说明：
1．任意参数t , 绘曲线。曲线方程可以取自题库，或自由输入。起点或终点可以自动调整。
2．改变为离起点的弧长s为参数，方程相应变换为新的方程。起点或终点s参数也可以自动调整。
3．活动标架应以弧长s 为参数。可先给定固定的某s，用按键来逐步求出并显示标架：三个坐标向量，三个坐标平面与两个特征函数。s，κ(s)，ρ(s)显示于输出栏。
κ(s)，ρ(s)的图形也相应显示于相应窗口。按键可以弹出窗口，显示公式与评注。4．让s 从起点到终点，动起来。
5．把κ(s)，ρ(s)加进第二屏的题库中，备生成图形后与之对比。
文字描述与程序要求
微分几何知识结构网络
曲线论
参量向量表示，即与坐标系，又与参数有关。换参数与坐标系则换表达式。
条件约束：正则。即三阶以上连续可微。
活动标架：
运动公式：
本质特征：与坐标系，又与参数无关。存在唯一定理，决定曲线形状。
三维空间曲线
参量r (t) = [ x (t), y(t), z (t) ] , t0 ≤t ≤T
换参数程序：s (t) = ∫|r ‘(t ) | dt, t = s –1 (t )
换坐标系程序：
活动标架：切向量α(s) α(s) = r ‘(t) / | r ‘(t)| 弧长参数则自动归一。
法向量β(s) β(s)=α‘(s) /|α‘(s)| 向量微商，一定正交。
从法向量γ(s) γ(s) =α(s) X β(s) 画曲线及其活动标架。
α(s) β(s) 张成密切平面。
β(s) γ(s) 张成主法平面。
γ(s) α(s) 张成从法平面。要画曲线在三个坐标平面上的投
影。
本质特征：κ(s) = |α‘(s)| 曲率，未必单位长
ρ(s) = |γ‘(s)| 挠率，
存在唯一定理，决定曲线形状要画曲线的特征曲线。
运动公式：局部关系
d r /ds = α(s)
dα(s)/ds =κ(s) β(s)
dβ(s)/ds =κdα(s)/ds + ρdγ(s)/ds
dγ(s)/ds = -ρ(s) β(s) 解方程组的数值计算程序。
给初始标架，解十二个变量的十二个方程组的初值问题。对比形状。结论。
二维平面曲线
参量r (t) = [ x (t), y(t), z (t)=0 ] , t0 ≤t ≤T
活动标架：α(s)
β(s)
本质特征：κ(s) = |α‘(s)| 曲率，
运动公式：局部关系
α(s) = d r /ds
dα(s)/ds =κ(s) β(s)
dβ(s)/ds = --κdα(s)/ds
给初始标架，解六个变量的六个方程组的初值问题。对比形状。结论。
曲面论
空间曲面
方法：对描述文件生成最后屏幕，还可以供操作。
转到SMIL 及JA V A 描述程序。还可以有中间文件。
对象窗口可以开关。
文本可能在上下位找，放在一定模版上。
程序可操作，
操作对象
程序必要参数，填上符号程序生成数据列表，图示的程序。
按钮说明
结果存放地方
中学数学全套课件制作实例（几何画板） 1、《几何画板》：绘制三角形内接矩形的面积函数图像 2、《几何画板》：求过两点的直线方程 3、《几何画板》：验证两点间距离公式 4、《几何画板》：绘制分段函数的图像 5、《几何画板》：绘制某区间内的函数图像 6、《几何画板》：运用椭圆工具制作圆柱 7、《几何画板》：绘制四棱台 8、《几何画板》：绘制三棱柱 9、《几何画板》：绘制正方体 10、《几何画板》：绘制三角形的内切圆 11、《几何画板》：通过不在一条直线上的3点绘制圆 12、《几何画板》：给定半径和圆心绘制圆 13、《几何画板》：绘制棱形 14、《几何画板》：绘制平行四边形 15、《几何画板》：绘制等腰直角三角形 16、《几何画板》：旋转体教学 17、《几何画板》：画角度的箭头 18、《几何画板》：“派生”关系进行轨迹教学板 19、《几何画板》：制作“椭圆”工具 20、《几何画板》：显示圆和直线的位置关系 21、《几何画板》：研究圆切线的性质 22、《几何画板》：“垂径定理”的教学
23、《几何画板》：证明三角形的中线交于一点 24、《几何画板》：验证分割高线长定理 25、《几何画板》：证明三角形外心和重心的距离等于垂心与重心的距离的一半 26、《几何画板》：证明三角形内角和等于180度 27、《几何画板》：验证三角形面积公式 28、《几何画板》：验证勾股定理 29、《几何画板》：验证正弦定理 30、《几何画板》：验证圆弧的三项比值相等 31、《几何画板》：巧用Excel制作函数图像 32、《几何画板》：绘制极坐标系中的曲线函数图像 33、《几何画板》：绘制带参数的幂函数图像 34、《几何画板》：绘制带参数的正弦函数图像 35、《几何画板》：绘制带参数的抛物线函数图像 36、《几何画板》：绘制带参数的圆函数图像 37、《几何画板》绘制带参数直线函数图像 《几何画板》：绘制三角形内接矩形的面积函数图像 第1步，启动几何画板，依次单击“图表”→“定义坐标系”菜单命令，在操作区建立直角坐标系。单击工具箱上的“文本”工具，移动光标至圆点，当变成一只小黑手时，单击鼠标左键，然后再双击鼠标左键，将标签修改为“A”。同法，给单位点加注标签为“1”。 第2步，单击工具箱上的“点”工具，在坐标系第一象限绘制出任意一点，并用“文本”工具加注标签为B。单击工具箱上的“点”工具，移动光标至X轴上，当X轴呈现高亮度时，单击鼠标左键，在X轴
