全等三角形的判定 练习巩固与提高
A:知识点总结
（一）三角形全等的识别方法
1、如图：△ABC 与△DEF 中
2、如图：△ABC 与△DEF 中
∵??
?
??===__________________________________________________________
∵??
?
??===_______________________________________
___________________
∴△ABC ≌△DEF （SSS ） ∴△ABC ≌△DEF （SAS ）
3、如图：△ABC 与△DEF 中
4、如图：△ABC 与△DEF 中
∵??
?
??===_______________________________________
___________________
∵??
?
??===_______________________________________
___________________ ∴△ABC ≌△DEF （ASA ） ∴△ABC ≌△DEF （ AAS ）
5、如图：Rt △ABC 与Rt △DEF 中，∠____=∠_____=90°
∵???==______________________________________
∴Rt △ABC≌Rt △DEF（ ） （二）全等三角形的性质 ∵△ABC ≌△DEF
∴AB= ，AC= BC= ， （全等三角形的对应边 ） ∠A= ，∠B= ，∠C= ；
B:知识运用
一.理解运用
1．如图,已知AC 和BD 相交于O,且BO ＝DO,AO ＝CO,下列判断正确的是（ ） A ．只能证明△AOB ≌△COD B ．只能证明△AOD ≌△COB
C ．只能证明△AOB ≌△COB
D．能证明△AOB≌△COD和△AOD≌△COB
2．已知△ABC的六个元素,下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（）
A．甲和乙Ｂ．乙和丙Ｃ．只有乙Ｄ．只有丙
3．如图,已知MB＝ND,∠MBA＝∠NDC,下列不能判定△ABM≌△CDN的条件是（）A．∠M＝∠N B．AB＝CD C．AM＝CN D．AM∥CN
4．某同学把一块三角形的玻璃打碎也成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是（）
A．带①去B．带②去C．带③去D．带①和②去
第3题第4题第7题
5．下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（）
A．两条直角边对应相等B．两个锐角对应相等
C．一条直角边和它所对的锐角对应相等
D．一个锐角和锐角所对的直角边对应相等
6．△ABC中,AB＝AC,BD、CE是AC、AB边上的高,则BE与CD的大小关系为（）A．BE＞CD B．BE＝CD C．BE＜CD D．不确定
7．如图,是一个三角形测平架,已知AB＝AC,在BC的中点D挂一个重锤,自然下垂．调整架身,使点A恰好在重锤线上,AD和BC的关系为＿＿＿＿＿＿．
8．正方形ABCD中,AC、BD交于O,∠EOF＝90o,已知AE＝3,CF＝4,则EF的长为＿＿＿. 9、若△ABC的边a,b满足22
12161000
a a
b b
-+-+=,则第三边c的中线长m的取值范围为
10．“三月三,放风筝”,如图1—24—4是小明制作的风筝,他根据DE＝DF,EH＝FH,不用度量,就知道∠DEH＝∠DFH,小明是通过全等三角形的识别得到的结论,请问小明用的识别方法是＿＿＿＿＿（用字母表示）．
11．已知如图,AE＝AC,AB＝AD,∠EAB＝∠CAD,试说明:∠B＝∠D
第8题第10题第11题
12. 已知：如图，AB=DC ,AD=BC , O是BD中点 ,过O的直线分别与DA、BC的延长线交于E、
F．
求证：OE=OF
二.拓展提高
13．如图,线段AB、CD相交于点O,AD、CB的延长线交于点E,OA=OC,EA=EC,说明∠A=∠C.
14. 已知:如图,AB=AC,AE平分∠BAC.求证:∠DBE=∠DCE．
15．沿矩形ABCD的对角线BD翻折△ABD得△A/BD,A/D交BC于F,如图所示,△BDF是何种三角形？请说明理由.
16．如图,在四边形ABCD中,已知BD平分∠ABC,∠A＋∠C＝180o,试说明AD＝CD.
