课堂教学第十八章单元计划
年级、学科八年级数学单元名称勾股定理
教材分析
本章主要内容是勾股定理及其逆定理。首先让学生通过观察得出直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论并加以证明，从而得到勾股定理，然后运用勾股定理解决问题。在此基础上引入勾股定理的逆定理，并结合此项内容介绍逆命题、逆定理的概念。
直角三角形是一种特殊的三角形，它有许多重要的性质，如两个锐角互余，30°的角所对的直角边等于斜边的一半。本章所研究的勾股定理，也是直角三角形的性质，而且是一条非常重要的性质。
勾股定理是几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大。它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用。
目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。据说我国著名数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种“语言”的。这个事实可以说明勾股定理的重
大意义，发现勾股定理，尤其在2000多年前，是非常了不起的成就。
在第一节中，教科书让学生通过观察计算一些直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系，发现两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积，从而发现勾股定理。勾股定理的证明方法很多，教科书正文中介绍的是一种面积证法。其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。在教科书中，图18.1－3（1）中的图形经过割补拼接后得到图18.1－3（3）中的图形。由此就证明了勾股定理。通过推理证实命题1的正确性后，教科书顺势指出什么是定理。
由勾股定理可知，已知两条直角边的长a,b，就可以求出斜边c的长
几何中有许多互逆的命题，互逆的定理，它们从正反两个方面揭示了图形的特征性质，所以互逆命题和互逆定理是几何中的重要概念。学生已见过一些互逆命题（定理），例如：“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”；“全等三角形的对应边相等”与“对应边相等的三角形是全等三角形”等，都是互逆命题。勾股定理与勾股定理的逆定理也是互逆的命题，而且这两个命题的题设和结论都比较简单。因此，教科书在前面已有感性认识的基础上，在
第二节中，结合勾股定理的逆定理的
内容的展开，穿插介绍了逆命题、逆定理的概念，并举例说明原命题成立其逆命题不一定成立。为巩固这些内容，相应配备了一些练习与习题。
本章学习目标如下：
1．体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；2．会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；
3．通过具体的例子，了解定理的含义，了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立其逆命题不一定成立。
重点：本节教学的重点是勾股定理及勾股定理逆定理的内容
难点：勾股定理及勾股定理逆定理的应用
教学方法
1、体现数学知识的总结反思过程，对于勾股定理及勾股
定理逆定理的知识进行归纳。
2、转化思想，学会利用直角三角形的知识解决数学问题。
3、注重介绍数学文化，激发学生学习热情。
本章教学时间约需8课时，具体安排如下：
18．1勾股定理 4课时
18．2勾股定理的逆定理3课时
数学活动小结1课时
检测达标
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，三边长分别为a、b、c，则下列结论中恒成立的是()A、2ab
2、已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A、5B、25C、7D、15
3、直角三角形的一直角边长为12，另外两边之长为自然数，则满足要求的直角三角形共有（）A、4个B、5个C、6个D、8个
4、下列命题①如果a、b、c为一组勾股数，那么4a、4b、
4c仍是勾股数；
②如果直角三角形的两边是3、4，那么斜边必是5；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（a>b=c），那么a2∶b2∶c2=2∶1∶1。其中正确的是（）
A、①②
B、①③
C、①④
D、②④5、若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则此△为（）
A、锐角三角形
B、钝角三角形
C、直角三角形
D、不能确定
6、已知等腰三角形的腰长为10，一腰上的高为6，则以底边为边长的正方形的面积为（）
A、40
B、80
C、40或360
D、80或360
7、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，且DA=DB=5，
又△DAB的面积为10，那么DC的长是（）
A、4
B、3
C、5
D、4.5
8、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）
A、2㎝
B、3㎝
C、4㎝
D、5㎝
9.一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是_____________。
10.在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m。
11．已知，如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．求①AD的长；②ΔABC的面积．
12．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA ⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，
则E站应建在离A站多少km处？
