19.1.1函数的概念
一、学习目标.
1.理解函数的概念，明白函数实质上是刻画变化过程中两个变量之间的对应关系，当一个变量取一个确定的值，另一个变量有唯一确定的值与其相对应。
2.知道什么是自变量，什么是函数值，明白函数值随自变量的变化而变化的关系，给了自变量的值，根据函数解析式会求函数值。
3.理解函数的三种表达方式：解析式法、图像法、列表法。
二、重点难点:
重点：函数概念的形成与理解。
难道：函数概念的本质——对应关系的理解。
三、学情分析：
函数是数学最重要的基本概念之一，它刻画了现实生活中量与量之间的“特殊对应关系”。通过第一节课的学习，学生已经明白变量与常量的意义，对变化过程中量与量相互依存和变化的关系，已经有所体会。学生对于两个变量之间的对应关系，特别一个变量随另一个变量变化而变化的规律，认识还不够清晰，而这又是形成函数概念的关键。因此，本节课要注意以下几点：
1.课前要再次呈现上节课研究的4个变化过程的问题，引导学生建立量与量之间变化规律的关系式。让学生多计算，多思考，体会一个量变化时，另一个变量有唯一确定的值与其相对应。
2在理解函数的表格法和图像法时，引导学生细心观察图像和表格，弄清问题中x和y的含义，用变化的观点分析x和y的对应关系。
3.在概念形成过程中，鼓励孩子大胆给概念下定义，为学生更好地理解函数的概念奠定思维的基础。在解读函数的概念时，要给学生充足的时间思考、总结，使其真正理解函数中，当x 取一个有意义的值时，y的唯一确定性。
4.运用具体实例，建立函数模型，进一步帮助学生理解函数的概念。
四、教学过程.
活动一、创设情境.（上节课4个问题的回顾探讨）
活动二、再设情境.（书上73页两个思考问题探讨）
活动三、形成概念.
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值
与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。
问题1：在这个定义中，前提条件是什么？对应关系是什么？如何理解“x的每一个确定的值”中的“确定”？
x的取值有限制范围吗？
问题2：如何理解“对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应”这句话？请举例说明.
问题3：函数值由谁来确定？怎样求函数值？
问题4：函数有几种表达方法？
活动四：辨析概念.
问题2：下列式子中的y是x的函数吗？为什么？若y不是x的函数，怎样改变，才能使y是x的函数？
问题3：变量x与y的对应关系如下表所示：
问：变量y是x的函数吗？为什么？若要使y是x的函数，可以怎样改动表格？
问题4：下列曲线中，表示y不是x的函数是（），怎样改动这条曲线，才能使y是x的函数？
活动五：运用概念.
例1：汽车油箱有汽油50 L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：km）的增加而减少，平均油耗为0.1L/km.
（1）写出表示y与x的函数关系的式子；
（2）指出自变量x的取值范围；
（3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少汽油？
活动六：课堂小结与作业布置
课后作业：升华概念.
珠海市白天乘坐出租车收费标准如下：乘坐里程不超过3公里，一律收费10元；超过3公里时，超过3公里的部分，每公里加收2.4元；设乘坐出租车的里程为x（公里）（x为整数），相对应的收费为y（元）.
（1）请分别写出当0＜x≤3和x＞3时，表示y与x的关系式，并直接写出当x=2和x=6时对应的y值。
（2）当0＜x≤3和x＞3时，y都是x的函数吗？为什么？
函数的概念学案 学习目标 1、通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用 2、了解构成函数的要素，进一步巩固初中常见函数（一次函数、二次函数、反比例函数）的图像、定义域、值域 3、理解区间的概念，能准确地利用区间表示数集 4、通过从实际问题中抽象概括函数概念的活动，培养抽象概括能力 教学重点体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，正确理解函数的概念 教学难点函数的概念、符号y=f(x)的理解、 教学流程 一、问题1、在初中，甚至在小学我们就接触过函数，在实际生产生活中，函数也发挥着重要的作用，那么，请大家举出以前学习过的几个具体的函数 问题2、请大家用自己的语言来描述一下函数 二、结合刚才的问题，阅读课本实例（1）、（2）、（3），进一步体会函数的概念问题3、在实例（1）、（2）中是怎样描述变量之间的关系的？你能仿照描述一下实例（3）中恩格尔系数和时间（年）之间的关系吗？ 问题4、分析、归纳上述三个实例，对变量之间的关系的描述有什么共同点呢？ 函数的概念 一般地，设、是，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的一个数，在集合中都有和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作其中叫做自变量，的取值范围叫做函数的；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的 问题5、在实例（2）中，按照图中的曲线，从集合B到集合A能不能构成一个函数呢？请说明理由 练习1、 1、在下列从集合到集合的对应关系中，不可以确定是的函数的是（）（1），对应关系 （2），对应关系 （3），对应关系 （4），对应关系 2、下图中，可表示函数的图像只能是（） 三、区间的概念
