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随机信号分析习题

随机信号分析习题一

概率：P( 1)，P(1 2)。

2. 设(X,Y) 的联合密度函数为

f XY(x,y)e (x y), x 0, y 0，

0 , other

求P 0 X 1,0 Y 1 。

3. 设二维随机变量(X,Y) 的联合密度函数为

1 1

2 2 f XY(x, y) 1exp 12(x22xy 5y2)

求：(1)边沿密度f X(x) ，f Y(y)

(2)条件概率密度f Y|X (y|x)，f X|Y(x|y)

4. 设离散型随机变量X 的可能取值为1,0,1,2 ，取每个值的概率都为1/4 ，又设随机变

量Y g(X) X3X 。

(1)求Y 的可能取值

( 2)确定Y 的分布。

(3)求E[Y] 。

5. 设两个离散随机变量X ，Y 的联合概率密度为：

111

f XY(x,y) 3(x 2) (y 1) 3(x 3) (y 1) 3(x A) (y A) 试求：(1) X 与Y 不相关时的所有A

值。

(2) X 与Y 统计独立时所有A值。

6. 二维随机变量( X ，Y )满足：

X cos

Y sin

为在[0，2 ]上均匀分布的随机变量，讨论X ，Y 的独立性与相关性。

7. 已知随机变量X 的概率密度为f (x)，求Y bX 2的概率密度f (y)。

1. 设函数F(x)，试证明F(x) 是某个随机变量的分布函数。并求下列

8. 两个随机变量X1，X 2 ，已知其联合概率密度为f(x1,x2),求X1 X 2的概率密度？

9. 设X 是零均值，单位方差的高斯随机变量，y g(x) 如图，求y g(x) 的概率密度

f Y(y)

W X 2

Z X 2

设X ，Y是相互独立的高斯变量。求随机变量W和Z的联合概率密度函数。

11. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数

WXY

Z 2(X Y)

已知f XY(x,y) ，求联合概率密度函数f WZ( ,z) 。

,axb ba

0，其它

1)求X 的特征函数, X( ) 。

2)由X( )，求E[X]。

13. 用特征函数方法求两个数学期望为0，方差为1，互相独立的高斯随机变量X1和X2之和的概率密度。

14. 证明若X n依均方收敛，即l.i.m X n X，则X n必依概率收敛于X。

12. 设随机变量X 为均匀分布，其概率密度f X (x)

15. 设{ X n}和{Y n} (n 1,2,L ) 为两个二阶矩实随机变量序列，X 和Y 为两个二阶矩实随

机变量。若l.i.m X n

n n X ，l.i.m Y n Y，求证lim E{X m X n} E{XY} 。nm

10. 设随机变量W 和Z

X(t) Acos w 0 t

f A (a) 1,0 a 1

0,others

(2) 试求 t 时， X(t) 的一维概率密度。 2w 0 2.

若随机过程 X(t)为

X(t) At, t

式中， A 为在区间 [0,1]上均匀分布的随机变量，求 E[X(t)] 及R X (t 1,t 2)。

设随机振幅信号为

X(t) V sin w 0t

其中 w 0为常数； V 是标准正态随机变量。求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。

设随机相位信号

X(t) a cos(w 0t )

式中 a 、 w 0皆为常数，为均匀分布在 [0,2 ] 上的随机变量。求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。

设 X(t) A sin( wt ), t ， Y(t) Bsin(wt ), t ，其中

A ，

B ， w ，为实常数， ~ U [0,2 ]，试求 R XY (s,t)。

6. 数学期望为 m X (t) 5sin t 、相关函数为 R X (t 1,t 2) 3e 0.5(t2 t1) 的随机信号 X(t)输入

微分电路，该电路输出随机信号 Y(t) X(t) 。求Y (t )的均值和相关函数。 7

7 设随机信号 X(t) Ve 3t cos2t ，其中 V 是均值为 5、方差为 1的随机变量。现设新的

随机信号分析习题二

设正弦波随机过程为

其中

w 0 为常数； A 为均匀分布在 [0,1] 内的随机变量，即

(1) 试求 t

0, , , 时， 4w 0 4w 0 w 0

X(t) 的一维概率密度；

随机信号Y(t) X( )d 。试求Y (t )的均值、相关函数、协方差函数和方差。

8. 利用重复抛掷硬币的实验定义一个随机过程

cos t,出现正面

X(t)

2t, 出现反面

设“出现正面”和“出现反面”的概率都为1/2。

(1) 求X (t )的一维分布函数F X ( x,1/ 2)和F X ( x,1) ；

(2) 求X (t )的二维分布函数F X(x1,x2;1/ 2,1)。

9. 给定一个随机过程X(t) 和任一实数x ，定义另一个随机过程

Y(t)1, X(t) x 0, X(t) x

证明Y(t) 的均值函数和自相关函数分别为

X(t) 的一维和二维分布函数。

10. 定义随机过程

1, 第n次投掷均匀硬币出现正面

1,第n次投掷均匀硬币出现反面

n 0, 1, 2,L ,(n 1)S t nS ，S为正常数，设: U [0, S] ，且与X(t)相互独立，

令Y(t) X(t )，试求R X(s,t)与R Y(s,t)。

11. 考虑一维随机游动过程Y n，n 0,1,2,L ，其中Y0 0，Y n X i ，X i为一取值1

和1的随机变量，已知P(X i 1) q，P(X i 1) p，0 p,q 1，p q 1，且X i，

i 1,2,L 相互独立，试求：

1) P(Y n m);

2) EY n和DY n 。

12. 考虑随机过程X(t) ，其样本函数是周期性锯齿波。两个典型的样本函数如图所示。每

个样本函数都具有相同的形状，将t 0 时刻以后出现的第一个零值时刻记为T0 ，假设T0 是

一个均匀分布的随机变量

1T,0 t T p T0 (t)0, others 00, others

X(t)

求 X (t )的一维概率密度 p X (x)

其中 T 0的定义和上题相同。假设不同脉冲的幅度 A 之间统计独立，并均与 T 0 统计独立，求

Y(t) 的一维概率密度 p Y (y) 。

X(t) Asin( t )

其中振幅 A 、角频率和相位是相互独立的随机变量，并且已知：

2 ,0 a A 0 p A (a) A 0

0, others

13. 将上题中的锯齿波过程作一点改动，使每个脉冲的幅

度布的随机变量

A 为服从麦克斯韦 (Maxwell) 分

a 2

2b 2

a0 a0

p (w)

100

,250 0,

w 350 others

p A (a)

14.

