三 角 形 中 位 线 典 型 题 练 习
一、周长及边长
1如图1所示，EF 是厶ABC 的中位线，若BC=8cm 则EF= ___________ cm
2?三角形的三边长分别是3cm 5cm 6cm 则连结三边中点所围成的三角形的周长是
________ cm
3?在Rt △ ABC 中, / C=90 , AC=?5 ?BC=?12 ?则连结两条直角边中点的线段长为 4?若三角形的三条中位线长分别为 2cm 3cm 4cm 则原三角形的周长为 _____________ . 5.已知△ ABC 的周长为1,连结△ ABC 的三边中点构成第二个三角形,再连结第二个三 角形
的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第 2010个三角形的周长是()
1 2008 2009
2008 2 2009
2
6.如图4,在厶ABC 中, E, D, F 分别是AB, BC, CA 的中点，AB=6 AC=4则四边形AEDF?
的周长是() A. 10 B . 20 C . 30 D . 40 二、线段的等量关系 1.如图所示，在△ ABC 中，点D 在BC 上且CD=CA CF
AE=EB 平分/ ACB
C
1
求证：EF=》BD 2 2. 已知：如图，E 为口ABC 冲DC 边的延长线上的一点，且
CE= DC 连结AE 分别交BG BD 于点F 、G 连结AC 交BD 于O,连结OF 求证：A 吐2OF 1 1 3. 如图，△ ABC 中, AD=1AB AE=1
AC BC=16求 DE 的长. 4 4 4.如图，皿是厶ABC 的边BC 的中点，AN 平分/ BAC BN1 AN 于点N,延长BN 交AC 于点D,已知AB=10 BC=15 MN=3 (1)
求证：BN=DN * (2) 求厶ABC 的周长. 胃 三、线段的位置关系 1.如图所示，□ ABCD 的对角线AC, BD 相交于点O, AE=EB 求证：OE// BC 2.如图所示，已知在□ ABCD 中, E , F 分别是AD , BC 点，求证：MN/ BC 3.已知两个共一个顶点的等腰 Rt △ ABC Rt △ CEF ,
C
的中
/ ABC M CEF=90，连接 AF , M 是AF 的中点，连接 MB ME
(1)如图1,当CB 与CE 在同一直线上时，求证： MB/ CF ;
（2）如图1 若CB=a CE=2a 求BM ME 的长；（3）如图2,当/ BCE=45时，求证:
三、 中位线中有“角平分线的垂线必有等腰三角形”条件 1. 如图,在厶ABC 中 ,已知AB=6 AC=10 AD 平分/ BAC BDLAD 于点D, E?为BC 中点.求 DE
的长. 2. 如图,人。是厶ABC 的外角平分线,CDLAD 于D , E 是 BC 的中点. 1 求证：（1） DE// AB; （2） DE=i （AB+AC 2
3. 如图17 , BE 。卩是厶ABC 的角平分线,AN 丄BE 于N , AM L CF 于 M 求证：MN/ BC 四、 中点寻线，线组形（多个中点） 1. 如图,在四边形ABCD 中，点E 是线段AD 上的任意 一点，G , F , H 分别是BE , BC , CE 的中点.证明四边 2. 如图,在四边形ABCD 中 , AD=BC 点E , F , G 分别是AB CD AC 的中点 求证：△ EFG 是等腰三角形。 3. 已知：△ ABC 的中线BD CE 交于点0, F 、G 分别是 OB 0C 的中点. B
求证：四边形DEFG1平行四边形. 五、 中点寻线，线构形 1. 如图3所示,已知四边形 ABCD R, P 分别是DC BC 上的点，E, F 分别是AP, RP 的中点，当点P 在BC 上从点B 向点C 移动而点R 不动时，那么下列结论成 是（） A .线段EF 的长逐渐增大 B .线段EF 的长逐渐减少 C .线段EF 的长不变
D .线段 2. 已知：如图,。丘是厶ABC 的中位线,AF 是BC 边上的中线, 求证：D
E 与A
F 互相平分 3.
已知： AB BC
边形. 4. 如图， 点。 D 形 FH BT G D B
立的 C F G A EF 的长不能确定 如图，四边形 ABCC 中，E 、F 、G H 分别是 CD DA 的中点?求证：四边形EFGH 是平行四 点E , F , G, H 分别是CD BC , AB DA 的中
F
求证：四边形EFGH是平行四边形。
5.如图，已知MNP、Q分别为AB BD CD
AC的中点，
求证：四边形MNPQI平行四边形.
6?如图，已知△ ABC是锐角三角形，分别以AB AC为边向外侧作两个等边厶ABM和△ CAN D, E，
F分别是MB BC, CN的中点，连结DE FE, 求证：DE=EF 7.如图，（1）E、F ABC的中点，G H 为AC
的两个三等分点，连接EG FH并延长交于D,连
接AD CD.
求证：四边形ABCD1平行四边形.
六、巧取中点，妙构形（中点寻线，线无形）
1.如图，人。是厶ABC的中线，E是AD的中
点，
求证：AF= -FC
2
2.在四边形ABCD中ACBD相交于0点,AC=BD,EF分别是AB 连接EF分别交AC BD于M N,判断三角形MON勺形状，
3.已知：如图，在四边形ABCD中, AD= BC, E、F分别是中点，FE的延长线分别与AD BC的延长线交于H、G 求证：/ AHF=Z BGF
CD的中点,
F并说明理由。
DC AB边的
占
八、、?