第一章 曲线论 §2 向量函数 5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r = 0 。 分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t )(t e 的形式，其中)(t e 为单位向量函 数，)(t 为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。 证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t )(t e ，若)(t r 具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t e ，所以 r ×'r = ' （e ×e ）=0 。 反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t )(t e 求微商得'r =' e + 'e ，于是r × 'r =2 （e ×'e ）=0 ，则有 = 0 或e ×'e =0 。当)(t = 0时，)(t r =0 可与任意 方向平行；当 0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。所以，)(t r 具有固定方向。 6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r r 'r ''r ）=0 。 分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。 证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向量， 且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r r ，'r ，''r 垂直于同一 非零向量n ，因而共面，即（r r 'r ''r ）=0 。 反之, 若（r r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r 0 。若r ×'r =0 ，由上题知) (t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×' r ，则存在数量函数)(t 、)(t ， 使''r = r r + 'r ① 令n =r r ×'r ，则n 0 ，且)(t r ⊥)(t n 。对n =r ×'r 求微商并将①式代入得'n =r ×
几何画板视频教程全集(完整) 一、绘制几何图形和几何体[本章实例下载] 实例1 利用画点工具任意画三点 实例2 绘制线段 实例3 绘制过同一点的三条直线 实例4 绘制相同端点的三条射线 实例5 绘制三个同心圆 实例6 绘制共点圆 实例7 绘制圆在第一象限内的部分 实例8 绘制三角形的中线 实例9 绘制三角形的三条角平分线 实例10 绘制三角形的三条高 实例11 绘制相邻两边可以随意改变的平行四边形 实例12 绘制菱形 实例13 绘制梯形的中位线 实例14 绘制等腰梯形 实例15 绘制正三角形 实例16 绘制正五边形 实例17 绘制关于某条直线对称的两个全等的三角形 实例18 绘制关于某点对称的两个三角形 实例19 绘制相似三角形 实例20 绘制五角星 实例21 绘制正方体 实例22 绘制相邻三条棱可改变的三棱柱 实例23 绘制三棱台 实例24 绘制圆柱 实例25 绘制圆锥 实例26 绘制圆台
二、制作度量型课件[本章实例下载] 实例1 验证三角形的中位线定理 实例2 验证圆幂定理 实例3 验证三角形内角和 实例4 验证圆周角与圆心角的关系 实例5 验证同底等高三角形面积相等实例6 验证三角形的面积公式 实例7 验证勾股定理 实例8 验证两点间的距离公式 实例9 验证正弦定理 实例10 验证两平行线间的斜率关系实例11 验证余弦定理 实例12 绘制分段函数
实例1 二次函数的图像 实例2 指数函数的图像 实例3 对数函数的图像 实例4 函数y=sinx的图像 实例5 绝对值函数的图像 实例6 可变系数的二次函数的图像 实例7 可变系数的三角函数的图像 实例8 定义在区间[a,b]上的函数的图像实例9 椭圆的参数方程 实例10 星形线 实例11 圆锥曲线的统一方程 实例12 心脏线
§3曲面的第二基本形式 1. 计算悬链面r r ={coshucosv,coshusinv,u}的第一基本形式,第二基本形式. 解 u r ={sinhucosv,sinhusinv,1},v r ={-coshusinv,coshucosv,0} uu r ={coshucosv,coshusinv,0},uv r ={-sinhusinv,sinhucosv,0}, vv r ={-coshucosv,-coshusinv,0},2u r E = cosh 2u,v u r r F =0,2v r G =cosh 2u. 所以错误!未找到引用源。 = cosh 2u 2du + cosh 2u 2dv . n = 2 F E G r r v u = }sin sinh ,sin cosh ,cos cosh {cosh 1 2 v u v u v u u , L=11 sinh cosh 2 u , M=0, N= 1 sinh cosh 2 u =1 . 所以错误!未找到引用源。 = -2du +2dv 。 2. 计算抛物面在原点的2 2212132452x x x x x 第一基本形式,第二基本形式. 解 曲面的向量表示为}22 5,,{22212121x x x x x x r , }0,0,1{}25,0,1{)0,0(211 x x r x ,}0,1,0{}22,1,0{)0,0(212 x x r x ,}5,0,0{11 x x r , }2,0,0{21 x x r ,}2,0,0{22 x x r , E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 , 错误!