第二十一章 二次根式
21.1 二次根式(第一课时)
快乐预习
1、二次根式的定义
做二次根式。“
”称为二次根号。
2、在二次根式中,被开方数a 必须满足 a
≥0,当a <0时,根式无意义。 3、二次根式的双重非负性
(1)被开方数非负:a ≥0,在二次根式中,被开方数a 必须满足a ≥0时才有意义;否则,当a<0时,二次根式无意义。 (2)非负数的算术平方根非负:a ≥0。
a (a ≥0)是a 的算术平方根,所以a ≥0。
方法指导
【例1】
下列各式中,哪些是二次根式?
①16- ②2+x ③x 2(2x ≥0) ④2x - (x ≠0) ⑤32 ⑥
1+a
⑦a 2
⑧36 ⑨12
-a
点拨:二次根式必须满足两个条件:①根
指数是2;②被开方数必须非负。
解:二次根式有③ ⑥ ⑦ ⑧
【例2】当a 为何值时,下列各式有意义 (1)a -3 (2)2
a -
解:当3-a ≥0时, 解:∵a 2
≥0 根式有意义。 ∴-a 2
≤0
即a ≤3 ∴a=0 二次根式
有意义
(3)2-a +a -4 (4)
a
a --113
解:当???≥-≥-0402a a 时, 解:当?
??>-≥-010
13a a 时
根式有意义 根式有意义
所以???≤≥42a a 所以?????
<≥1
31a a
所以2≤a ≤4 所以:
3
1
≤a<1
基础强化
1.下列各式中
22
+a ;3-b (b>3);
)
12(2
+x ;22
-;
9;12
--x 。二次根式有(C ) A 3 B 4 C 5 D 6 2.(上海)若x 25-在实数范围内有意
义;则x 的取值范围是(C )
A x ≥25
B x
≠25 C x ≤25 D x <2
5
3.(2012.广西)使式子1+x +x -2有意义的
x 的取值范围是( )
A x ≥-1
B -1≤x ≤2
C x ≤2
D -1 4.(2012广州)已知1-a +b +7=0,则 a +b=(B ) A -8 B -6 C 6 D 8 5.下列判断中正确的有(B ) (1)带根号的式子一定是二次根式 (2)式子52 +x 一定是二次根式 (3)式子9是二次根式 (4)式子b a 2 2 +的值一定是正数 A 1 B 2 C 3 D 4 6.如果代数式a 2 +ab 1有意义,那么直角坐标系中点A (a ,b )的位置在(A ) A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 7.(2011山东菏泽)使14-x 有意义的x 的 取值范围是(x ≥ 4 1) 8.(北京)若2+x + 3-y =0,则x y 的值 为(-6) 9.当x 为何值时,下列各式有意义? ①x 23- ②2-x +x -7 解:x ≤2 3 解:2≤x ≤7 ③x x --223 ④2-x +x -2 解:2 3 ≤x <2 解:x =2 10.已知实数x ,y 满足y=3-x +x -3+4求以x ,y 为直角边的三角形的斜边长。 解:由题意得: ???≥-≥-0 30 3x x ∴x =3 把x =3带入原式,得y=4 ∴以3、4为直角边的三角形的斜边长为5. 能力提升 11.已知实数x 、y 、a 满足 8-+y x + y x --8=a y x 2-++ 32++-a y x ,试问长度分别为x 、y 、a 的三条线段能否组成一个三角形?如果能,请求出三角形的面积;如果不能请说明理由。 解:由题意得: ?? ?≥--≥-+0 80 8y x y x ∵y x +=8 a y x 2-++32++-a y x =0 ??? ??=+=++-=-+803202y x a y x a y x ?? ? ??===453a y x ∴以x 、y 、a 为长度的三条线段能 组成三角形,面积为2 1 ×3×4=6 第2课时 快乐预习 1.二次根式的性质:①)( 2 a =a (a ≥ 0),②a 2 =a ???≤-≥) 0()0(a a a a 2. ) (2 a 与a 2 的区别: ①a 的取值范围不同,a 2 中的a 为全体实 数, )(2 a 中的a 必须是非负数; ②运算顺序不同,)(2 a 是先求出a 的算术 平方根,然后再求算术平方根的平方; a 2 是 先求a 的平方,再求a 2 的算术平方根; ③运算结果却是非负数,但表达形式有区别: ) (2 a 化简的结果有一种情况。即当 a ≥0 时)( 2 a =a ; a 2 化简结果有两种情 况:当a ≥0时,a 2 =a ,当a ≤0时, a 2 =-a 。 3.二次根式a (a ≥0)具有非定性,即 a ≥0。 方法指导 【例1】:计算 ①)7(2 - ②) 2 3(2 ③) 225(2 ④ ) 3(22 - ⑤ 22 - ⑥ ) 23(2 解:① ) 7(2 -=7 ② )2 3(2 = 2 3 ③ ) 225(2 =225 ④ )3(2 2 -= )9 1(2 =9 1 ⑤ 2 2-=4=2 ⑥ )23(2 = 32× 22 =36 【例2】 若2-a +b -3=0,求2a +3b 的值。 解:∵2-a +b -3=0 2-a ≥0 b -3≥0 ∴a -2=0 3-b=0 ∴a =2 b=3 ∴2a +3b=2×2+3×3=13 基础强化 1.计算 ) 3(2-的结果是( A ) A 3 B -3 C ±3 D 9 2.计算正确的是(A ) A - )7 1(2 -=-7 1 B -2) 3(2 =-12 C )5 35(2 -- =-15 D )5 35 (2 -=53 3.(淮安)下列各式中,正确的是(B ) A 2<15<3 B 3<15<4 C 4<15<5 D 14<15<16 4.若 a 、b 为实数,且满足 2-a + b -2 =0,则b-a 的值为(C ) A 2 B 0 C -2 D 以上都不对 5.已知 x <1,则 1 22 +-x x 化简结果 是(D ) A x -1 B x +1 C -x -1 D 1-x 6.以下结论正确的是(B ) A )(2a = a 对一切实数都成立, B )( 2 a =a 对一切实数都成立, C 式子a 叫二次根式, D 一个数的平方根与他的绝对值数是非负数。 7.对任意实数a ,则下列各式一定成立的是( ) A a =a B a 2=a C a 2 =±a D a 2 =a 8.若a <1,化简 ) 1(2 -a -1的值为(D ) A a -2 B 2-a C a D -a 9.化简:5 5 2 +-x x =(x + 5) 10.若)23 ( 4 -x =1,则 x 的取值范围 是( x ≠12) 11.已知n 是一个正整数,n 12是整数,则n 的最小值数( 3 ) 12.计算或化简 (1))3 2(2 (2) ) 53(2 解:原式=3 2 解:原式=32 ×5 =45 (3)- )3(2 - (4))( 2 a 解:原式=-3 解:原式= a 2 (5) ) 1(2-x ( x <1) 解:∵ x <1 ∴x -1<0 ∴ ) 1(2-x = 1-x =-(x -1) =1-x (6) 1 22++a a (a >-1) 解:∵a >-1 ∴a +1>0 ∴ 1 22 ++a a = ) 1(2+a = 1+a =a +1 13.在实数范围内分解因式 (1)x 2 -3 解:x 2 -3 =x 2 -) 3( 2 =( x +3) (x -3) (2)3x 2 -7 解:3x 2 -7 =)3( 2x -)7(2 =( 3 + 7 )( 3 - 7 ) 14.化简下列各式 (1) ) 3() 32(2 2 --+ × ) 2(2 -- 3 9 解:原式=17 (2) ) 35(2 -+ ) 52(2 - 解:原式=1 能力提升 15.已知实数a 满足)2012(2 a -+ 2013-a =a ,求a -20122 的值。 解:由题意得a -2013≥0 ∴a ≥2013 ∵) 2012(2 a -+ 2013-a =a ∴ a -2012+2013-a =a ∴a -2012+2013-a =a ∴ 2013-a =2012 ∴a -2013=20122 ∴a -20122 =2013 21.2二次根式的乘除 第一课时 快乐预习 1.