为一个随机过程

0, others

求 X(t) 的一维概率密度。

随机信号分析习题三

1. 设有零均值的平稳过程 X(t)，t 0 ，其相关函数为 R X ( ) ，令

Y(t) 0 X(s)ds t 0

求 Y(t)，t 0 的方差函数和协方差函数。

2. 设 X(t)，

t 是平稳过程，且 EX(t) 1，R X ( ) 1 e 2 ，求随机变量

S 0 X(t)dt

的数学期望和方差。

3. 设随机过程

Z(t) VX(t)Y(t) t

其中平稳过程 X(t)和Y(t)及随机变量 V 三者相互独立，且 m X m Y 0， X(t)的相关函数为R X ( )

2e 2 cos ， Y(t )的相关函数为 R Y ( ) 9 e 3 ，又EV 2，DV 9。求 Z(t) 的数学期望，方差和相

关函数。

p()

4. 设平稳过程X(t)，t ，其相关函数为R X ( ) ，且R X (T) R X (0)，T 0是

常数。证明：

(1) P(X(t T)X(t))

R X ( )

(2) R X ( T)

5. 设X(t) A cos wt ，t ，其中w 是常数，A 是随机变量，具有概率密度函数

10 x 1

f A (x)

A0others

讨论X(t)，t的严平稳性。

6. 设A 是任意的随机变

是与A相互独立的，且在[0,2 ] 上服从均匀分布的随机变量，

量，令 X(t) A sin( wt ) ，

严平稳过程。

9. (上节习题课的例题 12)考虑随机过程 X(t) ，其样本函数是周期性锯齿波。两个典型的样

本函数如图所示。每个样本函数都具有相同的形状，将 t 0 时刻以后出现的第一个零值时刻记为 T 0 ，假设 T 0 是一个均匀分布的随机变量

p (t)

1T,0 t T p

T0 (t)

0, others

判断 X (t )平稳性。

10. (上节习题课的例题 14)考虑一个正弦振荡器，由于器件的热噪声和分布参数的影响，振

荡器的输出正弦波可视为一个随机过程

X(t) Asin t

其中振幅 A 、角频率和相位是相互独立的随机变量，并且已知

p A (a)

A 02 0

0 a A 0 others

t ，w 0是常数，证明 X(t)， t

7. 设 X(t)，

个零均值的平稳过程，而且不恒等于一个随机变量，令

Y(t) X(t)

X(0)，。判断 Y(t)，

是否为平稳过程。

8. 设 Z(t)

Ycost

X sint ，

，其中 X 和 Y 是相互独立的随机变量，且

P(X 1)

P(Y 1)

， P(X 2) P(Y 2) 1

。

(1) 求 Z(t)，

的均值函数和相关函数；

(2) 证明 Z(t)，

是宽平稳过程，但不是严平稳过程。

叮叮小文库

P(n, )

( )n n!

1 p (w) 100 0

250 w 350 others

02 others

(1)求 X(t) 的一维概率密度； (2) X(t) 是一阶平稳过程吗？

随机信号分析习题四

已知平稳过程 X(t) 的相关函数如下，试求它的功率谱密度

(1) R X ( ) e cosw 0 ,a 0

设 X(t) 为一个随机电报波过程，它的一个样本函数如图所示。已知在任一时刻波形取

A 和 A 的概率相同，在时间间隔内波形变号的次数 n 服从参数为的泊松分布

11. 设 X(t)，

是平稳过程，其协方差 C X ( ) 是绝对可积，即 C X ( ) d

。证明 X(t)， t

的均值具有各态历经性。

12. 设随机过程 Z(t)

X(t) Y ，其中 X(t) 是一平稳过程， Y 是与 X(t) 无关的随机变量，

讨论过程 Z (t )的遍历性。

13. 设 X(t) Acos wt

t ，其中 w 0 是常数， A 和是相互独立的

随机变量，且 : U[0,2 ] ，研究 X(t)，

的各态历经性。

14. 随机过程 X(t) X ，

t ，其中 X 是具有一、二阶矩的随机变量，但不服从

单点或两点分布 P(X

a) 1， a 0，讨论它的各态历经性。

(2) R X ( )

T 0 ,

T 0

延时 T

设S(w)是一个平稳过程的功率谱密度函数，证明 d 2S(w) dw 2 不可能是平稳过程的功率谱密度函数。

6. 设随机过程 X(t) acos( t ) ，其中 a 为常量，和为相互独立的随机变量，且均匀分布于

(0,2 ) ，的一维概率密度为偶函数，即 f a (w) f a ( w) ，求证 X(t) 的功率谱密度为

S X (w) a f a (w) 7

7 设 X(t) 和Y (t )是联合平稳的。试证明

(1) 求 X (t )的自相关函数； (2) 求 X (t )的功率谱密度函数。

S X (w)

w4 42

w 10w 9

S Y (w)

w 3w 2

求 X(t) 和Y (t )的自相关函数和均方值。

若 X(t) 是平稳随机过程，如图所示证明过程 Y(t)的功率谱密度为

S Y (w) 2S X (w)(1 cos wT )

Y(t)

已知平稳过程

Re S XY (w) Re S YX (w) Im S XY (w)

Im S YX (w)

给定一个随机过程

X(t) Acos(w 0t )

式中， A 和 w 0为常数，为均匀分布于 (0,2 ) 的随机变量

(1) 求 X(t) 的平均功率； (2)

求 X(t) 的功率谱密度。

9. 若平稳过程 X (t )的功率谱密度为 S X (w) ，又有

Y(t) aX (t )cos w 0t

式中， a 为常数，求功率谱密度 S Y (w) 。

设 X(t)和Y(t)是两个相互独立的平稳过程，均值函数 m X 和m Y 都不为零，已知 m X 和

m Y ，以及 X(t)和Y(t)的功率谱密度 S X (w)和S Y (w)，令 Z(t) X(t) Y (t) ，试计算 S XY (w) 和 S XZ (w) 。

1 x

3 y

p XY ( x, y) 24

exp

x 2

y 其中

cosx,

g(x) 0c ,osx,

求在时刻 t 1 0， t 2 1， t 3 2 抽样的三维概率密度。

X(t) U coswt V sinwt

3 证明 X 和 Y 不相关，但不统计独立。一个零均值高斯过程，其协方差为

4 求边缘分布 p X (x) 和 p Y (y) ；

11. 已知随机变量 X 和Y 的联合概率密度

为 C(t,s)

10. 12

exp( 2

)g(x)g(y)

12.

13. 设随机过程

其中w为常数，U 和V 是两个相互独立的高斯随机变量，已知

E(U ) E(V) 0

E(U 2) E(V2)

求X(t) 的一维概率密度函数。

R( ) e ，求随机变量14. 设X(t) 为平稳高斯过程，其均值为零，自相关函数为

1 Y X(t)dt 的概率密度函数p Y (y) 。

15. 设X (t)为一个零均值高斯过程，其功率谱密度S X ( f )如图所示，若每2W秒对X(t)取1

样一次，得到样本集合X (0), X ( ),L ，求前N 个样本的联合概率密度。

随机信号分析习题五

1. 非周期平稳过程X (t )的自相关函数为

R X ( ) a2 be

式中，a和b是正实常数，系统的冲激响应为

h(t) e t U(t)

其中为正实常数，求该系统输出过程的均值。

2. 假设低通滤波器的传输函数与冲激响应如下

H (w) ，h(t) e

1 jwRC RC

输入为白噪声，其功率谱密度为G X(w) N0 2 ，求

(1) 滤波器输出功率谱密度；

(2) 滤波器输出自相关函数；

(3) 证明

R Y (t 3 t 2)R Y (t 2 t 1)

R Y (0)

设有冲激响应为 h(t )的线性系统，系统输入 X (t )为零均值、平稳过程，该过程的自相关函数为

R X ( ) ( )

问： h(t )具备什么条件，可使输入过程 X (t )与输出过程 Y(t) 在时刻 t t 1的随机变量不相关。

的自相关函数与功率谱密度。

W n X n X n 1 Z n X n 2X n 1 X n 2

5. 线性系统 H (j )的输入为平稳过程 x(t)，其功率谱为 S x ( )，设 y(t) 为输出。

(1) 求误差过程 e(t) y(t) x(t) 的功率谱密度函数 S e ( )； (2) 考虑 RC 电路，设输入为一个二元波过程，求 S e ( ) 。

R C

X(t) Y(t)