未找到引用源。=2221dx dx , 错误!未找到引用源。=2 22121245dx dx dx dx . 3. 证明对于正螺面r r ={u v cos ,u v sin ,bv},-∞ 5.1用参数的迭代研究数列 5.1.1画数列的图像 例1：画d n a a n )1(1-+= 的图像 一、制作效果 如图：选择表格（或者选择图像迭代得到的点），然后按小键盘上的“＋”或者“－”，可以增加或减少点的个数。 二、思路分析 新建参数和函数后，计算出 和 ，然后依次选中它们绘制点，最后迭代参数n ，计算机就会自动画出其余的点。因为这时构造数列的图像，一定要注意参数的初始值。 三、操作步骤 1、新建函数和参数，结果如下图 2、 计算函数值f （n+1）和参数值n+1，结果如上右图； 3、 绘点（ n+1，f （n ＋1）） 4、 迭代：选中参数n ，单击【变换】菜单→迭代，出现对话框，单击绘图区的计算值“n ＋1＝1.00”，对话框中的“？”成为“n+1”。（注意绘图区此时的变化）单击对话框的“迭代”按钮。 四、拓展研究 1、构造结果的附属品表格如不想要，选中它，可以删除掉。还可以在迭代时，单击迭代对话框的“结构”按钮，出现下拉菜单，把“生成迭代数据表”的“√”去掉，就不会出现表格了 2、编辑函数，如（其中）可以得到任意您想要的数列的图像（不一定要求是等差数列，注意是“任意”） 3、您还可以把这个课件作简单的修饰，如用圆的内部代替点，就是在操作步骤第三步绘制点后，再画一条线段，选中线段和点构造圆及圆内部，然后在迭代。调整线段的长短可以控制圆的大小。 例2：已知递推公式画数列的图像（以数列，的图像为例） 一、制作效果 如图：选中参数k，改变它的值，就可以改变点的多少，同时可以看到数列第k项的值（随着k值的变化而变化）。编辑函数可以得到不同递推数列的图像 二、思路分析 这里是用参数的计算值k－1控制迭代的次数，想一想为什么不用k的值来控制？数列的第k项，因为有第一项，只要迭代k－1次就行了。想一想为什么要选用参数n和？仅用参数n的迭代行吗？数列的第k项的值实际上是迭代点的“终点”的纵坐标的值。 三、操作步骤 1、新建函数和参数，（注意，初始值）结果如下图： 目录 第一篇画板入门 第一章用工具框作图 (3) 第二章用构造菜单作图 (19) 第三章用变换菜单作图 (33) 第四章动作按钮的制作 (51) 第五章智能化菜单详解 (58) 第六章认识奇妙的参数 (64) 第二篇范例赏析 范例1 眩目的动画彩轮 (69) 范例2 漂亮的勾股树 (70) 范例3 一个梦幻万花筒 (72) 范例4 闪烁效果的制作 (75) 第三篇精选附录 附录一迭代帮助文件 (79) 附录二平面几何著名定理 (87) 附录三圆锥曲线教材培训 (93) 第一章：用工具框作图 通过本章，你应 1、 熟练使用绘图工具作“点”、“线”、“圆” 2、 学会在几何对象上画“点”、“线”、“圆” 3、 学会用绘图工具构造交点、等圆、直角等的构造技巧 4、 学会“点”、“线”、“圆”的标签的显示和隐藏 5、 理解用几何画板绘图应首先考虑对象间的几何关系 第一节 几何画板的启动和绘图工具的介绍 1、启动几何画板：单击Windows98桌面左下角的“开始”按钮，依次：选择“程序”→选择“几何画板4.03”，单击即可启动几何画板。 进入几何画板系统后的屏幕画面如下图所示 几何画板的窗口是不是和其他Windows 应用程序窗口十分类似？有控制菜单、最大/最小化以 及标题栏，画板窗口的左侧是画板工具栏，画板的右边和下边可以有滚动条可以使小画板处理更大的图形。 画板的左侧是画板工具箱，把光标移动到工具的上面，一会儿就会显示工具的名称，看看它们 分别是什么？它们分别是【选择箭头工具】、【点工具】、【圆规工具】、【直尺 工具】、【文本工具】、【自定义画图工具】。 和一般的绘图软件相比，你会不会感觉它的工具是不是少了点？几何画 板的主要用途之一是用来绘制几何图形。而几何图形的绘制，我们通常是用 直尺和圆规，它们的配合几乎可以画出所有的欧氏几何图形。因为任何欧氏 几何图形最后都可归结为“点”、“线”、“圆”。这种公里化作图思想因为“三 大作图难题”曾经吸引无数数学爱好者的极大兴趣从而在数学历史上影响重 大，源远流长。从某种意义上讲几何画板绘图是欧氏几何“尺规作图”的一 菜单栏 绘图区 状态栏 工具框 第一章 曲线论 §2 向量函数 5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r = 0 。 分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e 为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。 证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r 具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么 )('t r =)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。 反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r ×'r =2 λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=2 2'e e - -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。