B A 【条件】在正方形ABCD 中,已知E 、F 分别是边B
C 、C
D 上的点,且满足∠EAF =45°,A
E 、A
F 分别与对角线BD 交于点M 、N .
【结论】
(1) BE +DF =EF ;
(2) S △ABE +S △ADF =S △AEF ;
(3) AH =AB ;
(4) C △ECF =2AB ;
(5) BM 2+DN 2=MN 2;
(6) △ANM ∽△DNF ∽△BEM ∽△AEF ∽△BNA ∽△DAM ; (由AO :AH =AO :AB =1:2可得到△ANM 和△AEF 的相似比为1:2);
(7) S △AMN =S 四边形MNFE ;
(8) △AOM ∽△ADF ,△AON ∽△ABE ;
(9) △AEN 为等腰直角三角形,∠AEN =45°;△AFM 为等腰直角三角形,∠AFM =45°. (1. ∠EAF =45°;2.AE :AN =1:2);
(10)A 、M 、F 、D 四点共圆,A 、B 、E 、N 四点共圆,M 、N 、F 、C 、E 五点共圆.
(1)角含半角模型90°变形 【条件】:①正方形ABCD ;②∠EAF=45°; 【结论】:△AHE 为等腰直角三角形;
证明:连接AC (方法不唯一)
∵∠DAC=∠EAF=45°, ∴∠DAH=∠CAE ,又∵∠ACB=∠ADB=45°;
∴△DAH ∽△CAE ,∴AE
AC AH DA ∴△AHE ∽△ADC ,∴△AHE 为等腰直角三角形
A
B C D G H
F
E A B C D G H
F E
几何模型之半角模型 一、旋转性质 1.图形对应边相等(易得等腰,且等腰均相似) 2.对应角相等 3.对应点与旋转中心连线构成旋转角,旋转角处处相等 二、半角模型 半角模型(90°含45°) 条件模型结论 ①等腰直角△ABC; ②∠DAE=45° DE2=BD2+CE2 ①等腰直角△ABC; ②∠DAE=45° DE2=BD2+CE2 ①正方形ABCD; ②∠EAF=45°①EF=BE+DF; ②△CEF的周长是正方形周长的一半; ③点A到EF的距离等于正方形的边长. ①正方形ABCD; ②∠EAF=45°EF=DF-BE 三、模型演练 1.如图,在正方形ABCD中,AB=1,E,F分别是边BC,CD上的点,连接EF、AE、AF,过A作AH⊥EF 于点H.若EF=BF+DF.那么下列结论:①AE平分∠BEF;②FH=FD; ③∠EAF=45°;④S△E A F=S△A B E+S△A D F;⑤△CEF的周长为2.其中正确结论的 是.
2.在Rt△ABC中,AB=AC,D?E是斜边BC上两点,且∠DAE=45°,将△ADC绕点A 顺时针旋转90°后,得到△AFB,连接EF,下列结论①△AEF≌△AED;②∠AED=45°; ③BE+DC=DE;④BE2+DC2=DE2,其中正确的是() A.②④ B.①④ C.②③ D.①③ 3如图,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点M,N在边BC上,且∠MAN=45°,若BM=1,CN=3,求MN的长. 4.如图,在正方形OABC中,点B的坐标是(4,4),点E、F分别在边BC、BA上,OE=25.若∠EOF=45°,则F点的坐标是. 5.已知:正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交
半角模型题 Company Document number:WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
半角模型 例1(海淀201405-8) 如图,点P 是以O 为圆心, AB 为直径的半圆的中点,AB=2,等腰直角三角板45°角的顶点与点P 重合, 当此三角板绕点P 旋转时,它的斜边和直角边所在的直线与直径AB 分别 相交于C 、D 两点.设线段AD 的长为x ,线段BC 的长为y ,则下列图象中,能表示y 与x 的函数关系的图象大致是 A B C D 例2.(海201311-24).已知在ABC △中, 90=∠ACB ,26==CB CA , AB CD ⊥于D ,点E 在直线CD 上,CD DE 2 1=,点F 在线段AB 上,M 是DB 的中点,直线AE 与直线CF 交于N 点. (1)如图1,若点E 在线段CD 上,请分别写出线段AE 和CM 之间的位置关系和数量关系:___________,___________; (2)在(1)的条件下,当点F 在线段AD 上,且2AF FD =时,求证: 45=∠CNE ; (3)当点E 在线段CD 的延长线上时,在线段AB 上是否存在点F ,使得 45=∠CNE .若存在,请直接写出AF 的长度;若不存在,请说明理由. D C B A N F E C B A