勾股定理教材分析 勾股定理是直角三角形的一条非常重要的性质，也是几何中最重要的定理之一。它揭示了三角形三条边之间的数量关系，主要用于解决直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要根据之一，同时在实际生活中具有广泛的用途，“数学源于生活，又用与生活”是这章书所体现的主要思想。教材在编写时注意培养学生的动手操作能力和分析问题的能力，通过实际操作，使学生获得较为直观的印象；通过联系比较、探索、归纳，帮助学生理解勾股定理，以利于进行正确的应用。 2、教学目标 <1> 通过对几种常见的勾股定理验证方法，进行分析和欣赏。理解数学知识之间的内在联系，体会数形结合的思想方法，进一步感悟勾股定理的文化价值。 <２> 通过拼图活动，尝试验证勾股定理，培养学生的动手实践和创新能力。 <３>让学生经历查询资料、自主探究、合作交流、观察比较、计算推理、动手操作等过程，获得一些研究问题的方法，取得成功和克服困难的经验，培养学生良好的思维品质，增进他们数学学习的信心。 <4> 掌握勾股定理及其逆定理，并能运用这两个定理解决实际问题. 重点： <1> 分析和欣赏几种常见的验证勾股定理的方法。 <2>勾股定理和逆定理的探索和应用。 难点： <1> “数形结合”思想方法的理解和应用。 <2> 通过拼图，探求验证勾股定理的新方法。 4、教法和学法： 在整个教学过程中，本课的教法和学法体现如下特点： 1、以学生自我探索、合作交流为主，充分发挥教师的主导作用，运用各种手段激发学生学习欲望和兴趣，组织学生活动，让学生主动参与学习全过程。 2、切实体现学生的主体地位，让学生通过观察、分析、讨论、操作、归纳，理解定理，提高学生动手操作能力，以及分析问题和解决问题的能力。 3、通过学生自己得到获得新知的成功感受，从而激发学生钻研新知的欲望。
勾股定理在实际生活中的应用 学习目标 1通过本科的学习，掌握利用勾股定理理解：决实际问题的方法分析———画图———解答。 2掌握勾股定理在实际生活中的重要性。 3在互助学习中进一步了解数学源于生活，有服务于生活的道理。 教学重点 如何利用勾股地理解决实际问题。 教学难点 将实际生活问题转化成用勾股定理解决的数学问题。 教学手段 多媒体课件 教学准备 课件五个生准备门框框架 教学方式 互助学习 教学过程 —，温故知新 （一）出示课件一 生齐读勾股定理 （二）师：大家读了非常好，同学们，我们学习了勾股定理，你们知道它对我们的生活有哪些帮助呢？这节课我们就来学习17.1勾股定理——在实际生活中的应用。通过这节课的学习你会知道勾股定理的重要性。 师板书课题：勾股定理———在实际生活中的应用 一、温故知新 （一）出示课件一 生齐读勾股定理 （二）师：大家读的非常好，同学们，我们学习了勾股定理，你们知道它对我们的生活有哪些帮助呢？这节课我们就来学习17.1勾股定理——在实际生活中的应用。通过这节课的学习你会知道勾股定理的重要性。 师板书课题：勾股定理———在实际生活中的应用 师：请同学们打开教材25页，互助合作学习完成例1，例2. 二、互助学习 （一）出示课件2、3结合课件小组进行互助学习。师友互学，教师巡视指导。 生1汇报例1，师友补充并展示例1的解题过程。 生2讲解例2，师友展示例2解答过程。 （二）生讨论归纳：通过对例1、例2的学习，你发现了什么？ 教师板书:分析---------画图---------解答 （RTΔ）（勾股定理） 三、探究提升 （一）出示课件4（思考题）
2.勾股定理实际问题应用 1．若等腰三角形腰长为10cm ，底边长为16 cm,那么它的面积为 ( ) A. 48 cm 2 B. 36 cm 2 C. 24 cm 2 D.12 cm 2 2．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P 、Q 两点，PQ=16厘米，且RP ⊥PQ ， 则RQ= 厘米 3．小明和小强的跑步速度分别是6m/s 和8m/s ，他们同时从同一地点分别向东、南练习跑 步，那么从出发开始需__________s 可以相距160m 4．一条河的宽度处处相等，小强想从河的南岸横游到北岸去，由于水流影响，小强上岸 地点偏离目标地点200m ，他在水中实际游了520m ，那么该河的宽度为 （ ） A.440 m B.460 m C.480 m D. 500 m 5、将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱 形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm ，则h 的取 值范围是（ ）． A ．h ≤17cm B ．h ≥8cm C ．15cm ≤h ≤16cm D ．7cm ≤h ≤16cm 6．一架5m 长的梯子靠在一面墙上，梯子的底部离建筑物2m ，若梯子底部滑开1m ，则梯 子顶部下滑的距离是___________(结果可含根号) 7、有一圆柱形食品盒，它的高等于16cm ，底面直径为20cm ， 蚂蚁爬行的速度为2cm/s. 如果在盒外下底面的A 处有一只蚂蚁，它想吃到盒外对面中部点B 需要多少时间? (结果保留π) 8.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程 大约是 ( ) A.6cm B.10cm C.14cm D. 18cm 9、如图，笔直的公路上A 、B 两点相距25km ，C 、D 为两村庄，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于 点B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在公路的AB 段上建一个土特产品收购站E ，使得C 、 D 两村到收购站 E 的距离相等，则收购站E 应建在离A 点多远处？ A D E B C A · B · A B · ·
教学设计 勾股定理的应用 海子街中学刘天环 教学分析:勾股定理是平面几何中的基本定理,在解决实际问题时，我们要将 实际问题抽象成数学问题，再根据勾股定理及逆定理解答，本节微课将重点解决这个问题. 教学目标 1.通过实际问题转化为几何图形，观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念． 2.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想． 3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性． 教学重点难点 利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题是本节课的重点也是难点． 教学时间: 3-8分钟 教学方式:多媒体教学 教学方法: 引导—探究—归纳 （1）从创设问题情景入手，通过知识再现，孕育教学过程； （2）从学生活动出发，顺势教学过程； （3）利用探索研究手段，通过思维深入，领悟教学过程． 课前准备 教具：教材、电脑、多媒体课件． 教学过程:
一．引入新课 小明家外面有两颗树，一颗高13米，另一颗高7米，两颗树相距8米，一天，小明看见一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，你知道小鸟至少飞了多少米吗？ 问题：要求出小鸟至少飞了多少米，怎样才能求出来呢？ 二.探究新知 将实际问题转化为几何图形，如图所示：树AB=13 m 树CD=7 m 而两棵树的距离为BC=8 m 则AD 为小鸟至少飞行的距离。 解:作DE ⊥AB 于E 点，则四边形BCDE 为长方形 所以DE=BC=8m BE=CD=7m 在Rt △AED 中 DE=8 AE=AB-BE=13-7=6 所以 ED AE AD 222+= 则10100826222==+=+=ED AE AD 所以小鸟至少飞行了10米 三．试一试 小亮想知道学校旗杆的高度．他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2 m ，当他把绳子的下端拉开8m 后，下端刚好接触地面．你能帮他把学校旗杆的高求出来吗？ 8m C D A B E 13m 7m
本章教学时间约需8课时，具体安排如下： 18．1 勾股定理 4 课时 18．2 勾股定理的逆定理 3课时 数学活动 小结 1课时 一、教科书内容和课程学习目标 本章知识结构框图： 直角三角形是一种特殊的三角形，它有许多重要的性质，如两个锐角互余，30°的角所对的直角边等于斜边的一半。本章所研究的勾股定理，也是直角三角形的性质，而且是一条非常重要的性质。 勾股定理是几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大。它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用。 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。据说我国著名数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种“语言”的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义，发现勾股定理，尤其在2000多年前，是非常了不起的成就。 在第一节中，教科书让学生通过观察计算一些直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系，发现两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积，从而发现勾股定理。 勾股定理的证明方法很多，教科书正文中介绍的是一种面积证法。其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。在教科书中，图－3（1）中的图形经过割补拼接后得到图－3（3）中的图形。由此就证明了勾股定理。通过推理证实命题1的正确性后，教科书顺势指出什么是定理。 由勾股定理可知，已知两条直角边的长a,b，就可以求出斜边c的长。由勾股定理可得或，由此可知，已知斜边与一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的长。也就是说，在直角三角形中，已知两条边的长，就可以求出第三条边的长。教科书相应安排了三个探究栏目，让学生运用勾股定理解决问题。 在第二节中，教科书让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，可以发现画出的三角形是直角三角形。从而猜想如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。这个猜想可以利用全等三角形证明，得到勾股定理的逆定理。 勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法。教科书安排了两个例题，让学生学会运用这种方法。这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它通过代数运算“算”出来。实际上利用计算证明几何问题学生已经见过，计算在几何里也是很重要的。从这个意义上讲，勾股定理的逆定理的学习，对开阔学生眼界，进一步体会数学中的各种方法有很大的意义。 几何中有许多互逆的命题，互逆的定理，它们从正反两个方面揭示了图形的特征性质，所以互逆命题和互逆定理是几何中的重要概念。学生已见过一些互逆命题（定理），例如：“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”；“全等三角形的对应边相等”与“对应边相等的三角形是全等三角形”等，都是互逆命题。勾股定理与勾股定理的逆定理
第一章勾股定理 3. 勾股定理的应用 一、学生知识状况分析 本节将利用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问题，其中需要学生了解空间图形、对一些空间图形进行展开、折叠等活动．学生在学习七年级上第一章时对生活中的立体图形已经有了一定的认识，并从事过相应的实践活动，因而学生已经具备解决本课问题所需的知识基础和活动经验基础． 二、教学任务分析 本节是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第一章《勾股定理》第３节．具体内容是运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题．当然，在这些具体问题的解决过程中，需要经历几何图形的抽象过程，需要借助观察、操作等实践活动，这些都有助于发展学生的分析问题、解决问题能力和应用意识；一些探究活动具体一定的难度，需要学生相互间的合作交流，有助于发展学生合作交流的能力． 本节课的教学目标是： 1.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念． 2.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想． 3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性． 利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题是本节课的重点也是难点． 四、教法学法 1．教学方法 引导—探究—归纳 本节课的教学对象是初二学生，他们的参与意识教强，思维活跃，为了实现
本节课的教学目标，我力求以下三个方面对学生进行引导： （1）从创设问题情景入手，通过知识再现，孕育教学过程； （2）从学生活动出发，顺势教学过程； （3）利用探索研究手段，通过思维深入，领悟教学过程． 2．课前准备 教具：教材、电脑、多媒体课件． 学具：用矩形纸片做成的圆柱、剪刀、教材、笔记本、课堂练习本、文具． 五、教学过程分析 本节课设计了七个环节．第一环节：情境引入；第二环节：合作探究；第三环节：做一做；第四环节：小试牛刀；第五环节：举一反三；第六环节：交流小结；第七环节：布置作业． 第一环节：情境引入 内容： 情景1：多媒体展示： 提出问题：从二教楼到综合楼怎样走最近 情景2： 如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食 物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从 A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近 意图： 通过情景1复习公理：两点之间线段最短；情景２的创设引入新课，激发学生探究热情． 效果： 从学生熟悉的生活场景引入，提出问题，学生探究热情高涨，为下一环节奠定了良好基础．
