小学五年级奥数第十四讲：归纳与递推的方法
递推方法是人们从开始认识数量关系时就很自然地产生的一种推理思想。例如自然数中最小的数是1，比1大1的数是2，接下来比2大1的数是3，…由此得到了自然数数列：1，2，3，4，5，…。在这里实际上就有了一个递推公式，假设第n 个数为an，则
即由自然数中第n个数加上1，就是第n+1个数。
由此可得：
这样就可以得到自然数数列中任何一个数。
再看一个例子：
例1 平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分?平面上100条直线最多能把圆的内部分成几部分
解：
假设用ak表示k条直线最多能把圆的内部分成的部分数。这里k=0，1，2，…。如图可见
归纳出递推公式（1）
即画第n+1条直线时，最多增加n部分。原因是这样的：第一条直线最多把圆分成两部分，故a1=2。当画第二条直线时，要想把圆内部分割的部分尽可能多，就应和第一条直线在圆内相交，交点把第二条直线在圆内部分分成两条线段，而每条线段又把原来的一个区域划分成两个区域，因而增加的区域数是2，正好等于第二条直线的序号。同理，当画第三条直线时，要想把圆内部分割的部分数尽可能多，它就应和前两条直线在圆内各有一个交点。两个交点把第三条直线在圆内部分成三条线段。而每条线段又把原来一个区域划分成两个区域。因而增加的区域部分数是3，正好等于第三条直线的序号，…。这个道理适用于任意多条直线的情形，所以递推公式(1)是正确的。这样就易求得5条直线最多把圆内分成：
要想求出100条直线最多能把圆内分成多少区域，不能直接用上面的公式了，可把上面的递推公式变形：
公式(2)也称为数列1，2，4，7，11，16，…的通项公式。
一般来说，如果一个与自然数有关的数列中任一项 an可以由它前面的k(≤n-1)项经过运算或其他方法表示出来，我们就称相邻之间有递归关系，并称这种公式为递推公式或递推关系式。通过寻求递归关系来解决问题的方法就称为递推方法。许多与自然数有关的数学问题都常常具有递推关系，可以用递推公式来表达它的数量关系。如何寻求这个递推公式是解决这类问题的关键之一，常用的方法是“退”到问题最简单情况开始观察，逐步归纳并猜想一般的递推公式。在小学阶段，我们仅要求学生能拨开问题的一些表面现象由简到繁地归纳出问题的递推公式就行了，不要求严格证明。当然能证明更好。所谓证明，就是要严格推出你建立的关系式适合所有的n，有时，仅仅在前面几项成立的关系，不一定当n较大时也成立。
例2 平面上10个两两相交的圆最多能将平面分割成多少个区域?平面上1993
个圆最多能将平面分割成多少个区域?
解：设平面上k个圆最多能将平面分割成ak部分，我们先“退”到最简单的情形。如图可见：
(3)是这个问题的递推公式。再把它变形为当n较大时也能方便求出结果的公式：
关于这个递推公式成立的正确性分析与例1完全类似。比如，第一个圆显然将平面分为两个区域;当画第二个圆时，应与原来的一个圆有两个交点，即被第一个圆截成两段弧，而每一段弧将原来的每一个区域分成两个区域，故区域数增加了2，即增加了原来圆的个数的2倍;当画第三个圆时，应与原来的两个圆共有4个交点，圆弧被截成4段，而每段弧又将原来的每个区域分成两个区域，所以区域增加了4，即原来圆的个数的2倍，…，同理类推，说明递推公式应该是：
例3 在一个圆周上按下面规则标上一些数：第一次先把圆周二等分，在两个分点旁标上1/2和1/3，如图(a)。第二次把两段半圆弧
二等分，在分点旁标上相邻两分点旁所标两数的和，如图(b)，标上。第三次把4段圆弧分别二等分，并在4个分点旁边标上两个相邻分点旁所标数的和，
如图(c)，分别标上和。如此继续下去，当第八次标完数以后，圆周上所有已标的数的和是多少?
解：我们一般地设第一次所标的两数分别为a、b，用Sk表示第k次标完后各分点所标数的和。如图可见：
原因是这样的：S2是两类分点旁的标数和，一类是原来分点所标数的和S1，另一类是新增分点所标数的和，它正好是由原来各分点所标的数向左加一次，又向右加一次的和，故新增分点旁所标数的和恰好是原来所有数之和的2倍2 S1，因此有：
(4)式为递推公式：Sn=3Sn-1在S1=a+b时已解出的表达式。所谓解出，即Sn
直接直接依赖于n与S1而计算出，不再是Sn依赖于Sn-1，Sn-1又依赖于Sn-2这样的形式。
例4 假设刚出生的雌雄一对小兔过两个月就能生下雌雄一对小兔，此后每月生下一对小兔。如果养了初生的一对小兔，问满一年时共可得多少对兔子?