17、在△ABC中∠BAC是锐角，AB=AC，AD和BE是高，它们交于点H，且AE=BE；
（1）求证：AH=2BD；
（2）若将∠BAC改为钝角，其余条件不变，上述的结论还成立？若成立，请证明；若不成
立，请说明理由；
H D E
A
B
C
全等三角形的判定 班级： 姓名： 1．已知AD 是⊿ABC 的中线，BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，求证BE =CF 。 2．已知AC =BD ，AE =CF ，BE =DF ，求证AE ∥CF 3．已知AB =CD ，BE =DF ，AE =CF ，求证AB ∥CD 4．已知在四边形ABCD 中，AB =CD ，AD =CB ，求证AB ∥CD 5．已知∠BAC =∠DAE ，∠1=∠2，BD =CE ，求证⊿ABD ≌⊿ACE . 6．已知CD ∥AB ，DF ∥EB ，DF =EB ，求证AF =CE 7．已知BE =CF ，AB =CD ， ∠B =∠C ，求证AF =DE 8．已知AD =CB ， ∠A =∠C ，AE =CF ，求证EB ∥DF 9．已知M 是AB 的中点，∠1=∠2，MC =MD ，求证∠C =∠D 。 10．已知，AE =DF ，BF =CE ，AE ∥DF ，求证AB =CD 。 11．已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证AC =AD 12．已知∠E =∠F ，∠1=∠2，AB =CD ，求证AE =DF 13．已知ED ⊥AB ，EF ⊥BC ，BD =EF ，求证BM =ME 。 14．在⊿ABC 中，高AD 与BE 相交于点H ，且AD =BD ，求证⊿BHD ≌⊿ACD 。 A C D B 1 2 3 4 A B C D E F 1 2 A B C E H A C M E F B D A B C D F E C B D E F D C F E A B A D E B C 1 2 A D C E F B A D B A D F E C M A B C D 1 2 D C F E A B
全等三角形练习 一、填空题： 1.如图，△ABC ≌△DEB ，AB =DE ，∠E =∠ABC ，则∠C 的对应角为 ，BD 的对应边为 . 2.如图，AD =AE ，∠1=∠2，BD =CE ，则有△ABD ≌△ ，理由是 ，△ABE ≌△ ， 理由是 . （第1题） （第2题） （第4题） 3.已知△ABC ≌△DEF ，BC =EF =6cm ，△ABC 的面积为18平方厘米，则EF 边上的高是 cm. 4.如图，AD 、A ′D ′分别是锐角△ABC 和△A ′B ′C ′中BC 与B ′C ′边上的高，且AB = A ′B ′， AD = A ′D ′，若使△ABC ≌△A ′B ′C ′，请你补充条件 （只需填写一个你认为适当的条件） 5. 若两个图形全等，则其中一个图形可通过平移、 或 与另一个三角形完全重合. 6. 如图，有两个长度相同的滑梯（即BC ＝EF ），左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的 长度DF 相等，则∠ABC ＋∠DFE ＝___________度 （第6题） （第7题） （第8题） 7．已知：如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，则 DN ＋MN 的最小值为__________． 8．如图，在△ABC 中，∠B ＝90o ，D 是斜边AC 的垂直平分线与BC 的交点，连结AD ，若 ∠ M N D C B A E D C B A
H E D C B A B ′ C ′ D ′ O ′A ′ O D C B A （第14 DAC ：∠DAB ＝2：5，则∠DAC ＝___________． 9．如图，等腰直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90o ，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，若AB ＋AD ＝8cm ， 则底边BC 上的高为___________． 10．如图，锐角三角形ABC 中，高AD 和BE 交于点H ，且BH ＝AC ，则∠ABC ＝__________度． （第9题） （第10题） （第13题） 二、选择题： 11．已知在△ABC 中，AB =AC ，∠A =56°，则高BD 与BC 的夹角为（ ） A ．28° B ．34° C ．68° D ．62° 12．在△ABC 中，AB =3，AC =4，延长BC 至D ，使CD =BC ，连接AD ，则AD 的长的取值范围为 （ ） A ．1＜AD ＜7 B ．2＜AD ＜14 C ．＜A D ＜ D ．5＜AD ＜11 13．如图，在△ABC 中，∠C =90°，CA =CB ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于点E ，且AB =6， 则△DEB 的周长为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 14．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明 ∠A ′O ′B ′＝∠AOB 的依据是 A ．（S ．S ．S ．） B ．（S ．A ．S ．） C ．（A ．S ．A ．） D ．（A ．A ．S ． 15. 对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是（ ） A.∠α=60o，∠α的补角∠β=120o，∠β>∠α B.∠α=90o，∠α的补角∠β=900o，∠β=∠α C.∠α=100o，∠α的补角∠β=80o，∠β<∠α D.两个角互为邻补角 16. △ABC 与△A ′B ′C ′中，条件①AB = A ′B ′，②BC = B ′C ′，③AC =A ′C ′，④∠A=∠A ′，⑤∠B =∠B ′，⑥∠C =∠C ′，则下列各组条件中不能保证△ABC ≌△A ′B ′C ′的是（ ） D C B A
