2012届新课标高三数学第二轮专题复习
一.专题综述
解析几何初步的内容主要是直线与方程、圆与方程和空间直角坐标系，该部分内容是整个解析几何的基础，在解析几何的知识体系中占有重要位置，但由于在高中阶段平面解析几何的主要内容是圆锥曲线与方程，故在该部分高考考查的分值不多，在高考试卷中一般就是一个选择题或者填空题考查直线与方程、圆与方程的基本问题，偏向于考查直线与圆的综合，试题难度不大，对直线方程、圆的方程的深入考查则与圆锥曲线结合进行．根据近年来各地高考的情况，解析几何初步的考查是稳定的，预计2012年该部分的考查仍然是以选择题或者填空题考查直线与圆的基础知识和方法，而在解析几何解答题中考查该部分知识的应用．圆锥曲线与方程是高考考查的核心内容之一，在高考中一般有1～2个选择题或者填空题，一个解答题．选择题或者填空题在于有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其应用，试题考查主要针对圆锥曲线本身，综合性较小，试题的难度一般不大；解答题中主要是以椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系，考查数形结合思想、函数与方程思想、等价转化思想、分类与整合思想等数学思想方法，这道解答题往往是试卷的压轴题之一．由于圆锥曲线与方程是传统的高中数学主干知识，在高考命题上已经比较成熟，考查的形式和试题的难度、类型已经较为稳定，预计2012年仍然是这种考查方式，不会发生大的变化．
二.考纲解读
1．直线与方程
①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素．
②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
③能根据斜率判定两条直线平行或垂直．
④根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，体会斜截式与一次函数的关系．
⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．
⑥探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．2．圆与方程
①回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程．
②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系．
③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
3．在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想．
4．空间直角坐标系
①通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置．
②通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式．
5. 圆锥曲线
(1)了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． (2)经历从具体情境中抽象出椭圆(理：椭圆、抛物线)模型的过程，掌握椭圆(理：椭圆、抛物线)的定义、标准方程及简单几何性质． (3)了解抛物线、双曲线(理：双曲线)的定义、几何图形和标准方程，知道抛物线、双曲线(理：双曲线)的简单几何性质．
(4)通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想． (5)(文)了解圆锥曲线的简单应用．
(理)能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题(直线与圆锥曲线的位置关系)和实际问题．
(6)(理)结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想．
三.2012年高考命题趋向
四．高频考点解读
考点一 直线的相关问题
例1 [2011·浙江卷] 若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝________. 【答案】1
【解析】 ∵直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0，∴1×2－2×m ＝0，即m ＝1. 例2[2011·安徽卷] 在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(x ，y )为整点，下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ②如果k 与b 都是无理数，则直线y ＝kx ＋b 不经过任何整点； ③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点；
④直线y ＝kx ＋b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数； ⑤存在恰经过一个整点的直线． 【答案】①③⑤
【解析】 ①正确，比如直线y ＝2x ＋3，不与坐标轴平行，且当x 取整数时，y 始终是一个无理数，即不经过任何整点；②错，直线y ＝3x －3中k 与b 都是无理数，但直线经过整点(1,0)；③正确，当直线经过两个整点时，它经过无数多个整点；④错误，当k ＝0，b ＝13时，直线y ＝1
3
不通过任何整点；⑤正确，比如直线y ＝3x －3只经过一个整点(1,0)． 【解题技巧点睛】在判断两条直线平行或垂直时,不要忘记考虑两条直线中有一条直线无斜率或两条直线都无斜率的情况.在不重合的直线l 1与l 2的斜率都存在的情况下才可以应用条
件l 1∥l 2?k 1=k 2,l 1⊥l 2?k 1k 2=-1解决两直线的平行与垂直问题.在判定两直线是否垂直的问题上,除上述方法外,还可以用两直线l 1和l 2的方向向量v 1=(a 1,b 1)和v 2=(a 2,b 2)来判定, 即l 1⊥l 2?a 1a 2+b 1b 2=0.
考点二 直线与圆的位置关系
例3[2011·湖南卷] 已知圆C ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25.
(1)圆C 的圆心到直线l 的距离为________；
(2)圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为________．
【答案】(1)5 (2)1
6
【解析】 (1)圆心到直线的距离为：d ＝||
－2532＋42
＝5;
(2)当圆C 上的点到直线l 的距离是2时有两个点为点B 与点D ，设过这两点的直线方程为4x ＋3y ＋c ＝0，同时可得到的圆心到直线4x ＋3y ＋c ＝0的距离为OC ＝3，
又圆的半径为r ＝23，可得∠BOD ＝60°，由图1－2可知点A 在弧BD 上移动，弧长l BD ＝16×c ＝c
6，圆周长c ，故P (A )＝l BD c ＝16
.
例4 [2011·课标全国卷] 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．
(1)求圆C 的方程；
(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A 、B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值． 【解答】 (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．
故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋(t －1)2＝3.
所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组 ?
????
x －y ＋a ＝0，(x －3)2＋(y －1)2
＝9. 消去y ，得到方程
2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0.
由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2>0.从而
x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋1
2
.①
由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0. 又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以 2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.②
由①，②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1.
【解题技巧点睛】求圆的方程要确定圆心的坐标(横坐标、纵坐标)和圆的半径，这实际上是三个独立的条件，只有根据已知把三个独立条件找出才可能通过解方程组的方法确定圆心坐标和圆的半径，其中列条件和解方程组都要注意其准确性．直线被圆所截得的弦长是直线与圆相交时产生的问题，是直线与圆的位置关系的一个衍生问题．解决的方法，一是根据平面几何知识结合坐标的方法，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，即如果圆的半径是r ，圆心到直线的距离是d ，则圆被直线所截得的弦长l ＝2；二是根据求一般的直线被二次曲线所截得的弦长的方法解决．
考点三 椭圆方程与几何性质
例5[2011·福建卷] 设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2.若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( ) A.12或32 B.23或2 C.12或2 D.23或32 【答案】 A
【解析】 设|F 1F 2|＝2c (c >0)，由已知|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，得|PF 1|＝83c ，|PF 2|＝4
3
c ，
且|PF 1|>|PF 2|，
若圆锥曲线Γ为椭圆，则2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝4c ，离心率e ＝c a ＝1
2
；
若圆锥曲线Γ为双曲线，则2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝43c ，离心率e ＝c a ＝3
2
，故选A.
例6[2011·江西卷] 若椭圆x 2a 2＋y
2
b
2＝1的焦点在x 轴上，过点????1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．
【答案】 x 25＋y 2
4
＝1
【解析】 由题可知过点????1，12与圆x 2＋y 2＝1的圆心的直线方程为y ＝1
2x ，由垂径定理可得k AB ＝－2.显然过点???
?1，1
2的一条切线为直线x ＝1，此时切点记为A (1,0)，即为椭圆的右焦点，故c ＝1.由点斜式可得，直线AB 的方程为y ＝－2(x －1)，即AB ：2x ＋y －2＝0.
令x ＝0得上顶点为(0,2)，∴b ＝2，∴a 2＝b 2＋c 2
＝5，故得所求椭圆方程为x 25＋y 24
＝1.
例7[2011·课标全国卷] 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x
轴上，离心率为2
2
.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方
程为________________．
【答案】x 216＋y 2
8
＝1
【解析】 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．因为离心率为22，所以22＝1－b 2
a
2，
解得b 2
a 2＝1
2
，即a 2＝2b 2.
又△ABF 2的周长为||AB ＋||AF 2＋||BF 2＝||AF 1＋||BF 1＋||BF 2＋||AF 2＝(||AF 1＋||AF 2)＋(||BF 1＋
||BF 2)＝2a ＋2a ＝4a ，，所以4a ＝16，a ＝4，所以b ＝22，所以椭圆方程为x 216＋y 2
8
＝1.
