加速度的方向。 六、教学步骤 ［导入新课］ 提问 1、在匀速直线运动中，设开始计时的那一时刻位移为零，则运动的位移图像是一条什么线？（是一条过原点的直线） 2、在匀变速直线运动中，设开始计时的那一时刻位移为零，则运动的位移图像是一条什么线？ （根据s＝at2,运动的位移图像是一条过原点的抛物线） 那么，简谐运动的位移图像是一条什么线？ ［新课教学］ 多媒体课件（或幻灯）显示。观察气垫导轨上弹簧振子的振动情况，这是典型的简谐运动。 观察振子从离平衡位置最左侧20mm处向右运动的1/2周期内频闪照片，以及接下来1/2周期内的频门照片，已知频闪的频率为9.0Hz提问，相邻两次闪光的时间间隔t。是多少？ 时间t0＝s＝0.11s 提问，频闪照片上记录下来什么？ （照片上记录下来每隔t0振子所在的位置） 取平衡位置的右方为正方向。根据频门照片上的读数，列出位移。随时间；变
简谐运动图像的演示 温珍温暁恒 现行教材采用沙摆描绘简谐运动的图像，该方法原理科学、直观，能很好的帮助学生理解简谐运动的运动规律。 这种方法的缺点是：①随着沙的流出，沙摆的重心不断变化，导致摆长变化，从而导致沙摆振动周期变化。②用手拉放在桌面上的底板很难保证其匀速直线运动，因而影响效果；③释放沙摆开始振动时，操作者要同时放开沙漏口和启动板，操作难度比较大；④难以控制沙子流量均匀，描绘的图像容易被破坏，不便对其做进一步研究。 于是我们根据这些缺点对该实验进行了改进，以下是改进后的实验： 一、实验材料： 支架台、矿泉水瓶、针筒、细软管、笔芯、底板 二、改进思路 在单摆振动时，用1 根极细的软管附着其上随之振动，管中虽然有水流动，但它对摆球振动的影响很小，摆球的质量也可以认为基本不变，这样，就可实现在不显著影响摆球运动的情况下，将摆球的运动“传感”到细软管上，通过细管流出的墨水再射到运动的记录底板上。喷墨的开始和终止可由与细软管相连的注射器进行控制，这样，就简单有效地实现了振动体和记录体的分离，使它们之间的相互影响降低到最小程度。 三、制作过程 （1）用电烙铁在矿泉水瓶的底部、瓶盖和瓶盖附近分别打一个小孔；
（2）用塑料接头连接足够长的细软管，它一头与注射器连通，另一头穿过矿泉水瓶的孔而过，通过接头与1 个注射针头相连； （3）在矿泉水瓶的两个小孔处用热熔胶把细软管固定好，并确保底部无漏水； （4）向矿泉水瓶注入适量的水，并用注射器向管中注入适量的清水，直至清水流到接近针头处； （5）当矿泉水瓶开始振动并稳定后，启动记录底板，然后再开始轻推注射器活塞，一股细水流随即从针头喷出，射向平放在运动记录底板上，图象描绘开始。若要终止图象描绘，只需将轻推改为轻拉注射器活塞，喷墨即可停止。由于从小号针头喷出的墨水流很细，描绘好的图象可立即拿起来立放供学生观看。 四、改进的优点： 该设计演示克服了传统的“漏沙摆”演示的不足，能保持单摆的摆长不变，从注射针管里流出的水描绘的振动图象清晰、均匀、美观，演示后的图象更准确，可供全班学生观察、分析，达到了客观、直观、美观的演示效果，同时对单摆作简谐运动的图象是正弦或余弦图象具有很强的说服力。此外，实验操作难度不大，实验需要的器材取材也很方便。 五、另外一个造型 它的做法跟上述的差不多，这个造型更利于在课堂上进行实验演示，能使大多数学生清楚地看到得出简谐运动图像的过程。