全等三角形 一、全等三角形 1、定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 特征：形状相同、大小相等、完全重合。 一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。平移、翻折、旋转前后的图形全等。 2、全等三角形的表示： “全等”用“≌”表示，“∽”表示两图形的形状相同，“=”表示大小相等，读作“全等于”。 注意：记两三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上。 全等三角形的对应元素：对应顶点，对应边，对应角 3、全等三角形的性质 （1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。 （2）全等三角形的周长相等、面积相等。 （3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。 4、全等三角形的判定 （1）边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”） （2）边角边：两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”） （3 （4 （5 5 1、（性质）角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 2、（判定）角的部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 三、学习全等三角形应注意的问题 （1）要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义； （2）表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上； （3）“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等； （4）时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”。
1．如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ．△ABC 与△ADC 全等吗？为什么？ ２．如图，C 是AB 的中点，AD ＝CE ，CD ＝BE ． 求证△ACD ≌△CBE ． ３．如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB=DE ，AC=DF ，BE=CF ．求证∠A=∠D ． ４．已知，如图，AB=AD ，DC=CB ．求证：∠B=∠D. ５．如图，AD ＝BC ，AB ＝DC ，DE ＝BF. 求证：BE ＝DF. A D C B
全等三角形的判定（SSS） 1、如图1，AB=AD，CB=CD，∠B=30°，∠BAD=46°，则∠ACD的度数是( ) A.120° B.125° C.127° D.104° 2、如图2，线段AD与BC交于点O，且AC=BD，AD=BC，?则下面的结论中不正确的是( ) A.△ABC≌△BAD B.∠CAB=∠DBA C.OB=OC D.∠C=∠D 3、在△ABC和△A1B1C1中，已知AB=A1B1，BC=B1C1，则补充条件____________，可得到△ABC≌△A1B1C1． 4、如图3，AB=CD，BF=DE，E、F是AC上两点，且AE=CF．欲证∠B=∠D，可先运用等式的性质证明AF=________， 再用“SSS”证明______≌_______得到结论． 5、如图，AB=AC，BD=CD，求证：∠1=∠2． 6、如图，已知AB=CD，AC=BD，求证：∠A=∠D． 7、如图，AC与BD交于点O，AD=CB，E、F是BD上两点，且AE=CF，DE=BF.请推导下列结论：⑴∠D=∠B； ⑵AE∥CF． 8、已知如图，A、E、F、C四点共线，BF=DE，AB=CD. ⑴请你添加一个条件，使△DEC≌△BFA； ⑵在⑴的基础上，求证：DE∥BF. 全等三角形的判定(SAS) 1、如图1，AB∥CD，AB=CD，BE=DF，则图中有多少对全等三角形( ) A.3 B.4 C.5 D.6 2、如图2，AB=AC，AD=AE，欲证△ABD≌△ACE，可补充条件( ) A.∠1=∠2 B.∠B=∠C C.∠D=∠E D.∠BAE=∠CAD 3、如图3，AD=BC，要得到△ABD和△CDB全等，可以添加的条件是( ) A.AB∥CD B.AD∥BC C.∠A=∠C D.∠ABC=∠CDA
第12章全等三角形单元测试题B卷 （考试时长：120分钟满分：120分） 考试姓名：准考证号：考生得分： 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列说法错误的是（） A．全等三角形的对应边相等B．全等三角形的对应角相等 C．全等三角形的周长相等D．全等三角形的高相等 2．如图，△ABC≌△CDA，并且BC=DA，那么下列结论错误的是（）A．∠1=∠2 B．AC=CA C．AB=AD D．∠B=∠D 第2题第3题第5题第7题 3．如图，AB∥DE，AC∥DF，AC=DF，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是（）A．AB=DE B．∠B=∠E C．EF=BC D．EF∥BC 4．长为3cm，4cm，6cm，8cm的木条各两根，小明与小刚分别取了3cm和4cm的两根，要使两人所拿的三根木条组成的两个三角形全等，则他俩取的第三根木条应为（） A．一个人取6cm的木条，一个人取8cm的木条B．两人都取6cm的木条 C．两人都取8cm的木条D．C两种取法都可以 5．△ABC中，AB=AC，三条高AD，BE，CF相交于O，那么图中全等的三角形有（）A．5对B． 6对C． 7对D． 8对 6．下列说法中，正确的有（） ①三角对应相等的2个三角形全等；②三边对应相等的2个三角形全等；③两角、一 边相等的2个三角形全等；④两边、一角对应相等的2个三角形全等． A．1个B． 2个C． 3个D． 4个 7．如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（） A．B． 4 C．D． 5 8．如图，ABC中，AD是它的角平分线，AB=4，AC=3，那么△ABD与△ADC的面积比是（）