二次根式的乘法: a · b =ab (a ≥0,b ≥0) ,二次格式相乘,把被开方数相乘,根指数不变。 (1)此法则尅推广到多个二次进行相乘的运算。如: x ·y ·z =xyz ( x ≥0,y ≥0, z ≥0)。 (2)当二次根式前面有系数时,可类比单项式乘单项式的法则进行运算。即系数之积作为系数,被开方数之积作为被开方数。 (3)此法则可以逆用。即ab =a ·b (a ≥0,b ≥0) 方法指导 【例1】:化简下列各式 (1)2·3 (2)32·26 (3)3mn ·n 2 (4)1214? (5))9()64(-?- (6)(6+5)(6-5) (7)3 12· 217 1 2 解:(1)2·3=6 (2)32·26=612=6×23 =123 (3)3mn ·n 2 =3n m 2 2 =3n m 2 (4)1214?=4×121 =2×11 =22 (5))9()64(-?-=964? =64×9 =8×3 =24 (6)(6+5)(6-5) =) 6( 2 -) 5(2 =6-5 =1 (7)3 1 2· 2171 2 = 3 7·217 15 =217 1537? = 2 15 【例2】:比较大小 (1)43和214 (2)-32和-23 点拨:可将跟号外的系数平方后移到根号内,然后比较被开方数的大小。 解:(1)∵43=16·3=48 214=4·14=56 48<56 ∴43 <214 (2)∵-32=-9·2=-18 -23=-4·3=-12 12<18 ∴32>23 ∴-32<-23 基础强化 1.(2011,遵义)8X 2 1 =(A ) A 2 B -2 C 4 D -4 2.(2012,杭州)已知m=-) 212()3 3 (-?则有(A ) A 5<m <6 B 4<m <5 C -5<m <-4 D -5<m <5 3.下列各式的计算中正确的有(A ) A.8)4()2(164)16()4(=-?-=-?-=-?- B 7434 3 4 32 2 2 2=+=+ = + C 555)1015(25)1015(10 152 2 =? =-= -+ D a 2 4=4· a 2 =2a 4.化简 6)2(2 ?-的结果是(A ) A 26 B -26 C 6 D 12 5.如果)3(-x x =x ·3-x ,那么x 满 足的条件是(B ) A x ≥0 B x ≥3 C 0≤ x ≤3 D x 为一切实数 6.(2012,广东肇庆)计算20·5 1的结果是(2) 7.已知2=a ,3=b ,试用a 、b 表示 24=(2a b ). 8.化简: (1)150=(65) (2)300=(310) (3))21(4 -=(4) (4)a 3·a 6=(a 23 ) 9.计算: (1)a 3·a 6 (2)a 3·a 6 解:原式=35 解:原式=3 (3) xy 2 1 ·y 6 解:原式=x y 3 (4)5c a b 3·2bc 3·c a 3 2 解:原式=c a c b 6102 2 10.化简: (1)(4232 -)·(566-) 解:原式=1123 (2) a 84 3 ·(a 232-) 解:原式=-2a 能力提升 11.比较下列算是结果的大小(填上“<”,“>”, “=”) 3+6( >)32×6 6+ 2 1(>)2 162 ? 7+7(=)772? 通过观察归纳,用含字母 a 、 b 的式子 表示这种规律,并证明你所写式子的正确性。 解:规律:如果a ≥0、b ≥0,那么a +b ≥ab 2 证明:∵a +b -ab 2 =)( 2 a -a 2 ·b +) (2 b =) (2 b a -≥0 ∴a +b ≥ab 2 第2课时 快乐预习 1.二次根式的除法法则 一般的,对二次根式的除法规定: b a = b a (a ≥0,b >0) 即:二次根式相除,把被开方数相除,根指数不变。 2.二次根式除法法则的逆运用。 二次根式的除法法则可以逆运用,逆用时要特别注意符号。 b a =b a (a ≥0, b >0) 3.最简二次根式 当二次根式满足:①被开方数不含分母;②被开方数中不能含开得尽方的因数或因式。这两个条件时,我们称这样的根式为最简二次根式。 方法指导 【例1】计算下列各题 (1) 3 48 解:3 48= 3 48 =16=4 (2) 3 6 解: 3 6= 3 36= 3 36 =12=23 (3) xy y x 262 解: xy y x 262 = xy y x 262 =x 3 (4)ab 3÷ a b 3(a >0) 解:ab 3÷ a b 3=a b ab 33=a b ab 33 =b a a b 33? =a 2 9 = a 3 又∵ a >0,∴原式=3a 【例2】下列二次根式中,哪些是二次根式? ①15 ② 45 ③a 2.0 ④ab 3 ⑤b a 2 18 ⑥ 3 x ⑦ 3x ⑧ ab ⑨y x 2 2 4 + ⑩ ab a 1 基础强化 1.下列各式中是最简二次根式的是(B ) A 12 B 6 C 3 1 D a 2.0 2.(2012,南坪)计算:10÷2=(A ) A 12 B 5 C 25 D 2 10 3.计算x 3 64÷23 x 的结果是(B ) A x 23 B 6x 2 C x 23 2 D 2x 2 4.若a >0,把b a 4-化为最简二次根是 (C ) A ab b -2 B ab b 2- C ab b --2 D ab b -2 5.若 b a 4 29=b a 2 3- 则,(A ) A a ≤0,且b ≠0 B a ≤0,b 为任意实数 C a <0,且b ≠0 D a ≥0,且b ≠0 6. 54÷6=(3) 7.若3-x x =3 -x x ,则x 的取值范围 是( x >3) 8.长方形的宽为3cm ,面积为26cm 2,则长方形的长为(22)cm 9.把1 1 )1(-- -a a 中根号外的(a -1)移入根号内得(a --1) 10.计算: (1) 2 3 250+ (2)312- ÷ 6 1 解:原式=25+6 原式=63 7 ?- =5+6 =14 (3)45÷3 5 1 ×32223 解:原式= 3 854521?? =65 (4)(34-122+183)÷ 3 1 解:原式=12-12+69 =69 11.计算: (1)x 3 6÷3 2x 解:原式= x x 36213 - =2 3 ×2 = 2 2 3 (2)320÷xy 6·x 3 2 解:原式=x xy 3 61322 ?? =x xy x 3 3164 2? =xy y x 338 能力提升 12.化简形如1 32+的式子,常有两种方 法: (方法一): 132 += )13)(13() 13(2-+-= 12 ) 13(2) 3(2 --= 13- (方法二): 1 32+= 1 313+-= 1 1 3 )3(2 +-= 1 3) 13)(13(+-+=13- (1)请用不同的方法化简 3 52+ 解:方法一: 352 += ) 35)(35() 35(2-+- =5-3 方法二: 3 52+= 3 535+-=3 5)3( ) 5(2 2 +- = 3 5) 35)(35(+-+ =5-3 (2)化简: 1 31++3 51++7 51++… + 1 2121 -++n n 解:原式= ) 13)(13(13-+-+) 35)(35(35-+-+ )57)(57(5 7-+-+…+ ) 1212)(1212(1 212--+-++--+n n n n n n = 3-1+ 5-3+ 7-5+… +12+n -12-n =12+n -1 21.3 二次根式的加减 第1课时 快乐预习 1、同类项根式: 几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,则这几个二次根式就叫做同类二根式。 2、二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并。 