C
E
G
B
E
C
B
G
三角形中位线定理 【学习目标】 1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理． 2. 掌握中点四边形的形成规律. 【要点梳理】 要点一、三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个 小三角形的周长为原三角形周长的1 2 ，每个小三角形的面积为原三角形 面积的1 4 . （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 要点二、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 【典型例题】 类型一、三角形的中位线 1、（优质试题?北京）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN． （1）求证：BM=MN； （2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长． 【思路点拨】（1）根据三角形中位线定理得MN=AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC，由此即可证明．
三角形 一、选择题 1.若一个直角三角形的两边长为12和5，则第三边为（） A. 13 B.13或 C. 13或5 D. 15 2.三角形的角平分线、中线和高（） A. 都是射线 B. 都是直线 C. 都是线段 D. 都在三角形内 3.小明用同种材料制成的金属框架如图所示，已知∠B=∠E，AB=DE，BF=EC，其中框架△ABC的质量为840克，CF的质量为106克，则整个金属框架的质量为（） A. 734克 B. 946克 C. 1052克 D. 1574克 4.到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的是（） A. 三条中线的交点, B. 三条角平分线的交点 C. 三条高线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 5.如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做使用的数学道理是（） A. 两点之间线段最短 B. 三角形的稳定性 C. 两点确定一条直线 D. 长方形的四个角都是直角 6.如图，△ABC内有一点D，且DA=DB=DC，若∠DAB=20°，∠DAC=30°，则∠BDC的大小是( )
A. 100° B. 80° C. 70° D. 50° 7.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 8.已知在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°，则下列条件中不能判定△ABC和△DEF全等的是( ) A. AB=DE，AC=DF- B. AC=EF，BC=DF - C. AB=DE，BC=EF- D. ∠C=∠F，AC=DF 9.若等腰三角形的顶角为80°，则它的一个底角度数为（） A. 20° B. 50° C. 80° D. 100° 10.如图，点M是边长为4cm的正方形的边AB的中点，点P是正方形边上的动点，从点M出发沿着逆时针方向在正方形的边上以每秒1cm的速度运动，则当点P逆时针旋转一周时，随着运动时间的增加，△DMP面积达到5cm2的时刻的个数是（） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题 11.在△ABC中，已知∠A=30°，∠B=70°，则∠C的度数是________。 12.将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为________． 13.如图,点P为△ABC三条角平分线的交点,PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,则PD____________PF.
第 1 页 共 3 页 1 三角形的中位线综合练习题 姓名 例1如图1，在△ABC 中，AC>AB ，M 为BC 的中点．AD 是∠BAC 的平分线，若CF ⊥AD 交AD 的延长线于F .求证： ()1 2MF AC AB = - . F E D C B A 图1 图2 图3 图4 图5 例2. 如图2，在四边形ABCD 中，E 、F 分别为AC 、BD 的中点，则EF 与AB +CD 的关系是 ( ) A .2EF AB CD =+ B. 2EF AB CD >+ C. 2EF AB CD <+ D. 不确定 例3. 如图5，AB ∥CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，且AB=a ,CD=b ，则EF 的长为 . 4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=?5，?BC=?12，?则连结两条直角边中点的线段长为_______． 5．若三角形的三条中位线长分别为2cm ，3cm ，4cm ，则原三角形的周长为（ ） A ．4.5cm B ．18cm C ．9cm D ．36cm 6．已知△ABC 的周长为1，连结△ABC 的三边中点构成第二个三角形，?再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010个三角形的周长是（ ） A 、 20081 B 、20091 C 、220081 D 、2 20091 7．如图4所示，已知四边形ABCD ，R ，P 分别是DC ，BC 上的点，E ，F 分别是AP ，RP 的中点，当点P 在BC 上从 点B 向点C 移动而点R 不动时， 那么下列结论成立的是（ ） A ．线段EF 的长逐渐增大 B ．线段EF 的长逐渐减少 C ．线段EF 的长不变 D ．线段EF 的长不能确定 8．如图5,在△ABC 中， E ，D ， F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF?的周长是（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．40 9.顺次连接一个四边形的各边中点，得到一个菱形，这个四边形一定是（ ） A.平行四边形 B.菱形 C 、矩形 D.对角线相等的四边形 10.已知：如图，DE 是△ABC 的中位线，AF 是BC 边上的中线， 求证：DE 与AF 互相平分 11．如图所示，在△ABC 中，点D 在BC 上且CD=CA ，CF 平分∠ACB ，AE=EB ，求证：EF= 1 2 BD ． 12．如图所示，已知在□ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，求证：MN ∥BC ． 13.如图，点E ，F ，G ，H 分别是CD ，BC ，AB ，DA 的中点。 求证：四边形EFGH 是平行四边形。 F E D B H G F E D C B A