【解题技巧点睛】离心率是圆锥曲线重要的几何性质，在圆锥曲线的基础类试题中占有较大的比重，是高考考查圆锥曲线的几何性质中的重要题目类型．关于椭圆、双曲线的离心率问题，主要有两类试题．一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的取值范围．基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中a ，b ，c 的关系式，求值试题就是建立关于a ，b ，c 的等式，求取值范围问题就是建立关于a ，b ，c 的不等式．
考点四 双曲线方程与几何性质
例8[2011·天津卷] 已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的
距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )
A ．2 3
B ．2 5
C ．4 3
D ．4 5 【答案】B
【解析】 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为y ＝±b
a
x ，由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的
交点坐标为(－2，－1)得－p 2＝－2，即p ＝4.又∵p 2＋a ＝4，∴a ＝2，将(－2，－1)代入y ＝b
a
x
得b ＝1，
∴c ＝a 2＋b 2＝4＋1＝5，∴2c ＝2 5.
例9[2011·辽宁卷] 已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)上，C 的焦距为4，则它
的离心率为________． 【答案】2
【解析】 法一：点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1上，则4a 2－9
b
2＝1.又由于2c ＝4，所以a 2＋b 2
＝4.解方程组?????
4a 2－9b 2＝1，a 2＋b 2＝4
得a ＝1或a ＝4.由于a a ＝2. 法二：∵双曲线的焦距为4，∴双曲线的两焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2,0)，点(2,3)到两焦 点的距离之差的绝对值为2，即2a ＝2，∴a ＝1，离心率e ＝c a ＝2. 例10[2011·山东卷] 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5 ＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( ) A.x 25－y 24＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 2 3＝1 【答案】 A 【解析】 圆方程化为标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆心C (3,0)，r ＝2，所以双曲线焦点 F (3,0)，即c ＝3，渐近线为ay ±bx ＝0，由圆心到渐近线的距离为2得|±3b | a 2＋b 2＝2，又a 2＋b 2 ＝9，所以|b |＝2，即b 2＝4，a 2＝c 2－b 2 ＝9－4＝5，所以所求双曲线方程为x 25－y 24 ＝1. 【解题技巧点睛】求圆锥曲线方程的基本方法之一就是待定系数法，就是根据已知条件得到圆锥曲线方程中系数的方程或者方程组，通过解方程或者方程组求得系数值． 考点五 抛物线方程与几何性质 例11[2011·课标全国卷] 已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A 、B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( ) A ．18 B ．24 C ．36 D ．48 【答案】C 【解析】 设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则焦点F ????p 2，0，A ????p 2，p ，B ????p 2，－p ， 所以||AB ＝2p ＝12，所以p ＝6.又点P 到AB 边的距离为p ＝6， 所以S △ABP ＝1 2 ×12×6＝36. 例12 [2011·福建卷] 如图1－4，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A . (1)求实数b 的值； (2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程． 【解答】 (1)由????? y ＝x ＋b ， x 2＝4y 得x 2－4x －4b ＝0.(*) 因为直线l 与抛物线C 相切， 所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0. 解得b ＝－1. (2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)即为x 2－4x ＋4＝0. 解得x ＝2，代入x 2＝4y ，得y ＝1， 故点A (2,1)． 因为圆A 与抛物线C 的准线相切， 所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离，即r ＝|1－(－1)|＝2. 所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4. 例13 [2011·江西卷] 已知过抛物线y 2 ＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1 (1)求该抛物线的方程； (2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB → ，求λ的值． 【解答】 (1)直线AB 的方程是y ＝22??? ?x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以：x 1＋x 2＝5p 4 . 由抛物线定义得：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9， 所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x . (2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)． 设OC → ＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1，42λ－22)， 又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2 ＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2. 考点六 直线与曲线的位置关系 例14[2011·江西卷] 若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( ) A.????－33，33 B.????－33，0∪? ???0，3 3 C.????－ 33， 33 D.????－∞，－33∪??? ?3 3，＋∞ 【答案】B 【解析】 配方得，曲线C 1：(x －1)2＋y 2＝1，即曲线C 1为圆心在点C 1(1,0)，半径为1的圆，曲线C 2则表示两条直线：x 轴与直线l ：y ＝m (x ＋1)， 显然x 轴与圆C 1有两个交点，于是知直线l 与圆C 1相交， ∴圆心C 1到直线l 的距离d ＝|m (1＋1)－0|m 2＋1 ????－33，33， 又当m ＝0时，直线l ：y ＝0与x 轴重合，此时只有两个交点，应舍去． 综上所述，m 的取值范围是????－33，0∪? ???0，3 3.故选B. 例15[2011·陕西卷] 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为3 5 . (1)求C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为4 5 的直线被C 所截线段的中点坐标． 【解答】 (1)将(0,4)代入椭圆C 的方程得16 b 2＝1，∴b ＝4. 又e ＝c a ＝35得a 2－b 2 a 2＝925，即1－16a 2＝9 25 ，∴a ＝5， ∴C 的方程为x 225＋y 216 ＝1. (2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝4 5 (x －3)， 设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋(x －3) 2 25 ＝1， 即x 2－3x －8＝0. 解得x 1＝3－412，x 2＝3＋41 2 ， ∴AB 的中点坐标x ＝x 1＋x 22＝3 2 ， y ＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65. 即中点为????32 ，－65. 例16[2011·辽宁卷] 如图1－9，已知椭圆C 1的中点在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2 的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e .直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D . (1)设e ＝1 2 ，求|BC |与|AD |的比值； (2)当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由． 【解答】 (1)因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设 C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1，C 2：b 2y 2a 4＋x 2 a 2＝1，(a ＞b ＞0)． 设直线l ：x ＝t (|t |＜a )，分别与C 1，C 2的方程联立，求得 A ????t ，a b a 2－t 2， B ????t ，b a a 2－t 2. 当e ＝12时， b ＝3 2 a ，分别用y A ，y B 表示A ，B 的纵坐标，可知 |BC |∶|AD |＝2|y B |2|y A |＝b 2a 2＝3 4 . (2)t ＝0时的l 不符合题意．t ≠0时，BO ∥AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，即b a a 2－t 2t ＝a b a 2－t 2 t －a ， 解得t ＝－ab 2 a 2－ b 2 ＝－1－e 2e 2·a . 因为|t |＜a ，又0＜e ＜1，所以1－e 2e 2＜1，解得2 2 ＜e ＜1. 所以当0＜e ≤2 2 时，不存在直线l ，使得BO ∥AN ； 当2 2 ＜e ＜1时，存在直线l ，使得 BO ∥AN . 【解题技巧点睛】当直线与曲线相交时:涉及弦长问题,常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长;涉及到求平行弦中点的轨迹、求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题,常用“差分法”设而不求,将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化.其中,判别式大于零是检验所求参数的值是否有意义的依据.通过相切构造方程可以求值,通过相交、相离还可构造不等式来求参数的取值范围或检验某一个值是否有意义. 考点七 轨迹问题 例17[2011·陕西卷] 如图1－8，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点， 且|MD |＝4 5 |PD |. (1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为4 5 的直线被C 所截线段的长度． 