解：我们先退到开始的简单情况来推算，从中归纳出递推关系。如图：
第一个月：只有1对小兔;
第二个月：一对小兔长成一对大兔，但尚不会生殖，仍只有一对兔子;
第三个月：这对大兔生了一对小兔，这时共2对兔子;
第四个月：大兔又生了一对小兔，而上月出生的小兔正在长大，这时共3对兔子;
第五个月：这时已有两对大兔可以生殖(原来的大兔和第三个月出生的小兔)，于是生了两对小兔，这时共有5对兔子。
…
把推算的结果列成一张表：
由表中可见满一年时可得144对兔子。
如果要算的时间长，这种方法就有困难了，现在我们来找递推关系。
用{Un｝表示第n个月时的兔子对数，则：
{Un｝：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，
容易发现递推公式是：
现在说明这个递推公式是正确的。因为第n个月时的兔子对分两类，一类是第n-1个月时的兔子对，另一类是当月新生的兔子对，而这些小兔对数恰好是第n-2
个月时的兔子对数Un-2。
有了上面的递推公式就可以写出{Un｝的第12项为 144对，这正是本题要求的满一年时的小兔总对数。
数列{Un｝称为斐波那契数列(Fibonacci,1170～1250，是意大利数学家)。由于数列{Un｝具有许多重要的奇特性质，因而受到数学家们的极大关注，并把数列{Un｝取名为斐波那契数列。
例5 传说在印度的佛教圣地贝拿勒斯圣庙里安放着一个黄铜板，板上插着三根宝石针，在第一根宝石针上，从下到上穿着由大到小的64片中心有孔的金片，每天都有一个值班僧侣按下面规则移动金片：把金片从第一根宝石针移到其余的宝石针上。要求一次只能移动一片，而且小片永远要放在大片的上面。当时传说当64片金片都按上面的规则从第一根宝石针移到另一根宝石针上时，世界将在一声霹雳中毁灭。所以有人戏称这个问题叫“世界末日”问题(也称为“Hanoi塔”问题)。当然，移金片和世界毁灭并无联系，这只是一个传说而已，但说明这是一个需要移动很多很多次才能办到的事情。解这个问题的方法在算法分析中也常用到。究竟按上述规则移动完这64片金片需要移动多少次呢
解：设有n片金片，把从第一片金片至第k片金片按题目要求由第一根宝石针移到另一根宝石针共需ak次。
先对4片金片的简单情形，用下列的几组图来表示移动过程中的各种状态，并计数，归纳出递归关系式。
这节的前几个例子都是“退”到简单的特殊情况来归纳出一般规律，在这个例子里，我们将先用一般推理得出递推公式，再以n=64代入，便可解决我们这个例题。这种从一般到特殊来解决问题的方法也是数学上的一种常用方法。
我们可以这样来想：为了移动第n片到第Ⅲ根宝石针上，我们必须先把它上面的n-1片按题目的规则采用某种程序移到第Ⅱ根宝石针上，这需要移动an-1次，然后才能把最下面第n片(最大的)，移到第Ⅲ根宝石针上。最后再经过an-1次才能把第Ⅱ根宝石针上的n-1片金片按上面规则采用同样程序移到第Ⅲ根宝石针上。因此把n片金片按题中的规则全部移到另一根宝石针上共应移：
这就是递推公式。（五）
为了求得 n=64 时 a64的值，我们当然不能一次次地由a1=1,a2=3,a3=7,…直到算出a64。现在我们设法把递推公式(5)变形为可以直接计算a64的形式。
a64是一个非常大的数，如果按照每移动一片需一秒钟算，把64片金片从一根宝石针移到另一根宝石针上大约需要5800亿年。
习题十四
1，请你根据下列各个数之间的关系，在括号里填上恰当的数：
(1)1，5，9，13，17，( )。
(2)0.625, 1.25, 2.5, 5, ( ).
(3)2/10,3/16，4/22,5/28，……，()/58。
(4)198，297，396，495，( )，( )。
2，将自然数1，2，3，…，按图排列，在“2”处转第一个弯，“3”处转第二个弯，“5”处转第三个弯，…。问哪个数处转第二十个弯?
3，请用递推方法求出甲、乙、丙、丁四人站成一排照相，共有多少种不同站法?
4，上一段12级楼梯，规定每一步只能上一级或两级，问要登上第12级楼梯共有多少种不同走法?
5，有10个村庄，用别用A1，A2，A3，…，A10表示，某人从A1出发按箭头方向绕一圈最后经由 A10再回到A1，有多少种不同走法?
注：每点(村)至多过一次，两村之间，可以走直线，也可走圆周上弧线，但都必须按箭头方向走。
小学奥数之递推法 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-
五年级下册奥数知识点：递推方法 计数方法与技巧（递推法概念） 计数方法与技巧（递推法例题） 例1：的乘积中有多少个数字是奇数？ 分析与解答： 如果我们通过计算找到答案比较麻烦，因此我们先从最简单的情况入手。 9×9＝81，有1个奇数； 99×99＝99×(100－1)＝9900－99＝9801，有2个奇数； 999×999＝999×(1000－1)＝99900－999＝998001，有3个奇数； …… 从而可知，999…999×999…999的乘积中共有10个奇数。 例题2： 分析与解答： 这道题我们可以采用分别求出每个数的立方是多少，再求和的方法来解答。但是，这样计算的工作量比较大，我们可以从简单的情况开始研究。
例题3： 2000个学生排成一行，依次从左到右编上1～2000号，然后从左到右按一、二报数，报一的离开队伍，剩下的人继续按一、二报数，报一的离开队伍，…… 按这个规律如此下去，直至当队伍只剩下一人为止。问：这时一共报了多少次最后留下的这个人原来的号码是多少分析与解答： 难的不会想简单的，数大的不会想数小的。我们先从这2000名同学中选出20人代替2000人进行分析，试着找出规律，然后再用这个规律来解题。 这20人第一次报数后共留下10人，因为20÷2＝10 ，这10人开始时的编号依次是：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20，都是2的倍数。 第二次报数后共留下5人，因为10÷2＝5 ，这5人开始时的编号依次是： 4、8、12、16、20，都是4的倍数，也就是2×2的倍数。 第三次报数后共留下2人，因为5÷2＝2 ……1 ，这2人开始时的编号依次是： 8、16，都是8的倍数，也就是2×2×2的倍数。 第四次报数后共留下1人，因为2÷2＝1 ，这1人开始时的编号是：16，都是8的倍数，也就是2×2×2×2的倍数。 由此可以发现，第n次报数后，留下的人的编号就是n个2的连乘积，这是一个规律。 2000名同学，报几次数后才能只留下一个同学呢?
