半角模型题
Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
半角模型
例1(海淀201405-8) 如图，点P 是以O 为圆心， AB 为直径的半圆的中点，AB=2，等腰直角三角板45°角的顶点与点P 重合， 当此三角板绕点P 旋转时，它的斜边和直角边所在的直线与直径AB 分别
相交于C 、D 两点．设线段AD 的长为x ，线段BC 的长为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是
A B C D
例2.(海201311-24)．已知在ABC △中， 90=∠ACB ，26==CB CA ，
AB CD ⊥于D ，点E 在直线CD 上，CD DE 2
1=，点F 在线段AB 上，M 是DB 的中点，直线AE 与直线CF 交于N 点.
（1）如图1，若点E 在线段CD 上，请分别写出线段AE 和CM 之间的位置关系和数量关系：___________，___________；
（2）在（1）的条件下，当点F 在线段AD 上，且2AF FD =时，求证：
45=∠CNE ；
（3）当点E 在线段CD 的延长线上时，在线段AB 上是否存在点F ，使得
45=∠CNE ．若存在，请直接写出AF 的长度；若不存在，请说明理由．
D
C
B
A
N
F
E
C
B
A
24. （本小题满分8分）
（1）AE ⊥CM ，AE =CM
（2）如图，过点A 作AG ⊥AB ,且AG =BM,，连接CG 、FG ,延长AE 交CM 于H .
∵ 90=∠ACB ,26==CB CA ,
∴∠CAB =∠CBA =45°，
12. ∴∠GAC =∠MBC =45°. ∵AB CD ⊥,
∴CD=AD=BD =162
AB =. ∵ M 是DB 的中点, ∴3BM DM ==. ∴3AG =. ∵2AF FD =,
∴4 2.AF DF ==，
∴+2+3=5.FM FD DM == ∵AG ⊥AF ,
∴FG =
∴.FG FM =
在△CAG 和△CBM 中， ∴△CAG ≌△CBM ．
∴CG =CM ,ACG BCM ∠=∠．
∴++90MCG ACM ACG ACM BCM ∠=∠∠=∠∠=．在△FCG 和△FCM 中， ∴△FCG ≌△FCM ． ∴FCG FCM ∠=∠． ∴45FCH ∠=.
由（1）知AE ⊥CM ， ∴90CHN ∠= ∴ 45=∠CNE . （3）存在.
AF =8.
例3．(平谷201405-24)（1）如图1，点E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，∠EAF =45°，连接EF ，
则EF 、BE 、FD 之间的数量关系是：EF =BE +FD ．连结BD ，交AE 、AF 于点M 、N ，且MN 、BM 、DN 满足222DN BM MN +=，请证明这个等量关系；
M'
A
B
C
D
E
F
M
N
（2）在△ABC 中， AB =AC ，点D 、E 分别为BC 边上的两点．
①如图2，当∠BAC =60°，∠DAE =30°时，BD 、DE 、EC 应满足的等量关系是__________________；
②如图3，当∠BAC =α，(0°<α<90°)，∠DAE =α2
1时，BD 、DE 、EC 应满足
的等量关系是____________________．【参考：1cos sin 22=+αα】
24． (1) 在正方形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =90°，
∠ABM =∠ADN=45°．
把△ABM 绕点A 逆时针旋转90°得到M AD '?． 连结M N '．则，，AM AM BM M D =='',
?=∠='∠45ABM M AD ，BAM M DA ∠='∠．
∵∠EAF =45°，∴∠BAM +∠DAN =45°,
∠DAM′+∠DAF =45°, ?=∠=∠45'MAN AN M ． ∴N AM '?≌AMN ?． ∴N M '=MN ．
在N DM '?中，?=∠+∠=∠90''ADM ADN DN M , ∴222BM DN MN +=
（2）① 222EC EC BD BD DE +?+=； - ② 222cos 2EC EC BD BD DE +??+=α
例4.半角模型的应用: (2012西城期末改编)．如图1，平面直角坐标系xOy 中，
抛物线21
2
y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，点C 是AB 的中点，CD ⊥
AB 且CD =AB ．直线BE 与y 轴平行，点F 是射线BE 上的一个动点，连接
AD 、AF 、DF .
（1）若点F 的坐标为（9
2
，1），AF
①求此抛物线的解析式；
②点P 是此抛物线上一个动点，点Q 在此抛物线的对称轴上，以点A 、
F 、P 、Q 为顶点构成的四边形是平行四边形，请直接写出点Q 的坐
标；
（2）若22b c +=-，2b t =--，且AB 的长为kt ，其中0t >．如图2，当∠
DAF =45°时，求k 的值和∠DFA 的正切值.