【解答】 (1)设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x P ，y P )， 由已知得????? x P ＝x ，y P ＝5 4 y ， ∵P 在圆上，∴x 2＋????54y 2 ＝25， 即C 的方程为x 225＋y 2 16 ＝1. (2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝4 5 (x －3)， 设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋(x －3) 2 25 ＝1，即x 2－3x －8＝0. ∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412 . ∴线段AB 的长度为 |AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝????1＋1625(x 1－x 2)2＝4125×41＝415 . 例18[2011·湖南卷] 已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1. (1)求动点P 的轨迹C 的方程； (2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨 迹C 相交于点D ，E ，求AD →·EB → 的最小值． 【解答】 设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有(x －1)2＋y 2－|x |＝1. 化简得y 2＝2x ＋2|x |. 当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0. 所以，动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0(x <0)． (2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ， 则l 1的方程为y ＝k (x －1)． 由? ???? y ＝k (x －1)，y 2＝4x 得 k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4 k 2，x 1x 2＝1. 因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1 k . 设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得 x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1. 故AD →·EB →＝(AF →＋FD →)·(EF →＋FB →) ＝AF →·EF →＋AF →·FB →＋FD →·EF →＋FD →·FB → ＝|AF →|·|FB →|＋|FD →|·|EF →| ＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1) ＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1 ＝1＋??? ?2＋4 k 2＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1 ＝8＋4????k 2＋1k 2≥8＋4×2k 2·1 k 2＝16. 当且仅当k 2＝1k 2，即k ＝±1时，AD →·EB → 取最小值16. 例19[2011·天津卷] 在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )(a >b >0)为动点，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点．已知△F 1PF 2为等腰三角形． (1)求椭圆的离心率e ； (2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足AM →·BM → ＝－2，求点M 的轨迹方程． 【解答】 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)．由题意，可得|PF 2|＝|F 1F 2|， 即(a －c )2＋b 2＝2c .整理得2????c a 2＋c a －1＝0. 得c a ＝－1(舍)，或c a ＝12.所以e ＝12 . (2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c .可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2方程为y ＝3(x －c )． A ， B 两点的坐标满足方程组??? 3x 2＋4y 2＝12c 2， y ＝3(x －c ). 消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝8 5 c ， 得方程组的解??? x 1＝0， y 1＝－3c ， ? ?? x 2＝85c ， y 2＝335 c . 不妨设A ???? 85 c ，335c ，B (0，－3c )． 设点M 的坐标为(x ，y )，则AM → ＝????x －85 c ，y －335c ，BM →＝()x ，y ＋3c . 由y ＝3(x －c )，得c ＝x －3 3 y . 于是AM →＝????8315 y －35x ，85y －335x ，BM →＝(x ，3x )．由AM →· BM → ＝－2， 即????8315y －35x ·x ＋????85 y －335x ·3x ＝－2， 化简得18x 2－163xy －15＝0. 将y ＝18x 2－15163x 代入c ＝x －33y ，得c ＝10x 2＋516x >0.所以x >0. 因此，点M 的轨迹方程是18x 2－163xy －15＝0(x >0)． 【解题技巧点睛】求曲线轨迹方程是高考的常考题型.考查轨迹方程的求法以及利用曲线的轨迹方程研究曲线几何性质,一般用直接法、定义法、相关点代入法等求曲线的轨迹方程.轨迹问题的考查往往与函数、方程、向量、平面几何等知识相融合,着重考查分析问题、解决问题的能力,对逻辑思维能力、运算能力有较高的要求. 如果题目中有明显的等量关系,或者能够利用平面几何推出等量关系,可用直接法;如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可用定义法;如果轨迹的动点P 依赖另一动点Q,而Q 又在某已知曲线上,则可通过列方程组用代入法求出轨迹方程;另外当动点的关系不易找到,而动点又依赖于某个参数,则可利用参数法求轨迹方程,常用的参数有变角、变斜率等. 考点八 圆锥曲线的综合问题 例20[2011·山东卷] 设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( ) A ．(0,2) B ．[0,2] C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞) 【答案】C 【解析】 根据x 2＝8y ，所以F (0,2)，准线y ＝－2，所以F 到准线的距离为4，当以F 为圆心、以|FM |为半径的圆与准线相切时，|MF |＝4，即M 到准线的距离为4，此时y 0＝2，所以显然当以F 为圆心，以||FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交时，y 0∈(2，＋∞)． 例20[2011·湖南卷] 如图1－9，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3 2 ，x 轴被曲线C 2： y ＝x 2 －b 截得的线段长等于C 1的长半轴长． (1)求C 1，C 2的方程； (2)设C 2与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与C 2相交于点A ，B ，直线MA ，MB 分别与C 1相交于点D ，E . ①证明：MD ⊥ME ； ②记△MAB ，△MDE 的面积分别为S 1，S 2.问：是否存在直线l ，使得S 1S 2＝17 32 ？请说明理 由． 【解答】 (1)由题意知，e ＝c a ＝3 2，从而a ＝2b .又2b ＝a ，解得a ＝2，b ＝1. 故C 1，C 2的方程分别为x 24 ＋y 2＝1，y ＝x 2－1. (2)①由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y ＝kx . 由? ???? y ＝kx ，y ＝x 2 －1得x 2－kx －1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1，x 2是上述方程的两个实根， 于是x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－1. 又点M 的坐标为(0，－1)，所以 k MA ·k MB ＝y 1＋1x 1·y 2＋1x 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1) x 1x 2 ＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1x 1x 2 ＝－k 2＋k 2＋1－1 ＝－1. 故MA ⊥MB ，即MD ⊥ME . ②设直线MA 的斜率为k 1，则直线MA 的方程为 y ＝k 1x －1，由? ???? y ＝k 1x －1， y ＝x 2 －1解得 ????? x ＝0，y ＝－1或????? x ＝k 1， y ＝k 21－1. 则点A 的坐标为(k 1，k 21－1)． 又直线MB 的斜率为－1 k 1 ，同理可得点B 的坐标为????－1k 1，1k 21－1. 于是S 1＝12|MA |·|MB |＝121＋k 2 1·|k 1|·1＋1k 21·????－1k 1＝1＋k 2 12|k 1| . 由? ???? y ＝k 1x －1，x 2＋4y 2 －4＝0得(1＋4k 21)x 2－8k 1x ＝0. 解得? ?? ?? x ＝0，y ＝－1或????? x ＝8k 1 1＋4k 2 1， y ＝4k 21 －1 1＋4k 21. 则点D 的坐标为? ?? ? ?8k 11＋4k 21，4k 2 1－11＋4k 21. 又直线ME 的斜率为－1k 1，同理可得点E 的坐标为? ?? ??－8k 14＋k 21，4－k 214＋k 21. 于是S 2＝12|MD |·|ME |＝32(1＋k 21)· |k 1|(1＋4k 21)(k 2 1＋4) . 因此S 1S 2＝164? ???4k 21＋4k 21＋17. 由题意知，164? ???4k 21＋4k 21＋17＝1732， 解得k 21＝4，或k 21＝14 . 又由点A ，B 的坐标可知，k ＝k 21 －1k 21 k 1＋ 1k 1 ＝k 1－1k 1， 所以k ＝±3 2 . 故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为y ＝32x 和y ＝－3 2 x . 例21[2011·山东卷] 已知动直线l 与椭圆C ：x 23＋y 22 ＝1交于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两不同点， 且△OPQ 的面积S △OPQ ＝6 2 ，其中O 为坐标原点． (1)证明：x 21＋x 22和y 2 1＋y 22均为定值； (2)设线段PQ 的中点为M ，求|OM |·|PQ |的最大值； (3)椭圆C 上是否存在三点D ，E ，G ，使得S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG ＝6 2 ？若存在，判断 △DEG 的形状；若不存在，请说明理由． 【解答】 (1)(ⅰ)当直线l 的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称， 所以x 2＝x 1，y 2＝－y 1， 因为P (x 1，y 1)在椭圆上， 所以x 21 3＋y 2 12 ＝1.① 又因为S △OPQ ＝6 2， 所以|x 1|·|y 1|＝6 2 ，② 由①、②得|x 1|＝6 2 ，|y 1|＝1， 此时x 21＋x 22＝3，y 21＋y 2 2＝2. (ⅱ)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ， 由题意知m ≠0，将其代入x 23＋y 2 2 ＝1得 (2＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3(m 2 －2)＝0， 其中Δ＝36k 2m 2－12(2＋3k 2)(m 2－2)>0， 即3k 2＋2>m 2，(★) 又x 1＋x 2＝－6km 2＋3k 2，x 1x 2＝3(m 2－2)2＋3k 2 ， 所以|PQ |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·263k 2＋2－m 2 2＋3k 2 . 