3、二次根式加减的步骤: (1)将每个二次根式化为最简二次根式, (2)将它们的系数相加减,根式保持不变。 方法指导 【例1】 指出下列各式中哪些是同类二次根式? 3 18;3443- ;ab 1 ;3221- 817 ;27 10 2 ;y x x 2 2 3- ; y x y x +-2 2 2 ; a b 3 解: 基础强化 能力提升 快乐预习 方法指导 【例1 】 基础强化 能力提升 快乐预习 方法指导 基础强化 能力提升 快乐预习 方法指导 基础强化 能力提升 快乐预习 方法指导 基础强化 能力提升 快乐预习 方法指导 【例1】: 基础强化 能力提升 快乐预习 方法指导 基础强化 能力提升快乐预习 方法指导 基础强化 能力提升 快乐预习 方法指导 基础强化 能力提升快乐预习 方法指导 【例1】 基础强化 能力提升 快乐预习 方法指导 【例1】 基础强化 能力提升快乐预习 方法指导 基础强化 能力提升 初三数学知识点 第一章二次根式知识点 1 二次根式:形如a (0≥a )的式子为二次根式; 性质:a (0≥a )是一个非负数; () ()02 ≥=a a a ; ()02≥=a a a . 2 二次根式的乘除: ()0,0≥≥=?b a ab b a ; ()0,0>≥=b a b a b a . 3 二次根式的加减:二次根式加减时,先将二次根式华为最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并. 4 海伦-秦九韶公式:))()((c p b p p p S ---=,S 是三角形的面积,p 为2 c b a p ++= . 第一章二次根式21.1二次根式练习 一、选择题 1.下列式子中,是二次根式的是( ) A . B C D .x 2.下列式子中,不是二次根式的是( ) A B C D . 1x 3.已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是( ) A .5 B C . 1 5 D .以上皆不对 二、填空题 1.形如________的式子叫做二次根式. 2.面积为a 的正方形的边长为________. 3.负数________平方根. 三、综合提高题 1.某工厂要制作一批体积为1m 3的产品包装盒,其高为0.2m,按设计需要,?底面应做成正方形,试问底面边长应是多少? 2.当x 是多少时2在实数范围内有意义? 3有意义,. A .0 B .1 C .2 D .无数 5.已知a 、b 为实数,求a 、b 的值. 第一章二次根式21.2 二次根式的乘除练习 1. 当0a ≤,0b 时__________=. 2. ,则_____,______m n ==. 3. __________==. 4. 计算: _____________=. 5. ,面积为则长方形的长约为 (精确到0.01). 6. 下列各式不是最简二次根式的是( ) 7. 已知0xy ,化简二次根式的正确结果为( ) C. D. 8. 对于所有实数,a b ,下列等式总能成立的是( ) A. 2 a b =+a b =+ 22a b =+a b =+ 9. -和- ) A. 32-- B. 32-- C. -=-不能确定 10. 以下说法中不正确的是( ) A. 它是一个非负数 B. 它是一个无理数 C. 它是最简二次根式 D. 它的最小值为3 11. 计算: () 1()2 二次根式导学案 二次根式(1) 一、学习目标 1、了解二次根式的概念,能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质:)0(0≥≥a a 和)0()(2 ≥=a a a 二、学习重点、难点 重点:二次根式有意义的条件;二次根式的性质. 难点:综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2 ≥=a a a 。 三、学习过程 (一)复习回顾: (1)已知a x =2 ,那么a 是x 的______;x 是a 的________, 记为______,a 一定是_______数。 (2)4的算术平方根为2 ,用式子表示为 =__________;正数a 的算术平方根为_______,0的算术平方根为_______;式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 (二)自主学习 (1)16的平方根是 ; (2)一个物体从高处自由落下,落到地面的时间是t (单位:秒)与开始下落时的高度h (单位:米)满足关系式2 5t h =。如果用含h 的式子表示t ,则t = ; (3)圆的面积为S ,则圆的半径是 ; (4)正方形的面积为3-b ,则边长为 。 思考:16, 5 h ,πs ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征. 定义: 一般地我们把形如a (0≥a )叫做二次根式,a 叫做_____________ 1、试一试:判断下列各式,哪些是二次根式?哪些不是?为什么? 3,16-,34)0(3 ≥a a ,12 +x 2、当a 为正数时a 指a 的 ,而0的算术平方根是 ,负数 ,只有非负数a 才有算术平方根。所以,在二次根式a 中,字母a 必须满足 , a 才有意义。 3、根据算术平方根意义计算 : (1) 2 )4( (2) (3)2)5.0( (4)2 )3 1( 根据计算结果,你能得出结论: ,其中0≥a , 4、由公式)0()(2≥=a a a ,我们可以得到公式a =2 )(a ,利用此公式可以把任意一个非负 数写成一个数的平方的形式。 如(5)2 =5;也可以把一个非负数写成一个数的平方形式,如5=(5)2 . 练习:(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式: 6 0.35 (2)在实数范围内因式分解 72-x 4a 2-11 (三)合作探究 例:当x 是怎样的实数时,2-x 在实数范围内有意义? 解:由02≥-x ,得 2≥x 当2≥x 时,2-x 在实数范围内有意义。 练习:1、x 取何值时,下列各二次根式有意义? ①43-x ③ 2、(1有意义,则a 的值为___________. (2)若 x 为( )。 A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数 3、(1)在式子 x x +-121中,x 的取值范围是____________. (2)已知42 -x +y x +2=0,则=-y x _____________. (3)已知233--+-= x x y ,则x y = _____________。 (四)达标测试 (一)填空题: 1、=??? ? ??2 53 2、若0112=-+-y x ,那么x = ,y = 。 3、当x = 时,代数式有最小值,其最小值是 。 ________ )(2=a x --2142 )3( 第二十一章二次根式以及二次根式的乘除练习题 一、选择题 1.下列式子中,不是二次根式的是( ) A B C D . 1x 2.已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是()A .5 B . C . 1 5 D .以上皆不对 3.使式子x 有( )个. A .0 B .1 C .2 D .无数 4.二次根式的个数是( ). A .4 B .3 C .2 D .1 5.数a 没有算术平方根,则a 的取值范围是( ).A .a>0 B .a ≥0 C .a<0 D .a=0 6+ ). A .0 B .23 C .423 D .以上都不对 7.a ≥0比较它们的结果,下面四个选项中正确的是( ).A ≥. C . . 8和cm ,?那么此直角三角形斜边长是( ) A . B .cm C .9cm D .27cm 9.化简 ). A . .. 10= ) A .x ≥1 B .x ≥-1 C .-1≤x ≤1 D .x ≥1或x ≤-1 11.下列各等式成立的是( ).A .. C .3 .