小学奥数计数问题之递推法例题讲解【三篇】 分析与解答： 这道题我们可以采用分别求出每个数的立方是多少，再求和的方法来解答。但是，这样计算的工作量比较大，我们可以从简单的情况开始研究。 【第三篇】 例题：2000个学生排成一行，依次从左到右编上1～2000号，然后从左到右按一、二报数，报一的离开队伍，剩下的人继续按一、二报数，报一的离开队伍，…… 按这个规律如此下去，直至当队伍只剩下一人为止。问：这时一共报了多少次？最后留下的这个人原来的号码是多少？ 分析与解答： 难的不会想简单的，数大的不会想数小的。我们先从这2000名同学中选出20人代替2000人进行分析，试着找出规律，然后再用这个规律来解题。 这20人第一次报数后共留下10人，因为20÷2＝10 ，这10人开始时的编号依次是：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20，都是2的倍数。 第二次报数后共留下5人，因为10÷2＝5 ，这5人开始时的编号依次是：4、8、12、16、20，都是4的倍数，也就是2×2的倍数。 第三次报数后共留下2人，因为5÷2＝2 ……1 ，这2人开始时的
编号依次是：8、16，都是8的倍数，也就是2×2×2的倍数。 第四次报数后共留下1人，因为2÷2＝1 ，这1人开始时的编号是：16，都是8的倍数，也就是2×2×2×2的倍数。 由此可以发现，第n次报数后，留下的人的编号就是n个2的连乘积，这是一个规律。 2000名同学，报几次数后才能只留下一个同学呢? 第一次：2000÷2＝1000 第二次：1000÷2＝500 第三次：500÷2＝250 第四次：250÷2＝125 第五次：125÷2＝62 ……1 第六次：62÷2＝31 第七次：31÷2＝15 ......1 第八次：15÷2＝7 (1) 第九次：7÷2＝3 ......1 第十次：3÷2＝1 (1) 所以共需报10次数。 那么，最后留下的同学在一开始时的编号应是： 2×2×2×…×2＝1024（号）
奥数专题之递推
奥数专题之递推 递推法专题 递推法是组合数学中的一个重要解题方法，许多问题通过递推法来解决就显得精巧简捷．鉴于这一方法在学习中的应用越来越广泛，掌握和运用这种方法，就显得更加重要． 递推方法问题主要有两类：一是问题中有明显的递推关系，重点在于递推关系的应用；二是问题中没有明显的递推关系，需要对已有条件进行变形或改变问题的有关形式而建立递推关系，将问题转化为第一类问题。本文重点探索第二类问题。 通过建立、研究递推关系Sk+1=f(Sk)，使问题得以解决的方法称为递推方法。 例1 平面上有n条直线，它们中任意两条都不平行，且任意三条都不交于一点。这n条直线可以把平面分割成多少个部分？ 请看一个引起普遍关注的关于世界末日的问
题。 例 2 有这样一段关于“世界末日”的传说。在印度北部的一个佛教的圣庙里，桌上的黄铜板上，放着三根宝石针，每根长约0.5米。据说印度教的主神梵天在创造世界时，在其中的一根针上，自上而下由小到大放了六十四片金片。每天二十四小时内，都有僧侣值班，按照以下的规律，不停地把这些金片在三根宝石针上移来移去：每次只准移动一片，且不论在那根针上，较小的金片只能放在较大的金片上。当所有六十四片金片都从梵天创造世界时所放的那根针上移到另一根针上时，世界的末日就要到来。这虽是一个传说，但却引起人们的重视，大家都想知道僧侣移动完毕这六十四片金片需要多少时间。也就是说，人类在这个世界上还可以生存多少时间。 例3 有10级台阶，小王从下向上走，若每次只能跨一级或两级，他走上去共有多少种不同的走法？
追问：10级的情况可以一一列出，台阶数比较多的情况，怎么办？ 提示：此即为斐波那契数列{ a n}求通项的问题。 例4 同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式共有( ) （A）6种（B）9种（C）11种（D）23种 这里，我们引进一个概念： 设a 1,a 2 ,a 3 ,…，a n 是1，2，3，…，n的一 个排列,如果a i i,(i=1,2,…，n),则称这种排列为一个错位排列（也称为更列）。 更列问题也可以形象地理解为：将1，2，3，…，n看成已经排好对的n个人，重新站队时，各人都不站在原来的位置上。 例5 A、B二人拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数时，原掷骰子的人再继续掷；若掷出的点数不是3的倍数时就由对方接着掷，第一次由A开始掷，求第5次仍由A掷的概率。
五年级下册奥数知识点：递推方法 计数方法与技巧(递推法概念) 计数方法与技巧(递推法例题) 』眇严99汽严哪匕I 例1: '的乘积中有多少个数字是奇数? 分析与解答： 如果我们通过计算找到答案比较麻烦，因此我们先从最简单的情况入手9X 9= 81,有1个奇数； 99 X 99= 99 X (100 —1) = 9900 - 99 = 9801，有2 个奇数； 999X 999= 999X (1000 —1) = 99900 —999= 998001，有3个奇数； 从而可知，999…999X 999…999的乘积中共有10个奇数。 例题2: 计算13 + 23+ 3S+43+ 5S+63+卢十丽十声十1用的 值。 分析与解答: 这道题我们可以采用分别求出每个数的立方是多少，再求和的方法来解答。但是，这样计算的工作量比较大，我们可以从简单的情况开始研究。 例题3: 2000个学生排成一行，依次从左到右编上1?2000号，然后从左到右按一、 二报数，报一的离开队伍，剩下的人继续按一、二报数，报一的离开队伍，……按这个规律如此下去，直至当队伍只剩下一人为止。问：这时一共报了多少次？最后留下的这个人原来的