简谐运动周期公式的推导 【摘要】：本文通过简谐运动与圆周运动的联系，用圆周运动的周期公式推导出了简谐运动周期公式。 【关键辞】：简谐运动、周期、匀速圆周运动、周期公式 【正文】： 考虑弹簧振子在平衡位置附近的简谐运动，如图2所示。它的运动及受力情况和图3所示的情况非常相似。在图3中，O 点是弹性绳（在这里我们设弹性绳的弹力是符合胡克定律的）的原长位置，此点正好位于光滑水平面上。把它在O 点的这一端系上一个小球，然后拉至A 位置由静止放手，小球就会在弹性绳的作用下在水平面上的A 、A ’间作简谐运动。如果我们不是由静止释放小球，而是给小球一个垂直于绳的恰当的初速度，使得小球恰好能在水平面内以O 点为圆心，以OA 长度为半径做匀速圆周运动。那么它在OA 方向的投影运动（即此方向的分运动）与图3中的简谐运动完全相同。证明如下： 首先，两个运动的初初速度均为零（图4中在OA 方向上的分速度为零）。 其次，在对应位置上的受力情况相同。 由上面的两个条件可知这两个运动是完全相同的。 在图4中小球绕O 点转一圈，对应的投影运动（简谐运动）恰好完成一个周期，这两个时间是相等的。因此我们可以通过求圆周运动周期的方法来求简谐运动的周期。 如图5作出图4的俯视图，并建以O 为坐标原点、OA 方向为x 轴正方向建直角坐标图2 图3 图4
系。 则由匀速圆周运动的周期公式可知： ωπ 2=T (1) 其中ω是匀速圆周运动的角速度。 小球圆周运动的向心力由弹性绳的弹力来提供，由牛顿第二定律可知： r m kr 2ω= (2) 式中的r 是小球圆周运动的半径，也是弹性绳的形变量；k 是弹性绳的劲度系数。 由（1）（2）式可得： k m T π 2= 二零一一年三月九日 图5
简谐运动的六种图象 北京顺义区杨镇第一中学范福瑛 简谐运动在时间和空间上具有运动的周期性，本文以水平方向弹簧振子的简谐运动为情境，用图象法描述其位移、速度、加速度及能量随时间和空间变化的规律，从不同角度认识简谐运动的特征． 运动情境：如图1，弹簧振子在光滑的水平面B、C之间做简谐运动，振动周期为T，振幅为A，弹簧的劲度系数为K。 以振子经过平衡位置O向右运动的时刻为计时起点和初始位置，取向右为正方向。分析弹簧振子运动的位移、速度、加速度、动能、弹性势能随时间或位置变化的关系图象。 1.位移-时间关系式，图象是正弦曲线，如图2 2．速度-时间关系式，图象是余弦曲线，如图3
3．加速度-时间关系式，图象是正弦曲线，如图4 4.加速度-位移关系式，图象是直线，如图5 5．速度-位移关系式，图象是椭圆，如图6
， 整理化简得 6．能量-位移关系 弹簧和振子组成的系统能量（机械能）守恒， 总能量不随位移变化，如图7直线c 弹性势能，图象是抛物线的一部分，如图7曲线b
振子动能，图象是开口向下的抛物线的一部分，如图7曲线a 图象是数形结合的产物，以上根据简谐运动的位移、速度、加速度、动能、弹性势能与时间或位移之间的关系式，得到对应的图象，从不同角度直观、全面显示了简谐运动的规律，同时体现了数与形的和谐完美统一。 2011-12-20 人教网 【基础知识精讲】 1.振动图像 简谐运动的位移——时间图像叫做振动图像，也叫振动曲线. (1)物理意义：简谐运动的图像表示运动物体的位移随时间变化的规律，而不是运动质点的运动轨迹. (2)特点：只有简谐运动的图像才是正弦(或余弦)曲线. 2.振动图像的作图方法 用横轴表示时间，纵轴表示位移，根据实际数据定出坐标的单位及单位长度，根据振动质点各个时刻的位移大小和方向指出一系列的点，再用平滑的曲线连接这些点，就可得到周期性变化的正弦(或余弦)曲线. 3.振动图像的运用 (1)可直观地读出振幅A、周期T以及各时刻的位移x. (2)判断任一时刻振动物体的速度方向和加速度方向 (3)判定某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况. 【重点难点解析】 本节重点是理解振动图像的物理意义，难点是根据图像分析物体的运动情况. 一切复杂的振动都不是简谐运动.但它们都可以看做是若干个振幅和频率不同的简谐运动的合运动. 所有简谐运动图像都是正弦或余弦曲线，余弦曲线是计时起点从最大位移开始，正弦曲 线是计时起点从平衡位置开始，即二者计时起点相差.我们要通过振动图像熟知质点做简谐运动的全过程中，各物理量大小、方向变化规律. 例1一质点作简谐运动，其位移x与时间t的关系曲线如下图所示，由图可知，在t=4S时，质点的( )