全等三角形[知识要点] 一、全等三角形 一般三角形直角三角形 判 定 边角边（SAS）、角边角（ASA） 角角边（AAS）、边边边（SSS） 具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等 （HL） 性 质 对应边相等，对应角相等 对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等 ②全等三角形面积相等． 2．证题的思路： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ） 找任意一边（ ） 找两角的夹边（ 已知两角 ） 找夹已知边的另一角（ ） 找已知边的对角（ ） 找已知角的另一边（ 边为角的邻边 ） 任意角（ 若边为角的对边，则找 已知一边一角 ） 找第三边（ ） 找直角（ ） 找夹角（ 已知两边 AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 例1在△ABC中，AC=5，中线AD=4，则边AB的取值范围是( ) A．1 3．如图，把大小为4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形，例如图1．请 在下图中，沿着虚线画出四种不同的分法，把4×4的正方形方格图形分割成两 个全等图形． 4．如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠a的度数为 5．如图，已知0A=OB，OC=0D，下列结论中：①∠A=∠B；②DE=CE；③连OE，则0E平分∠0，正确的是( ) A．①② B。②③ C．①③ D．①②③ 6．如图，A在DE上，F在AB上，且AC=CE，∠l=∠2=∠3，则DE的长等于( )． A：DC B．BC C．AB D．AE+AC 7．如图，AB∥CD，AC∥DB，AD与BC交于0，AE⊥BC．于E，DF⊥BC于F，那 么图中全等的三角形有( )对 A．5 B．6 C．7 D．8 8.如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35度，得到△A′B′C, A′B′交AC乎点D，已知∠A′DC=90°，求∠A的度数 9..如图，在△ABE和△ACD中，给出以下四个论断：①AB=AC；②AD=AE③AM=AN④AD⊥DC，AE⊥BE．以其中三个论断为题设，填入下面的“已知”栏中，一个论断为结论，填入下面的“求证”栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程 已知： 求证： 全等三角形的性质及判定（习题） ? 例题示范 例1：已知：如图，C 为AB 中点，CD =BE ，CD ∥BE ． 求证：△ACD ≌△CBE ． 【思路分析】 ① 读题标注： A B C D E ② 梳理思路： 要证全等，需要三组条件，其中必须有一组边相等． 由已知得，CD =BE ； 根据条件C 为AB 中点，得AC =CB ； 这样已经有两组条件都是边，接下来看第三边或已知两边的 夹角． 由条件CD ∥BE ，得∠ACD =∠B ． 发现两边及其夹角相等，因此由SAS 可证两三角形全等． 【过程书写】 先准备不能直接用的两组条件，再书写全等模块．过程书写中需要注意字母对应． 证明：如图 ∵C 为AB 中点 ∴AC =CB ∵CD ∥BE ∴∠ACD =∠B 在△ACD 和△CBE 中 AC CB ACD B CD BE =?? ∠=∠??=? （已证）（已证） （已知） ∴△ACD ≌△CBE （SAS ） ? 巩固练习 1. 如图，△ABC ≌△AED ，有以下结论： ①AC =AE ；②∠DAB =∠EAB ；③ED =BC ；④∠EAB =∠DAC ． E D C B A 其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 E D B A 2 1 F E D C B A 第1题图 第2题图 2. 如图，B ，C ，F ，E 在同一直线上，∠1=∠2，BF =EC ，要使△ABC ≌△DEF ， 还需要添加一组条件， 这个条件可以是_______________，理由是_____________；这个条件也可以是_____________，理由是_____________；这个条件还可以是_____________，理由是_____________． 3. 如图，D 是线段AB 的中点，∠C =∠E ，∠B =∠A ，找出图中的一对全等三角 形是_______________，理由是_________． H G F E D C B A E C B A 第3题图 第4题图 4. 如图，AB =AD ，∠BAE =∠DAC ，要使△ABC ≌△ADE ，还需要添加一组条件， 这个条件可以是_______________，理由是_____________；这个条件也可以是_____________，理由是_____________；这个条件还可以是_____________，理由是_____________． 5. 如图，将两根钢条AA'，BB'的中点连在一起，使AA'，BB'可以绕着中点O 自由旋转，这样就做成了一个测量工具，A'B'的长等于内槽宽AB ．其中判定△OAB ≌△OA'B'的理由是（ ） A ．SAS B ．ASA C ．SSS D ．AAS 1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 全等三角形基础测试题 ( 练习时间60分钟） 班别 姓名 学号 成绩 （一） 精心选一选6小题（每小题4分，共24分） 1、使两个直角三角形全等的条件是（ ） Ａ.一锐角对应相等 Ｂ.两锐角对应相等 Ｃ.一条边对应相等 Ｄ.两条边对应相等 2、如图，AB 与CD 交于点O ，OA ＝OC ，OD ＝OB ，∠A=50°， ∠B ＝30°，则∠D 的度数为（ ）. A ．50° B ．30° C ．80° D ．100° 3、如图，在△ABC 和△DEF 中，给出以下六个条件中： ① AB=DE ；②BC=EF ；③AC=DF ；④∠A=∠D ； ⑤∠B=∠E ；⑥∠C=∠F 。以其中三个作为已知条件， 不能判断△ABC 和△DEF 全等的是（ ） A ．①⑤② B 、①②③ C 、④⑥① D 、②③④ 4、下列说法中不正确的是（ ） A.全等三角形一定能重合 B.全等三角形的面积相等 C.全等三角形的周长相等 D.周长相等的两个三角形全等 5、某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店 去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（ ） A ．带①去 B ．带②去 C ．带③去 D ．①②③都带去 6、如图，∠B=∠C=90，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ， ∠CMD=35°，∠MAB 的度数是（ ） A ．35° B ．45° C ．55° D ．65° （二） 细心填一填6小题（每小题4分，共24分） 7、如图示，AC ，BD 相交于点O ，△AOB ≌△COD ，∠A=∠C ， 则其它对应角分别为______________________， 对应边分别为_____________________. 