空间曲线的主法线曲面的几何性质 目录 第一章绪论 (1) 第二章空间曲线的主法线曲面的曲率 (1) 2.1 第一基本形式 (1) 2.2 第二基本形式 (2) 2.3 法曲率 (2) 2.4 主曲率 (2) 2.5 高斯曲率 (3) 2.6 平均曲率 (3) 第三章空间曲线的主法线曲面上的特殊曲线族 (3) 3.1 渐近线 (3) 3.1.1 空间曲线的主法线曲面的渐近线方程 (3) 3.1.2 空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是渐近网的充要条件 (4) 3.2 曲率线 (5) 3.2.1空间曲线的主法线曲面的曲率线方程 (5) 3.2．2空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件 (5) 3.3 测地线 (6) 3.3.1空间曲线的主法线曲面的测地线方程 (6) 3.3.2空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是半测地网的充要条件 (7) 3.3.3空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是测地网的充要条件 (7) 第四章主法线曲面是常曲率或极小曲面的充要条件 (8) 4.1 空间曲线的主法线曲面是常曲率曲面的充要条件 (8) 4.2 空间曲线的主法线曲面是极小曲面的充要条件 (8) 第五章特殊曲线的主法线曲面的性质 (9) 5.1 曲率和挠率均为常数的特殊曲线的主法线曲面的几何性质 (9) 5.2正螺面的几何性质 (10) 致谢： (11) 参考文献： (12)
附录：.......................................................................................... 错误！未定义书签。
空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式摘要：本文研究了刻画空间曲线在某点邻近的弯曲程度和离开平面程度的量—曲率和挠率以及空间曲线论的基本公式--Frenet公式,并且举例有关曲率、挠率的计算和证明. 关键词：空间曲线；曲率；挠率；Frenet公式 Spatial curvature,torsion and Frenet formulas Abstract:This paper studies space curves depict a point near the bend in the degree and extend of the amount of leave plane-the curvature and torsion and the basic formula of space curves-Frenet formulas,and for example the curvature and torsion of the calculation and proof. Key Words: space curves; curvature; torsion; Frenet formulas 前言 空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式是空间曲线基本理论的一部分,它是以空间曲线的密切平面和基本三棱形的知识作为基础的.空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式在空间曲线的基本理论中占有重要位置,是空间曲线的一些基本性质和基本公式.曲线的曲率和挠率完全决定了曲线的形状.当曲线的曲率和挠率之间满足多种不同的关系时,就会得到不同类型的曲线.例如:0 k>时为直线,0 τ=时为平面曲线. 本文将从定义、公式推导和具体举例三方面逐步解析空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式.本文第一部分讲述曲率和挠率的定义,第二部分讲述Frenet公式和曲率、挠率的一般参数表示的推导,第三部分具体举例有关曲率、挠率的计算和证明. 1.空间曲线的曲率和挠率的定义 1.1准备知识—空间曲线的伏雷内标架 给出2c类空间曲线()c和()c上一点p.设曲线()c的自然参数表示是
