抛物线中的直角三角形存在性问题一对一教案知识讲解

年级九科目数学班型一对一学生姓名第次课

课题名称抛物线中的直角三角形存在性问题授课老师授课时间2018年3月20日8:00——10:00

教学目标经历探索直角三角形存在性问题的过程，熟练掌握解题技巧；体会分类讨论的数学思想，体验解决问题方法的多样性。

教学重点.能够正确的分析问题、转化问题，合理利用条件解决问题2.确定动点位置的方法及数形结合、分类讨论思想和方程思想的培养

教学难点能够正确的分析问题、转化问题，合理利用条件解决问题

教学过程：

一、课前小测：

1.直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边的长是

2.已知Rt△ABC中，∠C=90°,AC=8,BC=6,动点P、Q分别同时从A、B出发，其中点P在线段AB上向点B移动，速度是2单位每秒；点Q在线段BC上向点C运动，速度是1单位每秒。设运动时间为t（秒），当t= 秒时，△BPQ是直角三角形。

二、新课学习：

（一）经典模型

模型再现：

已知：定点A(2, 1) 、B(6, 4)和动点M（m, 0）, 存在直角三角形ABM,求点M的坐标。

两线一圆找直角模型：

在平面直角坐标系中遇到直角三角形的相关问题时，通常是以直角顶点作为分类标准，如下图，分别以点A、点B、点M为直角定点来构造直角三角形，然后根据相关条件来进行求解即可。具体有以下三种情况：比如：（1）当以点A为直角顶点时，过点A作AB的垂线交x轴的点即为所求；（2）当以点B为直角顶点时，过点B 作AB的垂线交x轴的点即为所求；（3）当以点M为直角顶点时，只需要以AB为直径作辅助圆与x轴的交点（一般情况下有两个交点，特殊情况下只有一个交点）即为所求。

（二）解法：1.“K型相似”（一线三直角）

提示：竖直型，上减下；水平型，右减左。遇直角，构矩形，得相似，求结果。

2.勾股定理（暴力法---两点间距离公式）

利用两点间距离公式.勾股定理及其逆定理的应用进行求解。其基本解题思路是列点.列线.列式。

第一步，列出构建所求直角三角形的三个点，定点找到后，动点用参数表示其坐标；

第二步，采用分类讨论思想，列出构建所求直角三角形的三个边，并分类讨论两两垂直的三种可能性；

第三步，把定点坐标及参数点坐标代入两点间距离公式，利用勾股定理的逆定理列出等式求解。注意：解出点的坐标应结合已知进行检验，若出现三点共线或出现不合题意得点均要舍去。（请学生完成做题过程）

注意：有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简单，在一些综合题中一般要结合“K型相似”去做更简单一些。

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2,

HM

BN

GH

BG

HM

BM

BH

GH

BG

BH

-

=

-

-

=

-

=

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2,

AB

BD

MD

CM

AC

AB

BM

AM

BM

BD

MD

AM

CM

AC

=

+

+

+

∴

=

+

=

+

=

+

又

3.解析法：两直线互相垂直，两直线的解析式为

1

1

b

x

k

y+

=与

2

2

b

x

k

y+

=→1

2

1

-

=

?k

k，通过求垂线的解析式再求其与x轴的交点即可。

K AB·K AM=-1 K AB·K BM=-1

（三）典例讲解

例1. 如图，直线与抛物线2

1

2

y x bx c

=++交于点A（0，1），B（4，3）两点。与x轴交于点D。

⑴求直线和抛物线的解析式；

⑵动点P在x轴上移动，当△PAB是直角三角形时，求点P的坐标P

y

x

D O

B

A

例2.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(3,0),B(?1,0),C(0,?3)，顶点为D.

(1)求这个二次函数的解析式及顶点坐标；

(2)在y轴上找一点P(点P与点C不重合),使得∠APD=90°，求点P坐标；

(3)在(2)的条件下，将△APD沿直线AD翻折，得到△AQD，求点Q坐标。

例3.如图,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标是(4,0)，并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上。

(1)求抛物线的解析式；

(2)是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；

(3)过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线。垂足为F，连接EF，当线段EF 的长度最短时，求出点P的坐标。

三、课堂练习：

1. 如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(?3,0),B(1,0),C(0,?3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；

(3)设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形?若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

2. 如图,直角梯形OABC中,OC∥AB,C(0,3),B(4,1),以BC为直径的圆交x轴于E,D两点(D点在E点右方).