8、已知，如图，AD =AC ，BD =BC ，O 为AB 上一点， 那么，图中共有 对全等三角形． 9、△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝80°，O 则∠OAC ＝______，∠BOC ＝________． 10、将一张长方形纸片按如图所示的方式进行折叠，其中 BC BD ，为折痕，则BCD ∠的度数为 ． O C B A 第8题 B C D （第10题） 第7题图 O D A C B A B C E D F （第3题） D A B C M （第6题） O D C B A （第2题） 第11章 全等三角形复习练习题 一、选择题 1．如图，给出下列四组条件： ①AB DE BC EF AC DF ===，，；②AB DE B E BC EF =∠=∠=，，； ③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠，，；④AB DE AC DF B E ==∠=∠，，． 其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有（ ） A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组 2.如图，D E ，分别为ABC △的AC ，BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处．若48CDE ∠=°，则APD ∠等于（ ） 3.如图（四），点P 是AB 上任意一点，ABC ABD ∠=∠，还应补充一个条件，才能推出 APC APD △≌△．从下列条件中补充一个条件，不一定能．．．．推出APC APD △≌△的是（ ） A ．BC BD = B ．A C A D = C ．ACB ADB ∠=∠ D ．CAB DAB ∠=∠ A ．42° B ．48° C ．52° D ．58° 4.如图，在△ABC 与△DEF 中，已有条件AB=DE ，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEF ，不能添加的一组条件是( ) (A)∠B=∠E,BC=EF （B ）BC=EF ，AC=DF (C)∠A=∠D ，∠B=∠E （D ）∠A=∠D ，BC=EF 5．如图，△ABC 中，∠C = 90°，AC = BC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ， 若AC = 10cm ，则△DBE 的周长等于( ) A ．10cm B ．8cm C ．6cm D ．9cm 6． 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） Ａ．1处 Ｂ．2处 Ｃ．3处 Ｄ．4处 7．某同学把一块三角形的玻璃打碎了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那 么最省事的方法是（ ） A ．带①去 B ．带②去 C ．带③去 D ．带①②③去 8．如图，在Rt ABC △中， 90=∠B ，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ．已知 10=∠BAE ，则C ∠的度数为（ ） A ． 30 B ． 40 C ． 50 D ． 60 C A D P B 图（四） E D C B A 第十一章全等三角形综合复习 切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形 不一定全等。 例 1. 如图，A, F ,E, B 四点共线，AC CE， BD DF，AE BF，AC BD 。求证：ACF BDE 。 例 2.如图，在ABC 中， BE 是∠ABC的平分线，AD BE ，垂足为 D 。求证：21 C 。 例BE 3. 如图，在 BF ，连接 ABC 中， AB BC ， AE, EF 和CF。求证： ABC AE 90o。F CF 。 为 AB 延长线上一点，点E在 BC上， 例 4. 如图，AB // CD，AD // BC，求证：AB CD 。 例 5. 如图， AP, CP 分别是ABC 外角MAC 和NCA 的平分线，它们交于点P 。求证：BP 为MBN 的平分线。 例 6. 如图，D是ABC 的边 BC 上的点，且 CD AB ， ADB BAD，AE是ABD 的中线。求证： AC2AE 。 例7.如图，在ABC中， AB AC，12， P为 AD上任意一点。求证： AB AC PB PC。 同步练习 一、选择题： 1.能使两个直角三角形全等的条件是() A. 两直角边对应相等 B. 一锐角对应相等 C. 两锐角对应相等 D. 斜边相等 2.根据下列条件，能画出唯一ABC 的是() 3， A 30o A.AB3， BC4， CA8 B.AB4， BC C.C60o， B45o，AB4 D.C90o，AB6 3.如图，已知12， AC AD ，增加下列条件：① AB AE ；② BC ED ；③ C D ；④B E 。其中能使ABC AED 的条件有() A.4 个 B.3个 C.2个 D.1个 第十一章全等三角形测试题 一、选择题（每小题4分，共32分） 1．下列命题中真命题的个数有( ) ⑴形状相同的两个三角形是全等形；⑵在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边； ⑶全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等， A、3个 B、2个 C、1个 D、0个 2．如图,已知△ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（）A．甲和乙Ｂ．乙和丙Ｃ．只有乙Ｄ．只有丙 3．在⊿ABC和⊿A′B′C′中，AB=A′B′，∠A=∠A′，若证⊿ABC≌⊿A′B′C′还要从下列条件中补选一个，错误的选法是（） A. ∠B=∠B′ B. ∠C=∠C′ C. BC=B′C′ D. AC=A′C′ 4．P是∠AOB平分线上一点，CD⊥OP于F，并分别交OA、OB于CD，则CD_____P点到∠AOB两边距离之和．( ) A．小于B．大于C．等于D．不能确定 （4题）（5题）（7题） 5．如图，从下列四个条件：①BC＝B′C，②AC＝A′C，③∠A′CA＝∠B′CB，④AB＝A′B′中，任取三个为条件，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个6．