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2016成都一诊数学理科

n S S =++1+=n n

?n k ≤

,0==n S k 输入

开始

结束

S 输出

是

否

成都市高2016届高三第一次诊断考试

数学试题(理科)

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合{|(1)(2)0}A x x x =∈+-≤Z ，{|22}B x x =-<<，则A

B =

（A ）{|12}x x -≤< （B ）{1,0,1}- （C ）{0,1,2} （D ）{1,1}-

2．在ABC ?中，“4A π=

”是“2

cos 2

A =”的（A ）充分不必要条件（

B ）必要不充分条件

（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件

3．如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为（A ）3:1 （B ）2:1 （C ）1:1 （D ）1:2

4．设147()9a -=，1

59()7

b =，2

7log 9c =，则a , b , c 的大小顺序是（A ）b a c << （B ）c a b << （C ）c b a << （D ）b c a <<

5．已知n m ,为空间中两条不同的直线，βα,为空间中两个不同的平面，下列命题中正确

的是

（A ）若βα//,//m m ，则βα//

（B ）若,m m n α⊥⊥，则//n α

（C ）若n m m //,//α，则α//n （D ）若βα//,m m ⊥，则βα⊥

6．执行如图所示程序框图，若使输出的结果不大于50，则输入的整数k 的最大值为

（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 7．已知菱形ABCD 边长为2，3

B π

∠=

，点P 满足AP AB λ=，λ∈R ．若3BD CP ?=-，则λ的值为

（A ）

（B

）1

（C ）1

（D ） 1

正视图侧视图

俯视图

8．过双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左顶点A 作斜率为1的直线，该直线与双曲线两

条渐近线的交点分别为,B C .若1

AB BC =，则此双曲线的离心率为

（A ）10 （B ）5 （C ）3 （D ）2

9．设不等式组40

2020x y x y y -+≤??

+-≤??-≥?

表示的平面区域为D .若指数

函数(0x y a a =>且1)a ≠的图象经过区域D 上的点，则a 的取值范围是

（A ）[2]3，（B ）[3,)+∞ （C ）(0]1

，（D ）

[,1)3

10．如果数列{}n a 中任意连续三项奇数项与连续三项偶数项均能构成一个三角形的边长，则称{}n a 为“亚三角形”数列；对于“亚三角形”数列{}n a ，如果函数()y f x =使得

()n n b f a =仍为一个“亚三角形”数列，则称()y f x =是数列{}n a 的一个“保亚三角形函

数”（*

n ∈N ）.记数列{}n c 的前n 项和为n S ，12016c =，且15410080n n S S +-=，若()lg g x x =是数列{}n c 的“保亚三角形函数”，则{}n c 的项数n 的最大值为（参考数据：lg 20.301≈，lg 2016 3.304≈）（A ）33 （B ）34 （C ）35 （D ）36

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11．设复数z 满足i (32i)(1i)z -=+-（其中i 为虚数单位），则z = ．

12．7(2)x -的展开式中，2

x 的系数是．

13．甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污损，记甲，乙的平均成绩分别为x 甲，x 乙，则x >甲x 乙的概率是．