第十八章勾股定理 18．1 勾股定理（一） 一、教学目标 1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。 二、重点、难点 1．重点：勾股定理的内容及证明。 2．难点：勾股定理的证明。 3．难点的突破方法：几何学的产生，源于人们对土地面积的测量需要。在古埃及，尼罗河每年要泛滥一次；洪水给两岸的田地带来了肥沃的淤积泥土，但也抹掉了田地之间的界限标志。水退了，人们要重新画出田地的界线，就必须再次丈量、计算田地的面积。几何学从一开始就与面积结下了不解之缘，面积很早就成为人们认识几何图形性质与争鸣几何定理的工具。本节课采用拼图的方法，使学生利用面积相等对勾股定理进行证明。其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。 三、例题的意图分析 例1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。 例2使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。进一步让学生确信勾股定理的正确性。 四、课堂引入 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。 让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。 以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。 再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。 你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。 对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 例1（补充）已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、 ∠C的对边为a、b、c。 求证：a2＋b2=c2。 分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，
《勾股定理的应用》精品教案 ●教学目标： 知识与技能目标： 1.了解勾股定理的作用是“在直角三角形中已知两边求第三边”；而勾股逆定理的 作用是由“三角形边的关系得出三角形是直角三角形”. 2.掌握勾股定理及其逆定理，运用勾股定理进行简单的长度计算. 过程与方法目标 1.让学生亲自经历卷折圆柱. 2.让学生在亲自经历卷折圆柱中认识到圆柱的侧面展开图是一个长方形（矩形）. 3.让学生通过观察、实验、归纳等手段，培养其将“实际问题转化为应用勾股定理 解直角三角形的数学问题”的能力. 情感与态度目标 1.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数 学建模的思想． 2.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性． ●重点： 勾股定理的应用. ●难点： 将实际问题转化为“应用勾股定理及其逆定理解直角三角形的数学问题”. ●教学流程： 一、课前回顾 在一个直角三角形中三条边满足什么样的关系呢？ 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. →逆命题：如果三角形的三边长a、b、c满足a2 + b2 = c2那么这个三角形是直角三角形。 二、情境引入 探究1：有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面半径等于3厘米, 在圆柱下底面上的A点有一只蚂蚁,它想从点A爬到点B,蚂蚁沿着圆柱 侧面爬行的最短路程是多少? （π取3）
当圆柱高为12cm ，底面周长为18cm 时，蚂蚁怎么走最近呢？ 所走路程为高+直径=12+2×3=18cm 所走路程为高 +πr=12+3×3=21cm 在Rt △ABC 中，利用勾股定理可得， 222CB AC AB += cm AB 1522591222=∴=+= 比较方案①②③，可得，方案③为最短路径，最短路径是15cm 总结：1、线段公理 两点之间，线段最短 2、勾股定理 在Rt △ABC 中，两直角边为a 、b,斜边为c ，则a 2+b 2=c 2. 练习1：在底面半径为1、高为2的圆柱体的左下角A 处有一只蚂蚁，欲从圆柱体的侧面如图迂回爬行去吃左上角B 处的食物，问怎样爬行路径最短，最短路径是多少？ 从A 点向上剪开，则侧面展开图如图所示，连接AB ，则 AB 为爬行的最短路径.
勾股定理的实际运用 一.勾股定理： （1）直角三角形两直角边的_______等于斜边的平方，如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么_____. (2)我国古代把直角三角形中较短的直角边称为_____,较长的直角边称为________,斜边称为______. 二.直角三角形的判别条件 1.直角三角形的判别条件（也称为勾股定理的逆定理） 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形（此判别条件也称为勾股定理的逆定理）.如图所示，在△ABC中，如果AC2+BC2=AB2.那么△ABC就是以∠C为直角的直角三角形. 2.判断直角三角形的步骤 （1）确定最长边. (2)算出最长边的平方与另两边的平方和.（3）比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等,若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形. 3.直角三角形的判别条件与勾股定理的联系和区别 （1）联系 都是和直角三角形有关的内容，都和三角形的三边有关系，都渗透了数形结合的思想. (2)区别 勾股定理是由形到数，即由直角三角形得到三边之间的数量关系，是直角三角形的一个性质；而直角三角形的判别条件是由数到形，即由三边关系得到三角形的形状—直角三角形，是直角三角形的一种判别方法.