因为点O 到直线l 的距离为d ＝|m | 1＋k 2 ， 所以S △OPQ ＝1 2 |PQ |·d ＝121＋k 2·263k 2＋2－m 2 2＋3k 2·|m |1＋k 2 ＝6|m |3k 2＋2－m 22＋3k 2 . 又S △OPQ ＝6 2， 整理得3k 2 ＋2＝2m 2，且符合(★)式． 此时x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2 －2x 1x 2＝ ????－6km 2＋3k 22－2×3(m 2 －2)2＋3k 2 ＝3， y 21＋y 22＝23(3－x 21)＋23(3－x 2 2)＝4－23 (x 21＋x 22)＝2. 综上所述，x 21＋x 22＝3，y 21＋y 2 2＝2，结论成立． (2)解法一：①当直线l 的斜率不存在时， 由(1)知|OM |＝|x 1|＝6 2，|PQ |＝2|y 1|＝2， 因此|OM |·|PQ |＝6 2 ×2＝ 6. ②当直线l 的斜率存在时，由ⅰ知： x 1＋x 22＝－3k 2m ， y 1＋y 22＝k ????x 1＋x 22＋m ＝－3k 2 2m ＋m ＝ －3k 2＋2m 22m ＝1m ， |OM |2＝????x 1＋x 222＋????y 1＋y 222＝9k 2 4m 2＋1m 2＝6m 2－24m 2＝12?? ??3－1m 2. |PQ |2＝(1＋k 2)24(3k 2＋2－m 2)(2＋3k 2) 2 ＝2(2m 2 ＋1)m 2＝2????2＋1 m 2. 所以|OM |2·|PQ |2＝1 2×????3－1m 2×2×????2＋1m 2 ＝????3－1m 2????2＋1m 2≤? ????3－1m 2＋2＋1 m 222＝254 . 所以|OM |·|PQ |≤52，当且仅当3－1m 2＝2＋1 m 2，即m ＝±2时，等号成立． 综合①②得|OM |·|PQ |的最大值为5 2 . 解法二： 因为4|OM |2＋|PQ |2＝(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2＋(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝2[(x 21＋x 22)＋(y 21＋y 2 2)]＝10. 所以2|OM |·|PQ |≤4|OM |2＋|PQ |22＝102 ＝ 5. 即|OM |·|PQ |≤5 2 ，当且仅当2|OM |＝|PQ |＝5时等号成立． 因此|OM |·|PQ |的最大值为5 2. (3)椭圆C 上不存在三点D ，E ，G ，使得S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG ＝ 62 . 证明：假设存在D (u ，v )，E (x 1，y 1)，G (x 2，y 2)满足S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG ＝ 62 . 由(1)得u 2＋x 21＝3，u 2＋x 22＝3，x 21＋x 22＝3，v 2＋y 21＝2，v 2＋y 22＝2，y 21＋y 2 2＝2. 解得u 2＝x 21＝x 22＝32；v 2＝y 21＝y 2 2＝1. 因此u ，x 1，x 2只能从±6 2中选取，v ，y 1，y 2只能从±1中选取． 因此D 、E 、G 只能在??? ?±62，±1这四点中选取三个不同点， 而这三点的两两连线中必有一条过原点， 与S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG ＝6 2 矛盾， 所以椭圆C 上不存在满足条件的三点D 、E 、G . 例22【2011?新课标全国】在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,1)A -，B 点在直线3 y =-上，M 点满足MB //OA ，MA ·AB =MB ·BA ，M 点的轨迹为曲线C ． (Ⅰ) 求C 的方程； (Ⅱ) P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值． 【解题技巧点睛】 1.定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题难点的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量． 2.解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理． 针对训练 一．选择题 1. （2012届微山一中高三10月考试题） 过点(5,2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是 （ ） A ．2120x y +-= B ．2120x y +-=或250x y -= C ．210x y --= D ．210x y --=或250x y -= 【答案】B 【解析】考查直线方程的截距式以及截距是0的易漏点,当直线过原点时方程为250x y -=, 不过原点时,可设出其截距式为 12x y a a +=再由过点(5,2)即可解出. 2.【2012年上海市普通高等学校春季招生考试】 已知函数2222 12: 1,:1,124168 x y x y C C +=+=则（ ） （A ）1C 与2C 顶点相同 （B ）1C 与2C 长轴长相同 （C ）1C 与2C 短轴长相同 （D ）1C 与2C 焦距相同 【答案】D 【解析】 22 22211111:1,12,4,8,2124x y C a b c c +=∴==∴=∴= 22 22222222:1,16,8,8,2168 x y C a b c c +=∴==∴== 综上可知两个曲线的焦距相等。 3.【河北省唐山市2012届高三上学期摸底考试数学】 已知点P 为圆 22 4470x y x y +--+=上一点，且点P 到直线0x y m -+=距离的最小值 1，则m 的值为（ ） A. 2- B. 2 C. 2± 【答案】D 【解析】由点到直线的距离公式求得圆心()2,2到直线0x y m -+= 的距离 d = 11d r -= =，解得m =2± 4.【湖北省孝感市2011—2012学年度高中三年级第一次统一考试】 已知抛物线y 2 =8x 的焦点与双曲线 的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为 A. B. C. D.3 【答案】B 【解析】由题意可知抛物线的焦点为(2,0),双曲线的一个焦点为右焦点且为， 因两点重合故有 2,=即2 3.a =且 2.c ==则双曲线的离心率为 c e a === 5.【河北省唐山市2012届高三上学期摸底考试数学】 已知双曲线的渐近线为y=，焦点坐标为（-4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A． 22 1 824 x y -=B． 12 1 124 x y -=C． 22 1 248 x y -=D． 22 1 412 x y -=【答案】A 【解析】由题意可设双曲线方程为 22 22 1(,0) x y a b a b -=>，利用已知条件可得： 2 2 222 4 ,, 12 44 b b a a a b c a b ? ?? == = ??? ∴∴ ??? = ?? ?? =+= ?? 即双曲线方程为 22 1. 412 x y -=故选A. 6．【2012届景德镇市高三第一次质检】已知点 1 F、 2 F为双曲线1 2 2 2 2 = - b y a x )0 ,0 (> >b a的左、右焦点，P为右支上一点，点P到右准线的距离为d，若| | 1 PF、| | 2 PF、d依次成等差数列，则此双曲线的离心率的取值范围是 A．3 2[+，)∞ +B．1(，)3C．1(，]3 2+D．2[，]3 2+ 【答案】C 【解析】由, PF PF a PF d PF 1212 -=2+=2得, d PF a 2 =-2 PF c e PF a a 2 2 == -2 ，,, ac a PF d c a c a 2 2 22 == -- 而 a a a d c c a 22 2 -≤= - ， 所以c ac a 22 -4+≤0 ，, e e e 2-4+1≤01<≤ 7.【2012北京海淀区高三年级第一学期期末试题】 点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C 的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的 点的轨迹不可能 ．．．是 （） （A）圆（B）椭圆 （C）双曲线的一支（D）直线 【答案】D 【解析】 如图，A 点为定圆的圆心，动点M 为定圆半径AP 的中点， 故AM=MP ，此时M 的轨迹为以A 圆心,半径为AM 的圆。 如图，以F 1为定圆的圆心，F 1P 为其半径，在F 1P 截得 |MP|=|MA|，1111,,PF r MF PM MF MA r F A =∴+=+=>设 由椭圆的定义可知，M 的轨迹是以F 1、A 为焦点， 以1F A 为焦距，以r 为长轴的椭圆。 如图，以F 1为定圆的圆心，F 1P 为其半径， 过P 点延长使得|MP|=|MA|，则有 11,,MF PM r MF MA r FA -=∴-=< 由双曲线的定义可知，M 的轨迹是以F 1、A 为 焦点的双曲线的右支。 若M 落在以A 为端点在x ，此时轨迹为一条射线，不是直线。故答案为D 。 8.【2012设1e 、2e 分别为具有公共焦点1F 、2F 且满足1212P F P F F F += , B.2 D.1 【答案】A 【解析】设1212||,||,||2P F m P F n F F c ===，不妨设m n >.由1212P F P F F F += 知，∠ 1290F P F = ?,则222 4m n c +=,∴12c e m n =+，22c e m n =-， ∴22 22212 112()24m n e e c ++== =. 二．填空题 9.【惠州市2012届高三第二次调研考试】若直线y x m =-与圆22(2)1x y -+=有 两个不同的公共点，则实数m 的取值范围为 ． 【解析】圆心到直线的距离122d m = 抛物线2x ay =过点1 (1,)4 A ，则点A 到此抛物线的焦点的距离为 . 【答案】 54 【解析】由已知可得：21 1, 4.4.4a a x y = ∴=∴=由抛物线的定义可知A 点到焦点距离为A 到准线的距离：15 1.244 A p y +=+= 11.【河北省唐山市2012届高三上学期期末考试数学】 椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与椭圆的一个 交点为P ，若1245F PF ∠=?，则椭圆的离心率e = 。 1 【解析】根据题意可知，12Rt PF F ?的直角边2PF 为椭圆通经的一半 2,b a 12121222,45,,FF c PFF FF PF =∠=∴=∴ 22,b c a =又222,b a c =-代入整理得： 22220,210,101,1c ac a e e e e e +-=∴+-=∴=-<<∴=- 20． 12.【浙江省2012年高三调研理科数学测试卷】 若点P 在曲线C 1： 22116 9 x y - =上，点Q 在曲线C 2：(x －5)2＋y 2＝1上，点R 在 曲线C 3：(x ＋5)2＋y 2＝1上，则 | PQ |－| PR | 的最大值是 ． 【答案】10 【解析】如图所示， 12max 12max min max min ,,()2 PQ PC r PR PC r PQ PR PQ PR PC PC =+=-∴-=-=-+ P 点在双曲线上，∴1228,PC PC a -==∴ | PQ |－| PR | 的最大值是10. 13.【河北省唐山市2012届高三上学期摸底考试数学】 已知椭圆1C 与双曲线2C 有相同的焦点1F 、2F ，点 P 是1C 与2C 的一个公共点，12PF F ?是一个以1PF 为底的等腰三角形，14PF =，1C 的离心率为3 7 ，则2C 的离心率为 【答案】3 【解析】因为12PF F ?是一个以1PF 为底的等腰三角形，14PF =，1C 的离心率为 3 7 ，所以2123PF FF ==，所以2C 中的21,23a c ==，所以2C 的离心率 3c e a ==. 14.【2012届无锡一中高三第一学期期初试卷】如图所示，直线2=x 与双曲线 14 :2 2=-y x C 的渐近线交于1E ,2E 两点，记1122,OE e OE e == ，任取双曲线C 上的点P ， 若21e b e a OP +=，则实数a 和b 满足的一个等式是_____________． 