简谐运动周期公式的推导 考虑弹簧振子在平衡位置附近的简谐运动，如图2所示。它的运动及受力情况和图3所示的情况非常相似。在图3中，O 点是弹性绳（在这里我们设弹性绳的弹力是符合胡克定律的）的原长位置，此点正好位于光滑水平面上。把它在O 点的这一端系上一个小球，然后拉至A 位置由静止放手，小球就会在弹性绳的作用下在水平面上的A 、A ’间作简谐运动。如果我们不是由静止释放小球，而是给小球一个垂直于绳的恰当的初速度，使得小球恰好能在水平面内以O 点为圆心，以OA 长度为半径做匀速圆周运动。那么它在OA 方向的投影运动（即此方向的分运动）与图3中的简谐运动完全相同。证明如下： 首先，两个运动的初初速度均为零（图4中在OA 方向上的分速度为零）。 其次，在对应位置上的受力情况相同。 由上面的两个条件可知这两个运动是完全相同的。 在图4中小球绕O 点转一圈，对应的投影运动（简谐运动）恰好完成一个周期，这两个时间是相等的。因此我们可以通过求圆周运动周期的方法来求简谐运动的周期。 如图5作出图4的俯视图，并建以O 为坐标原点、OA 方向为x 轴正方向建直角坐标 系。 图2 图 3 图4
则由匀速圆周运动的周期公式可知： ωπ 2=T (1) 其中ω是匀速圆周运动的角速度。 小球圆周运动的向心力由弹性绳的弹力来提供，由牛顿第二定律可知： r m kr 2ω= (2) 式中的r 是小球圆周运动的半径，也是弹性绳的形变量；k 是弹性绳的劲度系数。 由（1）（2）式可得： k m T π 2= （注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注） 图5
高中物理-《简谐运动的图像》说课各位评委老师好！我叫xx,我申请的学科是高中物理,我抽到的说课题目是《简谐运动的图像》。下面是我的说课内容。 （一）.教材所处的地位及前后联系： 《简谐运动》是人教版高中物理（必修）第二册第八章《机械振动和机械波》中的内容。机械振动和机械波是在学生学习了运动学、动力学及功和能的知识后而编排的,是力学的一个特例。机械振动和机械波是一种比较复杂的机械运动形式,对它的研究为以后学习电磁振荡、电磁波和光的本性奠定了知识基础．此外,机械振动和机械波的知识与人们的日常生活,生产技术和科学研究有着密切的关系,因此学习这部分知识有着广泛的现实意义。简谐运动是第八章中的第一节内容,是学习本章后面各节内容的基础,也是本章的重点和难点之一。在研究简谐运动规律时要用到以前学过的运动学、动力学、功和能的知识,可起到复习巩固的作用,因此这部分内容在教材中起着承前启后的作用。 （二）.教学目标： 根据物理科的课程标准,物理教学应包括知识、能力和情感态度教育等三个方面。因此,本节课教学目标也应该包括以下三个方面： 1．知识目标 （1）知道什么是机械振动、简谐运动。了解简谐运动的若干实例。 （2）知道简谐运动中回复力的特点。 （3）知道简谐运动是一种理想化模型。 （4）理解简谐运动中位移、速度、回复力和加速度的变化规律。 （5）知道在研究物理规律时一般遵循从简单到复杂的规律。 2．能力目标 （1）通过对实验的观察,培养学生的观察和发现问题的能力。 （2）分析简谐运动过程中有关物理量的变化规律,认识物理量之间存在密切的相互依存关系,培养逻辑思维能力。 3．情感态度和价值观 （1）通过对简单实验的操作,及参与对简谐运动规律的分析,培养学生参与科学研究的兴趣。 （2）通过对简谐运动的研究,使学生发现其中所严格遵循的简谐美、对称美