× 12A . 27 B . 27 C D 7 13.阅读下列运算过程: 3 = = 5 = = 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”,那么,化简 的结果是( ). A .2 B .6 C . 13 D 14y>0)是二次根式,那么,化为最简二次根式是( ). A . (y>0) B y>0) C y y>0) D .以上都不对 15.把(a-1中根号外的(a-1)移入根号内得( ). A . ..16.在下列各式中,化简正确的是( ) A . B ± 12 2 D . 17 ) A .- 3 B . C .- 3 D . 二、填空题 1.若. 2.()2=________. 3_______数. 4.=________. 5.若 m 的最小值是________. 6.先化简再求值:当a=9时,求a+的值,甲乙两人的解答如下: 甲的解答为:原式=a+(1-a )=1; 乙的解答为:原式=a+(a-1)=2a-1=17. 两种解答中,_______的解答是错误的,错误的原因是__________. 7.分母有理化:(1) =________;(3) 8.已知x=3,y=4,z=5_______. 9.(x ≥0) 10.a 化简二次根式号后的结果是_________. 二次根式 课题名称二次根式 三维目标 1.了解二次根式的概念; 理解二次根式何时有意义,何时无意义,会在简单情况下求根号内所有含字母的取值范围; 会求二次根式的值; 2.经历二次根式概念的发生过程 3.体验数学符号的美 重点目标形如a(a≥0)的式子叫 做二次根式的概念难点目标利用“a(a≥0)”解决具体 问题 导入示标 1.理解二次根式的概念,并利用a(a≥0)的意义解答具体题目. 2. 提出问题,根据问题给出概念,应用概念解决实际问题. 目标三导学做思一:认真阅读课文例题前面的内容,思考以下几个问题: 1.当a是正数时, a表示a的什么?(算术平方根,即正数a的正的平方根). 2.当a是零时, a等于什么?,它表示什么?(它表示零的平方根,也叫做零的算术平方根.) 3.当a是负数时, a有没有意义?(没有意义.) 学做思二:x是怎样的实数时,二次根式1 x-有意义? 解:被开方数x-1≥0,即x≥1. 所以,当x≥1时,二次根式 1 x-有意义. 学做思三:思考2a与(a)2等于什么? 我们不妨取a的一些值,如2,-2,3,-3,……分别计算对应的a2的值,看看有什么规律. 概括:当a≥0时,2a= ;当a<0时,2a= ,()() 2 a a a =≥ 例 .当x 是多少时,1231x x ++ +在实数范围内有意义? 例 (1)已知225y x x =-+-+,求 x y 的值. (2)若110a b ++-=,求a 2004 +b 2004的值. 达标检测 1.计算: (4)2=______;(3)2=______; 9=______; 2(4)-=______; 2.x 取什么实数时,下列各式有意义. (1)x 43-; (2)23-x ; (3)2)3(-x ; (4)x x 3443-+- 反思总结 1.知识建构 2.能力提高 3.课堂体验 课后练习 二次根式知识总结 一、基本知识点 1.二次根式的有关概念: (1)形如 的 式子叫做二次根式. (即一个 的算术平方根叫做二次根式 二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于零 (2)满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式: ①被开方数不含分母;②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式; (3)几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式。 2.二次根式的性质: (1) 非负性 3.二次根式的运算: 二次根式乘法法则 二次根式除法法则 二次根式的加减: (一化,二找,三合并 ) (1)将每个二次根式化为最简二次根式; (2)找出其中的同类二次根式; ( 3)合并同类二次根式。 Ps:类似于合并同类项,关键是把同类二次根式合并。 二次根式的混合运算:原来学习的运算律(结合律、交换律、分配律)仍然适用 0()a ≥0 2(2)(0 )a = ≥ = (0,0)a b = ≥ ≥ (0 0)a b = ≥> (0,0)a b = ≥≥ (0,0)a b = ≥> 二、二次根式的应用 1、非负性的运用 例:1.已知:0+=,求x-y 的值. 2、根据二次根式有意义的条件确定未知数的值 例1 有意义的x 的取值范围 例2.若2)(11y x x x +=-+-,则y x -=_____________。 3、运用数形结合,进行二次根式化简 例:.已知x,y 都是实数,且满足5.011+-+- 二次根式(1) 学习目标: 1、了解二次根式的概念,能判断一个式子是不是二次根式,掌握二次根式有意义的条件。 2、掌握二次根式的基本性质:)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a · ·预 习 案 (一)复习回顾: (1)已知a x =2,那么a 是x 的_ ____;x 是a 的___ _, 记为_ ___,a 一定是__ __数。 (2)4的算术平方根为2 ,用式子表示为 =______;正数a 的算术平方根为_____, 0的算术平方根为____;式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 思考:16 , π s ,3-b 等式子.说一说他们的共同特征. ` 定义: 一般地我们把形如a (0≥a )叫做二次根式,a 叫做______。“ ”称为 。 1、判断下列各式,哪些是二次根式在后面“√”,哪些不是在后面“×”为什么 3( ),16-( ),34( ) ),)0(3 ≥a a ( ),12+x ( ) 2、当a 为正数时a 指a 的 ,而0的算术平方根是 ,负数 ,只有非负数a 才有算术平方根。所以,在二次根式a 中,字母a 必须满足 , a 才有意义。 3、根据算术平方根意义计算 : (1) 2)4( = (2) = (3)2)5.0( = (4)2)3 1(= 根据计算结果,你能得出结论: (0≥a ) 4、由公式)0()(2≥=a a a ,我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数 写成一个数的平方的形式。如(5)2=5或5=(5)2. 练习:(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式:6= = 合 作 探 究 ________)(2 =a 42 )3( 第二十一章 二次根式 测试5 二次根式的加减(二) 学习要求 会进行二次根式的混合运算,能够运用乘法公式简化运算. 课堂学习检测 一、填空题 1.当a =______时,最简二次根式12-a 与73--a 可以合并. 2.若27+= a ,27-= b ,那么a +b =______,ab =______. 3.合并二次根式:(1)=-+)18(50________;(2)=+-ax x a x 45________. 二、选择题 4.下列各组二次根式化成最简二次根式后的被开方数完全相同的是( ). A .ab 与2ab B mn 与 n m 11+ C .22n m +与22n m - D . 239 8b a 与4329 b a 5.下列计算正确的是( ). A .b a b a b a -=-+2))(2( B .1239)33(2=+=+ C .32)23(6+= +÷ D . 641426412)232(2-=+-=- 6.)32)(23(+-等于( ). A .7 B .223366-+- C .1 D .22336-+ 三、计算题(能简算的要简算) 7.?