专题 三角形的中位线 第 1 页 共 3 页 三角形的中位线 例题精讲 例 1 如图 1， D 、E 、 F 分别是△ ABC 三边的中点． G 是 AE 的中点， BE 与 DF 、 DG 分别交于 P 、 Q 两点 . 求 PQ:BE 的值 . 例 2 如图 2，在△ ABC 中， AC>AB ， M 为 BC 的中点． AD 是∠ BAC 的平分线，若 CF ⊥ AD 交 AD 的延长 1 AC AB . 线于 F.求证： MF 2 例 3 如图 3，在△ ABC 中， AD 是△ BAC 的角平分线， M 是 BC 的中点， ME ⊥ AD 交 AC 的延长线于 E ．且 CE 1 CD .求证：∠ ACB=2∠B. 2 D C E F A B 图 1 图 2 图 3 图 4 图 5 巩固基础练 1. 已知△ ABC 周长为 16， D 、 E 分别是 AB 、 AC 的中点，则△ ADE 的周长等于 ( ) A .1 B. 2 C. 4 D. 8 2. 在△ ABC 中，D 、E 分别是 AB 、AC 的中点， P 是 BC 上任意一点， 那么△ PDE 面积是△ ABC'面积的 ( ) 1 1 1 1 A . B. C. D. 2 3 4 8 3. 如图 4，在四边形 ABCD 中， E 、F 分别为 AC 、 BD 的中点，则 EF 与 AB+CD 的关系是 ( ) A . 2EF AB CD B. 2EF AB CD C. 2EF AB CD D. 不确定 4. 如图 5，AB ∥CD ， E 、 F 分别是 BC 、 AD 的中点，且 AB=a,CD=b ，则 EF 的长为 . 图 6 图 7 图 8 图 9 图 10 5. 如图 6，四边形 ABCD 中，AD=BC ，F 、E 、G 分别是 AB 、CD 、AC 的中点， 若∠ DAC= 200，∠ ACB= 600， 则∠ FEG= . 6. ( 呼和浩特市中考题 ) 如图 7，△ ABC 的周长为 1，连接△ ABC 三边的中点构成第二个三角，再连接第二 个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，第 2003 个三角形的周长为 . 7. 已知三角形三条中位线的比为3:5:6 ，三角形的周长是 112cm ，求三条中位线长 . 8. 如图 8，△ ABC 中， AD 是高， BE 是中线，∠ EBC= 300,求证： AD=BE . 9. 如图 9，在△ ABC 中， AB=AC ，延长 AB 到 D ，使 BD=AB ， E 为 AB 中点，连接 CE 、 CD . 求证： CD=2EC . 10.如图 10， AD 是△ ABC 的外角平分线， CD ⊥AD 于 D ， E 是 BC 的中点 . 求证： (1)DE ∥AB; (2) DE 1 AB AC . 2
《三角形》专题训练 一、选择题 1.若等腰三角形底角为72°，则顶角为（）。 A．108° B．72° C．54° D．36° 2.等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个三角形的周长是（）。A．16 B．17 C．13 D．16或17 3. 下列条件能确定△ABC是直角三角形的条件有（）。 (1) ∠A+∠B=∠C； (2) ∠A:∠B:∠C=1:2:3； 1∠C (3) ∠A=90°-∠B； (4)∠A=∠B= 2 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4. 正△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（） A．60° B．90° C．120° D．150° 5.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）。 A．60°B．120° C．60°或150° D．60°或120°
个外角都相等的三角形；(3)一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形；(4)有一个角为60°的等腰三角形。其中一定是等边三角形的有（ ）。 A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 7.已知△ABC ，⑴如图1，若P 点是∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，则∠P=90°2 1 ∠A ； ⑵如图2，若P 点是∠ABC 和外角∠ACE 的角平分线的交点，则∠P=90°－∠A ； ⑶如图3，若P 点是外角∠CBF 和∠BCE 的角平分线的交点，则∠P=90°－21 ∠A 。 上述说法下确的个数是（ ）。A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 8.如图4，工人师傅砌门时，常用木条EF 固定矩形门框ABCD ，使其 不变形，这种做法的根据是（ ）。 A.两点之间线段最短 B.矩形的对称性 C.矩形的四个角都是直角 D.三角形的稳定性
三角形的中位线（一） 一、教学目的和要求 使学生了解三角形中位线的定义，掌握三角形中位线性质定理的证明和应用。 通过定理的证明进一步培养学生的逻辑推理能力。 二、教学重点和难点 重点：掌握三角形中位线定义，及性质定理的证明。 难点：证题中正确添加辅助线。 三、教学过程 （一）复习、引入 提问： 1、平行线等分线段定理的内容 2、叙述定理的两个推论（画图示意） 练习：见图1 AD 是ABC ?中BC 边上的中线，E 为AD 的中点，连结BE 并延长交AC 于F ，若AF=2，求AC 的长。 A B D C 图1 过D 点作BF 的平行线交AC 于M ，因为BD=DC ，AE=ED ，利用平行线等分线段定理推论2，可得AF=FM=MC ，所以AC=6。 如果我们将平行线等分线段定理推论2的条件、结论交换一下，是否成立？ 已知：D 、E 是ABC ?中AB 、AC 边的中点，则DE//BC 。这就是我们今天将要研究的课题。 （二）新课 定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 DE 叫做ABC ?的中位线。 注意： 1. 中位线是线段，它的端点是三角形两边的中点。 2. 中位线与中线都是三角形的重要线段，它们端点位置不同，是两个不同的概念。 每个三角形有三条中位线。 下面我们研究三角形的中位线与第三边的数量及位置关系。 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 已知：如图2，ABC ?中，AD=DB ，AE=EC 求证：BC DE BC DE 2 1,//=
