高中数学导数难题解题技巧
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1.导数在判断函数的单调性、最值中的应用
利用导数来求函数的最值的一般步骤是：1先根据求导公式对函数求出函数的导数;2
解出令函数的导数等于0的自变量;3从导数性质得出函数的单调区间;4通过定义域从单
调区间中求出函数最值。
2.导数在函数极值中的应用
利用导数的知识来求函数极值是高中数学问题比较常见的类型。利用导数求函数极值
的一般步骤是：1首先根据求导法则求出函数的导数;2令函数的导数等于0，从而解出导
函数的零点;3从导函数的零点个数来分区间讨论，得到函数的单调区间;4根据极值点的
定义来判断函数的极值点，最后再求出函数的极值。
3.导数在求参数的取值范围时的应用
利用导数求函数中的某些参数的取值范围，成为近年来高考的热点。在一般函数含参
数的题中，通过运用导数来化简函数，可以更快速地求出参数的取值范围。
2高中数学解题中导数的妙用
导数知识在函数解题中的妙用
函数知识是高中数学的重点内容，其中包括极值、图像、奇偶性、单调性等方面的分析，具有代表性的题型就是极值的计算和单调性的分析，按照普通的解题过程是通过图像
来分析，可是对于较难的函数来说，制作图像不仅浪费时间，而且极容易出错，而在函数
解题中应用导数简直就是手到擒来。
例如：函数fx=x3+3x2+9x+a，分析fx的单调性。这是高中数学中常见的三次函数，
在对这道题目进行单调性分析时，很多学生根据思维定式会采用常规的手法画图去分析单
调区间，但由于未知数a的存在而遇到困难。如果考虑用导数的相关知识解决这一问题，解：f’x=-3x2+6x+9，令f’x>0，那么解得x<-1或者x>3，也就是说函数在-∞，-1，3，+∞这个单调区间上单调递减，这样就能非常容易的判断函数的单调性。
导数知识在方程求根解题中的妙用
导数知识在方程求根中的应用属于一项重点内容，在平时的数学练习中以及高考的考
察中均曾以不同的难度形式出现过。导数知识能针对方程求根，根据导函数的求解能判断
原函数的根的个数。在解这一类问题的时候，教师要善于引导学生利用导函数与X轴的交
点个数来判断方程根的个数。
例如，某一证明问题：方程x-sinx=0，只有一个根x=0。在分析这一问题时实际上就
是利用函数的单调性质和特殊值来确定fx=0。其证明过程需首先利用到导数知识，令
fx=x-sinx，定义域为R，求导fx=1-cosx>0，再利用函数单调性及数形结合思想，求得
x=0是次方程的根。此内容的应用就是最为典型的导数知识在方程求根中的应用。
3高中数学的解题技巧
学会审题，才会解题
很多考生对审题重视不够，往往要做的题目都没有看清楚就急于下笔，审好题是做题
的关键，审题一一定要逐字逐句的看清楚，通过审题发现题目有无易漏、易错点，只有仔
细审题才能从题目中获取更多的信息，只有挖掘题目中的隐含条件、启发解题思路，提醒
常见解题误区和自己易出现的错误，才能提高解题能力。只有认真的审题，谨慎的态度，
才能准确地揣摩出题者的意图，发现更多的信息，从而快速找到解题方向。
考前保持头脑清醒，要摒弃杂念，不断进行积极的心理暗示，创设宽松的氛围，创设
数学情境，进而酝酿数学思维，静能生慧，满怀信心的进行针对性的自我安慰，以平稳自信、积极主动的心态准备应考。这就要求我们要善于观察。
先做简单题，后做难题
从我们的心理学角度来讲，一般拿到试卷以后，心情比较紧张，此时不要急于下手解题，可以先对试题多少、分布、难易程度从头到尾浏览一遍，做题要先易后难，做到心中
有数，一般简单的题目占全卷60%，这是很重要的一部分分数，见到简单题要细心解题，
尽量使用数学语言，而且要更加严谨以振奋精神，养成良好的审题习惯鼓舞信心。
如果顺序做题既耗费时间又拿不到分，会做的题又被耽误了。所以先做简单题，多年
的经验告诉我们，当你解题不顺利时，更要冷静，静下心来，沉住气，根据自己的实际情况，果断跳过自己不会做的题目，把简单的都做完，如果我们能把这部分的分数拿到，就
已经打了胜仗，再集中精力做比较难的题，有了胜利的信心，面对住偏难的题更要有耐心，不要着急，可以先放弃，但也要注意认真对待每一道题，不能走马观花，要相信自己。到
应有的分数。最好还有善于把难题转换成简单的题目的能力。
4高中数学的解题技巧
审题技巧
审题是正确解题的关键，是对题目进行分析、综合、寻求解题思路和方法的过程，审
题过程包括明确条件与目标、分析条件与目标的联系、确定解题思路与方法三部分。1条
