研究卷积在时域-频域信号中的应用
卷积定义：若已知函数()1f t ，()2f t ，称积分()()12d f f t τττ+∞-∞
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卷积积分是一种数学方法，它是沟通时域-频域的一个桥梁，在信号与系统的理论研究中占有重要的地位。在很多情况下，卷积积分的计算比较困难，但是根据卷积的特性可以将卷积积分变成乘法运算，从而使信号分析人工化。变成的乘法运算即
若
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※现给出卷积定理在时域-频域中应用的证明 ()()()()1212d f t f t f f t τττ+∞
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总结：时域中的信号卷积，对应着频域乘积；而时域中的信号乘积，对应着频域卷积，即
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信息与通信工程学 院实验报告 课程名称:数字信号处理 实验题目:卷积定理 指导教师: 班级: 学号: 学生姓名: 一、实验目的与任务 通过本实验,验证卷积定理,掌握利用DFT 与FFT 计算线性卷积的方法。 二、实验原理 时域圆周卷积在频域上相当于两序列DFT 的相乘,因而可以采用FFT 的算法来计算圆周卷积,当满足121-+≥N N L 时,线性卷积等于圆周卷积,因此可利用FFT 计算线性卷积。 三、实验内容及步骤 1. 给定离散信号)(n x 与)(n h ,用图解法求出两者的线性卷积与圆周卷积; 2. 编写程序计算线性卷积与圆周卷积; 3. 比较不同列长时的圆周卷积与线性卷积的结果,分析原因。 三、实验数据及程序代码 给定两个序列[][]1,6,0,5,0,3,4,2,4,3,1,6,0,5,0,3,4,2X Y ==,点数N=18,分别用conv()函数与FFT 与IFFT 计算卷积。代码如下: clc;clear; x = [1 6 0 5 0 3 4 2 4 3]; %原始序列 y = [1 6 0 5 0 3 4 2]; N = length(x) + length(y); %两序列的长度与 z=conv(x,y); %直接计算线性卷积 %利用 FFT 计算 % %手动补零 % x1 = [x zeros(1,N-length(x))]; %利用对序列 x 补零点 % y1 = [y zeros(1,N-length(y))]; %利用对序列 x 补零点 X = fft(x , N); %对两序列分别求 FFT Y = fft(y, N); Z = X 、*Y; %对两序列的 FFT 相乘并求 IFFT z1=ifft(Z); figure('numbertitle','off','name','1605034243刘桢'); subplot(221),stem(x);axis([1 N -inf inf]);title('序列 x'); subplot(222),stem(y);axis([1 N -inf inf]);title('序列 y'); subplot(223),stem(z);axis([1 N -inf inf]);title('直接卷积'); subplot(224),stem(z1);axis([1 N -inf inf]);title('N=18 点的圆周卷积'); 成绩
信息与通信工程学院实验报告 课程名称：数字信号处理 实验题目：卷积定理 指导教师： 班级： 学号： 学生姓名： 一、实验目的和任务 通过本实验，验证卷积定理，掌握利用DFT 和FFT 计算线性卷积的方法。 二、实验原理 时域圆周卷积在频域上相当于两序列DFT 的相乘，因而可以采用FFT 的算法来计算圆周卷积，当满足121-+≥N N L 时，线性卷积等于圆周卷积，因此可利用FFT 计算线性卷积。 三、实验内容及步骤 1. 给定离散信号)(n x 和)(n h ，用图解法求出两者的线性卷积和圆周卷积； 2. 编写程序计算线性卷积和圆周卷积； 3. 比较不同列长时的圆周卷积与线性卷积的结果，分析原因。 三、实验数据及程序代码 给定两个序列[][]1,6,0,5,0,3,4,2,4,3,1,6,0,5,0,3,4,2X Y ==， 点数N=18，分别用conv()函数和FFT 与IFFT 计算卷积。代码如下： clc;clear; x = [1 6 0 5 0 3 4 2 4 3]; %原始序列 y = [1 6 0 5 0 3 4 2]; N = length(x) + length(y); %两序列的长度和 z=conv(x,y); %直接计算线性卷积 %利用 FFT 计算 % %手动补零 % x1 = [x zeros(1,N-length(x))]; %利用对序列 x 补零点 % y1 = [y zeros(1,N-length(y))]; %利用对序列 x 补零点 X = fft(x , N); %对两序列分别求 FFT Y = fft(y, N); Z = X.*Y; %对两序列的 FFT 相乘并求 IFFT
研究卷积在时域-频域信号中的应用 卷积定义：若已知函数()1f t ，()2f t ，称积分()()12d f f t τττ+∞-∞ -?为函数()1f t ，()2f t 的卷积，记为()()12f t f t *，即 ()()()()1212d f t f t f f t τττ+∞ -∞*=-? 卷积积分是一种数学方法，它是沟通时域-频域的一个桥梁，在信号与系统的理论研究中占有重要的地位。在很多情况下，卷积积分的计算比较困难，但是根据卷积的特性可以将卷积积分变成乘法运算，从而使信号分析人工化。变成的乘法运算即 若 ()(f)x t X ? ()(f)y t Y ? 则()()(f)Y(f)x t y t X *?，()()(f)Y(f)x t y t X ?* ※现给出卷积定理在时域-频域中应用的证明 ()()()()1212d f t f t f f t τττ+∞ -∞*=-? 上式两边进行傅里叶变换，有 ()()()()j 1212d e d F t f t f t f f t t ωτττ+∞+∞--∞-∞??=???*-???? ? ?? 交换积分次序 ()()()()j 1212e d d F t f t f t f f t t ωτττ+∞ +∞--∞-∞=???*-?????? ???