图2 分析：证明一条线段是第二条线段的一半，可将第一条线段倍长，证明等于第二条线段；也可将第二条线段取中点，证明其一半等于第一条线段。这里我们用第一种方法。 证明：延长DE到F使EF=DE，连结CF 在中 四边形DBCF是平行四边形。 DE//BC 小结：到目前为止，在我们学过的定理中，结论存在一条线段等于另一条线段一半的有哪些？ 1. 直角三角形中，角所对直角边等于斜边的一半。 2. 直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。 3. 三角形中位线定理。 例1已知：如图3，中，，D、E、F分别是BC、AB、CA边的中点，求证：AD=EF C D F A E B 图3 分析：要证AD=EF，我们先要结合图形认识线段AD、EF在图形的位置就会很容易找到解决问题的方法。 AD是斜边BC的中线，所以，EF是的中位线，所以。
、选择题 A. 13 C. 13 或 5 2. 三角形的角平分线、中线和高（ 克，CF 的质量为106克，则整个金属框架的质量为（ 4. 到厶ABC 的三条边距离相等的点是厶 ABC 的是（ 5. 如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做使用的数学道理是 6. 如图，△ ABC 内有一点 D,且 DA=DB=DC 若/ DAB=20，/ DAC=30，则/ BDC 的大小是（ 三角形 1.若一个直角三角形的两边长为 12和 5,则第三边为 D. 15 A. 都是射线 B. 都是直线 C.都是线段 D. 都在三角形内 3. 小明用同种材料制成的金属框架如图所示，已知/ B=Z E , AB=DE BF=EC 其中框架厶ABC 的质量为840 A. 734 克 B. 946 克 C. 1052 克 D. 1574 克 A. 三条中线的交点， B. 三条角平分线的交点 C.三条高线的交点 D.三条边的垂直平分线的交点 A.两点之间线段最短 角都是直角 B.三角形的稳定性 C.两点确定一条直线 D.长方形的四个 B.13 或
A. 100° B. 80° C. 70° D. 50° 7. 若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是（） A.直角三角形 B.锐角三角形 C. 钝角三角形 D.无法确定 8. 已知在△DEF中，/ A=Z D=9C°，则下列条件中不能判定△DEF全等的是（） A. AB=DE AC=DF- B. AC=EF BC=DF - C. AB=DE BC=EF- D. / C=Z F , AC=DF 9. 若等腰三角形的顶角为80°,则它的一个底角度数为（） A. 20° B. 50° C. 80° D. 100° 10. 如图，点M是边长为4cm的正方形的边AB的中点，点P是正方形边上的动点，从点M出发沿着逆时针方向在正方形的边上以每秒1cm的速度运动，则当点P逆时针旋转一周时，随着运动时间的增加，△ DMP 面积达到5cm2的时刻的个数是（） D C A 冠B A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题 11. 在厶ABC中，已知/ A=30°，/ B=70°,则/ C的度数是______________ 12. 将一副三角板如图叠放，则图中/ a的度数为________ ?
三角形的中位线 例题精讲 例1如图1，D、E、F分别是△ABC三边的中点．G是AE的中点，BE 与DF、DG分别交于P、Q两点.求PQ:BE的值. 例2如图2，在△ABC中，AC>AB，M为BC的中点．AD是∠BAC的平分线，若CF⊥AD交AD的延长线于F.求证：. 例3如图3，在△ABC中，AD是△BAC的角平分线，M是BC的中点，ME⊥AD交AC的延长线于E．且.求证：∠ACB=2∠B. 图1 图2 图3 图4 图5 巩固基础练 1. 已知△ABC周长为16，D、E分别是AB、AC的中点，则△ADE的周长 等于 ( ) A .1 B. 2 C. 4 D. 8 2. 在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，P是BC上任意一点，那么
△PDE面积是△ABC'面积的 ( ) A . B. C. D. 3. 如图4，在四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD的中点，则EF 与AB+CD的关系是 ( ) A . B. C. D. 不确定 4. 如图5，AB∥CD，E、F分别是BC、AD的中点，且AB=a,CD=b，则EF 的长为 . 图6 图7 图8 图9 图10 5. 如图6，四边形ABCD中，AD=BC，F、E、G分别是AB、CD、AC的中
点，若∠DAC=200，∠ACB=600，则∠FEG= . 6.如图7，△ABC的周长为1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角， 再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形的周长为 . 7. 已知三角形三条中位线的比为3:5:6，三角形的周长是112cm，求三条 中位线长. 8. 如图8，△ABC中，AD是高，BE是中线，∠EBC=300,求证：AD=BE. （过E点向BC作垂线） 9. 如图9，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，E为AB中点， 连接CE、CD. 求证：CD=2EC.（延长AC到F，使AC=CF，则CD=BF） 10.如图10，AD是△ABC的外角平分线，CD⊥AD于D，E是BC的中点. 求证：(1)DE∥AB; (2).（延长DC交BA的延长线于G） 提高过渡练 1. 如图11，M、P分别为△ABC的AB、AC上的点， 且AM=BM，AP=2CP，BP与CM相交于N，已知PN=1，则PB的长为 ( ) A. 2 B. 3 C .4 D. 5 2. 如图12，△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中 点，AB=10，则MD的长为 ( ) A. 10 B. 8 C .6 D. 5 3. 