件的分析，一是找出题目中明确告诉的已知条件，二是发现题目的隐含条件并加以揭示。
目标的分析，主要是明确要求什么或要证明什么;把复杂的目标转化为简单的目标;把抽象
目标转化为具体的目标;把不易把握的目标转化为可把握的目标。
2分析条件与目标的联系。每个数学问题都是由若干条件与目标组成的。解题者在阅
读题目的基础上，需要找一找从条件到目标缺少些什么?或从条件顺推，或从目标分析，
或画出关联的草图并把条件与目标标在图上，找出它们的内在联系，以顺利实现解题的目标。3确定解题思路。一个题目的条件与目标之间存在着一系列必然的联系，这些联系是
由条件通向目标的桥梁。用哪些联系解题，需要根据这些联系所遵循的数学原理确定。解
题的实质就是分析这些联系与哪个数学原理相匹配。
类型题掌握，提升发散性
学习的过程也是知识的积累过程，所以，不论是哪一学科，都不能期待能一朝实现学
校目标，而数学亦是如此。所以，在日常解答某些类型数学题的时候，对其题型加以掌握，这是提高学生解题能力，培养学生解题技巧的重要途径之一，并且效果良好。
但是有一点我们必须铭记，类型习题的整理和记忆是指对其解题思路的记忆，并不是
对其解答过程的记忆。假如一位学生只是对这道题的解题过程加以记录，不去分析，不去
思考其解答方式的亮点，那么即使他整理再多的习题，也无法取得应有的效果，只会将学
习停留在表面。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
1．求 导：（1）函数 y= 2cos x x 的导数为 -------------------------------------------------------- （2）y ＝ln(x ＋2)-------------------------------------；(3)y ＝(1＋sin x )2------------------------ ---------------------- (4)y ＝3x 2＋x cos x ------------------------------------ ；(5)y ＝x 2cos(2x －π 3 )---------------------------------------- ． (6)已知y ＝ln 3x e x ，则y ′|x ＝1＝________. 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ）． (A)．5 4 (B)．5 2 (C)．5 1 (D)． 5 3 3．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点 )0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1x =-，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为 （ ） (A)．4 (B)．5 (C)．－6 (D)．不确定 34.()34([0,1])1()1 () ()0 ()1 2 f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( ) 5．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，
底面边长为（ ）． (Ａ)．3V (Ｂ)．32V (Ｃ)．34V (D)．32V 6．由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）． (A)．18 (B)． 3 38 (C)． 3 16 (D)．16 7．曲线3x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1，则=a _________ 。 8．已知抛物线2y x bx c =++在点(12)，处的切线与直线20x y ++=垂直，求函数2y x bx c =++的最值． 9.已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值.(1)讨论)1(f 和 )1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值;(2)过点)16,0(A 作曲线 )(x f y =的切线,求此切线方程.