(1)求点E，D的坐标；

(2)求过B，C，D三点的抛物线的函数关系式；

(3)过B，C，D三点的抛物线上是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形?若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标。

解直角三角形的知识点总结

解直角三角形 一、锐角三角函数 （一）、锐角三角函数定义 在直角三角形ABC 中，∠C=900，设BC=a ，CA=b ，AB=c ，锐角A 的四个三角函数是： (1) 正弦定义：在直角三角形中ABC ，锐角A 的对边与斜边的比叫做角A 的正弦，记作sinA ，即 sin A = c a , （2）余弦的定义：在直角三角行ABC ，锐角A 的邻边与斜边的比叫做角A 的余弦，记作cosA ，即 cos A = c b , （3）正切的定义：在直角三角形ABC 中，锐角A 的对边与邻边的比叫做角A 的正切，记作tanA ，即 tan A =b a ， (4)锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切,记作cotA 即 a A A A b 的对边的邻边cot =∠∠= 锐角A 的正弦、余弦，正切、余切都叫做角A 的锐角三角函数。 这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条件： （1）锐角∠A 必须在直角三角形中，且∠C=900； （2）在直角三角形 ABC 中，每条边均用所对角的相应的小写字母表示。 否则，不存在上述关系

注意:锐角三角函数的定义应明确(1) c a ， c b ，b a ，a b 四个比值 的大小同△ABC 的三边的大小无关，只与锐角的大小有关，即当锐角A 取固定值时，它的四个三角函数也是固定的； （2）sinA 不是sinA 的乘积，它是一个比值，是三角函数记号，是一个整体，其他三个三角函数记号也是一样； （3）利用三角函数定义可推导出三角函数的性质，如同角三角函数关系，互余两角的三角函数关系、特殊角的三角函数值等； （二）、同角三角函数的关系 （1）平方关系： 12 2 sin =?+COS α (2)倒数关系：tan ａ cota=1 (3)商数关系：? ? =???= sin cos cot ,cos sin tan 注意：（1）这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同事还要注 意它们的变形公式。 (2)()??sin sin 2 2 是 的简写，读作“?sin 的平方”，不能将 ??2 2 sin 写成sin 前者是a 的正弦值的平方，后者无意义； （3）这里应充分理解“同角”二字，上述关系式成立的前提是所涉及的角必须相同，如1cot tan ,12 2 3030cos sin 2 2 =?=? +? ，而1cos sin 2 2 =+ ?β就不一定成立。 （4）同角三角函数关系用于化简三角函数式。 （三）余角的函数关系式

初三数学三角形存在性问题

1.如图2-1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P、Q两点移动的过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t的值． 知识点一（等腰三角形的存在性问题） 【知识梳理】 如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况． 已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线． 解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快． 几何法一般分三步：分类、画图、计算． 代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验． 【例题精讲】 例1.如图1-1，在平面直角坐标系xOy中，已知点D的坐标为(3, 4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标． 图1-1 【解析】分三种情况讨论等腰三角形△DOP：①DO＝DP，②OD＝OP，③PO＝PD． ①当DO＝DP时，以D为圆心、DO为半径画圆，与x轴的正半轴交于点P，此时点D在OP的垂直平分线上，所以点P的坐标为(6, 0)（如图1-2）． ②当OD＝OP＝5时，以O为圆心、OD为半径画圆，与x轴的正半轴交于点P(5, 0) （如图1-3）．

③当PO＝PD时，画OD的垂直平分线与x轴的正半轴交于点P，设垂足为E（如图1-4）． 在Rt△OPE中， 3 cos 5 OE DOP OP ∠==， 5 2 OE=，所以 25 6 OP=． 此时点P的坐标为 25 (,0) 6 ． 图1-2 图1-3 图1-4 上面是几何法的解题过程，我们可以看到，画图可以帮助我们快速找到目标P，其中①和②画好图就知道答案了，只需要对③进行计算． 代数法先设点P的坐标为(x, 0)，其中x＞0，然后罗列△DOP的三边长（的平方）． DO2＝52，OP2＝x2，PD2＝(x－3)2+42． ①当DO＝DP时，52＝(x－3)2+42．解得x＝6，或x＝0． 当x＝0时既不符合点P在x轴的正半轴上，也不存在△DOP． ②当OD＝OP时，52＝x2．解得x＝±5．当x＝－5时等腰三角形DOP是存在的，但是点P此时不在x轴的正半轴上（如图1-5）． ③当PO＝PD时，x2＝(x－3)2+42．这是一个一元一次方程，有唯一解，它的几何意义是两条直线（x轴和OD的垂直平分线）有且只有一个交点． 代数法不需要画三种情况的示意图，但是计算量比较大，而且要进行检验． 图1-5 【课堂练习】 1.如图2-1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P、Q两点移动的过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t的值．

相似三角形的存在性(讲义及答案).