24. (本小题满分8分) (1)AE ⊥CM ,AE =CM (2)如图,过点A 作AG ⊥AB ,且AG =BM,,连接CG 、FG ,延长AE 交CM 于H . ∵ 90=∠ACB ,26==CB CA , ∴∠CAB =∠CBA =45°, 12. ∴∠GAC =∠MBC =45°. ∵AB CD ⊥, ∴CD=AD=BD =162 AB =. ∵ M 是DB 的中点, ∴3BM DM ==. ∴3AG =. ∵2AF FD =, ∴4 2.AF DF ==, ∴+2+3=5.FM FD DM == ∵AG ⊥AF , ∴FG = ∴.FG FM = 在△CAG 和△CBM 中, ∴△CAG ≌△CBM . ∴CG =CM ,ACG BCM ∠=∠. ∴++90MCG ACM ACG ACM BCM ∠=∠∠=∠∠=.在△FCG 和△FCM 中, ∴△FCG ≌△FCM . ∴FCG FCM ∠=∠. ∴45FCH ∠=. 由(1)知AE ⊥CM , ∴90CHN ∠= ∴ 45=∠CNE . (3)存在. AF =8. 例3.(平谷201405-24)(1)如图1,点E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点,∠EAF =45°,连接EF , 则EF 、BE 、FD 之间的数量关系是:EF =BE +FD .连结BD ,交AE 、AF 于点M 、N ,且MN 、BM 、DN 满足222DN BM MN +=,请证明这个等量关系;
半角模型 互动精讲 【知识梳理】 半角模型(内夹补短,外夹截长;先证小全等,再证大全等。) 1、90° 夹45° (1)内夹(90°角完全包含45°角) 角) (2)外夹(90°角不完全包含45° (1)内夹(120°角完全包含60°角) 角) (2)外夹(120°角不完全包含 60° A
【例题精讲】例1、正方形ABCD中,M, N分别是直线CB、DC上的动点,ZMAN=45°。 (1)当ZMAN交边CB、DC于点H、N (如图①)时,线段B\I、DN和MN之间有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并加以证明; (2)当ZMAN分别交边CB, De的延长线于点M/N时(如图②),线段BH, DN和MN 之间的乂有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并加以证明。 MΛr (2)DN一BAI = MN. 理由如下: 如图,在DC上截取DF = BM ,连接AF. VAB=AD,Bxf =^ADF = 90ΛI ??? ^ABM^^ADF(SAS) :.AM = AF t ZAfAB = ZFAD? ??.ΔMA13 + ZZ?/IF = ΔFAD ^BAF = 9O c . 即 ZMAF = ZBAD = 9(『? 又 ZMTIN = 45。, .?^NAF = ΛMAN = 45? ???AN = AN J ???ΔFAN? ??.MN = FN I 即 MN = DN 一DF = DN- BM;
在厶MDN 与厶EDy 中: (D-W = DE < ZΛ∕D.V 二 AEDN t I DN = DN 所以V 空 I)X(SAS)- 所以对.\「= NE = .VC+ 〃対? Δ.43∕.V 的周长 Q = AM + AN + MN =AM + AN + (NC+ ΠM) =(∕LV/ + BM) + (/LV + NC) =AB+AC =2A1L 而等边△ ABCm 长L = 3.4B. 因为= CD I S. DC = 120° 所以 ZDBC =厶 DCB = 30° 又因为Δ.1BC 是等边三角形, 所以 ΛMΓ3D = ZLNCD = 90°. 在厶MBD 与厶ECD 中: (BM = CE < Δ?il3D - AECU I BD = Dc 所以△ MliL) ≤ ^ECD(SAS)- 所以 D.” = DE^BDM = ACDE 1 所以ZEZZY =乙BDC- ZA/P.V = 60° 例2、在等边AABC 的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、X, D 为AABC 外一 点, 且ZMDN 二60° , ZBDC=I20o , BD=DC.