-12 1 ).2218( 8.).4818)(122(+- 9.).3 2841)(236215(-- 10.).32 18)(8321( -+ 11..6)1242764810(÷+- 12..)18212(2 - 综合、运用、诊断 一、填空题 13.(1)规定运算:(a *b )=|a -b |,其中a ,b 为实数,则=+7)3*7(_______. (2)设5=a ,且b 是a 的小数部分,则=-b a a ________. 二、选择题 14.b a -与a b -的关系是( ). A .互为倒数 B .互为相反数 C .相等 D .乘积是有理式 15.下列计算正确的是( ). A .b a b a +=+2)( B .ab b a =+ C .b a b a +=+22 D .a a a =? 1 三、解答题 16.?+?-2 2 1221 17.?-- + ?2 818)2 12(2 18..)21()21(20092008-+ 19..)()(22b a b a --+ 四、解答题 20.已知,23,23-=+=y x 求(1)x 2-xy +y 2;(2)x 3y +xy 3的值. 21.已知25-=x ,求4)25()549(2++-+x x 的值. .21.2 二次根式的乘除 21.2.1 二次根式的乘法 理解a·b=ab(a≥0,b≥0),并利用它们进行计算和化简. 由具体数据发现规律,导出a·b=ab(a≥0,b≥0)并运用它进行计算. 通过探究a·b=ab(a≥0,b≥0),培养特殊到一般的探究精神,培养学生对事物规律的观察发现能力,激发学生的学习兴趣. 重点 a·b=ab(a≥0,b≥0)及它的应用. 难点 发现规律,导出a·b=ab(a≥0,b≥0). 一、情境引入 1.填空: (1)4×9=________, 4×9=________; (2)16×25=________, 16×25=________; (3)100×36=________, 100×36=________. 参照上面的结果,用“>”、“<”或“=”填空. 4×9________4×9; 16×25________16×25; 100×36________100×36. 2.利用计算器计算填空. 2×3________6; 2×5________10; 5×6________30; 4×5________20. 二、探究新知 (学生活动)让3,4个同学上台总结规律. 教师点评:(1)被开方数都是正数;(2)两个二次根式的积等于这样一个二次根式,它的被开方数等于前两个二次根式的被开方数的积. 一般地,对二次根式的乘法规定为 a·b=ab(a≥0,b≥0). 例1 计算: (1)5×7; (2)1 3 ×9; (3)1 2 × 6. 解:(1)5×7=35; (2)1 3 ×9= 1 3 ×9=3; (3)1 2 ×6= 1 2 ×6= 3. 三、练习巩固 1.直角三角形两条直角边的长分别为15 cm和12 cm,那么此直角三角形斜边长是( ) A.3 2 cm B.3 3 cm C.9 cm D.27 cm 2.化简a-1 a 的结果是( ) A.-a B. a C.--a D.- a 3.等式x-1·x+1=x2-1成立的条件是( ) A.x≥1 B.x≥-1 C.-1≤x≤1 D.x≥1或x≤-1 4.下列各等式成立的是( ) A.45×25=8 5 B.53×42=20 5 C.43×32=7 5 D.53×42=20 6 四、小结与作业 小结 1.由学生小组讨论汇报通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问?请与同伴交流. 2.教师总结归纳二次根式的乘法规定 a·b=ab(a≥0,b≥0). 布置作业 从教材“习题21.2”中选取. 这节课教师引导学生通过具体数据,发现规律,导出a·b=ab(a≥0,b≥0),并学会它的应用,培养学生由特殊到一般的探究精神,培养学生对于事物规律的观察、发现能力,激发学生的学习兴趣. 二次根式小结与复习 夏飞 【主要内容】 本单元是在学习了平方根和算术平方根的意义的基础上,引入一个符号“”.主要内容有:(1)二次根式的有关概念,如:二次根式定义、最简二次根式、?同类二次根式等;(2)二次根式的性质;(3)二次根式的运算,如:二次根式的乘除法、二次根式的加减法等. 【要点归纳】 1. 二次根式的定义:形如的式子叫二次根式,其中叫被开方数,只有当是一个非负数时,才有意义. 2. 二次根式的性质: ① ② ③ ④ 3. 二次根式的运算 二次根式的运算主要是研究二次根式的乘除和加减. (1)二次根式的加减: 需要先把二次根式化简,然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相 加减,被开方数不变。 注意:对于二次根式的加减,关键是合并同类二次根式,通常是先化成最简二次根式,再把同类二次根式合并.但在化简二次根式时,二次根式的被开方数应不含分母,不含能开得尽的因数. (2)二次根式的乘法: (3)二次根式的除法: 注意:乘、除法的运算法则要灵活运用,在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边,同时还要考虑字母的取值范围,最后把运算结果化成最简二次根式. (4)二次根式的混合运算: 先乘方(或开方),再乘除,最后加减,有括号的先算括号里面的;能利用运算律或乘法公式进行运算的,可适当改变运算顺序进行简便运算. 注意:进行根式运算时,要正确运用运算法则和乘法公式,分析题目特点,掌握方法与技巧,以便使运算过程简便.二次根式运算结果应尽可能化简.另外,根式的分数必须写成 假分数或真分数,不能写成带分数.例如不能写成. (5)有理化因式: 一般常见的互为有理化因式有如下几类: ①与;②与; ③与;④与. 说明:利用有理化因式的特点可以将分母有理化. 【难点指导】 1、如果是二次根式,则一定有;当时,必有; 1、了解二次根式的概念,能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 【学习重点】二次根式有意义的条件. 【学习过程】 【活动一】知识(5分钟) 这些知识你还记得吗?(先独立完成1分钟,后同桌互查1分钟。) 1、如果对于任意数x ,有x 2 = a ,那么x 叫a 的________, 记为______,其中 a 是x 的______;所以a 一定是_______数。 2、如果对于一个正数x ,有x 2 = a ,那么x 叫a 的________, 记为______,其中 a 仍是x 的______;所以a 一定是_______数。 3、正数a 的算术平方根为_______,0的算术平方根为_______; 式子)0(0≥≥a a 的意义是 。4的算术平方根为2,用式子表 示为 =__________; 【活动二】自主交流 探究新知( 25分钟) 1、二次根式定义的学习:(12分钟) 完成 P2—思考中的容,阅读例1以上的容,尝试完成下面的问题: 1) 思考:如何判定一个式子是否是二次根式? 2 3,16-,34,12+x 3)已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是 。 4)下列各式一定是二次根式的是( ) A 、12+x B 、12-x C 、1--x D 、x 总结:二次根式应满足的条件: 。 2、 二次根式有意义的条件的学习:(13分钟) 自学课本P--2页例1后,模仿例题的解答过程合作完成练习 : 1)x 取何值时,下列各二次根式有意义? ①43-x ③x --21 (2)若在实数围有意义,则x 为( )。 B.负数 C.非负数 D.非正数 总结:二次根式有意义的条件是: 【活动三】课小结 (学生归纳总结) (3分钟) 1.非负数a 的算术平方根a (a ≥0)叫做二次根式. 二次根式的概念有两个要点:一是从形式上看,应含有二次根号;二是被开方数的取值围有限制:被开方数a 必须是非负数。 20 a ≥??≥。 【活动四】拓展延伸(独立完成3分钟,班级展示2分钟) 1、在式子 x x +-121中,x 的取值围是____________. 