号码是多少？ 分析与解答： 难的不会想简单的，数大的不会想数小的。我们先从这2000名同学中选出20人代替2000人进行分析，试着找出规律，然后再用这个规律来解题。 这20人第一次报数后共留下10人，因为20-2= 10，这10人开始时的编号依次是：2、4、6、8 10、12、14、16、18、20，都是2的倍数。 第二次报数后共留下5人，因为10十2= 5，这5人开始时的编号依次是：4、8、12、16、20，都是4的倍数，也就是2X 2的倍数。 第三次报数后共留下2人，因为5-2= 2……1 ,这2人开始时的编号依次是：8、16,都是8的倍数，也就是2X2X2的倍数。 第四次报数后共留下1人，因为2十2= 1，这1人开始时的编号是：16,都是8的倍数，也就是2X 2X 2X 2的倍数。 由此可以发现，第n次报数后，留下的人的编号就是n个2的连乘积，这是一个规律。 2000名同学，报几次数后才能只留下一个同学呢？ 第一次：2000- 2= 1000 第二次：1000- 2= 500 第三次：500- 2= 250 第四次：250- 2= 125
十二、递推法解题（B卷） 年级班姓名得分 一、填空题 1.某数加7,乘以5,再减去9,得51.这个数是 . 2.篮中有许多李子,如果将其中的一半又1个给第一个人,将余下的一半又2个给第二个人,然后将剩下的一半又3个给第三个人,篮中刚好一个也不剩,篮中原来有个李. 3.一个箱子里放着一些茶杯,几个小朋友从箱里往外拿茶杯,规则是每次总要拿出箱里的一半,然后又放回一个.按这样规则他拿了597次后,箱里剩2个杯,他原有个杯. 4.蜗牛沿着10米高的柱子往上爬,每天从清晨到傍晚向上共爬5米,夜间下滑4米,像这样,从某天清晨开始,它天才能爬上柱的顶端. 5.小明在一次数学考试时,把一个数除以 3.75计算成乘以 3.75,结果得337.5.那么,这题的正确结果是 . 6.一个数扩大3倍,再增加70,然后减少50,得80.这个数是 . 7.学生问陈老师今年几岁,他笑着说:“把我的年龄减去4后,被7除,加上6后乘以5,刚好是半百,”那么陈老师今年岁. 8.冰柜里的鸡蛋,第一天拿走了一半多两个,第二天拿走了余下的一半多4个,这时刚好拿完,求原来有个. 9.在做一道加法题时,小马虎把个位上的5看作3,把十位上的6看成了9,得出结果是210,正确的结果是 . 10.一捆电线,第一次用去全长一半多3米,第二次用去余下的一半少10米,第三次用去15米,最后还剩7米,这捆电线原来总长米. 二、解答题 11.有26块砖,兄弟俩拿去挑,弟弟抢在前,刚摆好姿势,哥哥赶到了.哥哥看到弟弟挑得太多,从弟弟那里抢过了一半,弟弟不服,又从哥哥那里抢回一半,哥哥不肯,弟弟只好给哥哥5块,此时哥哥比弟弟多挑2块,问最初弟弟准备挑多少块? 12.批发站有若干筐苹果,第一天卖出一半,第二天运进450筐,第三天又卖出现有苹果的一半又50筐,还剩600筐,这个批发站原有多少筐. 13.三人共有糖72粒,若甲给乙、丙各一些,使他们增加1倍.接着乙又给甲、丙各一些,使它们翻倍.最后丙也给甲、乙各一些,使他们翻倍.这时三人糖数相等,求三人原来各几粒? 14.袋子里有若干个球,小明每次拿出其中的一半,再放回一个,一共做了5次,袋中还有3个球,问原来袋中有几个球?
7 计数综合 7-6 计数方法与技 巧综合 7-6-1归纳法 7-6-2整体法 7-6-3对应法 7-6-3-1图形中的对应关系 7-6-3-2数字问题中的对应关系 7-6-3-3对应与阶梯型标数法 7-6-3-4不完全对应关系 7-6-4递推法 前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳法、整体法、对应法、递推法．对这些计数方法与技巧要做到灵活运用． 模块一、归纳法 从条件值较小的数开始，找出其中规律，或找出其中的递推数量关系，归纳出一般情况下的数量关系． 【例 1】 （难度等级※※）一条直线分一个平面为两部分．两条直线最多分这个平面为四部分．问5条直 线最多分这个平面为多少部分? 【解析】 方法一：我们可以在纸上试着画出1条直线，2条直线，3条直线，……时的情形，于是得到下表： 由上表已知5条直线最多可将这个平面分成16个部分，并且不难知晓，当有n 条直线时，最多可将 平面分成2+2+3+4+…+n= ()12 n n ++1个部分． 方法二：如果已有k 条直线，再增加一条直线，这条直线与前k 条直线的交点至多k 个，因而至多被分成k+1段，每一段将原有的部分分成两个部分，所以至多增加k+1个部分．于是3条直线至多 例题精讲 教学目标 计数方法与技巧综合
将平面分为4+3=7个部分，4条直线至多将平面分为7+4=11个部分，5条直线至多将平面分为11+5=16个部分． 一般的有k 条直线最多将平面分成：1+1+2+…+k=()12 k k ++1个部分，所以五条直线可以分平面为16 个部分． 【巩固】（难度等级※※）平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分？平面上100条直线最多能把圆的内 部分成几部分？ 【解析】 假设用a k 表示k 条直线最多能把圆的内部分成的部分数，这里k ＝0，1，2，…… a 0＝1 a 1=a 0+1＝2 a 2=a 1＋2=4 a 3=a 2＋3=7 a 4=a 3+4＝11 …… 故5条直线可以把圆分成16部分，100条直线可以把圆分成5051部分 【例 2】 （难度等级 ※※）平面上10个两两相交的圆最多能将平面分割成多少个区域？ 【解析】 先考虑最简单的情形．为了叙述方便，设平面上k 个圆最多能将平面分割成k a 个部分． 1413121110 9 8765 43 218 76 5 2134 4 3 122 1 从图中可以看出，12a =，24221a ==+?，38422a ==+?，414823a ==+?，…… 可以发现k a 满足下列关系式：()121k k a a k -=+-． 实际上，当平面上的(1k -)个圆把平面分成1k a -个区域时，如果再在平面上出现第k 个圆，为了保证划分平面的区域尽可能多，新添的第k 个圆不能通过平面上前()1k -个圆之间的交点．这样，第k