所谓完整缓和曲线就是某段缓和曲线的一端与直线连接点的曲率半径必须是无穷大(可用10的45次方代替,有时也可用“0”表示，具体情况具体分析)，而缓和曲线两端无论在什么情况下与圆曲线相接时，其两端的曲率半径必须与对应连接圆曲线的半径相等。 现在我们来谈谈非完整缓和曲线，从上面的话知道，如果某段缓和曲线的一端与直线连接点曲率半径不是无穷大，而是一个实数，那么这段缓和曲线就是非完整缓和曲线。 设计图中遇到这种情况，一般会告诉这段缓和曲线的长度(我们把这段缓和曲线的长度记作L2，缺少的一段缓和曲线长度记作L1，L1+L2=完整缓和曲线长度L),如果没告诉这段缓和曲线的长度，也可以通过两端的桩号计算出来、设计参数A及缓和曲线另一端的曲率半径R2(应该是与一个圆曲线相接,也就是说R2等于这个圆曲线的半径)。 我们在输入匝道程序时必须要知道R1(起点曲率半径)，怎么办呢？那就通过计算把R1计算出来不就行了，下面就是计算过程： 由公式：R=A2÷L 推出 R1= A2÷L1 => A2=R1*L1 ……………………………………………………① R2= A2÷(L1+L2) => A2=R2*(L1+L2) ……………………………………………………② R2= A2÷(L1+L2) => R2= A2÷L => L=A2÷ R2 …………………………………………③ 由公式①②推出 R1*L1=R2*(L1+L2) => R1=R2*(L1+L2)÷ L1 …………………………………………④ L=L1+L2 => L1=L-L2 ……………………………………………⑤ 由公式③④⑤推出 R1=R2*L÷(L-L2) => R1= A2÷(A2÷ R2-L2) …………………………………………⑥ 公式⑥就是我们要找的曲率半径公式，计算得到结果计算完毕。 现在我们在编制非完整缓和曲线程序时就清楚的知道起点和终点的曲率半径了。还要说明一点就是，计算出来的曲率半径既是起点也是终点，既是终点也是起点，关键是看线路前进方向了，只要大家细心，分清起点终点输入程序，计算出来的准没错。
§2-8 曲线的曲率 在§2-7中研究了平面曲线的弯曲方向(下凸或上凸)，而没有考虑到曲线的弯曲程度.我们将用曲线的曲率表示曲线的弯曲程度，在研究物体的运动(包括与运动有关的工程或机械设计)时，它有很重要的理论和实际意义. 直线段没有弯曲，所以认为它的曲率为0. 一般情形下，如图2-38，弧 AB 的全曲率规定为起点A 处切线方向与终点B 处切线方向的偏差θ?. 可是，弧 CD 的全曲率与弧 AB 的全曲率相同，但前者显然比后者弯曲得更厉害一些.这就是说，弧的弯曲程度与弧本身的长度有关.因此，就像测量物理量或几何量时先确定一个单位那样，把单位长度弧的全曲率取作测量弧时曲率的单位，而把长度为s ?的弧的全曲率θ?同弧长s ?的比值/s θ??，称为该弧的平均曲率.它有点像质点运动的平均速度.像定义质点运动的瞬时速度那样，把极限 s s s K s d d lim lim 0A B A θ θθ=??=??=→?→ 定义为弧 AB 在点A 处的曲率 (其中θ?为弧 AB 的全曲率, s ?为弧 AB 的长度). 对于半径为R 的圆周来说(图2-39)，由于θ?=?R s ，所以圆周上任一点处的曲率都相等，且曲率为 R s s K s 1 d d lim 0==??=→?θθ 对于一般的弧来说，虽然弧上各点处的曲率可 能不尽相同，但是当弧上点A 处的曲率0A K ≠时， 我们可以设想在弧的凹方一侧有一个圆周，它与弧 在点A 相切(即有公切线)且半径1/A A R K =.这样 的圆周就称为弧上点A 处的曲率圆；而它的圆心称 为弧上点A 处的曲率中心.如图2-40中那个抛物线 在原点O 或点(1,)A a 的曲率圆. 请读者注意，因为曲率有可能是负数．．．．．．．．．．，而曲率半径要与曲率保持相同的正负号．．．．．．．．．．．．．．．．．，所以曲率半．．．．．径也有可．．．．能是负数．．．．.保留曲率或曲率半径的正负号，以便说明曲线的弯曲方向.在实际应用中，有时把绝对值A K 称为曲率. 对于用方程)(x y y =)(b x a ≤≤表示的弧(图2-41)，由于 图2-39 图2-40