所以，)(t r 具有固定方向。 6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。 分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。 证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向量，且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r ，'r ，''r 垂直于同一非零向量n ，因而共面，即（r 'r ''r ）=0 。 反之, 若（r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r ≠ 0 。若r ×'r =0 ，由上题知)(t r 具有固定方向，自然平行于 一固定平面，若r ×' r ≠0 ，则存在数量函数)(t λ、)(t μ，使''r = r λ +μ'r ① 令n =r ×'r ，则n ≠ 0 ，且)(t r ⊥)(t n 。对n =r ×'r 求微商并将①式代入得'n =r ×''r =μ（r ×'r ）=μn ， 于是n ×'n =0 ，由上题知n 有固定方向，而)(t r ⊥n ，即)(t r 平行于固定平面。 §3 曲线的概念 1． 求圆柱螺线x =t cos ，y =t sin ，z =t 在（1,0,0）的切线和法平面。 解 令t cos =1,t sin =0, t =0 得 t =0, 'r (0)={ -t sin ,t cos ,1}|0=t ={0,1,1},曲线在(0,1,1)的切线为 1 101z y x ==- ，法平面为 y + z = 0 。 《微分几何》课程教学大纲 课程名称：《微分几何》 课程编码：074112303 适用专业及层次：数学与应用数学（本科） 课程总学时：72学时 课程总学分：4 一、课程的性质、目的与任务等。 1、微分几何简介及性质 微分几何是高等院校数学和数学教育各专业主要专业课程之一，是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间----流形。微分几何与拓扑学等其他数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响，爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。本课程的前导课程为解析几何、高等代数、数学分析和常微分方程。 2、教学目的： 通过本课程的教学，使学生掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法，分析和解决初等微分几何问题，并为进一步学习微分几何的近代内容打下良好的基础。 3、教学内容与任务： 本课程主要应用向量分析的方法，研究一般曲线和曲面的局部理论，同时还采用了张量的符号讨论曲面论的基本定理和曲面的内蕴几何内容，并且讨论了属于整体微分几何的高斯崩尼（Gauss-Bonnet）公式。重点让学生把握理解本教材的前二章。 二、教学内容、讲授大纲与各章的基本要求 第一章曲线论 教学要点： 本章主要研究内容为向量分析，曲线的切线，法平面，曲线的弧长参数表示，空间曲线的基本三棱形，曲率和挠率的概念和计算，曲线论的基本公式和基本定理，从而对 空间曲线在一点邻近的形状进行研究，同时对特殊曲线特别是一般螺线和贝特朗曲线进行研究。通过本章的教学，使学生理解和熟记有关概念，掌握理论体系和思想方法，能够证明和计算有关问题 教学时数：22学时。 教学内容： 第一节向量函数 1.1 向量函数的极限 1.2 向量函数的连续性 1.3 向量函数的微商 1.4 向量函数的泰勒（TayLor）公式 1.5 向量函数的积分 第二节曲线的概念 2.1 曲线的概念 2.2 光滑曲线、曲线的正常点 2.3 曲线的切线和法面 2.4 曲线的弧长、自然参数 第三节空间曲线 3.1 空间曲线的密切平面 3.2 空间曲线的基本三棱形 3.3 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式 3.4 空间曲线在一点邻近的结构 3.5 空间曲线论的基本定理 3.6 一般螺线 考核要求： 1、理解向量函数的极限、连续性、微商、泰勒（TayLor）公式和积分等概念，能 第二章 曲面论 §1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。 解 ?r =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r =}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00 cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------? ?? ????? ??????a a a a a a z a y a x 即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ； 法线方程为 ? ? ????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。 实验报告 数计学院数学与应用数学专业 夏艳红 105012011088【实验名称】：曲线图像的绘制（续） 【实验目的】：进一步掌握特殊要求的函数图像的绘制方法。能熟练应用轨迹的思想绘制曲线图形。 【实验步骤】： 一、如图，已知y 轴两定点A ，B 。