五年级奥数计数问题之递推法例题讲解【六篇】 这道题我们可以采用分别求出每个数的立方是多少，再求和的方法来解答。但是，这样计算的工作量比较大，我们可以从简单的情况开始研究。 【第三篇】 例题：2000个学生排成一行，依次从左到右编上1～2000号，然后从左到右按一、二报数，报一的离开队伍，剩下的人继续按一、二报数，报一的离开队伍，…… 按这个规律如此下去，直至当队伍只剩下一人为止。问：这时一共报了多少次？最后留下的这个人原来的号码是多少？ 分析与解答： 难的不会想简单的，数大的不会想数小的。我们先从这2000名同学中选出20人代替2000人进行分析，试着找出规律，然后再用这个规律来解题。 这20人第一次报数后共留下10人，因为20÷2＝10 ，这10人开始时的编号依次是：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20，都是2的倍数。 第二次报数后共留下5人，因为10÷2＝5 ，这5人开始时的编号依次是：4、8、12、16、20，都是4的倍数，也就是2×2的倍数。 第三次报数后共留下2人，因为5÷2＝2 ……1 ，这2人开始时的编号依次是：8、16，都是8的倍数，也就是2×2×2的倍数。
第四次报数后共留下1人，因为2÷2＝1 ，这1人开始时的编号是：16，都是8的倍数，也就是2×2×2×2的倍数。 由此可以发现，第n次报数后，留下的人的编号就是n个2的连乘积，这是一个规律。 2000名同学，报几次数后才能只留下一个同学呢? 第一次：2000÷2＝1000 第二次：1000÷2＝500 第三次：500÷2＝250 第四次：250÷2＝125 第五次：125÷2＝62 ……1 第六次：62÷2＝31 第七次：31÷2＝15 ......1 第八次：15÷2＝7 (1) 第九次：7÷2＝3 ......1 第十次：3÷2＝1 (1) 所以共需报10次数。 那么，最后留下的同学在一开始时的编号应是： 2×2×2×…×2＝1024（号） 【第四篇】 例题：平面上有10个圆，最多能把平面分成几部分？ 分析与解答： 直接画出10个圆不是好办法，先考虑一些简单情况。 一个圆最多将平面分为2部分； 二个圆最多将平面分为4部分； 三个圆最多将平面分为8部分； 当第二个圆在第一个圆的基础上加上去时，第二个圆与第一个圆有2个交点，这两个交点将新加的圆弧分为2段，其中每一段圆弧都
7-6-4.计数之递推法 教学目标 前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳法、整体法、对应法、递推法．对这些计数方法与技巧要做到灵活运用． 例题精讲 对于某些难以发现其一般情形的计数问题，可以找出其相邻数之间的递归关系，有了这一递归关系就可以利用前面的数求出后面未知的数，这种方法称为递推法． 【例1】每对小兔子在出生后一个月就长成大兔子，而每对大兔子每个月能生出一对小兔子来．如果一个人在一月份买了一对小兔子，那么十二月份的时候他共有多少对兔子？ 【考点】计数之递推法【难度】3星【题型】解答 【解析】第一个月，有1对小兔子；第二个月，长成大兔子，所以还是1对；第三个月，大兔子生下一对小兔子，所以共有2对；第四个月，刚生下的小兔子长成大兔子，而原来的大兔子又生 下一对小兔子，共有3对；第五个月，两对大兔子生下2对小兔子，共有5对；……这个特 点的说明每月的大兔子数为上月的兔子数，每月的小兔子数为上月的大兔子数，即上上月的 兔子数，所以每月的兔子数为上月的兔子数与上上月的兔子数相加．依次类推可以列出下表： 经过月数：---1---2---3---4---5---6---7---8---9---10---11---12 兔子对数：---1---1---2---3---5---8--13--21--34--55--89—144，所以十二月份的时候总共有144对兔子． 【答案】144 【例2】树木生长的过程中，新生的枝条往往需要一段“休息”时间供自身生长，而后才能萌发新枝．一棵树苗在一年后长出一条新枝，第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发新枝；此后，老枝与“休息” 过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则依次“休息”．这在生物学上称为“鲁德维格定律”．那 么十年后这棵树上有多少条树枝？ 【考点】计数之递推法【难度】3星【题型】解答 【解析】一株树木各个年份的枝桠数，构成斐波那契数列：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……所以十年后树上有89条树枝． 【答案】89 【例3】一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第10级，共有多少种不同走法？ 【考点】计数之递推法【难度】4星【题型】解答 1
小升初奥数计数问题之递推方法的解题技 巧 数学给予人们的不仅是知识，更重要的是能力，这种能力包括观察实验、收集信息、归纳类比、直觉判断、逻辑推理、建立模型和精确计算。这些能力和培养，将使人终身受益。以下是无忧考网整理的相关资料，希望对您有所帮助。 【篇一】 递推方法的概述 在不少计数问题中，要很快求出结果是比较困难的，有时可先从简单情况入手，然后从某一种特殊情况逐渐推出与以后比较复杂情况之间的关系，找出规律逐步解决问题，这样的方法叫递推方法。 例1、线段AB上共有10个点(包括两个端点)，那么这条线段上一共有多少条不同的线段? 分析与解答： 从简单情况研究起： AB上共有2个点，有线段：1条