R L C串联谐振频率及其计算公式 2009-04-21 09:51 串联谐振是指所研究的串联电路部分的电压和电流达到同相位,即电路中电感的感抗和电容的容抗在数值上时相等的,从而使所研究电路呈现纯电阻特性,在给定端电压的情况下,所研究的电路中将出现最大电流,电路中消耗的有功功率也最大. 1. 谐振定义：电路中L、C 两组件之能量相等，当能量由电路中某一电抗组件释 出时，且另一电抗组件必吸收相同之能量，即此两电抗组件间会产生一能量脉动。 2. 电路欲产生谐振，必须具备有电感器L及电容器C 两组件。 3. 谐振时其所对应之频率为谐振频率(resonance)，或称共振频率，以f r表示之。 4. 串联谐振电路之条件如图1所示：当Q=Q I2X L = I2 X C也就是 X L =X C 时，为R-L-C 串联电路产生谐振之条件。 图1 串联谐振电路图 5. 串联谐振电路之特性： (1) 电路阻抗最小且为纯电阻。即Z =R+jX L jX C=R (2) 电路电流为最大。即 (3) 电路功率因子为1。即 (4) 电路平均功率最大。即P=I2R (5) 电路总虚功率为零。即Q L=Q C Q T=Q L Q C=0 6. 串联谐振电路之频率： (1) 公式：
(2) R - L -C 串联电路欲产生谐振时，可调整电源频率f 、电感器L 或电容器C 使其达到谐振频率f r ，而与电阻R完全无关。 7. 串联谐振电路之质量因子： (1) 定义：电感器或电容器在谐振时产生的电抗功率与电阻器消耗的平均功率 之比，称为谐振时之品质因子。 (2) 公式： (3) 品质因子Q值愈大表示电路对谐振时之响应愈佳。一般Q值在10～100 之间。 8. 串联谐振电路阻抗与频率之关系如图(2)所示： (1) 电阻R 与频率无关，系一常数，故为一横线。 (2) 电感抗X L=2 π fL ，与频率成正比，故为一斜线。 (3) 电容抗与频率成反比，故为一曲线。 (4) 阻抗Z = R+ j(X L X C) 当 f = f r时，Z = R 为最小值，电路为电阻性。 当f ＞f r时，X L＞X C，电路为电感性。
简谐运动及其图象 【学习目标】 1．知道什么是弹簧振子以及弹簧振子是理想化模型。 2．知道什么样的振动是简谐运动。 3．明确简谐运动图像的意义及表示方法。 4．知道什么是振动的振幅、周期和频率。 5．理解周期和频率的关系及固有周期、固有频率的意义。 6．知道简谐运动的图像是一条正弦或余弦曲线，明确图像的物理意义及图像信息。 7．能用公式描述简谐运动的特征。 【要点梳理】 要点一、机械振动 1．弹簧振子 弹簧振子是小球和弹簧所组成的系统，这是一种理想化模型．如图所示装置，如果球与杆之间的摩擦可以忽略，且弹簧的质量与小球的质量相比也可以忽略，则该装置为弹簧振子． 2．平衡位置 平衡位置是指物体所受回复力为零的位置． 3．振动 物体（或物体的一部分）在平衡位置附近所做的往复运动，叫做机械振动． 振动的特征是运动具有重复性． 要点诠释：振动的轨迹可以是直线也可以是曲线． 4．振动图像 （1）图像的建立：用横坐标表示振动物体运动的时间t ，纵坐标表示振动物体运动过程中对平衡位置的位移x ，建立坐标系，如图所示． （2）图像意义：反映了振动物体相对于平衡位置的位移x 随时间t 变化的规律． （3）振动位移：通常以平衡位置为位移起点，所以振动位移的方向总是背离平衡位置的．如图所示，在x t -图像中，某时刻质点位置在t 轴上方，表示位移为正（如图中12t t 、时刻），某时刻质点位置在t 轴下方，表示位移为负（如图中34t t 、时刻）． （4）速度：跟运动学中的含义相同，在所建立的坐标轴（也称为“一维坐标系”）上，速度的正负号表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反． 