14．如图，某房地产公司要在一块矩形宽阔地面上开发物业，阴影部分是不能开发的古建筑群，且要求用在一条直线上的栏栅进行隔离，古建筑群的边界为曲线2

413

y x =-

的一部分，栏栅与矩形区域边界交于点M ，N ．则MON ?面积的最小值为．

甲乙 4 7 5 8 7 6

9 9 2 4 1

15．已知函数23

log (2),0()33,x x k f x x x k x a

-≤

-+≤≤? .若存在k 使得函数()f x 的值域为[1,1]-，

则实数a 的取值范围是．

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）

已知等比数列{}n a 的公比1q >，且212()5n n n a a a +++=．（Ⅰ）求q 的值；

（Ⅱ）若2510a a =，求数列{

n a 的前n 项和n S ． 17．（本小题满分12分）

某类题库中有9道题，其中5道甲类题，每题10分，4道乙类题，每题5分．现从中任意选取三道题组成问卷，记随机变量X 为此问卷的总分．（Ⅰ）求X 的分布列；

（Ⅱ）求X 的数学期望()E X ． 18．（本小题满分12分）

已知向量m 31

(cos 2,

sin cos )22

x x x =-，n 31(1,sin cos )22x x =-，设函数()f x =m n ．

（Ⅰ）求函数()f x 取得最大值时x 取值的集合；

（Ⅱ）设A ，B ，

C 为锐角三角形ABC 的三个内角.若3cos 5B =，1

()4

f C =-，求sin A 的值．

19．（本小题满分12分）

如图，菱形ABCD 与正三角形BCE 的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD ⊥平

面ABCD ，且3FD =．

（Ⅰ）求证：//EF 平面ABCD ；

（Ⅱ）若60CBA ∠=?，求二面角A FB E --的余弦值． 20．（本小题满分13分）

已知椭圆22

132

x y E +=的左右顶点分别为A ，B ，点P 为椭圆上异于,A B 的任意一点.

（Ⅰ）求直线PA 与PB 的斜率之积；

（Ⅱ）设(,0)(3)Q t t ≠-，过点Q 作与x 轴不重合的任意直线交椭圆E 于M ，N 两点.则是否存在实数t ，使得以MN 为直径的圆恒过点A ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分14分）

已知函数2

1()(1)ln ()2

f x ax a x x a =-

++-∈R ．（Ⅰ）当0a >时，求函数()f x 的单调递减区间；

（Ⅱ）当0a =时，设函数()()g x xf x =.若存在区间1

[,][,)2

m n ?+∞，使得函数()g x 在[,]m n 上的值域为[(2)2,(2)2]k m k n +-+-，求实数k 的取值范围．

数学（理科）参考答案及评分意见

第I 卷（选择题，共50分）

一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分)

1.B ；

2.B ；

3.C ；

4.C ；

5.D ；

6.A ；

7.A ；

8.B ；

9.D ； 10.A.

第II 卷（非选择题，共100分）

二．填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分) 11.15i +； 12.280-； 13.

25; 14.2

； 15.[2,13]+. 三、解答题：(本大题共6小题，共75分) 16．解：（Ⅰ）

212()5,n n n a a a +++= 2

2()5.n n n a a q a q ∴+=

由题意，得0n a ≠，∴2

2520.q q -+=

2q ∴=或1

1q >， 2.q ∴= ……………………6分

（Ⅱ）2510,

a a = 429

11().a q a q ∴=

12a ∴=.

∴112.n n n a a q -==

∴2().33

n n n a = ∴122[1()]

2332.2313n n n n S +-=

=--

……………………12分 17．解：（Ⅰ）由题意，X 的所有可能取值为15，20，25，30.

∵34

39C 1(15)=C 21P X ==，214539C C 5(20)=,

C 14P X ?==

1245

C C 10(25)=C 21P X ?==

，35

39C 5(30)=C 42

P X ==，

∴X 的分布列为：

15 20

121

514 1021 542

………………7分（Ⅱ）()E X 151051520253021142142=?

+?+?+?

= ………………12分 18.解：（Ⅰ）231

()cos 2(

sin cos )22

f x x x x =+- 22313

cos 2(sin cos sin cos )442

x x x x x =++-

133(cos 2sin 2)244

x x =

--+ 13sin(2).

223x π

……………………3分要使()f x 取得最大值，须满足sin(2)3

x π

-取得最小值.

∴22,32

x k k ππ

=π-∈Z. ∴,12x k k π

=π-∈Z.

……………………5分 ∴当()f x 取得最大值时,x 取值的集合为{|,}.12

x x k k π

=π-∈Z ……………………6分

（Ⅱ）由题意，得3sin(2).32

C π-=-

(0,),2C π∈22(,).333C πππ∴-∈-3C π

∴=. ………………9分

(0,)2B π∈，4sin .5

B ∴=

sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C ∴=+=+

4133433.525210

+=?+?= ………………12分 19.解：（Ⅰ）如图，过点E 作EH BC ⊥于H ，连接.HD

3EH ∴=.