曲率和挠率对空间曲线形状的影响 摘 要：曲率和挠率是空间曲线的特性，不同的曲率和挠率函数决定不同形状的曲线，研究常曲率和挠率的空间曲线有特别重要的意义。本文对曲率和挠率的形成及意义进行了探讨，并对常曲率和挠率的空间曲线进行了一定的研究．给出了常曲率和挠率的空间曲线特性. 关键词：曲率 挠率 空间曲线形状 我们知道，空间曲线的形状完全由曲率和挠率决定.而当一个空间曲线的曲率或挠率为常数时，这种曲线具有很强的特性，对这种曲线的特性的研究有利于对空间曲线这部分内容的掌握和理解. 一 曲率的概念和几何意义 1曲率的概念 我们首先研究空间曲线的曲率的概念。在不同的曲线或者同一条曲线的不同点处，曲线弯曲的程度可能不同。例如半径较大的圆弯曲程度较小，而半径较小的圆弯曲程度较大（图1-1）又如图1-2中所示，当沿着曲线从左向右移动时，曲线弯曲的程度变大。为了准确地刻画曲线的弯曲程度，我们引进曲率的概念。 图1-1 图1-2 要从直观的基础上引出曲率的确切的定义，我们首先注意到，曲线弯曲的程度越大，则从点到点变动时，其切向量的方向改变得越快。所以作为曲线在已知线段PQ 的平均弯曲程度可取为曲线在P,Q 间切向量关于弧长的平均旋转角。
设空间中c 3 类曲线（c ）的方程为 ()s γγ= 曲线（C ）上一点P ，其自然参数为S,另一 邻近点p 1 ，其自然参数为s s ?+。 在p, p 1 两点各作曲线（c ）的单位切向量()s α和()s s ?+α。两个切向量间的夹 角是??（图1-3），也就是把点p 1 的切向量()s s ?+α平移到点P 后，两个向量() s α和()s s ?+α的夹角为??。 图1-3 定义 空间曲线（C ）在P 点的 曲率为 ()s s s ??=→?? κ0lim ， 其中s ?为P 点及其邻近点p 1 间的弧长， ??为曲线在点P 和p 1 的的切向量 的夹角。 2曲率的几何意义 利用“一个单位变向量()t γ（即()t γ1=）的微商的模)(' t γ的几何意义是()t γ对于t 的旋转速度”。把这个结果应用到空间曲线（C ）的切向量α上去，则有 ()? =ακs 。 由于? α=? ?γ，所以曲率也可表示为
精品文档 第7章 函数的凸性·曲线的曲率 ①凸函数 函数的“凸性”概念最初来自曲线的弯曲方向。 例如，曲线3 x y =(图1)在Oy 轴左边是向下弯曲的(称为上凸)而在Oy 轴右边是向上弯曲的(称为下凸)。虽然说“弯曲方向” 或“凸性”这些名称是几何上的术语，但经过抽象后的凸函数 理论在其它数学分支中也是很有用的。 从图2中看出，向上弯曲(下凸)的曲线上任何两点的连线(AB 的中点C 在弧AB 的上方；而从图3中看出，向下弯曲(上凸)的曲线上任何两点的连线(弦)AB 的中点C 在弧AB 的下方。 【注1】在国内早期的一些教科书(包括翻译前苏联的一些教科书)中，都把下凸函数称为“凹函数”，而把上凸函数称为“凸函数”。这里的称呼与新近一些教科书或论文中的称呼是一致的。请读者注意到这些区别。 【注2】还请读者注意，通常说“函数()f x 在区间(,)a b 内是下(上)凸函数”，若对于(,)a b 内任意两点1x 和2x 12()x x ≠与任意(0,1)t ∈，都满足琴生(Jesen)不等式 []1212() (1)()(1)()f t x t x t f x t f x >+-<+- 它等价于不等式 () 11221122()()()f t x t x t f x t f x >+<+ （其中1t 和2t 为正数且121t t +=） 显然，不等式(※)是琴生不等式的特殊情形。不过，对于连续函数来说，不等式(※)与琴生不等式是等价的。因此，我们就用简单的不等式(※)定义函数的凸性。关于连续函数情形下两者等价性的证明，有兴趣的读者 图2 O x 1 (x 1+x 2 )/2 x 2 图3