3.1.1 函数的概念导学案 【使用说明与学法指导】 预习教材第 44、45 页，对比初中所学的函数概念，找出本节新学到函数概念的相同与不同之处，并对新学到的定义与规定仔细分析，并且熟记与掌握。 【学习目标】 1、理解函数的概念； 2、理解函数的定义域和值域。 3、理解函数的两个要素。 4、了解表示函数的一些记号。 预习案 一、知识回顾 初中阶段，我们学到的函数概念： ________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ____________。 二、函数概念 1、学习了集合的定义之后，对函数做出了如下定义： ________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________
________________________________________________________________________ 。 2、新旧概念相同与不同之处 相同之处：两个概念都提到：对于每一个x，都有 。 不同之处：（1）、新的概念提到，对于每一个x，按照 ______________________,y都有唯一确定的值与之对应。而旧的概念中并没有提到对应法则。（2）、新的概念中提到了自变量 x 的取值范围，也即函数的____________。（3）、函数的一种新记法 _____________。 3、函数值、值域 函数值的定义： _________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ______。 值域的定义： 。 4、初中学了哪几种常见函数，列出来，并举例说明。 5、与： （1）、它们代表同一个函数吗？ （2）、当； . 上面两行意思一样吗？那种记法更简单？
第6课时函数的概念 1.理解函数的概念,了解构成函数的三要素. 2.能正确使用区间表示数集. 3.会求一些简单函数的定义域、函数值. 我国著名数学家华罗庚说过这样一句话:从具体到抽象是数学发展的一条重要大道.我们来看三个现象:①清晨,太阳从东方冉冉升起;②随着二氧化碳的大量排放,地球正在逐渐变暖;③中国的国内生产总值在逐年增长. 问题1:在初中,我们学习过函数,函数是刻画和描述两个变量之间依赖关系的数学模型,上述三个事例,向我们阐述了一个事实,世界时刻都是变化的,那么变化的本质是什么呢? 从数学的角度看,我们发现在这些变化着的现象中,都存在着两个变量,当一个变量变化时,另一个变量随之发生变化.若当第一个变量确定时,另一个变量也随之确定,则它们之间具有. 问题2:设A、B是非空数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A 中的数x,在集合B中都有的数y和它对应,那么就称f:A→B 为从集合A到集合B的一个函数.记作.其中x叫作,x的取值集合叫作函数的;与x的值相对应的y值叫作,函数值的集合叫作函数的. 问题3:在研究函数时常会用到区间的概念,区间的表示如何规定?
注:实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”,“+∞”读作“正无穷大”,“-∞”读作“负无穷大”. 问题4:(1)函数f:A→B应该满足什么样的对应关系?一个函数的构成要素有几部分? (2)两个函数的定义域和对应关系分别相同,值域相同吗?由此你对函数的三要素有什么新的认识? (1)应满足:①集合A、B都是;②对于数集A中的每一个元素x,在对应关系f:A→B下,在数集B中都有的元素y与之对应. 一个函数的构成要素:、和,简称为函数的三要素. (2)如果两个函数的和分别相同,那么它们的值域一定相同.由此可以认识到:只要两个函数的和分别相同,那么这两个函数就相等. 1.下列四个函数:(1)y=x+1;(2)y=x3;(3)y=x2-1;(4)y=. 其中定义域相同的函数有(). A.(1)(2)(3) B.(1)(2) C.(2)(3) D.(2)(3)(4)
第1课时 导数的概念与几何意义 1.理解导数的概念,能利用导数的定义求函数的导数. 2.理解函数在某点处的导数的几何意义是该函数图像在该点的切线的斜率,并利用其几何意义解决有关的问题. 3.掌握应用导数几何意义求解曲线切线方程的方法. 4.在学习过程中感受逼近的思想方法,了解“以直代曲”的数学思想方法. 如图,当点P n (x n ,f (x n ))(n=1,2,3,4)沿着曲线f (x )趋近点P (x 0,f (x 0))时,割线PP n 的变化趋势是什么? 问题1:根据创设的情境,割线PP n 的变化趋势是 . 问题2:导数的概念与求法: 我们将函数f (x )在x=x 0处的瞬时变化率称为f (x )在x=x 0处的导数, lim Δx→0 f (x 0+Δx )?f (x 0)Δx 即有f'(x 0)==,所以求导数的步骤为:lim Δx→0Δy Δx lim Δx→0f (x 0+Δx )?f (x 0)Δx (1)求函数的增量:Δy=f (x 0+Δx )-f (x 0); (2)算比值:=; Δy Δx f (x 0+Δx )?f (x 0)Δx (3)求极限:y'=. | x =x 0lim Δx→0Δy Δx 问题3:函数y=f (x )在x=x 0处的导数,就是曲线y=f (x )在x=x 0处的切线的斜率k=f'(x 0)= 相应的切线方程是: . 问题4:曲线上每一点处的切线斜率反映了什么?直线与曲线有且只有一个公共点时,直