一个平均电路如下图所示

(1) 证明系统的冲激响应函数为

1 T,0 t T h(t)

0, others

(2) 设输入过程 X (t)的功率谱密度为 S X ( ) ，求输出过程 Y (t )的功率谱密度。

7. 设输入为白噪声过程 X(t)，其自相关函数为 R X ( ) S 0 ( )。求

(1) 系统的冲激响应函数；

R Y (t 3 t 1)

设 X n 是纯随机序列，且在 1与 1间均匀分布，试利用下列滤波方程求出 W n ，Z n 与Y n Y n

Y n1 X n

X(t)

t t

T X( )d

Y(t)

,t 3

t 1

(2) 输出过程 Y(t) 的均方值。

8. 证明均值为零、自相关函数为 R X ( ) 2 ( ) 的白噪声 X(t) 通过一个理想积分器后输出方程

Y(t) X(u)du 的均方值为 2t 。

在习题 5 所示的 RC 电路中，设输入过程 X(t) 的自相关函数为

R X ( )

e ， 0

求输出

过程 Y(t)的功率谱密度函数 S Y ( ) ，自相关函数 R Y ( )和均方值 Y 2

。

10. 假设某线性系统如图所示，试用频域分析方法求出：

(1) 系统的传输函数；

(2) 当输入是谱密度为 S 0的白噪声时。输出 Z(t) 的均方值。

11. 随机过程 Y(t) 满足微分方程

Y (t) 3Y (t) 2Y(t) X(t)

其中对于任意 t ， X (t )都为白噪声，其自相关函数关函数 R Y ( ) 满足方程

R Y ( ) 3R Y ( ) 2R Y ( ) 0， 0 其中，初始条件为 R Y (0) K 12， R Y (0)

0。

12. 如下图所示系统中输入 X(t) 同时作用于两个系统

4Ω 1/3Ω

1/8 F 1/6 F X(t)

Y(t)

(提示：利用积分

sin 2 ax

0 x

R X ( ) K ( ) 。证明 Y(t)的自相

(1) 求输出 Y 1(t) 和Y 2(t) 的互谱密度 S Y 1Y 2 ( )；

(2) 设 X (t )是零均值的具有单位谱高的白噪声，若要使 Y 1(t) 和Y 2(t)为不相关过程，

h 1( )和 h 2( )应满足什么条件？

13. 如下图所示系统中，若已知

h 1(t) e at

U(t)， a 0

并已知输入 W(t) 是均值为零，谱密度为 N 0 2的高斯白噪声，求输出过程 Y(t)的一维概率密度 p Y (y) 。

随机信号分析习题六

1. 分别求下列信号的希尔伯特变换

(1) s 1(t) sin 0t 。 (2) s 2(t) cos 0t 。

2. 试求下列信号的解析信号及复数包络：

(1) 指数衰落正弦波

at X(t) Ae at

cos[ 0

(t)]

(2) 调幅波

X(t) (1 Acos t)cos 0t, =

(3) 线性调制波

X(t)

Y 1(t)

Y 2(t)

证明当 0 2 时，有

H[a(t)cos 0t] a(t )sin 0t H[a(t)sin 0t] a(t)cos 0t

试证：

(1) 偶函数的希尔伯特变换为奇函数； (2) 奇函数的希尔伯特变换为偶函数。 5.

试证：

(1) H[e j 0t ]

je j 0t ；

(2) H[ (t)] 1t ；

6. 设 x?(t) 为 x(t) 的希尔伯特变换，证明：

(1) x(t) 和 x?(t) 在范围

t 内的功率相等，即

lim 1

x 2 (t )dt lim 1

x?2 (t )dt

2T T T 2T T

(2) 在范围 t 内， x(t)和 x?(t) 是正交的，即

lim x(t ) x?(t) dt 0。

2T T

证明下式成立，其中 X(t)为平稳随机过程， X %(t)为 X(t)的解析信号：

(1) R x%( ) 2[R x ( ) jR ?x ( )] ； (2) E[X %(t)X %(t )] 0

一个线性系统输入为 X(t) 时，相应的输出为 Y (t) 。证明若该系统的输入为尔伯特变换 X ?(t ) ，则相应的输出 Y(t) 的希尔伯特变换为 Y ?(t)。

9. 证明若加到系统 H( j ) 2U( )的输入为 X(t)，则相应的输出为对应于信号，即 Z(t) X(t) jX ?

(t)

10. 设谱密度为 N 0 的零均值高斯白噪声通过一个理想带通滤波器，此滤波器的增益为

1，

中心频率为

f c

，带宽为 2B 。试求滤波器输出端的窄带过程 X(t) 及其同相和正交分量

X(t) Acos 0t

2t 2

,b=

设低频信号 a(t) 的频谱为

A( )

A( ), 0,

others

X(t) 的希

X(t) 的解析

的自相关函数R X( )、R c( )、R s( )。

11. 设窄带过程X (t )的功率谱S X( )如图所示，试求：

(1) X (t )的同相和正交分量的功率谱密度。

(2) 互谱密度S sc( ) 。

12. 设如图所示系统的输入是谱密度为N0的零均值高斯白噪声X(t) ，在(0,2 )上服从2

均匀分布，且与X(t) 统计独立。其中两个滤波器的通带分别为( B,B)和

(f0, f0 2B),( f0 2B, f0)。

(1) 求输出过程Y (t)的功率谱密度S Y( f )。

(2) 求Y(t)的方差。

cos(2 f 0t )

13. 零均值平稳窄带噪声Y(t)具有对称功率谱，其相关函数为R Y ( ) A( )cos 0 ，求正

交和同相分量的相关函数R c( )、R s( )和方差 c 、s ，并求互相关函数R sc( ) 、

R cs( ) 。

14. 对于零均值，方差为 2 的窄带平稳高斯过程

Z(t) B(t)cos[ 0t (t)] A c ( t )cos 0t A s (t )sin 0t

求证：包络在任意时刻所给出的随机变量 B t 其数学期望值与方差分别为

E[B t ]

,D[B t ] 2 2

2。

15. 试证：均值为零、方差为 1 的窄带平稳高斯过程，其任意时刻的包络平方的数学期望为

2，方差为 4 。

随机信号分析习题七

1. 设｛X(t),- t ｝是均值为零的实正态平稳过程，相关函数为

R X ( )，

(1) 证明 Y(t) 是平稳过程 (2) 求相关系数 r Y ( ) 2. 设｛ X(t),- t

｝是均值为零的实正态平稳过程，相关函数为 R X ( ) ，

Y(t) X(t) ，求 Y(t )的均值和自相关函数 .

3. 设｛X(t),- t ｝是均值为零的实正态平稳过程，相关函数为 R X ( ) ，功率谱密度为

S X ( )， Y(t) X 2(t) ,

(1) 求Y(t) 的一维概率密度分布 . (2) 求Y(t) 的二维概率密度分布 .

(3) 证明 Y(t) X

(t) 也是一个平稳过程 .

(4) 求 Y(t)的功率谱密度 .

4. 系统输入 X(t)是均值为零的实正态平稳随机信号，通过系统输出 Z(t) 功率谱密度为

( ) 2

2 2 2

1 2

( 2

2)(1 2)

Y(t) sgnX(t) 1 1

X(t) 0 X(t) 0

试求 X(t)、 Y (t)各自的自相关函数

5. 信号和噪声X(t) S(t) N(t)同时作用于平方律检波器 y f(x) bx 2，信号

S(t) acos( 0t )，其中 a 和 0 为常数，为［0 2 ］均匀分布的随机变量，噪声

为零均值的高斯随机过程，相关函数为 R N ( ) ，信号和噪声是不相关的，求输出信号的均值、方差、自相关函数和功率谱 .