【答案】2 2 310340a ab b -++= 【解析】该题综合考查直线与圆锥曲线的位置关系,向量线性表示及坐标运算.可求出 12(1,1),(1,1)e e ==- ,设00(,)P x y ,则2 020 (),()1,4a b x a b a b a b y +=?+∴--=? -=? 22310340a ab b ∴-++= 三．解答题 15.【浙江省2012年高三调研理科数学测试卷】 如图，椭圆C: x 2＋3y 2＝3b 2 (b ＞0). (Ⅰ) 求椭圆C 的离心率； (Ⅱ) 若b ＝1，A ，B 是椭圆C 上两点，且 | AB | △AOB 面积的最大值. 解析：(Ⅰ)：由x 2 ＋3y 2 ＝3b 2 得 22 2213x y b b +=， 所以e ＝c a …………5分 (Ⅱ)解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，△ABO 的面积为S ． 如果AB ⊥x 轴，由对称性不妨记A 的坐标为)，此时S ＝12＝3 4 ； 如果AB 不垂直于x 轴，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ， 由22 ,33, y kx m x y =+??+=? 得x 2＋3(kx ＋m ) 2＝3， 即 (1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0，又Δ＝36k 2m 2－4(1＋3k 2) (3m 2－3)＞0， 所以 x 1＋x 2＝－2613km k +，x 1 x 2＝22 33 13m k -+， (x 1－x 2)2 ＝(x 1＋x 2)2 －4 x 1 x 2＝2222 12(13) (13)k m k +-+， ① 由 | AB | | AB |＝ (x 1－x 2)2＝ 2 3 1k +， ② 结合①，②得m 2 ＝(1＋3k 2 )－22 2(13)4(1)k k ++．又原点O 到直线AB 所以S ＝1 2 ? ， 因此 S 2 ＝34?221m k +＝34?[22131k k ++－2222(13)4(1)k k ++]＝3 4 ?[－14(22 131k k ++－2)2＋１] ＝－316?(22 131k k ++－2)2 ＋34≤34， 故S 2 2 131k k ++＝2，即k ＝±1＞34，故S max ． 16.【惠州市2012届高三第二次调研考试】已知点P 是圆221:(1)8F x y ++=上任 意一点，点2F 与点1F 关于原点对称。线段2PF 的中垂线m 分别与12PF PF 、交于M N 、两点． 2012年新课标1卷数学(文科) 第I 卷（共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题有且只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知集合2 {|20}A x x x =--<，{|11}B x x =-<<，则（ ） A ．A B B ．B A C ．A B = D ．A B φ= 2．复数32i z i -+= +的共轭复数是（ ） A ．2i + B ．2i - C ．1i -+ D ．1i -- 3．在一组样本数据（1x ，1y ），（2x ，2y ），…，（n x ，n y ）（2n ≥，1x ，2x ，…，n x 不全相等） 的散点图中，若所有样本点（i x ，i y ）（i =1，2，…，n ）都在直线1 12 y x =+上，则这组样本 数据的样本相关系数为（ ） A ．－1 B ．0 C ． 12 D ．1 4．设1F 、2F 是椭圆E ：2222x y a b +（0a b >>）的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点， 21F PF ?是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ A ．12 B ．2 3 C ．34 D ．45 5．已知正三角形ABC 的顶点A （1，1），B （1，3），顶 点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部， 则z x y =-+的取值范围是（ ） A ．（12） B ．（0，2） C ．1，2） D ．（0，1+ 6．若执行右边和程序框图，输入正整数N （2N ≥）和 实数1a ，2a ，…，N a ，输出A ，B ，则（ ） A ．A B +为1a ，2a ，…，N a 的和 B ．2 A B +为1a ，2a ，…，N a 的算术平均数 C ．A 和B 分别是1a ，2a ，…，N a 专题四 解析几何专题 【命题趋向】解析几何是高中数学的一个重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线．由于平面向量可以用坐标表示，因此以坐标为桥梁，可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系，平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材．解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质．解析几何试题对运算求解能力有较高的要求．解析几何试题的基本特点是淡化对图形性质的技巧性处理，关注解题方向的选择及计算方法的合理性，适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇，关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查，关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查．在高考试卷中该部分一般有1至2道小题有针对性地考查直线与圆、圆锥曲线中的重要知识和方法；一道综合解答题，以圆或圆锥曲线为依托，综合平面向量、解三角形、函数等综合考查解析几何的基础知识、基本方法和基本的数学思想方法在解题中的应用，这道解答题往往是试卷的把关题之一． 【考点透析】解析几何的主要考点是：（1）直线与方程，重点是直线的斜率、直线方程的各种形式、两直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等；（2）圆与方程，重点是确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、直线与圆和圆与圆的位置关系，以及坐标法思想的初步应用；（3）圆锥曲线与方程，重点是椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质，圆锥曲线的简单应用，曲线与方程的关系，以及数形结合的思想方法等． 【例题解析】 题型1 直线与方程 例1 （2008高考安徽理8）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ） A ．[ B ．( C ．[33 D ．(33 - 分析：利用圆心到直线的距离不大于其半径布列关于直线的斜率k 的不等式，通过解不等式解决． 解析：C 设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1 x y -+= 有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径 1d =≤，得222141,3 k k k ≤+≤，选择C 点评：本题利用直线和圆的位置关系考查运算能力和数形结合的思想意识．高考试卷中一般不单独考查直线与方程，而是把直线与方程与圆、圆锥曲线或其他知识交汇考查． 例2．(2009江苏泰州期末第10题)已知04,k <<直线1:2280l kx y k --+=和直线 2011年高考数学解析几何专题攻略 一、10年高考真题精典回顾： 1．（2010浙江理数）（本题满分15分）已知m ＞1，直线2 :02m l x my --=，椭圆2 22:1x C y m +=，1,2F F 分别为椭圆C 的左、右焦点. （Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程； （Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，12AF F V ，12BF F V 的重心分别为,G H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数 m 的取值范围. 解析：本题主要考察椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。 （Ⅰ）解：因为直线:l 202 m x my --= 经过20)F ， 22m =, 得22m =， 又因为1m > ，所以m 故直线l 的方程为02 x - =。 （Ⅱ）解：设1122(,),(,)A x y B x y 。 由2222 2 1m x my x y m ?=+????+=??，消去x 得 22 2104 m y my ++-= 则由2 2 28(1)804 m m m ?=--=-+>，知28m <， 且有212121 ,282 m m y y y y +=-= - 。 由于12(,0),(,0),F c F c -， 故O 为12F F 的中点， 由2,2AG GO BH HO == ， 可知1121( ,),(,),3333 x y x y G h 22 2 1212()()99 x x y y GH --=+ 设M 是GH 的中点，则1212 (,)66 x x y y M ++， 由题意可知2,MO GH < 即22 2212121212()()4[()()]6699 x x y y x x y y ++--+<+ 即12120x x y y +< 而22 12121212()()22m m x x y y my my y y +=+++ 22 1(1 ()82 m m =+-） 所以 21082 m -< 即2 4m < 又因为1m >且0?> 所以12m <<。 所以m 的取值范围是(1,2)。 2．（2010辽宁理数）（本小题满分12分） 设椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ,2AF FB = . 高三数学解析几何训练试题(含答案) 2013届高三数学章末综合测试题（15）平面解析几何（1）一、选 择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey ＝0的圆心在直线x＋y＝1上，则D与E的关系是( ) A．D＋E＝2 B．D＋E＝1 C．D＋E＝－1 D．D＋E＝－2[来X k b 1 . c o m 解析 D 依题意得，圆心－D2，－E2在直线x＋y＝1上，因此有－D2－E2＝1，即D＋E＝－2. 2．以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为( ) A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 B．(x－1)2＋(y－1)2＝2 C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8 D．(x－1)2＋(y－1)2＝8 解析 B 直径的两端点为(0,2)，(2,0)，∴圆心为(1,1)，半径为2，圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2. 3．已知F1、F2是椭圆x24＋y2 ＝1的两个焦点，P为椭圆上一动点，则使|PF1|?|PF2|取最大值的点P为( ) A．(－2,0) B．(0,1) C．(2,0) D．(0,1)和(0，－1) 解析 D 由椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，∴|PF1|?|PF2|≤|PF1|＋|PF2|22＝4，当且仅当|PF1|＝|PF2|，即P(0，－1)或(0,1)时，取“＝”． 4．已知椭圆x216 ＋y225＝1的焦点分别是F1、F2，P 是椭圆上一点，若连接F1、F2、P三点恰好能构成直角三角形，则点P到y轴的距离是( ) A.165 B．3 C.163 D.253 解析 A 椭 圆x216＋y225＝1的焦点分别为F1(0，－3)、F2(0,3)，易得 ∠F1PF2<π2，∴∠PF1F2＝π2或∠PF2F1＝π2，点P到y轴的距离d＝ |xp|，又|yp|＝3，x2p16＋y2p25＝1，解得|xP|＝165，故选A. 5．