线是曲线的切线吗? 它反映的是函数的 情况,体现的是数形结合,以曲代直的思想. 不一定是,有些直线与曲线相交,但只有一个公共点.相反,有些切线与曲线的交点 . 1.下列说法正确的是( ). A.曲线的切线和曲线有且只有一个交点 B.过曲线上的一点作曲线的切线,这点一定是切点 C.若f'(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处无切线 D.若y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f'(x0)不一定存在 2.如果曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为x+2y-3=0,那么( ). A.f'(x0)>0 B.f'(x0)<0 C.f'(x0)=0 D.f'(x0)不存在 3.设P0为曲线f(x)=x3+x-2上的点,且曲线在P0处的切线平行于直线y=4x-1,则P0点的坐标 为 . 4.函数y=3x+2上有一点(x0,y0),求该点处的导数f'(x0). 三，课后反思：
3.1.1 函数的概念 1.通过丰富的买例进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型; 2.用集合与对应的思想理解函数的概念; 3.理解函数的三要素及函数符号的深刻含义; 4.会求函数的定义域。 1.教学重点：函数的概念，函数的三要素； 2.教学难点：函数的概念及符号()y f x =的理解。 一、函数的概念：设A 、B 是 的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的 ，在集合B 中都有 的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：y=f(x) x ∈A ． x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的 ；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{ f(x)| x ∈A }叫做函数的 . 二、区间 三、函数的三要素： 、 、 。 四、判断函数相等的方法： 、 。 一、复习回顾，温故知新 1. 初中学习的函数的定义是什么？ 定义 名称 符号 数轴表示 {|}x a x b ≤≤ 闭区间 [a,b] {|}x a x b << 开区间 (a,b) {|}x a x b ≤< 半开半闭区间 [a,b) {|}x a x b <≤ 半开半闭区间 (a,b] {|}x x a ≥ {|}x x a > {|}x x b < {|}x x b ≤
2.回顾初中学过哪些函数？ 二、探索新知 探究一 函数的概念 问题1. 某“复兴号”高速列车到350km/h 后保持匀速运行半小时。这段时间内，列车行进的路程S （单位：km ）与运行时间t （单位：h ）的关系可以表示为 S=350t 。 1.思考：根据对应关系S=350t ，这趟列车加速到350km/h 后，运行1h 就前进了350km ，这个说法正确吗？ 问题2 某电气维修告诉要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天。如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w （单位：元）是他工作天数d 的函数吗？ 2.思考：在问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？ 问题3 如图，是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图。如何根据该图确定这一天内任一时刻th 的空气质量指数的值I ？你认为这里的I 是t 的函数吗？ 问 题 4 国际上常用恩 格尔系数 ）总支出金额 食物支出金额 r r (
第8课 函数的概念和图象(1) 【学习目标】： 班级 姓名 学号 1、理解函数的概念及函数的三要素； 2、会求一些简单函数的定义域. 【复习回顾】： １．初中函数的定义？ ２．初中学过的具体函数有哪些？图象是什么？ 【问题情境】： 下面观察实例：课本21P 中的三个问题，如何用集合语言来简述三个问题的共同特点？ 【建构数学】： 1．函数的定义： 2．定义域： 3．值域： 练习1：求下列函数的定义域：（1）21)(-=x x f ； （2）2)(+=x x f ． 练习2：判断下列对应是否是函数： （１）R x x x x ∈≠→,0,2； （２）R y N x x y y x ∈∈=→,,,2这里 【应用数学】： 例１．下列各组中的两个函数是否为同一个函数？为什么？ （1）2x y =与2)(x y =； （2）||)(x x f =与2)(t t g =；（3）1)(2-=x x f 与11)(-+= x x x g ； 思考：函数y=f （x ），x ∈A 与函数z=f （t ），t ∈A 是否为同一函数？ 练习1：下列函数中哪个与函数y=x 是同一个函数？ （1）y=)x (2； （2）y=x x 2 ； （3）y=33x ； （4）y=x 2； （5）y=x ，x ∈Z ． 例２．求下列函数的定义域：
（１）8|3|152)(2-+--=x x x x f ； （２）x y 1 11 11++=； （3）f （x ）=x |x |)1x (0 -+． 思考：求函数定义域的主要依据有哪些？ 例３．已知f （x ）=|x-1|-2，x ∈{-2，-1，0，1，2，}，求f[f(-1)]；f[f(1)] 练习2： 已知函数2()352f x x x =-+． 则(f = ；()f a = ； (1)f a += ；(1)f x += ；[(1)]f f = ；[()]f f x = ． 【反思小结】： 【课后研学】： 1.已知函数)x (f y =的定义域为]4,2[-，求 )2x (f -的定义域. 变式:若)1(+=x f y 的定义域为[0,3],求)(x f 的定义域 2：已知函数182++= bx ax y 的定义域为]6,3[-，则a = ；b = ． 3 ：已知函数y 的定义域为R ，则a 的取值范围是 .