6. 设一非线性系统的传输特性为

y a a 0

其输入 X (t )为零均值的平稳高斯噪声，方差为

，相关函数为 R X ( ) ，用多项式变换的

矩函数法求输出的自相关函数 (多项式展开只取前 3 项).

7. 系统输入 X(t) 是均值为零，方差为 1 的高斯白噪声，用特征函数法求非线性系统输出端的

自相关函数函数 .

8. 系统输入 X(t)是均值为零，方差为 1 的高斯白噪声，通过一线性检波器

x0 x0

用特征函数法求系统输出 Y(t)的自相关函数

9. 窄带正态随机过程 X(t) A t cos t ，通过平方律检波器 y f(x) bx 2 求检波器输出端的均值和方

差 .

随机信号分析习题八

1. 设有三个状态 {0, 1,2} 的马氏链，其一步转移概率矩阵为

h(t) e t U(t)

y f (x)

bx 0 X(t)

Y(t)

求 f 00(1), f 00 (2), f 00(3), f 01(1),f 01(2), f 01(3) .

2. 设有三个状态 {1, 2,3} 的马氏链，其一步转移概率矩阵为

pq0

P 0 p q

0 p 1,p q 1

p0q

对 n 1,2,3 ，求

f 12

(n) 和 f 13(n) .

3. 设有三个状态 {1, 2,3} 的马氏链，其一步转移概率矩阵为

44 11 33 11 24

求(1)何时此链具有遍历性

(2)极限分布的各个概率

4. 设有三个状态 {1, 2,3}的马氏链，其一步转移概率矩阵为

010 P q 0 p 010

判断此链是否具有遍历性 .

5. 设有两个状态 {1,2} 的马氏链，其一步转移概率矩阵为

10 PI 01

讨论此链的遍历性和平稳分布 .

6. 已知独立随机变量序列 X 1,X 2,L ,X n ，序列中的各个随机变量分别具有概率密度函数 f X 1(x 1)

1 3 0

1 2 2

2 3 0 0

1 3 1 2

随机信号分析习题

随机信号分析习题一 1. 设函数???≤>-=-0 , 0 ,1)(x x e x F x ，试证明)(x F 是某个随机变量ξ的分布函数。并求下列概率：)1(<ξP ，)21(≤≤ξP 。 2. 设),(Y X 的联合密度函数为 (), 0, 0 (,)0 , other x y XY e x y f x y -+?≥≥=? ?，求{}10,10<<<

8. 两个随机变量1X ，2X ，已知其联合概率密度为12(,)f x x ,求12X X +的概率密度？ 9. 设X 是零均值，单位方差的高斯随机变量，()y g x =如图，求()y g x =的概率密度 ()Y f y \ 10. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数 22 2 W X Y Z X ?=+?=? 设X ，Y 是相互独立的高斯变量。求随机变量W 和Z 的联合概率密度函数。 11. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数 2() W X Y Z X Y =+?? =+? 已知(,)XY f x y ，求联合概率密度函数(,)WZ f z ω。 12. 设随机变量X 为均匀分布，其概率密度1 ,()0X a x b f x b a ?≤≤? =-???，其它（1）求X 的特征函数,()X ?ω。（2）由()X ?ω，求[]E X 。 13. 用特征函数方法求两个数学期望为0，方差为1，互相独立的高斯随机变量1X 和2X 之和的概率密度。 14. 证明若n X 依均方收敛，即 l.i.m n n X X →∞ =，则n X 必依概率收敛于X 。 15. 设{}n X 和{}n Y (1,2,)n = 为两个二阶矩实随机变量序列，X 和Y 为两个二阶矩实随机变量。若l.i.m n n X X →∞ =，l.i.m n n Y Y →∞ =，求证lim {}{}m n m n E X X E XY →∞→∞ =。

电子科大随机信号分析随机期末试题答案

电子科技大学2014-2015学年第 2 学期期末考试 A 卷一、设有正弦随机信号()cos X t V t ω=，其中0t ≤<∞，ω为常数，V 是[0,1)均匀分布的随机变量。（共10分） 1．画出该过程两条样本函数。(2分) 2．确定02t πω=，134t πω=时随机信号()X t 的一维概率密度函数，并画出其图形。(5 分) 3．随机信号()X t 是否广义平稳和严格平稳？(3分) 解：1.随机信号()X t 的任意两条样本函数如题解图(a)所示： 2.当02t πω=时，()02X πω=，()012P X πω??==????，此时概率密度函数为：(;)()2X f x x πδω =

当34t πω=时， 3()42X πω=-，随机过程的一维概率密度函数为： 3. ()[]1cos cos 2E X t E V t t ωω==???? 均值不平稳，所以()X t 非广义平稳，非严格平稳。二、设随机信号()()sin 2X n n πφ=+与 ()()cos 2Y n n πφ=+，其中φ为0~π上均匀分布随机变量。（共10分） 1．求两个随机信号的互相关函数 12(,)XY R n n 。(2分) 2．讨论两个随机信号的正交性、互不相关性与统计独立性。(4分) 3．两个随机信号联合平稳吗？(4分) 解：1.两个随机信号的互相关函数其中()12sin 2220E n n ππφ++=???? 2. 对任意的n 1、n 2 ,都有12(,)0XY R n n =，故两个随机信号正交。

又故两个随机信号互不相关，又因为故两个随机信号不独立。 3. 两个随机信号的均值都平稳、相关函数都与时刻组的起点无关，故两个信号分别平稳，又其互相关函数也与时刻组的起点无关，因而二者联合平稳。三、()W t 为独立二进制传输信号，时隙长度T 。在时隙内的任一点 ()30.3P W t =+=????和 ()30.7P W t =-=????，试求（共10分） 1．()W t 的一维概率密度函数。(3分) 2．()W t 的二维概率密度函数。(4分) 3．()W t 是否严格平稳？(3分)

西电随机信号大课后复习

随机信号大作业班级：02xxxx 姓名：xx

学号：02xxxxx 第一章 1.23上机题：设有随机初相信号X(t)=5cos（t+φ），其中相位φ是在区间（0,2π）上均匀分布的随机变量。试用Matlab编程产生其三个样本函数。解：程序： clc clear m=unifrnd(0,2*pi,1,10); for k=1:3 t=1:0.1:10; X=5*cos(t+m(k)); plot(t,X); hold on

end title('其三个样本函数'); xlabel('t');ylabel('X(t)'); grid on ;axis tight ; 由 Matlab 产生的三个样本函数如下图所示：第二章 2.22 上机题：利用Matlab 程序设计一正弦型信号加高斯白噪声的复合信号。 (3)分析复合信号通过理想低通系统后的功率谱密度和相应的幅度分布特性。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -4-3-2-101 23 4其三个样本函数 t X (t )

解：取数据如下：正弦信号的频率为：fc=10HZ，抽样频率为：fs=100HZ；信号：x=sin(2*pi*fc*t)；高斯白噪声产生复合信号y： y=awgn(x,10)；复合信号y通过理想滤波器电路后得到信号y3 ，通过卷积计算可以得到y3 即：y3=conv2(y,sin(10*t)/(pi*t))； y3的幅度分布特性可以通过傅里叶变换得到Y3(jw)=fft(y3)，y3的功率谱密度：G3(w)=Y3(jw).*conj(Y3(jw)/length(Y3(jw)))。程序： clear all; fs=100; fc=10; n=201; t=0:1/fs:2; x=sin(2*pi*fc*t); y=awgn(x,10); m=50; i=-0.49:1/fs:0.49; for j=1:m R(j)=sum(y(1:n-j-1).*y(j:199),2)/(n-j); Ry(49+j)=R(j);