如图所示，在x 坐标轴上，设O 点为平衡位置。A B 、为位移最大处，则在O 点速度最大，在A B 、两点速度为零． 在前面的x t -图像中，14t t 、时刻速度为正，23t t 、时刻速度为负． 要点二、简谐运动 1．简谐运动 如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数规律，即它的振动图像是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动． 简谐运动是物体偏离平衡位置的位移随时间做正弦或余弦规律而变化的运动，它是一种非匀变速运动． 物体在跟位移的大小成正比，方向总是指向平衡位置的力的作用下的振动，叫做简谐运动． 简谐运动是最简单、最基本的振动． 2．实际物体看做理想振子的条件
专题一：简谐运动及其图象 知识点一：弹簧振子 1.弹簧振子 如图，把连在一起的弹簧和小球穿在水平杆上，弹簧左端固定在支架上，小球可以在杆上滑动。小球滑动时的摩擦力可以忽略，弹簧的质量比小球的质量小得多，也可忽略。这样就成了一个弹簧振子。 注意： ①小球原来静止的位置就是平衡位置。小球在平衡位置附近所做的往复运动，是一种机械振动。 ②小球的运动是平动，可以看作质点。 ③弹簧振子是一个不考虑摩擦阻力，不考虑弹簧的质量，不考虑振子（金属小球）的大小和形状的理想化的物理模型。 2.弹簧振子的位移——时间图象 （1）振动物体的位移是指由平衡位置指向振子所在处的有向线段，可以说某时刻的位移。说明：振动物体的位移与运动学中位移的含义不同，振子的位移总是相对于平衡位置而言的，即初位置是平衡位置，末位置是振子所在的位置。因而振子对平衡位置的位移方向始终背离平衡位置。 （2）振子位移的变化规律 （3）弹簧振子的位移－时间图象是一条正（余）弦曲线。 知识点二：简谐运动 1.简谐运动 如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象(x-t图象)是一条正弦曲线，这样的振动，叫做简谐运动。 简谐运动是机械振动中最简单、最基本的振动。弹簧振子的运动就是简谐运动。 2.描述简谐运动的物理量 （1）振幅（A） 振幅是指振动物体离开平衡位置的最大距离，是表征振动强弱的物理量。 （2）周期（T）和频率（f）周期和频率的关系是： （3）相位（φ） 相位是表示物体振动步调的物理量，用相位来描述简谐运动在一个全振动中所处的阶段。 3. 固有周期、固有频率 简谐运动的周期只由系统本身的特性决定，与振幅无关，因此T叫系统的固有周期，f叫固有频率。
第3节 简谐运动的图像和公式 1．以横坐标表示________，纵坐标表示________________________________________，描绘出简谐运动的质点的________随________变化的图像，称为简谐运动的图像(或振动图像)．简谐运动的图像是一条________(或________)曲线． 2．由简谐运动的图像，可以直接读出物体振动的________和________．用图像记录振动的方法在实际生活中有很多应用，如医院里的________________、监测地震的____________等． 3．简谐运动的表达式：x ＝________________或x ＝________________.其中A 表示简谐运动的________，T 和f 分别表示简谐运动的周期和频率，________或________表示简谐运动的相位，Φ表示t ＝0时的相位，叫做初相位，简称初相．频率相同、初相不同的两个振动物体的相位差是________． 