如图13，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC的中 点，P为不同于B、E、C的BC上的任意一点，△DPH为等边三角形.连接FH，则EP与FH的大小关系是 ( ) A. E P>FH B. EP=FH C. EP 第十八章平行四边形 18.1.2 平行四边形的判定 第3课时三角形的中位线 学习目标：1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理； 2.能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题. 重点：理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理. 难点：能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题. 一、知识回顾 1.平行四边形的性质和判定有哪些？ 边：①AB∥CD,AD____BC ②AB=CD,AD____BC 平行四边形ABCD ③AB∥CD,AB_____CD 角：∠BAD____∠BCD，∠ ABC____∠ADC 对角线：AO____CO,DO____BO 一、要点探究 探究点1：三角形的中位线定理 概念学习三角形中位线：连接三角形两边中点的线段. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE. 则线段DE就称为△ABC的中位线. 想一想 1.一个三角形有几条中位线？你能在△ABC中画出它所有 的中位线吗？ 2.三角形的中位线与中线有什么区别？ 猜一猜如图，DE是△ABC的中位线，DE与BC有怎样的位置关系，又有 怎样的数量关系？ 猜想：三角形的中位线________三角形的第三边且 ________第三边的________． 量一量度量一下你手中的三角形，看看是否有同样的结论？ 证一证如图，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC边的中点. 1 . 2 DE BC DE BC 求证：∥， 分析： 课堂探究 自主学习 教学备注 学生在课前 完成自主学 习部分 配套PPT讲 授 1.情景引入 （见幻灯片 3-4） 2.探究点1新 知讲授 （见幻灯片 5-18） 性质 判定 教学备注 2.探究点1新 知讲授 （见幻灯片 5-18）倍长DE至F DF与AC互相平分 构造全等 三角形 角、边 相等 平行四 边形 线段相 等、平行 2010年中考总复习专题训练(三角形) 2010年中考总复习专题训练（三角形) 考试时间：120分钟满分150分 一、选择题（每小题3分，共45分） 1. 满足下列条件的三角形，按角分类有三个属于同一类，则另一个是 （）。 A.∠A：∠B：∠C＝1：2：3 B.∠A－∠B＝∠C C.∠A＝∠C＝40° D.∠A＝2∠B＝2∠C 2. 如果线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的比可以是（）。 A. 1：2：4 B. 1：3：5 C. 3：4：7 D. 5：12：13 3. 已知三角形的三个外角的度数比为2:3:4,则它的最大内角的度数为 （）。 A.90° B.110° C.100° D.120° 4. 在一个三角形中有两个内角相等,这个三角形还有一个外角为110°,则两个 相等的内角的度数为（）。 A.40° B.55° C.70°或55° D.70° 5.一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边长为整数，这样的三角形的周 长最小值是（）。 A.14 B.15 C.16 D.17 6. 下列命题：（1）等边三角形也是等腰三角形；（2）三角形的外角等于两个内角的和；（3）三角形中最大的内角不能小于60°；（4）锐角三角形中， 任意两内角之和必大于90°，其中错误的个数是（）。 A.0 个 B.1个 C.2个 D.3个 F E D C B 7.锐角三角形的三个内角是∠A 、∠B 、∠ C ，如果B A ∠+∠=∠α， C B ∠+∠=∠β，A C ∠+∠=∠γ，那么α∠、β∠、γ∠这三个角中 （ ）。 A ．没有锐角 B ．有1个锐角 C ．有2个锐角 D ．有3个锐角 8.如图1，已知AB ∥CD ，则（ ）。 A ．∠1＝∠2＋∠3 B ．∠1＝2∠2＋∠3 C ．∠1＝2∠2－∠3 D ．∠1＝180o－∠2－∠3 9. 如图2，将一张矩形纸片ABCD 如图所示折叠，使顶点C 落在C '点．已知 2AB =，30DEC '∠=，则折痕DE 的长为（ ）。 A.2 B.23 C.4 D. 1 10. 如图3,在△ABC 中,已知点D,E,F 分别为边BC,AD,CE 的中点, 且S ABC =4cm 2, 则阴影面积等于（ ）。 A.2cm 2 B.1cm 2 C.12cm 2 D.14 cm 2 图1 图2 图3 11.对于下列各组条件，不能判定△ABC ≌△C B A '''的一组是（ ）。 A.∠A=∠A ′，∠B=∠B ′，AB=A ′B ′ B.∠A=∠A ′，AB=A ′B ′，AC=A ′C ′ C.∠A=∠A ′，AB=A ′B ′，BC=B ′C ′ D.AB=A ′B ′，AC=A ′C ′，BC=B ′C ′ 12.有五根细木棒，长度分别为1cm ，3cm ，5cm ，7cm ，9cm ，现任取其中的三根 木棒，组成一个三角形，问有几种可能（ ）。 A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 三角形中位线 1 、三角形的三边长分别为12cm、 16cm、 20cm，则它的中位线构成的三角形的周长与面积分别为 和。 2、在 Rt △ ABC 中, ∠ C=90°， D、 E、 F 分别为 AB、 BC、AC 边上的中点 ,AC=4 cm ， BC=6 cm，那么四边形CEDF为___________________ ，它的边长分别为_________________ 。 3、三角形一条中位线分三角形所成的新三角形与原三角形周长之和为60 cm ，则原三角形的周长为_______。 C 4、已知三角形的 3 条中位线分别为3cm、4cm、 6cm，则这个三角形的周长是（） D E A． 3cm B．26cm C ．24cm D ． 