随机信号分析课后习题答案

1 第一次作业：练习一之1、2、3题 1.1 离散随机变量X 由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。求随机变量的数学期望和方差。解：875.087 813812411210)(][4 1 ==?+?+?+?===∑=i i i x X P x X E 81 )873(81)872(41)871(21)870(])[(][2224 1 22?-+?-+?-+?-=-=∑=i i i P X E x X D 109.164 71 == 1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为 ? ????≥<≤-+<=21 201)](2π Αsin[0.500 )(x x x x x F 求（1）系数A ；（2）X 取值在（0.5，1）内的概率)15.0(<--= a a x u x u a x x F （4）0)()()(>--- =a a x u a x a x u a x x F

北京理工大学2011级随机信号分析期末试题B卷

北京理工大学2011级随机信号分析期末试题B卷 1（15分）、考虑随机过程X t=2Nt2，其中N为标准正态随机变量。计算X(t)在t为0秒，1秒，2秒时的一维概率密度函数fx x;0，fx x;1，fx x;2 2（15分）、考虑随机过程X t=a2cos2(ω0t+?)，其中a，ω0为常数，?为在[0,2π) 上均匀分布的随机变量。（1）、X(t)是否为宽平稳随机过程？为什么？（2）、X(t)是否为宽遍历随机过程？为什么？（3）、求X(t)的功率谱密度及平均功率。 3（15分）、考虑下述随机过程 Y(t)=X k dk t t?2T 式中，X(t)为宽平稳随机过程。（1）、试找出一线性时不变系统，使得系统输入为X(t)时其输出为Y(t)，写出该系统的单位冲激响应；（2）、假定X(t)的自相关函数为R XX(τ)，计算Y(t)的自相关函数；（3）、假定X(t)的功率谱密度为S XX(ω)，计算Y(t)的功率谱密度。 4（15分）、已知某宽平稳高斯随机过程的功率谱密度如下 S XXω=10 22 将其通过一微分网络，输出为Y(t)。（1）、求Y(t)的功率谱密度S Yω；（2）、求Y(t)的平均功率；（2）、求Y2(t)的平均功率。 5（40分）、已知X t=A t cos(ω t?θ)?A t sin?(ω0t?θ) 其中A(t)为宽平稳实随机过程，功率谱密度如图1所示，且ω0?W，θ服从(0,2π)上均匀分布的随机变量。分别定义X(t) 和同相分量和正交分量为： X I t=X t cosω0t+X t sinω0t X Q t=X t cosω0t?X t sinω0t 式中，X t表示X(t)的希尔伯特变换。（1）、计算X(t)及X t的平均功率，分别画出X(t)，X(t)的复解析过程，X(t)的复包络，以及X(t)的正交分量和同相分量的功率谱密度；（2）、若A(t)为零均值的随机过程，X(t)通过如图2的系统，求Y(t)的均值和方

随机信号处理

随机信号处理大作业学院：电子工程学院、

马尔可夫过程概述摘要:叙述了随机过程中的某一种--马尔可夫过程的基本定义 ,特点，以及它的应用领域；通过对离散时间马尔可夫链进行仿真分析，掌握马尔可夫的特点。 1. 随机过程发展简述在当代科学与社会的广阔天地里，人们都可以看到一种叫作随机过程的数学模型：从银河亮度的起伏到星系空间的物质分布、从分子的布朗运动到原子的蜕变过程，从化学反应动力学到电话通讯理论、从谣言的传播到传染病的流行、从市场预测到密码破译，随机过程理论及其应用几乎无所不在。一些特殊的随机过程早已引起注意，例如1907年前后，Α.Α.马尔可夫研究过一列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链（见马尔可夫过程）；又如1923年N.维纳给出了布朗运动的数学定义（后人也称数学上的布朗运动为维纳过程），这种过程至今仍是重要的研究对象。虽然如此，随机过程一般理论的研究通常认为开始于30年代。1931年，Α.Η.柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》；三年后，Α.Я.辛钦发表了《平稳过程的相关理论》。这两篇重要论文为马尔可夫过程与平稳过程奠定了理论基础。稍后，P.莱维出版了关于布朗运动与可加过程的两本书，其中蕴含着丰富的概率思想。1953年，J.L.杜布的名著《随机过程论》问世，它系统且严格地叙述了随机过程的基本理论。1951年伊藤清建立了关于布朗运动的随机微分方程的理论(见随机积分)，为研究马尔可夫过程开辟了新的道路；近年来由于鞅论的进展，人们讨论了关于半鞅的随机微分方程；而流形上的随机微分方程的理论，正方兴未艾。60年代，法国学派基于马尔可夫过程和位势理论中的一些思想与结果，在相当大的程度上发展了随机过程的一般理论，包括截口定理与过程的投影理论等，中国学者在平稳过程、马尔可夫过程、鞅论、极限定理、随机微分方程等方面也做出了较好的工作。 2. 马尔可夫过程发展 2.1 马尔可夫过程简介马尔科夫过程(MarKov Process)是一个典型的随机过程。设X(t)是一随机过程，当过程在时刻t0所处的状态为已知时，时刻t(t>t0)所处的状态与过程在t0时刻之前的状态无关，这个特性成为无后效性。无后效的随机过程称为马尔科夫过程。马尔科夫过程中的时同和状态既可以是连续的，又可以是离散的。我们称时间离散、状态离散的马尔科夫过程为马尔科夫链。马尔科夫链中，各个时刻的状态的转变由一个状态转移的概率矩阵控制。 2.2 马尔可夫过程的发展 20世纪50年代以前，研究马尔可夫过程的主要工具是微分方程和半群理论（即分析方法）；1936年前后就开始探讨马尔可夫过程的轨道性质，直到把微分方程和半群理论的分析方法同研究轨道性质的概率方法结合运用，才使这方面的研究工作进一步深化，并形成了对轨道分析必不可少的强马尔可夫性概念。1942年，伊藤清用他创立的随机积分和随机微分方程理论来研究一类特殊而重要的马尔可夫过程──扩散过程，开辟了研究马尔可夫过程的又一重要途径。出于扩大极限定理应用范围的目的，马尔科夫在20世纪初开始考虑相依随机变量序列的规律，并从中选出了最重要的一类加以研究。1906年他在《大数定律关于相依变量的扩展》一文中，第一次提到这种如同锁链般环环相扣的随机变量序列，其中某个变量各以多大

随机信号处理考试试题

《随机信号分析与处理》期末自我测评试题（一）一、填空题（共10小题，每小题1分，共10分） 1、假设连续型随机变量的概率分布函数为F(x)，则F(-∞)=0，F(+∞)= 1。 2、如果一零均值随机过程的功率谱在整个频率轴上为一常数，则称该随机过程为白噪声，该过程的任意两个不同时刻的状态是不相关。 3、窄带正态噪声加正弦信号在信噪比远小于1的情况下的包络趋向瑞利分布，而相位则趋向均匀分布。 4、平稳随机信号通非线性系统的分析常用的方法是直接法和变换法与级数展开法。 5、对随机过程X(t)，如果，则我们称X(t1)和X(t2)是不相关。如果，则我们称X(t1)和X(t2)是正交。如果，则称随机过程在和时刻的状态是独立。 6、平稳正态随机过程的任意维概率密度只由均值、协方差阵来确定。 7、典型的独立增量过程有泊松过程与维纳过程_。 8、对于随机参量，如果有效估计存在，则其有效估计就是最大后验概率估计。