若曲线y＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( ) A．4x＋y＋4＝0 B．x－4y－4＝0 C．4x－y－12＝0 D．4x －y－4＝0 解析 D 设切点为(x0，y0)，则y′|x＝x0＝2x0， ∴2x0＝4，即x0＝2，∴切点为(2,4)，方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0. 6．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析 C 方程可化为x21m＋ y21n＝1，若焦点在y轴上，则1n>1m>0，即m>n>0. 7．设双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国新课标卷II) 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M ＝{x |(x －1)2 ＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )． A ．{0,1,2} B ．{－1,0,1,2} C ．{－1,0,2,3} D ．{0,1,2,3} 2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )． A ．－1＋i B ．－1－I C ．1＋i D ．1－i 3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )． A ．13 B ．13- C ．19 D ．1 9- 4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l α， l β，则( )． A ．α∥β且l ∥α B ．α⊥β且l ⊥β C ．α与β相交，且交线垂直于l D ．α与β相交，且交线平行于l 5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2 的系数为5，则a ＝( )． A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1 6．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )． A ．1111+23 10+++ B ．1111+2!3! 10!+++ C ．1111+23 11+++ D ．1111+2!3! 11!+++ 7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)， (0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时， 以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )． 8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )． A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞b D ．a ＞b ＞c 9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1,3,3.x x y y a x ≥?? +≤??≥(-)? 若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则 a ＝( )． A ．14 B ．1 2 C ．1 D ．2 《曲线的方程和性质》专题 一、《考试大纲》要求 ⒈直线和圆的方程 （1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式．掌握直线方 程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程． （2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． （3）了解二元一次不等式表示平面区域． （4）了解线性规划的意义，并会简单的应用． （5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法． （6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程． ⒉圆锥曲线方程 （1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程． （2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． （3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． （4）了解圆锥曲线的初步应用． 二、高考试题回放 1．（福建）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直 的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是 （ ） A ． 33 B ．32 C ．2 2 D ．23 2．(福建)直线x +2y=0被曲线x 2+y 2－6x －2y －15=0所截得的弦长等于 . 3．（福建）如图，P 是抛物线C ：y=2 1x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q.（Ⅰ）若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求 | || |||||SQ ST SP ST +的取值范围. 4．（湖北）已知点M （6，2）和M 2（1，7）.直线y=mx —7与线段M 1M 2的交点M 分有向线段M 1M 2的比为3：2，则m 的值为 （ ） A ．2 3 - B ．3 2- C ．4 1 D ．4 5.（湖北）两个圆0124:0222:222221=+--+=-+++y x y x C y x y x C 与的 公切线有且仅有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 6．（湖北）直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两 点A 、B. （Ⅰ）求实数k 的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 7．（湖南）如果双曲线112 132 2 =-y x 上一点P 到右焦点的距离为13, 那么 点 P 到右准线 的 距 离 是 （ ） 近五年解析几何全国新课标2卷高考题 1.2010理科（12）已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为 (A) 22136x y -= (B) 22145x y -= (C) 22 163x y -= (D) 22 154 x y -= 2. 2011（7）设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为 （A （B （C ）2 （D ）3 3. 2011（14）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离 心率为 2 。过1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且2ABF V 的周长为16，那么C 的方程为 。 4. 2012（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上 一点， ?21F PF 是底角为30 的等腰三角形，则 E 的离心率为（ ） () A 12 () B 23 () C 3 4 () D 4 5 5. 2012（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162 =的准线交 于,A B 两点，AB =；则C 的实轴长为（ ） ()A ()B ()C 4 ()D 8 6. 2013.11、设抛物线)0(22 ≥=p px y 的焦点为F ，点M 在C 上，｜MF ｜＝5，若以MF 为直径的圆过点（0,2），则C 的方程为（ ） （A ）x y 42 = 或x y 82 = （B ）x y 22 = 或x y 82 = （C ）x y 42 = 或x y 162 = （D ）x y 22 = 或x y 162 = 7. 2014.10.设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ） 全国新课标高考文科数学考试大纲 I．命题指导思想 坚持“有助于高校科学公正地选拔人才，有助于推进普通高中课程改革，实施素质教育”的原则，体现普通高中课程标准的基本理念，以能力立意，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养. 发挥数学作为主要基础学科的作用，考查考生对中学数学的基础知识、基本技能的掌握程度，考查考生对数学思想方法和数学本质的理解水平，以及进入高等学校继续学习的潜能. II．考试内容与要求 一.考核目标与要求 1.知识要求 知识是指《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《课程标准》)中所规定的必修课程、选修课程系列2和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法，还包括按照一定程序与步骤进行运算、处理数据、绘制图表等基本技能. 各部分知识的整体要求及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明. 对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次. (1)了解 要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能(或会)在有关的问题中识别和认识它. 这一层次所涉及的主要行为动词有：了解，知道、识别，模仿，会求、会解等. (2)理解 要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识作正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判别、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力. 这一层次所涉及的主要行为动词有：描述，说明，表达，推测、想像，比较、判别，初步应用等. (3)掌握 要求能够对所列的知识内容进行推导证明，能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论，并且加以解决 2012高考理科数学全国卷1试题及答案 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至第4页。考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题 （1）复数131i i -+=+ （A ）2i + （B ）2i - （C ）12i + （D ）12i - （2 ）已知集合{1A =，{1,}B m =，A B A = ，则m = （A ）0 （B ）0或3 （C ）1 （D ）1或3 （3）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为 （A ）2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）22 1124 x y += （4）已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中 ， 2AB = ，1CC =E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为 （A ）2 （B （C （D ）1 （5）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，515S =，则数列11{ }n n a a +的前100项和为 （A ） 100101 （B ）99101 （C ）99100 （D ）101100 （6）ABC ?中，AB 边的高为CD ，若CB a = ，CA b = ，0a b ?