65cm 5、已知 DE是△ ABC的中位线 , 则△ ADE和△ ABC的面积之比是 ( ) A F B A. 1:1 B. 1:2 C. 1:3 D. 1:4 6、如图，△ABC 中，D、E分别为 AC 、 BC 边上的点，AB∥DE，CF为AB边上的中 线，若 AD =5，CD =3， DE =4，则 BF 的长为（） A. 32 B. 16 C. 10 D. 8 3 3 3 3 7、小明作出了边长为的第1 个正△ A B C ，算出了正△ A B C 的面积。然后分别取△ A B C 的三边中点A、B、C， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 作出了第 2 个正△ A2B2C2，算出了正△ A2 B2C2的面积。用同样的方法，作出了第 3 个正△ A3B3C3，算出了正△ A3B3C3 的面积，由此可得，第10 个正△ A10B10 C10的面积是（） A. 3 (1 )9 B. 3 ( 1)10 C. 3 (1)9 D ． 3 (1 )10 B 4 4 4 4 4 2 4 2 8、已知，如图，△ABC的中线 BD、 CE交于点 O， F、 G分别是 OB、 OC的中点。 F E O 求证： EF=DG且 EF∥ DG。 G C D A 9、如图，在△ABC中， BC＞ AC，点 D在 BC上，且 DC=AC，∠ ACB的平分线 CF交AD于点 F．点E是AB的中点，连结EF． （ 1）求证：ＥＦ∥ＢＣ；（2）若△ ABD的面积是6，求四边形BDFE的面积。 A 三角形的中位线练习题及其答案 1．连结三角形___________的线段叫做三角形的中位线． 2．三角形的中位线______于第三边，并且等于_______． 3．一个三角形的中位线有_________条． 4.如图△ABC 中，D 、E 分别是AB 、 AC 的中点，则线段CD 是△ABC 的＿＿＿， 线段DE 是△ABC ＿＿＿＿＿＿＿ 5、如图，D 、E 、F 分别是△ABC 各边的中点 （1）如果EF ＝4cm ，那么BC ＝＿＿cm 如果AB ＝10cm ，那么DF ＝＿＿＿cm （2）中线AD 与中位线EF 的关系是＿＿＿ 6．如图1所示，EF 是△ABC 的中位线，若BC=8cm ，则EF=_______cm ． (1) (2) (3) (4) 7．三角形的三边长分别是3cm ，5cm ，6cm ，则连结三边中点所围成的三角形的周长是_________cm ． 8．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=?5，?BC=?12，?则连结两条直角边中点的线段长为_______． 9．若三角形的三条中位线长分别为2cm ，3cm ，4cm ，则原三角形的周长为（ ） A ．4.5cm B ．18cm C ．9cm D ．36cm 10．如图2所示，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A ，B 的点C ，找到AC ，BC 的中点D ，E ，并且测出DE 的长为10m ，则A ，B 间的距离为（ ） A ．15m B ．25m C ．30m D ．20m 11．已知△ABC 的周长为1，连结△ABC 的三边中点构成第二个三角形，?再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010个三角形的周长是（ ） A 、 20081 B 、20091 C 、220081 D 、2 20091 12．如图3所示，已知四边形ABCD ，R ，P 分别是DC ，BC 上的点，E ，F 分别是AP ，RP 的中点，当点P 在BC 上 从点B 向点C 移动而点R 不动时， 那么下列结论成立的是（ ） A ．线段EF 的长逐渐增大 B ．线段EF 的长逐渐减少 C ．线段EF 的长不变 D ．线段EF 的长不能确定 13．如图4,在△ABC 中，E ，D ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF?的周长是（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．40 14．如图所示，□ ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AE=EB ，求证：OE ∥BC ． 1．一个三角形的三个内角中（ ） A 、至少有两个锐角 B 、至多有一个锐角 C 、至少有一个直角 D 、至少有一个钝角 2． 下列三条线段的长度能组成三角形的是（ ） A 、3，4，8 B 、5，6，11 C 、1，2，3 D 、5，6，10 3．关于三角形的边的叙述正确．． 的是（ ） A 、三边互不相等 B 、至少有两边相等 C 、任意两边之和一定大于第三边 D 、最多有两边相等 4．等腰三角形两边长分别为 3、7，则它的周长为（ ） A 、13 B 、17 C 、13 或17 D 、不能确定 5．如右图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是AB 边上的高， 那么图中与∠A 相等的角是（ ） A 、∠ B B 、∠ACD C 、∠BC D D 、∠BDC 6．下列图形中具有稳定性有（ ） A 、正方形 B 、长方形 C 、梯形 D 、直角三角形 7. 若三角形两边长分别是4、5，则周长c 的范围是（ ） A.1＜c ＜9 B.9＜c ＜14 C.10＜c ＜18 D. 无法确定 8. 一个三角形的三个内角中（ ） A. 至少有一个等于90° B. 至少有一个大于90° C. 不可能有两个大于89° D. 不可能都小于60° 9.等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长是（ ） A ．17 B ．13 C ．17或22 D ．22 10、一个三角形的两边分别为3和8，第三边长是一个偶数，则第三边的长不能为（ ） A 、6 B 、8 C 、10 D 、12 A B C D 11．如图，图中共有_____个三角形 ，其中以BC 为一边的三角形是________________；以∠A 为一个内角的三角形是___________． 12．如图，AE 、AD 、CF 分别是△ABC 的高、中线和角平分线， ⑴∵AE 是△ABC 的高， ∴∠____=∠____=90°； ⑵∵AD 是△ABC 的中线，∴____=___=2 1 ____； ⑶∵CF 是△ABC 的角平分线，∴∠____=∠____= 2 1 ∠____． 13．如果三角形的两边分别是a=3cm ，b=4cm ，那么第三边c 的长度范围是__________． 14．△ABC 的周长为12，三边a 、b 、c 之间存在关系a －1=b ，b －1=c ，则三边长a=____，b=_____，c=____． 15．