导数 经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 。 考点二：导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22 y x = +，则(1)(1)f f '+= 。 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。 考点三：导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。 考点四：函数的单调性。 例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围。 例6. 设函数3 2 ()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。 （1）求a 、b 的值； （2）若对于任意的[03]x ∈， ，都有2 ()f x c <成立，求c 的取值范围。 点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数()x f 的极值步骤：①求导数()x f '； ②求()0'=x f 的根；③将()0'=x f 的根在数轴上标出，得出单调区间，由()x f '在各区间上取值的正负可确定并求出函数()x f 的极值。
例7. 已知a 为实数，()() ()a x x x f --=42 。求导数()x f '；（2）若()01'=-f ，求() x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值。 解析：（1）()a x ax x x f 442 3 +--=，∴ ()423'2 --=ax x x f 。 （2）()04231'=-+=-a f ，2 1= ∴a 。()()()14343'2 +-=--=∴x x x x x f 令()0'=x f ，即()()0143=+-x x ，解得1-=x 或3 4 =x ， 则()x f 和()x f '在区间[] 2,2- ()2 91= -f ，275034-=??? ??f 。所以，()x f 在区间[]2,2-上的最大值为 275034-=?? ? ??f ，最 小值为()2 9 1= -f 。 答案：（1）()423'2 --=ax x x f ；（2）最大值为275034- =?? ? ??f ，最小值为()2 91=-f 。 点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数()x f 在区间[]b a ,上的最值，要先求出函数()x f 在区间()b a ,上的极值，然后与()a f 和()b f 进行比较，从而得出函数的最大最小值。 考点七：导数的综合性问题。 例8. 设函数3 ()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线 670x y --=垂直，导函数'()f x 的最小值为12-。（1）求a ，b ，c 的值； （2）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。
（数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组]及答案 一、选择题 1．若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+ D ．2sin α 2．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（ ） 3．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的 取值范围是（ ） A ．),3[]3,(+∞--∞ B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞ D ．)3,3(- 4．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ） A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C. (0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +> 5．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示， 则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二、填空题 1．若函数()()2 f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________；
2．函数x x y sin 2+=的单调增区间为 。 3．设函数())(0)f x ??π=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则?=__________ 4．设3 2 1()252 f x x x x =- -+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的 取值范围为 。 5．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则 数列1n a n ?? ? ?+?? 的前n 项和的公式是 三、解答题 1．求函数3(1cos 2)y x =+的导数。 2．求函数y = 3．已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2 3 x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间 (2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围。 4．已知23()log x ax b f x x ++=,(0,)x ∈+∞，是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列 两个条件：（1）)(x f 在(0,1)上是减函数，在[)1,+∞上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由. （数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 一、选择题 1．A ' ' ()sin ,()sin f x x f αα==