有以下条件：①一锐角与一边对应相等；②两边对应相等；③两锐角对应相等。其中能判断两直角三角形全等的是（） A．① B ② C ③ D ①② 7．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO︰S△BCO︰S△CAO等于（） A．1︰1︰1 B．1︰2︰3 C．2︰3︰4 D．3︰4︰5 8．如图所示，在Rt△ABC中，AD是斜边上的高，∠ABC 的平分线分别 交AD、AC于点F、E，EG⊥BC于G，下列结论正确的是（） A．∠C=∠ABC B.BA=BG C．AE=CE D. AF=FD 二、填空题（每小题4分，共24分） 9．如图，Rt△ABC中，直角边是，斜边是。 10．如图，点D E ，分别在线段AB AC ，上，BE CD ，相交于 点O AE AD ，，要使ABE ACD △≌△，需添加一个条件是（只要写一个条件）． （10题）（11题）（12题） 11．如图，把△ABC绕C点顺时针旋转35°，得到△A’B’C，A’B’交AC于点D，若 ∠A’DC=90°,则∠A= °. 12．如图，AB∥CD，AD∥BC，OE=OF,图中全等三角形共有_____对. A B C E D G F O C E A D B C B' A A' B D 一、填空题（每小题4分,共32分）. 1．已知：///ABC A B C ??≌，/A A ∠=∠，/B B ∠=∠，70C ∠=?，15AB cm =，则/ C ∠=_________，//A B =__________． 2．如图1，在ABC ?中，AB=AC ，AD ⊥BC 于D 点，E 、F 分别为DB 、DC 的中点，则图中共有全等三 角形_______对． 图1 图2 图3 3． 已知△ABC ≌△A ′B ′C ′，若△ABC 的面积为10 cm 2，则△A ′B ′C ′的面积为______ c m 2，若△A ′B ′C ′的周长为16 cm ，则△ABC 的周长为________cm ． 4． 如图2所示，∠1=∠2，要使△ABD ≌△ACD ，需添加的一个条件是________________(只添一个条件即可)． 5．如图3所示，点F 、C 在线段BE 上，且∠1=∠2，BC =EF ，若要使△ABC ≌△DEF ，则还需补充一个条件________，依据是________________． 6．三角形两外角平分线和第三个角的内角平分线_____一点，且该点在三角形______部． 7．如图4，两平面镜α、β的夹角 θ，入射光线AO 平行于β，入射到α上，经两 次反射后的出射光线CB 平行于α，则角θ等于________． 8．如图5，直线AE ∥BD ，点C 在BD 上，若AE ＝4，BD ＝8，△ABD 的面积为16，则ACE △ 的面积为 ______． 二、选择题（每小题4分,共24分） 9．如图6，AE ＝AF ，AB ＝AC ，E C 与BF 交于点O ，∠A ＝600，∠B ＝250，则∠E O B 的度数为（ ） A 、600 B 、700 C 、750 D 、850 10．△ABC ≌△DEF ，且△ABC 的周长为100 cm ，A 、B 分别与D 、E 对应，且AB ＝35 cm ，DF =30 cm ，则EF 的长为( ) A ．35 cm B ．30 cm C ．45 cm D ．55 cm 11．图7是一个由四根木条钉成的框架，拉动其中两根木条后，它的形状将会改变，若固定其形状，下列有四种加固木条的方法，不能固定形状的是钉在________两点上的木条．( ) A ．A 、F B ． C 、E C ．C 、A D ． E 、F 12．要测量河两岸相对的两点A 、B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C 、D ，使CD=?BC ，再定出BF 的垂线DE ，使A 、C 、E 在一条直线上，可以证明△EDC ?≌△ABC ，?得到ED=AB ，因此测得ED 的长就是AB 的长（如图8），判定△EDC ≌△ABC 的理由是（ ） N A M C B 图7 图8 图9 图10 全等到三角形练习题（1） 1、下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是（） A、两条直角边对应相等。 B、斜边和一锐角对应相等。 C、斜边和一条直角边对应相等。 D、两锐角相等。 2、在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中与这100°角对应相等的角是（） A.∠A B.∠B C.∠C D.∠B或∠C 3、下列各条件中，不能作出唯一三角形的是（） A.已知两边和夹角 B.已知两角和夹边 C.已知两边和其中一边的对 角 D.已知三边 4、在△ABC与△DEF中，已知AB=DE；∠A=∠D；再加一个条件，却不能判断 △ABC与△DEF全等的 是（）. A． BC=EF B．AC=DF C．∠B=∠E D．∠C=∠F 5、使两个直角三角形全等的条件是（） A．一锐角对应相等B．两锐角对应相等 C．一条边对应相等D．两条直角边对应相等 6、在△ABC和△A'B'C'中有①AB=A'B'，②BC=B'C'，③AC=A'C'，④∠A=∠A'， ⑤∠B=∠B'，⑥∠C=∠C'，则下列各组条件中不能保证△ABC≌△A'B'C'的是（） A、①②③ B、①②⑤ C、①②④ D、②⑤⑥ 7、如图，已知∠1=∠2，欲得到△ABD≌△ACD，还须从下列条件中补选一个，错误的选法是 （） A、∠ADB=∠ADC B、∠B=∠C C、DB=DC D、AB=AC 8、如图，△ABC≌△ADE，若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC的度数为 A. 40° B. 80° C.120° D. 不能确定 9、如图，AE＝AF，AB＝AC，EC与BF交于点O，∠A＝600，∠B＝250，则∠EOB的度数为（） A．600 B．700C．750 D．850 10、如图，已知AB＝DC，AD＝BC，E.F在DB上两点且BF＝DE，若∠AEB＝120°，∠ ADB＝30°，则∠BCF= ( ) A. 150° B.40° C.80° D. 90° 11、①两角及一边对应相等②两边及其夹角对应相等③两边及一边所对的角对应相 等④两角及其夹边对应相等，以上条件能判断两个三角形全等的是( ) A．①③ B．②④ C．②③ ④ D．①②④ 12、下列条件中，不能判定两个三角形全等的是（） A．三条边对应相等 B．两边和一角对应相等 C．两角及其一角的对边对应相等 D．