相似三角形的存在性（讲义） 知识点睛 1.存在性问题的处理思路 ①分析不变特征 分析背景图形中的定点，定线，定角等不变特征． ②分类、画图 结合图形形成因素（判定，定义等）考虑分类，画出符合题意的图形． 通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形． ③求解、验证 围绕不变特征、画图依据来设计方案进行求解；验证时，要回归点的运动范围，画图或推理，判断是否符合题意． 注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点，线，角；函数背景研究点坐标，表达式等．2.相似三角形的存在性不变特征及特征下操作要点举例： 一般先从角（不变特征）入手，分析对应关系后，作出符合题意图形，再借助不变特征和对应边成比例列方程求 解．常见特征如一组角对应相等，这一组相等角顶点为确定对应点，结合对应关系分类后，作出符合题意图形，一般利用对应边成比例列方程求解．

精讲精练 1.如图，将长为8cm，宽为5cm的矩形纸片ABCD折叠，使 点B落在CD边的点E处，压平后得到折痕MN，点A的对称点为点F，CE=4cm．若点G是矩形边上任意一点，则当△ABG与△CEN相似时，线段AG的长为． 2.如图，抛物线y=-1x2+10x-8经过A，B，C三点，BC⊥OB， 33 AB=BC，过点C作CD⊥x轴于点D．点M是直线AB上方的抛物线上一动点，作MN⊥x轴于点N，若△AMN与△ACD 相似，则点M的坐标为．

3.如图，已知抛物线y=3x2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三 4 点，点A的坐标为(-1，0)，过点C的直线y=3 4t x-3与x轴 交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB 于点H．若PB=5t，且0＜t＜1． （1）点C的坐标是，b=，c=．（2）求线段QH的长（用含t的代数式表示）． （3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P，H，Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有符合条件的t 值；若不存在，说明理由．

直角三角形知识点总结

直角三角形边角关系知识点考点总结 考点一、直角三角形的性质 （3~5分） 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 可表示如下： ?BC=2 1 AB ∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下： ?CD=2 1 AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 5、摄影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 ? AB AD AC ?=2 CD ⊥AB AB BD BC ?=2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得： AB ?CD=AC ?BC

考点二、直角三角形的判定 （3~5分） 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 考点三、锐角三角函数的概念 （3~8分） 1、如图，在△ABC 中，∠C=90° ①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即 c a sin =∠= 斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即 c b cos =∠= 斜边的邻边A A ③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A ④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即a b cot =∠∠=的对边的邻边A A A 2、锐角三角函数的概念 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值 三角函数 0° 30° 45° 60° 90° sinα 0 21 22 2 3 1 cos α 1 2 3 2 2 21 0 tan α 0 3 3 1 3 不存在 cot α 不存在 3 1 3 3

三角形存在性问题

二次函数中三角形问题(复习补充) 1、如图，抛物线y=ax 2+bx+c经过A（-1，0） 、B（3，0）、C（0 ， 3 ）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB． （1）求该抛物线的解析式；二次函数式为y=-x2+2x+3； （2）抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由； （3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RPM与△RMB的面积相等？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．2、如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式；y=-x2-2x+3； （2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

3、如图，抛物线y=ax2 +bx+c经过点A（-3，0），B（1.0），C（0，-3）． （1）求抛物线的解析式；y=x2+2x-3； （2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标； （3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 备用图 ①当A为直角顶点时∴点M的坐标为（0，）。 ②当D为直角顶点时∴点M的坐标为（0，） ③当M为直角顶点时，∴点M的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣3）。4、在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（1，0），如图所示，抛物线y=ax2-ax-2经过点B．（1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

直角三角形存在性

直角三角形的存在性问题代数法 1.写出三边的平方 2.分类列方程 3.解方程 几何法 1.分类 2.画图——“两线一圆” 3.计算

例1.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)，B(1，0)，C(0，－3)． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标； (3)设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