专题8：导数（文） 经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 。 解析：()2'2 +=x x f ，所以()3211'=+=-f 答案：3 考点二：导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22 y x = +，则(1)(1)f f '+= 。 解析：因为21= k ，所以()2 1 1'=f ，由切线过点(1(1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25，所以()2 5 1=f ，所以()()31'1=+f f 答案：3 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。 解析：443'2 --=x x y ，∴点(13)-，处切线的斜率为5443-=--=k ，所以设切线方程为b x y +-=5，将点(13)-，带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为：025=-+y x 答案：025=-+y x 点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 例 4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。 解析：Θ直线过原点，则()000 ≠= x x y k 。由点()00,y x 在曲线C 上，则02030023x x x y +-=，∴ 2302 00 0+-=x x x y 。又263'2+-=x x y ，∴ 在 () 00,y x 处曲线C 的切线斜率为()263'02 00+-==x x x f k ，∴
导数练习题 1．（本题满分12分） 已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示． （I ）求d c ,的值； （II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式； （III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(3 1的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 2．（本小题满分12分） 已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间； （II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为 ,2 3 若函数]2 )('[31)(23m x f x x x g ++= 在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围． 3．（本小题满分14分） 已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若方程9 )32()(2 +-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式； （III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 4．（本小题满分12分） 已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数． 5．（本小题满分14分） 已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+． （I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值； （II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 6．（本小题满分12分） 已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（???=718.2e ）． （I ）求实数a 的值； （II ）求函数()f x 在]3,2 3[∈x 的最大值和最小值． 7．（本小题满分14分） 已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f
含参导函数零点问题的几种处理方法 方法一：直接求出，代入应用 对于导函数为二次函数问题，可以用二次函数零点的基本方法来求。 （1）因式分解求零点 例1 讨论函数)(12)2 1(31)(23R a x x a ax x f ∈+++-=的单调区间 解析：即求)('x f 的符号问题。由)2)(1(2)12()('2--=++-=x ax x a ax x f 可以因式分 方法二：猜出特值，证明唯一 对于有些复杂的函数，有些零点可能是很难用方程求解的方法求出的，这时我们可以考虑用特殊值去猜出零点，再证明该函数的单调性而验证其唯一性。 例4 讨论函数ax x a x e a x x f x ++-+ --=23)1(2131)1()(，R a ∈，的极值情况 解析：)1)(()1()()('2-+-=++-+-=x e a x a x a x e a x x f x x ，只能解出)('x f 的一个零点为a ,其它的零点就 是01=-+x e x 的根，不能解。 例5（2011高考浙江理科）设函数R a x a x x f ∈-=,ln )()(2 （Ⅰ）若e x =为)(x f y =的极值点，求实数a （Ⅱ）求实数a 的取值范围，使得对任意的],3,0(e x ∈恒有24)(e x f ≤成立（注：e 为自然对数）， 方法三：锁定区间，设而不求 对于例5，也可以直接设函数来求， ①当10≤
一、单选题 1．已知可导函数()f x 的导函数为()'f x ， ()02018f =，若对任意的x R ∈，都有()()'f x f x >，则不等式()2018x f x e <的解集为（ ） A. ()0,+∞ B. 21,e ?? +∞ ??? C. 21,e ? ?-∞ ?? ? D. (),0-∞ 2．定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()f x '，且当()()0,20x xf x f x +'><.则（ ） A. ()()2 24 f e f e > B. ()()931f f > C. ()()2 39 f e f e -< D. ()()2 24 f e f e -< 3．已知()f x 为定义在()0,+∞上的可导函数，且()()'f x xf x >恒成立，则不等式()210x f f x x ?? -> ??? 的解集为（ ） A. ()1,+∞ B. (),1-∞ C. ()2,+∞ D. (),2-∞ 二、解答题 4．已知函数()()2 ln f x ax x a R =-+∈ . （1）讨论()f x 的单调性； （2）若存在()()1,,x f x a ∈+∞>-，求a 的取值范围.