知识点一.确定几何体表面上的最短路线 1.解决几何体表面上两点之间最短路线问题的关键是把立体图形转化为平面图形，具体步骤是：（1）把立体图形展开成平面图形；（2）确定最短路线；（3）确定直角三角形；（4）根据直角三角形的边长，利用勾股定理求解 2.求立体图形表面上两点之间的最短路线长，主要涉及如下问题： （1）圆柱形物体表面上两点之间的最短路线长，主要涉及如下问题：（1）圆 柱形污图表面两点之间的最短路线长；（2）长方体表面两点之间的最短路线长；（3）台阶表面两点之间的最短路线长. 例题1：如图所示，有一个圆柱形油罐，要从点A处环绕油罐建梯子，正好到 点A的正上方点B,问梯子最短需要多长？（已知油罐的底面周长是12m,高AB 是5m） 知识点二.利用直角三角形的判别条件判断垂直 利用直角三角形的判别条件判断三角形是直角三角形也是判断垂直的一种方法.在实际生活中常常需要判断两直线是否垂直，解决此类问题的一般方法是将实 际问题转化为数学问题.首先，结合题意画出符合要求的三角形，再利用直角三角形的判别条件判断垂直. 例题2.如图所示,如果只给你一把带有刻度的直尺,你能否检验∠P是不是直角?简述你的作法,并说明理由.
2013年北师大版数学八年级上 第一章勾股定理 3. 勾股定理的应用 一、学生知识状况分析 本节将利用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问题，其中需要学生了解空间图形、对一些空间图形进行展开、折叠等活动．学生在学习七年级上第一章时对生活中的立体图形已经有了一定的认识，并从事过相应的实践活动，因而学生已经具备解决本课问题所需的知识基础和活动经验基础． 二、教学任务分析 本节是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第一章《勾股定理》第３节．具体内容是运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题．当然，在这些具体问题的解决过程中，需要经历几何图形的抽象过程，需要借助观察、操作等实践活动，这些都有助于发展学生的分析问题、解决问题能力和应用意识；一些探究活动具体一定的难度，需要学生相互间的合作交流，有助于发展学生合作交流的能力． 本节课的教学目标是： 1.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念． 2.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想． 3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性． 利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题是本节课的重点也是难点． 四、教法学法 1．教学方法
引导—探究—归纳 本节课的教学对象是初二学生，他们的参与意识教强，思维活跃，为了实现本节课的教学目标，我力求以下三个方面对学生进行引导： （1）从创设问题情景入手，通过知识再现，孕育教学过程； （2）从学生活动出发，顺势教学过程； （3）利用探索研究手段，通过思维深入，领悟教学过程． 2．课前准备 教具：教材、电脑、多媒体课件． 学具：用矩形纸片做成的圆柱、剪刀、教材、笔记本、课堂练习本、文具． 五、教学过程分析 本节课设计了七个环节．第一环节：情境引入；第二环节：合作探究；第三环节：做一做；第四环节：小试牛刀；第五环节：举一反三；第六环节：交流小结；第七环节：布置作业． 第一环节：情境引入 内容： 情景1：多媒体展示： 提出问题：从二教楼到综合楼怎样走最近？ 情景2： 如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食 物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想 从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？ 意图： 通过情景1复习公理：两点之间线段最短；情景２的创设引入新课，激发学生探究热情． 效果： 从学生熟悉的生活场景引入，提出问题，学生探究热情高涨，为下一环节奠
初中-数学-打印版 勾股定理教材分析第1课时 勾股定理把几何图形中直角三角形的形的特征转化成数量关系，为几何图形与数量关系之间搭建桥梁发挥了重要作用．由于直角图形的普遍性，勾股定理在实际应用中及其重要． 教科书安排了对勾股定理的观察、计算、猜想及证明过程，首先简略讲述了毕达哥拉斯从观察地面图案的面积关系发现勾股定理的传说，并让学生也去观察同样的图案，通过研究等腰直角三角形这种特殊直角三角形的面积关系，发现它的三边之间的数量关系，在进一步的探究中，又让学生对一般直角三角形进行计算，计算以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，进而得到这些直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，然后，对更一般的结论提出了猜想．并用赵爽证法加以证明，这是一个典型的从特殊到一般的思想方法，这样安排有利于学生认识结论研究的探究过程（观察、想象、计算、猜想、证明），激发学生对结论的探索兴趣和热情，培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力和严密审慎的思考习惯． 历史上对勾股定理的证明的研究很多，得到了很多证明方法．教科书正文中介绍了3世纪三国时期中国数学家赵爽的证明方法．这是一种面积证法，依据是图形在经过适当切割后再另拼接成另个新图形，切割拼接前后图形的各部分的面积之和不变，即利用面积不变的关系和 对图形面积的不同算法得到等量关系．在教科书中，主要是将边长分别为、的两个正方形切割成四个直角三角形和一个小正方形，其中，直角三角形两直角边分别为、，面积都等于；小正方形的边长为,面积为．这样，由于 从而证明了勾股定理． 本节课的教学重点是勾股定理的探究和证明． 初中-数学-打印版