例 2.如图，在直角坐标系中，R t△O A B的直角顶点A在x轴上，O A=4，A B=3.动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O 移动；同时点N从点O出发，以每秒 1.25个单位长度的速度，沿O B 向终点B移动.当两个动点运动了x秒(0

例 3.(2015·益阳中考)已知抛物线E1：y=x2经过点A(1，m)，以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2，2)，点A，B关于y轴的对称点分别为点A′，B′. (1)求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式. (2)如图1，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q，B，B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. (3)如图2，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连接O P并延长与抛物线E2相交于点P′，求△P AA′与△P′BB′的面积之比.

相似三角形存在性探究精品

文档收集于互联网，已重新整理排版.word 版本可编辑,有帮助欢迎下载支持. 1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 【关键字】条件、速度、方向 相似三角形存在性探究 如图，点D 在△ABC 的边上. (1)要判断△ADB 与△ (2)要判断△ADB 与△(3)通过(1)(2)例1如图,在△ABC 的边AB 上有一点E ,AB =4cm AE =1cm AC =3cm 。在AC 边上是否存 在点F ,使得△AEF 和△ABC 相似？若存在，求出AF 的长。 变式 如图, 点E 在AB 边上从点A 向点B 运动，速度为2cm/s ， 点F 同时从点C 向点A 运动，速度为1cm/s,设运动时间为t 秒，问是否存在t 的值，使得 △AEF 和△ABC 相似？若存在，试求出t 的值，若不存在，请说明理由。 例2如图，在平面点直角坐标系xoy 中，A (1,0)、B (3,0)、C (0,-3)、P (2,1)请问在x 轴上是 否存在点Q,使以P ,B,Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点Q 的坐标，若不存 在，请说明理由。 变式 如图，在平面点直角坐标系xoy 中，A (1,0)、B (3,0)、C (0,-3)、P (2,1) (1)求过A 、B 、C 三点的抛物线解析式 (2)请问在x 轴下方的抛物线上是否存在点M ,过M 作M N ⊥x 轴于点N,使以A,M,N 为顶点的 三角形与△BCP 相似？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由。 做一做 如图，抛物线 与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点左侧）与y 轴交于点C ，动直线EF (EF //x 轴）从点C 出发，以每秒1个单位长度的速度沿y 轴负 方向平移，且分别交y 轴、线段BC 于E 、F 两点，动点P 同时从点B 出发，在线段OB 上 以每秒2个单位长度的速度向原点O 运动，是否存在t 的值，使△BPF 与△ABC 相似？若 存在试求出t 的值，若不存在，请说明理由。 B 42 3812+-=x x y O

直角三角形知识讲解

直角三角形（提高） 【学习目标】 1．理解和掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边，直角边”（即“HL”）. 2．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定两个直角三角形全等. 3. 能应用直角三角形的性质解题. 【要点梳理】 要点一、判定直角三角形全等的一般方法 由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了。这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理. 要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理 在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL. 证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三 角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三 角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 要点三、直角三角形的性质 定理1：直角三角形的两个锐角互余. 定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°. 要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系. 【典型例题】 类型一、直角三角形全等的判定——“HL” 1、判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明 理由： （1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（） （2）一个锐角和斜边对应相等；（） （3）两直角边对应相等；（） （4）一条直角边和斜边对应相等．（） 【答案】（1）全等，“AAS”；（2）全等，“AAS”；（3）全等，“SAS”；（4）全等，“HL”. 【解析】理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断.

直角三角形存在性问题解决方法汇总

【问题描述】 如图，在平面直角坐标系中，点A 坐标为（1,1），点B 坐标为（5,3），在x 轴上找一点C 使得△ABC 是直角三角形，求点C 坐标． 【几何法】两线一圆得坐标 （1）若∠A 为直角，过点A 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ； （2）若∠B 为直角，过点B 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ； （3）若∠C 为直角，以AB 为直径作圆，与x 轴的交点即为所求点C ．（直径所对的圆周角为直角） 重点还是如何求得点坐标，C1、C2求法相同，以C2为例： 【构造三垂直】 01问题与方法