5．设函数()() 222ln f x x ax x x x =-++-． （1）当2a =时，讨论函数()f x 的单调性； （2）若()0,x ∈+∞时， ()0f x >恒成立，求整数a 的最小值． 6．已知函数()()()1ln ,a f x x a x g x a R x +=-=-∈. 若1a =，求函数()f x 的极值； 设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间； 若在区间[] ()1, 2.71828e e =?上不存在．．．0x ，使得()()00f x g x <成立，求实数a 的取值范围.
导数 1.导数公式：'0C = '1()n n x nx -= '(sin )cos x x = '(cos )sin x x =- '()x x e e = '()ln x x a a a = '1(ln )x x = '1(log )ln a x x a = 2.运算法则：'''()u v u v +=+ '''()u v u v -=- '''()uv u v uv =+ '' '2 ()u u v uv v v -= 3.复合函数的求导法则：（整体代换） 例如：已知2()3sin (2)3f x x π =+，求'()f x 。 4.导数的物理意义：位移的导数是速度，速度的导数是加速度。 5.导数的几何意义：导数就是切线斜率。 6.用导数求单调区间、极值、最值、零点个数：对于给定区间[,]a b 内，若'()0f x >，则()f x 在[,]a b 内是增函数；若'()0f x <，则()f x 在[,]a b 内是减函数。 【题型一】求函数的导数 1(1)ln x y x = (2)2sin(3)4y x π =- (3)2(1)x y e x =-
(4)3235y x x =-- (5)231 x x y x -=+ (6)221 1()y x x x x =++ 2.已知物体的运动方程为22 3s t t =+（t 是时间，s 是位移），则物体在 时刻2t =时的速度为 。 【题型三】导数与切线方程（导数的几何意义的应用） 3.曲线32y x x =+-在点(2,8)A 处的切线方程是 。 4.若(1,)B m 是32y x x =+-上的点，则曲线在点B 处的切线方程是 。 5.若32y x x =+-在P 处的切线平行于直线71y x =+，则点P 的坐标是 。 6.若23ln 4 x y x =-的一条切线垂直于直线20x y m +-=，则切点坐标为 。 7.函数12+=ax y 的图象与直线x y =相切, 则a = 。 8.已知曲线11 x y x += -在(3,2)处的切线与0ax y m ++=垂直，则a = 。 9.已知直线y x m =+与曲线321y x x =-+相切，求切点P 的坐标及参数m 的值。
一、选择题（每小题5分，共70分．每小题只有一项是符合要求的） 1．设函数()y f x =可导，则0(1)(1) lim 3x f x f x ?→+?-?等于（ ）． A ．'(1)f B ．3'(1)f C ．1 '(1)3 f D ．以上都不对 ２．已知物体的运动方程是4321 4164 S t t t =-+（t 表示时间，S 表示位移），则瞬时速度 为0的时刻是（ ）． A ．0秒、2秒或4秒 B ．0秒、2秒或16秒 C ．2秒、8秒或16秒 D ．0秒、4秒或8秒 ３．若曲线21y x =-与31y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x 等于（ ）． A B ． C ．23 D ．23 或0 ４．若点P 在曲线323 3(34 y x x x =-++上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）． A ．[0,]π B ．2[0,)[,)23 ππ πU C ．2[,)3ππ D ．2[0,)(,)223 πππU ５．设'()f x 是函数()f x 的导数，'()y f x =的图像如图 所示，则()y f x =的图像最有可能的是（ 3 x )． 3, C ．(3,)-+∞ D ．(-∞７．已知函数32 ()f x x px qx =--的图像与x 轴切于点(1,0)，则()f x 的极大值、极小 值分别为（ ）． A ．427 ，0 B ．0，427 C ．427- ，0 D ．0，4 27 - 8．由直线21=x ，2=x ，曲线x y 1 =及x 轴所围图形的面积是（ ）．
A. 4 15 B. 4 17 C. 2ln 2 1 D. 2ln 2 9．函数3 ()33f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值，则（ ）． A ．01b << B ．1b < C ．0b > D ．1 2 b < 10．21y ax =+的图像与直线y x =相切，则a 的值为（ ）． A ．18 B ．14 C ．1 2 D ．1 11. 已知函数()x x x f cos sin +=，则=)4 ('π f （ ） A. 2 B.0 C. 22 D. 2- 12．函数3 ()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值是（ ） A. 32 B. 16 C. 24 D. 17 13．已知 （m 为常数）在 上有最大值3，那么此函数在上的最小值为 （ ） A ． B ． C ． D ． 14. dx e e x x ? -+1 )(= （ ） A ．e e 1 + B ．2e C ．e 2 D ．e e 1-二、填空题（每小题 5分,共30分） 15．由定积分的几何意义可知? --2 2 2 4x =_________． 16．函数 )0(ln )(>=x x x x f 的单调递增区间是 ． 17．已知函数()ln f x ax x =-，若()1f x >在区间(1,)+∞内恒成立，则实数a 的范围为______________． 18．设 是偶函数，若曲线 在点 处的切线的斜率为1，则该曲线在 处的切线的斜率为_________． 19．已知曲线交于点P ，过P 点的两条切线与x 轴分别交于A ，B 两 点，则△ABP 的面积为 ；