点C 在X 轴求，作出∠ACB 随C 点横坐标变化的图像 1、新建画板，建立一个矩形网格的直角坐标系，在y 轴上做两点A 、B ，x 轴上任做一点C 2、度量点C 的横坐标，度量∠ACB ，依次选择度量值X c 和m ∠ACB ，以（X c ，m ∠ACB ）为坐标绘制出点D ； 3、同时选中点C 、D ，绘制轨迹，由实验图像如下图所示： 二、作出 1、新建画板，建立一个矩形网格的直角坐标系，在x 轴上取两点A,B ，并分别度量其横坐标记为a,b. 2、作一个单位圆，取一角度CDE,将其转化为以弧度度量，并度量出为参数 ，θθ θs ec tan {a x b y == 其弧度，并且求出其tan和sec值。 3、分别计算出X=a·secθ，Y=b·tanθ，坐出该点在坐标轴上所对应的点F，再以C点为主动点，F点为被动点，作出轨迹。 三、教材P103：1（3） 1、在x轴上任取一点A，度量并标记其横坐标为k 2、新建函数y=sin（k·sinx），绘制新函数的图象。 实验图像如下图所示： 四、教材P104：1（4） 1、新建画板，建立一个极坐标网格的直角坐标系，新建参数k，定义k的值。 2、新建函数r=sin（k·sinθ），绘制新函数的图象。 五、教材P105：4 1、新建画板，建立一个极坐标系，设定极点标签为0，单位点加注标签B ； 2、用画圆工具做单位圆，并画出半径OC ；用选择工具先后选择点B 、 C 、单位圆做圆弧BC ，度量弧度角BOC ； 3、按住shift 键做射线DE ，并做出射线上的点F ；度量线段DF 、DE 的距离，计算出DF/DE 的值；隐藏点E ，将DF/DE 的标签改为e ； 4、按住shift 键做射线GH ，并做出射线上的点I ；度量线段GI 的距离，将度量值GI 的标签改为p ； 5、隐藏点H ，用计算器带入公式θρcos 1e ep -= 计算极径长；依次选择 计算值θ ρcos 1e ep -=、弧度角BC （即为θ）绘制出点J ； 6、同时选择点C 、J 做轨迹，将线形设置为粗线。 实验图像如下图所示： 六、教材P118：3 1、将x 轴向上平移一个单位得到直线l 。 2、在l 上取一个点B ，以坐标任取x 轴上一点，并过原点和该点作射线 3、过B 作x 轴的垂线，与x 轴交于C,度量出C 的横坐标。 4、计算出Xc*(1+Xc)的值，以C 点的横坐标和Xc*(1+Xc)的值绘点 42246 105510 e ?p 1 e ?cos mBC () = 5.12p = 4.71e = 0.61DE = 10.00DF = 6.05mBC = 0.75弧度P O D E G H B C F I 数学大世界2011/1 shu xue da shi jie 数学大世界 用《几何画板》绘制曲面和空间曲线的探究 宁夏西吉县第二中学 蒙启飞 作为一种简单实用的绘图工具，《几何画板》在中学数学教学中可以发挥它的这一显著优点。那么能不能用 《几何画板》来绘制一些曲面和空间曲线呢？这是一个值得深入思考的问题，同时又是一个看似比较复杂的问题。经过笔者长期思考和不断完善，最终得到一种比较简单同时又能普遍解决这类问题的方法。 一、绘制基本空间图形 例1：建立空间坐标系，并利用坐标控制点的位置步骤： 1.建立空间坐标系。利用“自定义工具”，建立空间坐标系，记 为坐标系O-xyz ，其中点i ， j ，k 分别为x ，y ，z 轴上单位点，调整长度和角度至适当位置。 （如图1）2.新建三个参数x ，y ，z ，用以表示点的三维坐标，如x=2.00，y=3.00，z=2.00。 3.选中点O ，变换/标记中心（“变换”菜单下“标记中心”命令，下同）； 选中参数x ，变换/标记比值；选中点i ， 变换/缩放，弹出缩放对话框，点击“缩放”按钮，得点A 。 类似地，对点j ，k 以O 为缩放中心， 分别以y ，z 为缩放比例进行缩放，得点B ，C 。 4.以线段OA 、OB 、OC 为棱，构造长方体，确定点的位置（如图 2） 依次选中点O 和点B ，变换/标记向量； 选中点A ，C ，变换/平移，得点D ，F ； 类似地，对点A ， D 沿向量OC 进行“平移”得点 E ，P ； 将上述8个点连成长方体OADB-CEPF ，由立体几何知识可知，点P 在空间坐标系O-xyz 中的坐标为P(x ， y ，z ）。（图2） 编辑参数x ，y ，z 的值，发现点P 的位置随之变动。这样便实现了由坐标来控制点的运动的目标。下边我们绘制曲面和空间曲线。 二、绘制曲面和空间曲线 既然前边实现了由坐标来控制点的位置的目的，而曲面和空 间曲线的参数方程都是用参数表示其上点的坐标的，那么，如果把例1的参数x ， y ，z 编辑为曲面或曲线的参数方程，则点P 就是该曲面或曲线上的点，然后利用轨迹功能便可绘制曲面或空间曲线。 例2：绘制地球仪（球面） 实际上只需将参数x ， y ，z 的值分别编辑为球面参数方程即可。 步骤： 1.构造球面参数方程的参数。作一个圆（S ，T 为作圆的原始点）。在圆周上任取两点，记为a ，b ， 选中点a ，T 及圆周 作图/绘制圆弧， 绘制弧Ta ；度量/圆弧角，将结果标签为 a 。 同理，度量圆弧角Tb 的大小，将结果标签为b 。结果如下： a=144.208° b=38.390° 2.编辑参数。根据球面的参数方程将例1的 参数x ， y ，z 分别按照上式进行编辑，不妨设r=4。（编辑/编辑参数命令，或右键/编辑参数，依次对参数x ，y ，z 进行编辑计算。） 3.构造轨迹。选中点a ，P ，作图/轨迹，得点P 的轨迹是椭圆（两条相对的子午线的直观图）。 选中点b ，P ，作图/轨迹，得点P 的轨迹也是椭圆（纬线圈的直观图）。（如图3） 4.追踪轨迹。