C3、C4求法相同，以C3为例： 构造三垂直步骤： 第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线； 第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似．【代数法】表示线段构勾股 还剩下C1待求，不妨来求下C1： 【解析法】 还有个需要用到一个教材上并没有出现但是大家都知道的算法：互相垂直的两直线斜率之积为-1． 考虑到直线AC1与AB互相垂直，k1k2=-1， 可得：kAC=-2， 又直线AC1过点A（1,1）， 可得解析式为：y=-2x+3， 所以与x轴交点坐标为（1.5,0）， 即C1坐标为（1.5,0）． 确实很简便，但问题是这个公式出现在高中的教材上

方法小结 几何法： （1）两线一圆作出点； （2）构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数． 代数法： （1）表示点A、B、C坐标； （2）表示线段AB、AC、BC； （3）分类讨论①AB2+AC2=BC2、②AB2+BC2=AC2、③AC2+BC2=AB2； （4）代入列方程，求解． 02从等腰直角说起 再特殊一些，如果问题变为等腰直角三角形存在性，则同样可采取上述方法，只不过三垂直得到的不是相似，而是全等． 2019兰州中考删减 【等腰直角存在性——三垂直构造全等】 通过对下面数学模型的研究学习，解决问题． 【模型呈现】 如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC=DE，BC=AE．我们把这个数学模型成为“K型”． 推理过程如下： 【模型迁移】 二次函数y=ax2+bx+2的图像交x轴于点A（-1,0），B（4,0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y=ax2+bx+2的表达式； （2）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标．

八年级数学直角三角形知识点

八年级数学直角三角形 知识点 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

八年级数学《直角三角形》知识点 一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 可表示如下： ?BC= 21AB ∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下： ?CD= 2 1AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 5、射影定理(了解) 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在 斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜 边上的射影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 CD ⊥AB 6、常用关系式 由三角形面积公式可得： AB ?CD=AC ?BC

二、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c ，有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 三、解直角三角形 1、解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2、解直角三角形的理论依据 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c （1）三边之间的关系：222c b a =+（勾股定理） （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90° （3）边角之间的关系： 练习： 一、选择题 1. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为6 cm ，则它的斜边长为（ ） A 、4 cm B 、8 cm C 、10 cm D 、12 cm 2. 已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或25 3. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( ) A 、13 B 、8 C 、25 D 、64 4. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( ) A 、 钝角三角形 B 、 锐角三角形 C 、 直角三角形 D 、等腰三角形. 5、等腰三角形腰长为13，底边长为10，则它底边上的高为 （ ）

等腰三角形的存在性问题

10．（2016山东省临沂市）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x 轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC，BC． （1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状； （2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t 秒，当t为何值时，PA=QA？ （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 11．（2016山东省日照市）阅读理解： 我们把满足某种条件的所有点所组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．例如：角的平分线是到角的两边距离相等的点的轨迹． 问题：如图1，已知EF为△ABC的中位线，M是边BC上一动点，连接AM 交EF于点P，那么动点P为线段AM中点． 理由：∵线段EF为△ABC的中位线，∴EF∥BC，由平行线分线段成比例得：动点P为线段AM中点． 由此你得到动点P的运动轨迹是：． 知识应用： 如图2，已知EF为等边△ABC边AB、AC上的动点，连结EF；若AF=BE，且等边△ABC的边长为8，求线段EF中点Q的运动轨迹的长． 拓展提高： 如图3，P为线段AB上一动点（点P不与点A、B重合），在线段AB的同侧分别作等边△A PC和等边△PBD，连结AD、BC，交点为Q． （1）求∠AQB的度数； （2）若AB=6，求动点Q运动轨迹的长．

12．（2016山东省日照市）如图1，抛物线 2 3 [(2)] 5 y x n =--+ 与x轴交于 点A（m﹣2，0）和B（2m+3，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连结BC． （1）求m、n的值； （2）如图2，点N为抛物线上的一动点，且位于直线BC上方，连接CN、BN．求△NBC面积的最大值； （3）如图3，点M、P分别为线段BC和线段OB上的动点，连接PM、PC，是否存在这样的点P，使△PCM为等腰三角形，△PMB为直角三角形同时成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 13．（2016山西省）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 28 y ax bx =+-与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）． （1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标； （2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．

2018二次函数与直角三角形存在性问题

二次函数中直角三角形存在性问题 1. 找点：在已知两定点，确定第三点构成直角三角形时，要么以两定点为直角顶点，要么 以动点为直角顶点.以定点为直角顶点时，构造两条直线与已知直线垂直;以动点为直角顶点时，以已知线段为直径构造圆找点 2. 方法：以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则k1*k2=-1 以已知线段为斜边时，利用K 型图，构造双垂直模型，最后利用相似求解，或者 三条边分别表示之后，利用勾股定理求解 例一：如图，抛物线()2 230y mx mx m m =-->与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于C 点. （1）请求出抛物线顶点M 的坐标（用含m 的代数式表示），A B 、两点的坐标； （2）经探究可知，BCM △与ABC △的面积比不变，试求出这个比值； （3）是否存在使BCM △为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明 理由.