高二数学导数单元练习 一、选择题 1. 一个物体的运动方程为S=1+t+t^2其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A 7米/秒 B 6米/秒 C 5米/秒 D 8米/秒 2. 已知函数f (x )=ax 2 ＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为（ ） A.1 B.2 C.－1 D. 0 3 ()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则 ()f x 与()g x 满足（ ） A ()f x =2()g x B ()f x -()g x 为常数函数 C ()f x =()0g x = D ()f x +()g x 为常数函数 4. 函数3 y x x =+的递增区间是（ ） A )1,(-∞ B )1,1(- C ),(+∞-∞ D ),1(+∞ 5.若函数f(x)在区间（a ，b ）内函数的导数为正，且f(b)≤0，则函数f(x)在（a ， b ）内有（ ） A. f(x) 〉0 B.f(x)〈 0 C.f(x) = 0 D.无法确定 6.0'()f x =0是可导函数y =f(x)在点x =x 0处有极值的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件 7．曲线3 ()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ） A (1,0) B (2,8) C (1,0)和(1,4)-- D (2,8)和(1,4)-- 8．函数3 13y x x =+- 有 （ ） A.极小值-1，极大值1 B. 极小值-2，极大值3 C.极小值-1，极大值3 D. 极小值-2，极大值2 9 对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足' (1)()0x f x -≥，则必有（ ） A (0)(2)2(1)f f f +< B (0)(2)2(1)f f f +≤ C (0)(2)2(1)f f f +≥ D (0)(2)2(1)f f f +> 二、填空题 11 ． 函 数 32y x x x =--的单调区间为
高中数学导数难题解题技巧 1 1.导数在判断函数的单调性、最值中的应用 利用导数来求函数的最值的一般步骤是：1先根据求导公式对函数求出函数的导数;2 解出令函数的导数等于0的自变量;3从导数性质得出函数的单调区间;4通过定义域从单 调区间中求出函数最值。 2.导数在函数极值中的应用 利用导数的知识来求函数极值是高中数学问题比较常见的类型。利用导数求函数极值 的一般步骤是：1首先根据求导法则求出函数的导数;2令函数的导数等于0，从而解出导 函数的零点;3从导函数的零点个数来分区间讨论，得到函数的单调区间;4根据极值点的 定义来判断函数的极值点，最后再求出函数的极值。 3.导数在求参数的取值范围时的应用 利用导数求函数中的某些参数的取值范围，成为近年来高考的热点。在一般函数含参 数的题中，通过运用导数来化简函数，可以更快速地求出参数的取值范围。 2高中数学解题中导数的妙用 导数知识在函数解题中的妙用 函数知识是高中数学的重点内容，其中包括极值、图像、奇偶性、单调性等方面的分析，具有代表性的题型就是极值的计算和单调性的分析，按照普通的解题过程是通过图像 来分析，可是对于较难的函数来说，制作图像不仅浪费时间，而且极容易出错，而在函数 解题中应用导数简直就是手到擒来。 例如：函数fx=x3+3x2+9x+a，分析fx的单调性。这是高中数学中常见的三次函数， 在对这道题目进行单调性分析时，很多学生根据思维定式会采用常规的手法画图去分析单 调区间，但由于未知数a的存在而遇到困难。如果考虑用导数的相关知识解决这一问题，解：f’x=-3x2+6x+9，令f’x>0，那么解得x<-1或者x>3，也就是说函数在-∞，-1，3，+∞这个单调区间上单调递减，这样就能非常容易的判断函数的单调性。 导数知识在方程求根解题中的妙用 导数知识在方程求根中的应用属于一项重点内容，在平时的数学练习中以及高考的考 察中均曾以不同的难度形式出现过。导数知识能针对方程求根，根据导函数的求解能判断 原函数的根的个数。在解这一类问题的时候，教师要善于引导学生利用导函数与X轴的交 点个数来判断方程根的个数。
高二数学导数专题训练 一、选择题 1.一个物体的运动方程为S=1+t+2t 其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（） A 7米/秒 B 6米/秒 C 5米/秒 D 8米/秒 2.已知函数f (x )=ax 2＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为（） A.1 B. 2 C.－1 D.0 3()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则 ()f x 与()g x 满足（） A ()f x =2()g x B ()f x -()g x 为常数函数 C ()f x =()0g x = D ()f x +()g x 为常数函数 4.函数3y x x =+的递增区间是（） A )1,(-∞ B )1,1(- C ),(+∞-∞ D ),1(+∞ 5.若函数f(x)在区间（a ，b ）内函数的导数为正，且f(b)≤0，则函数f(x)在（a ，b ）内有（） A.f(x)〉0 B.f(x)〈0 C.f(x)=0 D.无法确定 6.0'()f x =0是可导函数y =f(x)在点x =x 0处有极值的() A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．非充分非必要条件 7．曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（） A (1,0)B (2,8) C (1,0)和(1,4)-- D (2,8)和(1,4)-- 8．函数313y x x =+-有（） A.极小值-1，极大值1 B.极小值-2，极大值3 C.极小值-1，极大值3 D.极小值-2，极大值2 9.对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（） A (0)(2)2(1)f f f +
高中数学导数尖子生辅导（填选压轴） 一．选择题（共30小题） 1．（2013?文昌模拟）如图是f（x）=x3+bx2+cx+d的图象，则x12+x22的值是（） ．C D． ，，即可求得结论． ， ． 2．（2013?乐山二模）定义方程f（x）=f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，若函数g（x）=x，h（x）3 = ， ， ≤
3．（2013?山东）抛物线C1：的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象．C D． ，得 ，得， 则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为 处的切线的斜率为 由题意可知，得 ． ． 4．（2013?安徽）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f（x1）=x1＜x2，则关于x的方程3（f（x））2