4．如图1所示是一做简谐运动的物体的振动图像，下列说法正确的是( ) 图1 A ．振动周期是2×10－2 s B ．第2个10－2 s 内物体的位移是－10 cm C ．物体的振动频率为25 Hz D ．物体的振幅是10 cm 5．摆长为l 的单摆做简谐运动，若从某时刻开始计时(即取t ＝0)，当振动至t ＝3π 2 l g 时，摆球恰具有负向最大速度，则单摆的振动图像是下图中的( ) 6．物体A 做简谐运动的振动位移x A ＝3sin (100t ＋π 2 ) m ，物体B 做简谐运动的振动位 移x B ＝5sin (100t ＋π 6 ) m ．比较A 、B 的运动( ) A ．振幅是矢量，A 的振幅是6 m ， B 的振幅是10 m B ．周期是标量，A 、B 周期相等为100 s C ．A 振动的频率f A 等于B 振动的频率f B D ．A 的相位始终超前B 的相位π 3 概念规律练 知识点一 简谐运动的图像 1．如图2所示是表示一质点做简谐运动的图像，下列说法正确的是( )
第三节简谐运动的图像 知识要点： 一、简谐运动的图像 1、坐标轴：横轴表示时间，纵轴表示位移。 具体作法：以平衡位置为坐标原点，以横轴表示，以纵轴表示质点对平衡位置的位 移，根据实验数据在坐标平面上画出各个点，并用平滑曲线将各点连接起来，即得 到简谐运动的位移——时间图像。（通常称之为振动图像） 2、简谐运动图像的特点：理论和实验都证明，所有简谐运动的振动图像都是正弦或余 弦曲线。 3、简谐运动图像的物理意义：表示做简谐运动的质点的位移随时间变化的规律，即位 移——时间函数图像。 注意：切不可将振动图像误解为物体的运动轨迹。处理振动图像问题时，一定要把图像还原为质点的实际振动过程分析。 二、从简谐运动图像可获取的信息 1、任一时刻振动质点离开平衡位置的位移：纵坐标值。 2、振幅A：图像中纵坐标的最大值。 3、周期T：两相邻的位移和速度始终完全相同的两状态间的时间间隔。 4、任一时刻的速度大小及方向：图线上该时刻对应的斜率大小反映速度大小，斜率正、 负反映速度方向。斜率大时速度大，斜率为正时速度为正，斜率为负值时速度为负。 5、任一时刻加速度（回复力）方向：与位移方向相反，总是指向平衡位置，即时间轴。 6、某一段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能及势能的变化情况：当振动质点 向平衡位置方向运动时，速度、动能均增大，而位移、回复力、加速度、势能均减 小，否则相反。 典型例题： 例1、如图9-15所示为某质点简谐运动的振动图像，根据图像回答： ⑴振幅、周期； ⑵具有正向最大速度的时刻； ⑶具有正向最大加速度的时刻； ⑷在3～4s内，质点的运动情况； ⑸1～4s内质点通过的路程。 解析：⑴由图像可知振幅A＝10cm，周期T＝4s。 ⑵物体在平衡位置时有最大速度，顺着时间轴向后看，看它下一时刻的位移，就知道 它向哪个方向运动，故可知t＝0，4s，8s，…4ns（n为非负整数）时，具有正向最 大速度。 ⑶物体在最大位移处时具有最大加速度，由于加速度与位方向相反，故只胡当质点位 为负时，加速度方为正，故可知t＝3s，7s，11s，…(4n＋3)s（n为非负整数）时， 具有正向最大加速度。 ⑷在3～4s内物体由负向最大位移处返回平衡位置，加速度逐渐减小，速度逐渐增大， 加速度和速度方向均为正，物体做加速度逐渐减小的加速运动。 ⑸1～4s内质点通过的路程s＝3A＝30cm。 例2、一弹簧振子做简谐运动，周期为T，则（） A．若t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动位移的大小相等，方向相同，则Δt一定等于T 的整数倍；