探究:当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移 动时,BM 、NC 、MN 之间的数量关系及AAMN 的周长Q 与等边AABC 的周长L 的关 系. (I) 如图1,当点M 、N 边AB 、Ae 上,且DM 二DN 时,BM 、NC. MN 之间的数量关 系是 _______ ; 此时—= ____________ ; L (II) 如图2,点M 、\边AB 、AC ±,且当DM≠DN 时,猜想(I)问的两个结论 还成立吗?写出你的猜想并加以证明; (IlI)如图3,当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时,若AN=Λ,则Q 二 (用八L 表示)? (3)如图,当M-V 分别在AB. CT 的延长线上 时,若.LV = z, SMQ = 2了+話(用八Z 表示)? 3 解:⑴如图,BAf 、NC 、M 之间的数屋关系 DM + NC = 此时Q=? L 3 (2)猜想:结论仍然成立. 证明:如图,延长.1C 至&使CE= I3M.连接DE
中考常考几何模型 专题20 半角模型 倍长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形 如图①: (1)∠2=2 1 ∠AOB ;(2)OA=OB 。 如图②: 连接 FB ,将△FOB 绕点 O 旋转至△FOA 的位置,连接 F ′E 、FE ,可得△OEF ′≌△OEF 。 模型精练 1.(2019秋?九龙坡区校级月考)如图.在四边形ABCD 中,∠B +∠ADC =180°,AB =AD ,E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点,且∠EAF =1 2 ∠BAD ,求证:EF =BE ﹣FD . 【点睛】在BE 上截取BG ,使BG =DF ,连接AG .根据SAA 证明△ABG ≌△ADF 得到AG =AF ,∠BAG =∠DAF ,根据∠EAF =1 2∠BAD ,可知∠GAE =∠EAF ,可证明△AEG ≌△AEF ,EG =EF ,那么EF =
GE =BE ﹣BG =BE ﹣DF . 【解析】证明:在BE 上截取BG ,使BG =DF ,连接AG . ∵∠B +∠ADC =180°,∠ADF +∠ADC =180°, ∴∠B =∠ADF . 在△ABG 和△ADF 中, {AB =AD ∠B =∠ADF BG =DF , ∴△ABG ≌△ADF (SAS ), ∴∠BAG =∠DAF ,AG =AF . ∴∠BAG +∠EAD =∠DAF +∠EAD =∠EAF =1 2∠BAD . ∴∠GAE =∠EAF . 在△AEG 和△AEF 中, {AG =AF ∠GAE =∠EAF AE =AE , ∴△AEG ≌△AEF (SAS ). ∴EG =EF ,
1.掌握正方形的定义,弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。 2.掌握正方形的性质定理1和性质定理2。 3.正确运用正方形的性质解题。 4.通过四边形的从属关系渗透集合思想。 5.通过理解四种四边形内在联系,培养学生辩证观点。 知识结构 正方形的性质 因为正方形是特殊的平行四边形,还是特殊的矩形,特殊的菱形, 所以它具有这些图形性质的综合,因此正方形有以下性质(由学生和老师一起总结)。 正方形性质定理1:正方形的四个角都是直角,四条边相等。 正方形性质定理2:正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 说明:定理2包括了平行四边形,矩形,菱形对角线的性质,一个题设同时有四个结论,这是该定理的特点,在应用时需要哪个结论就用哪个结论,并非把结论写全。 小结: (1)正方形与矩形,菱形,平行四边形的关系如上图 (2)正方形的性质: ①正方形对边平行。 ②正方形四边相等。 ③正方形四个角都是直角。 ④正方形对角线相等,互相垂直平分,每条对角线平分一组对角。