选中上述两个轨迹，显示/追踪轨迹，再选中点a ，b ，显示/生成点的动画，让点a ，b 运动，调节a ，b 的速度到适当的值，可得图4，即可视为地球仪的模型。 综上所述，只要知道任意曲面或空间曲线的参数方程，都可利用此坐 标系绘制它们的图形，当然也可绘制任意二元函数的图像。大家可以自己举例验证。→ 48 ☆研究与探索☆ 微分几何主要习题解答 第一章 曲线论 §2 向量函数 5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r = 0 。 分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e 为单位向 量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。 证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r 具有固 定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。 反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r × 'r =2 λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ ≠ 0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2 'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。所以，)(t r 具有固定方向。 6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。 分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使 )(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。 证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向 量，且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r ，'r ，''r 垂直 于同一非零向量n ，因而共面，即（r 'r ''r ）=0 。 反之, 若（r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r ≠0 。若r ×'r =0 ，由上题知 )(t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×' r ≠ ，则存在数量函数)(t λ、 )(t μ，使''r = r λ +μ'r ① §3.1曲面及其相关概念 1. 曲面及其参数表示 曲面的坐标形式的参数方程: . 曲面的向量形式的参数方程: , . 简记为 , . 称为曲面的参数或曲纹坐标．也称是点的参数或曲纹坐标. 例1 (1) 圆柱面 cos，sin，z = z, . 其中常数为截圆的半径． 当, 时, , , . 于是 是点的曲纹坐标. (2) 球面 cos cos，cos sin，sin， . 这里, 称为经度，称为纬度. 是球面的半径． 当, 时, , , . 于是 是点的曲纹坐标. (3) 旋转面 把xz平面上一条曲线 ：x =， 绕z轴旋转，得旋转面: x =，y =，． 当, 时, , , . 于是 是点的曲纹坐标. (4) 连续函数的图象 该曲面的参数方程为. 和是参数(曲纹坐标). 是点的曲纹坐标. 坐标曲线 曲线：, 即. 曲线：, 即. 一般地, 通过每一点, 有唯一一条曲线和唯一一条曲线. 曲纹坐标网 例2 （1）圆柱面（例1（1））: cos，sin，z = z. （2）球面（例1（2））: cos cos，cos sin，sin. (3) 旋转面（例1（3））: x =，y =，． (4) 连续函数的图象（例1（4）） 2. 光滑曲面曲面的切平面和法线 在曲面上的(,)点处, u-曲线的切向量, v-曲线的切向量． 定义曲面的正则点(正常点) P0(,): r(,)和 r(,)不平行. 正则曲面: 处处是正则点的曲面. 例在双叶双曲面的一叶(、和均为正的常数, , )上, 经过点的曲线的方程为, 该曲线在点的切向量 ; 经过点的曲线的方程为, 该曲线在点的切向量 . 由于在上的任何点处, 和不平行, 故上的点都是正则点, 从而是正则曲面. 定理3.1.1曲面在正则点的邻域中总可以有形如z = z(x, y)的参数表示． 曲面Σ上一点P0处的切方向(方向): Σ上的经过P的曲线Γ在P0的切方向. 曲面：r = r(u, v)上曲线Γ的(曲纹)坐标式参数方程----Γ: u = u(t)，v = v(t). Γ的向量式参数方程: r = r(u(t), v(t)) = r(t). 其切方向 (t) = r+ r. 也可写为 d r = r u du + r v dv. 微分几何的基本概念： 一、一些重要的基本概念： 1. 平面上的测地线是： 曲线上的测地曲率恒等于零的曲线称为测地线。这样，平面曲线的测地曲率就是它的相对曲率，所以，平面上的测地线就是直线。实际上，测地线的概念是平面上的直线的概念的推广。我们可以从以下几个定理来理解这个推广： 定理1 曲面上的一条曲线是测地线，当且仅当它是直线，或者它的主法向量失曲面的法向量。 定理2 对于曲面上的任意一点P 以及在店P 的任意一个单位切向量V ，在曲面上必存在唯一的一条测地线通过点P ，并且以V 为它在点P 的切向量。 