例二、如图，抛物线y=-x2+mx+n与x轴分别交于点A（4，0），B（-2，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式； （2）M为第一象限内抛物线上一动点，点M在何处时，△ACM的面积最大； （3）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P，使得△PAC为直角三角形？若存在，请求出所有可能点P的坐标；若不存在，请说明理由． 练习：

2.如图，抛物线y=x2-2mx (m＞0)与x轴的另一个交点为A，过P(1，-m)作PM⊥x轴与点M，交抛物线于点B．点B关于抛物线对称轴的对称点为C． （1）若m=2，求点A和点C的坐标； （2）令m＞1，连接CA，若△ACP为直角三角形，求m的值； （3）在坐标轴上是否存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 3. 如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(1，0)和B(4，0)．

二次函数和三角形的存在性问题的解法

二次函数与三角形的存在性问题 一、预备知识 1、坐标系中或抛物线上有两个点为P（ x1，y），Q（x2，y） x 1x 2 x 2 (1) 线段对称轴是直线 (2)AB 两点之间距离公式：PQ(x1x2 ) 2( y1 y2 )2 中点公式：已知两点P x 1 , y 1 x1 x 2 , y 1y2 ,Q x2 ,y 2，则线段 PQ的中点 M为22。 Q P G O 2 、两直线的解析式为y k 1 x b 1 与y k 2 x b2 如果这两天两直线互相垂直，则有k1k21 3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1L2 ：y=k2x+b2 （1）当 k1=k2， b1≠b2，L1∥ L2 （2）当 k1≠ k2，，L1 与 L2 相交 （3）K1×k2= -1时，L1 与L2垂直 二、三角形的存在性问题探究： 三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形 （一）三角形的性质和判定： 1、等腰三角形 性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。 判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。2、直角三角形 性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。 判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。 3、等腰直角三角形 性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于 45°。判定： 具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形4、等边三 角形 性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。

判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是 60°的等腰三角形是等 边三角形。 总结：（ 1）已知 A、B 两点，通过“两圆一线”可以找到所有满足条件的等腰三角形，要求 的点（不与 A、B 点重合）即在两圆上以及两圆的公共弦上 （2）已知 A、B 两点，通过“两线一圆” 可以找到所有满足条件的直角三角形，要求的点（不与A、B 点重合）即在圆上以及在两条与直径 AB垂直的直线上。 （二）关于等腰三角形找点（作点）和求点的不同， 1、等腰三角形找点（作点）方法：以已知边为边长，作等腰三角形，运用两园一线法，在图 上找出存在点的个数，只找不求。 2、等腰三角形求点方法：以已知边为边长，在抛物线或坐标轴或对称轴上找点，与已知点构 成等腰三角形，先设所求点的坐标，然后根据两点间的距离公式求出三点间的线段长度，然后分 顶点进行讨论， 如：已知两点 A、B，在抛物线上求一点 C，使得三角形 ABC 为等腰三角形 解法：这是求点法：先运用两点间的距离公式分别求出线段AB BC AC的长度， 第二步，作假设，（1）以点 A 为顶点的两条腰相等，即AB=AC（2）以点B为顶点的两条腰相等，即 BA=BC （ 3）以点 C为顶点的两条腰相等，即CA=CB 第三步，根据以上等量关系，求出所求点的坐标 第四步进行检验，这一步是非常重要的，因为求出的有些点是不符合要求的。 如：已知两点 A、 B，在抛物线上求一点C，使得三角形 ABC 为等腰三角形 解法：这是求点法：先运用两点间的距离公式分别求出线段AB BC AC的长度， 第二步，作假设，（1）以点 A 为顶点的两条腰相等，即 AB=AC （2）以点 B 为顶点的两条腰相等，即 BA=BC （3）以点 C 为顶点的两条腰相等，即CA=CB 第三步，根据以上等量关系，求出所求点的坐标 第四步，进行检验，这一步是非常重要的，因为求出的有些点是不符合要求的。 （三）关于直角三角形找点和求点的方法 1、直角三角形找点（作点）方法：以已知边为边长，作直角三角形，运用两线一园法，在图 上找出存在点的个数，只找不求。所谓的两线就是指以已知边为直角边，过已知边的两个端点分 别作垂线与抛物线或坐标轴或对称轴的交点，就是所求的点；一圆就是以已知边为直径，以已知 边的中点作圆，与抛物线或坐标轴或对称轴的交点即为所求的点。 2、具体方法 （ 1） k1 k21； （2）三角形全等（注意寻找特殊角，如 30°、 60°、 45°、 90 °） （3）三角形相似；经常利用一线三等角模型 （4）勾股定理； 当题目中出现了特殊角时，优先考虑全等法三、二 次函数的应用：