高中数学- 函数的概念（1）导学案 学习目标 1. 通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用； 2. 了解构成函数的要素； 3. 能够正确使用“区间”的符号表示某些集合. 学习过程 一、课前准备 （预习教材P15~ P 17，找出疑惑之处） 复习1：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？ 复习2：（初中对函数的定义）在一个变化过程中，有两个变量x 和y，对于x 的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量. 表示方法有：解析法、列表法、图象法. 二、新课导学 学习探究 探究任务一：函数模型思想及函数概念问题：研究下面三个实例： A. 一枚炮弹发射，经26 秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h（米）与时间t （秒）的变化规律是h 130t 5t2. B. 近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线
C. 国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低. “八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表. 讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？三个实例有什么共同点？新知：函数定义. 设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数 f （x）和它对应，那么称f: A B 为从集合A到集合B的一个函数（function ），记作：y f（x）, x A. 其中，x 叫自变量，x 的取值范围 A 叫作定义域（domain），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{f（x）|x A} 叫值域（range ）. 试试： 函数y x2 2x 3, x { 1,0,1,2} 值域是. 反思： （1）值域与 B 的关系是；构成函数的三要素是、、 （2）常见函数的定义域与值域.
1.2 《函数的概念及表示》导学案 【学习目标】 （1）通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函·数的三要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合. （2）理解函数的概念，并且会灵活运用函数的概念解题. （3）明确函数的三种表示方法. （4）会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数. （5）通过具体实例，了解简单的分段函数及应用. 【导入新课】 回顾问题导入： 1．讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？2．回顾初中函数的定义： 在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量. 新授课阶段 （一）函数的概念： 思考1：（课本P 15）给出三个实例： A ．一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h （米） 与时间t （秒）的变化规律是21305h t t =-. B ．近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空 臭氧层空洞面积的变化情况.（见课本P 15图） C ．国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的 高低.“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表.（见课本P 16表） 讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着 怎样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？ 归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为： ，记作： :f A B → 1. 函数的定义： 设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意
2019-2020学年高中数学 2.1.1 函数的概念导学案苏教版必修1 一、学习目标 1.理解函数的概念； 2.了解构成函数的三要素：定义域、对应法则，值域； 3.会求一些简单函数的定义域并能计算它的值域。 二、课前预习 1．回顾我们已经学过的函数，体会中间的对应关系。 2．通过生活实例，体会函数这一重要数学模型 ⑴估计人口数量变化趋势 ⑵物体自由落体运动 ⑶某市一天24小时的气温变化 3. 函数的概念（运用集合的语言） 注意： （1）两个非空集合；对应法则；对于A 中的任意一个元素x ，B 中总有一个元素y 与之 对应。 （2）函数的定义，定义域，值域（值域C 与B 的关系）： （3）说明：给定函数时，要指明函数的定义域，对于用解析式表示的函数，如果没有 指明定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合。 三、课堂研讨 例1. 判断下列对应是否为函数 ⑴R x x x ∈→,2 ⑵y x →，R y N x x y ∈∈=,,2 例2、已知函数253)(2 +-=x x x f ，求)1(),(),2(),3(+-a f a f f f 。