．解得． ，∴， ．．．D．解：∵
， x）单调递增； x=是函数）的极大值点，则，即 ，即 ∵ = ﹣（ 6．（2013?辽宁）设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x＞0时，f（x）（） ）满足 ∴ 时，dx ∴ ∴ ，∴
∴ 7．（2013?安徽）若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x） 8．（2014?海口二模）设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有恒2 首先根据商函数求导法则，把[ 在（ 时，有恒成立，即[
在（ 9．（2014?重庆三模）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f′′（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数 g（x）=，则g（）+=（） ，解得 ）的对称中心为 ∴， ）=2012 10．（2014?上海二模）已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有 ＞ ，都有＞
高二上学期《导数及其应用》 单元测试（数学文） （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，共50分，只有一个答案正确） 1．函数()2 2)(x x f π=的导数是（ ） (A) x x f π4)(=' (B) x x f 2 4)(π=' (C) x x f 28)(π=' (D) x x f π16)(=' 2．函数x e x x f -?=)(的一个单调递增区间是（ ） (A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,0 3．已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时， ()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ） A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>， D ．()0()0f x g x ''<<， 4．若函数b bx x x f 33)(3 +-=在()1,0内有极小值，则（ ） （A ） 10<b （D ） 2 1< b 5．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．曲线x y e =在点2 (2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ．2 94 e Ｂ．2 2e Ｃ．2 e Ｄ．2 2 e
7．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ） 8．已知二次函数2 ()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有 ()0f x ≥，则 (1) '(0) f f 的最小值为（ ） A ．3 B ． 52 C ．2 D ．32 9．设2 :()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 10． 函数)(x f 的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ） （A ）)2()3()3()2(0/ / f f f f -<<< y （B ） )2()2()3()3(0/ / f f f f <-<< （C ）)2()3()2()3(0/ / f f f f -<<< （D ）)3()2()2()3(0/ / f f f f <<-< O 1 2 3 4 x 二．填空题（本大题共4小题，共20分） 11．函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是＿＿＿＿．
欢迎阅读 5.导函数——不等式 1. 已知函数 ()e x f x kx x =-∈R ， （Ⅰ）若e k =，试确定函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）若0k >，且对于任意x ∈R ， ()0 f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围； （Ⅲ）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：1 2 (1)(2) ()(e 2)()n n F F F n n +*>+∈N ． 分析：本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力。 解：（Ⅰ）由e k =得()e e x f x x =-，所以 ()e e x f x '=-． 由()0f x '>得1x >，故()f x 的单调递增区间是(1)+∞，， 由()0f x '<得1x <，故()f x 的单调递减区间是(1)-∞， ． （Ⅱ）由()() f x f x -=可知 () f x 是偶函数． 于是 ()0 f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立．由()e 0x f x k '=-=得 ln x k =． ①当(01]k ∈，时，()e 10(0)x f x k k x '=->->≥．此时()f x 在[0)+∞， 上单调递增． 故()(0)10f x f =>≥，符合题意． ②当(1)k ∈+∞， 时，ln 0k >．当x 变化时()()f x f x '，的变化情况如下表： 单调递减 极小值 单调递增 由此可得，在[0)+∞， 上，()(ln )ln f x f k k k k =-≥． 依题意，ln 0k k k ->，又11e k k >∴<<，．综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<． （Ⅲ） ()()()e e x x F x f x f x -=+-=+， 12()()F x F x ∴=12121212121212()()e e e e e e 2e 2 x x x x x x x x x x x x x x +-+--++-+++++>++>+， 1(1)()e 2n F F n +∴>+，