目前在匝道或线路施工坐标计算中经常遇到缓和曲线，实际中相信有很多测友选择用积木法或叫线元法正反算程序进行线路坐标计算，这就牵涉到线元的起点终点曲率半径判断的问题，一般的直线元，圆曲线元的起点终点半径判断，比较容易，可能令大家感觉麻烦的就是缓和曲线起点终点半径判断问题，缓和曲线有时候判断算对了，有时候却坐标算不对，究其原因，其实问题出于该缓和曲线是否是完整缓和曲线引起的。关于这点，相关的课本教材上没有明确的讲述，网上对此问题的解释也是散见于不同的论文著作中，对于测量新手来说，线元法程序是非常适用上手的，但却往往因为遇到不完整缓和曲线的起点或终点的半径判断计算不出来导致坐标计算错误，的确是件令人恼火的事情，在此我就把自己的判断经验做一论述，给用线元法程序的测友们一同分享，当然高手们请一笑而过，也可留下你的经验与大家一起分享交流学习。 第一：先说说完整缓和曲线和不完整缓和曲线以及不对称缓和曲线与对称缓和曲线的概念问题，以免混为一谈. 1.当对于单独一段缓和曲线从其完整与否来讲是分为完整与不完整两类；当对于一个单交点内的两段缓和曲线（即常说的第一缓和曲线和第二缓和曲线而言）又有对称缓和曲线与不对称缓和曲线之分。由此看来，完整与对称与否是针对缓和曲线两个方面来看待区分的。 2.缓和曲线我们的测量教材上讲述的其实就是完整缓和曲线，也可以知道缓和曲线上：各个点的半径是不同的，起点到终点的半径值过度是从正无穷大到所接圆曲线半径之过度如从ZH向HY方向；或者是从所接圆曲线半径值向正无穷大过度的，如从YH向HZ方向。那么由此可以不难判断出来，完整缓和曲线就是符合上述特征的，那么不完整的缓和曲线就是不符合上述特征的，但是线路上的平曲线设计时候一般缓和曲线不单独存在的，整体上缓和曲线前或后一般都是要连接一个圆曲线的，那么不完整缓和曲线其实就是在完整缓和曲线上截取的一段，一般就是去掉了半径无穷大的那端而是从某个点开始的半径值向所接圆曲线半径值过度的。 3.对称与不对称缓和曲线是相对于一个单交点内的两段缓和曲线（即常说的第一
空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式 前言 空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式是空间曲线基本理论的一部分,它是以空间曲线的密切平面和基本三棱形的知识作为基础的.空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式在空间曲线的基本理论中占有重要位置,是空间曲线的一些基本性质和基本公式.曲线的曲率和挠率完全决定了曲线的形状.当曲线的曲率和挠率之间满足多种不同的关系时,就会得到不同类型的曲线.例如:0k >时为直线,0τ=时为平面曲线. 本文将从定义、公式推导和具体举例三方面逐步解析空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式.本文第一部分讲述曲率和挠率的定义,第二部分讲述Frenet 公式和曲率、挠率的一般参数表示的推导,第三部分具体举例有关曲率、挠率的计算和证明. 1. 空间曲线的曲率和挠率的定义 1.1准备知识—空间曲线的伏雷内标架 给出2c 类空间曲线()c 和()c 上一点p .设曲线()c 的自然参数表示是 (),r r s = 其中s 是自然参数，得 dr ds r == α 是一单位向量.α 称为曲线()c 上p 点的单位切向量. 由于1=α，则 ⊥αα ， 即 r r ⊥ . 在α 上取单位向量
= = αr βα r ， (1) β称为曲线()c 上p 点的主法向量. 再作单位向量 =?γαβ， γ称为曲线()c 上p 点的副法向量. 我们把两两正交的单位向量,,αβγ称为曲线上p 点的伏雷内(Frenet)标架. 1.2 空间曲线的曲率 我们首先研究空间曲线的曲率的概念.在不同的曲线或者同一条曲线的不同 点处，曲线弯曲的程度可能不同.例如半径较大的圆弯曲程度较小，而半径较小的圆弯曲程度较大.为了准确的刻画曲线的弯曲程度，我们引进曲率的概念. 要从直观的基础上引出曲率的确切定义，我们首先注意到，曲线弯曲的程度越大，则从点到点变动时，其切向量的方向改变的越快.所以作为曲线在已知一曲线段PQ 的平均弯曲程度可取为曲线在P 、Q 间切向量关于弧长的平均旋转角. 设空间中3c 类曲线()c 的方程为 ().r r s = 曲线()c 上一点p ，其自然参数为s ，另一邻近点1p ，其自然参数为s s +?.在p 、 1p 两点各作曲线()c 的单位切向量()s α和()s s +?α.两个切向量的夹角是??，也 就是把点1p 的切向量()s s +?α平移到点p 后，两个向量()s α和()s s +?α的夹角为??. 我们把空间曲线在p 处的切向量对弧长的旋转速度来定义曲线在点p 的曲率. 定义[]1 空间曲线()c 在p 点的曲率为 ()lim s k s s ? ?→?=?， 其中s ?为p 点及其邻近点1p 间的弧长，??为曲线在点p 和1p 的切向量的夹角. 再利用命题“一个单位变向量()t r （即()1t =r ）的微商的模,()r t 的几何意