例3、求下列函数的定义域 ⑴1)(-= x x f ⑵1 1)(+= x x g 例4、下列函数中哪一个与函数x y =是同一个函数？ ⑴2 )(x y = ⑵x x y 2 = ⑶33x y = ⑷2x y = 【学后反思】
课堂检测 1、函数)(x f y =的图象与直线2=x 的交点的个数是 2、判断下列对应是否为集合A 到集合B 的函数 ⑴、A 为正实数集，R B =，对于任意的A x ∈，x x →的算术平方根； ⑵、}5,4,3,2,1{=A ，}8,6,4,2,0{=B ，对于任意的A x ∈，x x 2→。 ⑶、R x x x ∈-→,2 1 ； ⑷、y x →，其中R y R x x y ∈∈=,|,|； 4、若2 )(x x x f -=，求)()1(),2 1(),1(),0(n f n f f f f -+。 5、求下列函数的定义域 （1）1 1 )(2-=x x f （2）x x x f 11)(+ += 课后作业 1、判断下列对应f 是否为从集合A 到集合B 的函数(是的打√，不是的打×，并注明原因) ⑴、{}()123,31,621,1,3,6,23,1,21=?? ? ??-=-=?? ? ??--=??????=f f f B A （ ） ⑵、{ }{}()()()83,721,9,8,7,3,2,1=====f f f B A （ ）
高中数学：函数概念学案 一、 知识清单 1．映射：设非空数集A ，B ，若对集合A 中任一元素a ，在集合B 中有唯一元素b 与之对应，则称从A 到B 的对应为映射，记为f ：A →B ，f 表示对应法则，b=f(a)。若A 中不同元素的象也不同，且B 中每一个元素都有原象与之对应,则称从A 到B 的映射为一一映射。 2．函数定义：函数就是定义在非空数集A ，B 上的映射，此时称数集A 为定义域，象集C={f (x )|x ∈A}为值域。 3．函数的三要素：定义域，值域，对应法则. 从逻辑上讲，定义域，对应法则决定了值域，是两个最基本的因素。 4．函数定义域的求法：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零； 5．函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②判别式法；③反函数法（反解法）；④换元法（代数换元法）；⑤不等式法；⑥单调函数法. ⑵常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。 ① 函数),0(R x k b kx y ∈≠+=的值域为R; ② 二次函数),0(2R x a c bx ax y ∈≠++= 当0>a 时值域是2 4[,)4ac b a -+∞,当0=且的值域为+R ； ⑤ 对数函数x y a log =)0,1,0(>≠>x a a 且的值域为R ； ⑥ 函数sin ,cos ()y x y x x R ==∈的值域为[-1，1]； ⑦ 函数 2 k x ,tan ππ+≠=x y ,cot x y =),(Z k k x ∈≠π的值域为R ； 二、 课前练习 1.若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =,则A 到B 的映射有 个，B 到A 的映射有 个；若 }3,2,1{=A ，},,{c b a B =, 则A 到B 的一一映射有 个。 2. 设集合A 和集合B 都是自然数集合N ，映射B A f →:把集合A 中的元素n 映射到集合B
是同一个函数吗？ 与33x y =3.1.1函数的概念导学案 授课教师：李祥 一、教学目标： 1.掌握函数概念，知道函数三要素对函数的重要性 2.会判断两个函数是否相符 3.能求简单的定义域 二、知识回顾 1.初中学过哪些函数？ 2.初中学习的函数的定义是什么？ 三、新知识 1.提问：分析四个例子提供的四个函数，他们有哪些公共点？ 提示：都有几个怎样的集合？有没有确定的对应关系？还有其他的吗？ 2.函数的概念： 3.函数三要素： 4.认识y=f(x) 5.例题解析 例题1判断下列对应能否表示y 是x 的函数 (1) y=|x| (2) |y|=x (3)x+y=1 (4) y=x 2 总结： 判断y 是不是x 的函数，保证两个非空数集的同时主要是判断 一个x 都 有 一个y 与之对应。 例题2（1）y = x 与 是同一个函数吗？ （2）y = x 总结： 判断两个函数是否相同只要比较 和 是否相同。 4．函数f (x )＝x －4＋1x －5 的定义域是________． 提问：目前见过的解析式本身限制定义域的有哪些？ 2 x y x =