例1.如图,折叠正方形纸片ABCD ,先折出折痕BD ,再折叠使AD 边与对角线BD 重合,得折痕DG ,使2AD =,求AG . 【解析】:作GM ⊥BD ,垂足为M . 由题意可知∠ADG=GDM , 则△ADG ≌△MDG . ∴DM=DA=2. AC=GM 又易知:GM=BM . 而 ), ∴AG=BM=2 ). 例2 .如图,P 为正方形ABCD 内一点,10PA PB ==,并且P 点到CD 边的距离也等于10,求正方形ABCD 的面积? 【解析】:过P 作EF AB ⊥于F 交DC 于E . 设PF x =,则10EF x =+,1 (10)2 BF x =+. 由222 PB PF BF =+. 可得:2 2 21 10(10)4 x x =++. 故6x =. 216256ABCD S ==. 例3. 如图,E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点,AM EF ⊥,?垂足为M ,AM AB =,则有EF BE DF =+,为什么? 【解析】:要说明EF=BE+DF ,只需说明BE=EM ,DF=FM 即可,而连结AE 、AF .只要能说明△ABE ≌△AME ,△ADF ≌△AMF 即可. 理由:连结AE 、AF . 由AB=AM ,AB ⊥BC ,AM ⊥EF ,AE 公用, ∴△ABE ≌△AME . ∴BE=ME . 同理可得,△ADF ≌△AMF . ∴DF=MF . ∴EF=ME+MF=BE+DF . 例4.如下图E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上,且45EAF ? ∠=,试说明EF BE DF =+。 【解析】:将△ADF 旋转到△ABC ,则△ADF ≌△ABG ∴AF=AG ,∠ADF=∠BAG ,DF=BG ∵∠EAF=45°且四边形是正方形,
半角模型专题专练
半角模型例题 已知,正方形ABCD 中,∠EAF 两边分别交线段BC 、DC 于点E 、F ,且∠EAF ﹦45° 结论1:BE ﹢DF ﹦EF 结论2:S △ABE ﹢S △ADF ﹦S △AEF 结论3:AH ﹦AD 结论4:△CEF 的周长﹦2倍的正方形边长﹦2AB 结论5:当BE ﹦DF 时,△CEF 的面积最小 结论6:BM 2﹢DN 2﹦MN 2 结论7:三角形相似,可由三角形相似的传递性得到 结论8:EA 、FA 是△CEF 的外角平分线 结论9:四点共圆 结论10:△ANE 和△AMF 是等腰直角三角形(可通过共圆得到) 结论11:MN ﹦√2 2EF (可由相似得到) 结论12:S △AEF ﹦2S △AMN (可由相似的性质得到) 结论5的证明: 设正方形ABCD 的边长为1 则S △AEF ﹦1﹣S 1﹣S 2﹣S 3 ﹦1﹣12x ﹣12y ﹣1 2(1﹣x)(1﹣y) ﹦1 2﹣1 2xy 所以当x ﹦y 时,△AEF 的面积最小 结论6的证明: 将△ADN 顺时针旋转90°使AD 与AB 重合 ∴DN ﹦BN ′ 易证△AMN ≌△AMN ′ ∴MN ﹦MN ′ 在Rt △BMN ′中,由勾股定理可得: BM 2﹢BN ′2﹦MN ′2 即BM 2﹢DN 2﹦MN 2 结论7的所有相似三角形:
△AMN ∽△DFN △AMN ∽△BME △AMN ∽△BAN △AMN ∽△DMA △AMN ∽△AFE 结论8的证明: 因为△AMN ∽△AFE ∴∠3=∠2 因为△AMN ∽△BAN ∴∠3=∠4 ∴∠2=∠4 因为AB ∥CD ∴∠1=∠4 ∴∠1=∠2 结论9的证明: 因为∠EAN ﹦∠EBN =45° ∴A 、B 、E 、N 四点共圆(辅圆定理:共边同侧等顶角) 同理可证C 、E 、N 、F 四点共圆 A 、M 、F 、D 四点共圆 C 、E 、M 、F 四点共圆 **必会结论-------- 图形研究正方形半角模型 已知:正方形ABCD ,E 、F 分别在边BC 、CD 上,且?=∠45EAF ,AE 、AF 分别交BD 于H 、G ,连EF . 一、全等关系 (1)求证:①EF BE DF =+;②DG 2﹢BH 2﹦HG 2;③AE 平分BEF ∠,AF 平分DFE ∠. 二、相似关系 (2)求证:①DG CE 2=;②BH CF 2=;③HG EF 2=. (3)求证:④DH BG AB ?=2;⑤HG BG AG ?=2;⑥21=?CF DF CE BE . 三、垂直关系 (4)求证:①EG AG ⊥;②FH AH ⊥;③BE AB HCF =∠tan . (5)、和差关系 求证:①BE DG BG 2=-;②DH DF AD 2=+; ③||2||DG BH DF BE -=-.