直角三角形的存在性问题解题策略

中考数学压轴题解题策略（3） 直角三角形的存在性问题解题策略 《挑战压轴题·中考数学》的作者上海马学斌 专题攻略 解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根． 一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程． 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便． 解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起． 如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便． 在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到． 怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）． 例题解析 例?如图1-1，在△ABC中，AB＝AC＝10，cos∠B＝4 5 ．D、E为线段BC上的两个 动点，且DE＝3（E在D右边），运动初始时D和B重合，当E和C重合时运动停止．过E 作EF//AC交AB于F，连结DF．设BD＝x，如果△BDF为直角三角形，求x的值． 图1-1 【解析】△BDF中，∠B是确定的锐角，那么按照直角顶点分类，直角三角形BDF存在两种情况．如果把夹∠B的两条边用含有x的式子表示出来，分两种情况列方程就可以了．如图1-2，作AH⊥BC，垂足为H，那么H是BC的中点． 在Rt△ABH中，AB＝10，cos∠B＝4 5 ，所以BH＝8．所以BC＝16． 由EF//AC，得BF BE BA BC =，即 3 1016 BF x+ =．所以BF＝ 5 (3) 8 x+． 图1-2 图1-3 图1-4

相似三角形的存在性问题解题策略

中考数学压轴题解题策略（2） 相似三角形的存在性问题解题策略 《挑战压轴题·中考数学》的作者 上海 马学斌 专题攻略 相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等． 判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验，如例题1、2、3、4． 应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等，如例题6． 应用判定定理3解题不多见，如例题5，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）． 例题解析 例? 如图1-1，抛物线213482 y x x =-+与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），与y 轴交于点C ．动直线EF （EF //x 轴）从点C 开始，以每秒1个单位的速度沿y 轴负方向平移，且分别交y 轴、线段BC 于E 、F 两点，动点P 同时从点B 出发，在线段OB 上以每秒2个单位的速度向原点O 运动．是否存在t ，使得△BPF 与△ABC 相似．若存在，试求出t 的值；若不存在，请说明理由． 图1-1 【解析】△BPF 与△ABC 有公共角∠B ，那么我们梳理两个三角形中夹∠B 的两条边． △ABC 是确定的．由213482 y x x = -+，可得A (4, 0)、B (8, 0)、C (0, 4)． 于是得到BA ＝4，BC ＝12CE CO EF OB ==． △BPF 中，BP ＝2t ，那么BF 的长用含t 的式子表示出来，问题就解决了． 在Rt △EFC 中，CE ＝t ，EF ＝2t ，所以CF ． 因此)BF t ==-． 于是根据两边对应成比例，分两种情况列方程： ①当BA BP BC BF ==．解得43t =（如图1-2）．

直角三角形的边角关系知识点

直角二角形的边角关系知识考点 知识讲解： 1.锐角三角函数的概念 如图，在ABC 中，/ C 为直角，则锐角 A 的各三角函 数的定义如下： (1)角A 的正弦：锐角A 的对边与斜边的比叫做/ A 的正弦，记作sinA , ⑵ 角A 的余弦：锐角A 的邻边与斜边的比叫做/ A 的余弦，记作 cosA , 口口 b 即 cosA = (3)角A 的正切：锐角A 的对边与邻边的比叫做/ A 的正切，记作tanA , 即 tanA =7 b (4) 角A 的余切：锐角A 的邻边与对边的比叫做/ A 的余切，记作cotA , 即 si nA