直角三角形两个锐角的外角平分线所组成的锐角等于_________度． 16．在△ABC 中，若∠C+∠A=2∠B ，∠C －∠A=80°，则∠A=___,∠B=___,∠C=___． 17．一个三角形三个外角度数的比是3∶3∶2，则该三角形的形状是______________． 18．等腰三角形的一腰中线分该三角形的周长为15cm 、18cm ，则底边长为__________． 19．△ABC 中，如果∠C=55°，∠B －∠A=10°，那么∠A=_____． 20．如图，△ABC 中，D 是BC 延长线上一点，E 是AC 上一点，∠A=∠B ，∠ACD=∠EDC ，如果∠AED=140°，那么∠ACD=________，∠B=_______． A B C D E F A B C D E 平行四边形和三角形的中位线（二) 1、如图，过□ABCD内一点P作边的平行线EF、GH，若S四边形PHCF ＝5,Ｓ四边形ＰGAE=3，则S△PBD=____＿_＿＿_． 2、如图，□ABCD中,M、N分别是ＡＤ、ＡB上的点,且BM＝ＮD, 其交点为Ｐ，求证：∠ＣPB＝∠ＣPD． ３、已知等腰△EAD和等腰△CAB,EA=ＥＤ，CA=CB，∠AED=∠ACB=α，以线段AC、AＥ为边作平行四边形ＡＣＦＥ,连接BF、DF. (1）如图1，当α＝９0°,且A、D、C不在一条直线上时,求∠DFB的度数； （2）如图２，当０°<α<９０°,且A、D、C不在一条直线上时,求∠DFB的度数． ４、如图1,在△O ＡB 中，∠OAB=900,∠AOB=300,OB ＝８.以OB 为边，在△OAB 外作等边△ＯBC,D 是ＯB 的中点,连接A Ｄ并延长交O Ｃ于Ｅ. (１）求证：四边形ＡB ＣE 是平行四边形； (２)如图2，将图1中的四边形ABCO 折叠,使点C 与点A 重合,折痕为FG,求ＯG 的长。 5、如图,△ＡＢC 中,∠A ＣB ＝90°，C Ｄ⊥AB 于D ，A Ｅ平分∠BAC ，交C Ｄ于Ｋ，交BC 于E ，F 为BE 上一点且B Ｆ＝CE ，求证:F Ｋ∥ＡＢ. 6、四边形ABCD 中,A Ｄ∥BC,(１)如图1,若Ｅ、F 分别是A Ｂ、ＣD 的中点，求证:EF= 2 1 (AD+BC ） (2）如图,2,若G 、H 分别是A Ｂ、C Ｄ的中点，求证：ＧＨ< 2 1 (A Ｂ+ＣD) (3)如图3，连接AC 、B Ｄ，若M 、Ｎ分别是ＡC 、BD 的中点,求证：MN ＜2 1 (BC —ＡD) 第 1 页 共 2 页 1 三角形的中位线综合练习题 姓名 例1如图1，在△ABC 中，AC>AB ，M 为BC 的中点．AD 是∠BAC 的平分线，若CF ⊥AD 交AD 的延长线于F .求证： ()1 2MF AC AB = - . F E D C B A 图1 图2 图3 图4 图5 例2. 如图2，在四边形ABCD 中，E 、F 分别为AC 、BD 的中点，则EF 与AB +CD 的关系是 ( ) A .2EF AB CD =+ B. 2EF AB CD >+ C. 2EF AB CD <+ D. 不确定 例3. 如图5，AB ∥CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，且AB=a ,CD=b ，则EF 的长为 . 4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=?5，?BC=?12，?则连结两条直角边中点的线段长为_______． 5．若三角形的三条中位线长分别为2cm ，3cm ，4cm ，则原三角形的周长为（ ） A ．4.5cm B ．18cm C ．9cm D ．36cm 6．已知△ABC 的周长为1，连结△ABC 的三边中点构成第二个三角形，?再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010个三角形的周长是（ ） A 、 20081 B 、20091 C 、220081 D 、2 20091 7．如图4所示，已知四边形ABCD ，R ，P 分别是DC ，BC 上的点，E ，F 分别是AP ，RP 的中点，当点P 在BC 上从 点B 向点C 移动而点R 不动时， 那么下列结论成立的是（ ） A ．线段EF 的长逐渐增大 B ．线段EF 的长逐渐减少 C ．线段EF 的长不变 D ．线段EF 的长不能确定 8．如图5,在△ABC 中， E ，D ， F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF?的周长是（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．40 9.顺次连接一个四边形的各边中点，得到一个菱形，这个四边形一定是（ ） A.平行四边形 B.菱形 C 、矩形 D.对角线相等的四边形 10.已知：如图，DE 是△ABC 的中位线，AF 是BC 边上的中线， 求证：DE 与AF 互相平分 11．如图所示，在△ABC 中，点D 在BC 上且CD=CA ，CF 平分∠ACB ，AE=EB ，求证：EF= 1 2 BD ． 12．如图所示，已知在□ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，求证：MN ∥BC ． 13.如图，点E ，F ，G ，H 分别是CD ，BC ，AB ，DA 的中点。 求证：四边形EFGH 是平行四边形。 F E D B H G F E D C B A 第10 题第9题图 第一章 三角形练习题 基础题★ 一、选择题 1．一个三角形的三个内角中，锐角的个数最少为 ( )A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．下面说法错误的是 ( ) A ．三角形的三条角平分线交于一点 B ．三角形的三条中线交于一点 C ．三角形的三条高交于一点 D ．三角形的三条高所在的直线交于一点 3．能将一个三角形分成面积相等的两个三角形的一条线段是 ( ) A ．中线 B ．角平分线 C ．高线 D ．三角形的角平分线 4．如图5—12，已知∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足是D ，则图中与∠A 相等的角是 ( )A.∠1 B ．∠2 C ．∠B D ．∠1、∠2和∠B 5.一个三角形的两边长分别为 3 cm 和7 cm ，则此三角形的第三边的长可能是（ ）A ．3 cm B ．4 cm C ．7 cm D ．11 cm 6.如图所示， 、 、 分别表示△ABC 的三边长，则下面与△ 一定全等的三角形 是（ ） 7.如图所示，已知△ABE ≌△ACD ，∠1=∠2，∠B=∠C ，下列不正确的等式是（ ） A.AB=AC B.