AB上共有3个点，有线段：1+2=3(条) AB上共有4个点，有线段：1+2+3=6(条) AB上共有5个点，有线段：1+2+3+4=10(条) …… AB上共有10个点，有线段：1+2+3+4+…+9=45(条) 一般地，AB上共有n个点，有线段： 1+2+3+4+…+(n-1)=n×(n-1)÷2 即：线段数=点数×(点数-1)÷2 例2、2000个学生排成一行，依次从左到右编上1～2000号，然后从左到右按一、二报数，报一的离开队伍，剩下的人继续按一、二报数，报一的离开队伍，……按这个规律此下去，直至当队伍只剩下一人为止。问：这时一共报了多少次?最后留下的这个人原来的号码是多少? 分析与解答： 难的不会想简单的，数大的不会想数小的。我们先从这2000名同学中选出20人代替2000人进行分析，试着找出规律，然后再用这个规律来解题。 这20人第一次报数后共留下10人，因为20÷2=10，这10人开始时的编号依次是：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20，都是2的倍数。 第二次报数后共留下5人，因为10÷2=5，这5人开始时的编号依次是：4、8、12、16、20，都是4的倍数，也就是2×2的倍
奥数专题之递推 递推法专题 递推法是组合数学中的一个重要解题方法，许多问题通过递推法来解决就显得精巧简捷．鉴于这一方法在学习中的应用越来越广泛，掌握和运用这种方法，就显得更加重要．递推方法问题主要有两类：一是问题中有明显的递推关系，重点在于递推关系的应用；二是问题中没有明显的递推关系，需要对已有条件进行变形或改变问题的有关形式而建立递推关系，将问题转化为第一类问题。本文重点探索第二类问题。 通过建立、研究递推关系Sk+1=f(Sk)，使问题得以解决的方法称为递推方法。 例1平面上有n条直线，它们中任意两条都不平行，且任意三条都不交于一点。这n 条直线可以把平面分割成多少个部分？ 请看一个引起普遍关注的关于世界末日的问题。 例2有这样一段关于“世界末日”的传说。在印度北部的一个佛教的圣庙里，桌上的黄铜板上，放着三根宝石针，每根长约0.5米。据说印度教的主神梵天在创造世界时，在其中的一根针上，自上而下由小到大放了六十四片金片。每天二十四小时内，都有僧侣值班，按照以下的规律，不停地把这些金片在三根宝石针上移来移去：每次只准移动一片，且不论在那根针上，较小的金片只能放在较大的金片上。当所有六十四片金片都从梵天创造世界时所放的那根针上移到另一根针上时，世界的末日就要到来。这虽是一个传说，但却引起人们的重视，大家都想知道僧侣移动完毕这六十四片金片需要多少时间。也就是说，人类在这个世界上还可以生存多少时间。 例3有10级台阶，小王从下向上走，若每次只能跨一级或两级，他走上去共有多少种不同的走法？ 追问：10级的情况可以一一列出，台阶数比较多的情况，怎么办？ 提示：此即为斐波那契数列{ a n}求通项的问题。 例4同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式共有( ) （A）6种（B）9种（C）11种（D）23种 这里，我们引进一个概念： 设a1,a2,a3,…，a n是1，2，3，…，n的一个排列,如果a i i,(i=1,2,…，n),则称这种排列为一个错位排列（也称为更列）。
前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳法、整体法、对应法、递推法．对这些计数方法与技巧要做到灵活运用． 对于某些难以发现其一般情形的计数问题，可以找出其相邻数之间的递归关系，有了这一递归关系就可以利用前面的数求出后面未知的数，这种方法称为递推法． 【例 1】 每对小兔子在出生后一个月就长成大兔子，而每对大兔子每个月能生出一对小兔子来．如果一个人 在一月份买了一对小兔子，那么十二月份的时候他共有多少对兔子？ 【考点】计数之递推法 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 第一个月，有1对小兔子；第二个月，长成大兔子，所以还是1对；第三个月，大兔子生下一对小 兔子，所以共有2对；第四个月，刚生下的小兔子长成大兔子，而原来的大兔子又生下一对小兔子，共有3对；第五个月，两对大兔子生下2对小兔子，共有5对；……这个特点的说明每月的大兔子数为上月的兔子数，每月的小兔子数为上月的大兔子数，即上上月的兔子数，所以每月的兔子数为上月的兔子数与上上月的兔子数相加． 依次类推可以列出下表： 经过月数：---1---2---3---4---5---6---7---8---9---10---11---12 兔子对数：---1---1---2---3---5---8--13--21--34--55--89—144，所以十二月份的时候总共有144对兔子． 【答案】144 【例 2】 树木生长的过程中，新生的枝条往往需要一段“休息”时间供自身生长，而后才能萌发新枝．一棵树 苗在一年后长出一条新枝，第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发新枝；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则依次“休息”．这在生物学上称为“鲁德维格定律”．那么十年后这棵树上有多少条树枝？ 【考点】计数之递推法 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 一株树木各个年份的枝桠数，构成斐波那契数列：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……所以 十年后树上有89条树枝． 【答案】89 【例 3】 一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第10级，共有多少种不同走法？ 【考点】计数之递推法 【难度】4星 【题型】解答 例题精讲 教学目标 7-6-4.计数之递推法