勾股定理的应用 教学目标： 知识与技能： （1) 能应用勾股定理解决一些简单的实际问题。 （2) 学会选择适当的数学模型解决实际问题。 过程与方法： 通过问题情境的设立，使学生明白数学来源于生活，又应用于生活，积累 利用数学知识解决日常生活中实际问题的经验和方法。 情感、态度和价值观：使学生认识到数学来自生活，并服务于生活，从而增强学生学数学、 用数学的意识,体会勾股定理的文化价值。发展运用数学的信心和能力， 初步形成积极参与数学活动的意识。 教学重点： 应用勾股定理解决实际问题是本节课的教学重点; 教学难点.： 把实际问题化归成勾股定理的几何模型（直角三角形）则是本节课的难点。 教学关键：应用数形结合的思想，从实际问题中，寻找可应用的RT △，然后有针对性解决。 教学媒体：电子白板 教学过程： 一、导入 1、由犍为岷江大桥图片引入（一是拉近和学生的关系，激发学生对家乡的热爱之情， 同时由斜拉桥上的直角三角形引入勾股定理的应用） 另出具复习引入题 如图，长2.5m 的梯子靠在墙上，梯子 的底部离墙角1.5m ，如何求梯子的顶 端与地面的距离h? 先让学生复习勾股 定理的简单应用。 2、复习勾股定理内容 3、板书课题 二、新课探究 1、例 小明想知道学校旗杆的高度，但又不能把旗杆放倒测量，但他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子下端拉开5米后，绳子刚好斜着拉直下端接触地面，你能帮小明算算旗杆的高度吗？ 首先让学生审题并画出几何图形，再引导其完成。题中隐含了什么条件？ 解：设旗杆高AB=x 米，则绳子长AC=(x+1) 米，在Rt ABC 中，由勾股定理得： 答：旗杆的高度为12米。 12 ,)1(52 22222==+=++x x x AC BC AB 解方程，得即
卓邦教育勾股定理应用练习 1.《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺）（） A、3 B、5 C、4.2 D、4 1题2题3题4题 2.如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝8米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动2米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2米，则梯子AB的长度为（） A、10米 B、6米 C、7米 D、8米 3．如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（）尺． A、10 B、12 C、13 D、14 4.如图，一棵大树在离地面6米高的B处断裂，树顶A落在离树底部C的8米处，则大树断裂之前的高度为（） A、10米 B、16米 C、15米 D、14米 5.如图，高速公路上有A、B两点相距25km，C、D为两村庄，已知DA=10km，CB=15km．DA⊥AB 于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则AE的长是（）km． A、5 B、10 C、15 D、25 6．如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量．小明测得AB=8m，AD=6m，CD=24m，BC=26m，又已知∠A=90°．求这块土地的面积． 7.如图，某地方政府决定在相距50km的两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且C、D两村到点E的距离相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA=30km，CB=20km，那么基地E应建在离A站多少千米的地方？
《勾股定理》教材分析 一、课标要求： 1、体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题； 2、会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形； 3、通过具体的例子，了解定理的含义，了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立其逆命题不一定成立。 二、中考要求： 1、已知直角三角形的两边长，会求第三边长。 2、会用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理逆定理判定三角形是否为直角三角形。 3、了解定义、命题、定理含义；了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立，逆命题不一定成立。 三、 本章结构图： 互逆定理 四、 本章的地位和作用 五、本章课时安排： 本章教学时间约需要7课时，具体安排如下： 18.1 勾股定理 3课时 18.2 勾股定理的逆定理 2课时 18.3 小结 2课时
六、本章重要的数学思想和方法 1. 在定理、逆定理探究过程中所体现出来的由特殊到一般的思想 2.数形结合思想：面积法证明数学问题及由数到形、由形到数 3、整体的方法. 4.分类讨论思想 5.方程思想贯穿始终 6.转化思想：化斜为直，化空间为平面，化曲为直 七、教学内容设计 八、数学思想的贯穿 2、数形结合思想 例1、我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形。如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两条直角边分别为a,b. 那么（ a+b)2的值为_____ 例2 如图，高速公路的同侧有A、B两个村庄，他们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1=2km,BB1=4km,A1B1=8km。现要在高速公路上