平面ABCD ⊥平面BCE ，EH ?平面BCE ，平面ABCD 平面BCE 于BC ，

∴EH ⊥平面.ABCD

又

FD ⊥平面ABCD ， 3.FD =

//.FD EH ∴

∴四边形EHDF 为平行四边形. //.EF HD ∴

EF ?平面ABCD ，HD ?平面,ABCD

//EF ∴平面.ABCD ………6分（Ⅱ）连接.HA 由（Ⅰ），得H 为BC 中点，又60CBA ∠=?，ABC ?为等边三角形，

∴.HA BC ⊥分别以,,HB HA HE 为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -.

C B

则(1,0,0),(2,3,3),(0,03),(0,3,0).B F E A -

(3,3,3)BF =-，(1,3,0)BA =-，(1,0,3).BE =- 设平面EBF 的法向量为1111(,,)x y z =n .由110

0BF BE ??=???=??，

n n 得111113330

.30x y z x z ?-++=??-+=??令11z =，得1(3,2,1)=n . 设平面ABF 的法向量为2222(,,)x y z =n .由220

0BF BA ??=??

?=??，n n 得222223330

.30

x y z x y ?-++=??

-+=??令21y =，得2(3,1,2)=n . 1212123227

cos ,.||||3148

?++∴<>=

==?++n n n n n n

故二面角A FB E --的余弦值是7

. ………………………12分 20.解：（Ⅰ）(3,0),(3,0)A B -.设点(,)P x y (0)y ≠.

则有22132x y +=，即22

222(1)(3).33

x y x =-=- 2

33PA PB

y y y k k x x x ∴?=?=-+-222

(3)

23.33x x -==-- …………………4分

（Ⅱ）令11(,)M x y ，22(,)N x y .MN 与x 轴不重合，∴设:()MN l x my t m =+∈R .

由22

2360

x my t x y =+??+-=?，得222

(23)4260.m y mty t +++-= 2222122

2122164(23)(26)04.232623m t m t mt y y m t y y m ?

??=-+->?

∴+=?+?

?-?=

?+?

……（*）由题意,得AM AN ⊥.即0.AM AN ?=

x C B

1122,,x my t x my t =+=+

1212[(3)][(3)]0.AM AN my t my t y y ∴?=+++++=

221212(1)(3)()(3)0.m y y m t y y t ∴++++++=

将（*）式代入上式,得22

264(1)(3)(3)0.2323

t mt m m t t m m --+++++=++ 即

222222222

2626443(23)(233)0.t m t m m t m t m t t -+---++++= 展开，得2222222222

2626443243t m t m m t m t m t m t -+---++

22636390.m t t ++++=

整理，得2

56330t t ++=.解得3

t =-

或3t =-（舍去）. 经检验，3

t =-

能使0?>成立. 故存在3

t =-

满足题意. …………………………13分 21.解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，(1)(1)

()(0).ax x f x a x

--'=->

①当(0,1)a ∈时，

1a >. 由()0f x '<，得1x a >或1x <.∴当(0,1)x ∈，1

(,)x a

∈+∞时，()f x 单调递减.

∴()f x 的单调递减区间为(0,1),1

(,)a

+∞.

②当1a =时，恒有()0f x '≤，∴()f x 单调递减. ∴()f x 的单调递减区间为(0,)+∞.

③当(1,)a ∈+∞时，1

由()0f x '<，得1x >或1x a <.∴当1

(0,)x a ∈，(1,)x ∈+∞时，()f x 单调递减.

∴()f x 的单调递减区间为1

(0,)a

,(1,)+∞.