八上培优半角模型 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
八上培优5 半角模型方法:截长补短 图形中,往往出现90°套45°的情况,或者120°套60°的情况。还有2α套α的情况。求证的结论一般是线段的和与差。解决的方法是:截长补短构造全等三角形。旋转移位造全等,翻折分割构全等。截长法,补短法。 勤学早和新观察均有专题。勤学早在第49页,新观察在第34页,新观察培优也有涉及,在第27页2两个例题,29页有习题。这些题大同小异,只是图形略有变化而已。证明过程一般要证明两次全等。 下面是新观察第34页1~4题 1.如图,四边形ABCD中,∠A=∠C=90゜,∠D=60゜,AB=BC,E、F,分别在AD、CD 上,且∠EBF=60゜.求证:EF=AE+CF. 2.如图2,在上题中,若E、F分别在AD、DC的延长线上,其余条件不变,求证: AE=EF+CF. 3.如图,∠A=∠B=90°, CA=CB=4, ∠ACB=120°,∠ECF=60°,AE=3, BF=2, 求五边形ABCDE的面积.
A C B F E A C B F E D 4.如图1.在四边形ABCD中.AB=AD,∠B+∠D=180゜,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠BAD=2∠EAF. (1)求证:EF=BE+DF; (2)在(1)问中,若将△AEF绕点A逆时针旋转,当点E、F分别运动到BC、CD延长线上时,如图2所示,试探究EF、BE、DF之间的数量关 系. 3.如图3,在四边形ABDC中,∠B+∠C=180°,DB=DC,∠BDC=120°,以D为顶点作一个60°的角,角的两边分别交AB、AC于E、F两点,连接EF,探索线段BE、CF、EF之间的数量关系,并加以证明.
倍半角模型巩固练习(提优) 1.如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在BC、AB上,且∠FDE=45o,连接DE、DF、EF,试探究EF、AF、CE之间的数量关系. 2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90o,点D在CB的延长线上,连接AD,EA ⊥AD,∠ACE=∠ABD. (1)求证:AD=AE; (2)点F为CD的中点,AF的延长线交BE于点G,求∠AGE的度数. 3.如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于点E,CE=CD,点F为CE的中点,点G
为CD上的一点,连接DF、EG、AG,∠1=∠2. (1)若CF=2,AE=3,求BE的长; (2)求证:∠CEG=∠AGE. 4.如图,在正方形ABCD中,E为AD边上的中点,过点A作AF⊥BE交CD边于点F,M是AD边上一点,且BM=DM+CD. (1)求证:点F是CD边上的中点; (2)求证:∠MBC=2∠ABE. 5. 如图,在矩形ABCD中,F是DC上一点,AE平分∠BAF交BC于点E,且DE⊥AF, 垂足为点M,BE=3,,求MF的长.
6. 如图,在△ABC中,∠ACB=90o,D是AB边上的一点,M是CD的中点,若∠AMD =∠BMD.求证:∠CDA=2∠ACD. 倍半角模型巩固练习(提优) 1.如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在BC、AB上,且∠FDE=45o,连接DE、DF、EF,试探究EF、AF、CE之间的数量关系. 【解答】EF=AF+CE,证明见解析 【解析】如图,将△DCE绕着点D顺时针旋转90o得到△DGA.