= ，||1a = ，||2b = ， 则AD = （A ）1133a b - （B ）2233a b - （C ）3355a b - （D ）4455 a b - （7）已知α 为第二象限角，sin cos αα+=，则cos 2α= （A ）3- （B ）9- （C ）9 （D ）3 （8）已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠= （A ）14 （B ）35 （C ）34 （D ）45 （9）已知ln x π=，5log 2y =，1 2z e -=，则 （A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x << （D ）y z x << （10）已知函数33y x x c =-+的图像与x 恰有两个公共点，则c = （A ）2-或2 （B ）9-或3 （C ）1-或1 （D ）3-或1 （11）将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 （A ）12种 （B ）18种 （C ）24种 （D ）36种 （12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，37 AE BF ==。动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ）16 （B ）14 （C ）12 （D ）10 高考数学解析几何专题练习解析版82页 1．一个顶点的坐标()2,0 ，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（ ） A. 19422=+y x B. 14922=+y x C. 113422=+y x D. 14132 2=+y x 2．已知双曲线的方程为22 221(0,0)x y a b a b -=>>，过左焦点F 1的直线交 双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是( ) A ． 3 B ．32+ C ． 31+ D ． 32 3．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点， 且△OAB （O 为坐标原点）的面积为，则m 6+ m 4的值为（ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．4 4．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o 5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2θ2cos ,给定两点P(0，π/2)，Q （-2，π），则有 ( ) （Ａ）P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上 （Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上 （Ｃ）P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上 （Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上 6．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ） A ．)65, 2(π B ．)6 ,2(π C ．)611,2(π D ．)67,2(π 7．曲线的参数方程为???-=+=1 232 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、直线 C 、圆 D 、射线 8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（ ） A ． 54 B ．4 5 C ． 254 D ．4 25 9． 圆0642 2 =+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（ ） A.)3,2(-、13 B.)3,2(-、13 C.)3,2(--、13 D.)3,2(-、13 10．椭圆 122 2 2=+b y x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( ) 高中数学解析几何常考题型整理归纳 题型一 :圆锥曲线的标准方程与几何性质 圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、 双曲线的渐近线是常考题型 . 22 【例 1】（1）已知双曲线 a x 2－ y b 2＝1（a >0，b >0）的一个焦点为 F （2， 0），且双曲线的渐近线与圆 （x － 2）2 ＋y 2＝3 相切，则双曲线的方程为 （ 22 A.x2－y2＝1 A. 9 －13＝ 2 C.x 3－y 2＝1 22 （2）若点 M （2，1），点 C 是椭圆 1x 6＋y 7 22 （3）已知椭圆 x 2＋y 2＝1（a >b >0）与抛物线 y 2＝2px （p >0）有相同的焦点 F ，P ，Q 是椭圆与抛物线的交点， ab 22 若直线 PQ 经过焦点 F ，则椭圆 a x 2＋ y b 2＝1（a >b >0）的离心率为 ___ . 答案 （1）D （2）8－ 26 （3） 2－ 1 22 解析 （1）双曲线 x a 2－y b 2＝1 的一个焦点为 F （2，0）， 则 a 2＋ b 2＝ 4，① 双曲线的渐近线方程为 y ＝±b a x ， a 由题意得 22b 2＝ 3，② a 2＋b 2 联立①② 解得 b ＝ 3，a ＝1， 2 所求双曲线的方程为 x 2－y 3 ＝1，选 D. （2）设点 B 为椭圆的左焦点，点 M （2，1）在椭圆内，那么 |BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a ，所以 |AM| ＋|AC|≥2a －|BM|，而 a ＝4，|BM|＝ （2＋3）2＋1＝ 26，所以 （|AM|＋ |AC|）最小＝8－ 26. ) 22 B.x － y ＝1 B.13－ 9 ＝1 2 D.x 2 －y 3＝1 1 的右焦点，点 A 是椭圆的动点，则 |AM|＋ |AC|的最小值为 2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷Ⅰ） 理科数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A. B. C. D. （2）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A. B. C. D. （3）设有下面四个命题 ：若复数满足，则； ：若复数满足，则； ：若复数满足，则； ：若复数，则. 其中的真命题为 A. B. C. D. （4）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为 A.1 B.2 C.4 D.8 {|0}A B x x =< A B =R {|1}A B x x => A B =? 14 π 812 π 41p z 1 z ∈R z ∈R 2p z 2z ∈R z ∈R 3p 12,z z 12z z ∈R 12z z =4p z ∈R z ∈R 13,p p 14,p p 23,p p 24,p p n S {}n a n 4524a a +=648S ={} n a （5）函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是 A. B. C. D. （6） 展开式中的系数为 A.15 B.20 C.30 D.35 （7）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A.10 B.12 C.14 D.16 （8）右面程序框图是为了求出满足3n ?2n >1000的最小偶数n ，那么在 和两个空白框中，可以分别填入 A.A ＞1 000和n =n +1 B.A ＞1 000和n =n +2 C.A ≤1 000和n =n +1 D.A ≤1 000和n =n +2 （9）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +)，则下面结论正确的是 ()f x (,)-∞+∞(11)f =-21()1x f --≤≤x [2,2]-[1,1]-[0,4][1,3]621 (1)(1)x x + +2 x 2π 3 7. 2004年全国高考数学试题汇编一一解析几何(一) 1. [2004年全国高考(山东山西河南河北江西安徽) ?理科数学第7题，文科数学第7题] 2 椭圆—? y 2 =1的两个焦点为F i 、F 2,过F i 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交 4 点为P ,则| PF 2 | = ,3 A . 2 2. [2004年全国高考(山东山西河南河北江西安徽) I 的斜率的取值范围是 的轨迹方程为 [2004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)? 已知点A (1, 2)、B( 3, 1),则线段AB 的垂直平分线的方程是 A . 4x 2y=5 B . 4x-2y=5 C . x 2y=5 别是O '和A '，则O A "=囂￡,其中?= B . .3 ?理科数学第8题，文科数学第8题] 设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ,若过点 Q 的直线I 与抛物线有公共点，则直线 3. 1 1 A . [ — 2, 2] B . [—2, 2] C . [-1, 1] D . [ — 4, 4] [2004年全国高考(山东山西河南河北江西安徽) ?理科数学第14题，文科数学第15题] 由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB , 切点分别为A 、 B ,Z APB=60 ° , 则动点 4. [2004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)? 理科数学第4题, 文科数学第 已知圆C 与圆(x -1)2 y 2 =1关于直线 y = -x 对称，则圆 C 的方程为 A . (x 1)2 y 2 =1 B . x 2 - y 2 =1 2 2 C . x (y 1) =1 2亠/ 八2 D . x (y -1) =1 5. 文科数学第8题] 6. [2004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)?理科数学第8题] 在坐标平面内，与点A (1,2)距离为1 ,且与点B (3, 1)距离为2 A . 1条 [2004年全国高考 的直线共有 ( D . 4条 已知平面上直线 B . 2条 C . 3条 (四川云南吉林黑龙江)?理科数学第9题] 4 3 l 的方向向量e =(,—),点0(0, 0)和A (1, — 2)在I 上的射影分 5 5 2012年全国高考理科数学试题-全国卷2(含解析) 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至2页，第II卷第3至第4页。考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。第I卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。 考生注意事项： 1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。 2.没小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。．．．．．．．．． 