平面上的直线具有这个性质。 2. 确定一个直纹面的要素有： 所谓的直纹面是指单参数直线族所构成的曲面。 正螺旋面就是一个直纹面，圆柱面也是一个直纹面。 确定一个直纹面要有两个要素：一条曲面r=a(u)，以及沿这条曲线定义的一个非零向量场l(u). 经过每一点a(u)、沿方向l(u)可以做唯一的一条直线，它们所构成的曲面是 r=r(u,v)=a(u)+vl(u) 曲线a(u)称为直纹面的准线，而v_曲线称为直纹面的直母线。 3. 曲线的曲率公式为||r , 空间曲线的基本公式是 . ?? ???-=+-==βτγγτακββ κα )()()()(s s s s ；这是著名的伏雷内公式 如果平面上初等区域到三维欧氏空间内建立的对应是 一一的 、双方连续的和在上映射，则称三维欧氏空间中的象为简单曲面． 平面上的点满足的条件为v u r r ?在),(00v u 点不等于零． 4、 切平面方程为0)),(),,(),,((000000=-v u r v u r v u r R v u ． 坐标曲线正交的条件为0=?=y x r r F ． du ：dv=1：2和（-1）：（-2）表示的两切方向之间关系为平行． 球面第一类基本量F=0，其意义是坐标曲线正交, 旋转面的坐标曲线网正交． 5. 两个曲面之间的一个变换是等距的，则对应的面积关系为相等, 如果n r c n q b n p a ?=?=?=,,，那么c b a ,,位置关系是共面, )(s r 具有固定方向与 r r ?=0 的关系是充分条件 。 6. 一次函数b t a t r +=)(（t 为参数 ,a 几何画板视频教程全集(完整)一、绘制几何图形和几何体[本章实例下载] 实例1 利用画点工具任意画三点 实例2 绘制线段 实例3 绘制过同一点的三条直线 实例4 绘制相同端点的三条射线 实例5 绘制三个同心圆 实例6 绘制共点圆 实例7 绘制圆在第一象限内的部分 实例8 绘制三角形的中线 实例9 绘制三角形的三条角平分线 实例10 绘制三角形的三条高 实例11 绘制相邻两边可以随意改变的平行四边形 实例12 绘制菱形 实例13 绘制梯形的中位线 实例14 绘制等腰梯形 实例15 绘制正三角形 实例16 绘制正五边形 实例17 绘制关于某条直线对称的两个全等的三角形 实例18 绘制关于某点对称的两个三角形 实例19 绘制相似三角形 实例20 绘制五角星 实例21 绘制正方体 实例22 绘制相邻三条棱可改变的三棱柱实例23 绘制三棱台 实例24 绘制圆柱 实例25 绘制圆锥 实例26 绘制圆台 二、制作度量型课件[本章实例下载] 实例1 验证三角形的中位线定理 实例2 验证圆幂定理 实例3 验证三角形内角和 实例4 验证圆周角与圆心角的关系 实例5 验证同底等高三角形面积相等 实例6 验证三角形的面积公式 实例7 验证勾股定理 实例8 验证两点间的距离公式 实例9 验证正弦定理 实例10 验证两平行线间的斜率关系 实例11 验证余弦定理 实例12 绘制分段函数 三、制作图像型课件[本章实例下载] 实例1 二次函数的图像 实例2 指数函数的图像 实例3 对数函数的图像 实例4 函数y=sinx的图像 实例5 绝对值函数的图像 实例6 可变系数的二次函数的图像 实例7 可变系数的三角函数的图像 实例8 定义在区间[a,b]上的函数的图像 实例9 椭圆的参数方程 实例10 星形线 实例11 圆锥曲线的统一方程 实例12 心脏线 四、?制作动画型课件[本章实例下载] 实例1 两圆的位置关系 实例2 制作向量平移动画 实例3 制作切割三棱柱动画 实例4 三角形拼接成平行四边形 实例5 用定义画椭圆 实例6 绘制抛物线动画 实例7 研究指数函数图像与对数函数图像的关系实例8 绘制函数y=Asinx的图像 实例9 圆锥的形成 用几何画板巧作一段正切曲线 首先启用几何画板软件（如果您电脑上没有安装该软件，可以到网上免费下载，但4.0版的不免费），该画法分六步： 第一步：在图表菜单中选择建立直角坐标系命令，在图表菜单中选绘制点选项，绘制出点()057.1，-C 、()057.1，D 、()057.2，-E ．（57.12≈π ，4.0以上版可以直接绘制点)0,2(π ） 同时选点C 、y 轴（按住shift 、下同），在作图菜单中选择平行线选项，做过C 点平行于y 轴的直线j ，同理可做出过D 点的且平行于y 轴的直线k ． 第二步：选择点E 、点C ，在作图菜单中选择“以圆心和圆周上的点画圆”选项，做出以E 为圆心，以线段CE 为半径的圆，过E 点作出平行于y 轴的直线l ，选择圆和l ，在作图菜单中选择“交点”选项，作出l 与圆的交点G 、F 、隐藏l 和圆，选择点G 、C 、F ，在作图菜单中选择“过三点的弧”选项，做出过G 、C 、F 三点的弧，连接点G 、点F 、做出完整的半圆。 第三步：选择“点”工具，在半圆上做出一个点H ，按照C 、E 、H 的顺序依次选择三个点，在“度量”菜单中选择“角度”选项，度量出CEH ∠的大小，在“显示”菜单中选择“参数选择”选项，在对话框中把“角度”改为“弧度”，选择CEH ∠的度量值，在“图表”菜单中选择“绘制度量值”选项，出现绘制度量值对话框，单击“确定”，屏幕上出现一条垂直于x 轴的虚线n 第四步：作出线段EH ，在“作图”菜单中，做出过点H 的线段HE 的垂线P ，过H 作P 的垂直平分线E ，作出直线P 和直线j 的交点I ，隐藏直线P 、E 和线段EH ，作出线段EI ，过点工作直线n 的垂线S ，作出S 和n 的交点J ，隐藏垂线S ，过点I 、J 作线段IJ ，选择J 点，打开“显示”菜单选择“追踪点”选项，当点H 在半圆上运动时，点I 的轨迹就是正切图像。 