1.4 空间曲线的曲率定义及 计算公式 引理 设)(s a → 是单位圆周上的向量，即1||)(||=→ s a ， 设)(s s a ?+→ 与)(s a → 之间的夹角记 为θ?，则有 ||lim ||)(||0s s a s ??='→? → θ 。 证明 因为 s s a s s a s a s ?-?+='→ → →?→ ) ()(lim )(0， 所以| ||| )()(||lim ||)(||0s s a s s a s a s ?-?+='→ →→?→ |||2 2sin 2|lim |2sin 2|lim 00s s s s ?????=??=→?→?θθθ θ | |lim 0s s ??=→?θ 。 （用解等腰三角形或用余弦定理，得 θ ????-+=-?+→ → cos 11211||)()(||22s a s s a
|2 sin |2)2sin 21(222 θ θ?=?--=。） 定理1.2 设曲线Γ：)(s r r → →=（s 是弧长参数）上的每一点有一个单位向量)(s a →，)(s s a ?+→ 与)(s a → 之间的夹角记为θ?，那么 || lim ||)(||0 s s a s ??='→?→ θ 。 设曲线Γ：)(s r r → → =，这里参数s 是曲线自身的弧长，我们知道，)(s r '是曲线的切向量， 1||)(||='→ s r ，即)(s r → '是单位向量。 记)(s r T →→'=，)()(s r s T → →''='， )(s T → 与)(s s T ?+→ 的夹角 θ?， ||lim 0s s ??→?θ度量了曲线的弯曲程度。 || lim ||)(||||)(||0 s s r s T s ??=''='→?→ →θ ，我们称之为曲线)(s r → 的 曲率，用)(s k 来表
利用空间曲线的一般方程计算其曲率和挠 率
利用空间曲线的一般方程计算其曲率和挠率 殷璞 (西北师范大学数学与信息科学学院甘肃兰州 730070) 摘要空间曲线由一般方程由 ?Skip Record If...? 给出时，本文给出了计算曲线曲率和挠率的公式. 关键词曲率挠率曲线的一般方程 Determine the Curvature and Torsion of a Space Curve by the General Equation Yin Pu (College of Mathematics and Information Science, Northwest Normal University, Lanzhou730070,Gansu) Abstract : In this paper, give the general equation of a space curve ?Skip Record If...?, we calculate the formulas of the curvature and torsion. Key words: curvature; torsion; the general equation of a space curve 曲线的曲率描述的是曲线的切向量对于弧长的旋转速度,即曲线的弯曲程度;曲线的挠率其绝对值描述的是曲线的副法向量(或密切平面)对于弧长的旋转速度,即曲线的扭曲程度.计算曲线的曲率和挠率一般是利用曲线的自然(弧长)参数方程进行推导的,所以曲线的方程由一般方程给出时,首先要改写成参数方程,然后再计算曲线的曲率和挠率.但是有些方程不容易改写成自然参数方程,本文就从曲线的一般方程出发直接推导计算曲线的曲率和挠率的公式. 下面,设曲线?Skip Record If...?是两光滑曲面?Skip Record If...?的交线,且 ?Skip Record If...? 是满秩的. 一、计算曲线的曲率