四、知识点巩固： 1.函数的概念：设A、B是两个的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的，在集合B中都有的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：y=f(x) x∈A．x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ f(x)| x∈A }叫做函数的 . 2.三函数的三要素：、、。 3.判断函数相等的两个条件：、。 五、练习巩固： 1．下列图象中表示函数图象的是() 2．函数y＝f(x)的图象与直线x＝a的交点个数有() A．必有一个B．一个或两个C．至多一个D．可能两个以上 3.（多选）下列两个集合间的对应中，是A到B的函数的有（） A.A={－1，0，1}，B={－1，0，1}，f：A中数的平方 B.A={0，1}，B={－1，0，1}，f：A中数的开平方 C.A=Z，B=Q，f：A中数的倒数 D.A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，f：A中数的2倍 4．函数y＝1－x2＋x2－1的定义域是() A．[－1，1] B．(－∞，－1]∪[1，＋∞) C．[0，1] D．{－1，1} 5．求函数y＝(x－1)0＋1 x2－4 的定义域 6．某种茶杯，每个2.5元，把买茶杯的钱数y(元)表示为茶杯个数x(个)的函数，则解析式和其定义域为多少？
函数 教学目标： 【知识目标】1、初步掌握函数概念，能判断两个变量间的关系是否可看作函数。 2、根据两个变量间的关系式，给定其中一个量，相应地会求出另一个量的值。 3、会对一个具体实例进行概括抽象成为数学问题。 【能力目标】1、通过函数概念，初步形成学生利用函数的观点认识现实世界的意识和能力。 2、经历具体实例的抽象概括过程，进一步发展学生的抽象思维能力。 教学过程设计： 一、创设问题情境，导入新课 下图像车轮状的物体是什么 图6-1，每过6分钟摩天轮就转一圈，而且图中反映了给定的时间t 与所对应的高度h 之间的关系。下面根据图6－1进行填表： 对于给定的时间t ，相应的高度h 确定吗 这个问题中的变量有几个 ，分别是什么 二、新课学习 1、 做一做 （1）瓶子或罐子盒等圆柱形的物体，常常如下图那样堆放，随着层数的增加，物体的总数是如何变化的 t/分 0 1 2 3 4 5 …… h/米 ……
填写下表： 层数n 1 2 3 4 5 … 物体总数y … （2）在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍将滑 行S 米，一般地有经验公式300 2 V S ,其中V 表示刹车前汽 车的速度（单位：千米/时） ①计算当V 为50，60，100时，相应的滑行距离S 是多少 ②给定一个V 值，你能求出相应的S 值吗 结论： 1. 上面三个问题。每个问题都研究了 个变量。 2. 函数的概念 一般地，在某个变化过程中，有两个变量 和 ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称y 是x 的 ，其中x 是 ，y 是 。 三、随堂练习 书100页 随堂练习 习题 四、本课小结 1、 初步掌握函数的概念，能判断两个变量间的关系是否可看作函数。 2、 在一个函数关系式中，能识别自变量与因变量，给定自变量的值，相应地会求出函数的值。 3、 函数的三种表达式： （1） 图象；（2）表格；（3）关系式。 五探究活动 为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准： 每户每月的用水不超过10吨时，水价为每吨元；超过10吨时，超过的部分按每吨元收费，该市某户居民5月份用水x 吨（x >10），应交水费y 元，请用方程的知识来求有关x 和y 的关系式，并判断其中一个变量是否为另一个变量的函数
第3课时指数函数的图象与性质 1.理解指数函数的概念和意义. 2.能画出指数函数的图象. 3.初步掌握指数函数的性质与指数函数图象的特点,并会简单应用. 将一厚度为1个单位的纸进行对折,对折一次后厚度变为原来的2倍,即纸的厚度变为了2个单位;然后再将其对折,这样第二次对折后纸的厚度变为了22,第三次对折后变为了23,经多次实验最多可对折7次,那么其最厚的厚度是多少个单位?如果可以对折无限次,那么对折x次后的厚度又是多少 ? 问题1:(1)对折x次后纸的厚度y与x的函数解析式为. (2)一般地,函数叫作指数函数,其中x叫自变量,函数的定义域为. (3)判断一个函数是否是指数函数,一看底数是否是一个大于0且不为1的常数,二看自变量x是否是在指数位置上,三看指数幂的系数是否为1,满足这三个条件的函数才是指数函数. 问题2:指数函数的图象有何特点?有哪些性质? 函数y=a x(0
当a<0时,如a=-2,x=,a x=(-2=显然没意义; 当a=1时,a x恒等于,没有研究的必要. 因此规定a>0,且a≠1. 问题4:(1)函数y=2x与函数y=()x的图象有什么特点? 函数y=2x的图象与函数y=()x的图象关于对称. (2)函数y=a x(a>0,a≠1)随着底数a的变化,图象有什么变化?随着底数取值的不同,函数的增长情况也不同,你能得出什么规律呢? 当a>1时,底数越大,图象得越快,在y轴的侧,图象越靠近y轴;当0