17.1 .2 勾股定理（二） 一、教学目标 1．会用勾股定理解决简单的实际问题。 2．树立数形结合的思想。 二、重点、难点 1．重点：勾股定理的应用。 2．难点：实际问题向数学问题的转化。 3．难点的突破方法： 数形结合，从实际问题中抽象出几何图形，让学生画好图后标图；在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，教师要向学生交代清楚，解释明白；优化训练，在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度；让学生深入探讨，积极参与到课堂中，发挥学生的积极性和主动性。 三、例题的意图分析 例1（教材P25页例1）明确如何将实际问题转化为数学问题，注意条件的转化；学会如何利用数学知识、思想、方法解决实际问题。 例2（教材P25页例2）使学生进一步熟练使用勾股定理 四、课堂引入 勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用。勾股定理的发现和使 用解决了许多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定理解决一些问题，你 可以吗？试一试。 五、例习题分析 例1（教材P25页例1） 分析：⑴在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件， 即门框为长方形，四个角都是直角。⑵让学生深入探讨图中有几个直角三角 形？图中标字母的线段哪条最长？⑶指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？⑷转化为勾股定理的计算，采用多种方法。⑸注意给学生小结深化数学建模思想，激发数学兴趣。 例2（教材P25页例2） 分析：⑴在△AOB 中，已知AB=2.6，AO=2.4，利用勾股定理计算 OB 。 ⑵ 在△COD 中，已知CD=2.6，CO=1.9，利用勾股定理计 算OD 。 则BD=OD －OB ，通过计算可知BD ≠AC 。 ⑶进一步让学生探究AC 和BD 的关系，给AC 不同的值，计算BD 。 六、课堂练习 1．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是 米。 2．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是43米，则这两株树之间的垂直距离是 米，水平距离是 米。 D A B C A B
第十七章《勾股定理》数学活动教学设计 【教材分析】本节课是人教版义务教育课程标准试验教科书《数学》八年级下册第十七章《勾股定理》中的数学活动，即通过“赵爽弦图”来进一步对勾股定理的证明。教学时数为1课时。勾股定理是直角三角形的重要性质，它把三角形有一个直角的“形”的特点，转化为三边之间的“数”的关系，它是数形结合的典范。是初中数学教学内容重点之一。勾股定理可以解决许多直角三角形中的计算问题，是直角三角形特有的性质，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用．此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值． 【学情分析】学生在以前学习和掌握了一般三角形的基本性质，现在将进一步学习一种特殊三角形-直角三角形的三边关系“勾股定理”。以与勾股定理有关的历史知识为背景展开对直角三角形三边关系的讨论，能激发学生的学习兴趣。 【教学目标】 知识技能：1、理解并掌握勾股定理的内容及其证明方法，能运用勾股定理 解决实际问题。 2、了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理探索过程。 数学思考：在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合思想。 问题解决：1、通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。 2、在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程 和探究过程。 情感态度：1、通过对勾股定理历史的了解，增强学生爱国情操，激发学生 学习兴趣。 2、在探究活动中，培养学生的合作交流意识和积极探索精神【教学重点】1、掌握勾股定理的内容。2、理解勾股定理的证明 3、运用勾股定理解决具体问题。
【教学难点、关键】利用“拼图”、“数形结合”的方法验证勾股定理. 【教学方法】观察法、小组讨论法、引导练习法、启发式教学及探究式教学法。【教学手段】三角尺、拼图、多媒体投影、课件 【教学过程设计】 学习目标： 1．通过拼图活动，培养学生的动手操作能力和空间想象能力，发展形象思维．在证明勾股定理过程中体会“出入相补”的思想，发展逻辑思维； 2．了解勾股定理历史，感受数学文化． 教师活动 出示教学目标，板书课题：数学活动 学生活动 默读目标，明确任务1分钟 设计意图 利用多媒体，展示学习目标,明确本节课的学习任务，坚守先学后教，以学定教的理念 自学指导： 1. 请同学们认真看课本36页活动1、活动2探究的内容，并用4张全等的直角三角形纸片，拼出了一些与教科书上不同的图案，用自己拼出的图案证明了勾股定理 2. 由此你能得出什么结论? 8分钟后看谁做得又快又好，现在自学比赛开始。教师活动 教师巡视指导自学 学生活动 学生拿出自己准备好的4张全等的直角三角形纸片，把自己的拼图方案展示在桌面上 设计意图
《勾股定理的应用》教案 教学目标 教学知识点： 能运用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）解决简单的实际问题能力训练要求： 1、学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念 2、在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想. 情感与价值观要求： 1、通过有趣的问题提高学习数学的兴趣. 2、在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学 . 教学重点难点 重点：探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际问题难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题教学过程 1、创设问题情境，弓I入新课 前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗？ 例如：欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？ 根据题意，（如图）AC是建筑物，则AC = 12米，BC = 5米，AB是梯子的长度.所以在Rt △ ABC 中，AB2= AC2+ BC2= 122 + 52= 132 ; AB= 13米. 所以至少需13米长的梯子. 2、讲授新课：①蚂蚁怎么走最近?