小学五年级奥数第十四讲：归纳与递推的方法 递推方法是人们从开始认识数量关系时就很自然地产生的一种推理思想。例如自然数中最小的数是1，比1大1的数是2，接下来比2大1的数是3，…由此得到了自然数数列：1，2，3，4，5，…。在这里实际上就有了一个递推公式，假设第n 个数为an，则 即由自然数中第n个数加上1，就是第n+1个数。 由此可得： 这样就可以得到自然数数列中任何一个数。 再看一个例子： 例1 平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分?平面上100条直线最多能把圆的内部分成几部分 解： 假设用ak表示k条直线最多能把圆的内部分成的部分数。这里k=0，1，2，…。如图可见
归纳出递推公式（1） 即画第n+1条直线时，最多增加n部分。原因是这样的：第一条直线最多把圆分成两部分，故a1=2。当画第二条直线时，要想把圆内部分割的部分尽可能多，就应和第一条直线在圆内相交，交点把第二条直线在圆内部分分成两条线段，而每条线段又把原来的一个区域划分成两个区域，因而增加的区域数是2，正好等于第二条直线的序号。同理，当画第三条直线时，要想把圆内部分割的部分数尽可能多，它就应和前两条直线在圆内各有一个交点。两个交点把第三条直线在圆内部分成三条线段。而每条线段又把原来一个区域划分成两个区域。因而增加的区域部分数是3，正好等于第三条直线的序号，…。这个道理适用于任意多条直线的情形，所以递推公式(1)是正确的。这样就易求得5条直线最多把圆内分成： 要想求出100条直线最多能把圆内分成多少区域，不能直接用上面的公式了，可把上面的递推公式变形：
公式(2)也称为数列1，2，4，7，11，16，…的通项公式。 一般来说，如果一个与自然数有关的数列中任一项 an可以由它前面的k(≤n-1)项经过运算或其他方法表示出来，我们就称相邻之间有递归关系，并称这种公式为递推公式或递推关系式。通过寻求递归关系来解决问题的方法就称为递推方法。许多与自然数有关的数学问题都常常具有递推关系，可以用递推公式来表达它的数量关系。如何寻求这个递推公式是解决这类问题的关键之一，常用的方法是“退”到问题最简单情况开始观察，逐步归纳并猜想一般的递推公式。在小学阶段，我们仅要求学生能拨开问题的一些表面现象由简到繁地归纳出问题的递推公式就行了，不要求严格证明。当然能证明更好。所谓证明，就是要严格推出你建立的关系式适合所有的n，有时，仅仅在前面几项成立的关系，不一定当n较大时也成立。 例2 平面上10个两两相交的圆最多能将平面分割成多少个区域?平面上1993 个圆最多能将平面分割成多少个区域? 解：设平面上k个圆最多能将平面分割成ak部分，我们先“退”到最简单的情形。如图可见：
第五讲 递推与归纳 A 1. 100 条直线最多能把一个平面分成 _____ 个部分。 2. 熊大叔是一个卖烧饼的师傅 ,他用一个平底锅煎饼 ,他是这样煎饼的 : 每次只能放两个饼 每个饼正反面都要煎 ,煎每一面都要 1分钟 ,问他煎 10个这样的饼需要 ______ 分钟。 3. 上一段 11阶楼梯,规定每一步只能上一级或两级 ,那么要登上第 11级台阶有 ______ 种不同 的走法。 4. 请先计算 11× 11,111 × 111,1111 × 1111, 你能根据以上结果 , 不经过计算而直接写出 11111111×11111111= ________ 。 例 1： 999?999×999?999 的乘积中有多少个数字是奇数？ 10 个 9 10 个 9 例 2：如图所示：线 段 同的线段？ AB 上共有 10 个点（包括两个端点）那么这条线段上一共有多少条不 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 B a 8 例 3：计算 13+23+33+43+53+63+73+83+93+103 得值。 例 4： 2000 个学生排成一行，依次从左到右编上 1～2000 号，然后从右到左按一、二报数， 报一的离开队伍，剩下的人继续按一、二报数，报一的人离开队伍，??按这个规律如 此例 5：圆周上两个点将圆周分为两半，在这两点上写上数 1 ；然后将两段半圆弧对分，在两 个分点上写上相邻两点上的数之和； 再把 4 段圆弧等分， 在分点上写上相邻两点上的数 之和，如此继续下去，问第 6 步后，圆周上所有点上的之和是多少？ 例 6： 4 个人进行篮球训练， 互相传球接球， 要求每个人接球后马上传给别人， 开始由甲发 球，并作为第一次传球，第五次传球后，球又回到甲手中，问有多少种传球方式？
小学奥数之递推法 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
五年级下册奥数知识点：递推方法 计数方法与技巧（递推法概念） 计数方法与技巧（递推法例题） 例1：的乘积中有多少个数字是奇数 分析与解答： 如果我们通过计算找到答案比较麻烦，因此我们先从最简单的情况入手。 9×9＝81，有1个奇数； 99×99＝99×(100－1)＝9900－99＝9801，有2个奇数； 999×999＝999×(1000－1)＝99900－999＝998001，有3个奇数； …… 从而可知，999…999×999…999的乘积中共有10个奇数。 例题2： 分析与解答： 这道题我们可以采用分别求出每个数的立方是多少，再求和的方法来解答。但是，这样计算的工作量比较大，我们可以从简单的情况开始研究。
例题3： 2000个学生排成一行，依次从左到右编上1～2000号，然后从左到右按一、二报数，报一的离开队伍，剩下的人继续按一、二报数，报一的离开队伍，…… 按这个规律如此下去，直至当队伍只剩下一人为止。问：这时一共报了多少次最后留下的这个人原来的号码是多少 分析与解答： 难的不会想简单的，数大的不会想数小的。我们先从这2000名同学中选出20人代替2000人进行分析，试着找出规律，然后再用这个规律来解题。 这20人第一次报数后共留下10人，因为20÷2＝10 ，这10人开始时的编号依次是：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20，都是2的倍数。 第二次报数后共留下5人，因为10÷2＝5 ，这5人开始时的编号依次是： 4、8、12、16、20，都是4的倍数，也就是2×2的倍数。 第三次报数后共留下2人，因为5÷2＝2 ……1 ，这2人开始时的编号依次是： 8、16，都是8的倍数，也就是2×2×2的倍数。 第四次报数后共留下1人，因为2÷2＝1 ，这1人开始时的编号是：16，都是8的倍数，也就是2×2×2×2的倍数。 由此可以发现，第n次报数后，留下的人的编号就是n个2的连乘积，这是一个规律。 2000名同学，报几次数后才能只留下一个同学呢