9、对于无偏估计而言，均方误差总是大于等于某个量,这个量称为克拉美-罗(Cramer-Rao)下限，达到这个量的估计称为有效估计。 10、纽曼-皮尔逊准则是：约束虚警概率恒定的情况下使漏警概率最小。二、选择题（共5小题，每小题2分，共10分） 1、是均值为方差为的平稳随机过程，下列表达式正确的有：（b、d）（A）（B）（C）（D） 2、白噪声通过理想低通线性系统，下列性质正确的是：（a、c） ?输出随机信号的相关时间与系统的带宽成反比 ?输出随机信号的相关时间与系统的带宽成正比 ?系统带宽越窄，输出随机过程随时间变化越缓慢 ?系统带宽越窄，输出随机过程随时间变化越剧烈 3、设平稳随机序列通过一个冲击响应为的线性系统，其输出用表示，那么，下列正确的有：（a、d）（A）（B）（C）（D） 4、为的希尔伯特变换，下列表达正确的有：（a、c、d）（A）与的功率谱相等（B）

随机信号分析期末总复习提纲重点知识点归

第一章 1.1不考条件部分不考 △雅柯比变换（随机变量函数的变换 P34） △随机变量之间的“不相关、正交、独立” P51 （各自定义、相关系数定义相互关系：两个随机变量相互独立必定互不相关，反之不一定成立正交与不相关、独立没有明显关系结合高斯情况） △随机变量的特征函数及基本性质（一维的 P53 n 维的 P58） △ 多维高斯随机变量的概率密度和特征函数的矩阵形式、三点性质 P61 ( )()() () ( ) ()()2 2 1 () 2112 2 22 11 ,,exp 2 2exp ,,exp 22T T x m X X X X X n n X T T jU X X X X X n X M X M f x f x x U U u Q u j m Q u u E e jM U σπσμ---?? --??= = -????? ? ?? ?? ?? ??=-==- ?? ??? ????? ?? C C C u u r u u r u u r u u r u u r u u r L u r u r u u r u r L 另外一些性质： []()20XY XY X Y X C R m m D X E X m ??=-=-≥??

第二章随机过程的时域分析 1、随机过程的定义从三个方面来理解①随机过程(),X t ζ是,t ζ两个变量的函数②(),X t ζ是随时间t 变化的随机变量③(),X t ζ可看成无穷多维随机矢量在0,t n ?→→∞的推广 2、什么是随机过程的样本函数？什么是过程的状态？随机过程与随机变量、样本函数之间的关系？ 3、随机过程的概率密度P7 4、特征函数P81。（连续、离散）一维概率密度、一维特征函数二元函数 4、随机过程的期望、方差、自相关函数。（连续、离散） 5、严平稳、宽平稳的定义 P83 6、平稳随机过程自相关函数的性质： 0点值，偶函数，周期函数（周期分量），均值 7、自相关系数、相关时间的定义 P88 2 2 2() ()()()()(0)()X X X X X X X X X X C R m R R R R τττρτσ σ--∞= = -∞= 非周期相关时间用此定义（00()d τρττ∞ =?） 8、两个随机过程之间的“正交”、“不相关”、“独立”。（P92 同一时刻、不同时刻） 9、两个随机过程联合平稳的要求、性质。P92

西电随机信号分析大作业

随机信号分析大作业学院：电子工程学院班级：021151 学号：02115037 姓名：隋伟哲

第一题：设有随机信号X（t）=5cos(t+a),其中相位a是在区间（0,2π）上均匀分布的随机变量，使用Matlab编程产生其三个样本函数。解：源程序如下： clc;clear; C=2*pi*rand(1,3);%在[0,2π]产生均匀分布的相位角 t=1:.1:80; y1=5*cos(t+C(1)); %将产生的随机相位角逐一代入随机过程中 y2=5*cos(t+C(2)); %将产生的随机相位角逐一代入随机过程中 y3=5*cos(t+C(3)); %将产生的随机相位角逐一代入随机过程中 plot(t,y1,'r-'); hold on; plot(t,y2,'g--'); hold on; plot(t,y3,'k-'); xlabel('t');ylabel('X(t)'); grid on;axis([0 30 -8 8]); title('随机相位的三条样本曲线'); 产生的三条样本曲线：

第二题：利用Matlab程序设计一正弦型信号加高斯白噪声的复合信号。（1）分析复合信号的功率谱密度、幅度分布特性；（2）分析复合信号通过RC积分电路后的功率谱密度和相应的幅度分布特性；（3）分析复合信号通过理想低通系统后的功率谱密度和相应的幅度分布特性。解：设定正选信号的频率为10HZ，抽样频率为100HZ x=sin(2*pi*fc*t)

（1）正弦函数加上高斯白噪声： y=awgn(x,10) y 的幅度分布特性可以通过傅里叶变换得到： Y(jw)=fft(y) y 的功率谱密度： G(w)=Y(jw).*conj(Y(jw)/length(Y(jw))) 随机序列自相关函数的无偏估计公式为： 1 01()()()N m xx n R m x n x n m N m --==+-∑ 01m N ≤≤- （2）复合信号 y 通过RC 积分电路后得到信号y2 通过卷积计算可以得到y2 即：y2= conv2(y,b*pi^-b*t) y2的幅度分布特性可以通过傅里叶变换得到： Y2(jw)=fft(y2) y2的功率谱密度： G2(w)=Y2(jw).*conj(Y2(jw)/length(Y2(jw))) （3）复合信号 y 通过理想滤波器电路后得到信号y3 通过卷积计算可以得到y3 即：y3=conv2(y,sin(10*t)/(pi*t)) y3的幅度分布特性可以通过傅里叶变换得到： Y3(jw)=fft(y3) y3的功率谱密度： G3(w)=Y3(jw).*conj(Y3(jw)/length(Y3(jw)))

随机信号分析题目及答案

1. （10分）随机变量12,X X 彼此独立，且特征函数分别为12(),()v v φφ，求下列随机变量的特征函数：（1） 122X X X =+ （2）12536X X X =++ 解：（1） ()121222()jv X X jvX jv X jvX X v E e E e E e e φ+??????===??????? （2） ()1212536536()jv X X jv X jv X jv X v E e E e e e φ++????==?????? 2. （10分）取值()1,1-+，概率[0.4,0.6]的独立()半随机二进制传输信号()X t ，时隙长度为T ，问：（1）信号的均值函数()E X t ????；（2）信号的自相关函数(),X R t t τ+；（3）信号的一维概率密度函数();X f x t 。解：（1）()10.410.60.2E X t =-?+?=???? (2) 当,t t τ+在同一个时隙时：当,t t τ+不在同一个时隙时：

（3）()()();0.610.41X f x t x x δδ=-++ 3. （10分）随机信号0()sin()X t t ω=+Θ，()()0cos Y t t ω=+Θ，其中0 ω为常数，Θ为在[]-,ππ上均匀分布的随机变量。（1）试判断()X t 和()Y t 在同一时刻和不同时刻的独立性、相关性及正交性；（2）试判断()X t 和()Y t 是否联合广义平稳。解：（1）由于X (t )和Y(t )包含同一随机变量θ，因此非独立。根据题意有12f ()θπ=。 []001sin()02E[X(t )]E t sin(w t )d π πωθθπ -=+Θ= +=?，由于0XY XY R (t,t )C (t,t )==，X (t )和Y(t )在同一时刻正交、线性无关。除()012w t t k π-=±外的其他不同时刻12120XY XY R (t ,t )C (t ,t )=≠，所以1X (t )和2Y(t )非正交且线性相关。