b 即cotA =- a 2.直角三角形中的边角关系

(1) 三边之间的关系：a 2 + b 2 = c 2 (2) 锐角之间的关系：A + B = 90° (3) 边角之间的关系： sinA = cosB = -, cosA = sinB =2 c c a b tanA = cotB = , cotA = tanB = 3. 三角函数的关系 (1) 同角的三角函数的关系 2) 倒数关系：tan A -c otA = 1 sinA cosA tanA = , cotA =. cosA st nA (2) 互为余角的函数之间的关系 sin(90 ° - A) = cosA , cos(90 ° - A) = sinA tan (90 ° — A) = cotA , cot (90 ° — A) = tanA 4. 一些特殊角的三角函数值 1) 平方关系：sinA 2 + cosA 2 = 1 3) 商的关系:

等腰三角形存在性问题及真题典例分析(含解析)

等腰三角形存在性问题 几何图形存在性问题是中考二次函数压轴题一大常见类型，等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等均有涉及，本系列从等腰三角形开始，逐一介绍各种问题及常规解法． 等腰三角形存在性问题 【问题描述】 如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形． 【几何法】“两圆一线”得坐标 （1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB． 【注意】若有三点共线的情况，则需排除． 作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．

C 21+23,0() C 11-23,0()C 1H =C 2H =13-1=23作AH ⊥x 轴于H 点，AH =1AC 1=AB=4-1()2+3-1()2=13 34C C 、同理可求，下求5C ． 显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A 、B 均往下移一个单位，当点A 坐标为（1,0），点B 坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解： 故C 5坐标为（ 196,0） 解得：x = 136 3-x ()2+22=x 2 设AC 5=x ，则BC 5=x ，C 5H =3-x AH =3， BH =2 而对于本题的5C ，或许代数法更好用一些．

【代数法】表示线段构相等 （1）表示点：设点5C 坐标为（m ，0），又A 点坐标（1,1）、B 点坐标（4,3） ， （2）表示线段：5AC = 5BC （3）分类讨论：根据 55AC BC = ， （4）求解得答案：解得：236m =，故5C 坐标为23,06?? ??? ． 【小结】 几何法：（1）“两圆一线”作出点； （2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标． 代数法：（1）表示出三个点坐标A 、B 、C ； （2）由点坐标表示出三条线段：AB 、AC 、BC ； （3）根据题意要求取①AB =AC 、②AB =BC 、③AC =BC ； （4）列出方程求解． 问题总结： （1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上； （2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解； （3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口．

二次函数压轴题等腰三角形存在性-直角三角形存在性

中考数学压轴题 一、等腰三角形存在性 1 解题思想：分类讨论 2 解题技巧：坐标系内线段长度表示 （1）线段在坐标轴上或平行于坐标轴 在x轴或平行于x轴：x右-x左 在y轴或平行于y轴：y上-y下 （2）线段为倾斜（斜线段）A（X A,Y A）B（X B,Y B）C（X C,Y C） 由勾股定理得：AB2= AC2= BC2= 3 解题方法 （1）代数法：（1）根据条件用坐标表示三边或三边的平方 （2）分三种情况列方程，解方程 （3）根据题目条件及方程解确定坐标（注意重根） （2）几何法：（1）先分三种情况A为顶点，B为顶点，C为顶点 （2）画图，作圆法，垂直平分线法 （3）计算：以两定点为腰则腰长已知，先求出腰长进行几何构造，注意不要漏解，以两定点为底则利用腰相等建立方程求解（表示腰长可结合代数法）。 例1. 如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B 两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标． 代数法： 几何法： 例2 如图△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D、E分别是边AB、AC上的两个动点（D不与A、B重合），且保持DE∥BC，以ED为边，在点A的异侧作正方形DEFG．

（1）试求△ABC 的面积； （2）当边FG 与BC 重合时，求正方形DEFG 的边长； （3）设AD=x ，当△BDG 是等腰三角形时，求出AD 的长． 只能选择几何法 1 先分析三种情况 2 根据已知表示三边长度（相似） 3 列方程计算 同步练习： 1．如图，抛物线2 54y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC=BC ． （1）写出A,B,C 三点的坐标并求抛物线的解析式； （2）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由． 2.如图，点A 在x 轴上，OA =4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置． A C B y x 0 1 1