两角和它们的夹边对应相等 13、如图，已知，，下列条件中不能判定⊿≌⊿的是（） （A）（B） （C）（D）∥ 14、如图，AB与CD交于点O，OA＝OC，OD＝OB，∠A=50°，∠B＝30°， 则∠D的度数为（）. A．50° B．30° C．80° D．100° 15、如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，则∠ABC 的度数是． 16、在△ABC和△中，∠A=44°，∠B=67°，∠=69°，∠=44°，且AC= 则这两个三角形全等（填“一定”或“不一定”） 一．知识点： 1．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 含义：形状相同，大小相等. 2．符号：“≌” 3．对应（边、角、顶点）：重合的边、重合的角，重合的顶点 4．全等三角形的性质： ⑴全等三角形的对应边相等. ⑵全等三角形的对应角相等. ⑶全等三角形的周长、面积相等. 二、基础习题 1如图，ABC ?≌ADE ?，?=∠30EAC ，求BAD ∠的度数. 2、如图，ABC ?≌DEF ?，且A 、D 、B 、E 在同一条直线上，试找出图中互相平行的线段，并说明理由. 3、如图，ABE ?≌ACD ?，21∠=∠，C B ∠=∠.求证：CAE BAD ∠=∠ 4.如图，ABC ?≌EFC ?，B 、C 、E 在同一条直线上，且cm BC 3=，cm CE 4=，?=∠52EFC . 求AF 的长和A ∠的度数. 5.如图，长方形ABCD 沿AE 折叠，使得点D 落在BC 边上的点F 处，且 ?=∠50BAF .求DAE ∠的度数. 6、如图，点A 、E 、B 、F 在同一条直线上，ABC ?≌FED ?. ⑴判断AC 与DF 的位置关系，并说明理由； ⑵判断AE 与BF 的数量关系，并说明理由. 一．全等三角形的判定1：三边对应相等的两个三角形全等.简写成“边边边”或“SSS ” 几何符号语言：在ABC ?和DEF ?中 ∵?? ???===DF AC EF BC DE AB ∴ABC ?≌DEF ?（SSS ） 二、基础习题 1如图，点B 、E 、C 、F 在同一直线上，CF BE =，DE AB =，DF AC =.求证：D EGC ∠=∠ 2、如图，点A 、C 、F 、D 在同一直线上，DC AF =，DE AB =，EF BC =求证：DE AB // 3、如图，在四边形ABCD 中，CD AB =，BC AD =.求证：①CD AB //；②BC AD //． 4、如图，AC 与BD 交于点O ，CB AD =，E 、F 是BD 上两点，且CF AE =，BF DE =． 求证：⑴B D ∠=∠；⑵CF AE // 全等三角形（3） 一．全等三角形的判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.简写为“边角边”或“SAS ” 几何符号语言：在ABC ?和DEF ?中 ∵?? ???=∠=∠=EF BC E B DE AB ∴ABC ?≌DEF ?（SAS ） 第十一章全等三角形测试题 一、选择题（每小题4分，共32分） 1．下列命题中真命题的个数有( ) ⑴形状相同的两个三角形是全等形；⑵在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；⑶全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等， A、3个 B、2个 C、1个 D、0个 2．如图,已知△ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（）A．甲和乙Ｂ．乙和丙Ｃ．只有乙Ｄ．只有丙 3．在⊿ABC和⊿A′B′C′中，AB=A′B′，∠A=∠A′，若证⊿ABC≌⊿A′B′C′还要从下列条件中补选一个，错误的选法是（） A. ∠B=∠B′ B. ∠C=∠C′ C. BC=B′C′ D. AC=A′C′ 4．P是∠AOB平分线上一点，CD⊥OP于F，并分别交OA、OB于CD，则CD_____P点到∠AOB两边距离之和．( ) A．小于B．大于C．等于D．不能确定 （4题）（5题）（7题） 5．如图，从下列四个条件：①BC＝B′C，②AC＝A′C，③∠A′CA＝∠B′CB，④AB＝A′B′中，任取三个为条件，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 6．有以下条件：①一锐角与一边对应相等；②两边对应相等；③两锐角对应相等。其中能判断两直角三角形全等的是（） A．① B ② C ③ D ①② 7．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO︰S△BCO︰S△CAO等于（） A．1︰1︰1 B．1︰2︰3 C．2︰3︰4 D．3︰4︰5 8．如图所示，在Rt△ABC中，AD是斜边上的高，∠ABC的平分线分别 A E F 全等三角形的判定与性质（提高篇）（1） 1．如图，A，E，F，B在同一条直线上，CE⊥AB，DF⊥AB，AE=BF，∠A=∠B，求证：OC=OD． 2．如图，AD⊥BD，AC⊥BC，AD与BC交于点O，AD=BC． 求证：OC=OD． 3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为点F，过点B作BD⊥BC交CF的延长线于点D． （1）试说明AE=CD； （2）若AC=10cm，求BD的长． 4．如图，已知，BD与CE相交于点O，AD=AE，∠B=∠C，请解答下列问题： （1）△ABD与△ACE全等吗？为什么？ （2）BO与CO相等吗？为什么？ 5．已知：如图1，点A是线段DE上一点，∠BAC=90°，AB=AC，BD⊥DE，CE⊥DE，（1）求证：DE=BD+CE． （2）如果是如图2这个图形，我们能得到什么结论？并证明． 6．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE 交BC的延长线于点F． （1）判断FC与AD的数量关系，并说明理由； （2）若AB=BC+AD，则BE⊥AF吗？为什么？ （3）在（2）的条件下，若EC⊥BF，EC=3，求点E到AB的距离． 7．如图，△ACB和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点C、D、E三点在同一直线上，连结BD．求证： （1）BD=CE； （2）BD⊥CE． 8．如图△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD是∠BAC的角平分线，DM⊥AB于点M．