5.导函数——不等式 1. 已知函数 ()e x f x kx x =-∈R ， （Ⅰ）若e k =，试确定函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）若0k >，且对于任意x ∈R ， ()0 f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围； （Ⅲ）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：1 2 (1)(2)()(e 2)()n n F F F n n +*>+∈N L ． 分析：本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力。 解：（Ⅰ）由e k =得()e e x f x x =-，所以 ()e e x f x '=-． 由()0f x '>得1x >，故()f x 的单调递增区间是(1)+∞，， 由()0f x '<得1x <，故()f x 的单调递减区间是(1)-∞， ． （Ⅱ）由()() f x f x -=可知 () f x 是偶函数． 于是 ()0 f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立．由 ()e 0x f x k '=-=得ln x k =． ①当(01]k ∈，时， ()e 10(0)x f x k k x '=->->≥．此时()f x 在[0)+∞，上单调递增． 故()(0)10f x f =>≥，符合题意． ②当(1)k ∈+∞， 时，ln 0k >．当x 变化时()()f x f x '，的变化情况如下表： 由此可得，在[0)+∞， 上，()(ln )ln f x f k k k k =-≥． 依题意，ln 0k k k ->，又1 1e k k >∴<<，．综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<． （Ⅲ）()()()e e x x F x f x f x -=+-=+Q ， 12()()F x F x ∴=12121212121212()()e e e e e e 2e 2 x x x x x x x x x x x x x x +-+--++-+++++>++>+， 1(1)()e 2n F F n +∴>+，
高中数学压轴题系列——导数专题——隐零点问题 1.（2012?新课标）设函数 f （x） =e x﹣ ax﹣2． （Ⅰ）求 f （x）的单调区间； （Ⅱ）若 a=1， k 为整数，且当 x＞ 0 时，（x﹣k）f ′（x）+x+1＞0，求 k 的最大 值．解：（I）函数 f（ x）=e x﹣ax﹣2 的定义域是 R，f ′（x）=e x﹣a， 若a≤0，则 f ′（x）=e x﹣a≥0，所以函数 f（x）=e x﹣ax﹣ 2 在（﹣∞， +∞）上单调递增． 若a＞0，则当 x∈（﹣∞， lna）时， f ′（ x） =e x﹣ a＜ 0； 当 x∈（lna，+∞）时， f ′（x）=e x﹣a＞0； 所以， f（ x）在（﹣∞， lna）单调递减，在（ lna ，+∞）上单调递 增．（II）由于 a=1，所以，（x﹣k） f ′（ x）+x+1=（x﹣k）（e x﹣1） +x+1 故当 x＞ 0 时，（x﹣k） f ′（ x）+x+1＞0 等价于 k＜（x＞0）① 令 g（x）=，则g′（x）= 由（ I）知，当 a=1 时，函数 h（x）=e x﹣x﹣2 在（ 0，+∞）上单调递增， 而 h（ 1）＜ 0， h（2）＞ 0， 所以 h（x） =e x﹣ x﹣ 2 在（ 0，+∞）上存在唯一的零点， 故 g′（ x）在（ 0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为α，则有α∈（1，2） 当 x∈（0，α）时， g′（x）＜ 0；当 x∈（α，+∞）时， g′（x）＞ 0； 所以 g（ x）在（ 0，+∞）上的最小值为g（α）． 又由 g′（α）=0，可得 eα=α+2 所以 g（α）=α+1∈（2， 3） 由于①式等价于k＜g（α），故整数 k 的最大值为 2． 2.（2013?新课标Ⅱ）已知函数 f（x）=e x﹣ln（ x+m） （Ι）设 x=0 是 f （x）的极值点，求 m，并讨论 f（ x）的单调性； （Ⅱ）当 m ≤2 时，证明 f （x）＞ 0． 【解答】（Ⅰ）解：∵，x=0 是 f（x）的极值点，∴，解得 m=1．所以函数 f （x）=e x﹣ln（x+1），其定义域为（﹣ 1，+∞）． ∵． 设 g（x）=e x（x+1）﹣ 1，则 g′（ x） =e x（ x+1）+e x＞0，所以 g（x）在（﹣ 1，+∞）上为增函数，
5.导函数——不等式 1.已知函数 ()e x f x kx x =-∈R ， （Ⅰ）若e k =，试确定函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）若0k >，且对于任意x ∈R ， ()0 f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围； （Ⅲ）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：1 2 (1)(2)()(e 2)()n n F F F n n +*>+∈N L ． 分析：本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力。 解：（Ⅰ）由e k =得()e e x f x x =-，所以 ()e e x f x '=-． 由()0f x '>得1x >，故()f x 的单调递增区间是(1)+∞，， 由()0f x '<得1x <，故()f x 的单调递减区间是(1)-∞， ． （Ⅱ）由()() f x f x -=可知 () f x 是偶函数． 于是 ()0 f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立．由 ()e 0x f x k '=-=得ln x k =． ①当(01]k ∈，时， ()e 10(0)x f x k k x '=->->≥．此时()f x 在[0)+∞，上单调递增． 故()(0)10f x f =>≥，符合题意． ②当(1)k ∈+∞， 时，ln 0k >．当x 变化时()()f x f x '，的变化情况如下表： 由此可得，在[0)+∞， 上，()(ln )ln f x f k k k k =-≥． 依题意，ln 0k k k ->，又1 1e k k >∴<<，．综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<． （Ⅲ）()()()e e x x F x f x f x -=+-=+Q ， 12()()F x F x ∴=12121212121212()()e e e e e e 2e 2 x x x x x x x x x x x x x x +-+--++-+++++>++>+，