小学奥数逆推法解题及答案（上） 一、填空题 1.某数加7,乘以5,再减去9,得51.这个数是 . 2.篮中有许多李子,如果将其中的一半又1个给第一个人,将余下的一半又2 个给第二个人,然后将剩下的一半又3个给第三个人,篮中刚好一个也不剩,篮中原来有 个李. 3.一个箱子里放着一些茶杯,几个小朋友从箱里往外拿茶杯,规则是每次总 要拿出箱里的一半,然后又放回一个.按这样规则他拿了597次后,箱里剩2个杯,他原有 个杯. 4.蜗牛沿着10米高的柱子往上爬,每天从清晨到傍晚向上共爬5米,夜间下 滑4米,像这样,从某天清晨开始,它 天才能爬上柱的顶端. 5.小明在一次数学考试时,把一个数除以 3.75计算成乘以 3.75,结果得 337.5.那么,这题的正确结果是 . 6.一个数扩大3倍,再增加70,然后减少50,得80.这个数是 . 7.学生问陈老师今年几岁,他笑着说:“把我的年龄减去4后,被7除,加上6 后乘以5,刚好是半百,”那么陈老师今年 岁. 8.冰柜里的鸡蛋,第一天拿走了一半多两个,第二天拿走了余下的一半多4 个,这时刚好拿完,求原来有 个. 9.在做一道加法题时,小马虎把个位上的5看作3,把十位上的6看成了9, 得出结果是210,正确的结果是 . 10.一捆电线,第一次用去全长一半多3米,第二次用去余下的一半少10米, 第三次用去15米,最后还剩7米,这捆电线原来总长 米. 二、解答题 11.池塘的水面上生长着浮萍,浮萍所占面积每天增加一倍,经过15天把池 溏占满了,求它几天占池塘的4 1? 12.一条幼虫长成成虫,每天长大一倍,40天长到20厘米,问第36天长多少 厘米? 13.某人去银行取款,第一次取了存款的一半多5元,第二次取了余下的一半 多10元,最后剩下125元,求他原来有多少元? 14.王大爷把他所有西瓜的一半又半个卖给第一个顾客,把余下的一半又半 个卖给第二个顾客,……这样一直到他卖给第六个人以后,他一个西瓜也没有,求他原来有西瓜多少个?
递推的方法 有时，我们会遇上一些具有规律性的数学问题，这就需要我们在解题时根据已知条件尽快地去发现规律，并利用这一规律去解决问题。 例如：按规律填数：1，4，9，16，25，（），49，64。 分析：要在括号内填上适当的数，就要正确判断出题目所呈现出的规律。若你仔细地观察这一数列，就会发现这些数之间的规律： （1）先考虑相邻两个数之间的差，依次是3，5，7，9，…，15；可以看到相邻两数的差从3开始呈现递增2的规律，所以括号里的数应是25+11=36，再看36+13=49得到验证。 （2）如果我们换一个角度去考虑，那么我们还可以发现，这数列的第一项是1的平方，第二项是2的平方，第三项是3的平方……从这些事实中，发现规律是第n项是n的平方。那么所求的第六项是62=36。 我们把相邻数之间的关系称为递归关系，有了递归关系可以利用前面的数求出后面的未知数。像这种解题方法称为递推法。 例1 999…999×999…999的乘积中有多少个数字是奇数？ 10个10个 分析我们可以从最简单的9×9的乘积中有几个奇数着手寻找规律。 解 9×9=81，有1个奇数； 99×99=99×（100-1）=9900-99=9801，有2个奇数； 999×999=999×（1000-1）=999000-999=998001，有3个奇数； …… 从而可知，999…999×999…999的乘积中共有10个数字是奇数。 10个10个 例2 如图所示：线段AB上共有10个点（包括两个端点），那么这条线段上一共有多少条不同的线段？ 1234 5 678 分析先从AB之间只有一个点开始，再逐步增加AB之间的点数，找出点和线段之间的规律。 我们可以采用列表的方法清楚地表示出点和线段数之间的规律。 解AB之间只有1个点：线段有1+2=3(条)； AB之间只有2个点：线段有1+2+3=6(条)；
第五讲 递推与归纳 例1：999 …999×999…999的乘积中有多少个数字是奇数？ 例2：如图所示：线段AB 上共有10个点（包括两个端点）那么这条线段上一共有多少条不同的线段？ 例3：计算13+23+33+43+53+63+73+83+93+103得值。 例4：2000个学生排成一行，依次从左到右编上1～2000号，然后从右到左按一、二报数， 报一的离开队伍，剩下的人继续按一、二报数，报一的人离开队伍，……按这个规律如此下去，直至当队伍只剩下一人为止。问：最后留下的这个人原来的号码是多少？ 例5：圆周上两个点将圆周分为两半，在这两点上写上数1；然后将两段半圆弧对分，在两 个分点上写上相邻两点上的数之和；再把4段圆弧等分，在分点上写上相邻两点上的数之和，如此继续下去，问第6步后，圆周上所有点上的之和是多少？ 例6： 4个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人，开始由甲发 球，并作为第一次传球，第五次传球后，球又回到甲手中，问有多少种传球方式？ A 1. 100条直线最多能把一个平面分成_____个部分。 2. 熊大叔是一个卖烧饼的师傅,他用一个平底锅煎饼,他是这样煎饼的:每次只能放两个饼,每个饼正反面都要煎,煎每一面都要1分钟,问他煎10个这样的饼需要_____分钟。 3. 上一段11阶楼梯,规定每一步只能上一级或两级,那么要登上第11级台阶有_____种不同的走法。 4.请先计算11×11,111×111,1111×1111,你能根据以上结果,不经过计算而直接写出10个9 10个9 1 2 3 4 5 6 7 8