19.1.1函数的概念 一、学习目标. 1.理解函数的概念，明白函数实质上是刻画变化过程中两个变量之间的对应关系，当一个变量取一个确定的值，另一个变量有唯一确定的值与其相对应。 2.知道什么是自变量，什么是函数值，明白函数值随自变量的变化而变化的关系，给了自变量的值，根据函数解析式会求函数值。 3.理解函数的三种表达方式：解析式法、图像法、列表法。 二、重点难点: 重点：函数概念的形成与理解。 难道：函数概念的本质——对应关系的理解。 三、学情分析： 函数是数学最重要的基本概念之一，它刻画了现实生活中量与量之间的“特殊对应关系”。通过第一节课的学习，学生已经明白变量与常量的意义，对变化过程中量与量相互依存和变化的关系，已经有所体会。学生对于两个变量之间的对应关系，特别一个变量随另一个变量变化而变化的规律，认识还不够清晰，而这又是形成函数概念的关键。因此，本节课要注意以下几点： 1.课前要再次呈现上节课研究的4个变化过程的问题，引导学生建立量与量之间变化规律的关系式。让学生多计算，多思考，体会一个量变化时，另一个变量有唯一确定的值与其相对应。 2在理解函数的表格法和图像法时，引导学生细心观察图像和表格，弄清问题中x和y的含义，用变化的观点分析x和y的对应关系。 3.在概念形成过程中，鼓励孩子大胆给概念下定义，为学生更好地理解函数的概念奠定思维的基础。在解读函数的概念时，要给学生充足的时间思考、总结，使其真正理解函数中，当x 取一个有意义的值时，y的唯一确定性。 4.运用具体实例，建立函数模型，进一步帮助学生理解函数的概念。 四、教学过程. 活动一、创设情境.（上节课4个问题的回顾探讨） 活动二、再设情境.（书上73页两个思考问题探讨） 活动三、形成概念. 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值 与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。 问题1：在这个定义中，前提条件是什么？对应关系是什么？如何理解“x的每一个确定的值”中的“确定”？ x的取值有限制范围吗？ 问题2：如何理解“对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应”这句话？请举例说明. 问题3：函数值由谁来确定？怎样求函数值？ 问题4：函数有几种表达方法？ 活动四：辨析概念.
§1.2.1函数的概念第1课时 班级姓名组别代码评价【使用说明与学法指导】 1.先精读一遍教材P15-P16,用红色笔对重点内容及有疑问的地方进行勾画；再针对导学案二次阅读并解决预习探究案中的问题；训练案在自习或自主时间完成。 2. 预习时可对合作探究部分认真审题，做不完或者不会的正课时再做，对于选做部分BC层可以不做。 3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题并记录下来，准备课上讨论质疑。 【学习目标】 1．通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用； 2. 了解构成函数的要素； 3. 能够正确使用“区间”的符号表示某些集合; 【学习重点】理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。 y=”的含义 【学习难点】符号“()x f 【知识链接】1：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？ 2：写出初中对函数的定义: 【预习探究案】 探究一:函数的概念 问题1.阅读教科书第15页实例1后回答： （1）你能得出炮弹飞行1s，5s，10s，20s时距地面多高吗？ （2）t和h的范围分别是什么？试把其范围用描述法表示分别记成集合A和B。 A= , B=
（3）集合A和B中的元素存在着什么样的对应关系？试将其描述出来写在下面。 问题2.阅读课本P15实例(2)并观察图1.2-1后思考： （1）你能从图中看出哪一年臭氧层空洞面积最大吗？最大面积是多少？ （2）t和s的范围分别是什么？试把其范围用描述法表示分别记成集合A和B。 A= ,B= （3）集合A和B中的元素存在着什么样的对应关系？试将其描述出来写在下面。 问题3.阅读课本P16实例(3)并观察表1-1后思考： 恩格尔系数和时间（年）之间的关系是否和前两个实例中的两个变量之间的关系相似？如何描述这一关系？ 问题4.以上三个实例的共同特点是什么？概括后写在下面（函数的概念）： 问题5.在函数的定义中，你认为哪些是关键词？怎样理解这个概念？ 问题6.结合函数的定义，思考下面两个问题：
函数的概念导学案 新人教A 版必修 1. 会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示； 2. 掌握判别两个函数是否相同的方法. 18~19 复习1：函数的三要素是 、 、 .函数2 3x y x =与y ＝3x 是不是同一个函数？为何？ 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务：函数相同的判别 讨论：函数y =x 、y 2 、y =3 2x x 、y 、y 有何关系？ 试试：判断下列函数()f x 与()g x 是否表示同一个函数，说明理由？ ① ()f x = 0(1)x -；()g x = 1. ② ()f x = x ； ()g x . ③ ()f x = x 2 ；()g x = 2(1)x +. ④ ()f x = | x | ；()g x . 小结：
① 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关. ※ 典型例题 例1 求下列函数的定义域 （用区间表示）. （1）23()2 x f x x -=-； （2）()f x （3）1()2 f x x -. 试试：求下列函数的定义域 （用区间表示）. （1）2()3 x f x x -=-； （2）() f x =.