综上，当(0,1)a ∈时，()f x 的单调递减区间为(0,1),1

(,)a

+∞；

当1a =时，()f x 的单调递减区间为(0,)+∞；

当(1,)a ∈+∞时，()f x 的单调递减区间为1(0,)a

,(1,).+∞ .………6分

（Ⅱ）当0a =时，2()ln ,(0,)g x x x x x =-∈+∞，()2ln 1g x x x '=--，1

[()]2g x x

''=-.当1[,)2

x ∈+∞时，1[()]20g x x ''=-

≥，∴()g x '在1

[,)2

+∞上单调递增. 又1()ln 20,2g '=>1()()02g x g ''∴≥>在1

[,)2

+∞上恒成立.

()g x ∴在1

[,)2

+∞上单调递增.

由题意，得22

ln (2)2

.ln (2)2

m m m k m n n n k n ?-=+-??-=+-?? 原问题转化为关于x 的方程2

ln (2)2x x x k x -=+-在1[,)2

+∞上有两个不相等的实数

根. .……9分

即方程2ln 22x x x k x -+=+在1

[,)2+∞上有两个不相等的实数根.

令函数2ln 21

(),[,)22

x x x h x x x -+=

∈+∞+. 则22

32ln 4()(2)x x x h x x +--'=+. 令函数2

1()32ln 4,[,)2p x x x x x =+--∈+∞. 则(21)(2)()x x p x x -+'=

在1

[,)2+∞上有()0p x '≥.

故()p x 在1

[,)2

+∞上单调递增.

(1)0p =，

∴当1

[,1)2

x ∈时，有()0p x <即()0h x '<.∴()h x 单调递减；

当(1,)x ∈+∞时，有()0p x >即()0h x '>，∴()h x 单调递增.

19ln 2

()2105

h =+，(1)1,h =10210ln 21021023(10)12123h --=

>=>1()2h ， ∴k 的取值范围为9ln 2

(1,].105+

…………14分

2015成都一诊数学理科模拟2

成都一诊模拟题2 理科数学试题第Ｉ卷一、选择题（本大题10个小题，每题5分，共50分,请将答案涂在答题卷上) 1、设全集U R =，{ ,A x y == {} 2,x B y y x R ==∈，则() R C A B =（ ▲ ） A 、{ }0 x x < B 、{}01x x <≤ C 、{}12x x ≤＜ D 、{}2x x > 2、定义两种运算：22b a b a -=⊕，2)(b a b a -= ?，则函数2 )2(2)(-?⊕= x x x f 为（ ▲ ） A 、奇函数 B 、偶函数 C 、既奇且偶函数 D 、非奇非偶函数 3、对于函数(),y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“y =()f x 是奇函数”的（ ▲） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要 4、下列4个命题: （1）若a b <，则22 am bm <；（2） “2a ≤”是“对任意的实数x ，11x x a ++-≥成立”的充要条件；（3）命题“x R ?∈，02 >-x x ”的否定是：“x R ?∈，02 <-x x ”；（4）函数21 ()21 x x f x -=+的值域为[1,1]-。其中正确的命题个数是（ ▲ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、0 5、定义在实数集R 上的函数()f x ，对一切实数x 都有）（）（x f x f -=+21成立，若()f x =0仅有101 个不同的实数根，那么所有实数根的和为（ ▲ ） A ．101 B ．151 C ．303 D ． 2 303 6、方程08349 2sin sin =-+?+?a a a x x 有解，则a 的取值范围（ ▲ ） A 、0>a 或8-≤a B 、0>a C 、3180≤a ，若仅有一个常数c 使得对于任意的]2,[a a y ∈，都有],[2 a a x ∈满足方程c y x a a =+log log ，这时c a +的取值为（ ▲ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 10、定义][x 表示不超过x 的最大整数，记{}][x x x -=，其中对于3160≤≤x 时，函数 1}{sin ][sin )(22-+=x x x f 和函数{}13 ][)(-- ?=x x x x g 的零点个数分别为.,n m 则（▲） A ．313,101==n m B ．314,101==n m C ．313,100==n m D ．314,100==n m