知识点：平面曲线的曲率（MC20306） 1 背景知识与引入方法 在微分几何学中,与平面曲线有关的是三个基本概念：长度、切线和曲率. 瑞士数学家L ?欧拉在1736年首先引进了平面曲线内在坐标这一概念.从而开始了曲线内在几何的研究.欧拉将曲率描述为曲线的切线方向和一固定方向的交角相对于弧长的变化率,这也成为一些教材引入曲率概念的方法之一. 1847年弗雷内得出了曲线的基本微分方程,亦即统称弗雷内公式.后来,G ?达布创造了空间曲线的活动标架概念,完整地建立起曲线理论.所以有些教材把空间的弗雷内标架改造为平面弗雷内公式而导出带有正负号平面曲线曲率公式，它既表示曲线的弯曲程度，又表示曲线的弯曲方向.（如：萧树铁、居余马主编的《高等数学》第Ⅲ卷,或马知恩、王锦森主编的《工科数学分析基础》）. 大多教材通常在直角坐标系下,在曲线上相邻两点的切向量()t s 和()t s s +?之间夹角 α?关于弧长s ?的变化率|| lim 0 s s ??→?α引出曲率公式. 由实际问题先引出曲率圆、曲率半径概念,由曲率半径概念自然给出曲率定义,我们认为方法简洁省事（如章栋恩等人编写《高等数学》上册）. 2 该知识点讲解方法 2.1讲解方法一： 曲率是一个构造型的定义,通常由解决某一具体实际问题的方法来讲清其构造的道理,再引出曲率概念其教法更为简捷,例如力学问题中质点做曲线运动,在某点局部情形的研究,可用圆周曲线来代替,而此圆周曲线（曲率圆）的建立仅仅使用了一阶导、二阶导的简单应用,却以最好的方式接近已知曲线,进而引出了曲率半径定义. 2.1.1曲率圆 1、实际问题： 一质点作曲线运动,考察此运动在某点))(,(00x f x M 局部情形时,可用圆周曲线来替代这点附近的曲线L, 这样就可以用圆周运动的知识来分析
平面曲线的曲率 平面曲线的曲率 一、曲率及其计算公式 曲线弯曲程度的直观描述: 设曲线C 是光滑的, 在曲线C 上选定一点M 0作为度量弧s 的基点. 设曲线上点M 对应于弧s , 在点M 处切线的倾角为α , 曲线上另外一点N 对应于弧s +?s , 在点N 处切线的倾角为α+?α . 度. 记K =?α, 称K 为弧段MN 的平均曲率. ?s |?α|我们用比值|?s |?, 即单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段MN 的平均弯曲程 记K =lim ?α, 称K 为曲线C 在点M 处的曲率. ?s →0?s 在lim ?α=d α存在的条件下, K =d α. ?s →0?s ds ds 曲率的计算公式: 设曲线的直角坐标方程是y =f (x ) , 且f (x ) 具有二阶导数（这时f '(x ) 连续, 从而曲线是光滑的）. 因为tan α=y ' , 所以 sec 2α d α=y ''dx , y ''y ''y ''dx =dx =dx sec 2α1+tan 2α1+y '2 d α=. 又知ds =+y '2dx , 从而得曲率的计算公式 K =|y ''|d α=ds (1+y '2) 3. 例1. 计算直线y =a x +b 上任一点的曲率. 例2. 计算半径为R 的圆上任一点的曲率. 讨论: 1. 计算直线y =a x +b 上任一点的曲率. 提示: 设直线方程为y =ax +b , 则y '=a , y ''= 0. 于是K =0. 2. 若曲线的参数方程为x =?(t ), y =ψ(t ) 给, 那么曲率如何计算提示: K =|?'(t ) ψ''(t ) -?''(t ) ψ'(t ) | [?'2(t ) +ψ'2(t )]3/2. 3. 计算半径为R 的圆上任一点的曲率. 提示: 圆的参数方程为x =R cos t , y =R sin t . 例1. 计算等双曲线x y =1在点(1, 1)处的曲率. 解: 由y = y '=-1, 得 x 21y ''=, . x 2x 3