()()j j ()12e e d()d t t f f t t ωωτττττ+∞ +∞----∞-∞??=--???? ??根据时移特性，上式的中括号内的积分就是()2f t 的傅里叶变换，即 ()()()j 1212F e F ()d t f t f t f ωτωτ+∞--∞*=????? ()j 21F ()e d t f ωωττ+∞--∞=? 同理，上式中的积分就是()1f t 的傅里叶变换，即 ()()122112F F ()F ()F ()F ()f t f t ωωωω*==???? 因此， ()()1212F ()F ()f t f t ωω*? 总结：时域中的信号卷积，对应着频域乘积；而时域中的信号乘积，对应着频域卷积，即 若 ()(f)x t X ? ()(f)y t Y ? 则()()(f)Y(f)x t y t X *?，()()(f)Y(f)x t y t X ?*
数字信号处理实验报告 实验二：卷积定理 班级：10051041 姓名： 学号：
一、实验目的 通过本实验，验证卷积定理，掌握利用DFT和FFT计算线性卷积的方法。二、实验原理 时域圆周卷积在频域上相当于两序列DFT的相乘，因而可以采用FFT的算 法来计算圆周卷积，当满足 121 L N N ≥+-时，线性卷积等于圆周卷积，因此可利用FFT计算线性卷积。 三、实验内容和步骤 1．给定离散信号() x n和() h n，用图解法求出两者的线性卷积和圆周卷积；2．编写程序计算线性卷积和圆周卷积； 3．比较不同列长时的圆周卷积与线性卷积的结果，分析原因。 四、实验设备 计算机、Matlab软件 五、实验程序 1相同列长 %实验二:卷积定理 %褚耀欣 x=[1 1 0 1 3]; %原始序列 y=[3 0 0 1 3]; %直接计算圆周卷积或线性卷积 z=conv(x,y); figure(1),subplot(311),stem(x);axis([1 9 0 4]); subplot(312),stem(y);axis([1 9 0 4]); subplot(313),stem(z);axis([1 9 0 30]); %利用FFT计算 N=10;%N=8时 x1=[x zeros(1,N-length(x))]; y1=[y zeros(1,N-length(y))];
X1=fft(x1); Y1=fft(y1); Z1=X1.*Y1; z1=ifft(Z1); figure(2), subplot(321),stem(x1); subplot(322),stem(real(X1)); subplot(323),stem(y1); subplot(324),stem(real(X1)); subplot(325),stem(z1); subplot(326),stem(real(Z1)); N=5;%N=5时 x2=[x zeros(1,N-length(x))]; y2=[y zeros(1,N-length(y))]; X2=fft(x2); Y2=fft(y2); Z2=X2.*Y2; z2=ifft(Z2); figure(3), subplot(321),stem(x2); subplot(322),stem(real(X2)); subplot(323),stem(y2); subplot(324),stem(real(X2)); subplot(325),stem(z2); subplot(326),stem(real(Z2));
第一章 绪论 1、证明：)(1 )(t a at δδ=，利用结论?∞ ∞ -dt t )(δ ?∞ ∞ -dt at )(δ计算 利用换元法，令ττ τd a dt t at 1 1 = ?= ?=，则： )(1)()(1)(t a at dt t a dt at δδδδ=?= ??∞ ∞ -∞ ∞ - 此证明的物理意义层面的解释，因为)(t δ表示的是强度为“1”的一个冲激函数，即是此函数包含的面积为“1”，但是持续时间无穷小，瞬间量值无穷大的一个物理量。而)(at δ是对 )(t δ函数的尺度变换，其函数持续时间变化为原来的 a 1 倍，但是量值大小不变，所以相当于冲激强度变为原来的 a 1倍，所以可以表示为)(1 )(t a at δδ=。 2、证明)(1 )(00a t t a t at -= -δδ 设??∞∞-∞∞--=-dt a t t a dt t at )([)(00δδ 令? ??∞ ∞ -∞∞-∞∞-= =-?=?-=ττδττδδττd a d a dt a t t a d dt a t t )(1 )()([00 )(1 )()(1 )([00000a t t a t at dt a t t a dt a t t a d dt a t t -=-?- = -?=?- =? ?