出示问题：有一个圆柱，它的高等于12cm,底面上圆的周长等于18cm .在圆行柱的下底面点A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的的最短路程是多少？ (1) 自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？(小组讨论) (2) 如图1-12，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B点的最短路线是什么？你 画对了吗？ (3) 蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？(学生分组讨论，公布结果) 我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形，好了，现在咱们就用剪刀沿母线AA '将圆 柱的侧面展开(如下图). (1)A T A'f B ；( 2)A T B'T B； (3)A T D f B ；( 4) A f B. 哪条路线是最短呢？你画对了吗？ 第(4)条路线最短.因为“两点之间的连线中线段最短” ②完成教材第13页的做一做. 李叔叔想要检测雕塑(图1-13)底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB,随身只带卷尺? 也就是要检测/ DAB = 90°,/ CBA = 90° .连结BD或AC,也就是要检测△ DAB和厶C BA是否为直角三角形.很显然，这是一个需用勾股定理的逆定理来解决的实际问题 ③随堂练习 (1)甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险?某日早晨8 : 00甲先出发，他以6km/h的速度 向正东行走.1时后乙出发，他以5km/h的速度向正北行走.上午10 : 00,甲、乙两人相距多
勾股定理实际应用（讲义） ? 课前预习 1. 常用的6组勾股数：___________；__________；___________；___________； __________；___________． 2. 请你画出圆柱的侧面展开图． 3. 读一读，做一做 小聪郊游时发现了一个有趣的问题：有一只蚂蚁从易拉罐底部爬向易拉罐顶部的罐口处喝饮料，在侧面留下了其爬行的轨迹．小聪观察后发现，蚂蚁爬行的路径是一条曲线，小聪想知道蚂蚁具体爬行了多长，于是邀请小明一起来研究这个问题．经过一番讨论，小聪和小明分别准备尝试用两种方法来进行测量． 的长度来估计爬行的路程，如图1． 方案二：小明准备将易拉罐侧面剪开，然后用尺子直接测量蚂蚁爬行的路程．小明剪开易拉罐侧面，将其展开后发现，蚂蚁爬行的路径竟然是一条笔直的线段，如图2． 请你选一张长方形纸片，画出他的对角线，然后卷成一个圆柱，的方法，动手测量一下这条线的长度． ? 知识点睛
蚂蚁爬最短路问题处理思路： （1）________________________； （2）找点，连线； （3）构造__________，利用__________进行计算． ?精讲精练 1.有这样一个有趣的问题：如图所示，圆柱的高等于8 cm，底面半径等于2 cm．在 圆柱的下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A相对的B点处的食物，则蚂蚁沿圆柱的侧面爬行的最短路程是__________．（π取整数3） 2.如图，一根藤蔓一晚上生长的长度是沿树干爬一圈后由点A上升到点B，已知 AB=5 cm，树干的直径为4 cm．你能计算出藤蔓一晚上生长的最短长度吗？（π取整数3） 3.如图所示，有一根高为2 m的木柱，它的底面周长为0.3 m，为了营造喜庆的气 氛，老师要求小明将一根彩带从柱底向柱顶均匀地缠绕7圈，一直缠到起点的正
勾股定理的应用教案 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
121教学模式 科目_________________________ 年级_________________________ 教师＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 数学 八年级 潘明明
课前1分钟交通安全教育 “121”教学模式导学案（______科） 数学 2013 年 9 月 7日制订
际问题 2、将立体图形问题转化成平面图形问题 合作探究交流共享第一环节：情境引入 内容： 情景1：多媒体展示： 提出问题：从二教楼到综合楼怎样走最近 情景2： 如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下 了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这 一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近意图： 通过情景1复习公理：两点之间线段最短；情景２的创设引入新课，激发学生探究热情． 效果： 从学生熟悉的生活场景引入，提出问题，学生探究热情高涨，为下一环节奠定了良好基础． 第二环节：合作探究 内容： 学生分为４人活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线．让学生发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的方法． 意图： 通过学生的合作探究，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法，将曲面最短距离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解．在活动中体
验数学建摸，培养学生与人合作交流的能力，增强学生探究能力，操作能力，分析能力，发展空间观念． 效果： 学生汇总了四种方案： （1） （2） （3） （4） 学生很容易算出：情形（1）中A →B 的路线长为：'AA d +， 情形（2）中A →B 的路线长为：'2 d AA π+ 所以情形（1）的路线比情形（2）要短． 学生在情形（3）和（4）的比较中出现困难，但还是有学生提出用剪刀沿母线AA ’剪开圆柱得到矩形，情形（3）A →B 是折线，而情形（4）是线段，故根据两点之间线段最短可判断（4）较短，最后通过计算比较（1）和（4）即可． 如图： （1）中A →B 的路线长为：'AA d +． （2）中A →B 的路线长为：''AA A B +>AB ． （3）中A →B 的路线长为：AO +OB >AB ． （4）中A →B 的路线长为：AB ． 得出结论：利用展开图中两点之 间，线段最短解决问题．在这个环节中，可让学生沿母线剪开圆柱体，具体观察．接下来后提问：怎样计算AB 在Rt △AA′B 中，利用勾股定理可得222'B A A A AB +'=，若已知圆柱体高为12cm ，底面半径为3cm ，π取3，则 A ’ A ’ A ’