第I卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 一、选择题 1、复数-1+3i= 1+i A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A＝{1.3. m}，B＝{1，m} ,AB＝A, 则m= A 0或3 B 0或3 C 1或3 D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 x2y2x2y2A +=1 B +=1 1612128x2y2x2y2C +=1 D +=1 84124 4 已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中，AB=2，CC1=22 E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1 （5）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列(A)的前100 项和为1009999101 (B) (C) (D) 101101100100 （6）△ABC中，AB边的高为CD，若a·b=0，|a|=1，|b|=2，则(A) （B）(C) (D) （7）已知α为第二象限角，sinα＋sinβ=3，则cos2α= 3 (A) -5555 （B）- (C) (D) 3993 （8）已知F1、F2为双曲线C：x2-y2=2的左、右焦点，点P在C上， |PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2= (A)1334 （B）(C) (D) 4545 （9）已知x=lnπ，y=log52，z=e，则(A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x 12 (10) 已知函数y＝x2-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝ （A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1 （11）将字母 a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 十年真题 _解析几何 _全国高考理科数学 真题 2008-21 ．（12 分） 双曲线的中心为原点 O ，焦点在 x 轴上，两条渐近线分别为 l 1， l 2 ，经过右焦点 F 垂直于 l 1 uuur uuur uuur uuur uuur 的直线分别交 l 1， l 2 于 A ， B 两点．已知 OA 、 、 成等差数列，且 BF 与 FA 同向． AB OB （Ⅰ）求双曲线的离心率； （Ⅱ）设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4 ，求双曲线的方程． 2009-21 ．（12 分） 如图，已知抛物线 E : y 2 x 与圆 M : ( x 4)2 y 2 r 2 (r ＞ 0）相交于 A 、B 、C 、D 四个 点。 （I ）求 r 的取值范围： (II)当四边形 ABCD 的面积最大时，求对角线 A 、 B 、 C 、 D 的交点 p 的坐标。 2010-21 (12 分 ) 已知抛物线 C : y 2 4x 的焦点为 F ，过点 K ( 1,0) 的直线 l 与 C 相交于 A 、 B 两点， 点 A 关于 x 轴的对称点为 D . （Ⅰ）证明：点 F 在直线 BD 上； uuur uuur 8 （Ⅱ）设 FAgFB BDK 的内切圆 M 的方程 . ，求 9 1 / 13 2011-20 （12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,-1) ， B 点在直线 y = -3 上， M 点满 足 MB//OA ， MA?AB = MB?BA ， M 点的轨迹为曲线 C 。 （Ⅰ）求 C 的方程； （Ⅱ） P 为 C 上的动点， l 为 C 在 P 点处得切线，求 O 点到 l 距离的最小值。 2012-20 （12 分） 设抛物线 C : x 2 2 py( p 0) 的焦点为 F ，准 线为 l ， A C ， 已知以 F 为圆心， FA 为半径的圆 F 交 l 于 B, D 两点； （1）若 BFD 90 0 ， ABD 的面积为 4 2 ；求 p 的值及圆 F 的方程； （2）若 A, B, F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点， 求坐标原点到 m, n 距离的比值。 2013-21 (12 分 ) 2 2 已知双曲线 C ： x 2 y 2 =1 (a ＞ 0， b ＞0)的左、右焦点分别为 F 1， F 2，离心率为 3，直线 y a b ＝2 与 C 的两个交点间的距离为6 . (1)求 a ， b ； (2)设过 F 的直线 l 与 C 的左、右两支分别交于 A ， B 两点，且 | AF | ＝| BF | ，证明： | AF | ， 2 1 1 2 | AB| ， | BF 2| 成等比数列． 2014-20 已知点 A(0，－ 2)，椭圆 E ： x 2 2 3 ， F 是椭圆 E 的右焦点， 2 y 2 =1 (a>b>0) 的离心率为 a b 2 直线 AF 的斜率为 2 3 ， O 为坐标原点 . 3 2 / 13 绝密*启用前 2012年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷） 理科数学 注息事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.问答第Ⅰ卷时。选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时。将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效· 4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。 第一卷 一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 （1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素 的个数为（ ） ()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10 【解析】选D 5,1,2,3,4x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个 （2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动， 每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ） ()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种 【解析】选A 甲地由1名教师和2名学生：12 2412C C =种 （3）下面是关于复数2 1z i = -+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1- ()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34 【解析】选C 22(1) 11(1)(1) i z i i i i --= ==---+-+-- 1:p z =22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1- 高考数学专题复习：解析几何专题 【命题趋向】 1.注意考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程，直线的位置关系，此类题大多都属中、低档题，以选择、填空题的形式出现，每年必考 2.考查直线与二次曲线的普通方程，属低档题，对称问题常以选择题、填空题出现 3.考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题多以选择题和填空题的形式出现，与求轨迹有关、与向量结合、与求最值结合的往往是一个灵活性、综合性较强的大题，属中、高档题， 4．解析几何的才查，分值一般在17---22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题. 【考题解析与考点分析】 考点1.求参数的值 求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之. 例1．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质. 解答过程：椭圆22162 x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =，故选D. 考点2. 求线段的长 求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之. 例2．已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于 A.3 B.4 C.32 D.42 考查意图: 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用. 解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123301y x x x b x x y x b ?=-+?++-=?+=-?=+?，进而可求出AB 的中点1 1(,)22M b --+，又由11(,)22 M b --+在直线0x y +=上可求出1b =， ∴220x x +-=，由弦长公式可求出AB ==． 故选C 例3．如图，把椭圆2212516x y +=的长轴 AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部 分于1234567 ,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点， 则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++= ____________. 考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用. 2019年高考新课标大纲及解读：数学(文) 2019年高考考试说明(课程标准实验版) 数学(文) I.考试性质 普通高等学校招生全国统一考试是合格的高中毕业生和具有同等学力的考生参加的选拔性考试.高等学校根据考生成绩.按己确定的招生计划。德、智、体全面衡量.择优录取.因此.高考应具有较高的信度，效度，必要的区分度和适当的难度. Ⅱ.考试内容 根据普通高等学校对新生文化素质的要求，依据中华人民共和国教育部2019年颁布的《普通搞好总课程方案(实验)》和《普通高中数学课程标准(实验)》的必修课程、选修课程系列1和系列4的内容，确定文史类高考数学科考试内容。数学科考试，要发挥数学作为主要基础学科的作用，要考察考生对中学的基础知、基本技能的掌握程度，要考查考生对数学思想方法和数学本质的理解水平，要考察考生进入高等学校继续学习的潜能。 一、考核目标与要求 1.知识要求 知识是指《普通高中数学课程标准(实脸)》(以下简称《课程标准》)中所规定的必修课程、选修课程系列1和系列4中的 数学概念、性质、法期、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法，还包括按照一定程序与步孩进行运其。处理数据、绘制图表等基本技能.各部分知识的整体要求及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明 对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次。 (1)了解:要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识.知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能(或会)在有关的问题中识别和认识它. 这一层次所涉及的主要行为动词有:了解，知道、识别，模仿，会求、会解等. (2)理解:要求对所列知识内容有较深刻的理性认识.知道知知识间的逻辑关系，能够对所列知识做正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判别、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力。这一层次所涉及的主要行为动词有：描述，说明，表达，推测、想象。比较、判断，初步应用等。 (3)掌握：要求能够对所列的知识内容进行推导证明，能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论，并且加以解决。这一层次所涉及的主要行为动词有:掌握、导出、分析.推导、证明.研究、讨论、运用、解决问题等. 2.能力要求 能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运2012年全国高考新课标1卷数学文科高考试题
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