∵∠EDC+∠ADF+∠FDE=90o,∠FDE=45o,∴∠EDC+∠ADF=45o, 又∵旋转,∴DE=DG,∠GDA=∠EDC,∴∠GDA+∠ADF=∠GDF=∠FDE=45o, 在△DGF与△DEF中,DF=DF,∠GDF=∠EDF,DG=DE,∴△DGF≌△DEF,∴EF=GF=GA+AF, ∵旋转,∴GA=CE,∴EF=AF+CE. 2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90o,点D在CB的延长线上,连接AD,EA ⊥AD,∠ACE=∠ABD. (1)求证:AD=AE; (2)点F为CD的中点,AF的延长线交BE于点G,求∠AGE的度数. 【解答】(1)见解析;(2)∠AGE=90o 【解析】(1)证明:∵EA⊥AD,∴∠DAE=∠90o,∴∠DAB+∠BAE=90o, ∵∠BAC=90o,∴∠CAE+∠BAE=90o,∴∠DAB=∠CAE, ∵∠ACE=∠ABD,AB=AC,∴△ADB≌△ACE,∴AD=AE; (2)如图,延长AG至点H,使得FH=FA.
半角模型例题 已知,正方形 ABCD中,∠ EAF两边分别交线段 BC、 DC于点 E、F,且∠ EAF﹦ 45°结论 1:BE﹢ DF﹦EF 结论 2:S△ABE﹢ S△ADF﹦S△AEF 结论 3:AH﹦ AD 结论 4:△ CEF的周长﹦ 2 倍的正方形边长﹦ 2AB 结论 5:当 BE﹦DF时,△ CEF的面积最小 22 2 结论 6:BM﹢DN﹦MN 结论 7:三角形相似,可由三角形相似的传递性得到 结论 8:EA、 FA是△ CEF的外角平分线 结论 9:四点共圆 结论 10:△ ANE和△ AMF是等腰直角三角形(可通过共圆得到) 结论 11: MN﹦EF(可由相似得到) 结论 12: S△ AEF﹦2S△ AMN(可由相似的性质得到) 结论 5 的证明: 设正方形 ABCD的边长为 1 则S△AEF﹦1﹣S1﹣S2﹣ S3 ﹦1﹣ x﹣ y﹣ (1 ﹣x)(1 ﹣y) ﹦﹣ xy 所以当 x﹦y 时,△ AEF的面积最小 结论 6 的证明: 将△ ADN顺时针旋转 90°使 AD与 AB重合 ′ ∴DN﹦ BN ′ 易证△ AMN≌△ AMN ′ ∴MN﹦ MN ′ 在 Rt△BMN中,由勾股定理可得: 2′ 2′2 BM﹢BN ﹦MN 22 2 即 BM﹢DN﹦MN 结论 7 的所有相似三角形: △ AMN∽△ DFN△AMN∽△ BME△AMN∽△ BAN△ AMN∽△ DMA△AMN∽△ AFE
结论 8 的证明: 因为△ AMN∽△ AFE ∴∠ 3=∠ 2 因为△ AMN∽△ BAN ∴∠ 3=∠ 4 ∴∠ 2=∠ 4 因为 AB∥CD ∴∠ 1=∠ 4 ∴∠ 1=∠ 2 结论 9 的证明: 因为∠ EAN﹦∠ EBN= 45° ∴A、B、E、N 四点共圆(辅圆定 理:共边同侧等顶角) 同理可证 C、E、N、F 四点共圆 A、M、 F、 D 四点共圆 C、E、 M、 F 四点共圆 **必会结论 --------图形研究正方形半角模型 已知:正方形 ABCD ,E、F分别在边 BC 、 CD 上,且 EAF 45 ,AE、AF分别交BD于H、 G ,连EF. 一、全等关系 ()求证:① 2 2 2 平分,平分 DF BE EF ;②DG﹢ BH﹦ HG;③AE BEF AF DFE . 1 二、相似关系 (2)求证:①CE 2DG ;② CF 2 BH ;③ EF 2HG . (3)求证:④AB2 BG DH ;⑤ AG 2 BG HG ;⑥BE DF 1 . CE CF 2 三、垂直关系 (4)求证:①AG EG ;②AH FH ;③tan HCF AB . (5) 、和差关系 BE 求证:① BG DG 2BE ;② AD DF 2DH ; ③ | BE DF | 2 | BH DG | .