随机信号分析大作业

随机信号分析实验报告信息25班 2120502123 赵梦然

作业题三：利用Matlab 产生一个具有零均值、单位方差的的高斯白噪声随机序列X(n)，并通过一脉冲响应为 (0.8)(0)0 n n h n else =≥??? 的线性滤波器。 (1) 产生一个具有零均值、单位方差的的高斯白噪声随机序列X(n)，检验其一维概率密度函数是否与理论相符。 (2) 绘出输入输出信号的均值、方差、自相关函数及功率谱密度的图形，讨论输出信号服从何种分布。 (3) 试产生在[-1,+1]区间均匀分布的白噪声序列，并将其替换高斯白噪声通过上述系统。画出此时的输出图形，并观察讨论输出信号服从何种分布。作业要求 (1) 用MATLAB 编写程序。最终报告中附代码及实验结果截图。 (2) 实验报告中必须有对实验结果的分析讨论。提示： (1) 可直接使用matlab 中已有函数产生高斯白噪声随机序列。可使用hist 函数画出序列的直方图，并与标准高斯分布的概率密度函数做对比。 (2) 为便于卷积操作，当N 很大时，可近似认为h(N)=0。卷积使用matlab 自带的conv 函数。 (3) 分析均值、方差等时，均可使用matlab 现有函数。功率谱密度和自相关函数可通过傅里叶变换相互获得。傅里叶变换使用matlab 自带的fft 函数。 (4) 作图使用plot 函数。

一、作业分析：本题主要考察的是加性高斯白噪声相关问题，因此构造一个高斯白噪声十分重要，故在本题中使用randn函数随机生成一个个符合高斯分布的数据，并由此构成高斯白噪声；而且由于白噪声是无法完全表示的，故此根据噪声长度远大于信号长度时可视为高斯白噪声，构造了一个长度为2000的高斯白噪声来进行试验。二、作业解答：（1）matlab程序为： x-1000:1:1000; k=1*randn(1,length(x));% 生成零均值单位方差的高斯白噪声。 [f,xi]=ksdensity(x);%利用ksdensity函数估计样本的概率密度。 subplot(1,2,1); plot(x,k); subplot(1,2,2); plot(xi,f); 实验结果为：

2013随机信号分析试题(终稿)

《随机信号分析》试题考试时间 120 分钟 1.考试形式：闭卷； 2.考试日期：2013年11月27日； 3.本试卷共7大题，满分100分。班级学号姓名任课教师一．填空与简答题（共30分，每小题3分） 1．随机过程3()t X t Ve =，其中V 是均值为5的随机变量，设0 ()()t Y t X d λλ= ? ，则 []()E Y t = 。 2．平稳随机过程()X t 的自相关函数为9()8181cos981X R e τ ττ-=++，则 []()E X t = ，[]()D X t = 。 3．十字路口的车流是一个泊松过程，设1分钟没有车辆通过的概率为0.1，已知 ln 0.1 2.3=-，则2分钟内有多于1辆车通过的概率为。 4．设随机过程0()cos()X t a t ω?=+，其中a 和0ω均是实常数，?是服从(0,)2 π 上均匀分布的随机变量，则()X t 的平均功率Q = 。 5．设平稳随机过程()X t 的自相关函数为()X R τ，则其导数过程()X t ? 的自相关函数 ()X R τ?= 。 6．拟构造一个稳定的线性系统，使其在具有单位谱的白噪声激励下输出谱为 242 2549 ()109 Y S ωωωω+=++，则其传输函数()H s = 。 7．低通滤波器1 ()1H j ωω = +的等效噪声带宽e ω?= 。 8．全波线性检波器()()Z t X t =的输入为零均值平稳正态随机过程，其方差为2 σ，则

f z t 。输出的一维概率密度函数(,) Z 9．确定性信号分析中，使用傅里叶变换来获得信号的频谱，进而进行频域分析。而在随机信号分析中，为什么要定义功率谱密度？ 10．对于待估计参数a，设其估计值为?a。在什么条件下称?a为a的无偏估计？如何全面的表示估计质量？

随机信号分析-题目及答案

1. （10分）随机变量12,X X 彼此独立，且特征函数分别为12(),()v v φφ，求下列随机变量的特征函数：（1） 122X X X =+ （2）12536X X X =++ 解：（1）() 121222()jv X X jvX jv X jvX X v E e E e E e e φ+???? ??===?????? ? 12 21212()(2)jvX jv X X X E e E e v v φφ????=????和独立（2）() 1212536536()jv X X jv X jv X jv X v E e E e e e φ++???? ==????? ? 12536 12jv X jv X jv X X E e E e E e ?????? ??????和独立 6 12(5)(3)jv e v v φφ= 2. （10分）取值()1,1-+，概率[0.4,0.6]的独立()半随机二进制传输信号()X t ，时隙长度为T ，问：（1）信号的均值函数()E X t ????；（2）信号的自相关函数(),X R t t τ+；（3）信号的一维概率密度函数();X f x t 。解：（1）()10.410.60.2E X t =-?+?=???? (2) 当,t t τ+在同一个时隙时： []222(,)()()[()]10.6(1)0.41X R t t E X t X t E X t ττ+=+==?+-?= 当,t t τ+不在同一个时隙时： [][][](,)()()()()0.20.20.04 X R t t E X t X t E X t E X t τττ+=+=+=?= （3）()()();0.610.41X f x t x x δδ=-++ 3. （10分）随机信号0()sin()X t t ω=+Θ，()()0cos Y t t ω=+Θ，其中0 ω为常数，Θ为在[]-,ππ上均匀分布的随机变量。

电子科大随机信号分析随机期末试题答案

电子科技大学2014- 2015学年第2学期期末考试 A 卷一、设有正弦随机信号X t Vcos t , 其中0 t，为常数，V是［0,1）均匀分布的随机变量。（共10分） 1.画出该过程两条样本函数。（2分） 3 2.确定t。— , t1—时随机信号x（t）的一维概率密度函数，并画出其图形。（5 分） 3.随机信号x（t）是否广义平稳和严格平稳？（3分）解: 1.随机信号x t的任意两条样本函数如题解图（a）所示： 2.当t0 厂时，x（—）0, P x（—）0 1, 此时概率密

度函数为：f x（X；厂）（X）

当t时，X（右）乎V,随机过程的一维概率密度函数为： 1 3. E X t EV cos t 2cos t 均值不平稳，所以X（t）非广义平稳，非严格平稳。二、设随机信号X n sin 2 n 与 Y n cos 2 n ，其中为0~上均匀分布随机变量。（共10分） 1.求两个随机信号的互相关函数（n!, n2）o （2 分） R KY 2.讨论两个随机信号的正交性、互不相关性与统计独立性。（4分） 3 .两个随机信号联合平稳吗？（4分）解: 1.两个随机信号的互相关函数其中E sin 2 口2迈2 0 2.对任意的厲、n2,都有R XY^M） 0, 故两个

随机信号正交。又故两个随机信号互不相关，又因为故两个随机信号不独立。 3. 两个随机信号的均值都平稳、相关函数都与时刻组的起点无关，故两个信号分别平稳，又其互相关函数也与时刻组的起点无关，因而二者联合平稳。三、W t为独立二进制传输信号，时隙长度T。在时隙内的任一点 P W t 3 0.3和P W t 3 0.7 ，试求（共10 分） 1．W t的一维概率密度函数。（3 分）