第五步：选择H 点和半圆，打开“编辑”菜单，选择“操作类按钮”选项，在下拉菜单中选择“动画”选项，在“匹配路径”对话框中，根据情况选择您所需要的动画，双击“动画”图标，点H 就自动地绕着半圆运动，此时点I 的轨迹就是正切x y tan =的一段图像 第六步：同时选择点H 和点J ，打开“作图”菜单，选择“轨迹”选项，正切和图像就出现了，选择正切图像，在“编辑”对话框中选择“操作类按钮”中的隐藏就可以根据您的需要显示或隐藏正切图像。 第二章曲面论 §1曲面的概念 1.求正螺面={ u ,u , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为={u ,u ,bv }=｛0,0，bv｝＋u {,,0}，为曲线的直母线；v-曲线为={,,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为={ a（u+）, b（u-）,2u}={ a, b,0}+ u{a,b,2} 表示过点{ a, b,0}以{a,b,2}为方向向量的直线; v-曲线为=｛a（+v）, b（-v）,2v｝=｛a, b,0｝+v{a,-b,2}表示过点(a, b,0)以{a,-b,2}为方向向量的直线。 3．求球面=上任意点的切平面和法线方程。 解=， = 任意点的切平面方程为 即 xcos cos + ycos sin + zsin - a = 0 ； 法线方程为。 4．求椭圆柱面在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。 解椭圆柱面的参数方程为x = cos, y = asin, z = t , , 。所以切平面方程为： ，即x bcos + y asin－ a b = 0 此方程与t无关，对于的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。 5．证明曲面的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。 证，。切平面方程为：。 与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,)。于是，四面体的体积为： 是常数。 §２曲面的第一基本形式 1.求双曲抛物面＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的第一基本形式. 解 , ∴ I = 2。 ２．求正螺面={ u ,u , bv }的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直。 《微分几何》教学大纲 课程名称：微分几何 课程编号：0641010 课程类别：专业必修课程 适用对象：数学与应用数学专业（4年制普通本科） 总学时数：54 学分：3 一、课程性质和教学目标 1．课程性质：本课程是数学与应用数学专业的专业必修课程； 2．教学目标：学习和掌握三维欧氏空间中曲线和曲面的基本知识、培养学生直观能力，以及运用分析、代数等工具来研究、解决几何问题的能力，熟悉三维欧氏空间中常见曲线和常见曲面的方程和形状；掌握三维欧氏空间中曲线和曲面的各种曲率的计算；理解三维欧氏空间中曲线和曲面微分几何的基本理论和基本方法；了解曲面内蕴微分几何的意义、基本概念和理论。 二、教学要求和教学内容 第一章曲线论（12学时） 【教学要求】 1. 掌握向量的运算法则及其性质：加法、减法、数乘、数量积、向量积； 2. 理解向量分析的基本内容； 3. 掌握曲线的概念及其参数表示、曲线的切线、法面和密切平面、弧长公式和弧长参数。 4. 掌握曲线的曲率、曲线的单位切向量、主法向量、副法向量、Frenet标架和曲线的挠率。 5. 能计算 Frenet公式、一般参数下的曲率、挠率和Frenet公式。 6. 掌握曲线论的基本定理。 7. 了解曲线在一点邻近的结构。 【教学内容】 ●讲授内容 1. 向量分析的基本内容； 2. 曲线的概念及其参数表示、曲线的切线和法面、弧长公式和弧长参数； ※3. 曲线的曲率、单位切向量、主法向量，副法向量、Frenet标架、挠率、Frenet公式；※4. 曲线论的基本定理； 5．曲线在一点邻近的结构。 第二章曲面的第一基本形式 (10学时) 【教学要求】 1．掌握曲面的参数表示、曲纹坐标网、曲面在一点的切方向、曲面的切平面和法线； 2. 理解曲面上的曲线族和曲线网； 3．能计算曲面的第一基本形式、曲面上曲线的弧长、曲面上两个切方向的夹角、曲面域的面积； 4．掌握曲面间的保长变换和保角变换； 5. 了解可展曲面的例子、直纹面可展的条件、可展曲面的分类、可展曲面和平面间的保长变换。 【教学内容】 ●讲授内容 1. 曲面的概念和参数表示、曲面的切平面和法线； ※2. 曲面的第一基本形式、曲面上两个切方向的夹角、曲面域的面积； ※3. 曲面间的保长变换和保角变换； 4．直纹面可展的条件、可展曲面和平面间的保长变换。 5．直纹面、可展曲面、可展曲面的分类。 第三章曲面的第二基本形式 (12学时) 【教学要求】 1. 能计算曲面的第二基本形式、曲面上曲线的曲率； 2. 掌握曲面上沿切方向的法曲率、Dupin指标线； 3. 理解曲面的渐近方向和共轭方向； 4. 理解曲面的主方向和曲率线、主方向的判别定理； 5. 能计算曲面的主曲率、平均曲率和Guass曲率； 6. 了解曲面在一点邻近的结构； 7. 了解Gauss曲率的几何意义。 【教学内容】 ●讲授内容用参数的迭代研究数列(几何画板)
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