竖曲线计算公式 一、缓和曲线上的点坐标计算 已知：①缓和曲线上任一点离ZH点的长度：l ②圆曲线的半径：R ③缓和曲线的长度：l0 ④转向角系数：K(1或－1) ⑤过ZH点的切线方位角：α ⑥点ZH的坐标：xZ，yZ 计算过程： 说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1， 公式中n的取值如下： 当计算第二缓和曲线上的点坐标时，则： l为到点HZ的长度 α为过点HZ的切线方位角再加上180° K值与计算第一缓和曲线时相反 xZ，yZ为点HZ的坐标 切线角计算公式： 二、圆曲线上的点坐标计算 已知：①圆曲线上任一点离ZH点的长度：l ②圆曲线的半径：R ③缓和曲线的长度：l0 ④转向角系数：K(1或－1) ⑤过ZH点的切线方位角：α
⑥点ZH的坐标：xZ，yZ 计算过程： 说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下： 当只知道HZ点的坐标时，则： l为到点HZ的长度 α为过点HZ的切线方位角再加上180° K值与知道ZH点坐标时相反 xZ，yZ为点HZ的坐标 三、曲线要素计算公式
公式中各符号说明： l——任意点到起点的曲线长度（或缓曲上任意点到缓曲起点的长度）l1——第一缓和曲线长度 l2——第二缓和曲线长度 l0——对应的缓和曲线长度 R——圆曲线半径 R1——曲线起点处的半径 R2——曲线终点处的半径 P1——曲线起点处的曲率 P2——曲线终点处的曲率 α——曲线转角值 四、竖曲线上高程计算 已知：①第一坡度：i1(上坡为“＋”，下坡为“－”) ②第二坡度：i2(上坡为“＋”，下坡为“－”) ③变坡点桩号：SZ
* §3.3 曲线的弯曲程度——曲率 一、曲率的概念 在上一节中，我们研究了曲线的凹凸性，即曲线的弯曲方向问题。本节研究曲线的弯曲程度问题，这是在生产实践和工程技术中，常常会遇到的一类问题。例如，设计铁路、高速公路的弯道时，就需要根据最高限速来确定弯道的弯曲程度。为此，本节我们介绍描述曲线弯曲程度的概念——曲率及其计算公式。 直觉上，我们知道，直线不弯曲，半径小的圆比半径大的圆弯曲得厉害些，抛物线上在顶点附近比远离顶点的部分弯曲得厉害些。那么如何用数量来描述曲线的弯曲程度呢？ 如图3.6所示，12M M 和23M M 是两段等长的曲线弧，23M M 比12M M 弯曲得厉害些，当点 2M 沿曲线弧移动到点3M 时，切线的转角2α?比 从点1M 沿曲线弧移动到点2M 时，切线的转角1α?要大些。 如图3.7所示，12M M 和12N N 是两段切线转角同为α?的曲线弧，12N N 比12M M 弯曲得厉害些，显然，12M M 的弧长比12N N 的弧长大。 这说明，曲线的弯曲程度与曲线的切线转角成正比，与弧长成反比。由此，我们引入曲率的概念。 如图3.8所示，设,M N 是曲线()y f x =上的两点，当点M 沿曲线移动到点N 时， 切线相应的转角为α?， 曲线弧MN 的长为s ?。 我们用s ??α来表示曲线弧MN 的平均弯曲程 1M 图 3.6 图 3.7 图3.8
2 / 4 度，并称它为曲线弧MN 的平均曲率，记为K ，即 K s α ?= ?。 当0s ?→（即N M →）时，若极限0lim s d s ds αα ?→?= ?存在，从而极限0 l i m s d s d s αα?→?=?存在，则称0lim s d s ds αα ?→?=?为曲线()y f x =在M 点处的曲率，记 为K ，即 d K ds α = 。 （3.1） 注意到， d ds α 是曲线切线的倾斜角相对于弧长的变化率。 二、曲率的计算公式 设函数)(x f 的二阶导数存在，下面导出曲率的计算公式. 先求d α，因为α是曲线切线的倾斜角，所以αtan ='y ，从而y '=arctan α，两边微分，得 ())(11arctan 2y d y y d d ''+= '=αdx y y ''' +=2 11 （3.2） 其次求ds ，如图 3.9，在曲线上任取一点 0M ，并以此为起点度量弧长。若点()y x M ,在()000,y x M 的右侧()0x x >，规定弧长为正；若 点()y x M ,在()000,y x M 的左侧()0x x <，规定弧长为负；依照此规定，弧长s 是点的横坐标x 的增函数，记为()x s s =。 当点M 沿曲线移动到N ，相应地，横坐标由x 变到x x +?时，有 = ?2 )(s () ()()2 2 2 y x MN ?+?=≈， 即 22)(1)( x y x s ??+≈??， 图3.9