2、已知42 -x +y x +2=0,则x-y = _____________. 3、已知y =x -3+23--x ,则x y = _____________。 【活动五】快乐达标(学生先独立完成5分钟,后组互查2分钟。) 1、下列式子中,哪些是二次根式?哪些不是二次根式? 2,33, x 1 ,x (x >0),0,42,y x +1,y x +(x ≥0,y ≥0) 2、当x 是怎样的实数时,13-x 在实数围有意义? 3、若20a -+=,则 2 a b -= 。 【补充练习】1、式子 1 1 2-+x x 有意义的x 的取值围是 。 2、已知:y x x x y 求,522+-+-=的值。 4 0)a ≥ 《第二十一章 二次根式》 练习题 一、填空题 1. ______个. 2. 当x = 时,二次根式1+x 取最小值,其最小值为 。 3. _____________ 4. = 5. 实数a 在数轴上的位置如图所示:化简 :1______a -=. 6. 已知三角形底边的边长是6cm,面积是12cm 2,则此边的高线长 . 7. 若()2240a c -+-=,则=+-c b a . 8. 计算:20102010)23()23(+-= 9. 已知2310x x -+=,则 = 10. = = =用含自然数(1)n n ≥的代数式表示出来是 . 二、选择题(每小题3分,共24分) 11. 下列式子一定是二次根式的是( ) A .2--x B .x C .22+x D .22-x 12. 下列二次根式中,x 的取值范围是2≥x 的是( ) A .2-x B .x+2 C .x -2 D .1x -2 13. 实数a b c ,,在 数轴上的对应点的位置如图所示,式子①0b c +>②a b a c +>+③bc ac >④ab ac >中正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 14. 下列根式中,是最简二次根式的是( ) A . B . C. D . 15. 下列各式中,一定能成立的是( ) A .22)5.2()5.2(=- B .22)(a a = C .1122-=+-x x x D .3392-?+=-x x x 16.设4a ,小数部分为b ,则1a b - 的值为( ) A.1- C.1 D.17. 把m m 1-根号外的因式移到根号内,得( ) A .m B .m - C .m -- D .m - 18. 2,则a 的取值范围是( ) A.4a ≥ B.2a ≤ C.24a ≤≤ D.2a =或4a = 三、解答题(76分) 19. (12分)计算: (1) 21418122-+- (2) 2)352(- (3) (4)28 4)23()21(01--+-?- 20. (8分)先化简,再求值:1 1212222--÷+++-+x x x x x x x ,其中23-=x . 21. (8分)已知:3x 22x y --+-=,求:4y x )(+的值。 第21章 二次根式 二次根式(1) 一、学习目标 1、了解二次根式的概念,能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质:)0(0≥≥a a 。 二、学习重点、难点 重点:二次根式有意义的条件;二次根式的性质. 难点:综合运用性质)0(0≥≥a a 。 三、学习过程 (一)知识准备: (1)已知x 2 = a ,那么a 是x 的______; x 是a 的________, 记为______, a 一定是_______数。 (2)4的算术平方根为2,用式子表示为 =__________; 正数a 的算术平方根为_______,0的算术平方根为_______; 式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 (二)学习内容 1、式子a 表示什么意义? 2、什么叫做二次根式? 3、式子)0(0≥≥a a 的意义是什么? 4、如何确定一个二次根式有无意义? (三)自主学习 (学生活动)请同学们独立完成下列三个问题: 问题1:已知反比例函数y= 3x ,那么它的图象在第一象限横、?纵坐标相等的点的 坐标是___________. 问题2:如图,在直角三角形ABC 中,AC=3,BC=1,∠C=90°,那么AB 边的长是__________. 4 A C 问题3:甲射击6次,各次击中的环数如下:8、7、9、9、7、8,那么甲这次射击的方差是S2,那么S=_________. ,都是一些正数的算术平方根.像这样一些正数的算术平方根的式子,我们就把它称 .因此,一般地,我们把形如a≥0)?的式子叫做, ”称为. (学生活动)议一议: 1.-1有算术平方根吗? 2.0的算术平方根是多少? 3.当a<0 例1 1 x x>0) 、 、 、 1 x y + x≥0,y?≥0). 例2.当x 在实数范围内有意义? (四)知识梳理 1.非负数a的算术平方根a(a≥0)叫做二次根式. 二次根式的概念有两个要点:一是从形式上看,应含有二次根号;二是被开方数的取值范围有限制:被开方数a必须是非负数。 二次根式知识点总结 王亚平 1. 二次根式的概念 二次根式的定义: 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式,其中a 叫被开方数,只有当a 是一个非负数时, a 才有意义. 2. 二次根式的性质 1. 非负性:)0(≥a a 是一个非负数. 注意:此性质可作公式记住,后面根式运算中经常用到. 2.)0()(2 ≥=a a a 注意:此性质既可正用,也可反用,反用的意义在于,可以把任意一个非负数或非负代数式写成完 全平方的形式:)0()(2 ≥=a a a 3. ? ? ?<-≥==)0() 0(2 a a a a a a 注意:(1)字母不一定是正数. (2)能开得尽方的因式移到根号外时,必须用它的算术平方 根代替. 3. 最简二次根式和同类二次根式 1、最简二次根式: (1)最简二次根式的定义:①被开方数是整数,因式是整式;②被开方数中不含能开得尽方的数或 2、同类二次根式(可合并根式): 几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式,即可以合并的两个根式 4. 二次根式计算——分母有理化 1.分母有理化 定义:把分母中的根号化去,叫做分母有理化。 2.有理化因式: 两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下: ①单项二次根式:利用a a a =?来确定,如:a 与a ,b a +与b a +,b a -与b a -等分别互为有理化因式。 ②两项二次根式:利用平方差公式来确定。如b a +与b a - ,b a + 与 b a - ,y b x a +与y b x a -分别互为有理化因式。 3.分母有理化的方法与步骤: ①先将分子、分母化成最简二次根式; ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式,使分母中不含根式; 5. 二次根式计算——二次根式的乘除 1.积的算术平方根的性质:积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积。 )0,0(≥≥? = b a b a ab 2.二次根式的乘法法则:两个因式的算术平方根的积,等于这两个因式积的算术平方根。 )0,0(≥≥= ? b a ab b a 3.商的算术平方根的性质:商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 。 )0,0(≥≥= b a b a b a 4.二次根式的除法法则:两个数的算术平方根的商,等于这两个数的商的算术平方根。 )0,0(≥≥= b a b a b a 注意:乘、除法的运算法则要灵活运用,在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边,同时还 要考虑字母的取值范围,最后把运算结果化成最简二次根式. 6. 二次根式计算——二次根式的加减 二次根式的被开方数相同时是可以直接合并的,如若不同,需要先把二次根式化成最简二次根式,然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减,被开方数不变。 1、判断是否同类二次根式时,一定要先化成最简二次根式后再判断。 2、二次根式的加减分三个步骤: ①化成最简二次根式; ②找出同类二次根式; ③合并同类二次根式,不是同类二次根式的不能合并 2019-2020年九年级数学上册第21章二次根式复习教案新 人教版 教学目标 1.使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质,并能熟练地化简含二次根式的式子;2.熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算. 教学重点和难点 重点:含二次根式的式子的混合运算. 难点:综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子. 教学过程设计 一、复习 1.请同学回忆二次根式有哪些基本性质?用式子表示出来,并说明各式成立的条件. 指出:二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的,主要应用于化简二次根式.2.二次根式的乘法及除法的法则是什么?用式子表示出来. 指出:二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的.把两个二次根式相除, 计算结果要把分母有理化. 3.在二次根式的化简或计算中,还常用到以下两个二次根式的关系式: 4.在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中,常运用三个可逆的式子: 二、例题 例1 x取什么值时,下列各式在实数范围内有意义: 分析: (1)题是两个二次根式的和,x的取值必须使两个二次根式都有意义; (3)题是两个二次根式的和,x的取值必须使两个二次根式都有意义; (4)题的分子是二次根式,分母是含x的单项式,因此x的取值必须使二次根式有意义,同时使分母的值不等于零. x≥-2且x≠0. 解因为n2-9≥0,9-n2≥0,且n-3≠0,所以n2=9且n≠3,所以 例3 分析:第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式.把它们分别分解因式后,再利用二次根式的基本性质把式子化简,化简中应注意利用题中的隐含条件3-a≥0和1-a>0. 解因为1-a>0,3-a≥0,所以 a<1,|a-2|=2-a. (a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)≥0. 这些性质化简含二次根式的式子时,要注意上述条件,并要阐述清楚是怎样满足这些条件的. 创作编号: GB8878185555334563BT9125XW 创作者: 凤呜大王* 第21章 二次根式单元测试 一、选择题(每小题2分,共20分) 1.下列式子一定是二次根式的是( ) 2.若 b b -=-3)3(2,则( ) A .2--x B .x C .22+x D .22-x A .b>3 B .b<3 C .b ≥3 D .b ≤3 3.下面计算正确的是( ) A.3=3=2 35= D.2=- 4.若x<0,则x x x 2-的结果是( ) 5.下列二次根式中属于最简二次根 式的是( ) A .0 B .—2 C .0或—2 D .2 A .14 B .48 C . b a D .44+a 6. 已知y =,则2xy 的值为( ) 7.化简 6 151+的结果为( ) A .15- B . 15 C .152- D . 15 2 A .3011 B .33030 C .30330 D .1130 8.小明的作业本上有以下四题: ①24416a a =; ②a a a 25105=?; ③a a a a a =?=1 12;④a a a = -23。做错的题是( ) A .① B .② C .③ D .④ 9.若最简二次根式a a 241-+与的被开方数相同,则a 的值为( ) A .4 3- =a B .34 =a C .a=1 D .a= —1 10. 计算2 2 1-631 +8的结果是( ) A .32-23 B .5-2 C .5-3 D .22 二、填空题(每小题2分,共20分) 11.①=-2)3.0( ;②=-2 )52( 。12.二次根式3 1-x 有意义的条件是 。 13.若m<0,则332||m m m ++= 。14.=?y xy 82 , =?2712 。 15.1112-= -?+x x x 成立的条件是 。16.比较大小: 。 17.计算3 393a a a a - += 。18.232 31+-与的关系 是 。 19.若35-= x ,则562++x x 的值为 。20.化简 ? ?? ? ??--+1083114515的结果是 。 三、解答题(第21~22小题各12分,第23小题16分,共40分) 21.求使下列各式有意义的字母的取值范围: (1)43-x (2) a 83 1 - (3)42+m (4)x 1- 第十六章 二次根式导学案 二次根式(1) 一、学习目标 1、了解二次根式的概念,能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质:)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 二、学习重点、难点 重点:二次根式有意义的条件;二次根式的性质. 难点:综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。 三、学习过程 (一)复习回顾: (1)已知a x =2,那么a 是x 的______;x 是a 的________, 记为______,a 一定是_______数。 (2)4的算术平方根为2 ,用式子表示为 =__________;正数a 的算术平方根为_______,0的算术平方根为_______;式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 (二)自主学习 (1)16的平方根是 ; (2)一个物体从高处自由落下,落到地面的时间是t (单位:秒)与开始下落时的高度h (单位:米)满 足关系式25t h =。如果用含h 的式子表示t ,则t = ; (3)圆的面积为S ,则圆的半径是 ; (4)正方形的面积为3-b ,则边长为 。 思考:16, 5 h ,πs ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征. 定义: 一般地我们把形如a (0≥a )叫做二次根式,a 叫做_____________ 4 1、试一试:判断下列各式,哪些是二次根式?哪些不是?为什么? 3,16-,34)0(3 ≥a a ,12+x 2、当a 为正数时a 指a 的 ,而0的算术平方根是 ,负数 ,只有非负数a 才有算术平方根。所以,在二次根式a 中,字母a 必须满足 , a 才有意义。 3、根据算术平方根意义计算 : (1) 2)4( (2) (3)2)5.0( (4)2)3 1( 根据计算结果,你能得出结论: ,其中0≥a , 4、由公式)0()(2≥=a a a ,我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成 一个数的平方的形式。 如(5)2=5;也可以把一个非负数写成一个数的平方形式,如5=(5)2. 练习:(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式: 6 0.35 (2)在实数范围内因式分解 72-x 4a 2-11 (三)合作探究 例:当x 是怎样的实数时,2-x 在实数范围内有意义? 