随机信号分析答案(赵淑清版)2

第二次作业：练习一之4、5、6、7题 1.4 随机变量X 在[α，β]上均匀分布，求它的数学期望和方差。解：因X 在[α，β]上均匀分布 ??? ??β≤≤αα -β=其他下0 1)(x f ?? β α ∞ ∞ β+α= α -β= = 2d d )(]E[-x x x x xf X )2(3 1d d )(]E[2 2 2 -2 2 β+β+α= α -β= = ?? β α ∞ ∞ x x x x f x X 2 2 2 -2 )(12 1]) X [E (]X [E d )(])X [E (]D[α-β= -=-= ?∞ ∞ x x f x X 1.5 设随机变量X 的概率密度为 ?? ?<≤=其他 1 01 )(x x f X ，求Y =5X +1的概率密度函数。解：反函数X = h (y ) = (Y -1)/5 h ′(y ) = 1/5 1≤y ≤6 f Y (y ) = f X (h (y ))｜h ′(y )∣= 1 ×1/5 = 1/5 于是有 ?? ?≤≤=其他 615 /1)(y y f Y 1.6 设随机变量]b ,a [,,,21在n X X X ???上均匀分布，且互相独立。若∑== n 1 i i X Y ,求（1）n=2时，随机变量Y 的概率密度。（2）n=3时，随机变量Y 的概率密度。解：n i b x a a b x f i i ,,2,101)(???=??? ? ?? ?≤≤-=其它 n=2时，)()()(2 1 y f y f y f X X Y *= 111)()()(21dx x y f x f y f X X Y ? ∞ ∞ --= ?-? -= b a dx a b a b 111 a b -= 1

电子科技大学随机信号分析期末考试题

………密………封………线………以………内………答………题………无………效…… 电子科技大学20 -20 学年第学期期考试卷课程名称：_________ 考试形式：考试日期： 20 年月日考试时长：____分钟课程成绩构成：平时 10 %，期中 10 %，实验 %，期末 80 % 本试卷试题由___2__部分构成，共_____页。一、填空题（共20分，共 10题，每题2 分） 1. 设随机过程0()cos(),X t A t t ω=+Φ-∞<<∞，其中0ω为常数，A Φ和是相互独立的随机变量， []01A ∈，且均匀分布，Φ在[]02π，上均匀分布，则()X t 的数学期望为： 0 2. 已知平稳随机信号()X t 的自相关函数为2()2X R e ττ-=，请写出()X t 和(2)X t +的协方差12-e 3. 若随机过程()X t 的相关时间为1τ，()Y t 的相关时间为2τ，12ττ>，则()X t 比()Y t 的相关性要__大___,()X t 的起伏特性比()Y t 的要__小___。 4. 高斯随机过程的严平稳与___宽平稳_____等价。 5. 窄带高斯过程的包络服从___瑞利___分布，相位服从___均匀___分布，且在同一时刻其包络和相位是___互相独立___的随机变量。 6. 实平稳随机过程的自相关函数是___偶____（奇、偶、非奇非偶）函数。 7. 设)(t Y 是一均值为零的窄带平稳随机过程，其单边功率谱密度为)(ωY F ，且0()Y F ωω-为一偶函数，则低频过程)()(t A t A s c 和是___正交___。

随机信号分析(常建平-李海林版)课后习题答案.docx

由于百度文库格式转换的原因，不能整理在一个word 文档里面，下面是三四章的答案。给大家造成的不便，敬请谅解随机信号分析第三章习题答案、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A 是均值为2，方差为1的高斯变量，B 是（0，2π）上均匀分布的随机变量，且A 和B 独立。求（1）证明X(t)是平稳过程。（2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。（3）画出该随机过程的一个样本函数。（1）（2） 3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为232 ()(16) X G ωω=+，求：①该过程的平均功率？ ②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？解 [][]()[]2 ()cos 2 11 ,cos 5cos 22 X E X t E A E t B A B R t t EA τττ =++=????+=+=+与相互独立 ()()()2 1521()lim 2T T T E X t X t X t X t dt A T -→∞??=<∞ ???==?是平稳过程

()()[]()()41122 11222222 2 4 2' 4(1)24()()444(0)4 1132 (1)2244144 14(2)121tan 132 24X X X E X t G d R F G F e R G d d d arc x x τ τωωωωω ππωωπωωπ ω π ωω∞ ----∞∞ -∞-∞∞--∞∞ ?????==?=???+?? ====+==??+ ?==??= ++?? = ? ????P P P P 方法一() 方：时域法取值范围为法二-4,4内(频域的平均率法功) 2 d ω =

电子科大随机信号分析随机信号分析试题A卷答案

电子科技大学20 -20 学年第学期期考试卷课程名称：_________ 考试形式：考试日期： 20 年月日考试时长：____ 分钟课程成绩构成：平时 %，期中 %，实验 %，期末 % 本试卷试题由_____部分构成，共_____页。计算、简答、论述、证明、写作等试题模板如下一、若信号00()cos()X t X t ω=++Θ输入到如下图所示的RC 电路网络上，其中0X 为[0,1]上均匀分布的随机变量，Θ为[0,2]π上均匀分布的随机变量，并且0X 与 Θ彼此独立，Y (t )为网络的输出。（共10分）（1）求Y (t )的均值函数。(3分) （2）求Y (t )的功率谱密度和自相关函数。(4分) （3）求Y (t )的平均功率。(3分) 图 RC 电路网路（1）RC 电路的传输函数为()1(1)H j j RC ωω=+ ()X t 的均值函数为 ∴ Y (t )的均值函数为（2） ∴()X t 是广义平稳的。 ∴()X t 的功率谱为：功率谱传递函数：22 1 |()|H j RC ωω= 1+（）根据系统输入与输出信号功率谱的关系可得：求()Y S ω的傅立叶反变换，可得：

（3）2222 011 (0)328Y Y P R f R C ==++π 二、若自相关函数为()5()X R τδτ=的平稳白噪声X (t )作用于冲激响应为 ()e ()bt h t u t -=的系统，得到输出信号Y (t )。（共10分）（1）求X (t )和Y (t )的互功率谱()YX S ω和()XY S ω。(5分) （2）求Y (t )的矩形等效带宽。(5分) （1）1 ()() ()bt h t e u t H j b j ωω -=?= + （2） 2 2222 552() ()()2Y X b S S H j b b b ωωωωω=?= =?++，25(0)Y S b = 求()Y S ω的傅里叶反变换，得到()Y t 的自相关函数为： 5()2b Y R e b τ τ-= ，5(0)2Y R b = ∴ ()()()()20015/2202025/4 Y eq Y Y Y R b b B S d S S b ωωπ∞= ===?? 三、设有正弦随机信号()cos X t V t ω=，其中0t ≤<∞，ω为常数，V 是[0,1)均匀分布的随机变量。（共10分）（1）确定4t π ω= 时随机变量()X t 的概率密度函数，并画出其图形；（4分）（2）当2t π ω =时，求()X t 的概率密度函数。（3分）（3）该信号是否严格平稳？（3分）解：（1）随机信号()X t 的任意两条样本函数如题解图(a)所示：随机过程在不同时刻是不同的随机变量，一般具有不同的概率密度函数：当4t πω= 时，()4X πω= ，0(;)240,X x f x others πω<< =?? （2分）在,4i t ππωω =各时刻，随机变量()i X t 的概率密度函数图形如题解图(b) 所示： 1 10 3π π0 - 1 （2分）

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