（1）若CD=5，求AC的长． （2）求证：AB=AC+CD． 9．如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB． （1）若运用ASA判定△ADF≌△CBE，则需添加条件； （2）若运用SAS判定△ADF≌△CBE，则需添加条件； （3）若添加条件∠D=∠B，则AD∥BC吗？请说明理由． 10．已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点M是BE的中点，连接CM、DM． （1）当点D在AB上，点E在AC上时（如图一），求证：DM=CM，DM⊥CM； （2）当点D在CA延长线上时（如图二）（1）中结论仍然成立，请补全图形（不用证明）；（3）当ED∥AB时（如图三），上述结论仍然成立，请加以证明． 全等三角形判断一 一、选择题 1. △ABC和△中，若AB＝，BC＝，AC＝.则（） A.△ABC≌△ B. △ABC≌△ C. △ABC≌△ D. △ABC≌△ 2. 如图，已知AB＝CD，AD＝BC，则下列结论中错误的是（） A.AB∥DC B.∠B＝∠D C.∠A＝∠C D.AB＝BC 3. 下列判断正确的是（） A.两个等边三角形全等 B.三个对应角相等的两个三角形全等 C.腰长对应相等的两个等腰三角形全等 D.直角三角形与锐角三角形不全等 4. 如图，AB、CD、EF相交于O，且被O点平分，DF＝CE，BF＝AE，则图中全等三角形的对数共有（） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 5. 如图，将两根钢条，的中点O连在一起，使，可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△的理由是( ) A.边角边 B.角边角 C.边边边 D.角角边 6. 如图，已知AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，AB＝CD，BC＝ED，以下结论不正确的是（） A.EC⊥AC B.EC＝AC C.ED ＋AB ＝DB D.DC ＝CB 二、填空题 7. 如图，AB＝CD，AC＝DB，∠ABD＝25°，∠AOB＝82°，则∠DCB＝_________. 8. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD互相平分，则图中全等三角形共有_____对. 9. 如图，在△ABC和△EFD中，AD＝FC，AB＝FE，当添加条件_______时，就可得△ABC≌△EFD（SSS） 10. 如图，AC＝AD，CB＝DB，∠2＝30°，∠3＝26°，则∠CBE＝_______. 11. 如图，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD＝AE，AB＝AC，若∠B ＝20°，则∠C ＝______． 全等三角形练习题 一、选择题： 1、以两条边长为10和3及另一条边组成边长都是整数的三角形一共有（）。 A．3个B．4个C．5个D．无数多个 2、若一个三角形的一个角等于其它两个角的差，则这个三角形一定是（） A．锐角三角形B．直角三角形 C．钝角三角形D．以上都有可能 3、具备下列条件的两个三角形，全等的是（） A．两个角分别相等，且有一边相等 B．一边相等，且这边上的高也相等 C．两边分别相等，且第三边上的中线也相等 D．两边且其中一条对应边的对角对应相等 4、等腰三角形中有一个角是50?，它的一条腰上的高与底边的夹角是（） A．25?B．40?C．25?或40?D．大小无法确定 5、一个三角形的一边为2，这边的中线为1，另两边之和为31 +，那么这个三角形的面积为（） A．1 B． 3 2 C．3D．不能确定 二、解答题、 1已知：如图，?ABC中，AB=AC，AD=BD，AC=DC 求：∠B的度数 2、已知：Rt ABC ?中，∠BAC=90?，AD是BC边上的高，BF 平分∠ABC，交AD于E。 求证：?AEF是等腰三角形 3、已知：如图AB=CD，AC和BD的垂直平分线相交于O点。 求证：∠ABO=∠CDO 4、已知：如图?ABC中，BC边中垂线DE交∠BAC的平分线于D，DM⊥AB于M，DN⊥AC于N。 求证BM=CN 5、已知：如图，?ABC中，∠ACB=90?，M为AB的中点，DM⊥AB于M，CD平分∠ACB，交AB于E 求证：MD=AM 6、在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD=BD，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F。求证：DE=DF 全等三角形证明练习 1．已知如图,AE＝AC,AB＝AD,∠EAB＝∠CAD,试说明:∠B＝∠D 7. 已知：如图，AB=DC ,AD=BC , O是BD中点 ,过O的直线分别与DA、BC的延长线交于E、F． 求证：OE=OF 8．如图,线段AB、CD相交于点O,AD、CB的延长线交于点E,OA=OC,EA=EC,说明∠A=∠C. 9. 已知:如图,AB=AC,AE平分∠BAC.求证:∠DBE=∠DCE． 10 已知：如图AB=CD，BC=DA，E、F是AC上两点，且AE=CF。 求证：BF=DE D F A B 11：已知：如图A、D、C、B在同一直线上，AC=BD，AE=BF，CE=DF 求证：（1）DF∥CE （2）DE=CF A D F E C E c B 12、如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接EF，EF与AD交于G，AD与 EG垂直吗？证明你的结论。 13.如图所示，已知在△AEC中，∠E=90°，AD平分∠EAC,DF⊥AC,垂足为F,DB=DC. 求证：BE=CF. A B F C D E C E F 14.如图，已知E是正方形ABCD的边CD 的中点，点F在BC上，且∠DAE=∠FAE. 求证：AF=AD+CF。 15．已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,AE是过点A的一条直线，且BD⊥AE于D，CE⊥AE于E,(1)当直线AE 处于如图①的位置时，有BD=DE+CE,请说明理由；（2）当直线AE处于如图②的位置时，则BD,DE,CE的关系如何？ 请说明理由；（3）归纳（1）（2），请用简洁的语言表达BD,DE,CE之间的关系。 ① ② B C E A D A B F C E D B A D E C全等三角形的性质及判定(习题)
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