小结： （1）定义域求法（分式、根式、组合式）； （2）求定义域步骤：列不等式（组） → 解不等式（组）. 例2求下列函数的值域（用区间表示）： （1）y ＝x 2－3x ＋4； （2）()f x = （3）y ＝53x -+； （4）2()3 x f x x -=+. 变式：求函数(0)ax b y ac cx d +=≠+的值域. 小结： 求函数值域的常用方法有： 观察法、配方法、拆分法、基本函数法. ※ 动手试试 练1. 若2(1)21f x x +=+，求()f x . 练2. 一次函数()f x 满足[()]12f f x x =+，求()f x . 三、总结提升 ※ 学习小结 1. 定义域的求法及步骤； 2. 判断同一个函数的方法； 3. 求函数值域的常用方法.
1 1.2.1《函数的概念》导学案 姓名: 班级: 组别: 组名:____________ 【学习目标】 1、体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用； 2、理解函数的三要素，会判断两个函数相等的条件； 3、掌握区间的概念，能正确使用区间的符号来表示某些函数的定义域或值域. 【重点难点】 重点：对函数概念的理解、函数三要素、区间的概念 难点：函数概念的理解及函数定义域和值域的区间表示 【知识链接】 初中学过的变量与函数的概念：在一个变化过程中，有两个变量y x 和，如果给定了一个 x 值，相应地就确定唯一的一个y 值，这样就称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变 量.那么如何用集合和对应的语言来定义函数呢？ 【学习过程】 阅读课本15至16页的内容，尝试回答以下问题： 知识点一：函数的定义及函数的三要素 1、 定义：设B ,A 是_____________,如果按照某种确定的___________,使对于集合A 中的____________，在集合B 中都有______________________,那么就称____________为从集合A 到集合B 的一个_______,记作_______________,其中________________叫做函数的定义域，__________________________叫做函数的值域. 2、由函数的定义判断下列对应是否为函数： 3、 函数的定义中，符号)(x f y =应理解为：_____是_______在________下的对应值，而____是“对应”得以实现的方法和途径,它既可以是解析式也可以是图象、表格或文字描述,)(x f y =仅仅是函数符号. f ：开平方 9 4 1 3 -3 2 -2 1 -1 （1） f ：求平方 1 -1 2 -2 3 -3 1 4 9 （2） f ：乘以2 （3） 1 2 3 2 4 6 0 1 2 3 f ：求倒数 （4） 1 1 2 1 3 0 1 2 3 4 f ：减1 （5） 1 2 3
高中数学-函数的概念（1）导学案 学习目标 1. 通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用； 2. 了解构成函数的要素； 3. 能够正确使用“区间”的符号表示某些集合. 学习过程 一、课前准备 （预习教材P15~ P17，找出疑惑之处） 复习1：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？ 复习2：（初中对函数的定义）在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x 的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，此时y是x的函数，x是自变量，y是因变量. 表示方法有：解析法、列表法、图象法. 二、新课导学 学习探究 探究任务一：函数模型思想及函数概念 问题：研究下面三个实例： A. 一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是2 =-. h t t 1305 B. 近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.
C . 国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低. “八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表. 年份 1991 1992 1993 1994 1995 … 恩格尔系数% 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 … 讨论：间存在着这样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？ 新知：函数定义. 设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：(),y f x x A =∈.其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）. 试试： 函数223,{1,0,1,2}y x x x =-+∈-值域是 . 反思： （1）值域与B 的关系是 ；构成函数的三要素是 、 、 （2）常见函数的定义域与值域.
高中数学 1.2.1函数的概念导学案 新人教A 版必修1 学习目标：1、理解函数的概念，明确函数的三要素 2、会求简单函数的定义域、值域 学习重点：理解函数的概念，会求函数定义域、值域 学习过程： 一、 温故知新： 某种笔记本的单价是5元，买x （}{5,4,3,2,1∈x ）个笔记本需要y 元 (1)写出自变量x 与因变量y 之间的函数关系_______________________ (2)写出因变量y 的所有取值__________________ 其中 自变量x 的所有取值构成的集合为_____， 称之为函数的_______ 因变量y 的所有取值构成的集合为_____________，称之为函数的_______ 函数的定义_____________________________ 记作__________________ 函数的三要素：_______、_______、__________ （若________________，则称这两个函数相等） 二、观察辨析： 1、观察关系式
（1）2x y =，}{2,1,0,1,2--=A ，}{4,1,0=B （2）2x y =，}{2,1,0,1,2--=A ，}{4,1=B （3）2x y =，}{2,1,0,1,2--=A ，}{6,4,2,1,0=B （4）2x y =，}{32,1,0,1,2，--=A ，}{4,1,0=B （5）x y =2，}{4,1,0=A ，}{2,1,0,1,2--=B 其中能够构成集合A 到B 的函数的是________ 2、观察下列函数哪个与函数x y =相等 (1)()2 x y = (2)33x y = (3)2 x y = (4)x x y 2= 三、分析计算 1、求下列函数的定义域 （1）2 1 3)(++ +=x x x f