∞ ∞ -∞∞-δδδδττ 3、证明)(1||1)()(1||1)() ()(' ' t a a at t a a at n n n δδδδ= = 先证明)(1||1)(' ' t a a at δδ= ，利用冲激函数的广义函数定义证明。 dt t t a a dt t t a a dt t t t t a a dt t t a a dt t t a a dt t at a t at a dt t at a dt t at ? ? ??????∞ ∞-∞ ∞ -∞∞-∞ ∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞ ∞-∞ ∞-∞ ∞-== ???? ??--=-=-=-==)()('1 1)()('11)()(')()(11)(')(11)(')(11)(')(1)()](1[)()]'(1[)()(' ?δ?δ?δ?δ?δ?δ?δ?δ?δ?δ
（软件仿真性实验） 课程名称：数字信号处理 实验题目：卷积定理 一、实验目的和任务 通过本实验，验证卷积定理，掌握利用DFT和FFT计算线性卷积的方法。 二、实验内容及原理 实验原理：时域圆周卷积在频域上相当于两序列DFT的相乘，因而可以采用FFT的算法来计算圆周卷积，当满足L≥N1+N2-1时，线性卷积等于圆周卷积，因此可利用FFT计算线性卷积。 实验内容：在给定离散信号x(n)和h(n)，用图解法求出两者的线性卷积和圆周卷积 三、实验步骤或程序流程 1.编写程序计算线性卷积与圆周卷积 2.先求数列的DFT，然后利用性质时域卷积等于频域乘积，计算序列的线性卷积 3.比较不同列长时的圆周卷积与线性卷积的结果，分析原因 四、实验数据及程序代码
clc;clear; x=1:1:9; y=[9 8 7 6 ]; z=conv(x,y); z2=cconv(x,y); m=length(x); n=length(y); N=m+n-1; X=fft(x,N); Y=fft(y,N); Z1=X.*Y; z1=ifft(Z1,N); subplot(3,1,1),stem(z);title('线性卷积'); subplot(3,1,2),stem(z2);title('圆周卷积') subplot(3,1,3),stem(z1);title('FFT 卷积') 五、实验数据分析及处理 200 400 线性卷积 200 400 圆周卷积 024681012 0200 400 FFT 卷积
六、实验结论与感悟（或讨论） 1.通过本实验，我验证了卷积定理，掌握利用DFT和FFT计算线性卷积的方法 2.发现了圆周卷积和线性卷积关系：L≥N1+N2-1可以用线性卷积代替圆周卷积，L＜ N1+N2-1时，线性卷积和圆周卷积的结果不同
频域： 频域frequency domain 是描述信号在频率方面特性时用到的一种坐标系。在电子学，控制系统工程和统计学中，频域图显示了在一个频率范围内每个给定频带内的信号量。频域表示还可以包括每个正弦曲线的相移的信息，以便能够重新组合频率分量以恢复原始时间信号。 卷积定理： 卷积定理是傅立叶变换满足的一个重要性质。卷积定理指出，函数卷积的傅立叶变换是函数傅立叶变换的乘积。具体分为时域卷积定理和频域卷积定理，时域卷积定理即时域内的卷积对应频域内的乘积；频域卷积定理即频域内的卷积对应时域内的乘积，两者具有对偶关系。 模数转换： 模拟信号只有通过A/D转化为数字信号后才能用软件进行处理，这一切都是通过A/D转换器（ADC）来实现的。与模数转换相对应的是数模转换，数模转换是模数转换的逆过程，接下来本文将主要介绍几种模数转换的方法以及模数转换器的参数等。 简介： 与传统无线电不同，软件无线电要求尽可能地以数字形式处理无线信号，因此必须将A/D和D/A转换器尽可能地向天线端推移，这就对A/D和D/A转换器的性能提出了更高的要求。主要体现在两个方面。
（1）采样速率。依据采样定理，A/D转换器的抽样频率fs应大于2Wa（Wa为被采样信号的带宽）。在实际中，由于A/D转换器件的非线性、量化噪声、失真及接收机噪声等因素的影响，一般选取fs>2.5Wa。 （2）分辨率。采样值的位数的选取需要满足一定的动态范围及数字部分处理精度的要求，一般分辨率80dB的动态范围要求下不能低于12位。 模数变换方法： 软件无线电对模数变换的技术要求包括以下几个方面： （1）采样方法应满足采样定理，适当加入抗混迭滤波器； （2）宽带化，如在中频对模拟信号进行数字化，信号带宽通常在十几到几十兆赫兹； （3）保持较高的信号动态范围； （4）高采样率，应尽量在中频或射频工作，以尽可能保证整机的软件化处理； （5）减少量化噪声。 模数变换主要是对模拟信号进行采样，然后量化编码为二进制数字信号；数模变换是模数变换的逆过程，主要是将当前数字信号重建为模拟信号。下面主要介绍采样和重建的方法。 1．低通采样 低通采样定理表述如下。 一个频带限制在（0，fH）内的连续信号x(t)，如果抽样频率fs