∠BAE=∠CAD C.BE=DC D.AD=DE 8.小华在电话中问小明：“已知一个三角形的三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解.”小华根据小明的提示作出的图形正确的是（ ） A. B. C. D. 9.要测量河两岸相对的两点 ， 的距离，先在 的垂线 上取两点 ， ， 使 ，再作出 的垂线 ，使 ， ， 在一条直线上（如图所示），可以说明△ ≌△ ，得 ，因此测得 的长就是 的长，判定△ ≌△ 最恰当的理由是（ ） A.边角边 B.角边角 C.边边边 D.边边角 10.如图所示，AC=CD ，∠B=∠E=90°，AC ⊥CD ，则 不正确的结论是（ ） A ．∠A 与∠D 互为余角 B ．∠A=∠2 C ．△ABC ≌△CE D D ．∠1=∠2 二、填空题 1．五条线段的长分别为1，2，3，4，5，以其中任意三条线段为边长可以________个三角形． 2．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝10，那么BC 边的取值范围是________，周长的取值范围是___________． 3．一个等腰三角形两边的长分别是15cm 和7cm 则它的周长是__________．一个等腰三角形的两边长分别为5和6，则它的周长是 . 4.直角三角形中，两个锐角的差为40°，则这两个锐角的度数分别为_________． 第7题图 三角形中位线 1、三角形的三边长分别为12cm 、16cm 、20cm ，则它的中位线构成的三角形的周长与面积分别为 和 。 2、在Rt △ABC 中,∠C=90°，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 边上的中点,AC=4 cm ，BC=6 cm ，那么四边形CEDF 为___________________，它的边长分别为_________________。 3、三角形一条中位线分三角形所成的新三角形与原三角形周长之和为60 cm ，则原三角形的周长为_______。 4、已知三角形的3条中位线分别为3cm 、4cm 、6cm ，则这个三角形的周长是（ ） A ．3cm B ．26cm C ．24cm D ．65cm 5、已知D E 是△ABC 的中位线,则△ADE 和△ABC 的面积之比是( ) A. 1:1 B. 1:2 C. 1:3 D . 1:4 6、如图，△ABC 中，D 、E 分别为AC 、BC 边上的点，AB ∥DE ，CF 为AB 边上的中线，若AD =5，CD =3，DE =4，则BF 的长为（ ） A. 332 B. 316 C. 310 D. 3 8 7、小明作出了边长为的第1个正△A 1B 1C 1，算出了正△A 1B 1C 1的面积。然后分别取△A 1B 1C 1 的三边中点A 2、B 2、C 2，作出了第2个正△A 2B 2C 2，算出了正△A 2B 2C 2的面积。用同样的方法，作出了第3个正△A 3B 3C 3，算出了正△A 3B 3C 3的面积……，由此可得，第10个正△A 10B 10C 10的面积是（ ） A. 91()44 B.101()44 C.91()42 D ． 101()42 ? 8、已知，如图，△ABC 的中线BD 、CE 交于点O ，F 、G 分别是OB 、OC 的中点。 求证：EF=DG 且EF ∥DG 。 9、如图，在△ABC 中，BC ＞AC ，点D 在BC 上，且DC=AC ，∠ACB 的平分线CF 交AD 于点F ．点E 是AB 的中点，连结EF ． （1）求证：ＥＦ∥ＢＣ； （2）若△ABD 的面积是6，求四边形BDFE 的面积。 F E D C B A O G F E D C B A 八年级数学三角形中位线培优专题训练 一、内容提要 1. 三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 2. 中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度， 确定线段的和、差、倍关系。 3. 运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。 4. 中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。它的逆定理就是平行线截比例线段定理 及推论， ①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等 ②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边 ③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰 5. 有关线段中点的其他定理还有： ①直角三角形斜边中线等于斜边的一半 ②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合 ③对角线互相平分的四边形是平行四边形 ④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等 因此如何发挥中点作用必须全面考虑。 二、例题 例1. 已知：△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM 和CAN ，P 是 BC 的中点。求证：PM ＝PN 证明：作ME ⊥AB ，NF ⊥AC ，垂足E ，F ∵△ABM 、△CAN 是等腰直角三角形 ∴AE ＝EB ＝ME ，AF ＝FC ＝NF ， 根据三角形中位线性质 PE ＝ 21AC ＝NF ，PF ＝2 1 AB ＝ME PE ∥AC ，PF ∥AB ∴∠PEB ＝∠BAC ＝∠PFC 即∠PEM ＝∠PFN ∴△PEM ≌△PFN ∴PM ＝PN 例2.已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝7，AD 是角平分线，CM ⊥AD 于M ，且N 是BC 的中点。求MN 的长。 分析：N 是BC 的中点，若M 是另一边中点， 则可运用中位线的性质求MN 的长， 根据轴称性质作出△AMC 的全等三角形即可。 辅助线是：延长CM 交AB 于E （证明略 例3.如图已知：△ABC 中，AD 是角平分线，BE ＝CF ，M 、N 分别是BC 和EF 的中点 求证：MN ∥AD 证明一：连结EC ，取EC 的中点P ，连结PM 、PN P N三角形的中位线
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