解:由02≥-x ,得 2≥x 当2≥x 时,2-x 在实数范围内有意义。 练习:1、x 取何值时,下列各二次根式有意义? ________ )(2=a 2)3( 《人教版九年级上册全书教案》 第二十一章二次根式 教材内容 1.本单元教学的主要内容: 二次根式的概念;二次根式的加减;二次根式的乘除;最简二次根式. 2.本单元在教材中的地位和作用: 二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的,它也是今后学习其他数学知识的基础.教学目标 1.知识与技能 (1)理解二次根式的概念. (2a≥0)是一个非负数,2=a(a≥0)(a≥0). (3(a≥0,b≥0); a≥0,b>0)a≥0,b>0). (4)了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减. 2.过程与方法 (1)先提出问题,让学生探讨、分析问题,师生共同归纳,得出概念.?再对概念的内涵进行分析,得出几个重要结论,并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简.(2)用具体数据探究规律,用不完全归纳法得出二次根式的乘(除)法规定,?并运用规定进行计算. (3)利用逆向思维,?得出二次根式的乘(除)法规定的逆向等式并运用它进行化简.(4)通过分析前面的计算和化简结果,抓住它们的共同特点,?给出最简二次根式的概念.利用最简二次根式的概念,来对相同的二次根式进行合并,达到对二次根式进行计算和化简的目的. 3.情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生:利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神,经过探索二次根式的重要结论,二次根式的乘除规定,发展学生观察、分析、发现问题的能力.教学重点 1.a≥0)a≥0)是一个非负数;2=a(a≥0) (a≥0)?及其运用. 2.二次根式乘除法的规定及其运用. 3.最简二次根式的概念. 4.二次根式的加减运算. 教学难点 1a≥0)2=a(a≥0(a≥0) 二次根式 【知识回顾】 1.二次根式:式子a (a ≥0)叫做二次根式。 2.最简二次根式:必须同时满足下列条件: ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式; ⑵被开方数中不含分母; ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式: 二次根式化成最简二次根式后,若被开方数相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质: (1)(a )2 =a (a ≥0); (2)==a a 2 5.二次根式的运算: (1)因式的外移和内移:如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可以用它的算术根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式,那么先解因式,?变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面. (2)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. (3)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式. ab =a ·b (a≥0,b≥0); b b a a =(b≥0,a>0). (4)有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算. 【典型例题】 a (a >0) a -(a <0) 0 (a =0); 1、概念与性质 例1下列各式1)22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153 x a a a --+---+, 其中是二次根式的是_________(填序号). 例2、求下列二次根式中字母的取值范围 (1)x x --+31 5;(2)22)-(x 例3、 在根式1) 222;2);3);4)275x a b x xy abc +-,最简二次根式是( ) A .1) 2) B .3) 4) C .1) 3) D .1) 4) 例4、已知:的值。 求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y 例5、 (2009龙岩)已知数a ,b ,若2()a b -=b -a ,则 ( ) A. a>b B. a 6 21 2 .2 A 石 B 辰 C 屈 D 血1 3 ?、a A 屆 B 73a 2 3 C 肩 D V a 4 4 25 A 5 B V 5 C 5 D 5 5 9 A 3 B 3 C 3 D 81 6 7a 2 b 1 0 (a b )2007 A 1 B 1 C 32007 D 32007 7 A ( 2)0 0 B 3 2 9 C 晶 3 D V 2 73 75 8 J x 1 x A x 1 B x l C x 1 D x 9 P A 、 斤 B C 3.2 D 1 1 P 1 1 亠 i i i 3 2 1O 1 2 3 10 9 A d 2 46 B v'2 C 珂'8 4血 D <4 42 <2 11 V20n n A 2 B 3 C 4 D 5 12 A 恵昭晁 B 恵爲 C 78 4D 7( 3)2 3 1 x ___________ J x 3 2 侮 ______________ 3 d 2x 6 x 3 .5 4 A B C 4 A B 7、观察下列各式: 8计算:晶 ___________________ : 9. 一个三角形的三边长分别为、、8cm,12cm,、、18cm ,则它的周长是 cm 10. 当 1 x<5时, ~x 5 ____________________ 。 三、解答题 1、计算:(n 1)°屁 的. 四.解答题。 1.如图:面积为48cm 2的正方形四个角是面积为3cm 2的小正方形,现将四个角剪掉,制作一个无盖的长方体盒子, 求这个长方体的底面边长和高分别是多少?(精确到 0.1 cm,、、3 1.732 ) 2. 当 1v x V 5 时,化简:.x 2 2x 1 . x 2 10x 25 3. 若最简二次根式3x 10 2x y 5和. x 3y 11是同类二次根式 ⑴.求x 、y 的值。 ⑵.求x 、y 平方和的算术平方根。 n (n > 1)的等式表示出来 3、 8+ (- 1)3 — 2X 4、1 10 (3 15 5.. 6) 2 5、(3.6 ^.2 )(3.6 42) & (、. 5 2)2 ( 5 1)(、. 5 3) 8. 48 54 2 1 73 请你将发现的规律用含自然数 2、 ,12 ,18 ,0.5 7, 2.12(人教版初中数学)人教版数学第21章二次根式知识点及对应练习
二次根式导学案(人教版全章)
第二十一章二次根式以及二次根式的乘除练习题
重庆市九年级数学上册 第21章 二次根式 21.1 二次根式教案 (新版)华东师大版
二次根式知识点总结及其应用
16章 二次根式全章导学案
第二十一章 二次根式3
九年级数学上册第21章二次根式21.2二次根式的乘除21.2.1二次根式的乘法教案新版华东师大版
二次根式小结与复习
16.1.1二次根式全章导学案
第二十一章 二次根式
第21章 二次根式
二次根式知识点总结
2019-2020年九年级数学上册 第21章 二次根式复习教案 新人教版
第21章 二次根式单元测试题(一)及答案
最新人教版八年级数学下册第十六章 二次根式导学案(全章)
第二十一章 二次根式教案
二次根式知识点总结大全
第21章二次根式练习题(已整理)